正交投影
正投影知识点总结
正投影知识点总结正投影，也称为平行投影，是一种立体物体在投影面上的投影方式。
在正投影中，所有平行线在投影面上的位置和方向都不会改变，因此正投影是一种保持直线和角度关系的投影方式。
正投影通常用于工程制图、建筑设计、机械设计等领域，是一种常用的投影方法。
正投影的基本特点有以下几点：1. 平行性：所有平行线在投影面上的位置和方向都保持不变。
2. 直线性：直线在投影面上仍然保持直线，不会发生弯曲。
3. 等比：正投影保持了物体在三维空间中的比例关系，因此可以通过测量投影来确定实际物体的大小。
在正投影中，有三种常用的投影方式：正交投影、斜投影和等轴测投影。
下面将分别介绍这三种正投影的知识点。
1. 正交投影正交投影是指以投影面与物体之间的关系为基础，物体的各部分在投影面上的投影保持对应关系，投影线平行而等长。
正交投影分为正视图、侧视图和俯视图，用于表现物体的三个视图。
在正交投影中，物体的长度、宽度和高度都保持不变，因此可以准确的表现出物体的大小和形状。
正交投影的知识点包括：1) 正视图：以物体的正面为基准，在投影面上绘制出物体的正视图。
正视图是物体在投影面上的投影，可以表现出物体的宽度和高度。
2) 侧视图：以物体的侧面为基准，在投影面上绘制出物体的侧视图。
侧视图可以表现出物体的长度和高度。
3) 俯视图：以物体的顶面为基准，在投影面上绘制出物体的俯视图。
俯视图可以表现出物体的长度和宽度。
4) 投影的比例：正交投影中，物体在投影面上的投影与实际物体的大小成一定的比例关系，可以通过比例尺来表示。
2. 斜投影斜投影是指在物体和投影面之间的投影线不垂直，而是倾斜的投影方式。
在斜投影中，物体的真实形状和尺寸呈现在投影面上。
斜投影可分为主透视、副透视和轴测投影，用于表现物体的形状和大小。
斜投影的知识点包括：1) 主透视：以物体和投影点之间的直线为基准，绘制出物体的主透视图。
主透视能够真实地表现出物体的形状和大小，并通常用于艺术绘画、建筑设计等领域。
椭圆的投影及其在几何建模中的运用教案二
椭圆的投影及其在几何建模中的运用教案二。
一、椭圆的投影投影是指将三维空间中的物体映射到二维平面上的过程。
因为三维空间与二维平面之间存在坐标系的转化，所以出现了投影变换的概念。
在三维几何中，投影有平行投影和透视投影两种方式。
而在二维几何中，我们熟知的圆形投影有正交投影和斜投影两种方式。
对于椭圆，其投影方式多样，可以通过正交投影和斜投影等多种方式来展现不同的形态。
下面我们将分别介绍一下这两种方式的投影结构。
1.正交投影正交投影是指在二维平面上，投影线与投影面呈直角的投影方式。
对于椭圆的正交投影，可以选择将其在一个固定的方向上进行投影。
在此方向上，椭圆会被拉伸或压缩，成为一个圆形。
在另一个不同的方向上，椭圆则会被拉成为一个椭圆型。
下面是一个简单的投影演示。
在实际应用中，椭圆的正交投影常常用于建筑平面图、木工设计图纸等方面。
2.斜投影斜投影是指在二维平面上，投影线与投影面不呈直角的投影方式。
在椭圆的斜投影中，通过不同的斜率值，就可以呈现出许多不同的形态和角度。
下面是一组椭圆斜投影的例子：通过椭圆的斜投影，我们可以方便地将其应用到建筑、工艺美术等多个领域中。
二、椭圆在几何建模中的运用椭圆在几何建模中是一种常见的图形，因为它的形态规整且易于计算。
在本章中，我们将重点介绍椭圆在几何建模中的运用。
1.椭圆的扫面在几何建模中，扫面是指将二维几何图形沿着一条直线在三维空间中旋转或移动，从而形成一个新的三维几何图形的过程。
因为椭圆的形态规整，所以它的扫面过程非常简单。
下面是一个椭圆扫面的例子：在这个例子中，我们将一个椭圆沿着一条直线旋转了360°，从而形成了一个圆柱体。
同样的方式，我们也可以通过椭圆的扫面来创建其他形态的立体图形。
2.椭圆在几何造型中的应用在3D建模软件中，椭圆也是一种常见的几何造型手段。
下面是一个通过椭圆造型出来的螺旋线的例子。
这个例子中，我们通过椭圆的旋转、缩放等操作来创建了一个螺旋线的模型。
三面投影体系的分类
三面投影体系的分类三面投影体系是用来描述和表达三维物体在二维平面上的投影情况的一种方法。
它可以分为正交投影体系和透视投影体系两大类。
正交投影体系是指投影光线与投影平面垂直的一种投影方法，它在不考虑投影距离的情况下保持物体形状的准确性。
正交投影体系又可以分成三种，分别是正射投影、斜投影和视图投影。
1.正射投影：正射投影是在无限远处放置一个光源，光线垂直投射到投影平面上，形成物体的投影。
这种投影方式不考虑投影距离，物体的形状在投影中保持不变。
正射投影可以进一步分为俯视图和侧视图两种类型。
2.斜投影：斜投影是投影光线与投影平面有一定夹角的一种投影方法。
与正射投影不同，斜投影会在投影中产生一定的形变。
斜投影分为两种类型，平行投影和斜投影。
平行投影是指投影光线与平行于投影平面的一组轴线平行的一种情况，斜投影则是指投影光线与某一条轴线存在一定夹角的情况。
3.视图投影：视图投影是相对于观察者来投射物体的一种投影方法。
观察者的视点位置和朝向会对物体的投影产生影响，不同的视点和朝向可能会产生不同的视图投影结果。
视图投影可以分为正视图、俯视图和侧视图三种类型。
透视投影体系是一种以人眼在特定观察位置上的视线来投影物体的方法。
透视投影体系考虑了投影距离，它可以更真实地表现物体的远近关系和透视效果。
