千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第34炼 向量的模长问题几何法
备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题25 平面向量的模长问题
专题25 平面向量的模长问题【热点聚焦与扩展】平面向量中涉及模长的问题，常用解法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，因此，解答这类问题时可以利用数形结合的思想，利用代数和几何特征，会加快解题速度. 本专题拟通过典型例题，介绍代数法和几何法两种思路，以期对大家有所启发. （一）代数法利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=r r r r 可得：22a a =r r ，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系.要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若(),a x y =r ，则a =r 某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 （二）几何法1、向量和差的几何意义：已知向量,a b r r，则有：（1）若,a b r r 共起点，则利用平行四边形法则求a b +r r ，可得a b +r r 是以,a b r r为邻边的平行四边形的对角线 （2）若,a b r r首尾相接，则利用三角形法则求出a b +r r ，可得a b +r r ，,a b r r 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λr（1）共线（平行）特点：a λr 与a r 为共线向量，其中0λ>时，a λr 与a r 同向；0λ<时，a λr 与a r反向（2）模长关系：a a λλ=⋅r r3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC V 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60o的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形. （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长【经典例题】例1.【浙江省部分市学校（新昌一中、台州中学等）2019届高三上学期9+1联考】如图，点C 在以AB 为直径的圆上，其中2AB =，过A 向点C 处的切线作垂线，垂足为P ，则AC PB ⋅u u u v u u u v的最大值是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 1- 【答案】B【解析】连结BC ，则=90ACB ∠︒ ∵AP PC ⊥∴()21AC PB PC⋅=≤u u u r u u u r u u u r∴AC PB ⋅u u u r u u u r的最大值为1故选B点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.例2.已知向量,a b r r 的夹角为45o，且1,210a a b =-=r r r ，则b =r （ ）A. 2B. 2C. 22D. 32 【答案】D【解析】思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,104AB B AC π===，只需利用余弦定理求出BC 即可.解1：如图可得：b BC =r ，在ABC V 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-例3. 已知向量,a b r r ，且1,2a b ==r r ，则2b a -r r的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6【答案】[]3,5解2：222244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=-r r r r r r r r r r r r因为[]cos ,1,1a b ∈-r r []229,25b a ∴-∈r r 即[]23,5b a -∈r r例4.【2019届浙江省杭州市高三第二次检测】记的最大值和最小值分別为和.若平面向量满足则（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由已知可得：，建立平面直角坐标系，，，可得：点睛：本题主要考查的知识点是向量的数量积及模的关系.通过建立平面直角坐标系将其转化为点与圆的位置关系，就可以求出距离的最值，解答本题的关键是转化，理解并掌握本题的解题方法.有一定的难度. 例5.【2019届北京市城六区高三一模】已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M （1+cosα，1+sinα）， N （﹣1+cosβ，﹣1+sinβ）， 则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos （α﹣β）+2， ∴0≤≤2，故B 错误；故选B ．例6.【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4，25【解析】【名师点睛】本题通过设入向量,a b r r的夹角θ，结合模长公式， 解得54cos 54cos a b a b θθ++-=++-r r r r，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．例7.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】23 【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos 60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=or r r r r r 所以|2|1223a b +==r r.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2a b +r r的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，则为23.例8.【2019届山西省孝义市高三下学期一模】已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________． 【答案】【解析】分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.详解：如图所示，∴ ∵，∴∴所以向量与的夹角是120°. 故填120°.例9.【2019届湖北省高三4月调研】已知向量a 与b 的夹角为30°，2a b -=，则a b +的最大值为_________． 【答案】423+【解析】分析：由题意2a b -=vv ，利用基本不等式和向量的运算，求的23a b ⋅≤-v v ，进而可求得a b +vv 的最大值.所以()2222024444cos30423a ba b a b a b a b a b b +=+=++⋅=+⋅=+⋅=+⋅v v v v v v v v v v v v v v44232816323≤+⨯=+-，当且仅当a b =vv 时，等号成立，所以28163423a b +≤+=+vv .点睛：平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．例10.已知平面向量,,a b c r r r 满足1,2a b ==r r ，且1a b ⋅=-r r ，若向量,a c b c --r r r r 的夹角为60o，则c r 的最大值是_________. 【答案】22132212sin 3BDd R BAD ===，即max 2213c =r答案：2213CDBA【精选精练】1．已知正方形ABCD 的边长为1， 则等于（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据平面向量的基本定理，得到，即可求解其模．详解：因为正方形的边长为，，则，因为，所以，故选C．点睛：本题考查了两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模模的方法，运用向量和三角形法则求出向量的和是解题的关键．2.【2019届山东省栖霞市第一中学高三4月模拟】已知向量，，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D3.【浙江省嘉兴第一中学2019届高三9月基础知识测试】若，且，，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】故选：D. 4．对于任意向量，下列说法正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意，根据向量加法的三角形法则，且三角形两边之差小于第三边，则，同理，所以，故正确答案为A.5．已知向量a ， b 满足： 324,a b a b ==+=r r r r ，，，则a b =r r ﹣ 35310 【答案】D【解析】分析：利用向量的数量积运算及向量的模运算即可求出．详解：∵|a r |=3，|b r |=2，|a r +b r|=4，∴|a r +b r |2=|a r |2+|b r |2+2a b ⋅rr =16， ∴2a b ⋅rr =3，∴|a r ﹣b r |2=|a r |2+|b r |2﹣2a b ⋅r r =9+4﹣3=10，∴|a r ﹣b r|=10，故选：D ．6．【2019届四川省绵阳市三诊】ABC ∆中， 5AB =， 10AC =， 25AB AC ⋅=u u u v u u u v，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且3255AP AB AC λ=-u u u v u u u v u u u v R λ∈（），则AP u u u v 的最大值是（ ） A.332B. 37C. 39D. 41 【答案】B因为10λ-≤≤，所以2AP u u u v 的最大值为37，故max37AP=u u u v，选B.点睛：本题中向量,AB AC u u u v u u u v 的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算2216129AP λλ=-+u u u v ，其中λ的取值范围可以由P 的位置来确定.7．【2019届辽宁省部分重点中学协作体高考模拟】已知是边长为1的正三角形，若点满足，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】分析：以为原点，以为轴，建立坐标系，可得，，利用配方法可得的最小值.，故选C.点睛：本题主要考查向量的模与平面向量的坐标运算，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则；（２）三角形法则；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与求范围问题往往运用坐标运算来解答）. 8．【2019届湖南省永州市三模】在中，，，，是上一点，且，则等于（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】在中，，，是是上一点，且，如图所示，设，所以，所以，解得，所以，故选C ．8.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知m v ， n v 是两个非零向量，且1m =v ， 23m n +=v v，则m n n ++v v v的最大值为（ ）A. 5B. 10C. 4D. 5 【答案】B 【解析】9．【2019届四川省蓉城名校高三4月联考】已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ，则CM u u u u v的最小值为（ ） A. 22 B. 23 C. 4 D. 25 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，20002510641,88,64x x x =++--≤≤Q ()()2min 2581086412 2.64CM -∴==+⨯-+-=u u u u r ，选A. 10．设向量a v ， b v ， c v满足1a b ==v v ， 1·2a b =-v v ， ,60a c b c --=︒v v v v 则c v 的最大值等于（ ）A. 2B. 3C. 2D. 1 【答案】A【解析】∵1a b ==vv，且1·2a b =-vv ，∴a b vv ，的夹角为120°， 设,,OA a OB b OC c ===u u u v u u u v u u u v v v v则,CA a c CB b c =-=-u u u v u u u v v v v v如图所示，则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆，∵AB b a =-u u u v v v ， 2222|||2?|3AB a b a a b b =-=-+=u u u v v v v v v v ∴ 3.AB =u u u v由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=2sin ABACB=∠.当OC 为直径时， c v最大，最大为2．故选：A ．点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=v vv v ，二是1212a b x x y y ⋅=+v v ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=v v v v （此时·a b v v 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， av在b v 上的投影是a b b ⋅v v v ；（3）,a b v v 向量垂直则0a b ⋅=v v ;(4)求向量ma nb +vv 的模（平方后需求a b ⋅v v ）.11.，与的夹角为，则的最小值是______,的最小值是_______．【答案】,,即的最小值是.12.【2019届天津市十二校二模】已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，，即的最小值为，故答案为.。
备战2019高考数学黄金100题解读与扩展系列之平面向量：专题二平面向量的模的问题(含解析)
I .题源探究•黄金母题【例1】已知心卜巧，|6|=2,五与6的夹角为30。
，求|3+b|^ |a-b| 【眸析】v|fi+S|a.\|3-6|=1.II.考场精彩•真题回放【例2】【2019年四川高考卷】在平面内，定点A B, C, D 满足|DC |,DA DB = DB DC =DC DA=- 2,动点P, M 满足阿卜1, 的最大值是（）434937+ 6石 37-2>/33A.彳B. 71C. 彳D.彳【答案】B 【解析】由己知易得ZADC = ZADB = ZBDC = 120°，网T 55卜风卜？.以°为原点,直线为x 轴建立平而直角坐标系，则A （2,0）,B （-l,-^）,C （-l,V3） P （x,y ）,由已知仗-2『+ 丁=1 PM = MC=|a|2H-2^-Scos30°*|J|2■13, /.|5+J|=-^3 .=|5|-2^.ScosW+|^|2它表示圆(x-2)2 + y 2=l 卜占(x y)耳占(-1,-3^)£ 距离平方的7,・・・点P 的坐标为2°),则卩人+ +卩°的域人值为()A. 6B. 7C. 8D. 9 【答案】B【解析】由题意，得AC 为圆的直径，故可设A(m,n)，C(-m,-ii),B(x,y),则 PA= (m- 2』) PR = (x-2,y) PC = (-m-2,-n)所以PA+PB+PC = (x-6,y)于是 |PA+ PB+PC| = {(xrr + y 2 ,其最大值为圆疋+于=1上的动点到定———点(6°)距离的最犬值，从而根据图形特征知当I" °时，PA+PB + PC 的最犬值为7, 故选B.【例41(2019年浙江高考文科)己知©是平面单位向量，且勺'3.若平面向量比满 足「叮 g",则b =2的【答案】3BM 2 =(x-l)3 + (y+3>/3)故选【例31(2019年C 在圆X +【解折】不妨勺=亿0"则由G 召二亍可得 又设八（“）,贝莎a51，且 “寺諾日，联立解得X 半’则 da.半）•所以仰三尼二攀. 直 P cosa =【例5】（2019年江西高考文科）已知单位向量，知勺的夹角为°,且 项向量3=3^-2e 2 贝yla |= _________【答案】3【解析】由题意,得1讦=(塢-2@$ =9頁--12頁$ + 4b = 9-12xcosQ + 4 =Z X P,所以陆3【例5] [2019湖南高考卷】）己知氣6是单位向量，a b = 0.若向量'满足Ic- 则21的取值范闱是（）A [72-1,72 4-1]B [x/2-l,V2 + 2]-b|=lc [1,72+1] D . I】'运+ 2]【答案】A【解析】因为a，b 是单位向量，a b = 0,所以I a+b 1= Jl a F + |6 F +2a li = >/2设向最a + B 与c的夹角为0,于是由|c —a —B|=l,两边平方，得 | c|2 +1 a |2 + |b|2 -2(a + b)-c + 2a b = l 叩 | C |~ +1 + 1 ~ 2'yJ^ | C | COS & = 1 p 卩>0|c|2 -2>/2 |c|+l <1^ 解得V2-l^c|<72+l t 故选人 精彩解读【试题來源】人教版A 版必修四第119页复习参考题A 组第13题.【母题评析】本题中3山是利用两个己知向量的模及它们夹角，求由它们线性关系构造出的两 个新向最的模，求解时通常直接利用模的公式\^\=^=^可直接解决.高考命题常 常以此题为母题加以改编，结合平面图形计算两个向最的模.【思路方法】求由两个己知的模及夹角的两个向量通过线性运算构造出的两个新向量的模， 通常利用模的公式I a|= 倆7=丁爲 结合乘法法则展开，然后利用两个己知向量模与夹角 进行求解.【命题意图】本类题主要考査平面向最的模的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或 较小.也有时可能与三角函数、解三角形等知识交汇，渗透于解答题中. 【难点中心】（1）利用模公式|a|=JTF=>/n 转化后，如何求新的向量式的值，是一个难点：（2）在平面几何图中进 fj 向量数量积的计算通常要选择两个向量为基底，相对较困难，选择基底时通常选择的两个 向量的模及夹角是已知的.川•理论基础•解题原理 考点一向量模的定义 向量晶的人小，也就是向量AE ；的长度（或称模），记作|AB|长度为°的向量叫做零向 量，长度等于1的向量叫做单位向量.cos 6 =I 讦+1 2^2 | c||讦+12>/2 |c|<1考点二向呈模的计算公式（2）坐标形式：若a =（x ，y ），则I a 1= Jx' + y 2.考点三向屋模的性质（2）|a-b|£a| + |b|,当且仅当a,b 异向共线时，等号成立.【考试方向】这类试题在考査题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏卜，有时也会 与三角函数、解三角形等知识交汇. 【技能方法】（1） 求已知向量的模，通常直接利用公式进行计算即可：（2）根据向最的模的大小求解相关的参数及其它问题，解答时通常是利用平面向量模的公式 建立方程（组）来解决，主要步骤分为三步：①简化向量的表达式：②利用向量的模的公式 建立方程（组）：③解方程（组）求得参数： 【易错指导】（1） 不能正确将非坐标形式的向量利用公式进行转化：（2） 错误利用向量模的性质，特别是性质不等式中，在什么情况等号成立易出现错误. V.举一反三•触类旁通 考向1求向量的模【例1X2019黑龙江哈尔滨六中高三下期中］igxG R ,a = （x,l ） #b = a,-2）且a 丄6,=（ ）B.応C. 2“D. 10Bv alb. A a b=x-2 = 0, x=2,则 a + 6=（3,-l ）,所以俪，故选B.i 1【例2】［2019山东寿光现代中学高三下开学检测】平面向量°与b 的夹角为（1）ih|a + 6 凶訂+当II 仅当仏b 同向共线时，等号成立;a +b【答案】 【解析】 A. 2\H B . ° C ・ &D. 【答案】D【解析】堀意，得|刁=何而=2,所叫:一聊=[+ 4匸—曲=|显44向y 亍崗心彳= 22 + 4xL a -4x2xlxl = 4,所叫:胡=2,故选D.【归纳总结】求两个向最的模主要有两种题型：(1)求给出坐标的向最a =(耳y)的模，利用 公式|a|=X+ y2求解：(2)求非坐标形式的向量的模，利用公式l a l=7^F=^"求解.【答案】2考向2根据平面向最的模求解参数问题【例2] [2019宁夏六盘山高中高三下第二次月考】已知向= (^,1),6= (2+2,1) 若 3 + 6= 3_6,则实数久的值为()A. 1B. 2C. -1D. -2【答案】C【解析】阳)04■耳一耳丄匚 ^ = a.l)-U+2.1> = 0=>^(l+2)+l=0,得乂 术值为一 1,枚选c.【名师点睛】根据向量的模的大小，或几何向最的模司关系等求相关参数的值或取值范I 韦I, 解答此类问题通常要建立方程(组)来解决.■■e【跟踪训练】已知平面向量* = (0,-1), b=(2,l)> |^a+b|=2f 则兄的值为() A. 1 + V? B. V^-l c . 2 D ・ 1【答案】D[解析]因为加*+6=(2,1-/0,所以|^a + b|2=22 + (l-A)2 = 4 又A>0,解得2 = 1, 故选D. 考向3求向量的模的般值或取值范閑【例3] [2019浙江嘉兴-中高三期中】己知平面向/满足k 卜的“与弓+ 4 = 12 a =22 ,解得【跟踪训练】己知平面向量a a + 2b 卜2y/3的两边同时平方可得,a +与6的夹角为亍，且【 解 ma + (l -n) " f« (+1 臥「0一押 J (1-m)~ |/?-a" + 2(l-m)x 7J x ]='a( 1+ 可 &(2 4 )ni L a )/2<7(1-m)' \p-ct n& + （l-m ）【跟踪训练】在平面若点p （M ）,则脚 + BP +OP I 的取值范围是（）A. [5,6]B. [6,7]C. [6刃D.〔切 【答案】D【解祈】假设*（co“Q"（0,為0）, G F [0.2町，冋乔=（1 一ros0O ）.丽=（0,护-吊0）, =所以有2?十丽十°?=（3-8S &3P §一血叭,阿十丽十闵 =7（3_8s&〕2+（3辰站询2 _切-6COS&-"血0 =（37- 12（cos0-.因为•■e一匚 a =] — — 已知向量a*满足-,a 与b 的夹b则的取值范闱是（）-l ＜（c O s t?-^【例4] [2019n 角为亍，若xa + 2b > a + bA.卄) C •山+°°)D ・(h+s )的夹角如0。
