现代控制工程大作业

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题目一：

设被控系统的传递函数为)

12)(6(1

)(++=

s s s s G o ，现在采用带有输入变换的状态反馈控

制（如教材图5-15）改善系统的性能，要求控制系统满足如下性能指标：超调量%5≤σ；调节时间5.0≤s t 秒；跟踪阶跃输入信号的稳态误差0=p e ；跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差2.0≤v e 。

(1)根据控制系统综合指标设计状态反馈增益矩阵F 及输入变换线性放大器K ，并在SIMULINK 中建立控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析。 (2)根据控制系统的响应速度，合理确定状态观测器系统矩阵期望特征值的分布，设计对状态向量x 进行估计的全维状态观测器以实现状态反馈，并保证控制系统的性能仍满足要求；在SIMULINK 中建立采用状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析，并与采用直接状态反馈的控制系统仿真结果比较；观察

单位阶跃输入作用下状态估计值x

ˆ与状态真实值x 的误差的收敛过程，并研究状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的关系及其对系统性能的影响。

(3)设系统输出量可准确测量，试设计实现状态反馈的降维观测器，在SIMULINK 中建立采用降维状态观测器实现状态反馈的控制系统的动态仿真模型，对系统的动态和静态性能进行仿真分析。

一、系统设计及仿真分析

1、确定被控系统状态空间表达式

被控系统传递函数为

)

12)(6(1

)(++=

s s s s G o

则其能观型状态空间表达式为

[]⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨⎧=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=x

y u x x 10000118107201000 2、系统能控、能观性判别

系统能控性判别矩阵[

]

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1000100012B A AB

B Q c 则n rankQ c ==3，所以系统完全能控；又因为其状态空间表达式为能观标准型，所以系

统完全能观。

综上所述，此系统既能控又能观。

3、系统极点配置

根据系统性能指标要求：%5≤σ，5.0≤s t

由%52

1≤=--

ξξπσe

，

可推出690107.0≥ξ，取7.0=ξ；由5.05

.3≤=n

s t ξω，

7.0=ξ，得10≥n ω，

取11=n ω。

根据经典控制理论，二阶系统闭环传递函数标准形式为2

22

2)(n n n s s s ωξωωφ++=，将

7.0=ξ，11=n ω代入式0222=++n n s s ωξω，得期望的闭环主导极点为8556.7j 7.72,1±-=*

λ；

选择一个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点的5倍以上，即2.466.773-=⨯-=*λ。则期望的闭环特征多项式为

2

.559048.8326.61))()(()(23*3*2*1*-++=---=s s s s s s s p λλλ

4、确定状态反馈增益矩阵F

由上已知，系统完全能控，所以可以通过状态反馈任意配置系统闭环极点。应用MATLAB 极点配置函数求解状态反馈增益矩阵，代码如下：

A=[0 0 0;1 0 -72;0 1 -18];B=[1;0;0]; P=[+j*;*;]; F=place(A,B,P)

求得状态反馈增益矩阵[][]8.28883.246.4332

1

-==f f f F

5、确定输入变换线性放大器K

根据题目要求，跟踪单位阶跃参考输入信号的稳态误差0)(11=+--=-BK BF A C e p ，求得2.5590=K ，则带有输入变换的状态反馈系统传递函数

2.559048.8326.612

.5590)()(23*+++=

=

s s s s p K s G F

6、验证跟踪单位斜坡输入信号的稳态误差v e

将带有输入变换的状态反馈系统等效为具有单位负反馈的闭环系统，系统方框图如下所示：

图1-1 等效单位负反馈闭环系统方框图

则系统传递函数2

.559048.8326.612

.5590)()(1)()(2

3

+++==+=s s s s G s G s G s F φ 求得，s

s s s G 48.8326.612

.5590)(23

++=

对于单位斜坡输入信号，2/1)(s s R =；则2.0149.0)

(1)

(lim

)(lim 00

<≈+==→→s G s sR s sE e s s v

所以，所设计系统能满足要求系统性能指标。

7、利用SIMULINK 建立控制系统的动态仿真模型

图1-2 带有输入变换的状态反馈系统

（1）跟踪单位阶跃信号的动态仿真分析

为便于输出图形数据的观察比较，在t=处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示：

图1-3 单位阶跃响应

图1-4 单位阶跃响应局部放大图

静态性能分析：由图1-3可知，系统满足跟踪阶跃输入信号的稳态误差0=p e 。

动态性能分析：从局部放大图1-4中易知，超调量%51

1

05.1=-<

σ，

调节时间5.0≤s t 秒（注意：为便于观察，本实验中单位阶跃信号在t=时刻输入），系统满足设计要求。 （2）跟踪单位斜坡信号的动态仿真分析

在t=0处输入单位阶跃响应，仿真结果如下图所示：