高数 第四章 总结
高一必修数学第四章知识点
高一必修数学第四章知识点第一节直线与坐标系一、点和坐标在平面直角坐标系中，一个点可以用有序数对 (x, y) 表示，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
二、直线的斜率1. 斜率的定义设两点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，其斜率 k 定义为 k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
2. 与坐标轴平行的直线的斜率与 x 轴平行的直线的斜率为 0；与 y 轴平行的直线没有斜率，记为∞。
三、直线的方程及性质1. 一般形式的直线方程直线的一般形式方程为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数且 A、B 不同时为 0。
2. 点斜式的直线方程已知直线上一点 P(x₁, y₁) 和斜率 k，则直线的点斜式方程为 y - y₁ = k(x - x₁)。
3. 斜截式的直线方程已知直线与 y 轴的交点为 (0, b) 和斜率 k，则直线的斜截式方程为 y = kx + b。
第二节二次函数的图像与性质一、二次函数的定义与图像二次函数的一般形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二、抛物线的开口方向1. a > 0 时，抛物线向上开口；2. a < 0 时，抛物线向下开口。
三、顶点坐标和对称轴1. 顶点坐标抛物线的顶点坐标为 V(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 对称轴抛物线的对称轴为直线 x = -b/2a。
四、二次函数的性质1. 单调性a > 0 时，二次函数单调递增；a < 0 时，二次函数单调递减。
2. 零点二次函数与 x 轴交点的横坐标为零点，可通过解方程 ax² + bx + c = 0 求得。
3. 最值a > 0 时，二次函数的最小值为 f(-b/2a)；a < 0 时，二次函数的最大值为 f(-b/2a)。
第三节平面向量与数量积一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段。
高一数学第四章知识点全部
高一数学第四章知识点全部高一数学第四章主要学习了数列与数列的极限，这是一个非常重要的数学概念。
通过学习数列与极限，我们可以更好地理解数学中的序列与函数，从而为后续高中数学的学习打下坚实的基础。
在数列这一部分，我们主要学习了数列的概念、特征以及不同类型的数列。
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的，例如1，2，3，4，5，...就是一个数列。
我们可以根据数列中的规律来计算数列的前n项和，求出数列的通项公式等。
在数列的特征这一部分，我们学习了数列的有界性、递增性与递减性。
有界性是指数列的数值在一定的范围内，不会无限制地递增或递减；递增性与递减性是指数列中的数值随着项数的增加而逐渐递增或递减。
通过研究数列的特征，我们可以更好地理解数列的性质与规律。
在数列的类型这一部分，我们学习了常见的数列形式，如等差数列与等比数列。
等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列，例如1，3，5，7，9，...就是一个等差数列；等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列，例如1，2，4，8，16，...就是一个等比数列。
这些常见的数列形式在实际生活中有广泛的应用，比如在金融领域中的利息计算等。
除了数列的学习，我们还学习了数列的极限。
数列的极限是指数列中数值随着项数的增加无限接近于一个定值的概念。
通过数列的极限，我们可以研究数列的趋势与发展，从而更好地理解数学中的序列与函数的性质。
数列的极限也有一定的计算方法与技巧，如夹逼定理、等价无穷小等。
通过对高一数学第四章知识点的学习，我们可以更加系统地认识数列与数列的极限，并且能够合理运用这些概念与方法解决实际问题。
数列与数列的极限是数学中深入研究的核心内容，也是后续高中数学学习的基础。
掌握了数列与极限的知识，我们可以更好地理解数学的抽象性质与逻辑思维，提升自己的数学素养与解决问题的能力。
在实际应用方面，数列与数列的极限可以用来描述自然界中的各种变化规律，如人口增长、物种进化等。
数学必修一第四章知识点总结
高中数学人教必修第一册第四章知识点讲解对数函数及其性质1．对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的特征：a x 的系数：1a x 的底数：常数，且是不等于1的正实数a x 的真数：仅是自变量x判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征．比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点．【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1)x 是对数函数，则实数a ＝__________．解析：由a 2－a ＋1＝1，解得a ＝0,1．又a ＋1＞0，且a ＋1≠1，∴a ＝1．答案：1【例1－2】下列函数中是对数函数的为__________．(1)y ＝log(a ＞0，且a ≠1)；(2)y ＝log 2x ＋2；(3)y ＝8log 2(x ＋1)；(4)y ＝log x 6(x ＞0，且x ≠1)；(5)y ＝log 6x ．解析：答案：2．对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象与性质(1)图象与性质a ＞10＜a ＜1图象性质(1)定义域{x |x ＞0}(2)值域{y |y R }(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0)(4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞0(5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数谈重点对对数函数图象与性质的理解对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用．(2)指数函数与对数函数的性质比较解析式y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)性质定义域R (0，＋∞)值域(0，＋∞)R过定点(0,1)(1,0)单调性单调性一致，同为增函数或减函数奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函数也不是偶函数(3)底数a 对对数函数的图象的影响①底数a 与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a ＜1时，对数函数的图象“下降”．②底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．点技巧对数函数图象的记忆口诀两支喇叭花手中拿，(1,0)点处把花扎，若是底数小于1，左上穿点渐右下，若是底数大于1，左下穿点渐右上，绕点旋转底变化，顺时方向底变大，可用直线y ＝1来切，自左到右a 变大．【例2】如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x 的图象．已知a，43，35，110中取值，则相应曲线C 1，C 2，C 3，C4的a 值依次为()A 43，35，110B 43，110，35C ．43，，35，110D ．43110，35解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C 4的底数＜C 3的底数＜C 2的底数＜C 1的底数．故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4，43，35，110．答案：A点技巧根据图象判断对数函数的底数大小的方法(1)方法一：利用底数对对数函数图象影响的规律：在x 轴上方“底大图右”，在x 轴下方“底大图左”；(2)方法二：作直线y ＝1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小．3．反函数(1)对数函数的反函数指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．(2)互为反函数的两个函数之间的关系①原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；②互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．(3)求已知函数的反函数，一般步骤如下：①由y ＝f (x )解出x ，即用y 表示出x ；②把x 替换为y ，y 替换为x ；③根据y ＝f (x )的值域，写出其反函数的定义域．【例3－1】若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝()A ．log 2xB ．12xC ．12log xD ．2x－2解析：因为函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2．故f (x )＝log 2x ．答案：A【例3－2】函数f (x )＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为()A ．(0，＋∞)B ．(1,9]C ．(0,1)D ．[9，＋∞)解析：∵0＜x ≤2，∴1＜3x ≤9，即函数f (x )的值域为(1,9]．故函数f (x )的反函数的定义域为(1,9]．答案：B【例3－3】若函数y ＝f (x )的反函数图象过点(1,5)，则函数y ＝f (x )的图象必过点()A ．(5,1)B ．(1,5)C ．(1,1)D ．