在透视投影体系中，物体的尺寸和形状会随着远近的变化而发生变化。
透视投影体系主要有中心投影和两点透视投影两种类型。
1.中心投影：中心投影是指以观察者视线的延长线上的某个点作为投影中心的一种投影方法。
在中心投影中，物体越靠近投影中心，其投影尺寸会越小，形状会发生变形。
中心投影通常用于透视绘画和建筑设计中，可以更准确地表现物体的空间感。
2.两点透视投影：两点透视投影是指通过观察者视线延长线上的两个点来确定投影平面的一种投影方法。
两点透视投影可以更好地表达物体的透视效果，特别适用于绘制有横向延伸的物体，如建筑物和街景等。
在两点透视投影中，平行于投影平面的线段会在投影中收敛到两个透视点上，呈现出明显的透视效果。
丘维声高等代数第十章2
(k) = k
因此，是 V 上的线性变换。▌ 性质 实内积空间 V 上的正交变换是 V 到自身 的同构映射。 证明 只需证明正交变换是单射：设是 V 上 的正交变换，任取 , V ，若 =，则
| |2 ( , ) ( ( ), ( )) | ( ) |2 | |2 | |2 0
所以
2 , U
从而 2 U ，由此得 1 2 U U ，即
V U U
所以 ( , ) 0 设 U U ， 则 U 且 U ， 从而 ，即U U { } 。 综上所述，V U U 。 ▌
T 1
4.326 A 1.739
T
由 X 是 () 的最小二乘解，可得
k 1.739kg / cm
于是，此弹簧的受力方程为
12
y 4.326 1.739 x
▌
推论 设 AX 是不相容线性方程组，这里
A R mn , R m 。若 rank( A ) = n，则此方程组有
AX AX ( AX , AX ) 0 ( AX )T AX 0 ( AX )T A 0 AT ( AX ) 0
AT AX AT
故 X 应为线性方程组
AT AX AT
③
的解。 可以证明 对任意 A R mn , R m ，线性方
1
( 2 , j ) ( 1 , j ) ( , j ) (1 , j ) ( , j ) ( , 1 )( 1 , j ) ( , m )( m , j ) ( , j ) ( , j )( j , j ) ( , j ) ( , j ) 0
立体形的投影与体积计算
立体形的投影与体积计算在几何学中，立体形的投影和体积计算是两个重要的概念。
投影是指一个立体形在不同平面上的投射形状，而体积则是描述立体形所占空间的量度。
本文将介绍立体形的投影和体积计算的方法和应用。
一、立体形的投影1. 平行投影平行投影是将立体形在一个平面上进行投影，保持相似性质的投影方式。
平行投影可以简化计算，并且保持立体形的形状不变。
常见的平行投影包括平行投影和斜投影。
2. 正交投影正交投影是指立体形在垂直于其某一面的平面上进行投影。
在正交投影中，投影线与平面垂直，可以得到真实的尺寸和形状。
正交投影广泛应用于建筑设计、机械制图等领域。
3. 斜投影斜投影是指立体形在一个斜面上进行投影。
斜投影可以用于表现立体形的倾斜、旋转等特点，常用于绘制透视效果。
二、立体形的体积计算1. 直角立体形的体积计算对于直角立体形，如长方体、正方体、圆柱体等，通常可以通过对应形状的测量得到。
例如，长方体的体积等于长、宽、高三个边长相乘；圆柱体的体积等于底面积乘以高等。
2. 不规则立体形的体积计算对于不规则立体形，如球体、锥体、棱柱等，计算方法则需要通过几何公式或数学方法进行求解。
例如，球体的体积等于4/3乘以π乘以半径的立方；棱柱的体积等于底面积乘以高等。
三、立体形的应用立体形的投影和体积计算在各行各业中都具有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 建筑设计在建筑设计中，立体形的投影和体积计算是必不可少的步骤。
通过投影可以了解建筑物的外观和空间布局，而体积计算则可以帮助设计师预测建筑材料的使用量等。
2. 工程测量在工程测量中，需要对各种工程结构进行测量和计算，包括土方工程的挖填方量、道路和桥梁的体积等。
立体形的投影和体积计算可以帮助测量人员准确计算出需要的参数。
3. 机械制图在机械制图中，要绘制各种机械零件的图纸，包括其外形和尺寸。
立体形的投影可以帮助工程师准确地表达机械零件的形状和尺寸，保证制造过程的准确性。
空间图形投影方法
空间图形投影方法在现代科技的发展中，空间图形投影方法扮演着重要的角色。
空间图形投影方法是一种将三维物体投影到二维平面上的技术，它可以帮助人们更好地理解和分析三维空间中的物体。
本文将介绍几种常见的空间图形投影方法，并探讨它们的优缺点。
一、平行投影法平行投影法是最简单、最常见的一种空间图形投影方法。
它通过将物体的每个顶点沿着平行于观察者视线的方向投影到二维平面上，从而得到物体的投影图形。
平行投影法的优点是投影图形具有真实的比例关系，可以准确地表示物体的形状和大小。
然而，由于投影线是平行的，平行投影法无法准确地表达物体的深度和立体感。
二、透视投影法透视投影法是一种能够更好地表达物体深度和立体感的空间图形投影方法。
它通过模拟人眼观察物体时的视角和透视原理，将物体的顶点沿着视线方向投影到二维平面上。
透视投影法的优点是可以准确地表达物体的深度和立体感，使投影图形更加逼真。
然而，透视投影法也存在一些问题，比如投影图形会随着观察点的改变而发生变形，需要根据观察点的位置进行调整。
