解析大题(不用韦达定理)

解析几何中不用韦达定理试题

1、【2015年海淀二模】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点. （Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：∠MQN 为定值.

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G 的离心率为2

，其短轴的两端点分别为(01),(01)A B -，，. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；

（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .试判断以MN 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. 3、【2015年西城二模】设

分别为椭圆E ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，点A 为椭圆E 的

左顶点，

点B 为椭圆E 的上顶点，且｜AB ｜＝2． ⑴ 若椭圆E 的离心率为

，求椭圆E 的方程；

⑵ 设P 为椭圆E 上一点，且在第一象限内，直线与y 轴相交于点Q ，若以PQ 为

直径的圆经过点F 1，证明：

4、【东城一模理19】（本小题共13分）

已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是1

2

，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B 为短轴的

端点，△12A BA 的面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P 与直线4

x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．

5、【东城区一模19】（（本小题共13分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>过点()0,1

，且离心率为2.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）12,A A 为椭圆C

的左、右顶点，直线:l x =与x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于12,A A 的

动点，直线12,A P A P 分别交直线l 于,E F 两点.证明：DE DF ⋅恒为定值.

二、直线不与圆锥曲线相交问题

1、【2015年海淀二模】已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以

椭圆C 的短轴为直径的圆O 经过这两个焦点，点A ，B 分别是椭圆C 的左、右顶点. （Ⅰ）求圆O 和椭圆C 的方程；

（Ⅱ）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：∠MQN 为定值.

解：（Ⅰ）依题意得22224,

,.a c b a b c ⎧=⎪

=⎨⎪-=⎩

解得：2a =

，b c == ………………3分

所以圆O 的方程为2

2

2x y +=，椭圆C 的方程为22

142

x y +=. ………………5分

（Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠），0(,)Q Qx

y ，则

22

002201,422,Q

x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即22

0022

042,

2.Q x y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ………………7分

又由00:(2)2y AP y x x =

++得002(0,)2

y M x +. 由00:(2)2y BP y x x =--得0

02(0,)2

y N x --.

………………10分

所

以

0000002(,)(,)22

Q Q y x y

QM x y x x x =--=--++uuu r ,

0000002(,)(,)22

Q Q y x y QN x y x x x =---=----uuu r .

所

以

222222

0000022

00

(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r . 所以

QM QN

⊥，即

90MQN ∠=︒. ………………

14分

（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，

:(2)AP y k x =+（0k ≠）.

由22

1,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩

得2222

(21)8840k x k x k +++-=.

所以 20284221k x k --=+，即2

022421

k x k -=+.

所以 02

421

k y k =+，即222244(,)2121k k

P k k -++. 所以 直线BP 的斜率为

2224121242221k k k k

k +=---+. 所以 1

:(2)2BP y x k

=--.

令0x =得:(0,2)M k ，1

(0,)N k

. ………………10分

设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01

(,)Q QN x y k

=--uuu r .

所以 2222

0000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k

+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r .

因为 2

2

00242,21

Q k

x y y k +==

+，

所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r

.

所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分

2、【2015年延庆一模】已知椭圆G

，其短轴的两端点分别为(01),(01)A B -，，. （Ⅰ）求椭圆G 的方程；

（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N .试判断以MN 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由. （Ⅰ）1b =

，

2

c a =，222a c =， ∴ 2

1c =，∴2

22,1a b ==，…………3分

∴ 椭圆方程为2

212

x y += …………5分 （Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，