10-11(1)-10级-矩阵论试题与答案
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五（10分）、设矩阵 为对称矩阵，并满足
证明 是正定矩阵。
证首先 的特征值都是实数。由盖氏圆盘定理，对 的任一特征值 ，必有某个 ，使得
从而
六（10分）、设 ，这里 为实数域上次数不超过 的多项式全体。
（1）证明 是 的子空间；
（2）求 的一组基和维数。
证：（1）
，则 ，从而
（2）
下面证明 线性无关。如果
参考答案
一（15分）、设 ，
（1）求可逆矩阵 使得 ，其中 为 的 标准形；
（2）计算 ；
（3）求微分方程组 的解。
解：（1）
， ，
故 的Jordan标准形为
记 ，由 得
（不唯一）,
（2）根据
得
（3）
二（15分）、设
，
（1）求 的满秩分解 ；
（2）求 的广义逆矩阵 ；
（3）求 的最小2－范数最小二乘解 。
则
所以 的一组基是
。
七（10分）、设 的奇异值分解（SVD）为
这里符号的含义及约定与教材一致。
（1）证明 ；
（2）根据 的SVD写出广义逆 表达式；
（3）证明齐次方程组 的通解为
证（1）
（2）
所以 。
下面只需再证 的列都是 的解，即证
这由 的定义立即得。
八（10分）、设 阶矩阵
（其中 ）
（1）证明 的最小多项式是
（2）求 的Jordan标准形（需要讨论）。
证
（1）记 ，则 , ，易验证
于是
又对任意的一次多项式来自百度文库
这是因为，如果 ，即
当 时， ，矛盾。
当 时， 与 矛盾。
综上 的最小多项式是
（2）参考以前考题
当 时， 的Jordan标准形为
从而 的Jordan标准形为
当 时， 的Jordan标准形为
从而 的Jordan标准形为
解：（1） （不唯一）
（2）
（3）
三（15分）、设 是给定的常向量， 是矩阵变量，
计算 和 。
解由
得
而
四（15分）、设
，
（1）用Gram-Schmidt正交化方法求矩阵 的QR分解；
（2）根据 的QR分解求 的最小二乘解。
解：（1）记 ，则由Gram-Schmidt正交化方法
，
，
上两式改写为
即
（2）
证明 是正定矩阵。
证首先 的特征值都是实数。由盖氏圆盘定理，对 的任一特征值 ，必有某个 ，使得
从而
六（10分）、设 ，这里 为实数域上次数不超过 的多项式全体。
（1）证明 是 的子空间；
（2）求 的一组基和维数。
证：（1）
，则 ，从而
（2）
下面证明 线性无关。如果
参考答案
一（15分）、设 ，
（1）求可逆矩阵 使得 ，其中 为 的 标准形；
（2）计算 ；
（3）求微分方程组 的解。
解：（1）
， ，
故 的Jordan标准形为
记 ，由 得
（不唯一）,
（2）根据
得
（3）
二（15分）、设
，
（1）求 的满秩分解 ；
（2）求 的广义逆矩阵 ；
（3）求 的最小2－范数最小二乘解 。
则
所以 的一组基是
。
七（10分）、设 的奇异值分解（SVD）为
这里符号的含义及约定与教材一致。
（1）证明 ；
（2）根据 的SVD写出广义逆 表达式；
（3）证明齐次方程组 的通解为
证（1）
（2）
所以 。
下面只需再证 的列都是 的解，即证
这由 的定义立即得。
八（10分）、设 阶矩阵
（其中 ）
（1）证明 的最小多项式是
（2）求 的Jordan标准形（需要讨论）。
证
（1）记 ，则 , ，易验证
于是
又对任意的一次多项式来自百度文库
这是因为，如果 ，即
当 时， ，矛盾。
当 时， 与 矛盾。
综上 的最小多项式是
（2）参考以前考题
当 时， 的Jordan标准形为
从而 的Jordan标准形为
当 时， 的Jordan标准形为
从而 的Jordan标准形为
解：（1） （不唯一）
（2）
（3）
三（15分）、设 是给定的常向量， 是矩阵变量，
计算 和 。
解由
得
而
四（15分）、设
，
（1）用Gram-Schmidt正交化方法求矩阵 的QR分解；
（2）根据 的QR分解求 的最小二乘解。
解：（1）记 ，则由Gram-Schmidt正交化方法
，
，
上两式改写为
即
（2）