高数 第四章 总结

F ( x) 0,
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
第四章 中值定理与导数的应用
四、函数单调性的判定法
定理1 设函数 y
内可导.
f ( x) 在[a , b] 上连续,
在 ( a , b)
如果在 ( a , b)内 f ( x ) 0,
x
设曲线 C 的方程 y
第四章 中值定理与导数的应用
八、曲率 曲线 C 在点 M 处的曲率
| | d lim K s 0 | s | ds
d | y | K 2 32 ds (1 y )
曲率半径
1 K
第四章 中值定理与导数的应用
二、罗尔定理 如果函数 y f ( x) 满足 (1)在闭区间[ a, b]上连续; (2)在开区间( a, b)内可导;
y
A
C
y f ( x)
B
o f (b) f (a), 那么在 ( a, b)内至少存在一点 ,
(3) 使得
a

D
b x
f ( ) 0.
第四章 中值定理与导数的应用
三、柯西中值定理 应用 洛必达法则
0 0
0
f ( x) 和 F ( x) 满足 (1)在闭区间[ a, b]上连续;
如果函数
(2)在开区间

0
0 ，-
(a, b)内可导;
0 ， ， 1
(3)对任一 x (a, b), 那么在 ( a, b)内至少 有一点 , 使得
第四章 中值定理与导数的应用
六、函数的极值的条件 定理1 (第一充分条件) 设函数 续, 且在 0 的某去心邻域
f ( x) 在点 x 0 处连
内可导.
x
如果当 x ( x0
, x0 ) 时, x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x) 0 , 极小值. f ( x) 0 ,
如果
时,
f ( x) 0 , 极大值. f ( x) 0 , f ( x)的符号保持不变,
第四章 中值定理与导数的应用
六、函数的极值的条件
定理2 (第二充分条件) 设函数
有二阶导数, 且 当 f ( x 当 f ( x 当 f ( x
f ( x) 在点 x 0 处具
f ( x0 ) 0.
单调增加; 单调减少.
f ( x ) 0
第四章 中值定理与导数的应用
五、曲线凹凸性的判定
定理2
设函数
f ( x) 在区间
则 则
上有二阶导数, 内图形是凹的; 内图形是凸的.
若在 内 f ( x ) 0 , 若在 内 f ( x ) 0 ,
f ( x) 在 f ( x) 在
凹弧与凸弧的分界点——拐点
时, 函数 f ( x) 在 x 0 处取得极小值; ) 0 0
时, 函数 f ( x) 在 x 0 处取得极大值; ) 0 0
0
) 0时,
不能判定
f ( x0 ) 是否为极值.
第四章 中值定理与导数的应用
七、曲线的渐近线 (1)铅直渐近线
若
lim f ( x) ,
x a
则直线
x a 是曲线
y f ( x) 的铅直渐近线.
(2)水平渐近线
若 lim x
f ( x) b,
则直线
y b 是曲线
y f ( x) 的水平渐近线.
第四章 中值定理与导数的应用
七、曲线的渐近线 (3) 斜渐近线
Leabharlann Baidu
f ( x), 直线 L 的方程 y ax b, f ( x) a lim x x b lim [ f ( x) ax]
第四章 中值定理与导数的应用
一、拉格朗日中值定理 如果函数
y
y f ( x) 满足
C
(a , f (a ))
(b, f (b))
B
y f ( x)
(1)在闭区间[ a, b]上连续;
A
(2)在开区间( a, b)内可导;
那么在 ( a, b) 内至少存在一点
C’ o a

b
x
, 使得
f (b) f (a) f ( )(b a).