千题百炼- 立体几何综合小题必刷100题(原卷版)
专题19 立体几何综合小题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若//m n ，n ⊂α，则//m αB ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβD ．若//αβ，m α⊂，则//m β3．如图，空间四边形OABC 中，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，MN xOA yOB zOC =++，则x ，y ，z 的值分别为（ ）A ．12，23-，12B ．23-，12，12C ．12，12，23-D ．23，23，12-4．已知α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（ ） A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，n α⊥，则//m nD ．若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ5．已知四棱锥P ABCD -的正视图和侧视图均为边长为2（单位：cm ）的正三角形，俯视图为正方形，则该四棱锥的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．83BCD ．436．在正方体1111ABCD A B C D -中，则直线1A D 与直线AC 所成角大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．907．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为侧面11ABB A 内动点，且满足1PD △PBC 面积的最小值为（ ）A ．1B C ．2 D ．2 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒.1D 、1E 分别是11A B 、11A C 的中点，1CA CB CC ==，则1AE 与1BD 所成角的余弦值为（ ）A B C D9．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，则以下结论错误的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AD ⊥平面CB 1D 1C ．AC 1⊥BDD ．异面直线AD 与CB 1所成的角为45°10．已知向量a ＝(2m ＋1，3，m －1)，b ＝(2，m ，－m )，且//a b ，则实数m 的值等于（ ）A ．32B ．－2C ．0D ．32或－2 11．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直12．已知直三棱柱111ABC A B C -中，60ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A B ．0 C D13．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点（皮球不变形），则皮球的半径为（ ）A ．cmB ．10 cmC ．cmD ．30 cm14．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体P -ABC 中，设E ，F 分别是PB ，PC 上的点，连接AE ，AF ，EF （此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个15．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为4的正方形，且2,PA PB PD ===，则四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．36πD ．144π二、多选题16．给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．空间任意三个向量都可以作为一组基底B ．已知向量//a b ，则a 、b 与任何向量都不能构成空间的一组基底C ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则//a bD ．已知空间向量(1,0,1)a =，(2,1,2)b =-，则向量a 在向量b 上的投影向量的坐标是848,,999⎛⎫- ⎪⎝⎭17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，以下结论正确的是（ ）A ．直线1B D 与1BC 是异面直线B ．直线1A D 与1BC 平行C ．直线1BD 与1BD 垂直D ．三棱锥11A BC D -的体积为64318．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．存在点P ，使//DP 面11AB DB ．二面角1P BB D --的平面角大小为60︒C ．1PB PD +D ．P 到平面11AB D19．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.下列说法中正确的是（ ） A ．若//m α，m β⊂，a n β⋂=，则//m n B ．若//m n ，//m α，则//n α C ．若a n β⋂=，αβ⊥，βγ⊥，则n γ⊥ D ．若m α⊥，m β⊥，//αγ，则//βγ20．在下列条件中，不能使M 与A ，B ，C 一定共面的是（ ）A ．OM ＝2OA －OB －OC ；B ．111532OM OA OB OC =++； C ．0MA MB MC ++=；D ．OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0；21．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP ⊥的是（ ）A ．B ．C ．D ．22．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+23．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12AA =，1BC 与1B C 交于点F ，点E 是线段11A B 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．1111222AF AB AC AA =++ B ．存在点E ，使得AF BE ⊥C ．三棱锥B AEF -D ．直线AF 与平面11BCC B第II 卷（非选择题）三、填空题24．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、BC 的中点，则三棱锥N DMC 1的体积为___________.25．已知正三棱锥的底面边长是6，侧棱与底面所成角为60︒，则此三棱锥的体积为__．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，11AA AC BC ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是__________________．27．已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．28．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱1AA 长为3，且11120A AB A AD ∠=∠=︒，则1AC =__.29．如图，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 的中点，则用向量,,a b c 表示向量MN =________．30．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且P A⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为163，则球O的表面积为___________.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．在三棱锥P －ABC 中，3APB BPC CPA π∠∠∠===，△P AB ，△P AC ，△PBC 的面积分别记为123,,S S S ，且123322S S S === ）A BC D 2．在立体几何探究课上，老师给每个小组分发了一个正四面体的实物模型，同学们在探究的过程中得到了一些有趣的结论.已知直线//AD 平面α，直线//BC 平面α，F 是棱BC 上一动点，现有下列三个结论：⊥若,M N 分别为棱,AC BD 的中点，则直线//MN 平面α；⊥在棱BC 上存在点F ，使AF ⊥平面α；⊥当F 为棱BC 的中点时，平面ADF ⊥平面α.其中所有正确结论的编号是（ ）A ．⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥3．已知圆台上底面半径为3，下底面半径为4，高为7，若点A 、B 、C 在下底面圆的圆周上，且AB BC ⊥，点Р在上底面圆的圆周上，则222PA PB PC ++的最小值为（ ）A ．246B ．226C ．208D ．1984．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（ ）A ．2πB ．4πC ．5πD ．6π5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF A BEF -的体积为（ ）A ．112B ．14 C D ．不确定6．如图已知正方体1111ABCD A B C D -，点M 是对角线1AC 上的一点且1AM AC λ=，()0,1λ∈，则（）A ．当12λ=时，1AC ⊥平面1A DMB ．当12λ=时，//DM 平面11CB DC ．当1A DM 为直角三角形时，13λ=D ．当1A DM 的面积最小时，13λ=7．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G 分别为AB 、AD 、DC 的中点，则a 2等于（ ）A ．2BA •ACB ．2AD •BDC ．2FG •CAD ．2EF •BC8．如图一，矩形ABCD 中，2BC AB =，AM BD ⊥交对角线BD 于点O ，交BC 于点M ．现将ABD △沿BD 翻折至A BD '的位置，如图二，点N 为棱A D '的中点，则下列判断一定成立的是（ ）A ．BD CN ⊥B ．AO '⊥平面BCDC ．//CN 平面A OM 'D ．平面A OM '⊥平面BCD9．点M 是棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中棱AB 的中点，12CN NC =，动点P 在正方形11AA D D （包括边界）内运动，且1//PB 平面DMN ，则PC 的长度范围为（ ）A ．B ．⎣C ．D ．⎣10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC (不包含端点)上运动，则下列判断中正确的是（ ）①1//A M 平面1ACD ； ②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③AC ⊥平面11MB D 恒成立； ④三棱锥1D AMC -的体积不是定值． A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②④11．在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，6BAC π∠=，SB =4,2SC SA ==，则该四面体的外接球的表面积是（ ）A ．253πB ．100πCD ．20π12．已知圆锥SO 的母线长为 ）A ．B ．24C ．36πD ．4813．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，1AD =，2PD AB ==，点E 是PB 的中点，过A ，D ，E 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则下列结论中正确的有（ ）（1）//l 平面PAD ；（2）//AE 平面PCD ；（3）直线PA 与l （4）平面α截四棱锥P ABCD -所得的上、下两部分几何体的体积之比为35．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个14．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且PAD △是边长为2的正三角形，ABCD 是正方形，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．293π B ．643π C ．263π D ．283π15．已知在正四面体ABCD 中，E 是AD 的中点，P 是棱AC 上的一动点，BP ＋PE 四面体内切球的体积为（ ）A B ．13πC ． D16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别为棱AB ，BC ，11C D ，11A D 的中点，若平面//α平面EFGH ，且平面α与棱11A B ，11B C ，1B B 分别交于点P ，Q ，S ，其中点Q 是棱11B C 的中点，则三棱锥1B PQS -的体积为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．1617．已知球O ，过其球面上A ，B ，C 三点作截面，若点O 到该截面的距离是球半径的一半，且2AB BC ==，120B ∠=︒，则球O 的表面积为（ ）（注：球的表面积公式24)S r π=A ．643π B ．83πC ．323π D ．169π18．如图，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC =CC 1，P 是A 1C 1的中点，则异面直线BC 与AP 所成角的余弦值为（ ）A ．0B ．13C D19．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、3h ，则123::h h h =（ ）A．2B ． C 2:2 D 6:620．如图，二面角l αβ--的大小是60︒，线段AB α⊂．B l ∈，AB 与l 所成的角为30．直线AB 与平面β所成的角的正弦值是（ ）A B C D二、多选题21．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，则四个推断正确的是（ ）A ．111AC AD ⊥B ．11AC BD ⊥C ．平面11//A C B 平面1ACD D ．平面11A C B ⊥平面11BB D D22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92D ．点C 到平面AEF 的距离为2323．正四棱锥P ABCD -的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC 的平面α截该四棱锥，则（ ） A ．截面可以是三角形B ．PA 与底面ABCD 所成的角为60︒C ．PA 与底面ABCD 所成的角为45︒D ．当平面α经过侧棱PC 中点时，截面分四棱锥得到的上下两部分几何体体积之比为3：124．如图，等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体A BCD -的侧棱，2AB =，直角边AE 绕斜边AB 旋转一周，在旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．三棱锥E BCD -B ．三棱锥E BCD -C ．存在某个位置，使得AE BD ⊥D ．设二面角D ABE --的平面角为θ，且0θπ<<，则DAE θ<∠25．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC26．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为60C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A27．如图，边长为1的正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面互相垂直，动点M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且(0CM BN a a ==<<.则下列结论中正确的有（ ）A ．当12a =时，ME 与CN 相交 B ．MN 始终与平面BCE 平行 C ．异面直线AC 与BF 所成的角为45︒D ．当a =MN28．(多选)如图，ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论正确的是（ ）A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BD C ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°29．