一类拟线性退化抛物型方程组解的存在性与爆破

Ex istence and Blow2up of Solution s to a C la ss of Qua silin ear D egenera te Parabolic System
W E I Ying2jie, WU Juan
( Institu te of M a them a tics, J ilin U n iversity, Changchun 130012, Ch ina)
收稿日期 : 2010 2 04 2 06. 作者简介 : 魏英杰 ( 1971 —) , 女 , 汉族 , 博士 , 讲师 , 从事偏微分方程的研究 , E 2 mail: weiyj@ jlu. edu. cn. 基金项目 : 国家自然科学基金 (批准号 : 10771085; J0730101) .
)
( p - 1 -α1 ) / [ ( p - 1 -α1 ) ( q - 1 -α2 ) -β1 β2 ]
}.
注意到 Ω ×[ 0, + ∞) , W ( x, t) = Z ( x, t) = 0, ( x, t) ∈ 5
W ( x, 0 ) ≥ u0 ( x ) , Z ( x, 0 ) ≥ v0 ( x ) , x ∈Ω,
则由引理 1 知
( u ( x, t) , v ( x, t) ) ≤ (W ( x, t) , Z ( x, t) ) ,
所以 ( u ( x, t) , v ( x, t) ) 全局存在 . ( 2) 当 β 1β 2 = ( p - 1 -α 1 ) ( q - 1 -α 2 ) 时 , 取 K1 , K2 充分大 , 使得 K1 < ( x ) > u0 ( x ) , K2ψ ( x ) > v0 ( x ) , Ω充分小 , 满足
Ω光滑 . 这里 p, q > 1, αi ,β i ≥0, i = 1, 2, a, b > 0 是常数 , Ω< R 是有界区域 , 边界 5 赵俊宁 首先研究了单个方程解的存在性与爆破 , 之后文献 [ 2 2 7 ]讨论了相关问题 . 本文在上述 研究的基础上 , 将与文献 [ 5 ]中类似的结果从 p, q > 2 推广到 p, q > 1. 其中文献 [ 4 ]中 u, v的影响均是 全空间的 , 而本文 u, v的影响分别是逐点和全空间的 . 类似于文献 [ 3 ], 假设 : 5u0 ( x ) 5v0 ( x ) 1, p 1, q ( H ) u0 ( x ) ∈C (Ω) ∩ Ω, 这里 η表 W 0 (Ω) , v0 ( x ) ∈C (Ω) ∩W 0 (Ω) , , < 0, x ∈5 η η 5 5 Ω的单位外法向量 . 示5 本文广义解的定义 、 全局存在和有限时刻爆破与文献 [ 3 2 4 ]类似 . 类似文献 [ 2 ]的正则化方法 , 可得 : 3 定理 1 (局部存在性 ) 假设 ( u0 , v0 ) ≥ ( 0, 0 ) , 且满足假设 ( H ) , 则存在常数 T > 0, 使得问题 ( 1 ) 2( 4 ) 存在唯一解
) )
( q - 1 -α2 ) / [ ( p - 1 -α1 ) ( q - 1 -α2 ) -β β2 ] 1 ( p - 1 -α1 ) / [ ( p - 1 -α1 ) ( q - 1 -α2 ) -β β2 ] 1
, .
β2 / ( p - 1 -α1 )
bΩ
对充分小的 u0 ( x ) , v0 ( x ) , 同时可取 ψ( x) < ( x) 与情形 ( 1 ) 类似 , 解 ( u ( x, t) , v ( x, t) ) 全局存在 . 定理 3 (有限时刻爆破 ) 假设 ( u0 , v0 )满足定理 1 中的假设 . ( 1 ) 当 p, q > 2 时 , 若 β 1β 2 > (p - 1 - α 1 ) (q - 1 - α 2 ) ,
(吉林大学 数学研究所 , 长春 130012 )
摘要 : 研究发展型 p2 Lap lacian 方程组 D irichlet零边值问题 , 利用上下解方法得到了非负解的 局部存在性 、 全局存在性与爆破结果 . 关键词 : p2 Lap lacian 方程组 ; 比较原理 ; 存在性 ; 爆破 中图分类号 : O175. 2 文献标志码 : A 文章编号 : 1671 2 5489 ( 2010 ) 03 2 0406 2 03
(Ω) ) ∩ L ( 0, T ; W
q
(Ω) ) .