(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于直线y ＝x 对称，而点(1,5)关于直线y ＝x 的对称点为(5,1)，所以函数y ＝f (x )的图象必经过点(5,1)．答案：A 4．利用待定系数法求对数函数的解析式及函数值对数函数的解析式y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)中仅含有一个常数a ，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f (m )＝n 或图象过点(m ，n )等等．通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，利用已知条件列方程求出常数a 的值．利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如log a m ＝n ，这时先把对数式log a m ＝n 化为指数式的形式a n ＝m ，把m 化为以n 为指数的指数幂形式m ＝k n (k ＞0，且k ≠1)，则解得a ＝k ＞0．还可以直接写出1na m =，再利用指数幂的运算性质化简1nm ．例如：解方程log a 4＝－2，则a －2＝4，由于2142-⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12a =±．又a ＞0，所以12a =．当然，也可以直接写出124a -=，再利用指数幂的运算性质，得11212214(2)22a ---====．【例4－1】已知f (e x )＝x ，则f (5)＝()A ．e 5B ．5eC ．ln 5D ．log 5e解析：(方法一)令t ＝e x，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ，即f (x )＝ln x ．所以f (5)＝ln 5．(方法二)令e x ＝5，则x ＝ln 5，所以f (5)＝ln 5．答案：C【例4－2】已知对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，试求f (3)的值．分析：设出函数f (x )的解析式，利用待定系数法即可求出．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，∵对数函数f (x )的图象经过点1,29⎛⎫⎪⎝⎭，∴11log 299a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴a 2＝19．∴a ＝11222111933⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．∴f (x )＝13log x ．∴f (3)＝111331log 3log 3-⎛⎫= ⎪⎝⎭＝－1．【例4－3】已知对数函数f (x )的反函数的图象过点(2,9)，且f (b )＝12，试求b 的值．解：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，则它的反函数为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)，由条件知a 2＝9＝32，从而a ＝3．于是f (x )＝log 3x ，则f (b )＝log 3b ＝12，解得b＝123=5．对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，＋∞)．(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0．(3)求函数的定义域应满足以下原则：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于或等于零；③指数为零的幂的底数不等于零；④对数的底数大于零且不等于1；⑤对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集．【例5】求下列函数的定义域．(1)y ＝5(2x －1)(5x －4)；(3)y =．分析：利用对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的定义求解．解：(1)要使函数有意义，则1－x ＞0，解得x ＜1，所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x ＜1}．(2)要使函数有意义，则54>0,21>0,211,x x x -⎧⎪-⎨⎪-≠⎩解得x ＞45且x ≠1，所以函数y ＝log (2x －1)(5x －4)的定义域是4,15⎛⎫⎪⎝⎭(1，＋∞)．(3)要使函数有意义，则0.5430,log(43)0,x x ->⎧⎨-≥⎩解得34＜x ≤1，所以函数y =的定义域是3<14x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭．6．对数型函数的值域的求解(1)充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法．(2)对于形如y ＝log a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：①分解成y ＝log a u ，u ＝f (x )这两个函数；②求f (x )的定义域；③求u 的取值范围；④利用y ＝log a u 的单调性求解．(3)对于函数y ＝f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)，可利用换元法，设log a x ＝t ，则函数f (t )(t ∈R )的值域就是函数f (log a x )(a ＞0，且a ≠1)的值域．注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响．当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围．【例6－1】求下列函数的值域：(1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝212log (32)x x ＋－．解：(1)∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2．∴函数y ＝log 2(x 2＋4)的值域为[2，＋∞)．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4．∵u ＞0，∴0＜u ≤4．又y ＝12log u 在(0，＋∞)上为减函数，∴12log u ≥－2．∴函数y ＝212log (32)x x ＋－的值域为[－2，＋∞)．【例6－2】已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及相应的x 的值．分析：先确定y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域，然后转化成关于log 3x 的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值．解：∵f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,3]，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6且定义域为[1,3]．令t ＝log 3x (x ∈[1,3])．∵t ＝log 3x 在区间[1,3]上是增函数，∴0≤t ≤1．从而要求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)在区间[1,3]上的最大值，只需求y ＝t 2＋6t ＋6在区间[0,1]上的最大值即可．∵y ＝t 2＋6t ＋6在[－3，＋∞)上是增函数，∴当t ＝1，即x ＝3时，y max ＝1＋6＋6＝13．综上可知，当x ＝3时，y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为13．7．对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)过定点(1,0)，即对任意的a ＞0，且a ≠1都有log a 1＝0．这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键．对于函数y ＝b ＋k log a f (x )(k ，b 均为常数，且k ≠0)，令f (x )＝1，解方程得x ＝m ，则该函数恒过定点(m ，b )．方程f (x )＝0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数．(2)对数函数的图象变换的问题①函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------→向左(b >0)或向右(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)②函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――---------------→向上(b >0)或向下(b <0)平移|b |个单位长度函数y ＝log a x ＋b (a ＞0，且a ≠1)③函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)―----------------―→当x >0时，两函数图象相同当x <0时，将x >0时的图象关于y 轴对称函数y ＝log a |x |(a ＞0，且a ≠1)④函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)――----------------------------------------→保留x 轴上方的图象同时将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换函数y ＝|log a x |(a ＞0，且a ≠1)【例7－1】若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ，c 的值分别为__________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c (a ＞0，且a ≠1)，得2＝log a (3＋b )＋c ．