高三数学 专题28 转化与化归思想课件 理
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高三数学二轮复习第二篇数学思想2.4转化与化归思想课件理新人教版
第二页，共28页。
热点1 特殊与一般的转化
【典例1】(2016·大庆一模)已知点A(1,-1),B(3,0),
C(2,1).若平面区域(qūyù)D由所有A满P＝足AB＋AC (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为 ( )
A.2
B.3
C.5
D.7
第三页，共28页。
【解析】选B.分别(fēnbié)令λ=1,2,μ在[0,1]内变化,
145
145
第二十八页，共28页。
sin
cos
所以|AM|·|AN|=
6 ＝ 12 12.
sin cos sin 2
第十七页，共28页。
当且仅当sin2θ=1,即θ= 时取 “=”号.
4
此时(cǐ shí)kl=-1,所以l的方程为x+y-5=0. 答案:x+y-5=0
第十八页，共28页。
2.(2016·洛阳一模)函数f(x)=
第十五页，共28页。
【变式训练】 1.已知直线l过点A(2,3)且与x轴,y轴的正半轴分别交于M,N 两点,则当|AM|·|AN|最小时(xiǎoshí),直线l的方程为 __________.
第十六页，共28页。
【解析( jiě xī)】设∠AMO为θ,则(0θ,∈ )，
2
所以 AM ＝ 3 ，AN ＝ 2 .
x＋的值1域x 为____.
【解析(jiě xī)】因为f(x)的定义域为x∈[0,1],
所以设x=sin2α (0 ,)
则y=sinα+cosα= sin 2 ∈[1,
答案:[1, ]
2
( ) 4
]. 2
2
第十九页，共28页。
热点3 正难则反的转化 【典例3】若对于任意(rènyì)t∈[1,2],函数g(x)=x(3m+ 2)
热点1 特殊与一般的转化
【典例1】(2016·大庆一模)已知点A(1,-1),B(3,0),
C(2,1).若平面区域(qūyù)D由所有A满P＝足AB＋AC (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为 ( )
A.2
B.3
C.5
D.7
第三页，共28页。
【解析】选B.分别(fēnbié)令λ=1,2,μ在[0,1]内变化,
145
145
第二十八页，共28页。
sin
cos
所以|AM|·|AN|=
6 ＝ 12 12.
sin cos sin 2
第十七页，共28页。
当且仅当sin2θ=1,即θ= 时取 “=”号.
4
此时(cǐ shí)kl=-1,所以l的方程为x+y-5=0. 答案:x+y-5=0
第十八页，共28页。
2.(2016·洛阳一模)函数f(x)=
第十五页，共28页。
【变式训练】 1.已知直线l过点A(2,3)且与x轴,y轴的正半轴分别交于M,N 两点,则当|AM|·|AN|最小时(xiǎoshí),直线l的方程为 __________.
第十六页，共28页。
【解析( jiě xī)】设∠AMO为θ,则(0θ,∈ )，
2
所以 AM ＝ 3 ，AN ＝ 2 .
x＋的值1域x 为____.
【解析(jiě xī)】因为f(x)的定义域为x∈[0,1],
所以设x=sin2α (0 ,)
则y=sinα+cosα= sin 2 ∈[1,
答案:[1, ]
2
( ) 4
]. 2
2
第十九页，共28页。
热点3 正难则反的转化 【典例3】若对于任意(rènyì)t∈[1,2],函数g(x)=x(3m+ 2)
化归与转化思想PPT教学课件
两个定点的距离之和为定值却是一个熟悉的结论,即动点的轨迹是椭圆,而动点 P 是两条直线的交点,这又是一个熟悉的问题,因此,本题就转化为,两条直线交点 的轨迹是否为椭圆的问题.解题的方向明确了.求出直线方程,再求交点的轨迹,然 后判断这一轨迹是否为椭圆,其焦点是否为定点.
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,
因为 c (0,a) ， i (1,0) ，,所以 c i ,a ， i 2c 1,2a.