已知四边形ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，四边形DGEA 与四边形DGFC 也都为正方形，连接EF ，FB ，BE ，H 为BF 的中点，则下列结论正确的是（ ） A ．DE ⊥BFB ．EF 与CH 所成角为3π C ．EC ⊥平面DBFD ．BF 与平面ACFE 所成角为4π30．下图中正方体1111ABCD A B C D -边长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．平面1C BD ⊥平面1A BDB ．正方体1111ABCD A BCD -外接球与正四面体11A DBCC ．正四面体11A DBCD ．四面体1A ADB第II 卷（非选择题）三、填空题31．空间四面体ABCD 中，2AB CD ==，3AD BC ==，BD =BD 和AC 所成的角为3π，则该四面体的外接球的表面积为 __.32．如图，A 、B 、C 、D 、P 是球O 上5个点，ABCD 为正方形，球心O 在平面ABCD 内，PB PD =，2PA PC =，则P A 与CD 所成角的余弦值为______．33．已知圆锥、圆柱的底面半径和体积都相等，则它们的轴截面的面积之比的比值是___________34．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.下左图是南北朝官员独孤信的印信，它是由正方形和正三角形围成.右图是根据这只印信作出的直观图，直观图的所有顶点都在一正方体的表面上（如果一个正八边形的八个顶点都在这个正方体同一个侧面的四条棱上，那么这个八边形的边长就等于这个直观图的棱长）.__________.35．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的平方取值范围为__________.36．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AA =M ，N 分别在棱DA ，DC 上.二面角1D MN D --的大小为30°.若三棱锥1D DMN -，则三棱锥1D DMN -的外接球的表面积为___________.37．异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．38．已知四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为4的正方形，SD ⊥面ABCD ，点M 、N 分别是AD 、CD 的中点，P 为SD 上一点，且SD ＝3PD ＝3，H 为正方形ABCD 内一点，若SH ∥面PMN ，则SH 的最小值为__．39．如图，在ABC 中，AB AC ==1cos 3BAC ∠=-，D 是棱BC 的中点，以AD 为折痕把ACD △折叠，使点C 到达点C '的位置，则当三棱锥C ABD '-体积最大时，其外接球的表面积为___________.40．在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子,M N 分别在正方形对角线,AC BF 上移动，若CM BN =，则MN 长度的最小值为__________．任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知四面体ABCD M ，N 分别为棱AD ，BC 的中点，F 为棱AB 上异于A ，B 的动点．有下列结论： ①线段MN 的长度为1；②若点G 为线段MN 上的动点，则无论点F 与G 如何运动，直线FG 与直线CD 都是异面直线；③MFN ∠的余弦值的取值范围为；④FMN 1． 其中正确结论的为（ ） A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④2．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，2PA =，2AB AC ==，2BAC π∠=.已知点Q 为棱PA（不含端点）上的动点，若光线从点Q 出发，依次经过平面PBC 与平面ABC 反射后重新回到点Q ，则光线经过路径长度的取值范围为（ ）A ．(1B ．)4C ．4⎫⎪⎭D ．(3．如图，已知锐二面角l αβ--的大小为1θ，A α∈，B β∈，M l ∈，N l ∈，AM l ⊥，BN l ⊥，C ，D 为AB ，MN 的中点，若AM MN BN >>，记AN ，CD 与半平面β所成角分别为2θ，3θ，则（ ）A ．122θθ<，132θθ<B ．122θθ<，132θθ>C ．122θθ>，132θθ<D ．122θθ>，132θθ>4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与1A C 、不重合），有以下四个结论：⊥存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面1BC D ； ⊥存在点M ，使得//DM 平面11B D C ；⊥若1A DM 的周长为L ，则L⊥若1A DM 的面积为S ，则S ∈⎝． 则正确的结论为（ ） A ．⊥⊥ B ．⊥⊥⊥C ．⊥⊥⊥D ．⊥⊥5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点，若满足1PB PC d +=的点P 的个数为4，则d 的取值范围为（ ）A ．)2B ．C ．2,1⎡⎣D ．(16．在三棱锥D ABC -中，222AD AB AC BC ===，点A 在面BCD 上的投影G 是BCD △的垂心，二面角G AB C --的平面角记为α，二面角G BC A --的平面角记为β，二面角G CD A --的平面角记为γ，则（ ）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．βγα>>D ．γβα>>7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1AA 的中点，F 是棱BC 上一点（不包括端点），则下列结论错误的是（ ）A ．三棱锥11CB EF -的体积为定值16B ．存在点F ，使得直线EF 与直线1CD 相交C ．当F 是棱BC 的中点时，直线EF 与直线1CD 所成的角为π6D ．平面1D EF 截正方体所得的截面是五边形8．如图，在等边三角形ABC 中，,D E 分别是线段,AB AC 上异于端点的动点，且BD CE =，现将三角形ADE 沿直线DE 折起，使平面ADE ⊥平面BCED ，当D 从B 滑动到A 的过程中，则下列选项中错误的是（ ）A ．ADB ∠的大小不会发生变化 B ．二面角A BDC --的平面角的大小不会发生变化 C ．BD 与平面ABC 所成的角变大 D ．AB 与DE 所成的角先变小后变大9．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示，已知某“鞠”的表面上有四个点A ，B ，C ，D 满足10cm AB BC CD DA DB =====，15cm AC =，则该“鞠”的表面积为（ ）A ．2350cm 3πB ．2700cm 3πC ．2350cm πD 210．已知在Rt ABC △中，斜边2AB =，1BC =，若将Rt ABC △沿斜边AB 上的中线CD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．13π3B ．20π3C ．10π3 D ．7π311．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，5AD =，14AA =，点F 是1AA 的中点，点E 为棱BC 上的动点，则平面1C EF 与平面11ABB A 所成的锐二面角正切的最小值是（ ）A ．513BC D ．13512．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M ，N 为体对角线1BD 的三等分点，动点P 在三角形1ACB内，且三角形PMN 的面积PMN S =△P 的轨迹长度为（ ）A B C D13．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D14．如图，等腰直角ABC 中，2AC BC ==，点P 为平面ABC 外一动点，满足PB AB =，2PBA π∠=，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PBC ； ②存在点P ，使得平面PAC ⊥平面PAB ； ③设PAC △的面积为S ，则S 的取值范围是(]0,4；④设二面角A PB C --的大小为α，则α的取值范围是π0,4⎛⎤⎥⎝⎦.其中正确结论是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④15．已知AB 、CD 是圆O 的两条直径，且60AOC ∠=︒，如图1，沿AB 折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点D 位置，如图2．设直线BD '与直线OC 所成的角为θ，则（ ）A ．90BD C '∠=︒且60θ>︒B ．90BDC '∠=︒且60θ≤︒ C ．90BD C '∠≠︒且60θ>︒ D ．90BD C '∠≠︒且60θ≤︒二、多选题16．如图，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．点P 为半圆弧AD (不含A ，D 点)一动点．下列说法正确的是（ ）A ．三梭锥P —ABD 的每个侧面三角形都是直角三角形B ．三棱锥P —ABD 体积的最大值为83C ．三棱锥P —ABD 外接球的表面积为定值32πD ．直线PB 与平面ABCD17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点F 在正方形11CDD C 内，则（ ） A ．若112BF BC BD →→→⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则三棱锥的11-F B CC 的外接球表面积为4π B ．若1//B F 平面1A BD ，则1B F 不可能垂直1CD C ．若1C F ⊥平面1A CF ，则点F 的位置唯一D ．若点E 为BC 中点，则三棱锥11A AB E -的体积是三棱锥1-A FA B 体积的一半18．为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图⊥，已知球的体积为43π，托盘由边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图⊥.则下列结论正确（ ）A ．经过三个顶点,,ABC 的球的截面圆的面积为4π B ．异面直线AD 与CF 所成的角的余弦值为58C ．多面体ABCDEF 的体积为94D ．球离球托底面DEF 119．已知边长为a 的菱形ABCD 中，3ADC π∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ）A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 始终不可能垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '20．如图，ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，4CAD π∠=，3BCD π∠=.现将Rt ACD △沿斜边AC 翻折成△11(D AC D 不在平面ABC 内）.若M ，N 分别为BC 和1BD 的中点，则在ACD △翻折过程中，下列结论正确的是（ ）A ．//MN 平面1ACDB ．1AD 与BC 不可能垂直C ．二面角1D AB C -- D ．直线1AD 与DM 所成角的取值范围为(,)63ππ21．已知边长为a 的菱形ABCD 中，π3ADC ∠=，将ADC 沿AC 翻折，下列说法正确的是（ ） A ．在翻折的过程中，直线AD ，BC 可能相互垂直B ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -体积最大值为38aC ．在翻折的过程中，三棱锥D ABC -表面积最大时，其内切球表面积为2(14a π-D ．在翻折的过程中，点D 在面ABC 上的投影为D ，E 为棱CD 上的一个动点，ED '22．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11B C 上一点（不与端点重合），则（ ）A ．平面OCP 截正方体1111ABCD ABCD -所得截面一定是梯形 B ．存在点P ，使得三棱锥1P ABD -的体积为23C ．存在点P ，使得AP 与11CD 相交D ．当P 是棱11B C 的中点时，平面OCP 截正方体1111ABCD A B C D -外接球所得截面圆的面积269π23．在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，AC CD ⊥，直线AB ，CD 所成的角为60°，AB CD ==，4AC =，则四面体ABCD 的外接球表面积为（ ）A B ．52π C ．80π D ．208π第II 卷（非选择题）三、填空题24θ，则当tan θ等于______时，侧面积最小．25．球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A ，B ，C 是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,AB BC CA ，由这三条劣弧围成的图形称为球面ABC ．已知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点若P ，Q 在赤道上，且PQ =，则球面NPQ △的面积为________；若NP PQ QN R ===，则球面NPQ △的面积为________．26．如图，在矩形ABCD 中，2,4,AB BC E ==是边AD 的中点，将ABE △沿直线BE 折成A BE ∠'，使得二面角A BE C '--的平面角为锐角，点F 在线段A B '上运动(包括端点)，当直线CF 与平面A BE '所成角最大时，FBE 在底面ABCD 内的射影面积为___________.27．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱两两垂直，AB 与底面BCD 成30角，P 是平面BCD 内任意一点，则AP BP的最小值是________.28．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是棱AD 的中点，点,F G 在平面1111D C B A 内，若EF =CE BG ⊥，则FG 的最小值为_________．29．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交1AA 于E ，交1CC 于F ，得四边形1BFD E ，给出下列结论：①四边形1BFD E 有可能为梯形； ②四边形1BFD E 有可能为菱形； ③四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形； ④四边形1BFD E 有可能垂直于平面11BB D D ；⑤四边形1BFD E 其中正确结论的序号是_____________30．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点A ，E ，F 的平面把正方体1111ABCD A B C D -截成两部分，则截面的周长为________.。
千题百炼 高考数学100个热点问题(一)：第4炼 函数值域的求法
千题百炼高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法千题百炼-高考数学100个热点问题（一）：第4炼函数值域的求法第二章第4章值域函数及其精化函数的性质第4炼求函数的值域函数值域问题作为函数的三要素之一，也是高考中的一个重要考点，值域问题往往渗透到各种问题中，成为问题解决过程的一部分。
因此，掌握一些求取取值范围的基本方法。
当你需要找到函数的取值范围时，你可以掌握解析式的特点，找到相应的方法冷静地解决它。
1、基本知识：1。
寻找值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2.寻找数值范围的常用工具：虽然有时，寻找数值范围就像仙女的拼写公式。
分析特征对应于寻找值范围的方法。
只要你掌握了每种方法并对功能进行了分类，你就可以进行操作，但你也应该掌握一些常用的想法和工具。
（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。
若f?x?为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。
（2）函数图像（数字与形状的组合）：如果可以制作函数图像，则值范围一目了然（3）换元法：f?x?的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。
（4）最大值法：如果函数f？十、哪里a、 b？连续的，f？十、M的最大值和最小值，然后是f？十、数值范围是多少？m、 m？注：一定在f?x?连续的前提下，才可用最值来解得值域3.常用函数的取值范围：在处理常用函数的取值范围时，通常可以通过组合数字和形状以及使用函数图像来求解取值范围。
巧妙地处理公共函数的取值范围，也便于通过变形和变换将复杂的解析公式转换为公共函数。
（1）一次函数（y?kx?b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（y？Ax？BX？C）：二次函数的图像是抛物线。
一般来说，这个公式可以用来确定函数的对称轴，然后用图像来求解它。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)第100炼利用同构特点解决问题
合用文档第 100 炼 利用同构特点解决问题一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同样，其余地方均同样的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：若是方程f a 0 和 f b 0 表现同构特点，则 a,b 可视为方程f x 0的两个根（ 2）在不等式中的应用：若是不等式的两侧表现同构特点，则可将同样的构造构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。
可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用： 若是 A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 满足的方程为同构式， 则 A,B 为方程 所表示曲线上的两点。
特其余，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线 AB 的方程（ 4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特点，即关于a n ,n 与a n 1, n 1 的同构式，进而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：x 1 例 1：（ 2015 天津十二校联考） 设 x, y R ，满足y1（）552 x sin x1 3，则 x y2 y sin y11A.B.2C.4D. 6思 路 ： 本 题 研 究 对 象 并 非 x, y ， 而 是 x 1 , y1，进而可变形为x15 x1 sin x1 125，观察上下式子左边构造同样，进而可将同样的构造y 1 y 1 sin y112视为一个函数， 而等式右边两个结果互为相反数， 可联想到函数的奇偶性， 进而利用函数性质求解5x 1 解：5y 12x sin x1 3 x 15x 1 sin x 1 12 2 y sin y 11y 1 5y1 sin y112设 f tt 5 2t sin t ，可得 ft 为奇函数，由题意可得：f x 11 f y 1f y 1f x 11x 1y 1x y2答案： B例 2：若函数 fxx 1 m 在区间 a,b 上的值域为a ,b b a 1 ，则实数 m 的2 2取值范围是 _____________a 1 maa, f b思路：注意到f x 是增函数，进而获取f ab，即2，发现22b 1 mb2两个式子为 a,b 的同构式， 进而将同构式视为一个方程，而 a,b 为该方程的两个根， m 的取值只需要保证方程有两根即可解：f x 为增函数a1 aa mf ab2 , f bb221b m2a, b 为方程 x 1 mx 在 1,上的两个根，即 mx x 1 有两个不同样的根2 2令 tx 1 t 0xt 2 1所以方程变形为：m 1 t21 t1 t2 2t 1 ，结合图像可得：m0,1222答案： m0,12例 3：设 a,b ? R ，则 | “ a > b ”是“ a a > b b ”的（ ）A. 充分不用要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不用要条件思路：观察 a a > b b 可发现其同构的特点，所以将这种构造设为函数f xx x ，解析f xx xx 2 , xf x a > b ? f ( a )f( )其单调性。