又∵当a ＞0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立，∴c ＝2．∴log a (3＋b )＝0．∴b ＝－2．答案：－2,2【例7－2】作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象．解：(第一步)作函数y ＝log 2x 的图象，如图①；(第二步)将函数y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位长度，得函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②；(第三步)将函数y ＝log 2(x ＋1)在x 轴下方的图象作关于x 轴的对称变换，得函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③；(第四步)将函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，沿y 轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图④．8．利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同．比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小．要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小．(2)底数不同，真数相同．若对数式的底数不同而真数相同时，可以利用顺时针方向底数增大画出函数的图象，再进行比较，也可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)底数不同，真数也不同．对数式的底数不同且指数也不同时，常借助中间量0,1进行比较．(4)对于多个对数式的大小比较，应先根据每个数的结构特征，以及它们与“0”和“1”的大小情况，进行分组，再比较各组内的数值的大小即可．注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1进行分类讨论．【例8－1】比较下列各组中两个值的大小．(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)log aπ，log a3.141．分析：(1)构造函数y＝log3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围．解：(1)因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32．(3)当a＞1时，函数y＝log a x在定义域上是增函数，则有log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，函数y＝log a x在定义域上是减函数，则有log aπ＜log a3.141．综上所得，当a＞1时，log aπ＞log a3.141；当0＜a＜1时，log aπ＜log a3.141．【例8－2】若a2＞b＞a＞1，试比较log a ab，log bba，log b a，log a b的大小．分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断．解：∵b＞a＞1，∴0＜ab＜1．∴log a ab＜0，log a b＞log a a＝1，log b1＜log b a＜log b b，即0＜log b a＜1．由于1＜b a ＜b ，∴0＜log b b a ＜1．由log b a －log b ba＝2log b a b ，∵a 2＞b ＞1，∴2ab＞1．∴2log b a b ＞0，即log b a ＞log b b a．∴log a b ＞log b a ＞log b b a ＞log a ab．9．利用对数函数的单调性解对数不等式(1)根据对数函数的单调性，当a ＞0，且a ≠1时，有①log a f (x )＝log a g (x )⇔f (x )＝g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；②当a ＞1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＞g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)；③当0＜a ＜1时，log a f (x )＞log a g (x )⇔f (x )＜g (x )(f (x )＞0，g (x )＞0)．(2)常见的对数不等式有三种类型：①形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助函数y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．②形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为对数的对数式的形式，再借助函数y ＝log a x 的单调性求解．③形如log a f (x )＞log b g (x )的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集．④形如f (log a x )＞0的不等式，可用换元法(令t ＝log a x )，先解f (t )＞0，得到t 的取值范围．然后再解x 的范围．【例9－1】解下列不等式：(1)1177log log (4)x x >-；(2)log x (2x ＋1)＞log x (3－x )．解：(1)由已知，得>0,4>0,<4,x x x x ⎧⎪-⎨⎪-⎩解得0＜x ＜2．所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ＞1时，有21>3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得1＜x ＜3；当0＜x ＜1时，有21<3,21>0,3>0,x x x x +-⎧⎪+⎨⎪-⎩解得0＜x ＜23．所以原不等式的解集是20<<1<<33x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或．【例9－2】若22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，求a 的取值范围．解：∵22log 3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＜1，∴－1＜2log 3a ＜1，即12log log log 3a a a a a <<．(1)∵当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，∴123a a <<．∴a ＞32，结合a ＞1，可知a ＞32．(2)∵当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数，∴12>>3a a ．∴a ＜23，结合0＜a ＜1，知0＜a ＜23．∴a 的取值范围是230<<>32a a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，或．10．对数型函数单调性的讨论(1)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a 是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域．(2)关于形如y ＝log a f (x )一类函数的单调性，有以下结论：函数y ＝log a f (x )的单调性与函数u ＝f (x )(f (x )＞0)的单调性，当a ＞1时相同，当0＜a ＜1时相反．例如：求函数y ＝log 2(3－2x )的单调区间．分析：首先确定函数的定义域，函数y ＝log 2(3－2x )是由对数函数y ＝log 2u 和一次函数u ＝3－2x 复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u ＝3－2x 的单调性、值域入手，并结合函数y ＝log 2u 的单调性考虑．解：由3－2x ＞0，解得函数y ＝log 2(3－2x )∞设u ＝3－2x ，x ∞∵u ＝3－2x ∞y ＝log 2u 在(0，＋∞)上单调递增，∴函数y ＝log 2(3－2x )∞∴函数y ＝log 2(3－2x )∞【例10－1】求函数y ＝log a (a －a x )解：(1)若a ＞1，则函数y ＝log a t 递增，且函数t ＝a －a x 递减．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＜1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．(2)若0＜a ＜1，则函数y ＝log a t 递减，且函数t ＝a －a x 递增．又∵a －a x ＞0，即a x ＜a ，∴x ＞1．∴函数y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．析规律判断函数y ＝log a f (x )的单调性的方法函数y ＝log a f (x )可看成是y ＝log a u 与u ＝f (x )两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”．【例10－2】已知f (x )＝12log (x 2－ax －a )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，求a 的取值范围．