4.化归与转化思想
化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问 题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思 想方法，化归与转化思想的核心是把生题转化为熟题。事实上，解题的过程就 是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是 未知向熟知转化的过程，因此每解一道题，无论是难题还是易题，都离不开化 归。例如，对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题， 要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是 熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题等 等.事实上,前面讲的函数和方程思想就是把表面不是函数的问题化归为函数问 题求解,分类与整合思想是把一个复杂的题目分解成若干个小题求解,而数形结 合思想则是把代数问题转化为图形求解,或者把几何问题转化为代数运算求解.
r2 a ex1
2
2 2 x1 ,
所以,
r1r2
2
1 2
x12
,
①
这里, r1 与 r2 的积用 x1 的代数式来表示.
直线方程为
y
y1
x1 2 y1
x
x1
,
即 x1x 2 y1 y 2 y12 x1 0 ,
②
因为
A x1,
二轮复习-----转化与化归思想---课件(27张)(全国通用)
例3设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意
x≤-1或x≥0
a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为
.
解析 ∵f(x)在R上是增函数,
∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a),
得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].
∴a(x-1)+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.
用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正、余弦定理实现边
角关系的相互转化.
(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简
单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交
汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言
解析 设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则当 x=1 时,f(p)=0.所以 x≠1.
(0) > 0,
f(p)在 0≤p≤4 上恒正,等价于
(4) > 0,
(-3)(-1) > 0,
即 2
解得 x>3 或 x<-1.
-1 > 0,
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
∴-4<2C-4 <
2].
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-10-
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
命题热点二
命题热点三
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-11-
命题热点四
题后反思在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有
x≤-1或x≥0
a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为
.
解析 ∵f(x)在R上是增函数,
∴由f(1-ax-x2)≤f(2-a),
得1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].
∴a(x-1)+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.
用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正、余弦定理实现边
角关系的相互转化.
(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简
单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法.
(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交
汇题目时,常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言
解析 设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,则当 x=1 时,f(p)=0.所以 x≠1.
(0) > 0,
f(p)在 0≤p≤4 上恒正,等价于
(4) > 0,
(-3)(-1) > 0,
即 2
解得 x>3 或 x<-1.
-1 > 0,
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
∴-4<2C-4 <
2].
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-10-
第一部分
四、转化与化归思想
思想方法•聚焦诠释
命题热点一
命题热点二
命题热点三
高频考点•探究突破
预测演练•巩固提升
-11-
命题热点四
题后反思在应用化归与转化的思想方法去解决数学问题时,没有
第4讲 转化与化归思想课件_(共18张)2022届高考数学二轮专题复习
• 函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式 的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助， 因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为 简，一般可将不等关系问题转化为函数最值(值域)问题，从而求出参 变量的范围．
应用三 正难则反的转化
典例3 (2019·大连二模)若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3 ＋m2 ＋2x2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是 __－__33_7_，__－__5_ .
则MN·AC＝ ( C ) 诗人对母爱的深情颂赞。
27． 白骨夫人要吃唐僧肉，三次变化，一次变成（ 少女），一次变成（ 老头），一次变成（ 老婆婆）。A．12B．4C．73
D．136
【解析】 M→N＝A→N－A→M＝A→D＋13A→B－14(A→B＋A→D)＝43A→D＋112A→B，
5、感悟启示类：结合自己的生活实际，写出自己的感悟和体验，不能局限 于一方面，可以多角度，正反两方面回答。语言精炼，表意准确，抓住关键。一般用第一人称作答。
和观众共鸣的重要途径。 作者：法布尔：是一位严谨、细致、热爱生命、珍爱自然的昆虫学家。
→ → 沈从文（1902－1988），男，原名沈岳焕，笔名休芸芸、甲辰、上官碧、璇若等，乳名茂林，字崇文，湖南凤凰人，中国著名作家、历史文物研究者。
一是对母爱与童真的歌颂。如“母亲啊！天上的风雨来了，鸟儿躲到它的巢里；心中的风雨来了，我只能躲到你的怀里。诗中的母爱往往有双重内涵：一是母爱对诗人的浸润，二是
当且仅当 2b＝ 3a 时“＝”成立； ∴3a＋2b 的最小值为12(5＋2 6)＝52＋ 6. 故选 C．
(2)由题意得，a≤mln x－x 对所有的 m∈[0,1]，x∈1e，e2都成立， 令 H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]， x∈1e，e2是关于 m 的一次函数， 因为 x∈1e，e2，所以－1≤ln x≤2， 所以llnnxx··01－－xx≥≥aa， 所以aa≤≤－ln xx，－x，
应用三 正难则反的转化
典例3 (2019·大连二模)若对于任意 t∈[1,2]，函数 g(x)＝x3 ＋m2 ＋2x2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数 m 的取值范围是 __－__33_7_，__－__5_ .