为了利用上下解方法证明解的全局存在性与爆破 , 首先给出比较原理 . ΩT 上的下解和上解 . 若 引理 1 (比较原理 ) 假设 ( -u , -v ) 和 ( u, v ) 分别是问题 ( 1 ) 2( 4 ) 在 ΩT ×
( -u0 , -v0 ) ≤ ( u0 , v0 ) , 且存在 δ> 0, 使得
第 48 卷 第 3期 2010 年 5 月
吉 林 大 学 学 报 (理 学 版 ) Journal of J ilin University ( Science Edition)
Vol . 48 No. 3 M ay 2010
研究快报
一类拟线性退化抛物型方程组解的存在性与爆破
魏英杰 , 邬 娟
)
( q - 1 -α2 ) / [ ( p - 1 -α1 ) ( q - 1 -α2 ) -β1 β2 ]
},
Ω x∈
ψ( x)
β / ( p - 1 -α1 )
bΩ
( p - 1 -α1 + β2 ) / ( p - 1 -α1 )
M
α2 + β2 + β2 (α1 + β1 ) / ( p - 1 -α1 )
证明思路 : 构造全局存在的上解 . 设 < ( x ) ,ψ ( x ) 是问题 p- 2 Ω, - d iv ( < ) = 1, x ∈Ω, < ( x ) = 0, x ∈ 5 <
- d iv (
ψ
q- 2
ψ) = 1, x ∈Ω, ψ ( x ) = 0, x ∈ 5 Ω
的解 , 记
第 3期
魏英杰 , 等 : 一类拟线性退化抛物型方程组解的存在性与爆破
407
( v, v) ∈ΩT 3 × ΩT 3 , u ∈ C ( 0, T ; L v ∈ C ( 0, T ; L
3 ∞
3
∞
(Ω) ) ∩ L ( 0, T ; W 0
3
1, q 0
p
3
1, p
(Ω) ) ,
Ab s tra c t: The authors studied the existence and blow 2up of nonnegative solutions of p2 Lap lacian system w ith homogenous D irichlet boundary conditions utilizing the super2solution and sub 2solution method. Ke y wo rd s: p2 Lap lacian system; comparison p rincip le; existence; blow 2up
K1 < ( ab 1 K2 < ( a
β / ( q - 1 -α2 )
Ω
( q - 1 -α2 + β1 ) / ( q - 1 -α2 ) ( p - 1 -α1 + β2 ) / ( p - 1 -α1 )
M M
α1 + β1 + β1 (α2 + β2 ) / ( q - 1 -α2 ) α2 + β2 + β2 (α1 + β1 ) / ( p - 1 -α1 )
1 证明思路 : 构造有限时刻爆破的下解 . 设 < ∈ C (Ω) , < ( x ) ≥0, 且 < ( x ) ≠0, <
Ω 5
= 0. 不失一般
Ω, < ( 0 ) > 0. 记 V ( y ) = 1 + 性 , 可假设 0 ∈
w ( x, t) =
A
2
σ1
-
y
2
2A
, y ≥0, 令
M 1 = sup < ( x ) , M 2 = sup ψ ( x ) , M = m ax{M 1 , M 2 } ,
Ω Ω
W ( x, t) = K1 < ( x ) , Z ( x, t) = K2ψ ( x ) ,
这里 K1 , K2 > 0 待定 . ( 1) 当 β 1β 2 < ( p - 1 -α 1 ) ( q - 1 -α 2 ) 时 , 选择
K1 >
Ω x∈
sup u0 ( x )
, K2 >
Ω x∈
sup v0 ( x )
,
且 u0 ( x ) , v0 ( x )充分大 , 则问题 ( 1 ) 2( 4 ) 的解在有限时刻爆破 ; ( 2 ) 当 1 < p, q < 2 时 , 若 (α α 1 - 1) ( 2 - 1) >β 1β 2 > (p - 1 - α 1 ) (q - 1 - α 2 ) , 且 u0 ( x ) , v0 ( x )充分大 , 则问题 ( 1 ) 2( 4 ) 的解在有限时刻爆破 .
( 1 ) 2( 4 ) 的解全局存在 : ( 1) β 1β 2 < ( p - 1 -α 1 ) ( q - 1 -α 2 ); ( 2) β 1β 2 = ( p - 1 -α 1 ) ( q - 1 -α 2 ) , 且 Ω 充分小 ; ( 3) β 1β 2 > ( p - 1 -α 1 ) ( q - 1 -α 2 ) , 且 u0 ( x ) , v 0 ( x ) 充分小 .
)
β2 ) - ( p - 1 -α1 ) / ( p - 1 -(理 学 版 )
第 48 卷
则与情形 ( 1 ) 类似 , 可以证明解 ( u ( x, t) , v ( x, t) ) 全局存在 . ( 3) 当 β 1β 2 > ( p - 1 -α 1 ) ( q - 1 -α 2 ) 时 , 只需取 K1 , K2 > 0 充分小 , 使得
考虑如下发展型 p2 Lap lacian 方程组 :
ut - d iv ( vt - d iv ( u v
p- 2
u ) = au
α
α1
q- 2
v) = bv 2
Ω
v d x, ( x, t) ∈Ω ×( 0, T ], ∫ ( x, t) ∈Ω ×( 0, T ], u d x, ∫
β1 Ω β2
( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
u ( x, t) = 0, v ( x, t) = 0, u ( x, 0 ) = u0 ( x ) , v ( x, 0 ) = v0 ( x ) ,
n [1 ]
( x, t) ∈ 5 Ω ×( 0, T ], ( x, t) ∈Ω ×( 0, T ],
/ Ω ≤m in { ( ab 1
β ( q - 1 -α2 )
M
α1 + β1 + β1 (α2 + β2 ) / ( q - 1 -α2 )
)
β1 ) - ( q - 1 -α2 ) / ( q - 1 -α2 +
,
(a
β2 / ( p - 1 -α1 )
b M
α2 + β2 + β2 (α1 + β1 ) / ( p - 1 -α1 )
K1 >m ax{ ( ab 1 K2 >m ax{ (a 2
Ω x∈
sup u0 ( x )
< ( x)
sup v0 ( x )
,
β / ( q - 1 -α2 )
Ω
,
( q - 1 -α2 + β1 ) / ( q - 1 -α2 )
M
α1 + β1 + β1 (α2 + β2 ) / ( q - 1 -α2 )
Ω -
v ≥δ , u ≥δ ∫ ∫ , u, v ≥δ,
β1 β2 Ω -
( 5)
或
Ω
v ≥δ , u ≥δ . ∫ ∫ , u, v ≥δ
β1 β2 Ω
( 6)
则有
( -u, -v) ≤ ( u, v) , a. e. ΩT × ΩT.
证明可参考文献 [ 8 ]. 利用比较原理可以证明全局存在性与爆破结果 . 定理 2 (全局存在性 ) 假设 ( u0 , v0 ) 满足定理 1 中的假设 , 如果下列条件之一成立 , 则问题