解：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是函数f (x )的递增区间，说明1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是函数u ＝x 2－ax －a 的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0．令u (x )＝x 2－ax －a ，∵f (x )＝12log ()u x 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是增函数，∴u (x )在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上是减函数，且u (x )＞0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上恒成立．∴1,2210,2a u ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即1,10.42a aa ≥-⎧⎪⎨+-≥⎪⎩∴－1≤a ≤12．∴满足条件的a 的取值范围是112a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．11．对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f (－x )与f (x )或－f (x )是否相等；(2)当f (－x )＝f (x )时，此函数是偶函数；当f (－x )＝－f (x )时，此函数是奇函数；(3)当f (－x )＝f (x )且f (－x )＝－f (x )时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f (－x )≠f (x )且f (－x )例如，判断函数f (x )＝log )a x (x ∈R ，a ＞0，且a ≠1)的奇偶性．解：∵f (－x )＋f (x )＝＝log )a x -＋log )a x )＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．【例11】已知函数f (x )＝1log 1axx+-(a ＞0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性；(3)求使f (x )＞0的x 的取值范围．分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可．对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式．解：(1)由11xx+-＞0，得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)．(2)∵f (－x )＝1log 1ax x -+＝1log 1a xx+--＝－f (x )，又由(1)知函数f (x )的定义域关于原点对称，∴函数f (x )是奇函数．(3)当a ＞1时，由1log 1a x x +-＞0＝log a 1，得11xx+-＞1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由1log 1ax x +-＞0＝log a 1，得0＜11xx+-＜1，解得－1＜x ＜0．故当a ＞1时，x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}；当0＜a ＜1时，x 的取值范围是{x |－1＜x ＜0}．12．对数型函数模型的实际应用地震震级的变化规律、溶液pH 的变化规律、航天问题等，可以用对数函数模型来研究．此类题目，通常给出函数解析式模型，但是解析式中含有其他字母参数．其解决步骤是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，抓住关键的词和量，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，求出函数解析式模型中参数的值；(3)求模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的结论．由此看，直接给定参数待定的函数模型时，利用待定系数法的思想，代入已知的数据得到相关的方程而求得待定系数．一般求出函数模型后，还利用模型来研究一些其他问题．代入法、方程思想、对数运算性质，是解答此类问题的方法精髓．【例12】我国用长征二号F 型运载火箭成功发射了“神舟”七号载人飞船，实现了中国历史上第一次的太空漫步，令中国成为世界上第三个有能力把人送上太空并进行太空漫步的国家(其中，翟志刚完全出舱，刘伯明的头部和手部部分出舱)．在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y (单位：km/s)关于燃料重量x (单位：吨)的函数关系式为y ＝k ln(m ＋x )－k )＋4ln 2(k ≠0)，其中m 是箭体、搭载的飞行器、航天员的重量和．当燃料重量为－1)m 吨时，火箭的最大速度是4km/s ．(1)求y ＝f (x )；(2)已知长征二号F 型运载火箭的起飞重量是479.8吨(箭体、搭载的飞行器、航天员、燃料)，火箭的最大速度为8km/s ，求装载的燃料重量(e ＝2.7，精确到0.1)．解：(1)由题意得当x ＝(－1)m 时，y ＝4，则4＝k ln[m ＋－1)m ]－k ln()＋4ln 2，解得k ＝8．所以y ＝8ln(m ＋x )－)＋4ln 2，即y ＝8ln m xm+．(2)由于m ＋x ＝479.8，则m ＝479.8－x ，令479.888ln479.8x=-，解得x ≈302.1．故火箭装载的燃料重量约为302.1吨．。
高数第四章小结
dx
sin 2 x
2
1
sin
2
x cos
2
x
2
dx
2
2 sin
x cos
2
x
sin 2 x 2 sin
2
dx
2x
2 1 cos
1
2
d cos 2 x 2x
1 2
arctan cos 2 x C
17
9、
1 cos x 1 sin x
2 sin
t 1
dt
sin t
sin tdt
cos t
sin t dt
1 2
1 2
1 2 2
ln | csc t cot t | C
) 1 2 2 ln | csc( x
co cot( x
4
) | C
1 2
(sin x cos x )
x csc xdx xd (cot x )
xd (csc
x)
x csc x
csc
xdx x cot x
cot
xdx
x csc x cot x ln csc x cot x ln sin x C
x csc x cot x ln
x
2
x
2
1 C
15
5、
tan x cos x
3
dx
sin x
3
dx
cos
2
1
3 2
考研数学之高等数学讲义第四章(考点知识点+概念定理总结)
第四章 常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲） 内容要点一、基本概念1、 常微分方程和阶2、 解、通解和特解3、 初始条件4、 齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、 0)(()()(≠=y Q y Q x p dx dy )2、齐次方程：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 三、一阶线性方程及其推广1、)()(x Q y x P dxdy =+ 2、)1,0()()(≠=+ααy x Q y x P dx dy四、全微分方程及其推广（数学一）1、 yP x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂=+满足,0),(),( 2、 yRP x RQ y x R y p x Q dy y x Q dx y x P ∂∂=∂∂∂∂≠∂∂=+)()(),(,0),(),(，使但存在§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）（甲）内容要点二、线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 0)()(=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 )()()(x f y x q y x p y =+'+'' （2）1、 若)(),(21x y x y 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合)()(2211x y C x y C +（21,C C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当)()()(21为常数λλx y x y ≠，也即)()(21x y x y 与线性无关时，则方程的通解为)()(2211x y C x y C y +=。
2、 若()y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而)()(2211x y C x y C +为对应的二阶齐次线性方程的通解（21,C C 为独立的任意常数）则1122()()()y y x C y x C y x =++是此二阶非齐次线性方程的通解。
高等数学第四章
例6：求
1 dx . 2 2 x ( x 1)
( 1 x2 ) x2 1 1 解：原式 dx ( ) dx 2 2 2 2 x ( x 1) x x 1
1 arctan x C . x
例7：求
x dx . 2 1 x
4
例7
x4 1 1 解：原式 dx 2 1 x x4 1 1 dx dx 2 2 1 x 1 x
x
例1、例2
解：原式 3 cos x dx 2 e x dx x dx dx
1 2 3 sin x 2 e x x C . 2
x
例2：求
x
x
x dx .
解：对被积函数作恒等变形，化为幂函数的形式，以便于使 用幂函数的积分公式。 原式
7 x8
例11、例12
1 1 sin 2 x cos 2 x 解：原式 dx dx 2 dx 2 2 2 cos x sin x sin x cos x
tan x cot x C .