则MN·AC＝ ( C ) 诗人对母爱的深情颂赞。
27． 白骨夫人要吃唐僧肉，三次变化，一次变成（ 少女），一次变成（ 老头），一次变成（ 老婆婆）。A．12B．4C．73
D．136
【解析】 M→N＝A→N－A→M＝A→D＋13A→B－14(A→B＋A→D)＝43A→D＋112A→B，
5、感悟启示类：结合自己的生活实际，写出自己的感悟和体验，不能局限 于一方面，可以多角度，正反两方面回答。语言精炼，表意准确，抓住关键。一般用第一人称作答。
和观众共鸣的重要途径。 作者：法布尔：是一位严谨、细致、热爱生命、珍爱自然的昆虫学家。
→ → 沈从文（1902－1988），男，原名沈岳焕，笔名休芸芸、甲辰、上官碧、璇若等，乳名茂林，字崇文，湖南凤凰人，中国著名作家、历史文物研究者。
一是对母爱与童真的歌颂。如“母亲啊！天上的风雨来了，鸟儿躲到它的巢里；心中的风雨来了，我只能躲到你的怀里。诗中的母爱往往有双重内涵：一是母爱对诗人的浸润，二是
当且仅当 2b＝ 3a 时“＝”成立； ∴3a＋2b 的最小值为12(5＋2 6)＝52＋ 6. 故选 C．
(2)由题意得，a≤mln x－x 对所有的 m∈[0,1]，x∈1e，e2都成立， 令 H(m)＝ln x·m－x，m∈[0,1]， x∈1e，e2是关于 m 的一次函数， 因为 x∈1e，e2，所以－1≤ln x≤2， 所以llnnxx··01－－xx≥≥aa， 所以aa≤≤－ln xx，－x，
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第4讲转化与化归思想课件
于是得 a1＝0 或 a1＝1，与题设 a1>0 且 a1≠1 矛盾，故假设不成立， 所以 an＋1≠an 成立．
(2)因 a1＝12，n∈N*，an＋1＝12＋anan，
则 a2＝12＋a1a1＝21× ＋1212＝23，a3＝12＋a2a2＝21× ＋2323＝45，a4＝12＋a3a3＝21× ＋4545＝89， a5＝12＋a4a4＝21× ＋8989＝1167， 显然有 a1＝202＋0 1，a2＝212＋1 1，a3＝222＋2 1，a4＝232＋3 1，a5＝242＋4 1，
(2)根据递推公式可写出 a2、a3、a4、a5 的值，由此可归纳出数列{an} 的通项公式，然后通过递推公式得出an1＋1－1＝12a1n－1，可知数列a1n－1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：假设 an＋1＝an，因 n∈N*，an＋1＝12＋anan，则12＋anan ＝an，解得 an＝0 或 an＝1，
应用3 正与反引起的转化
核 心 知 识·精 归 纳
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对 立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形， 则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含 有“至多”“至少”情形的问题中．
典 例 研 析·悟 方 法
算求解．
【解析】 5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 C15C13C24＝90 种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有 C13C13C12＝18 种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有 90－18＝72 种．故选 C.
(2) (2022·全国高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包
(2)因 a1＝12，n∈N*，an＋1＝12＋anan，
则 a2＝12＋a1a1＝21× ＋1212＝23，a3＝12＋a2a2＝21× ＋2323＝45，a4＝12＋a3a3＝21× ＋4545＝89， a5＝12＋a4a4＝21× ＋8989＝1167， 显然有 a1＝202＋0 1，a2＝212＋1 1，a3＝222＋2 1，a4＝232＋3 1，a5＝242＋4 1，
(2)根据递推公式可写出 a2、a3、a4、a5 的值，由此可归纳出数列{an} 的通项公式，然后通过递推公式得出an1＋1－1＝12a1n－1，可知数列a1n－1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：假设 an＋1＝an，因 n∈N*，an＋1＝12＋anan，则12＋anan ＝an，解得 an＝0 或 an＝1，
应用3 正与反引起的转化
核 心 知 识·精 归 纳
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对 立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形， 则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含 有“至多”“至少”情形的问题中．
典 例 研 析·悟 方 法
算求解．
【解析】 5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 C15C13C24＝90 种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有 C13C13C12＝18 种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有 90－18＝72 种．故选 C.