三、正交投影法正交投影法是一种将物体投影到二维平面上时保持直线平行的空间图形投影方法。
它通过将物体的每个顶点沿着与观察者视线垂直的方向投影到二维平面上，从而得到物体的投影图形。
正交投影法的优点是投影图形具有真实的比例关系，可以准确地表示物体的形状和大小。
然而，由于投影线是垂直的，正交投影法无法准确地表达物体的深度和立体感。
四、立体投影法立体投影法是一种将物体投影到二维平面上时保持立体感的空间图形投影方法。
它通过使用立体投影仪或者特殊的投影技术，将物体的投影图形呈现在观察者眼前的立体空间中。
立体投影法的优点是可以准确地表达物体的形状、大小和深度，使观察者有身临其境的感觉。
然而，立体投影法也存在一些问题，比如需要专门的设备和技术支持，成本较高。
综上所述，空间图形投影方法在现代科技中具有重要的应用价值。
不同的投影方法各有优缺点，可以根据具体需求选择合适的方法。
投影法概述
投影法概述投影法是一种常用的图形表示方法，通过将三维物体在二维平面上投影，来展示物体的形状和结构。
投影法广泛应用于工程、建筑、设计等领域，可以帮助人们更好地理解和分析物体的特征和属性。
投影法主要分为正交投影和透视投影两种。
正交投影是指将物体在垂直于投影平面的方向上进行投影。
根据投影平面的不同位置，正交投影又分为正视投影、侧视投影和俯视投影。
正视投影是将物体在投影平面正对的方向上进行投影，可以直观地展示物体的外观特征。
侧视投影是将物体在投影平面侧面的方向上进行投影，可以展示物体的长度和高度特征。
俯视投影是将物体在投影平面上方的方向上进行投影，可以展示物体的平面布局和轮廓特征。
正交投影能够准确地表达物体的形状和尺寸，具有直观和清晰的特点。
透视投影是指将物体在透视投影平面上进行投影。
透视投影模拟了人眼观察物体时的视角和远近关系，使得投影更具有立体感。
透视投影通常用于绘画、影视等艺术领域，可以更真实地表达物体的空间位置和形态特征。
透视投影的主要特点是前景物体较大，背景物体较小，远离观察点的物体越小。
透视投影可以让观看者感受到物体的深度和距离，给人以立体感和真实感。
投影法在工程和建筑设计中有着重要的应用。
通过投影法，设计师可以将设计图纸上的物体形状和尺寸准确地展示出来。
在建筑设计中，投影法可以用来表示建筑物的平面布局、立面和剖面特征，帮助设计师进行空间规划和构造设计。
在工程设计中，投影法可以用来表示机械零件的形状和结构，帮助工程师进行装配和安装设计。
投影法的应用可以提高设计和制造的效率，减少错误和重复工作。
投影法在工程和建筑施工中也有重要的作用。
施工图纸中的投影图可以作为施工的参考和依据，帮助施工人员进行工程标高和定位。
通过投影法，施工人员可以准确地了解施工部位的尺寸和位置，避免施工误差和质量问题。
投影法的应用可以提高施工的精度和效率，减少施工成本和工期。
投影法是一种重要的图形表示方法，通过将三维物体在二维平面上投影，可以展示物体的形状和结构。
内积空间的正交基与正交投影
内积空间的正交基与正交投影内积空间是数学中一个重要的概念，它在向量空间中定义了向量之间的内积运算。
在内积空间中，有两个重要的概念：正交基和正交投影。
本文将介绍内积空间的概念，探讨正交基的性质以及正交投影的应用。
一、内积空间的定义和性质内积空间是一个向量空间，其中定义了向量间的内积运算。
一个内积空间必须满足以下条件：1. 正定性：对于任意非零向量x，有内积⟨x, x⟩大于0，并且仅当x 为零向量时等于0。
2. 线性性：对于任意向量x、y和标量a，有内积的线性性质：⟨ax + y, z⟩ = a⟨x, z⟩ + ⟨y, z⟩。
3. 对称性：对于任意向量x和y，有内积的对称性质：⟨x, y⟩ = ⟨y, x⟩。
内积空间的一个重要性质是Cauchy-Schwarz不等式，它表明对于任意向量x和y，有|⟨x, y⟩| ≤ ∥x∥∥y∥，其中∥x∥和∥y∥分别表示向量x和y的范数。
二、正交基的定义和性质在内积空间中，如果一个向量组中的向量两两正交且非零，那么这个向量组称为正交基。
正交基的一个重要性质是，内积空间中的任意向量都可以由正交基线性表示。
假设V是一个n维内积空间，{v_1, v_2, ..., v_n}是V的一个正交基，那么对于任意向量x ∈ V，可以将x表示为线性组合的形式：x =c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n，其中c_1, c_2, ..., c_n为常数。
三、正交投影的定义和应用正交投影是内积空间中的一个重要应用，它可以将一个向量投影到另一个向量上，得到其在后者上的正交投影。
设V是一个内积空间，W是V的一个子空间，对于任意向量x ∈V，将其正交投影到W上的向量记作Proj_W(x)。
那么Proj_W(x)满足以下两个条件：1. Proj_W(x) ∈ W，即正交投影的结果在子空间W中。
2. 向量x - Proj_W(x)与W上的所有向量正交，即内积⟨x -Proj_W(x), w⟩ = 0，对于任意w ∈ W成立。
平面向量的向量积和正交投影
平面向量的向量积和正交投影1. 引言在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的量，可以用来表示平面上的位移、速度、力等物理量。
平面向量的运算包括向量积和正交投影，这两个概念在几何和物理学中具有重要的应用。