例12：求
cot x dx . sin 2x
1 1 cos x 解：原式 dx dx 2 2 sin x cos x sin x 2 sin x
⒁ tan x dx ln | cos x | C ⒂ cot x dx ln | sin x | C ⒃ sec x dx ln | sec x tan x | C ⒄ csc x dx ln | csc x cot x | C ⒅
x arcsin C ( a 0 ) 2 2 a a x
2
解：原式
高二上数学第四章知识点
高二上数学第四章知识点本章主要介绍了高二上学期数学中的第四章知识点。
该章包括了以下几个主要内容，分别是：一、不等式与不等关系二、一次不等式与一次不等式组三、绝对值不等式与绝对值不等式组四、二次不等式与二次不等式组一、不等式与不等关系不等式是指两个不相等的数之间的关系，它可以用大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）和小于等于号（≤）表示。
在解不等式的过程中，我们需要注意保持等式的方向性，并找到解集的范围。
二、一次不等式与一次不等式组一次不等式是指不等式中的未知数的最高次数为1的不等式。
解一次不等式时，我们可以通过移项、分式法等方法将未知数的系数整理为正数。
一次不等式组则是由多个一次不等式联立而成的不等式组，我们需要找到满足所有不等式的解集。
三、绝对值不等式与绝对值不等式组绝对值不等式是指不等式中涉及到绝对值的不等式。
在解绝对值不等式时，我们需要通过考虑绝对值的正负情况，将不等式分成多个情况并分别求解。
绝对值不等式组则是由多个绝对值不等式联立而成的不等式组，我们需要综合考虑每个绝对值不等式的解集。
四、二次不等式与二次不等式组二次不等式是指不等式中涉及到二次函数的不等式。
解二次不等式时，我们需要找到二次函数图像的开口方向，以及交点的位置，进而确定解集的范围。
二次不等式组则是由多个二次不等式联立而成的不等式组，我们需要综合考虑每个二次不等式的解集。
综上所述，高二上数学第四章主要介绍了不等式与不等关系，一次不等式与一次不等式组，绝对值不等式与绝对值不等式组以及二次不等式与二次不等式组等知识点。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解数学不等式的性质和解题方法，为以后的学习打下坚实的基础。
希望同学们通过积极学习，能够熟练掌握这些知识，并能在解题过程中灵活运用，提高数学解题的能力。
高数第四章大一知识点
高数第四章大一知识点高等数学是大学中的一门重要的数学课程，作为大一学生，学习高等数学的第四章是我们必须要掌握的知识点。
本文将围绕高等数学第四章的知识点展开论述，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一章节的内容。
第四章是高等数学中的一个重要环节，主要涵盖了导数和微分的内容。
其中，导数是微分学的基础，因此对于第四章，我们首先要理解导数的概念和性质。
导数用来描述函数在某一点上的变化率，表示为f'(x)、dy/dx 或者y'。
在学习导数的过程中，我们需要掌握导数的定义和计算方法。
导数的定义是极限的应用，通过求极限可以得到函数在某一点上的切线斜率。
计算导数的方法有很多，比如常见的有可微性、导数的四则运算、导数与函数的关系等。
这些方法是我们掌握高等数学的基础。
在学习导数的过程中，还要了解导数的几何意义和物理应用。
导数可以用来求函数的极值点、判定函数的单调性和凸凹性，也可以用来求函数的极限和求解最优化问题。
此外，导数在物理学中也有广泛的应用，如速度的求解、曲线运动的分析等。
所以，熟练掌握导数的概念和性质，不仅能够帮助我们理解函数的变化规律，还可以拓展我们对数学在实际问题中的应用。
接下来，我们来讨论微分学的内容。
微分学是导数的应用，主要研究函数的变化、增减及其相关问题。
在微分学中，我们主要学习了微分的概念和计算方法。
微分是函数变化的近似量，表示为df(x)或者dy。
微分可以用来求函数在某一点附近的近似值，也可以用来描述函数的局部变化规律。
微分的计算方法主要有微分法、微分运算法则和微分的几何应用等。
通过研究微分，我们可以更深入地理解函数的变化规律，为后续的数学学习打下坚实的基础。
除了导数和微分的基本概念和计算方法外，第四章还包含了一些重要的知识点，如高阶导数、隐函数求导和参数方程的导数等。
高阶导数可以用来描述函数的变化趋势更加细致的性质，对于函数的整体性质有更深入的了解。
隐函数求导是求解隐函数导数问题的一种方法，可以应用于各种实际问题的求解。
《高等数学》 第四章
第一节 不定积分的概念及性质
定义 2 函数 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作
f (x)dx ． 其中，“ ”称为积分号， f (x) 称为被积函数， f (x)dx 称为被积表达式， x 称为积分变量．
由定义可知，不定积分与原函数是整体与个体的关系．确切地说，如果 F (x) 是 f (x) 在 I
一可微函数． 具体求积分可按如下方式进行
f (x)(x)dx 凑微分 f (x) d(x) 令u(x) f (u)du F (u) C 回代 F[(x)] C ．
第二节 不定积分的计算
例 1 求 tan xdx ．
解 tan xdx sin x dx d(cos x) 令ucosx du ln | u | C 回代 ln | cos x | C ．
2
x
2
dx
1 4
1 cos 2x 2
1 cos2 4
2x
dx
1 4
dx
1 4
cos
2
x
d(2x)
1 8
cos2
2
x
d(2x)
1 4
x
1 4
sin
2x
1 8
x
1 4
sin
4
x
C
3 x 1 sin 2x 1 sin 4x C ．
84
32
第二节 不定积分的计算
例 3 求下列不定积分．
（3） cos4 xdx ；
2u 2
回代2x3u 1 ln 2x 3 C ． 2
第二节 不定积分的计算
这种积分的基本思想是先凑微分式，再作变量替换 u (x) ，把要计算的积分化为 基本积分公式中所具有的形式，求出原函数后再换回原来的变量．这种积分法通常称 为第一换元积分法或凑微分法．
《高等数学》 各章知识点总结——第4章
第4章 不定积分总结1、原函数如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.2、原函数存在定理如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).3、不定积分在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ⎰dx x f )(.4、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x +=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos , (7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122, (10)C x dx x +=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec , (13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,5、不定积分的性质⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).6、换元积分法（1）第一类换元法⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .（2）第二类换元法设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数.（i ）22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt . (ii)22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt , (iii)22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t .(16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ,(17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot ,(18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ,(19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122,(21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122, (22)C a x dx x a +=-⎰arcsin 122,(23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222, (24)C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222. 7、分部积分法⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,适用分部积分法 ⎰xdx x cos , ⎰dx xe x , dx e x x ⎰2;⎰xdx x ln , ⎰xdx arccos , ⎰xdx x arctan ;xdx e x sin ⎰, ⎰xdx 3sec .2222⋅⋅⋅===⎰⎰⎰du e dx e dx xe u x x , 2222⋅⋅⋅=-==⎰⎰⎰dx e e x de x dx e x x x x x .8、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =: 222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分.简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.。