(2) (2022·全国高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包
转化与化归思想复习课件(1)
x12＋x22＝mx1＋x2－6， 所以x1＋x2＝－m1 ， 消去 x2 得 2x21＋m2 x1＋m12＋6m＋1＝0. 因为存在 x1∈R 使上式恒成立， 所以 Δ＝(m2 )2－4×2×(m12＋6m＋1)>0.
即 12m3＋2m2＋1<0， 也即(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0. 因为 6m2－2m＋1>0 恒成立，所以 2m＋1<0，
• 以上所列的一些方法是互相交叉的，不能 截然分割．
[例 1] (2011·临沂检测)已知等差数列{an}的公差 d≠0， 且 a1、a3、a9 成等比数列，则aa21＋＋aa43＋＋aa190的值是________
[分析] 利用满足条件的具体数列代入求值．
[答案]
13 16
[解析] 由题意知，只要满足 a1、a3、a9 成等比数列 的条件，{an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关 系的．因此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可 选取数列 an＝n(n∈N*)，则aa21＋＋aa43＋＋aa190＝21＋＋43＋＋190＝1136.
函数 f(x)＝－4log28x·log24x 在区间18，4上的最大值
等于( )
A．－24
B．16
C．25
D．24
[答案] C
[解析] 设 log2x＝t，则 t∈[－3,2]， 故函数 f(x)可转化为 y＝g(t)＝－4(t－3)(t＋2) ＝－4t2＋4t＋24＝－4(t－12)2＋25， 因为 t∈[－3,2]，所以当 t＝12时，函数 g(t)取得最大 值为 25.故选 C.
• 化归是转化与归结的简称，其基本内涵是： 人们在解决数学问题时，常常将待解决的 问题A，通过某种转化手段，归结为另一 问题B，而问题B是相对较容易解决的或已 经有固定解决模式的问题，且通过问题B 的解决可以得到原问题A的解．用框图可 直观地表示为：
转化与化归思想ppt完美课件 通用
b=（1+sin2x+cos 2x，0），
∴f（x）=a·b=(1-tan x)(1+sin 2x+cos 2x)
cosxsinx•(2cos2 x2sinxcosx) cosx
2(cos2 xsin2 x) 2cos2x.
定义域为 xx
k
2,kz.
(2)因f ( ) 2cos(2 ) 2,
8
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
故有
f f
((2)2)0,0.即2(21(1x2x)2)
2x 1 2x 1
0, 0.
解得 7 1 x 3 1.
2
2
从而实数x的取值范围是( 7 1, 3 1). 22
【例2】（2008·南通调研）已知向量a=(1-
待解决的问题A
应用 问题A的解
观察、分析 类比、联想
容易解决的问题B
还原
解决 问题B的解
其中的问题B是化归目标或化归方向，转化的手段 是化归策略. 2.化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟 知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解 之间差异的过程，是未知向已知转化的过程，也 是目标向问题靠拢的过程.
tanx,1),b=(1+sin 2x+cos 2x,0),记f(x)=a·b.
（1）求f(x)的解析式并指出它的定义域；
(2 )若 f( )2 ,且 (0 ,)求 ,f( ).
85
2
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
转 化 与 化 归 思想pp t完美课 件 通 用
解 （1）∵a=（1-tan x，1），
2020届高考数学(理)课标版二轮课件：四、转化与化归思想
令h(x)=1+ln x-x(x≥1), 则h'(x)=1x -1≤0,x≥1, 所以函数h(x)在[1,+∞)内为减函数.
又x∈[1,m],所以h(x)min=h(m)=1+ln m-m, t值恒存在,只需1+ln m-m≥-1.
因为h(3)=ln
3-2=ln
1 e
3 e
>ln
1 e
由命题“存在x0∈R,使 e|x0 -1| -m≤0”是假命题,得m的取值范围是(-∞,a),则实数 a的取值集合是 ( C ) A.(-∞,1) B.(-∞,2) C.{1} D.{2} 答案 C 由命题“存在x0∈R,使e|x0-1|-m≤0”是假命题,可知它的否定形式 “任意x∈R,使e|x-1|-m>0”是真命题,可得m的取值范围是(-∞,1),而(-∞,a)与(∞,1)为同一区间,故a=1.