本文将详细介绍平面向量的向量积和正交投影的概念、性质和计算方法。
2. 向量积向量积又被称为叉乘或叉积，是平面向量的一种运算。
假设有两个平面向量A和A，它们的向量积表示为A ×A。
向量积的计算公式为：A ×A = |A| |A| sin A A其中，|A|和|A|分别表示向量A和A的模长，A表示两个向量之间的夹角，A是一个垂直于A和A所在平面的向量。
向量积的结果是一个新的向量，它的大小等于A和A所张成的平行四边形的面积，方向垂直于A和A所在平面。
3. 向量积的性质向量积具有以下性质：- 非交换性：A ×A = -A ×A- 分配性：A × (A + A) = A ×A + A ×A- 与夹角的关系：|A ×A| = |A| |A| sin A其中，A是另外一个平面向量。
4. 向量积的应用向量积在物理学中有广泛的应用。
其中一个重要的应用是力矩的计算。
对于一个平面上的物体，受力A作用在点A上，力矩的大小可以通过向量积来计算：A = A ×A其中，A是从参考点到作用点A的矢径向量。
5. 正交投影正交投影是将一个向量分解为两个相互垂直的部分的过程。
假设有一个平面向量A和一个单位向量A，它的正交投影表示为A⊥A。
正交投影的计算公式为：A⊥A = |A| cos A A其中，A是向量A与单位向量A之间的夹角，|A|为向量A的模长。
6. 正交投影的性质正交投影具有以下性质：- idempotent性：(A⊥)^2 = A⊥- 非交换性：A⊥A≠ AA⊥- 分配性：(AA + AA)A⊥ = A(AA⊥) + A(AA⊥)其中，A和A是实数。
卡尔曼滤波正交投影算法
卡尔曼滤波正交投影算法
卡尔曼滤波正交投影算法是一种用于估计状态变量的递归算法，它基于状态方程和测量方程，通过预测和更新两个步骤来估计状态变量的最优值。
正交投影是卡尔曼滤波算法中的关键步骤，它通过将预测值与测量值进行比较，计算出状态变量的最优估计值。
在正交投影算法中，首先需要定义状态变量和测量变量，以及它们之间的状态方程和测量方程。
然后，根据状态方程和测量方程，通过递归的方式计算出状态变量的最优估计值。
具体来说，算法包括以下几个步骤：
1. 初始化：设定初始状态变量的估计值和协方差矩阵；
2. 预测：根据状态方程和上一时刻的状态变量的估计值，预测下一时刻的状态变量的估计值和协方差矩阵；
3. 更新：将测量值带入到预测值中，计算出残差；
4. 正交投影：根据残差和协方差矩阵，计算出最优估计值；
5. 更新协方差矩阵：根据最优估计值和测量值，更新协方差矩阵。
正交投影算法是卡尔曼滤波算法的核心，它通过将预测值与测量值进行比较，计算出最优估计值。
在计算最优估计值时，需要考虑预测值的无偏性和协方
差矩阵的最小化。
此外，正交投影算法还可以用于解决其他估计问题，如线性最小方差估计、二次型优化问题等。
内积空间中的正交和投影
投影的性质
投影是非扩张的，即 $|mathbf{P}_{U}(mathbf{a})| leq
|mathbf{a}|$。
正交在解析几何、线性代数和物理等领域中都有广泛的应用，例如在解决物理问题、 图像处理和机器学习等领域中经常需要用到向量的正交。
02
内积空间中的投影
投影的定义
投影是将一个向量从内积空间投影到另一个子空间的过程。具体来说，给定向量$mathbf{a}$和子空间 $U$，投影$mathbf{P}_{U}(mathbf{a})$是满足$mathbf{P}_{U}(mathbf{a}) in U$且使 $mathbf{P}_{U}(mathbf{a}) perp mathbf{u}$的向量，其中$mathbf{u} in U$。
当子空间是超平面时，投影表示将向量投射到超平面 的法线方向上，使向量与超平面的距离最近。
投影在优化和机器学习中有广泛应用，例如在求解约 束优化问题时，可以将目标函数在约束条件下的解看
作是原问题解在约束子空间上的投影。
03
投影和正交的应用
在线性代数中的应用
线性子空间
投影可以将一个向量投射到指定的线性子空间上，通过计算向量的投影，可以得 到向量在子空间上的分量。
内积空间中的正交和投影的重要性
• 正交和投影是内积空间中的重要概念，它们在数学、物理和工程等领域中有着广泛的应用。正交表示两个向量相互垂直， 而投影则表示一个向量在另一个向量上的分量。这些概念在解决实际问题时非常有用，例如在信号处理、图像处理、量子 力学等领域中都有广泛的应用。
内积空间正交与投影
内积空间正交与投影内积空间是线性代数中的一个重要概念，它在理论和应用中都有广泛的应用。
在内积空间中，正交和投影是两个重要的概念和操作。
本文将介绍内积空间中正交和投影的概念，以及它们的性质和应用。
一、内积空间内积空间是一个定义了内积运算的线性空间。
内积是一种将向量对应到一个复数的运算，它满足线性性、对称性、正定性和共轭对称性。
内积运算可以用来衡量向量之间的夹角、长度和相似性。
在内积空间中，我们可以定义向量的正交性。
如果两个向量的内积为零，则称它们是正交的。
内积为零意味着两个向量之间没有共享的部分，它们在空间中相互垂直。
二、正交性的性质正交的向量在内积空间中具有一些重要的性质。
1. 任意向量与零向量正交：对于任意向量v，它与零向量的内积为零，即< v, 0 > = 0。
这是因为零向量不包含任何信息，与任意向量都没有共享的部分。
2. 向量与自身正交：对于任意向量v，它与自身的内积等于它的长度的平方，即< v, v > = ||v||^2。
