概率论与数理统计 --- 第一章{随机事件的概率}第三节：条件概率

随机取一个球, 观看颜色后放回罐中, 并且再加进 c 个与所抽出的球具有相
同颜色的球.
b个白球, r个红球
概率论
例，一场精彩的足球赛将要举行, 5个球迷好不容易才搞到一张入场券. 大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
入场 券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没 写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
P(B | A) P( AB) P(B) 0.4 0.5 P( A) P( A) 0.8
P(A) 与 P(A|B) 的区别在于两者发生的条件不同, 它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.
概率论
乘法定理可以推广到多个事件的积事件的情况.
为 S 的一个划分 ,且 PBi 0 i 1,2,,n ,则对
样本空间中的任一事件A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
*证明因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi ABj , i j ,所以
注意P(AB)与P(A | B)的区别！
概率论
例2 甲, 乙两厂共同生产1000个零件, 其中 300件是乙厂生产的.
而在这300个零件中, 有189个是标准件,
现从这1000个零件中任取一个, 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
解: 设B={零件是乙厂生产}, A={零件是标准件}
所求为P(AB). 若改为“发现它是
在B发生后的缩减样本 空间中计算
二、乘法公式(Multiplication Law of Probability) 由条件概率的定义： P( A | B) P( AB) P(B)
P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
概率论
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
用乘法公式容易求出
概率论
P(W1W2R3R4) =P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)
b bc
r
rc
b r b r c b r 2c b r 3c
当 c > 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取 到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.
设 A、B、C 为三个事件 ,且 PAB 0 ,则
P ABC P C | AB P AB P C | AB P B | A P A.
一般地 ,设有 n 个事件 A1, A2, , An ,n 2 , 并且
PA1A2 An1 0 ,则由条件概率的定义 ,可得
概率论
条件概率 P• | A具备概率定义的三个条件 :
1 非负性 : 对于任意的事件 B , PB | A 0 ;
2 规范性: P | A 1;
3 可列可加性 :设 B1, B2,是两两互斥事件 ,则有
P



i 1
Bi
A

i 1
P
随机取一个球, 观看颜色后放回罐中, 并且再加进 c 个与所抽出的球具有相
同颜色的球.
b个白球, r个红球
解: 设 Wi={第i次取出是白球}, i=1,2,3,4 Rj={第j次取出是红球}， j=1,2,3,4
于是 W1W2R3R4 表示事件 “连续取四个球，第一、第二个是白球，
第三、四个是红球. ”
计算得：P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
概率论
同理，第3个人要抽到“入场券”， 必须第1、第2个人都没有抽到. 因此: P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现, 每个人抽到“入场券” 的概率都是1/5.
且 B1A、B2A、B3A 两两互斥
运用加法公式得到: P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)
对求和中的每 一项运用乘法 公式得
3
P( A) P(Bi )P( A｜Bi ) i 1
代入数据计算得：P(A)=8/15
将此例中所用的方法推广到一般的情形， 就得到在概率计算中常用的全概率公式.
Why ?
乘法公式应用举例
概率论
（波里亚罐子模型）
b个白球, r个红球
例如，一个罐子中包含 b 个白球和 r 个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中， 并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次， 试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.
试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率. 概率论
PA 8 , PB | A 7 , PC | AB 2 ,
10
9
8
PABC PC | ABPB | APA
27 8 7 . 8 9 10 45
三、全概率公式 (Law of Total Probability)
概率论
看一个例子:
有三个箱子, 分别编号为1,2,3.
注意 : 若 B1 ,B2 ,,Bn 为样本空间的一个划分 , 则对每次试验 ,事件组 B1 ,B2 ,,Bn 中必有且仅有 一个事件发生.
可见 , S 的划分是将 S 分割成若干个互斥事件 .
… B2 B1
…
A
…
Bn
…
…
概率论
概率论
2.定理 1 设试验 E 的样本空间为S , B1 , B2 ,, Bn
P(A|B) 1 1 6 P( AB) 3 3 6 P(B)
概率论
又如, 10件产品中有7件正品, 3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品. 现从这10件中任取一件，记
A={取到一等品}，B={取到正品}
则 P(A )=3/10，
P(A|B) 3 3 10 P( AB) 7 7 10 P(B)
300个
乙厂生产
300个
乙厂生产
189个是
标准件
乙厂生产的,问它
是标准件的概率
甲、乙共生产
是多少?”
1000 个
B发生,
求的是 P(A|B) .在P(AB)中作为结果;
在P(A|B)中作为条件.
概率论
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物,它能活到25岁以上的概率是多少? 解: 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
则
Ai
表示“第i个人未抽到入场券 ”
显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
也就是说，第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 A2 A1A2
因为若第2个人
由乘法公式
抽到了入场券，
P( A2 ) P( A1)P( A2 | A1) 第1个人肯定没抽到.
也就是要想第2个人抽到入场券, 必须第1个人未抽到，
概率论
第三节 条件概率
条件概率 乘法公式 全概率公式与贝叶斯公式
概率论
例如, 掷一颗均匀骰子, A={掷出2点}, B={掷出偶数点}, P(A )=1/6，P(A|B)=？
已知事件B发生,
此时试验所有可能结果构成的集合就是B，掷骰子
B中共有3个元素, 它们的出现是等可能的, 其中只有1个在集合A中. 于是 P(A|B)= 1/3. 容易看到
一、条件概率(Conditional Probability)
概率论
1. 条件概率的概念
在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附 加信息(条件)下求事件的概率.
如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B).
一般地 P(A|B) ≠ P(A)
2. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 每一原因都可能导致A发生, 故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和,即全概率公式.
概率论
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果, 每个原因对结果的发生有一定的“作用”, 即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .
PA PAB1 PAB2 PABn

