第二章 静态电磁场-静电场1-5

r
1 r ' ' R dl 4 0 l
线电荷：
面电荷：
1 r ' r ' R dS 4 0 S
体电荷：
1 r r R dV 4 0 V
第 二 章
静 电 场
3．电场强度的表达式 r r 1 E r dV dV 4 0 R 4 0 R 因为 V V
第 二 章
静 电 场
2.1 基本方程与场的特性
1．静态电磁场(微分形式）
J c D H J v t B E t
H Jc
E 0
B=0
B=0
D=
D=
可见，在静止条件下电场和磁场之间没有相互耦合的关系， 可以分别对电场和磁场进行分析和讨论。由于此时电场或磁场的 源量与场量都不随时间变化，故统称为静态电磁场。
1 E r r r r dV 4 V
1 E r Ar r r dV 4 V
R=|r r | = [(x x )2 + (y y )2 + (z z )2]1/2
第 二 章
E
e 2 0
显然，这正是高斯定理给出的结果。
第 二 章
静 电 场
例2-4：求真空中球状分布电荷所产生的空间电场强度和电位分布， 设电荷体密度为 1 0 r a r 0 r a [解]：由高斯定理，当r a时
E dS E dS E 4 r 1 E e r a 2
显然，亥姆霍兹定理再次证实 了 E r r 。
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静 电 场
由E求 的关系式 将电荷q由P点移到Q点时，电场力所作的功为：
W q E dl
P
Q
由梯度和方向导数的关系，上式改写为：
W q ( l )dl q e
P
Q
Q
P
因此
dl q( P Q ) l
ρ
a
第 二 章
静 电 场
2 0

0
a
( a2 z 2 z) 2 d 0 2 2 z ( a2 z 2 z) 2 0
z>0 z<0
（2）应用圆柱坐标系的梯度表达式（附录二），可得电场强度为：
z E ez [1 ]ez z>0 z 2 0 a2 z 2
e 1 1 1 1 R 1 e x e y e z 3 x x e x y y e y z z e z 3 R x R y R z R R R R2 R
l 2 。
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静 电 场
讨论：如果
l 2
<<1，这意味着或者l很小或者 很大，此时
sin 0
l ，则 2 E
l 相当于电量为 l的点电荷产生的电场。如果 >>1，这可以视 2
为无限长直的线电荷，此时 0 tg -1
l e 2 4 0
l ，则 2
图 有限长直线电荷沿方向的电场
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静 电 场
[解]：采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，原点置于线段 l 的中点。
dE dE cos
1 dz 1 cos 4 0 R 2 4 0
l 2
dz


2
z
3 2 2

E , 0, 0 dE 2 4 0 l


代入前式，得
E r
1 4 0
V

r
R
2
e R dV
点电荷： 线电荷： 面电荷： 体电荷：
1 q(r ' ) E r eR 2 4 0 R
E r
E r
1 r ' ' R 2 e R dl 4 0 l
1 r ' ' R 2 e R dS 4 0 S
2

0
l 2
d z

2
z
3 2 2
利用变量代换z = tg，dz = sec2 d，代入上式，最终解得
E , 0, 0 2 cosd e 2 0 sin 0 e 4 0 0
式中，
0
0 tg-1
图2-1 散度与场源的关系
上图表明：静电场是有散(有源)场。若场中某点 ▽E>0， 则 >0 (正电荷)，该点电力线向外发散，且为“源”的所在 处；若某点 ▽E<0，则 <0 (负电荷)，电力线从周围向该点 汇集，是“汇”的所在处；若某点的▽E=0，则 =0 (无电 荷)，电力线既不自该点发出，也不向该点汇集，而是通过该 点，因此该点不存在场源。
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静 电 场
例2-1 已知真空中半径为a的球形空间内分布有呈球对称形态的电荷， 1 er r a 它在其球形分布区域内外产生的空间电场分布分别为 E
a2 e 和 E 2 r 2 0 r
r a
2 0
。试求该电荷分布。
，
解：根据高斯定理，并按题设场强E的分布特征 [ E (r ) Er er ] 应在球坐标系中展开散度表达式（见附录二）。因题设
S
B dS 0
S
D dS dV
S V
D dS dV
S V
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静 电 场
2.1.1 静电场的基本方程
微分形式: 积分形式:
E 0
D= 其媒质的构成方程为: D=E
E dl 0
l
D dS dV
S V
0
显然，这是静电场无旋性的必然结果。
第 二 章
静 电 场
2.2
2.2.1
自由空间中的电场
电位函数的引入
E r r
因为 E=0，由矢量恒等式 ()=0，E(r) 可以表示为: 式中，称为标量函数 (r) 为静电场的标量电位函数，简 称电位。上式表明，自由空间中任一点静电场的电场强度 E 等 于该点电位梯度的负值。另外，由亥姆霍兹定理，有： E r r Ar 式中
对右图闭合曲线作曲线积分， 并应用斯托克斯定理，得：
E dl E dl E dl E dS 0
AmBnA AmB BnA S
即
E dl E dl
AmB BnA
E dl
AnB
图 电场力作功与路径无关
表明在静电场中，电场力作功与路径无关，仅 取决于起点和终点的位置。
（2）轴线上的电场强度 解：典型的圆环状电荷上的元电荷 dS 在轴线上任一场点P处引起的元电位为：
d d
dS d d d 4 0 R 4 0 R
所以：
z P(0,0,z) R
d