数学高一第四章知识点总结
数学高一第四章知识点总结高一数学第四章知识点总结在高一数学的第四章中，我们学习了一些重要的数学知识点，包括函数与方程、数列与数学归纳法以及指数与对数。
下面将对这些知识点进行总结。
一、函数与方程1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
通常用f(x)表示函数。
2. 一次函数：一次函数的表达式为y=ax+b，其中a和b为常数。
一次函数的图像为一条直线。
3. 二次函数：二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。
二次函数的图像为一条抛物线。
4. 求解方程：通过等式两边进行等价变形，可以求解各种类型的方程，如一次方程、二次方程、绝对值方程等。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念：数列是一系列按特定规律排列的数的集合。
数列中的每个数称为项，用an表示第n个项。
2. 等差数列：等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
3. 等比数列：等比数列是指数列中的任意两项之比都相等的数列。
其通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
4. 数学归纳法：数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
它分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
三、指数与对数1. 指数的概念：指数是表示一个数乘以自身多少次的运算。
指数的几个重要性质包括指数相加法则、指数相减法则和指数的乘方法则。
2. 对数的概念：对数是指数的逆运算。
对数的几个重要性质包括对数的乘法法则、对数的除法法则和对数的换底法则。
3. 自然对数与常用对数：自然对数以e为底，常用对数以10为底。
自然对数的底数e约为2.71828，常用对数的底数为10。
4. 指数方程与对数方程：指数方程是含有指数的方程，对数方程是含有对数的方程。
求解指数方程和对数方程可通过换底公式、对数化指数等方法。
综上所述，高一数学第四章的知识点总结了函数与方程、数列与数学归纳法以及指数与对数。
高等数学第四章
f (0) 0 ，从而推出当 x 0 时， f (x) 0 ，即
1 1 x 1 x ．
2
例 2 证明方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内有 且只有一个实根．
证明 设 f (x) x3 x2 2x 1，显然 f (x) 在[0,1] 上连续，且 f (0) 1, f (1) 3 ，则有 f (0) f (1) 0 ， 故由连续函数根的存在定理知，在 (0,1) 内至少有
第四章 微分中值定理与导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 函数单调性 第四节 函数的极值与最值 第五节 曲线的凹凸性与拐点 第六节 函数图形的描绘
第一节 微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
一、罗尔中值定理
罗尔定理 设函数 f(x) 满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续, (2) 在开区间(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b),
注意：罗尔定理的条件有三个，如果缺少其中任 何一个条件，定理将不成立.
罗尔定理几何意义：·
如果 A¼ B 是一条连续的曲线弧，除端点外处处有不
垂直于 x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，那么
在曲线弧 A¼ B 上至少存在一点C ，在该点处曲线的切线
平行于 x 轴.
二、拉格朗日中值定理
定理 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
一个 ，使得 f ( ) 0 ．
又 f (x) 3x2 2x 2 0 ， x (0,1) ，
故 f (x) 在[0,1] 上单调增加，因而函数 f (x)
的图形和 x 轴至多只有一个交点，即方程只有一
个实根． 综合可得，方程 x3 x2 2x 1 0 在 (0,1) 内
大一高数数学第4章知识点
大一高数数学第4章知识点大一上学期的高数课程，第4章是一个非常重要的章节，内容涉及到了函数的连续性、导数和微分以及相关的应用。
在这一章中，我们将学习如何判断函数的连续性，如何求函数的导数，并且学习了一些常见的求导法则和求导公式。
接下来，我将结合学过的内容，给大家简单回顾一下这一章的主要知识点。
首先，我们来看一下连续性的概念。
在数学上，一个函数在某个点处连续，意味着这个函数在这个点的函数值与极限值相等。
这一点在我们解题时非常重要，因为只有在函数连续的情况下，才能应用后续的求导公式和方法。
我们常用的判断函数连续性的方法有三个：第一个是利用函数在某个点的极限是否存在来判断，第二个是利用函数在某个点的左极限和右极限是否相等来判断，第三个是利用函数在某个点的左极限和右极限是否都存在来判断。
熟练掌握这些方法，对于后续的学习和解题至关重要。
接下来，我们来看一下导数和微分的概念。
在数学中，导数表示了函数在某个点处的变化率，可以理解为函数曲线在这个点处的斜率。
导数的计算方法有很多，常见的有用基本公式、利用求导法则和应用链式法则等。
其中，基本公式主要包括常数导数、幂函数导数、指数函数导数、对数函数导数等，我们需要牢记它们的推导过程和具体的应用。
而求导法则主要包括和差法、积法、商法等，可以简化一些复杂函数的求导过程。
链式法则则用于求解复合函数的导数，将复合函数分成多个函数相乘的形式来求解，非常实用。
除了导数的计算，我们还需要学习导数的一些应用。
其中，最常见的就是求函数的极值。
在求解极值的过程中，我们需要使用一阶导数和二阶导数的概念，通过求导判断函数的增减性和凹凸性，从而求得函数的极值点。
此外，导数还可以用于求解函数的最优化问题，如求解函数的最大值、最小值等。
在这个过程中，我们需要利用导数的性质，结合具体的问题进行分析和求解。
总结一下，大一高数数学第4章的内容主要包括了函数的连续性、导数和微分以及相关的应用。
理解和掌握这些知识点，对于后续的高数学习和解题都非常重要。
高中数学必修一第四章知识点归纳
高中数学必修一第四章知识点归纳全文共5篇示例，供读者参考高中数学必修一第四章知识点归纳篇1指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为r.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.2、指数函数的图象和性质【函数的应用】1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.3、函数零点的求法：求函数的零点：1(代数法)求方程的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.4、二次函数的零点：二次函数.1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.高中数学必修一第四章知识点归纳篇2(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即.斜率反映直线与轴的倾斜程度.当时,;当时,;当时,不存在.②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与p1、p2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.(3)直线方程①点斜式：直线斜率k,且过点注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.