这是因为内积可以表示向量的长度和夹角，向量与自身夹角为零。
3. 三角不等式：对于任意两个向量v和w，它们的内积的绝对值不超过它们的长度的乘积，即|< v, w > | ≤ ||v|| ||w||。
这个性质表明，内积可以衡量向量之间的相似性和夹角，两个向量之间的内积越大，它们越相似。
三、投影在内积空间中，我们可以利用向量的投影来进行向量的近似表示和问题的简化。
投影可以将一个向量分解成两个正交向量的和，其中一个向量是原向量在另一个向量上的投影，另一个向量是原向量与投影正交的部分。
投影的计算公式为：projv(w) = < w, v > / ||v||^2 * v。
其中，projv(w)表示向量w在向量v上的投影。
投影的应用非常广泛，例如在最小二乘法中，可以利用向量的投影来寻找一个向量在一个子空间上的最佳近似；在图像处理中，可以利用投影来实现图像的压缩和重构。
正交投影公式
正交投影公式
正交投影是一种用于将三维空间中的物体投影到二维平面上的方法。
它通过将物体沿着与投影平面垂直的方向进行投影，从而保持物体在投影后的形状和大小不变。
在正交投影中，投影平面与物体之间的距离对于投影结果来说非常重要。
这个距离被称为视口或视平面。
在一些情况下，为了方便起见，我们可以将视口设置为无限远，从而将物体投影到一个平面上，使它们的大小和形状都保持不变。
正交投影的公式可以用以下方式表示：在三维坐标系中，将物体的每个点(x,y,z)通过以下变换变换成二维平面上的点(x',y')：
x' = x
y' = y
z' = 0
这个变换将每个点的z坐标直接设为0，从而实现了将物体投影到一个无限远的平面上。
在实际应用中，我们可以将这个平面看作是我们的屏幕或者投影仪。
通过这个公式，我们可以很容易地将三维物体投影到二维平面上，并且保持它们的形状和大小不变。
这在计算机图形学和工程学等领域中非常常见，被广泛应用于各种实际问题中。
初中数学 投影有哪些种类
初中数学投影有哪些种类投影在数学中有多种类型，包括平行投影、中心投影、透视投影等。
下面我们将逐一介绍这些类型的投影。
1. 平行投影：平行投影是指将三维物体的每个点沿着平行于某个方向的直线投射到一个平行于该方向的平面上。
在平行投影中，被投影物体的大小和形状在投影平面上保持不变。
常见的平行投影包括正交投影和斜投影。
-正交投影：正交投影是指将三维物体的每个点沿着垂直于投影平面的直线投射到投影平面上。
在正交投影中，投影线与投影平面垂直，被投影物体在投影平面上的大小和形状与实际物体相同。
正交投影常用于制图和工程设计中。
-斜投影：斜投影是指将三维物体的每个点沿着与投影平面不垂直的直线投射到投影平面上。
在斜投影中，投影线与投影平面不垂直，被投影物体在投影平面上的大小和形状与实际物体不同。
斜投影常用于绘画和计算机图形学中。
2. 中心投影：中心投影是指将三维物体的每个点沿着射线投射到一个平面上。
在中心投影中，投影线都通过一个中心点，被投影物体的大小和形状会随着距离的增加而发生变化，从而呈现出透视效果。
中心投影常用于绘画、摄影和计算机图形学中，以模拟人眼观察物体的效果。
3. 透视投影：透视投影是指将三维物体的每个点沿着射线投射到一个平面上。
在透视投影中，被投影物体的大小和形状会随着距离的增加而发生变化，从而呈现出透视效果。
透视投影常用于绘画、摄影和计算机图形学中，以模拟人眼观察物体的效果。
除了以上几种常见的投影类型，还有其他特殊类型的投影，如等轴投影、鸟瞰投影、鸟瞰投影等。
这些投影类型在不同的领域和应用中有着特定的用途和意义。
总结起来，投影在数学中有多种类型，包括平行投影、中心投影、透视投影等。
不同类型的投影在几何学、物理学、计算机图形学等领域中具有广泛的应用，对于理解和研究物体的形状、光线的传播以及生成逼真的图像等方面都起着关键作用。
正交投影法的定义与性质
卡尔曼滤波算法推导⏹正交投影的定义与性质⏹算法的推导⏹算法总结假定x 为M ⨯1的随机矢量，z 为N ⨯1的随机矢量，它们都具有二阶矩，如果存在一个与x 同维的矢量，满足下列三个条件：ˆx（a ）线性性，即可用z 线性表示，ˆxˆ=+x Az b （b ）无偏性ˆ()()E E =xx （c ）正交性ˆ[()]TE -=x x z 0则称为x 在z 上的正交投影，记为ˆx ˆˆ(|)E =xx z 1. 正交投影的定义与性质正交投影的定义：很显然，x 的线性最小均方估计符合以上三个条件，所以，正交投影是存在的。
反过来也可以证明，如果满足正交投影的三条性质，那么它作为x 的估计，其估计的均方误差是最小的。
因此，正交投影也是唯一的。
ˆx xzˆ(|)E x z ˆ(|)Ex x z 正交投影的几何解释:1ˆ(|)()[()]xz z E E E -=+-x z x P P z z {}[()][()]T xz E E E =--P x x z z {}[()][()]T z E E E =--P z z z z （1）其中：（2）ˆˆ(|)(|)E E =Ax z A x z 1212ˆˆˆ[()|](|)(|)E E E +=+x x z x z x z 也即，如果把正交投影看作为一个算子，那这是一个线性算子。