如图,在棱长为5的正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF是棱AB上的一条线段,且EF= 2,点Q是A1D1的中点,点P是棱C1D1上的动点,则四面体PQEF的体积是( D )
A.变量且有最大值 C.变量且有最大值和最小值
B.变量且有最小值 D.常数
答案 D 点Q到棱AB的距离为常数,所以△EFQ的面积为定值. 由C1D1∥EF,可得棱C1D1∥平面EFQ,所以点P到平面EFQ的距离是常数,于是 四面体PQEF的体积为常数.
已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f '(x)-ax-5,其中f '(x)是f(x)的导函数.对任意a∈[-1,
1],都有g(x)<0,则实数x的取值范围是
.
答案
-
2 3
,1
第二部分第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件
第二部分
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
内
容
索
引
01
一、分类讨论思想
02
二、转化化归思想
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
1- < 0,
由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.
综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的
单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,
或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14
4
解得|PF1|= ,|PF2|= ,
3
3
所以
1
2
=
7
.
2
若∠F1PF2=90°,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
1
2
综上知,
(1 + ) + (2 + ) = ,
(1 + )·(2 + ) =
1
.
2
1 + 2 = -,
1 ·2 =
1
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
内
容
索
引
01
一、分类讨论思想
02
二、转化化归思想
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
1- < 0,
由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.
综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的
单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,
或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14
4
解得|PF1|= ,|PF2|= ,
3
3
所以
1
2
=
7
.
2
若∠F1PF2=90°,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
1
2
综上知,
(1 + ) + (2 + ) = ,
(1 + )·(2 + ) =
1
.
2
1 + 2 = -,
1 ·2 =
1
《转化与化归思想》课件
配方法：将复杂式子转 化为简单式子
换元法：将复杂式子转 化为简单式子
待定系数法：通过设定未 知系数，将复杂式子转化 为简单式子
数学归纳法：通过归纳推 理，将复杂式子转化为简 单式子
反证法：通过反证法，将 复杂式子转化为简单式子
方程的转化方法
代数变形： 通过代数 运算，将 方程转化 为更简单 的形式
转化与化归思想包括化归法和转化法两种方法，化归法是将复杂问题转化 为简单问题，转化法是将未知问题转化为已知问题。
转化与化归思想在数学解题中有广泛的应用，可以帮助我们解决许多复杂 的数学问题。
转化与化归思想的核心思想是将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转 化为已知问题，从而解决问题。
转化与化归思想的重要性
几何图形的转化方法
平移：将图形沿水平或垂直方向移动
旋转：将图形绕某一点旋转一定角度
反射：将图形沿某一直线或平面进行反 射
缩放：将图形按比例放大或缩小
剪切：将图形沿某一直线或平面进行剪 切
拼接：将多个图形拼接成一个新的图形
转化与化归思想在解题 中的应用
代数题中的转化与化归
转化与化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化：将复杂代数式转化为简单代数式，将未知数转化为已知数 代数题中的化归：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化与化归的应用：解决复杂代数问题，提高解题效率
转化与化归思想 的核心内容还包 括对问题的深入 理解和分析，以 及对问题的转化 和化归方法的掌 握。
展望转化与化归思想的发展方向
应用领域：数学、物理、化学等 学科
发展趋势：更加注重理论与实践 的结合
研究热点：转化与化归思想的新 方法、新应用
转化与化归思想
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3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
高三高考数学《转化与化归思想》专题复习PPT课件
(7) 类比法：类比是根据两个对象或两类事物间存在着相同或不同 的属性，联想到另一类事物也可能具有某种属性的思想方法， 一般由特 殊向一般类比，抽象向具体类比，低维向高维类比，平行类比； (8) 特殊化法：将一般问题特殊化，从特殊问题的解决中，寻找一 般问题的解题策略； (9) 一般化方法：有时问题的本质特征可能被具体问题所掩盖，这 时应把特殊问题一般化，寻找解题思路； (10)加强命题法：即把命题结论加强为原命题的充分条件； (11)正与反的转化； (12)函数与方程、不等式之间的转化； (13)空间与平面之间的转化； (14)整体与局部的转化等等．
2
2
1 x 3 又 ( x 2 ) 1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
12 11 函数 t ( x ) 在 [ 1 ， 3 ] 上单调递 2 4
当 x 1 时，取得最大值 3
三、数与形的转化
1、几何问题代数化
• 立体几何中用向量法求角求距离等
山东12高考18题
在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形，AB∥CD，∠ DAB=60°，FC⊥平面 ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF
3． 常见的化归方法 (1)换元法：例如利用“换元”将无理式化为有理式，高次 问题化为低次问题； (2) 数形结合法：把形 (数 ) 转化为数 (形 )，数形互补、互换 获得问题的解题思路； (3)向量法(复数法 )：把问题转化为向量 (复数 )问题； (4)参数法：通过引入参数，转化问题的形式，易于解决； (5)建模法：构造数学模型，把实际问题转化为数学问题或 把一类数学问题转化为另一类数学问题； (6)坐标法：以坐标为工具，实现“数”、“形”的对应、 转化；
二、多元向少元转化
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精品
9
热点分类突破
➢ 热点一 特殊与一般的转化 ➢ 热点二 函数、方程、不等式之间的转化 ➢ 热点三 正难则反的转化
精品
10
热点一 特殊与一般的转化
例 1 (1)AB 是过抛物线 x2＝4y 的焦点的动弦，直线
l1，l2 是抛物线两条分别切于 A，B 的切线，则 l1，l2
的交点的纵坐标为( )