P n
B1
P
来自百度文库

A
|
B1

PBn PA | Bn
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式的基本思想是:
概率论
全概率公式 .
PA1 A2 An PAn | A1 A2 An-1 P An1 | A1 A2 An-2
PA3 | A1A2 PA2 | A1 PA1
PA1A2 An1 0 保证了 PA1，PA1A2 ， ，PA1A2 An2 0
Bi
A
所以在第二节中证明的性质对条件概率都成立.
4. 条件概率的计算
1) 用定义计算:
P( A | B) P( AB) , P(B)
P(B)>0
2) 从加入条件后改变了的情况去算
例：A={掷出2 点}，B={掷出偶数点}
P(A|B）= 1 3
B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数
在缩减样本空 间中A所含样 本点个数
概率论
掷骰子
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点, 问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
概率论
解: 设 A={掷出点数之和不小于10}
B={第一颗掷出6点}
应用 定义
解法1:
P(A
|
B)

P( AB) P(B)
3 6
36 36

1 2
解法2: P( A | B) 3 1 62
概率论
1. 定义 设 S 为随机试验 E 的样本空间 ,B1 ,B2 ,,Bn 是 E 的一组事件,如果满足
1 Bi Bj i j
2 B1 B2 Bn S
则称 B1 , B2 ,, Bn 为完全事件系 ,或称 B1 , B2 ,, Bn 为 S 的一个划分.
则事件"第三次才摸得白球"可表示为 ABC .
1 有放回抽样
PA 8 , PB | A 8 , PC | AB 2 ,
10
10
10
PABC PC | ABPB | APA
2 8 8 16 . 10 10 10 125
概率论
2 无放回抽样
概率论
P( A | B) P( AB) (1) P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
若事件B已发生, 则为使 A 也发生,
B ABA
试验结果必须是既在 B 中又在A中 的样本点, 即此点必属于AB.
由于我们已经知道B已发生,
S 故B变成了新的样本空间,于是 有(1).
3. 条件概率的性质
1号箱装有1个红球4个白球,
2号箱装有2个红球3个白球,
3号箱装有3个红球.
某人从三箱中任取一箱, 从中任意摸出一球,
求取得红球的概率.
解: 记 Bi={球取自i号箱},
i=1,2,3;
12 3
A ={取得红球}
其中 B1、B2、B3两两互斥
A发生总是伴随着B1，B2，B3 之一同时发生，
概率论
即 A= B1A+B2A+B3A，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”
后抽比先抽的确实吃亏吗？
概率论
“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来， 谁抽到‘入场券’的机会都一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下, 每个人抽到 “入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
概率论
解: 我们用 Ai 表示“第i个人抽到入场券”, i＝1,2,3,4,5.
把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解,
而这些简单事件组成一个互不相容事件组, 使得某个未知事件A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生, 故在应用此全概率公式时,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式. 某一事件A的发生有各种可能的原因, 如果A是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是:
也就是说，抽签不必争先恐后.
例4 设袋中有 5 个红球 ,3 个黑球 ,2 个白球 , 试按 概率论
1 有放回抽样;2不放回抽样 两种方式摸球三次
每次摸得一球 ,求第三次才摸得白球的概率 .
解 设 A 第一次未摸得白球, B 第二次未摸得白球, C 第三次摸得白球.