一维双极量子流体动力学等温模型稳态解的存在性

（ ８）
ｒ ／ ｅ （ ０ ）一 （ １ ）一 １ ， …（ Ｏ）一 ． （ １ ）一 ０， （ ９ ）
空 穴 电流 密度 和 电位势 Ｖ为未 知 ｉ Ｎ数 ， 普 朗克常
数 ＞ ０ 、 德 拜 长 度 ＞ ０ 、 电子动 量松 弛 时１ ９ ＞
， ｚ （ ０ ）一 ７ ｚ （ １ ）一 １ ，” （ Ｏ ）一 … （ １ ）一 ０ ， （ １ ０ ）
△Ｖ 一 一 一 Ｃ（ ｚ），
ｌ Ｊ ＝ － ｎ ｉ Ｖ Ｖ － 耋 ，㈤
其 中， 电子浓 度 ｎ 、 空 穴浓 度 ｎ 、 电子 电流密 度 Ｊ 、
【 Ｊ 一 一 鲁 ，
（ ７ ）
Ｖ 一 ７ ２ 一 ｎ 一 Ｃ（ ｚ），， ２ ７∈ （ ０， １ ），
一
维 双 极 量 子 流体 动 力学 等 温 模 型 稳 态 解 的存 在 性
董 建 伟 ，程少 华
（ 郑 州 航 空 工 业 管 理 学 院 数 理 系 ，郑 州 ４ ５ ０ ０ １ ５ ）
摘 要 ： 研 究 一 维 双极 量子 流体 动 力 学 等 温模 型 的 稳 态 方 程 组 ．利 用 指 数 变 换 法 把 该 方 程 组 转 化
为 一 个 耦 合 的 四阶 椭 圆 方 程 组 ， 然后利 用 Ｌ ｅ ｒ ａ ｙ — Ｓ ｃ ｈ ａ ｕ ｄ ｅ ｒ 不 动 点 定 理 证 明 了转 化 后 的 方 程 组 弱 解
的存在性． 关键词 ： 量 子 流体 动力 学模 型 ； 稳态解 ； 存 在 性 中图 分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ ． ２ 文献标识码 ： Ａ
化 成 了一 个 二 阶椭 圆方 程 组 ， 然 后 证 明 了其 弱 解 的
ｌ ｊ ＋ （ ） 一
ｃ ｃ ｚ ， （ ） 一 Ｔ ｅ （ 丢 ） ． （ １ １ ）
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２ — １ １ — ３ Ｏ ． 基金 项 目： 河 南 省 教 育 厅 科 学 技 术 研 究 重 点 项 目（ １ ２ Ａ１ １ ０ ０ ２ ４ ） ； 河 南 省 高 等 学 校青 年 骨 干 教 师 资 助 计 划 项 目
ｄ
２ ￣ ＋ ｄ ｉ ｖ （ ） ＋ 鲁一 Ｊ ｒ ｄ ｉ Ｖ ＿ ０ ，
一 ㈦ 一
（ ５）
【 ｊ 一 尝 ，
－
维等 温稳 态模 型的混 合边 值 问题 ：
（ 鲁 ）
（
【 ｊ 一 一 喜 ，
（ ６ ）
３ Ｊ
ｄ
２ ＋ ｄ ｉ ｖ （ ） ＋
（ ２ ００ ６１ １ ＯＯ１ ６） ．
＊Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ：ｄ ｏ ｎ ｇ ｊ ｉ ａ ｎ ｗｅ ｉ ｃ ｃ ｍ＠ １ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ． （ 自然科 学版 ）
第 ４ ７ 卷
ｌ — Ｊ 理 ， （ ７）式 两 边 ｌ ＿ Ｊ ｌ 练以 ／ １ ｉ开 夫 十 求 导 ， 冉 布ｌ Ｊ 用
鲁＋ ｄ ｉ Ｖ ，
Ｏ Ｊ
－ －
（ １ ）
典极 限结 果． 文献Ｅ ４ ］研 究 了（ １ ）～ （ ５ ） 解 的代 数
衰减性 ． 关 于不 带量 子项 的经典 双极 流体动 力学模
型方 面 的近来研 究情 况 ， 请 参考 文献 ［ ５ — ６ ］ ．
本 文 在 有 界 区域 （ Ｏ ， １ ）上 研 究 （ １ ）～ （ ５ ）的 一
这里 为 了 方 便 ， 假 定 了 一 １ ， 常数 Ｊ 。 和 分 别 表 示
０和空 穴动量 松 弛时 １ ９ ＞０ 是 物理参 数 ， Ｃ （ ｚ ） 表
示 带 电粒 子 杂质 ， 函数 Ｐ （ ）一 ｎ ， ａ≥ １ ， Ｐ （ ） 一ｎ ， ≥ １分别 表示 电子 压力 ｉ Ｎ 数 和空穴 压力 函 数， 当 ａ一 一１ 时， 模 型（ １ ） ～（ ５ ） 称 为等 温模 型 ，
齐 Ⅱ
（ ８ ）式 ， 得
ｌ ｌ
一
Ｍ ，
（ ２１ ）
ｌ 卜（ ） 一
令 一 ｅ “ ， 一 ｅ ， 则（ １ １ ） 、 （ １ ２ ）、 （ ９ ）、 （ １ ０ ）变 为
一
√ 专 ｅ
电子电流密度和 空穴电流密度 ．与文献 ［ １ ］不 同 ， 要
把（ ６ ） ～ （ ８ ） 转 化 为 四 阶 椭 圆 方 程 组 ．为 此 ， （ ６ ）式 两边 同除 以 并 关 于 ｚ求 导 ， 再 利用 （ ８ ） 式， 得
当 ， ＞ １时 ， 模型（ １ ）～ （ ５ ） 称 为等熵 模 型． 文献 ［ １ ］通 过积 分把 （ １ ）～ （ ５ ）的稳态 模 型转
１ 主 要 结 果
双 极 量 子 流体 动 力 学模 型 是 描 述双 极 半 导体
器件 中 电子和空 穴运 动规 律 的一种宏 观模 型 ， 其形
式 为
存在 性和 唯一 性 ， 并 得到 了动 量松 弛时 间极 限和半 古典 极 限结果 ． 文献Ｅ ２ ］得 到 了（ １ ）～ （ ５ ） 热 平 衡 解 的唯一 存在性 ， 并 得到 了动量 松弛 时 间极 限 和半 古典 极 限结果 ． 文献 Ｅ ３ ］证 明 了 （ １ ）～ （ ５ ）瞬 态 解 的唯 一存 在性 ， 并 得 到 了动量松 弛时 间极 限和半 古
第４ ７ 卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 ８月
华中师范大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｈ ＵＡＺＨＯＮＧ ＮＯＲＭ ＡＬ ＵＮＩ ＶＥＲＳ Ｉ ＴＹ（ Ｎａ ｔ ．Ｓ ｃ ｉ ． ）
Ｖｏ １ ． ４７ Ｎｏ． ４
Ａｕ ｇ ．２ Ｏ１ ３
文 章 编 号 ：ｉ ０ ０ ０ — １ １ ９ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ４ ６ １ 一 Ｏ ４