最新千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第33炼-向量的模长问题代数法(含模长习题)
第33炼 向量的模长问题——代数法一、基础知识：利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式1、模长平方：通过22cos0a a a a =⋅=r r r r 可得：22a a =r r ，将模长问题转化为数量积问题，从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。
要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算：若(),a x y =r ，则a =r 某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题例1：在ABC V 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=o，则OA =u u u r_____思路：题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=o，进而AB AC ⋅u u u r u u u r可求，且OA u u u r可用,AB AC u u u r u u u r 表示，所以考虑模长平方转化为数量积问题解：O Q 为BC 中点 ∴可得：()12AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r()()2222211224AO AO AB AC AB AB AC AC ⎡⎤∴==+=+⋅+⎢⎥⎣⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r3cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r代入可求出：213=4AO u u u rAO ∴=u u u r例2：若,,a b c r r r 均为单位向量，且()()0,0a b a c b c ⋅=-⋅-≤r r r r r r ，则a b c +-r r r的最大值为（ ） A.1- B. 1 C.D. 2思路：题目中所给条件与模和数量积相关，几何特征较少，所以考虑将a b c +-r r r平方，转化为数量积问题，再求最值。
高考数学经典常考题型第33专题 向量的模长问题代数法
第33专题训练 向量的模长问题——代数法一、基础知识:利用代数方法处理向量的模长问题,主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方:通过22cos0a a a a =⋅=可得:22a a =,将模长问题转化为数量积问题,从而能够与条件中的已知向量(已知模长,夹角的基向量)找到联系。
要注意计算完向量数量积后别忘记开方2、坐标运算:若(),a x y =,则2a x =+,则只要确定所求向量的坐标,即可求出(或表示)出模长3、有关模长的不等问题:通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系,从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题例1:在ABC 中,O 为BC 中点,若1,3,60AB AC A ==∠=,则OA = _____ 思路:题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=,进而AB AC ⋅可求,且OA 可用,AB AC 表示,所以考虑模长平方转化为数量积问题解:O 为BC 中点 ∴可得:()12AO AB AC =+ ()()2222211224AO AO AB AC AB AB AC AC ⎡⎤∴==+=+⋅+⎢⎥⎣⎦3cos 2AB AC AB AC A ⋅=⋅=代入可求出:213=4AO 13AO ∴= 答案 例2:若,,a b c 均为单位向量,且()()0,0a b ac b c ⋅=-⋅-≤,则a b c +-的最大值为( ) 1B.1 D. 2思路:题目中所给条件与模和数量积相关,几何特征较少,所以考虑将a b c +-平方,转化为数B量积问题,再求最值。
解:()()200a c b c a b b c a c c -⋅-≤⇒⋅-⋅-⋅+≤ ①0,1a b c ⋅== ∴①转化为101b c a c b c a c -⋅-⋅+≤⇒⋅+⋅≥()22222222a b c a b ca b c a b a c b c ∴+-=+-=+++⋅-⋅-⋅()1112321b c a c =++-⋅+⋅≤-=1a b c ∴+-≤答案:B例3:平面上的向量,MA MB 满足24MA MB +=,且0MA MB ⋅=,若1233MC MA MB =+,则MC 的最小值为___________思路:发现所给条件均与,MA MB 相关,且MC 可以用,MA MB 表示,所以考虑MC 进行模长平方,然后转化为,MA MB 的运算。
第34炼 向量的模长问题几何法
第34炼 向量的模长问题——几何法一、基础知识：1、向量和差的几何意义：已知向量,a b r r ，则有：（1）若,a b r r 共起点，则利用平行四边形法则求a b +r r ，可得a b +r r 是以,a b r r为邻边的平行四边形的对角线（2）若,a b r r首尾相接，则利用三角形法则求出a b +r r ，可得a b +r r ，,a b r r 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λr（1）共线（平行）特点：a λr 与a r 为共线向量，其中0λ>时，a λr 与a r 同向；0λ<时，a λr与a r反向（2）模长关系：a a λλ=⋅r r3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC V 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C==② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60o的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。
（3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题：例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量,a b r r 的夹角为45o，且1,2a a b =-=r r r b =r（ ）2 C. 思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,104AB B AC π===，只需利用余弦定理求出BC 即可。
解：如图可得：b BC =r ，在ABC V 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-即：210422cos4BC BC π=+-⋅⋅22260BC BC ⇒--=解得32BC =或2BC =-（舍）所以32b =r，答案：选D例2：若平面向量,,a b c r r r 两两所成的角相等，且1,3a b c ===r r r ，则a b c ++r r r等于（ ）A. 2B. 5C. 2或5D. 2或5思路：首先由,,a b c r r r 两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,a b c r r r同向（如图1，此时夹角均为0），则a b c ++r r r 为5 ，另一种情况为两两夹角23π（如图2），以1a b ==r r 为突破口，由平行四边形法则作图得到a b +r r 与,a b r r 夹角相等，1a b a +==r r r （底角为60o的菱形性质），且与c r 反向，进而由图得到2a b c ++=r r r，选C答案：C例3：已知向量,a b r r ，且1,2a b ==r r ，则2b a -r r的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6思路：先作出a r ，即有向线段AB ，考虑2b a -r r ，将2b r的起点与A 重合，终点C 绕A 旋转且24AC b ==r ，则2b a -r r 即为BC 的长度，通过观察可得C 与,A B 共线时2b a -r r达到最值。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第74炼 利用几何关系求解圆锥曲线问题
的相互转化 4 在椭圆中 利用两条焦半径的和为常数 可将一条焦半径转移至另一条焦半径 5 在 曲线中 利用两条焦半径的差为常数 意点在 曲线的哪一支 3 1 圆相关的最值问题 已知圆 C 及圆外一定点 P 设圆 C 的半径为 r 则圆 点到 P 点
A
可将一条焦半径转移至另一条焦半径 注
距离的最小值为 PM = PC − r 结 PC 并延长
'
'
点共线时，
( PA
答案
'
+ PB
)
min
= A' B = 41 ，即 ( PA + PB )min = 41
41
1 点共线取得最值的条件 动点位于两定点之间时，则距离和取到最小
小炼有话说
值。同理 当动点位于两定点同一侧时，距离差的绝对值取到最大值。 2 处理线段和 差 最值问题时，如果已知线段无法找到最值关系，则可考虑利用 线
段转移法 ，将某一线段替换成另一长度相等线段，从而构造出取得最值的条件 例 2 设抛物线 y 2 = 4 x 的距离为 d 2 A. 思路 一点 P 到此抛物线准线的距离为 d1 到直线 l : 3 x + 4 y + 12 = 0
则 d1 + d 2 的最小值为 B.
3
16 5
C.
18 5
D.
4
通过作图可观察到直接求 d1 + d 2 的最值比较困难，所以考虑转移某个距离，由已知
C
垂足为 P
CP
圆 C 交于 M
其
l
P M
4 已知圆 C 和圆外的一条直线 l 线 解 线长的最小值为 PM
则过直线 l
的点作圆的
高考数学解析几何热点问题(2019年10月整理)
专 结近几年的高考试题，复习时应注意以下问题： 1、重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义或性质 这是因为椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质是本章的基石，高考所考 的题目都要涉及到这些内容，要善于多角度、多层次不断巩固强化三基， 努力促进知识的深化、升华。 2、重视求曲线的方程或曲线的轨迹 曲线的方程或轨迹问题往往是高考解答题的命题对象，而且难度较大， 所以要掌握求曲线的方程或曲线的轨迹的一般方法：定义法、直接法、待 定系数法、代入法（中间变量法）、相关点法等，还应注意与向量、三角 等知识相结合。 3、加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习 由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到 圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因 此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系 去解决问题，这样就加强了对数学各种能力的考查，其中着力抓好“运算 关”，增强抽象运算与变形能力。解析几何的解题思路容易分析出来，往 往由于运算不过关半途而废，在学习过程中，应当通过解题，寻求合理运 算方案，以及简化运算的基本途径和方法，亲身经历运算困难的发生与克 服困难的完整过程，增强解决复杂问题的信心。
专 题 解析几何热点问题
一、高考复习建议： 本章内容是高考重点考查的内容，在每年的高考考试卷中占总分的
15%左右，分值一直保持稳定，一般有2－3道客观题和一道解答题。选择 题、填空题不仅重视基础知识和基本方法，而且具有一定的灵活性与综 合性，难度以中档题居多，解答题注重考生对基本方法，数学思想的理 解、掌握和灵活运用，综合性强，难度较大，常作为把关题或压轴题， 其重点是直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线方程，关于圆锥曲线的最 值问题。考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程、逻辑推理 诸方面的能力，对思维能力、思维方法的要求较高。
千题百炼- 立体几何综合大题必刷100题(原卷版)
专题20 立体几何综合大题必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.（1）求点B 到直线1AC 的距离；（2）求直线FC 到平面1AEC 的距离.2．如图，正方形11ABB A 的边长为2，11,AB A B 的中点分别为C ，1C ，正方形11ABB A 沿着1CC 折起形成三棱柱111ABC A B C -，三棱柱111ABC A B C -中，1,AC BC AD AA λ⊥=.（1）证明:当12λ=时，求证：1DC ⊥平面BCD ；（2）当14λ=时，求二面角1D BC C --的余弦值.3．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的正切值.4．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90.BAC ∠=︒点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.5．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的余弦值.6．如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，三角形PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，M 是棱AD 的中点．（1）求证：PC BM ⊥；（2）求二面角B PM C --的正弦值．7．已知点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AD ，BC 的中点.现将四边形EFCD 沿EF 折起，使二面角C EF B --为直二面角，如图所示.（1）若点G ，H 分别是AC ，BF 的中点，求证：//GH 平面EFCD ；（2）求直线AC 与平面ABFE 所成角的正弦值.8．已知如图1所示，等腰ABC 中，4AB AC ==，BC =D 为BC 中点，现将ABD 沿折痕AD 翻折至如图2所示位置，使得3BDC π∠=，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．（1）证明：//BC 平面DEF ；（2）求四面体BCDE 的体积．9．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =2，BC =BB 1=4，1AC AB ==BCC 1=60°.（1）求证：平面ABC 1⊥平面BCC 1B 1：（2）设二面角C -AC 1-B 的大小为θ，求sinθ的值.10．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，∠BAD =90°，已知PA PC ==，2,3AD AB BC ===.（1）证明：AC PD ⊥；（2）若二面角P AC B --的余弦值为13，求四棱锥P ABCD -的体积.11．如图，四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 和侧面BCC 1B 1都是矩形，E 是CD 的中点，D 1E ⊥CD ，AB ＝2BC ＝2．（1）求证：平面CC 1D 1D ⊥底面ABCD ；（2）若平面BCC 1B 1与平面BED 1所成的锐二面角的大小为3π，求线段ED 1的长度．12．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是斜边PA 的长为E ，F 分别是棱PA ，PC 的中点，M 是棱BC 上一点．（1）求证：平面DEM ⊥平面PAB ；（2）若直线MF 与平面ABCD E DM F --的余弦值．13．如图所示，四棱锥E ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面EAB ⊥底面ABCD ，EA EB =，F 在侧棱CE 上，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求点D 到平面ACE 的距离．14．在三棱锥B －ACD 中，平面ABD ⊥平面ACD ，若棱长AC ＝CD ＝AD ＝AB ＝1，且∠BAD ＝30°，求点D 到平面ABC 的距离．15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12BB =，E 为棱1AA 的中点.（1）证明：BE ⊥平面11EB C ；（2）求二面角1B EC C --的大小.16．如下图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD ==，3AB =．（1）求SA 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：AB SD ⊥．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120,1,4,ABC AB BC PA ∠=︒===M ，N 分别为,BC PC 的中点，,PD DC PM MD ⊥⊥.（1）证明：AB PM ⊥；（2）求直线AN 与平面PDM 所成角的正弦值.19．如图，.AB O PA O C O 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证BC PAC ⊥平面；（II ）设//.Q PA G AOC QG PBC ∆为的中点，为的重心，求证：平面20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB ∥.（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅰ）若1==PA AB ，3AD =，CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积.21．如图，直三棱柱ABC A B C '''-，90BAC ∠=，,AB AC AA λ'==点M ，N 分别为A B '和B C ''的中点． (∠)证明：MN ∠平面A ACC '';(∠)若二面角A MN C '--为直二面角，求λ的值．22．如图，在三棱锥S ABC -中, 侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形,90,BAC ∠=︒O 为BC 中点. （∠）证明：SO ⊥平面;ABC（∠）求二面角A SC B --的余弦值.23．