2020届辽南高三理科数学二模试卷含答案

高三数学理（二模答）—2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试题

数学（理科）参考答案

选择题：1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.C 9.B 10.B 11.A 12.D 填空题：

13.214.

1215.

16.6π

解答题：17.（1）由已知得：sin A 2=2sin 2A 2因为sin A 2≠0，所以sin A 2=12………………………………（3分）因为A 2∈（0，π2），所以A =π3………………………………（5分）（2）由已知得：ìíî12bc sin A =33b +c =7

因为b>c 所以b =4,c =3………………………………（8分）

由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A

得a =

13………………………………（10分）

由正弦定理a sin A =b sin B 得sin B ………………………………（12分）18.（1）茎叶图如下甲

88635234乙1399

3…………………………………………（3分）

散点图如下：

传球成功次数

传球成功次数

甲

乙

4540353025

4540353025场次012345012345场次1

高三数学理（二模答）—…………………………………（5分）（2）-x 甲=28+33+36+38+455=36,-x 乙=39+31+43+39+335=37，s 2甲=(28-36)2+(33-36)2+(36-36)2+(38-36)2+(45-36)25=64+9+0+4+815=1585=31.6s 2乙=(39-37)2+(31-37)2+(43-37)2+(39-37)2+(33-37)25=4+36+36+4+165=965=19.2………………………………………………………（9分）（3）选乙比较好，理由如下：由（2）可知，-x 甲<-x 乙，且s 2甲>s 2乙,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲，且比较稳定，所以选择乙比较好…………………………………（12分）选甲比较好，理由如下：由（1）和（2）可知，虽然-x 甲<-x 乙,但数值相差不大，且由近期5场比

赛的数据分析，甲的传球成功次数一直在稳定增加，而乙则有所波动，说明甲球员的状态和潜力要好一些，所以选择甲比较好.

…………………………………（12分）（上述两种答案答出一种即可以给分）19.（1）证明：由题意可知，BC ⊥CD ，AE ⊥BC ，AE ∩CD=E ，AE ⊂平面ADC ，DC ⊂平面ADC ，所以BC ⊥平面ADC ，又AD ⊂平面ADC ，所以BC ⊥AD ，

因为AD ⊥AB ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，

AB ∩BC=B

所以AD ⊥平面ABC ，

又AC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥AC .……………………………………（4分）

（2）过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ，以点A 为原点，分别以AB 、AD 、AZ 所在直线为x 轴、y 轴、z

轴，建立空间直角坐标系，设AD =1，

则A （0，0，0），D （0，1，0），B （2，0，0），设点E 的坐标为（a ，b ，c ），则C 的坐标为（2a ，2b -1，2c ）， AE =（a ，b ，c ）， BE =(a -2，b ，c ) AE · BE =a (a -2)+b 2+c 2=-12……①又| DE |2=a 2+(b -1)2+c 2=1……②，| BC |2=(2a -2)2+(2b -1)2+(2c )2=1……③解由①②③构成的方程组可得ìíî

ïïïïïïïïa =34b =12c =，即点E 的坐标（34

，12…………（8分）进而 DE =(34，-

12), BD =(-2，1，0)设平面BDC 的一个法向量为 n =（x ，y ，z ），可得ìíî n · DE =0 n · BD =0

所以ìíîïï34x -1

2y +=0-2x +y =0，令x =1，解得y

=2，z =，即 n =（

1，2，………（10分）A B C D E x y

z 2

易知，平面ABD的一个法向量

m=（0，0，1），

cos< n, m>= n· m|

n||

m|

=3

1×1

=14，

由图可知，二面角C-BD-A的大小为锐角，

二面角C-BD-A的余弦值为14.………………………………（12分）20.（1）定义域（0，+∞）

当a=3时，f(x)=e x-ln x-3

f′(x)=e x-1x………………………………（1分）

f″(x)=e x+1x2>0,(f″(x)为f′(x)的导函数)

∴f′(x)单调递增

∵f′(12)=e12-2<0，f′(1)=e-1>0，

∴∃x0∈(12,1)使f′(x0)=e x0-1x

0=0，e x0=1x0，

∴x∈(0,x0)时,f′(x)<0,f(x)递减，x∈(x0，+∞)时,f′(x)>0,f(x)递增

所以f(x)min=f(x0)=e x0-ln x0-3=1x0+x0-3

又f(x0)在(12,1)递减，f(x0)0

∴在(0,x0)上有且只有一个零点

又f(e)=e e-ln e-3=e e-4>22-4=0

所以在(x0,+∞)上有且只有一个零点

综上，函数f(x)有且仅有两个零点………………………………（6分）（2）由x1,x2是函数f（x）的两个零点

知e x1=ln x1+a,e x2=ln x2+a

∴e x1+e x2=ln x1+ln x2+2a=ln x1x2+2a

要证e x1x2>e x1+e x2+2-2a

需证e x1x2>ln x1x2+2a+2-2a

令x1x2=t∈(0,+∞)

需证e t-ln t-a>2-a

（也可去证e t-ln t-2>0证法也与（1）同理）………………………………（9分）

令f(t)=e t-ln t-a

与（1）同理得f(t)min=e t0-ln t0-3=1t0+t0-a>2-a,t0∈(12,1)

∴e t-ln t-a>2-a

∴e x1x2>e x1+x2+2-2a………………………………（12分）

3

高三数学理（二模答）—