正交投影的性质：（3）设1[]k k k -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦z z z 111ˆˆˆ(|)(|)(|[])ˆ(|)([]){([][])}[]k k k T T E E Ek E E k E k k k ---=+=+x z x z x z x z xz z z z 1ˆ[][]([]|)k k k E k -=-z z z z 1ˆ(|)k E -=-x x x z 其中证明留着习题。
z k-11ˆ[|]k E-x z z [k]x1ˆ[()|]k E k -z z 1ˆ[][]([]|)k k k E k -=-z z z z ˆ(|[])E k x z ˆ[|]k E x z ˆ[|()]E k x z 1ˆ[|]k E -=-x x x z 第三条性质的几何解释。
CAD投影和视切换的快捷键
CAD投影和视切换的快捷键CAD（计算机辅助设计）软件是用于进行图形设计和绘图的工具，广泛应用于各个领域，如建筑、机械设计等。
在使用CAD软件过程中，熟练使用快捷键可以提高工作效率，使设计师能够更加流畅地进行工作。
本文将介绍CAD中投影和视图切换的常用快捷键，帮助读者进一步提升工作效率。
一、投影快捷键1. 正交投影快捷键：Ctrl+O正交投影用于将三维对象转换为二维平面图形，通过Ctrl+O可以快速切换到正交投影模式，方便进行二维设计和绘制。
2. 透视投影快捷键：Ctrl+Shift+P透视投影用于呈现三维对象的视觉效果，通过Ctrl+Shift+P可以快速切换到透视投影模式，使设计师可以更清晰地观察和编辑三维模型。
3. 投影类型切换快捷键：Ctrl+Shift+I在进行投影操作时，可以通过Ctrl+Shift+I快速切换投影类型，如正交视图、透视视图等，方便进行不同投影方式下的设计和编辑。
二、视图切换快捷键1. 前视图快捷键：Ctrl+1前视图用于将模型的正面呈现出来，通过Ctrl+1可以快速切换到前视图模式，方便进行正面视图下的设计和编辑。
2. 顶视图快捷键：Ctrl+2顶视图用于将模型的顶部呈现出来，通过Ctrl+2可以快速切换到顶视图模式，方便进行俯视图下的设计和编辑。
3. 左视图快捷键：Ctrl+3左视图用于将模型的左侧呈现出来，通过Ctrl+3可以快速切换到左视图模式，方便进行侧视图下的设计和编辑。
4. 右视图快捷键：Ctrl+4右视图用于将模型的右侧呈现出来，通过Ctrl+4可以快速切换到右视图模式，方便进行侧视图下的设计和编辑。
5. 后视图快捷键：Ctrl+5后视图用于将模型的背面呈现出来，通过Ctrl+5可以快速切换到后视图模式，方便进行背面视图下的设计和编辑。
6. 底视图快捷键：Ctrl+6底视图用于将模型的底部呈现出来，通过Ctrl+6可以快速切换到底视图模式，方便进行俯视图下的设计和编辑。
正交投影定理
正交投影定理
正交投影定理是指在平面几何中，将一条线段在平面上正交投影后，所得到的投影线段的长度等于原线段在该平面内的投影长度。
具体来说，如果在平面内有一条线段
AB，那么将这条线段在平面上正交投影后，所得到的投影线段 AC 的长度等于线段 AB 在平面内的投影长度。
正交投影定理的证明可以用向量的性质来证明。
根据向量的定义，在平面内的向量可以看作是一个有向线段，并且向量的长度就是线段的长度。
因此，在平面内的向量与平面上的正交投影之间存在着对应关系，即向量的长度等于线段在平面内的投影长度。
正交投影定理在平面几何中有着广泛的应用，可以用来解决许多平面几何问题。
例如，可以用正交投影定理来求解线段的垂直平分线，或者求解平行四边形的对边角度等。
正交补与正交投影
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在物理和工程中的应用
运动学和动力学
在物理中的运动学和动力学中，正交 投影被用于描述物体在空间中的位置、 速度和加速度，以及力的作用方向和 大小。
控制系统
信号处理
在信号处理中，正交投影被用于信号 的滤波、降噪和特征提取等任务，以 提高信号的质量和识别准确率。
在工程中的控制系统领域，正交投影 被用于描述系统的状态变化，以及系 统输入和输出的关系。
Part
05
正交补与正交投影的实例分析
线性代数中的实例分析
线性子空间的正交补
在向量空间中，如果一个子空间A的补集与A正交，则称A的正交补为A的极小正交补。例如，在三维空间中，平 面A由向量(1,0,0)和(0,1,0)张成，则A的正交补是垂直于A的直线，即(0,0,z)。
正交投影
对于任意一个向量x，在子空间A上的正交投影记作P_A(x)，它是一个向量，满足x-P_A(x)属于A的正交补。例如， 在二维平面中，点(2,3)到直线x+y=1上的正交投影是点(1,-1)。
正交补与正交投影
• 正交补的定义与性质 • 正交投影的定义与性质 • 正交补与正交投影的应用 • 正交补与正交投影的关系 • 正交补与正交投影的实例分析
目录
Part
01
正交补的定义与性质
正交补的定义
正交补的定义
对于一个给定的向量空间V，如果一个 子空间U满足U的正交补定义为V中与 U正交的所有向量的集合，则称U为V 的一个正交补。
正交补
将一个向量或一个子空间的正交补转 化为投影，即该向量或子空间在另一 个指定子空间上的投影。
正交补与正交投影的异同点
相同点
正交补和正交投影都是基于向量的正交关系，都涉及到将一个向量或子空间转换到另一个子空间的过 程。
平面向量的单位正交基和正交投影的应用