如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为ⅠBAD ＝120°，且PAⅠ平面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MNⅠ平面ABCD ；(2) 过点A 作AQⅠPC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ==4PA PB PC AC ====∠O 为AC 的中点． ∠1）证明：PO ⊥平面ABC ∠∠2）若点M在棱BC上，且2，求点C到平面POM的距离．MC MB25．如图，在三棱锥P∠ABC中，P A∠AB∠P A∠BC∠AB∠BC∠P A∠AB∠BC∠2∠D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：P A∠BD∠(2)求证：平面BDE∠平面P AC∠(3)当P A∠平面BDE时，求三棱锥E∠BCD的体积．26．如图，在四棱锥P-ABCD中，PAⅠCD，ADⅠBC，ⅠADC=ⅠPAB=90°，BC=CD=1AD．2（Ⅰ）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CMⅠ平面PAB ，并说明理由；（Ⅰ）证明：平面PABⅠ平面PBD ．27．如图，在三棱台ABC–DEF 中，平面BCFEⅠ平面ABC ，ⅠACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3.（Ⅰ）求证：BFⅠ平面ACFD ；（Ⅰ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.28．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DEⅠ平面A 1C 1F.29．如图，在三棱锥111ABC A B C -中，11BAC 90AB AC 2,4,A AA ∠====，在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.∠1）证明：11D A BC A ⊥平面∠∠2）求直线1A B 和平面11B C B C 所成的角的正弦值.30．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠===，E 是PC 的中点．（∠）证明CD AE ⊥；（∠）证明PD ⊥平面ABE ；--的大小．（∠）求二面角A PD C任务二:中立模式(中档)30-70题31．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若AD=DB=2，求点C到平面PBD的距离；32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠P AD为正三角形，平面P AD⊥平面ABCD，E，F 分别是AD，CD的中点．（1）证明：BD⊥PF；（2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值；33．如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥CE ，AE ⊥CD ，BC AD ∥，AB =3，CD =4，AD =2BC =10.（1）证明：∠AED 是锐角；（2）若AE =10，求二面角A -BE -C 的余弦值.34．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12A E EA =（1）若F 为1BB 的中点，试在11A B 上找一点P ，使//PF 平面1CD E ；（2）若四边形ABCD 是正方形，且1BB 与平面1CD E ，求二面角1E D C D --的余弦值.35．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．36．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，3AB =，1CD =，AD =60ABC ∠=，30BAD ∠=，点E 在AB 上，满足AD DE ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）若点F 为PA 的中点，求平面PCD 与平面DEF 所成角的余弦值.37．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，22PA AB ==，90ABC ACD ∠=∠=，60BAC CAD ∠=∠=，E 为PD 的中点，在平面PCD 内作EF PC ⊥于点F .（1）求证：平面AEF ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值.38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别在AB 、BC 上，且13AE AB =，13BF BC =．（1）求证：11A F C E ⊥；（2）求直线1A F 与平面1B EF 所成角的正弦值．39．如图，在多面体1111ABCD A B C D -中，1111,,,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD ，//AD BC ，11=2AB BC CD AA CC ====，1=1BB ，14AD DD ==.（1）证明：11A C ⊥平面11CDD C ；（2）求1BC 与平面11AA B B 所成角的余弦值.40．某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF ==BE DF ==E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（1）证明PA ⊥底面ABCD ；（2）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --，试求PC 与平面P AT 所成角的正弦值．41．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且P A =AB ，90PAB ∠=.（1）证明：PC BD ⊥；（2）若60ABC ∠=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.42．1.如图，正方形ABCD 所在平面与等边ABE △所在平面成的锐二面角为60，设平面ABE 与平面CDE 相交于直线l ．（1）求证：//l CD ；（2）求直线DE 与平面BCE 所成角的正弦值．43．如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，平面APD ⊥平面ABCD ，点E 在AD 上，且AB BC AE ED ===，PA PD ==.（1）求证：CE PD ⊥.（2）设平面PAB ⋂平面PCD l =，求二面角E l A --的余弦值.44．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120ADC =∠︒，4BC =，M ，N 分别为BC ，PC 的中点，1,,CD PD DC PM MD =⊥⊥．（1）证明：BC PM ⊥；（2）若PA =BN 与平面PDC 所成角的正弦值．45．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A到平面1A PO的距离；--的余弦值大小.（2）求二面角1A PB O46．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上的一动点.（1）求证:当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；BA，试问:是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ（2）设BQ=λ1在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由.47．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90ABC ∠=︒，2PA =，AC =（1）求证：平面PBC ⊥平面PAB ；（2）若二面角P BC A --的大小为45︒，过点A 作AN PC ⊥于N ，求直线AN 与平面PBC 所成角的大小．48．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2PA AB ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：直线BD ⊥平面PAC ；（2）设点M 在线段PC 上，且二面角C MB A --的余弦值为57，求点M 到底面ABCD 的距离.49．如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长2的等边三角形，PA PC ==F 在线段BC 上，且3FC BF =，D 为AC 的中点，E 为的PD 中点.(Ⅰ)求证：EF //平面PAB ；(Ⅱ)若二面角P AC B --的平面角的大小为2π3，求直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值.50．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，侧面是正方形，60DAB ∠=︒，经过对角线1AC 的平面和侧棱1BB 相交于点F ，且12B F BF =．（1）求证：平面1AC F ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1F AC C --的余弦值．51．直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周的旋转的上底面面积为9π，下底面面积为36π，侧面积为，且二面角111B AA C --为90，P ，Q 分别在线段1CC ，BC 上．（∠）若P ，Q 分别为1CC ，BC 中点，求1AB 与PQ 所成角的余弦值；（∠）若P 为1CC 上的动点、Q 为BC 的中点，求PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角Q AP C --的余弦值．52．正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．（1）求新多面体的体积；（2）求二面角A BF C --的余弦值；（3）求新多面体为几面体？并证明．53．中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P ABCD -，其中AC BD ⊥于O ，4OA OB OD ===，8OC =，PO ⊥平面ABCD ．（1）求证：PD AC ⊥；（2）试验表明，当12PO OA =时，风筝表现最好，求此时直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．54．在陕西汉中勉县的汉江河与定军山武侯坪一带，经常出土有铜、铁扎马钉等兵器文物.扎马钉（如题21图（1））是三国时蜀汉的著名政治家、军事家诸葛亮所发明的一种对付骑兵的武器，状若荆刺，故学名蒺藜，有铜、铁两种.扎马钉有四个锋利的尖爪，随手一掷，三尖撑地，一尖直立向上，推倒上尖，下尖又起，始终如此，使触者不能避其锋而被刺伤.即总有一个尖垂直向上，三尖对称支承于地.简化扎马钉的结构，如图（2），记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）．（Ⅰ）判断四面体1234A A A A -的形状特征； （Ⅱ）若某个出土的扎马钉因年代久远，有一尖爪受损，其长度仅剩其他尖爪长度的23（即4123OA OA '=），如图（3），将2A ，3A ，4A '置于地面，求1OA 与面234A A A '所成角θ的正弦值.55．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a （如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH 中二面角A BF C --的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）56．如图，已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，AB CD =，E 为棱PB 上一点，AC 与BD 交于点O ，且AC BD ⊥，1AD =，3BC PC PB ===，PO =（1）证明：AC DE ⊥；（2）是否存在点E ，使二面角B DC E --E 点位置，若不存在，请说明理由．57．如图，在三棱柱111ABC A B C ﹣中点，E 在棱1BB 上，点F 在棱CC 1上，且点,E F 均不是棱的端点，1,AB AC BB ⊥＝平面,AEF 且四边形11AA B B 与四边形11AAC C 的面积相等.（1）求证：四边形BEFC 是矩形；（2）若2,AE EF BE ＝＝ABC 与平面AEF 所成角的正弦值.58．如图，在三棱台111ABC A B C -中，11190,4,2,BAC AB AC A A A B ∠=︒====侧棱1A A ⊥平面,ABC 点D 在棱1CC 上，且1CD CC λ=（1）证明：1BB ⊥平面1AB C ；（2）当二面角C BD A --的余弦值为，求λ的值.59．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，1,45AB BC ABC ∠===，点M 在棱1CC 上，点N 是BC 的中点，且满足1AM B N ⊥.（1）证明：AM ⊥平面11A B N ；（2）若M 是1CC 的中点，求二面角111A B N C --的正弦值.60．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PB BD PD ===PA =（1）证明：PC ⊥平面ABCD ；（2）如图，取BC 的中点为E ，在线段DE 上取一点F 使得23DF FE =，求二面角F PA C --的大小.61．如图，在底面是菱形的四棱柱1111ABCD A B C D -中，60ABC ∠=，1112,AA AC A B A D ====E 在1A D 上．（1）求证：1AA ⊥平面ABCD ；（2）当E 为线段1A D 的中点时，求点1A 到平面EAC 的距离．62．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC 、BD 交于点O ，4OP OA ==，3OB =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足()01PM MC λλ=<<．（1）若三棱锥P MBD -体积是169，求λ的值；（2）若直线PA 与平面MBD λ的值．63．光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抹一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB⊥AC，AB＝AC＝AA'＝a，现经过AB作与底面ABC所成角为θ的截面，且截面与B'C'，A'C'分别交于不同的两点E，F．（1）试求截面面积S随θ变化的函数关系式S（θ）；（2）当E和F分别为B C''和A C''的中点时，需要在线段AF上寻找一个点Q，用纳米纤维导管连接EQ，使得EQ与AB'所在直线的夹角最小，试求出纤维导管EQ的长．64．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，且E，M分别为BC，PD的中点，点F为棱PC上一动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面P AD ．（2）若AB ＝P A ，在线段PC 上是否存在一点F ，使得二面角F ﹣AE ﹣M 定F 的位置；若不存在，说明理由．65．如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M B C λλ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --λ的值．66．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2AB AD ==，60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，PA =（1）点E 在线段PC 上，37PE PC =，点F 在线段PD 上，35PF PD =，求证：PC ⊥平面AEF ； （2）设M 是直线AC 上一点，求CM 的长，使得MP 与平面PCD 所成角为45︒．67．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，1AB =，2PA =，E 为PB 的中点，点F 在棱PC 上，且PF PC λ=．（1）求直线CE 与直线PD 所成角的余弦值；（2）当直线BF 与平面CDE 所成的角最大时，求此时λ的值．68．如图，在四棱锥P ABCD ﹣中，四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，且1AB BC ==，2AD =，PA PD =，M 为AD 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值为（1）求四棱锥PABCD ﹣的体积；（2）在棱CD 上(不含端点)是否存在一点Q ，使得二面角C AP Q --？若存在，请确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.69．已知四棱锥P ABCD -P 中，底面ABCD 是平行四边形，PA AB =，PAD BAD ∠=∠，,E F 分别是,AB DC 的中点，2,3,AD PF PE ===（1）求证：AD ⊥平面PAB ；（2）若PB =B PC A --的余弦值.70．如图，矩形ABCD 中，AB ADλ=()1λ>，将其沿AC 翻折，使点D 到达点E 的位置，且二面角C AB E --为直二面角.（1）求证：平面ACE ⊥平面BCE ；（2）设F 是BE 的中点，二面角E AC F --的平面角的大小为θ，当[]2,3λ∈时，求cos θ的取值范围.任务三:邪恶模式(困难)70-100题71．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为,PA BD 中点，2PA PD AD ===．（1）求证：//EF 平面PBC ；（2）求二面角E DF A --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．72．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.∠()0BA PA PD ⋅+=；∠PC ∠点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上.如图，平面五边形PABCD 中，PAD △是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD △沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F M 、分别是AB CE 、的中点，且___________.（1）求证：AB FM ⊥；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.73．蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示．蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥H ABC -，J CDE -，K EFA -，再分别以AC ，CE ，EA 为轴将ACH ∆，CEJ ∆，EAK ∆分别向上翻转180︒，使H ，J ，K 三点重合为点S 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）．（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点S 的曲率的余弦值．74．2022年北京冬奥会标志性场馆——国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.