正交投影

正交投影

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(吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘 要：为了应用定理证明的方法，首先对格拉姆—施密特方法在理论上给出证明。其次是

利用初等数学“设而不求”的思想进行高等数学的求解。由于高等数学引入了矩阵的概念，考虑用矩阵的方法进行求解。

关键词：正交化；单位正交基；投影；矩阵

Orthogonal projection

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(Cllege of mathematics and computer science,Jishou University,Jishou Hunan 416000)

Abstract: In order to apply the theorem proving approach, frist Gram-Schmidt method

of prooft is given in theory. Secondly,the use of low-math"demand-based rather than"

thinking to the solution of advanced mathematics. Since the introduction of a matrix of higher mathematics, consider the matrix method to solve it

Key word ： orthogonal; unit orthogonal basis; projection; matrix

引言：在解决正交投影这类问题，如果要用定理证明的方法求出线性空间的一个规范正交基。那么首先要对定理进行证明，在理论上作必要的准备！

例1,在标准欧几里得空间V=R 中有向量1α=（1，-1，

-1， 1） 2∂=（1，-1 ，0，1）

3∂=(1,-1,0,1)线性空间W=L(1∂,2,αα)求向量β=（2，4，1，2）在W 上的正交投影。

解这道题有很多方法，第一种方法就是按定理证明的方法。该方法涉及到格拉姆——施密特正交化。因而首先对格拉姆——施密特正交化在理论上给予证明。

先考虑在三维空间V 1中一组线性无关的向量，则令11αβ=再将2α在1β上的投影向量记为R 12取：

1222R -αβ=-=2αk 121β 则2β⊥1β（如下图所示） 有内积得相关知识

可得k 12=

)

((1,1)

1,2βββα由于

3α与21,αα共面，因此3α与21,ββ也共面。因而3α在21ββ平面

的投影向量维R 3,则： R 2

1)()(333

ββαα+==R 13+

22311323ββk k R +=

其中

()

()

()

()223223211313,,,,,βββαβββα=

=

k k 取

2231133333ββααβk k R --=-=

则

3213,ββββ⊥⊥

再将

321,,βββ分别单位化为,,,321r r r 即得到一组正交单位向量321,,r r r ,它与向量组3

21,,ααα是等价的。

即在三维空间中存在一组单位正交基与

321,,ααα等价，那么对于321,,ααα..

n α，

这组线性无关的向量组是否存在正交向量组

n βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与它是否等价呢？

令11αβ=显然1β与1α等价，再令21222βαβk +=为保证21,ββ正交即（21,ββ）=0

则可得到：

111212,)

,(βββα-

=k 也就是说取

),)

,(112222βββααβ-

=时。

显然有21,αα与21,ββ等价。再令22311333ββαβk k ++=

由

()()0,,1323==ββββ 可得

()

()

()

()221323111313,,,,,βββαβββα-

=-

=k k

故

2

22231111333),()

,(),(),(ββββαββββααβ--

= 并且321,,βββ与321,,ααα也等价。

继续上述步骤，假定已找到两两正交的非零向量

t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,满足条件。使得

s ααα⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,与s βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,等价。

（其中S=1,2,3⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅t)

t

t t t t t k k ββαβ1,11,111+++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=,为使

1+t β与t βββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅21,均正交。

即得：

）

，（t 21i )

,()

,(11, =-

=++i i i t t i k βββα )

,(,),(,)(,122211111111t t t t t t t t ααααβββαββββααβ）

（）（）（+++++-⋅⋅⋅⋅⋅⋅---

=

由此可以得到一个正交向量组

121,+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅t βββ使121,+t ααα 与121,+t βββ 等价因而格拉姆——施密特正交化为： 若存在W 中的一个基m ααα 21,可以得到与该向量等价的单位向量正交

基

m βββ 21,，满足条件：

i

m i i i i n n n ββββααββββααβαβ∑

-=-=-

==1

121122211),()

,()

,(),(

对格拉姆——施密特正交化从理论上证明后，用理论进行求解就不难了！

有观察可知)1,1,1,1(1--=α

0,1,1,1(3-=α )1,0,1,1(2-=α 是线形无关的故将其正交

化可得： )1,1,1,1(211--=

n )1,3,1,1(632-=n )2,0,1,1(663--=n 向量β在W 上的正交

投影是：

)2,1,1,1()(-=βw p

第二种方法：我们要利用正交投影的定义将β进行分解，21βββ+=其中

11w ∈β22w ∈β， 令 3322111αααβx x x ++=① 则(12-=-=ββββ33221

1αααx x x ++）

=（2-

321x x x --，4+321x x x ++，1+31x x -，221x x --）

由于w ⊥2β故i αβ⊥2

（)3,2,1=i 由此可得方程组：

⎪⎩⎪

⎨⎧=---=---=---0

320233134321

321321x x x x x x x x x

解之可得：

364321-==-=x x x 代入①式可得：3211364)(∂-+-==ααββw p 该方法