②斜截式：,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b③两点式：直线两点,④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为.⑤一般式：(a,b不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(c为常数) (二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(c为常数) (三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：,直线过定点;(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中.(6)两直线平行与垂直注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.(7)两条直线的交点相交交点坐标即方程组的一组解.方程组无解;方程组有无数解与重合(8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点(9)点到直线距离公式：一点到直线的距离(10)两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.高中数学必修一第四章知识点归纳篇3对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
高二数学新版第四章知识点
高二数学新版第四章知识点本文旨在总结和回顾高二学生需要掌握的数学新版第四章知识点。
通过系统地梳理相关概念、公式和解题思路，帮助学生加深对这一章节的理解，提高解题能力。
一、函数的概念和性质函数是数学中的重要概念，它描述了一种关系，其中每一个自变量都有唯一对应的函数值。
函数的定义域、值域以及特殊函数的图像特征是需要掌握的基本内容。
1. 函数的定义和符号表示函数的定义是一种对应关系：“对于每一个自变量，都有唯一的函数值与之对应”。
函数可表示为f(x)=y，其中f表示函数名称，x表示自变量，y表示函数值。
2. 函数的定义域和值域定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
通过分析函数的定义式和条件，确定函数的定义域和值域是解题的关键。
3. 奇函数和偶函数奇函数具有对称性质：f(-x)=-f(x)，在坐标系上关于原点对称；偶函数具有对称性质：f(-x)=f(x)，在坐标系上关于y轴对称。
二、函数的运算与图像理解函数的运算法则和图像特征，可以帮助我们更好地研究函数的性质和解决实际问题。
1. 函数的四则运算函数间可以进行加减乘除等四则运算，通过对函数定义式的运算，得到新的函数。
需要注意定义域的变化和运算规律，确保对新函数做出正确的分析和判断。
2. 函数的复合复合函数是指将一种函数作为另一种函数的自变量。
了解复合函数的计算方法和性质，有助于简化表达式和理解函数之间的关系。
3. 函数的平移和伸缩平移是指将函数的图像在坐标系上沿平行线平移；伸缩是指将函数的图像在坐标系上按比例进行拉伸或压缩。
掌握平移和伸缩的规律和方法，可以快速获得新函数的图像。
三、二次函数和其应用二次函数是高二数学中的重点内容，它具有一定的特征和应用场景。
熟练掌握二次函数的图像、性质和解题方法，对于应对考试和解决实际问题至关重要。
1. 二次函数的图像和性质二次函数的图像为开口向上或向下的抛物线。
根据二次函数的标准式，可以判断函数的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点。
高数大一第四章知识点归纳
高数大一第四章知识点归纳大学高等数学是大一学生必修的一门重要课程，而第四章是该课程中的重点章节之一。
本文将对高数大一第四章的知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一章节的概念和方法。
一、极限与连续1.1 数列与极限数列是一种有序的数的排列，而极限则是数列中的数值逐渐接近某个常数的过程。
在这一部分，我们需要掌握数列的收敛和发散的概念，以及数列极限的性质和计算方法。
1.2 函数与极限函数是一种特殊的关系，将自变量的值映射到因变量的值。
在函数与极限的部分，我们需要熟悉函数的极限定义和性质，以及常见函数的极限计算方法。
1.3 无穷小与无穷大无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数极限也趋近于零的情况。
而无穷大则是指当自变量趋近于某个数时，函数极限趋近于无穷大的情况。
在这一部分，我们需要了解无穷小与无穷大的定义、性质和计算方法。
1.4 连续与间断连续是指函数在某一点及其附近的值无突变的情况，而间断则是指函数在某一点出现突变的情况。
在这一部分，我们需要掌握连续函数与间断函数的定义、性质和判断方法。
二、导数与微分2.1 导数的概念导数是用来描述函数曲线变化趋势的指标，它表示函数在某一点上的变化率。
在这一部分，我们需要了解导数的定义、性质以及导数的计算方法，包括常规函数的导数计算和基本导数公式。
2.2 导数的几何意义导数具有几何意义，它表示函数曲线在某一点上的切线斜率。
在这一部分，我们需要了解导数与函数图像的关系，以及如何通过导数图像判断函数的单调性和极值。
2.3 微分的概念微分是导数的一个应用，它表示函数在某一点附近的近似线性变化。
在这一部分，我们需要了解微分的定义、性质和计算方法，并学会应用微分求解问题。
2.4 高阶导数与高阶微分高阶导数是指连续求导多次得到的导数，它表示函数变化的更高阶性质。
在这一部分，我们需要熟悉高阶导数的定义和计算方法，以及高阶微分的概念和应用。
三、中值定理与极值问题3.1 罗尔定理罗尔定理是导数中值定理的特殊情况，它描述了导数为零的连续函数在某一区间内至少有一个零点存在。
高数第四章重点
第四章原函数存在定理：连续函数一定有原函数.函数f(x)的原函数图形称为积分曲线的=⎰x dx 2sin ⎰=xdx 2csc C x +-cot ⎰++=C x x x d x )t a n l n (s e c s e c⎰=xdx x tan sec C x +sec ⎰xdx csc C x x +-=)cot ln(csc⎰=xdx x cot csc C x +-cscC x a x a a dx x a +-+=-⎰ln 21122 =⎰dx a x Ca a x+lnC a x a x a dx a x ++-=-⎰ln 21122 C a x x dx a x +±+=±⎰)ln(12222⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==0,10,00,1sgn )(x x x x x f R 内是否存在原函数？不存在 因为x=0处不可微结论：每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数a ³+b ³=（a+b ）（a ²-ab+b ²） a ³-b ³=（a-b ）（a ²+ab+b ²） (a+b)³= a ³+b ³+3a ²b+3ab ² 求积分的方法：1.三角代换的目的是化掉根式.2.当分母的阶较高时, 可采用倒代换3.积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的4.当被积函数含有两种或两种以上的根式l k x x ,, 时，可采用令nt x =（其中 n 为各根 式指数的最小公倍数5.凑微分6.分部积分法（若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积 考虑将正余 函数和指数函数放入积分里做分部积分法）若被积函数是幂函数和反三角函数或幂函数和对数函数则把幂函数放入积分里面分部积分法要注意循环形式 多次使用分部积分法时注意前后几次所选的应为同类型函数.7.有理函数的积分 有理函数的原函数都是初等函数分母中若有因式k a x )(-则分解后为ax A a x A a x A k k k -++-+-- 121)()( 分母中若有因式k q px x )(2++，其中042<-q p ，则分解后8.万能置换公式（一般不用 因为并不万能）9.无理函数的积分 作代换去掉根号.无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数 qpx x N x M q px x N x M q px x N x M k k k k ++++++++++++-21222211)()(。
高等数学第四章
1 dx. 例8 求积分 1 cos 2 x
解
1 1 1 cos 2 x dx 1 2 cos2 x 1 dx 1 1 1 dx tan x C . 2 2 cos x 2
说明： 以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形，才能使用基本积分表.
例 9
例
sin x cos x
sin x 是cos x 的原函数.