（Ⅰ）利用祖暅原理推导半径为R 的球的体积公式时，可以构造如图②所示的几何体M ，几何体M 的底面半径和高都为R ，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d 的平面β截两个几何体得到两个截面，请在图②中用阴影画出与图①中阴影截面面积相等的图形并给出证明；（Ⅱ）现将椭圆()222210x y a b a b+=>>所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球A ，B （如图），类比（Ⅰ）中的方法，探究椭球A 的体积公式，并写出椭球A ，B 的体积之比.75．如图，已知边长为2的正方形材料ABCD ，截去如图所示的阴影部分后，可焊接成一个正四棱锥的封闭容器.设FCB θ∠=.（1）用θ表示此容器的体积；（2）当此容器的体积最大时，求tan θ的值.76．如图，在四面体ABCD 中，AB AC ⊥，平面ACD 与平面BCD 垂直且CD =（1）若2AB AC ==，证明：45BCD ∠<︒；（2）若33AB AC ==，当ACD △与BCD 面积之和最大时，求二面角C AB D --的余弦值.77．某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，其底面边长为4，高为1（1）当圆弧E 2F 2（包括端点）上的点P 与B 1的最短距离为DB 1Ⅰ平面D 2EF ．（2）若D 1D 2＝3．当点P 在圆弧E 2E 2（包括端点）上移动时，求二面角P ﹣A 1C 1﹣B 1的正切值的取值范围．78．平面凸六边形11MBB NC C 的边长相等,其中11BB C C 为矩形,1190BMC B NC ∠=∠=︒．将BCM ,11B C N △分别沿BC ,11B C 折至ABC ,111A B C ,且均在同侧与平面11BB C C 垂直,连接1AA ,如图所示,E ,G 分别是BC ,1CC 的中点．（1）求证：多面体111ABC A B C -为直三棱柱；（2）求二面角1A EG A --平面角的余弦值．79．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，,E F 分别是,PA PC 的中点.（1）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.80．已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF Ⅰ平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.81．如图1，ADC ∆与ABC ∆是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，30ACB ACD ︒∠=∠=90ABC ADC ︒∠=∠=，2AB =，连接是,BD E 边BC 上一点，过E 作// EF BD ，交CD 于点F ，沿EF 将CEF ∆向上翻折，得到如图2所示的六面体,P ABEFD -（1）求证：;BD AP ⊥（2）设),(BE EC R λλ=∈若平面PEF ⊥底面ABEFD ，若平面PAB 与平面PDF λ的值；（3）若平面PEF ⊥底面ABEFD ，求六面体P ABEFD -的体积的最大值.82．设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球O 的球面上，PAB ∆是面积为AC BC ⊥，AC BC =，且平面PAB ⊥平面ABC .（1）确定O 的位置（需要说明理由），并证明：平面POC ⊥平面ABC .（2）与侧面PAB 平行的平面α与棱AC ，BC ，PC 分别交于D ，E ，F ，求四面体ODEF 的体积的最大值.83．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 是AB 的中点，BC AC =，2AB DC ==，14AA =.（Ⅰ）求证：1//BC 平面1A CD ；（Ⅰ）求平面11BCC B 与平面1A CD 所成锐二面角的平面角的余弦值.84．如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角E 在母线PC 上，且1,AE CE EC BD ==⊥．（1）求证：平面BED ⊥平面ABD ；（2）设线段PO 上动点为M ，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值．85．如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，且侧面11ACC A 为菱形，160A AC ∠=.（1）求二面角1A AB C 所成角θ的正弦值.（2）,M N 分别是棱11A C ，11B C 的中点，又2AP BP =.求经过,,M N P 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -的截面的周长.86．如图，在三棱台111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，侧面11ACC A 为等腰梯形，且1111AC AA ==，D 为11A C 的中点．（1）证明：AC BD ⊥；（2）记二面角1A AC B --的大小为θ，2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求直线1AA 与平面11BB C C 所成角的正弦值的取值范围．87．如图，在四棱锥P ABCD -中，M ，N 分别是AB ，AP 的中点，AB BC ⊥，MD PC ⊥，//MD BC ，1BC =，2AB =，3PB =，CD =PD =（Ⅰ）证明：//PC 平面MND ；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．88．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为12231111()2k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ π--∠+∠++∠+∠，其中Q i （i ＝1，2，…，k ，k ≥3）为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面Q 1PQ 2，平面Q 2PQ 3，…，平面Q k ﹣1PQ k 和平面Q k PQ 1遍历多面体M 的所有以P 为公共点的面．（1）如图1，已知长方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD ，AB ＝BC ＝1，1AA =P 为底面A 1B 1C 1D 1内的一个动点，则求四棱锥P ﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；（2）图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）89．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，3PA PB ==．（1）证明：PAD PBC ∠=∠；（2）当直线PA 与平面PCD 所成角的正弦值最大时，求此时二面角P AB C 的大小．90．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为233πππ-⨯=，故其总曲率为4π．（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数2=，证明：这类多面体的总曲率是常数．91．已知四棱锥T ABCD -的底面是平行四边形，平面α与直线AD ，TA ，TC 分别交于点P ，Q ，R 且AP TQ CRx AD TA CT===，点M 在直线TB 上，N 为CD 的中点，且直线//MN 平面α.（1）设TA a =，TB b =，TC c =，试用基底{},,a b c 表示向量TD ；（2）证明，四面体T ABC -中至少存在一个顶点从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（3）证明，对所有满足条件的平面α，点M 的线段上.92．如图，在四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，ⅠABC =3π，ⅠB 1BD =6π，11,B BA B BC ∠=∠11122,3AB A B B B ===。
千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第61炼 三视图——几何体的体积问题
A．4 答案：D
B．2 2
C．
D．8
思路：由于长方体被平面所截，所以很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接 一个一模一样的几何体， 从而拼成了一个长方体， 因 长方体由两个完全一样的几何体拼成， 所以所求体积 长方体体积的一半。从图 可得长方体的 面 方形，且边长
2 ，长方
第
章
第 61 炼
P 到 面 BCD 的距离 和 BCD 的面积，从 视图
中可判断出棱锥的高 h = 2 ，俯视图体现出四边形
ABCD S
BCD
矩形，所以 BCD 的面积
= 2 3
2 锥体： V =
(
)
2
求几何体体积要注意的几点 1 对于多面体和旋转体：一方面要判定几何体的类型 柱，锥， ，另一方面要看好该
几何体摆放的位置是否是底面着地
对于摆放 规矩
的几何体 底面着地 ，通常只需通
过俯视图看底面面积， 视图 或侧视图 确定高，即 求出体积 2 对于组合体，首先要判断是由哪些简单几何体组成的，或是以哪个几何体为基础 然后再寻找相关要素 会一一给出，但 通过 个图之间的联系进行 掉
1 ⋅ ( 4 + 2 ) ⋅ 4 = 12 ，而棱锥的高 侧视图的左右间距， 2 1 即 h = 4 ，所以 V = S底 ⋅ h = 16 3 S底 =
答案： 16 例 3：若某几何体的 视图如图所示，则 是________． 思路：该几何体可拆 两个四棱柱，这两个四棱柱的高均 4 俯视图得到 ，其中一个四棱柱 面 2 四棱柱
4
视图 ，高
8
视图 ，所以 是3 俯视
V圆柱 = S ⋅ h = π ⋅ 42 ⋅ 8 = 128π ，而棱柱 面
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第100炼 利用同构特点解决问题 修改后 学生版
第100炼 利用同构特点解决问题 学生版一、基础知识：1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程()0f a =和()0f b =呈现同构特征，则,a b 可视为方程()0f x =的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。
可比较大小或解不等式（3）在解析几何中的应用：如果()()1122,,,A x y B x y 满足的方程为同构式，则,A B 为方程所表示曲线上的两点。
特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB 的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于(),n a n 与()1,1n a n --的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解二、典型例题：1．（2015天津十二校联考）设,x y R ∈，满足()()()()5512sin 1312sin 11x x x y y y ⎧-++-=⎪⎨-++-=⎪⎩ ，则x y +=（ ）A. 0B. 2C. 4D. 62．若函数()f x m =在区间[],a b 上的值域为(),122a b b a ⎡⎤>≥⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是_____________3．设,a b R ，则|“a b ”是“a a b b ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要又不必要条件4．若1201x x <<<，则（ ）A. 2121ln ln x x e e x x ->-B. 1221ln ln x x e e x x ->-C. 1221x x x e x e >D. 1221x x x e x e <5．已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()11xf x x f x +=+，则20152f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A. 0 B. 12 C. 1 D. 526．如果()[)5533cos sin 7sin cos ,0,2θθθθθπ-<-∈，那么θ的取值范围是________7．如图，设点()00,P x y 在直线(),01,x m y m m m =≠±<<且为常数上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，求证：直线AB 过某一个定点8．已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点为()0,1255（1）求椭圆C 的方程 （2）过右焦点F 作直线l 交椭圆于,A B ，交y 轴于R ，若,RA AF RB BF λμ==，求λμ+9．已知函数()1a x x ϕ=+，a 为正常数，若()()ln g x x x ϕ=+，且对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有()()21211g x g x x x ->--，求a 的取值范围．10．已知数列{}n a 满足123a t =-(),1t R t ∈≠±，且()()112321121n n n n n n t a t t a a t ++-+--=+- 求数列{}n a 的通项公式。
专题4-1 向量性质与基本定理应用(14题型+解题攻略)-2024年高考数学二轮热点题型归纳与含答案
A ．6p B ．π4C ．π3D ．π2【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））已知单位向量a r ，b r ，102b a b æö×+=ç÷èør r r ，则a r 与b r的夹角为（ ）．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°题型02向量夹角：坐标型【解题攻略】求平面向量夹角的方法（坐标型）：坐标法：若非零向量()11,a x y =r 、()22,b x y =r，则121222221122cos ,x x y y a b x y x y +<>=+×+r r .【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））已知向量(),2,()1,a x b y =-=r r ，若()22,6a b +=r r ，则向量a r与b r的夹角为（ ）A ．34pB ．2pC ．3pD ．6p【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知,m n 为整数，且,[1,5]m n Î，设平面向量(,)a m n =r与(2,1)b r =-的夹角为q ，则,2p q p éöÎ÷êëø的概率为（ ）A ．932B ．964C ．425D ．625【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）若向量()1,2a =r 与321,t b t æ÷=-öçèør 的夹角为锐角，则t 的取值范围为（ ）A ．()4,+¥B ．1,4æö+¥ç÷èøC ．1,4æö-¥ç÷èøD ．()1,44,4æö+¥ç÷èø【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）已知点()1,2A -，()10B ,，()1,2C -，()4,2D ，则向量AB uuu r 与CD uuur 夹角的余弦值为（ ）A ．210B ．210-C ．7210-D ．7210【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）若()1,,2a l =r ，()2,1,2b =-r ，且a r ，b r 的夹角的余弦值为89，则l等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或255D ．2或255-题型03向量夹角：复合型【解题攻略】复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）已知单位向量a r ，b r ，c r 满足322a b c -=r r r ，则b r 与2a c+r r夹角的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．22-D ．23-【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）已知()cos ,1,sin a a a =-r ，()sin ,1,cos b a a =-r ，则向量a b +r r与a b -r r的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°【变式1-1】．（2020·云南德宏·高三 （理））已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，(1,1)b =r ，且1a b ×=r r ，则a r 与a b +r r 夹角的余弦值为（ ）A ．55B ．255C ．55±D ．255±【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知向量()()2,4,2,a b m ==-r r ，若a b +r r 与b r的夹角为60o ，则m =（ ）A ．33-B ．33C ．233-D ．233【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））已知a r 、b r 、c r 均为单位向量，且243a b c =+r r r ，则a r 、c r之间夹角的余弦值为（ ）A ．13-B ．13C ．14-D ．14题型04 向量夹角：恒成立与最值型【解题攻略】向量型恒成立：1.通过模计算，转化为函数恒成立。
千题百炼- 平面向量综合必刷100题(原卷版)