平面向量的单位正交基和正交投影的应用平面向量在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文将重点讨论平面向量的单位正交基和正交投影，并且探讨它们在解决实际问题中的应用。
一、平面向量的单位正交基在平面向量中，单位正交基是指两个向量，既互相垂直，又彼此长度为1的向量。
在二维空间中，任何非零向量都可以表示成单位正交基的线性组合。
常用的单位正交基有两组：{i, j} 和 {e1, e2}。
1. {i, j} 单位正交基在笛卡尔坐标系中，我们使用{i, j}作为单位正交基。
其中，向量i 指向x轴正方向，向量j指向y轴正方向。
向量i和j彼此垂直，且彼此长度均为1。
若向量A = (a1, a2)，那么A可以表示成A = a1 * i + a2 * j的形式。
其中，a1和a2分别为A在i和j方向上的分量值。
2. {e1, e2} 单位正交基在极坐标系中，我们使用{e1, e2}作为单位正交基。
其中，向量e1指向极径正方向，向量e2指向极角增加的方向。
向量e1和e2彼此垂直，且彼此长度均为1。
若向量A = (r, θ)，那么A可以表示成A = r * e1 + θ * e2的形式。
其中，r和θ分别为A在e1和e2方向上的分量值。
二、平面向量的正交投影正交投影是指将某个向量A在另一个向量B上的投影。
在平面向量中，我们常使用正交投影来解决实际问题。
设向量A和向量B分别为A = (a1, a2)和B = (b1, b2)，向量B非零。
向量A在向量B上的正交投影记为proj_B(A)。
那么，向量A在B上的正交投影可以通过如下公式计算得到：proj_B(A) = ((A·B) / (B·B)) * B其中，·表示向量的点乘运算，/表示除法，*表示数乘。
正交投影的应用：1. 利用正交投影可以计算向量A在向量B上的分量值。
这在解决力学和物理学上的问题时非常有用，例如求解斜面上的力分解等。
2. 正交投影还可以应用于图形学中的投影变换，例如二维图形在平面上的投影、三维图形的透视投影等。
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正交投影
**
(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）
摘 要：为了应用定理证明的方法，首先对格拉姆—施密特方法在理论上给出证明。
其次是
利用初等数学“设而不求”的思想进行高等数学的求解。
由于高等数学引入了矩阵的概念，考虑用矩阵的方法进行求解。
关键词：正交化；单位正交基；投影；矩阵
Orthogonal projection
**
(Cllege of mathematics and computer science,Jishou University,Jishou Hunan 416000)
Abstract: In order to apply the theorem proving approach, frist Gram-Schmidt method
of prooft is given in theory. Secondly,the use of low-math"demand-based rather than"
thinking to the solution of advanced mathematics. Since the introduction of a matrix of higher mathematics, consider the matrix method to solve it
Key word ： orthogonal; unit orthogonal basis; projection; matrix
引言：在解决正交投影这类问题，如果要用定理证明的方法求出线性空间的一个规范正交基。
那么首先要对定理进行证明，在理论上作必要的准备！
例1,在标准欧几里得空间V=R 中有向量1α=（1，-1，
-1， 1） 2∂=（1，-1 ，0，1）
3∂=(1,-1,0,1)线性空间W=L(1∂,2,αα)求向量β=（2，4，1，2）在W 上的正交投影。
解这道题有很多方法，第一种方法就是按定理证明的方法。
该方法涉及到格拉姆——施密特正交化。
因而首先对格拉姆——施密特正交化在理论上给予证明。
先考虑在三维空间V 1中一组线性无关的向量，则令11αβ=再将2α在1β上的投影向量记为R 12取：
1222R -αβ=-=2αk 121β 则2β⊥1β（如下图所示） 有内积得相关知识
可得k 12=
)
((1,1)
1,2βββα由于
3α与21,αα共面，因此3α与21,ββ也共面。
因而3α在21ββ平面
的投影向量维R 3,则： R 2
1)()(333
ββαα+==R 13+
22311323ββk k R +=
其中
()
()
()
()223223211313,,,,,βββαβββα=
=
k k 取
2231133333ββααβk k R --=-=
则
3213,ββββ⊥⊥
再将
321,,βββ分别单位化为,,,321r r r 即得到一组正交单位向量321,,r r r ,它与向量组3
21,,ααα是等价的。
即在三维空间中存在一组单位正交基与
321,,ααα等价，那么对于321,,ααα..