a 2
S
0 0
4

0
2 z2
d d
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静 电 场
2．静态电磁场(积分形式）
D H dl J c dS t dS v dS l S S S
H dl J
l S
c
dS
B E dl t dS l S
E dl 0
l
B dS 0
qk E (r ) R 2 eRk 4 0 k 1 k 1
n
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静 电 场
4．电位和电场强度的求解思路
思路一：先求电位，再利用 E r r ，求电场强度。 思路二：先求电场强度，再利用
p r E dl ，求电位。
p

例2-3：真空中有限长直线段l上均匀分布线电荷密度为 的 电荷，如图所示。求线外中垂面上任意场点P处的电场强度。
显然，静电场是有散(有源)、无旋场。
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静 电 场
2.1.2 静电场的有散性(高斯定理)
在真空中，高斯定理:
E dS
S
dV
V
0

q
0
其微分形式为：
E 0
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静 电 场
▽ E > 0， > 0
▽ E < 0， < 0
▽ E = 0， = 0
2 r r S S
dV
0
V
1 2 2r 2 r r sindrdd 0 0 0 0 0 1
2 r
r
0
当r > a时，
E r 4 r 2
E a
2


2a 2
0
2 0 r 2
er
r a
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静 电 场
设无限远处为电位参考点，当r a时
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静 电 场
例2-2 试求由例2-1所给定的该静电场的旋度。
E 1 er 2 0
r a
a2 E e 2 r 2 0 r
Baidu Nhomakorabea
r a
解：利用球坐标系中旋度表达式（见附录二）。由于电场强度E(r)仅 有Er分量，且Er与坐标变量θ、φ无关，因此在整个场空间中应有
1 Er 1 Er E (r ) e e r sin r
E Er , E E 0
'
，故有：
Er 2 Er (r ) 0E (r ) 0 ( ) r r
1 r 0
0 r a r a
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静 电 场
2.1.3 静电场的无旋性
E 0 这表明静电场的旋度处处为零，静电场为无旋场，其 电力线不是闭合曲线。
1 a2 a r r E e r dr E e r dr E e r dr dr dr 2 0 0 2 0 2 ε0 r 2 r r a r a
a a
r a
当r > a时，
a2 a2 r E e r dr dr 2 2 0 r 2 ε0 r r r
E r
1 4 0
V

r
R
2
e R dV
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静 电 场
对于具有对称结构的静电场问题，可以利用高斯定 理求解电场强度。 如处于坐标原点的点电荷产生的电场。 q E dS E en dS EdS E dS E (4 r 2 ) 0 S S S S q 因此 E 4 0 r 2 q e 写成矢量形式 E 2 r 4 0 r 对于无界自由空间的点电荷系统，应用叠加原理，合 成的电场强度为：
静 电 场
由静电场的基本方程，得：
1 r r R dV 4 0 V
A(r) = 0
E r r Ar
1 E r r r r dV 4 V
1 E r Ar r r dV 4 V

r a
基于位函数的分析 若场源为n个点电荷，应用叠加原理，任一场点(r)处的电位为：
qk (r ) 4 0 k 1 Rk 1
n
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静 电 场
例2-5 设真空中电荷在半径为a的圆盘形平面域中均匀分布，其 电荷面密度分布函数为σ。试求：
（1）与该均匀带电园盘形平面相垂直的轴线上的电位分布；
U PQ
W P Q q
如取Q点为电位参考点，则P点的电位定义为： 工程应用中，常取大地表面为电位参考点，而在 理论分析时，任意点P的电位可设为：
P E dl
P
Q
P E dl
P
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静 电 场
2．电位函数的表达式
点电荷：
1 q (r ' ) r 4 0 R