专题12 平面向量综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（ ）A ．BC ．-2D ．22．设ABC 中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-，则OC =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -+3．若平面向量,,a b c 两两的夹角相等，且||||1,||3a b c ===，则||a b c ++=（ ）A ．2B ．5C ．2或5D4．在菱形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，若2AB =，3DAB π∠=，则DM AN ⋅=（ ）A ．0B ．32C ．4D ．1325．如图，点C 在半径为2的AB 上运动，3AOB π∠=若OC mOA nOB =+，则m n +的最大值为（ ）A ．1BC D6．已知向量,a b 满足||1,||2,1a b a b ==⋅=，则a b -与b 夹角为（ ） A ．23π B ．34π C ．2π D ．4π7．已知()1,2a =-，()1,3b =，，则2a b -在a b +方向上的投影为（ ）A ．1B ．5C D8．在ABC 中，23AB AC ==，，且3AB AC ⋅=，则AC AB R λλ-∈（）取最小值时λ的值为（ ）A ．34-B ．34C ．32D ．9．在ABC 中，点D 是线段BC 上靠近点C 的三等分点，点E 在线段AD 上，:3:5AE ED =，则EB EC +=（ ）A ．1324AB AC +B ．3142AB AC +C ．1243AB AC +D ．3342AB AC +10．已知点(2,4)M ，若过点(4,0)N 的直线l 交圆于C ：22(6)9x y -+=于A ，B 两点，则||MA MB +的最大值为（ ）A ．12B ．C ．10D ．11．以下四个命题中正确的是（ ） A ．若1123OP OA OB =-，则P A B ，，三点共线B ．若{}a b c ，，为空间的一个基底，则{}a b b c c a +++，，构成空间的另一个基底 C ．()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．ABC 为直角三角形的充要条件是0AB AC ⋅=12．已知向量a 、b 满足a b b +=，且2a =，则b 在a 方向上的投影是（ ） A ．2 B ．2-C ．1D ．1-13．在△ABC 中，已知AB =3，AC =5，△ABC 的外接圆圆心为O ，则AO BC ⋅= A ．4 B ．8C ．10D ．1614．已知向量a 与向量b 不共线，()1,1b =，对任意t R ∈，恒有2a tb a b -≥-，则（ ） A ．a b ⊥ B ．()2a a b ⊥- C ．()2b a b ⊥-D ．()()22a b a b +⊥-15．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在线段OB 上且13OE OB =，若AE AB AD λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ-=（ ）A ．13B ．13-C ．1D ．23二、多选题16．已知平面向量OA 、OB 、OC 为三个单位向量，且0OA OB ⋅=，若OC xOA yOB =+（,x y R ∈），则x y +的取值可能为（ ）A ．B ．1C D17．下列说法中错误的是（ ）A ．已知(1,3)a =-，(1,3)b =-，则a 与b 可以作为平面内所有向量的一组基底B ．若a 与b 共线，则a 在b 方向上的投影为||aC ．若两非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a b ⊥D ．平面直角坐标系中，(1,1)A ，(4,2)B ，(5,0)C ，则ABC 为锐角三角形18．设a ，b 是两个非零向量，下列四个命题为真命题的是（ ） A ．若a b a b ==-，则a 和b 的夹角为3π B ．若a b a b ==+，则a 和b 的夹角为2π3C ．若a b a b +=+，则a 和b 方向相同D ．若0a b ⋅<，则a 和b 的夹角为钝角19．在ABC 中，有如下四个命题正确的有（ ） A ．若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形B ．若BA BC AC +=，则ABC 的形状为直角三角形C ．ABC 内一点G 满足0GA GB GC ++=，则G 是ABC 的重心D ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点P 必为ABC 的外心20．已知向量,a b 是两个非零向量，在下列条件中，一定能使,a b 共线的是（ ） A ．234a b e -=且22a b e +=-B ．存在相异实数,λμ，使0a b λμ-=C ．0xa yb +=（其中实数x ，y 满足0x y +=）D ．已知梯形ABCD ，其中,AB a CD b ==第II 卷（非选择题）三、填空题21．已知在ABC 中，3,1,,,23AB AC BAC BD DC AE ED π==∠===，则CE BC ⋅=___________.22．在ABC 中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是________．23．在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点G 在AD 上，且是ABC 的重心，则用向量AB ､AC 表示BG 为___________.24．已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________．25．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=︒．已知13BE BC =，DF FC =，12EG EF =，则AG EF ⋅=______．四、解答题26．已知4a =，3b =，()()23243a b a b -⋅-=． （1）求a 与b 的夹角θ；（2）求a b +；（3）若()()a b a b λ-⊥+，求实数λ的值．27．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1.28．如图，已知D ，E ，F 分别为ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：0AD BE CF ++=．29．已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若点A ，B ，C 能够成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ABC 为直角三角形，且A ∠为直角，求实数m 的值.30．设ABC 的内角A ，B ，C 的对边长a ，b ，c 成等比数列，()2cos 2sin 12A C B π⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，延长BC 至D使3BD =.（1）求B 的大小； （2）求AC CD ⋅的取值范围.任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．设a 、b 、c 为非零不共线向量，若()()1a tc t b a c t R -+-≥-∈，则（ ） A ．()()a b a c +⊥- B ．()()a b b c +⊥+ C ．()()a b a c -⊥- D ．()()a cbc -⊥+2．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()0211A N -，，，．若动点M 满足MA MO=，则OM ON ⋅的取值范围是（ ）A ．[]22-，B ．[]44-，C ．[]46，-D ．[]26-，3．已知ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ） A ．2- B ．52-C ．3-D ．4-4．已知点O 为正ABC 所在平面上一点，且满足(1)0OA OB OC λλ+++=，若OAC 的面积与OAB 的面积比值为1:4，则λ的值为（ ） A ．12 B ．13C ．2D ．35．已知直线l ：()20ax y a R -+=∈与圆M ：22430x y y +-+=的交点为A ，B ，点C 是圆M 上一动点，设点()0,1P -，则PA PB PC ++的最大值为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．126．已知平面向量,,a b c 满足24b a a b ==⋅=，()()3c a c b -⋅+=-，则c a -的最小值为（ ）A1 B 1 C2 D 27．已知向量a ，b ，c 为平面向量，21a b a b ==⋅=，且c 使得2c a -与-c b 所成夹角为60，则c 的最大值为（ ）A1 B C ．1 D 18．非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形9．在ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，||2BA BC +=，且32B ππ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是（ ）A ．(1]-∞，B ．[01]，C ．203⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．223⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10．已知ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，动点P 满足sin sin AB AC OP OA AB B AC C λ⎛⎫⎪=++ ⎪⎝⎭，(0,)λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC 的（ ） A ．重心 B ．垂心 C ．内心 D ．外心11．已知平面向量,a b 满足||1a =，||2b =，||7a b -=，若对于任意实数k ，不等式||1ka tb +>恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．(,)-∞⋃+∞B ．3(,(,)3-∞+∞C ．)+∞D ．)+∞12．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足(1)(1)(12)()3OA OB OCOP λλλλ-+-++=∈R ，则点P 的轨迹一定过△ABC 的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AC 边的中点13．平面内ABC 及一点O 满足 ,AO AB AO AC CO CA CO CBABAC CA CB⋅⋅⋅⋅==，则点O 是ABC 的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心14．设点G 是ABC ∆的重心，且满足2sin 3sin 2sin 0B AB A GA C GC ⋅+⋅+⋅=，则cos C （ ） A ．34B ．23C ．13D ．91615．若直线MN 过△ABC 的重心G ，且AM mAB =，AN nAC =，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值是（）． A 1B 1+C ．2D ．16．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭=+，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心 B ．内心 C ．外心 D ．垂心17．在ABC ∆中，角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，(()cos 24sin 1A B C ++=，点P 是ABC ∆的重心，且APa =（ ）A ．B ．C ．D ．18．在ABC 中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则4x y +的最小值是（ ）A ．52B ．73C ．94D ．1419．已知圆O 的半径为2，A 为圆内一点，12OA =，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是（ ） A ．1,68⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[1,6]-C ．1,108⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,1020．已知2=a ，3b =，4a b -=，若对任意实数t ，21ka tb +>（0k >）恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎭B ．⎛⎝C ．)+∞D ．(二、多选题21．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：ABC 的外心O ，重心G ，垂心H ，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线. 若4AB =，2AC =，则下列各式正确的是（ ）A ．20GO GH +=B ．4AG BC ⋅= C ．6AO BC ⋅=-D ．OH OA OB OC =++22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC 的外心为O ，重心为G ，垂心为H ，M 为BC 中点，且AB =4，AC =2，则下列各式正确的有（ ） A ．4AG BC ⋅= B ．6AO BC ⋅=-C ．OH OA OB OC =++D ．42AB AC OM HM +=+23．在ABC 中，2A π=，2AB AC ==，下述四个结论中正确的是（ ）A ．若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ B ．若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2C ．若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =AM AN ⋅的最小值为32D ．已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ的最大值为224．已知P 为ABC 所在平面内一点，且4AB BC ==，60ABC ∠=︒，D 是边AC 的三等分点靠近点C ，AE EB =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．2132DE AC AB =-+B ．BOCSC ．32OA OB OC ++=D ．()PA PB PC +⋅的最小值为-625．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，点P 是其所在平面内一点，（ ） A ．若202020210PA PB PC ++=，则点P 在ABC 的中位线上 B ．若3AP AB AC =+，则P 为ABC 的重心 C ．若222a b c +>，则ABC 为锐角三角形 D ．若cos cos c B b C =，则ABC 是等腰三角形26．下列说法中错误的为（ ）A ．已知()1,2a →=，()1,1b →=且a →与a b λ→→+夹角为锐角，则5,3λ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭B ．点O 为ABC 的内心，且20OC OC OA OB OB →→→→→⎛⎫⎛⎫-⋅+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则ABC 为等腰三角形；C ．若a →与b →平行，a →在b →方向上的投影为a →D ．若非零a →，b →满足a b a b →→→→==-则a →与a b →→+的夹角是60︒27．如图，ABCD 中，AB =1，AD =2，∠BAD =3π，E 为CD 的中点，AE 与DB 交于F ，则下列叙述中，一定正确的是（ ）A ．BF 在AB 上的投影向量为(0，0) B ．1233AF AB AD =+C ．1AF AB ⋅=D ．若12FAB α=∠，则tan α=28．已知O 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A ．若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则O 是△ABC 的重心B ．若向量0OA OB OC ++=，且OA OB OC ==，则△ABC 是正三角形 C ．若O 是△ABC 的外心，3AB =，5AC =，则OA BC ⋅的值为-8D ．若240OA OB OC ++=，则::4:1:2OAB OBC OAC S S S =△△△第II 卷（非选择题）三、填空题29．如图，∠ABC 中，8AB =，7AC =，5BC =，G 为∠ABC 重心，P 为线段BG 上一点，则PA PC ⋅的最大值为___________.30．在ABC 中，下列命题中正确的有：___________ ∠AB AC BC -=；∠若0AC AB ⋅>，则ABC 为锐角三角形；∠O 是ABC 所在平面内一定点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++，[)0,λ∈+∞，则动点P 一定过ABC 的重心；∠O 是ABC 内一定点，且20OA OC OB ++=，则13AOCABCS S=△△； ∠若0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC ⋅=⋅，则ABC 为等边三角形.31．已知向量a ，b 是平面内的两个非零向量，则当a b a b ++-取最大值时，a 与b 夹角为________．32．点D 为ABC 所在平面内一点，1233AD AB AC =+，AC AB AB AC AD AC AB+=+，若ABC 的面积为1，则BC 的最小值是________．33．∠若()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =--，ABC ∠为锐角，则实数m 的取值范围是34m >-∠点O 在ABC 所在的平面内，若OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC 的垂心 ∠点O 在ABC 所在的平面内，若230OA OB OC ++=，ADC S △，ABCS 分别表示AOC △，ABC 的面积，则:1:6AOC ABC S S =△△∠点O 在ABC 所在的平面内，满足AO AB AO AC ABAC⋅⋅=且CO CA CO CB CACB⋅⋅=，则点O 是ABC 的外心.以上命题为假命题的序号是___________.34．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若||1AC =，则AD AE ⋅=________.35．已知向量a ，b 满足2a b -=，12ab +=，则a b b ++的最大值是________.36．已知平面向量a ，b 的夹角为45°，1a =且()2c a b R λλ=-+∈，则c c a +-的最小值是___________.四、解答题37．平面直角坐标系xOy 中，已知向量()61AB =，∠()BC x y =，∠()23CD =--，，且AD BC ∠ （1）若已知M （1，1），N （y +1∠2∠∠y∠[0∠2]，则求出MN BC ⋅的范围； （2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．38．在ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，3b =，6c =，sin2sin C B =，且AD 为BC 边上的中线，E 点在BC 上，满足//()AB AC AE ABAC+.（1）求cos C 及线段BC 的长； （2）求ADE 的面积.39．已知向量a 与b 的夹角为π6，且3a =，2b =．（1）若向量a b +与a b λ+共线，求实数λ的值；（2）若向量a b +与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．40．在等边ABC中，2=，点Q为AC的中点，BQ交AM于点N.CM MB（1）证明：点N为BQ的中点；（2）若6⋅=-，求ABC的面积.NA NM任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．如图，在等腰△ABC 中，已知o1,120,,AB AC A E F ==∠=分别是边,AB AC 的点，且,AE AB AF AC ==λμ，其中(),0,1λμ∈且21λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN 的最小值是（ ）A BC D2．在ABC 中，()sin sin sin A B B C -+=，点D 在边BC 上，且2CD BD =，设sin sin ABDk BAD∠=∠，则当k 取最大值时，sin ACD ∠=（ ）A ．14BC D ．(363．已知12,e e 为单位向量，且1222e e +≤，若非零向量a 满足12a e a e ⋅≤⋅，则()122a e e a⋅+的最大值是（ ）A B C D4．