n α，
这组线性无关的向量组是否存在正交向量组
n βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与它是否等价呢？
令11αβ=显然1β与1α等价，再令21222βαβk +=为保证21,ββ正交即（21,ββ）=0
则可得到：
111212,)
,(βββα-
=k 也就是说取
),)
,(112222βββααβ-
=时。
显然有21,αα与21,ββ等价。
再令22311333ββαβk k ++=
由
()()0,,1323==ββββ 可得
()
()
()
()221323111313,,,,,βββαβββα-
=-
=k k
故
2
22231111333),()
,(),(),(ββββαββββααβ--
= 并且321,,βββ与321,,ααα也等价。
继续上述步骤，假定已找到两两正交的非零向量
t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,满足条件。
使得
s ααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与s βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,等价。
（其中S=1,2,3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅t)
t
t t t t t k k ββαβ1,11,111+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=,为使
1+t β与t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,均正交。
即得：
）
，（t 21i )
,()
,(11, =-
=++i i i t t i k βββα )
,(,),(,)(,122211111111t t t t t t t t ααααβββαββββααβ）
（）（）（+++++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅---
=
由此可以得到一个正交向量组
121,+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅t βββ使121,+t ααα 与121,+t βββ 等价因而格拉姆——施密特正交化为： 若存在W 中的一个基m ααα 21,可以得到与该向量等价的单位向量正交
基
m βββ 21,，满足条件：
i
m i i i i n n n ββββααββββααβαβ∑
-=-=-
==1
121122211),()
,()
,(),(
对格拉姆——施密特正交化从理论上证明后，用理论进行求解就不难了！
有观察可知)1,1,1,1(1--=α
0,1,1,1(3-=α )1,0,1,1(2-=α 是线形无关的故将其正交
化可得： )1,1,1,1(211--=
n )1,3,1,1(632-=n )2,0,1,1(663--=n 向量β在W 上的正交
投影是：
)2,1,1,1()(-=βw p
第二种方法：我们要利用正交投影的定义将β进行分解，21βββ+=其中
11w ∈β22w ∈β， 令 3322111αααβx x x ++=① 则(12-=-=ββββ33221
1αααx x x ++）
=（2-
321x x x --，4+321x x x ++，1+31x x -，221x x --）
由于w ⊥2β故i αβ⊥2
（)3,2,1=i 由此可得方程组：
⎪⎩⎪
⎨⎧=---=---=---0
320233134321
321321x x x x x x x x x
解之可得：
364321-==-=x x x 代入①式可得：3211364)(∂-+-==ααββw p 该方法
的主要特点是间接的求1β，因为1β的向量坐标已知故利用1β的坐标可将2β的坐标表示出来。
再利用
)3,2,1(2=⊥i i αβ进行求解，这种设而不求得方法在初等数学中是非常常见的。
其最基
本的思想方法在高等数学中仍然实用。
在第一册教材中，我们已学过矩阵的知识。
那么这道题能不能用矩阵的知识进行求解呢？显然能够应用！
设21βββ+=其中w w ⊥∈21,ββ 因此令，3322111
αααβx x x ++= ①
以
321,,ααα作为列向量得到矩阵),,(321ααα=A 以①中
线性表示的系数作为列矩阵X 这样有：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011101111111A ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=21
42B
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X 则有：1β=AX AX
-=-=ββββ12
由于内积（),2βαi 表示的矩阵形式就是：
2βαT
i .故 )3,2,1(2=⊥i i αβ表示的矩阵形式就是：
)
(),,(03212321232221AX -=⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T T T T T βαααβαααβαβαβα
则有AX A B A T
T
= 即
X ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-321233134101 解之得：()T
--=3,6,4X 于是
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----==21
113640111011111111AX β
事实上用矩阵求解只是单纯的引入了矩阵这个运算工具而已，其最根本的原理与方法二雷
同，只是使计算更具可能性，目的性，比方法二的计算更加简明，在具体的计算操作性上较方法二要强。
对于正交投影这类问题计算一般都较复杂，因此在计算时，要根据基向量的个数选择恰当的
方法，一般情况下选择定义法为宜。
参考文献：
[1] 陈志杰.高等代数与解析几何[M]北京：高等教育出版社；海德堡：施普格林出版社，2001.2 ISBN 978-7-04-009570-8
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.一三版,—北京：高等教育出版社，2003.9
[3] 高等代数. 【M】武汉大学出版社； 2009。