2019年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案

2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析

一、选择题

1.当0→x 时，若x x tan -与k

x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.

2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点

A.⎪⎭

⎫

⎝⎛2,2ππ B.()2,0

C.()2,π

D.⎪⎭

⎫

⎝

⎛-23,23π

π 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ⎰

+∞

-0

B.dx xe x ⎰

+∞

-0

2

C.

dx x x

⎰

+∞

+0

2

1arctan

D.

dx x x ⎰

+∞

+0

21

4.c ,b ,a ,x C C y ce by

y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''

的值为（ ）

A.1,0,1

B.1,0,2

C.2,1,3

D.2,1,4

5.已知积

分区域⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

≤+=2πy x |y ,x D ）

（，dxdy y x I D ⎰⎰+=221，

dxdy y x I D

⎰⎰+=222sin

，(dxdy y x I D

)cos 1223⎰⎰+-=，试比较321,,I I I 的大小

A.123I I I <<

B.321I I I <<

C.312I I I <<

D.132I I I <<

6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是

0)()

()(lim

2

=--→a x x g x f a

x 的什么条件？

A.充分非必要条件

B.充分必要条件

C.必要非充分条件

D.既非充分又非必要条件

7.设A 是四阶矩阵，*

A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，

则*

A 的秩是

A.0

B.1

C.2

D.3

8.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22

=+，且4=A ，则二次型Ax

x T

的规范形为

A.232221y y y ++

B.2

32221y y y -+ C.23

2221y y y -- D.23

2221y y y --- 二、填空题 9.2

lim(2)x x

x x →∞

+=

10.曲线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩在3

2t π=对应点处切线在y 轴上的截距为

11.设函数()f u 可导，2()y z yf x =，则2z z

x y x y

∂∂+=

∂∂

12. 设函数ln cos 6

y x x π

=≤≤（

0）的弧长为

13. 已知函数2

sin ()x

t

t f x x

dt t

=⎰

，则10()f x dx =

⎰

14.已知矩阵1

10

02

11132210

034A -⎛⎫ ⎪

--

⎪

= ⎪

-- ⎪

⎝⎭

，ij A 表示A 中(,)i j 元的代数余子式，则

1112A A -=

三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）

已知函数⎩

⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x

x ，求的极值并求)()(x f x 'f

16.（本题满分10分）

求不定积分.dx x x x x ⎰++-+)

1()1(6

32

2 17.（本题满分10分）

)(x y y =是微分方程2

221'x e x

xy y =

-满足条件e y =)1(的特解.

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（1）求

)(x y

（2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D

≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕轴旋转一周所

得旋转体的体积.

18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足

()(){}43

22

y y x

|y ,x ≤+，求.dxdy y

x y

x D

⎰⎰++22

19.（本题满分10分）

x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞

→lim

20.（本题满分11分）

已知函数)(y ,x u 满足,y

u

x u y u x u 03322222

2=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b ,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()

(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.

21.（本题满分11分）

已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰

===1

1)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：

（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf .

22.（本题满分11分）

已知向量组（Ⅰ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4111α，⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=4012α，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=32123a α， （Ⅱ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=3111a β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a 1202β，⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+=3312

3a β，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，

求a 的取值，并将β用321,,ααα线性表示.

23.（本题满分11分）

已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122

（1）求y x ,，

x