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，60BCD ∠=，150ADC ∠=，3BE EC =，CD BE 若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．1516C ．3132D ．25．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，cos b c A =⋅，ABC 的面积为6，若P 为线段AB 上的点（点P 不与点A ，点B 重合），且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则1132x y ++的最小值为（ ）.A ．9B ．34C ．914D ．126．在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（ ）A B C D7．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPCPO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（ ） A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心8．已知向量a ，b ，c 满足4a =，a 在b 方向上的投影为2，()3c c a ⋅-=-，则||b c -的最小值为（ ）A 1B 1C ．2D ．29．已知ABC 的内角分别为,,A B C ，2cos 12A A =，且ABC 的内切圆面积为π，则AB AC ⋅的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．1210．如图，在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =，BC =E ，F 分别为AD ，BC 的中点.如果对于常数λ，在等腰梯形ABCD 的四条边上，有且只有8个不同的点P 使得PE PF λ⋅=成立，那么λ的取值范围是（ ）A ．59,420⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．911,204⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．91,204⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．511,44⎛⎫- ⎪⎝⎭11．已知平面向量a ，b ，c （a 与b 不共线），满足2a b c -==，1c a c b -=-=，设(),c a b λμλμ=+∈R ，则λμ+的取值范围为（ ） A ．[)2,2,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．(],2-∞12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且斜率为247-的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若1212()0F F F A F A +⋅=，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．43y x =±B ．34yx C ．y = D ．y x =13．半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足0OA AB AC ++=，点P 是圆内一点，则PA PO PB PC ⋅+⋅的取值范围为（ ）A ．[414)-，B ．[0)4，C ．[414]，D ．[416]，14．已如平面向量a 、b 、c ，满足33a =，2b =，2c =，2b c ⋅=，则()()()()222a b a c a b a c ⎡⎤-⋅---⋅-⎣⎦的最大值为（ ）A ．B ．192C ．48D ．15．平面上的两个向量OA 和OB ，||cos OA α=，||sin OB α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0OA OB ⋅=若向量OC OA OBλμ=+(,)R λμ∈，且22221(21)cos (21)sin 4λαμα-+-=，则||OC 的最大值为（ ） A ．32B ．34C ．35D ．37二、多选题16．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线17．如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）A ．||OA OC +有最大值也有最小值B ．OA OC ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值18．在OAB 中，4O OC A =，2O OD B =，AD 、BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC 、BD 于E 、F 两点，若OE OA λ=，(),0OB OF μλμ=>，则λμ+的不可能取到的值为（ ）A B C D 19．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O 是ABC 内的一点，BOC 、AOC △、AOB 的面积分别为A S 、B S 、C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=.若O 是锐角ABC 内的一点，BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠是ABC 的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则（ ）A ．O 为ABC 的垂心B ．AOB ACB π∠=-∠C ．sin :sin :sin ::OA OB OC BAC ABC ACB ∠∠∠=D ．tan tan tan 0BAC OA ABC OB ACB OC ∠⋅+∠⋅+∠⋅=20．对于△ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅B ．212AO AB AB ⋅=C ．向量AH 与cos cos ABACAB B AC C +共线D ．过点G 的直线l 分别与AB 、AC 交于E 、F 两点，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=21．已知平面向量,,a b c →→→满足2a →=，1b →=，0a b →→⋅=，对任意的实数t ，均有c t b →→-的最小值为a c →→-，则下列说法正确的是（ ）A ．b a →→+与b a →→-夹角的余弦值为35 B ．c →的最小值为2C ．a b c c a →→→→→+-+-的最小值为2D ．若2c a -=时，这样的c →有3个第II 卷（非选择题）三、填空题22．已知平面向量,,a b c 满足：12,0,12a b a b c a ==⋅=+=，当-a c 与b c -所成角θ最大时，则sin θ=______23．已知ABC 中，1AB =，t R ∈，且()1AC t AC AB t +-的最小值为，则3BA BC ⋅=__________.24．在平面内，若有||1,2a a b b =⋅==，()(2)0c a c a b -⋅--=，则c b ⋅的最大值为________．25．已知OA ，OB 是非零不共线的向量，设111r OC OA OB r r =+++，定义点集||||KA KC KB KC M K KA KB ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭，当1K ，2K M ∈时，若对于任意的2r ≥，不等式12||K K c AB ≤恒成立，则实数c 的最小值为______.26．如图，在∠ABC 中，BD DE EC →→→==，2AF FB →→=，2AM MD →→=，直线FM 交AE 于点G ，直线MC 交AE 于点N ，若∠MNG 是边长为1的等边三角形，则MA MC →→⋅=___________.27．如图，在△ABC 中，2C π=，AC =1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OAOB OC OA OB OC ++=，则::OA OB OC =________．28．在三角形ABC 中，ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，则下列给出的五个命题：①若(,2)a λ=，(3,1)b =-，且a 与b 夹角为锐角，则2,3λ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭； ②若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形；③点O 是三角形ABC 所在平面内一点，且满足OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅，则点O 是三角形ABC 的重心； ④()tan tan ,tan a A B C =+，()1,1b =，若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形； ⑤若O 为ABC 的外心，()2212AO BC b c ⋅=-. 其中正确的命题是：_______________________．（填写正确结论的编号）四、解答题29．已知O 为ABC 的外心，求证.sin sin sin 0OA BOC OB AOC OC AOB ∠+∠+∠=.30．在△ABC 中，重心为G ，垂心为H ，外心为I ．（1）若△ABC 三个顶点的坐标为(),0A a ，()0,B b ，()0,0C ，证明：G ，H ，I 三点共线； （2）对于任斜三角形ABC ，G ，H ，I 三点是否都共线，并说明理由．。
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第34炼 向量的模长问题——几何法一、基础知识：1、向量和差的几何意义：已知向量,a b，则有：（1）若,a b 共起点，则利用平行四边形法则求a b + ，可得a b + 是以,a b为邻边的平行四边形的对角线（2）若,a b首尾相接，则利用三角形法则求出a b + ，可得a b + ，,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λ（1）共线（平行）特点：a λ 与a 为共线向量，其中0λ>时，a λ 与a 同向；0λ<时，aλ与a反向（2）模长关系：a a λλ=⋅3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理：sin sin sin a b cA B C== ② 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。
（3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题：例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量,a b 的夹角为45，且1,2a a b =-= b =（ ）2 C. 思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知2,,4AB B AC π===BC 即可。
解：如图可得：b BC = ，在ABC 中，有：2222cos AC AB BC AB BC B =+-即：210422cos4BC BC π=+-⋅⋅260BC ⇒--=解得BC =或BC =所以b =答案：选D例2：若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c === ，则a b c ++等于（ ）A. 2B. 5C. 2或5思路：首先由,,a b c 两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,a b c同向（如图1，此时夹角均为0），则a b c ++ 为5 ，另一种情况为两两夹角23π（如图2），以1a b == 为突破口，由平行四边形法则作图得到a b + 与,a b 夹角相等，1a b a +== （底角为60的菱形性质），且与c 反向，进而由图得到2a b c ++=，选C答案：C例3：已知向量,a b ，且1,2a b == ，则2b a -的取值范围是（ ）A. []1,3B. []2,4C. []3,5D. []4,6思路：先作出a ，即有向线段AB ，考虑2b a - ，将2b的起点与A 重合，终点C 绕A 旋转且24AC b == ，则2b a - 即为BC 的长度，通过观察可得C 与,A B 共线时2b a -达到最值。
所以maxmin25,23b ab a-=-= ，且2b a - 连续变化，所以2b a -的取值范围是[]3,5 答案：C例4：设,a b 是两个非零向量，且2a b a b ==+= ，则a b -=_______思路：可知,,a b a b + 为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由2a b a b ==+=可知满足条件的只能是底角为60，边长2a = 的菱形，从而=答案：例5：已知,a b 为平面向量，若a b + 与a 的夹角为3π，a b + 与b 的夹角为4π，则a b= （ ）思路：可知,,a b a b +为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在ABD 中，,,,34AB a AD b ABD ADB ππ==∠=∠= ，由正弦定理可得：sin sin 4sin 3sin 3AB ADB AD ABD ππ===，即a b= 答案：D例6：已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3π，若向量c 满足|2|2c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）A.2+222思路：本题已知,a b模长且夹角特殊，通过作图可得2b a - 为模长为，设()2m c b a =+- ，则可得2m = 且()2c m b a =--，而m 可视为以2b a - 共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。
通过数形结合可得c的最大值为2m 的终点位于A 点） 答案：A例7：在ABC 中，,66B AB BC π∠===，设D 是AB 的中点，O 是ABC 所在平面内的一点，且320OA OB OC ++= ，则DO的值是（ ）A.12B. 12 思路：本题的关键在于确定O 点的位置，从而将DO与已知线段找到联系，将320OA OB OC ++=考虑变形为()323OA OB OC OA OB OB OC CB +=-⇒+=-=，即13OA OB CB += ，设OE OA OB =+，则,,O D E 三点共线，且OE BC ∥，所以由平行四边形性质可得：11126OD OE CB ===答案：B例8：已知向量,1a e e ≠= ，对任意的t R ∈，恒有a te a e -≥- ，则()e a e ⋅-的值为________思路：本题以a te a e -≥-作为突破口，通过作图设,AB a AC e == ，D 为直线l 上一点，则有AD te = 。
从而可得,a e BC a te BD -=-=，即BD BC ≥，所以C 点为直线l 上到B 距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B 到l 的垂线段。
所以BC l ⊥，即()e a e ⊥- ，所以有()0e a e ⋅-=答案：0小炼有话说：本题若用图形解决，找到,a te a e --在图上的位置和两个向量的联系是关键例9：已知平面向量,,a b c 满足1,2a b == ，且1a b ⋅=- ，若向量,a c b c --的夹角为60，则c的最大值是_________思路：由,a b 条件可得,a b夹角θ的余弦值1cos 1202a b a bθθ⋅==-⇒= ，若用代数方法处理夹角60的条件，则运算量较大。
所以考虑利用图形，设,,AB a AD b AC c === ，则,C D b c C B a c =-=-，即60DCB ∠= ，从而180DCB θ∠+=，可判定,,,A B C D 四点共圆，则AC的最大值为四边形ABCD 外接圆的直径，即ABD 的直径。
在ABD 中，由余弦定理可得：2222cos 7BD AB AD AD AB θ=+-=，所以BD =，由正弦定理可得：2s i n 3BDd R BAD ===，即max 3c =答案：3小炼有话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找几何图形进行求解。
例10：（2010年，浙江，16）已知平面向量(),0,αβααβ≠≠ 满足=1β ，且α 与βα-的夹角为120，则α的取值范围是___________思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。
从图中可观察到,,αββα-构成BCD ，60C ∠= ，从而可利用正余弦定理求出α即CD 的取值范围解：在BCD 中，由正弦定理可得：sin sin sin sin BD CDC DBC C DBCβα=⇒=Dsin sin DBC DBC DBC Cβα∴=⋅==而20,3DBC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭ (]sin 0,1DBC ∴∈DBC α⎛∴=∈ ⎝⎦答案：α的取值范围是⎛ ⎝⎦小炼有话说：例题中的部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。
具体解法如下：例1：解：222224444cos ,10a b a a b b b a b b -=-⋅+=-+=260b b ∴--=，解得b =例2：解：2222222a b c a b c a b b c a c ++=+++⋅+⋅+⋅,,a b c夹角相同当,,a b c同向时，可得225a b c ++= ，所以5a b c ++= 当,,a b c 两两夹角23π时，可得133,,222a b b c a c ⋅=-⋅=-⋅=-24a b c ∴++= ，所以2a b c ++=综上所述：2a b c ++=或5例3：解：222244174cos ,178cos ,b a b a b a a b a b a b -=-⋅+=-=-因为[]cos ,1,1a b ∈- []229,25b a ∴-∈ 即[]23,5b a -∈ 例4：解：2a b a b ==+= 可得()22224a ba b a b +=++⋅=代入2a b == 得2a b ⋅=- 222212a b a b a b ∴-=+-⋅=a b ∴-=例8：解：以B 为原点，BC 为x 轴建立直角坐标系。
所以()96,0,2C A ⎛ ⎝⎭，设(),O xy ，则()()9,,,,6,22OA x y OB x y OC x y ⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭，由320O A O B O C ++= 可得：391360246024x x y y ⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩134O ⎛ ⎝⎭ 因为D 为AB 中点9,44D ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭1OD ∴=例9：解：22a te a e a te a e -≥-⇒-≥-222221a a e t t a a e ∴-⋅+≥-⋅+22210t a et a e ∴-⋅+⋅-≥对t R ∀∈恒成立()()224210a e a e ∴∆=⋅-⋅-≤ 即()24840a e a e ⋅-⋅+≤()2410a e ∴⋅-≤，所以1a e ⋅= ()20e a e e a e ⋅-=⋅-=。