1 ln x ( x 0) x 1 ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x
原函数存在定理：
I 如果函数 f ( x ) 在区间 内连续，
那么在区间I 内存在可导函数 F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
证
f ( x )dx g( x )dx f ( x )dx g( x )dx f ( x ) g( x ).
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx;
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
常数项的原函数 称为 f ( x ) 在区间 内的 I
不定积分，记为 f ( x )dx .
积 被 分 积 号 函 数
f ( x )dx F ( x ) C
被 积 表 达 式 积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x dx .
二、 基本积分表
x x 1 实例 x x dx C. 1 1 ( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
高一数学梳理第四章知识点
高一数学梳理第四章知识点第四章知识点梳理高一数学是学习数学的关键时期，而第四章是高一数学的重要章节之一。
本文将对第四章的知识点进行梳理，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
一、集合论集合论是数学的基础概念之一。
在高一数学中，我们学习了集合的定义、表示和常见操作。
集合的定义是指将具有某种共同性质的对象组合在一起形成的总体。
集合的表示方法主要有列举法和描述法。
对于集合的常见操作，包括交集、并集、差集和补集等。
二、函数与映射函数是数学中的基本概念，广泛应用于自然科学和社会科学中。
函数的定义是指两个集合之间的一种特殊的对应关系。
函数具有定义域、值域、对应规律和图象等重要属性。
对于函数的运算，我们学习了函数的加法、减法、乘法和除法等基本运算法则。
在函数的图象上，我们可以观察到函数的增减性、奇偶性和周期性等特征。
三、集合与函数的应用集合与函数具有广泛的应用价值。
在生活中，我们经常通过集合和函数来描述和解决实际问题。
在概率论中，集合和函数被用来描述随机事件的空间和概率分布。
在信息科学中，集合和函数可以用来描述数据的集合和处理过程。
在几何学中，集合和函数被用来描述图形的集合和变换规律等。
四、逻辑与命题逻辑是思维的规律，是我们认识世界和处理问题的基础。
在高一数学中，我们学习了逻辑的基本概念和运算法则。
逻辑的基本概念包括命题、联结词和条件语句等。
命题是陈述性语句，可以判断为真或为假。
联结词是连接命题的词语，包括“与”、“或”、“非”等。
条件语句是一种常见的逻辑表达式，包括充分条件和必要条件。
我们学习了条件语句的判断、联结和推理等基本技巧。
五、数列与数列的应用数列是数学中一种重要的数学对象，常常出现在实际问题中。
数列是一种有序的数的集合，可以用一定的规律或公式进行描述。
我们学习了等差数列和等比数列的性质和运算法则。
等差数列是一个常数被加到前一项得到后一项的数列，等比数列是一个常数被乘到前一项得到后一项的数列。
在实际问题中，我们可以用数列来描述和解决一些有关数学和自然科学的问题。
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一、拉格朗日中值定理 如果函数
y
y f ( x) 满足
C
(a , f (a ))
(b, f (b))
B
y f ( x)
(1)在闭区间[ a, b]上连续;
A
(2)在开区间( a, b)内可导;
那么在 ( a, b) 内至少存在一点
C’ o abxFra bibliotek , 使得
f (b) f (a) f ( )(b a).
x a 是曲线
y f ( x) 的铅直渐近线.
(2)水平渐近线
若 lim x
f ( x) b,
则直线
y b 是曲线
y f ( x) 的水平渐近线.
第四章 中值定理与导数的应用
七、曲线的渐近线 (3) 斜渐近线
f ( x), 直线 L 的方程 y ax b, f ( x) a lim x x b lim [ f ( x) ax]
第四章 中值定理与导数的应用
二、罗尔定理 如果函数 y f ( x) 满足 (1)在闭区间[ a, b]上连续; (2)在开区间( a, b)内可导;
y
A
C
y f ( x)
B
o f (b) f (a), 那么在 ( a, b)内至少存在一点 ,
(3) 使得
a
D
b x
f ( ) 0.
第四章 中值定理与导数的应用
三、柯西中值定理 应用 洛必达法则
0 0
0
f ( x) 和 F ( x) 满足 (1)在闭区间[ a, b]上连续;
如果函数
(2)在开区间
0
0 ，-
(a, b)内可导;
0 ， ， 1
(3)对任一 x (a, b), 那么在 ( a, b)内至少 有一点 , 使得
F ( x) 0,
f (b) f (a) f ( ) . F (b) F (a) F ( )
第四章 中值定理与导数的应用
四、函数单调性的判定法
定理1 设函数 y
内可导.
f ( x) 在[a , b] 上连续,
在 ( a , b)
如果在 ( a , b)内 f ( x ) 0,
x
设曲线 C 的方程 y
第四章 中值定理与导数的应用
八、曲率 曲线 C 在点 M 处的曲率
| | d lim K s 0 | s | ds
d | y | K 2 32 ds (1 y )
曲率半径
1 K
如果
时,
f ( x) 0 , 极大值. f ( x) 0 , f ( x)的符号保持不变,
第四章 中值定理与导数的应用
六、函数的极值的条件
定理2 (第二充分条件) 设函数
有二阶导数, 且 当 f ( x 当 f ( x 当 f ( x
f ( x) 在点 x 0 处具
f ( x0 ) 0.
单调增加; 单调减少.
f ( x ) 0
第四章 中值定理与导数的应用
五、曲线凹凸性的判定
定理2
设函数
f ( x) 在区间
则 则
上有二阶导数, 内图形是凹的; 内图形是凸的.
若在 内 f ( x ) 0 , 若在 内 f ( x ) 0 ,
f ( x) 在 f ( x) 在
凹弧与凸弧的分界点——拐点
第四章 中值定理与导数的应用
六、函数的极值的条件 定理1 (第一充分条件) 设函数 续, 且在 0 的某去心邻域
f ( x) 在点 x 0 处连
内可导.
x
如果当 x ( x0
, x0 ) 时, x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x) 0 , 极小值. f ( x) 0 ,
时, 函数 f ( x) 在 x 0 处取得极小值; ) 0 0
时, 函数 f ( x) 在 x 0 处取得极大值; ) 0 0
0
) 0时,
不能判定
f ( x0 ) 是否为极值.
第四章 中值定理与导数的应用
七、曲线的渐近线 (1)铅直渐近线
若
lim f ( x) ,
x a
则直线