解析 因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋ t≥0， 所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)， 使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立.
f1200＋…＋f19090的值为________.
解析 由于直接求解较困难，可探求一般规律，
∵f(x)＋f(1－x)＝ax＋ax a＋a1－ax1＋－x a＝ax＋ax a＋a＋aax a
＝ax＋ax
＋ a
a＋a ax＝axa＋＋a精ax品＝1，
13
∴f1100＋f1200＋…＋f19090
＝ f1100＋f19090 ＋ f1200＋f19080 ＋ … ＋
专题28
转化与化归思想
精品
1
转化与化归思想
思想方法概述 热点分类突破
真题与押题
精品Biblioteka 2思想方法概述转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得 到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换 转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容 易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解 决的问题．
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3
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学 问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的 转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题 的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向 数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转 化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内 容和解题过程中．
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4
1.转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化，即化归对象. (2)化归到何处去，即化归目标. (3)如何进行化归，即化归方法. 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
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5
2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一 种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决， 这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成 功的思维方式.常见的转化方法有：
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.－23，1
D.－∞，－23∪(1，＋∞)
精品
20
解析 1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，
1＋2＝－ba，1×2＝2a，解得ab＝＝1－，3，
由(－3 1)⊗x＝－3x2＋x＋2<0，得3x2－x－2>0，
解得 x<－23或 x>1.
答案 D
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21
(2)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)， 使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋ t)≤3ex，则m的最大值为________.
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8
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于 确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式 进行解决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原 问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问 题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.
若a、b、c成等差数列，则 cos A＋cos C ＝________. 1＋cos Acos C
解析 根据题意，所求数值是一个定值， 故可利用满足条件的直角三角形进行计算. 令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，
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16
且 cos A＝45，cos C＝0，
代入所求式子，得1c＋oscAos＋AccoossCC＝1＋45＋45×0 0＝45.
经验证 f(x)＝xsin 2πx 满足题意，则 f52＝0.
答案 0
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19
热点二 函数、方程、不等式之间的转化
例 2 (1)定义运算：(a b)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于 x
的不等式(a b)⊗x<0 的解集为{x|1<x<2}，则关于 x 的
不等式(b a)⊗x<0 的解集为( )
A.(1,2)
答案
4 5
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17
(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的 偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)， 则 ＝________.
f52
解析 因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，
所以fx＋1＝1＋x， fx x
使f(x)特殊化，可设f(x)＝精x品g(x)，
18
其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化， 可设g(x)＝sin 2πx，则f(x)＝xsin 2πx，
f14090＋f15010＋f15000＝1×49＋12＝929.
答案
99 2
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14
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特
思 殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把
维 升
握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效
华 果.
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15
变式训练1
(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
A.－1
B.－4
C.－14
D.－116
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11
解析 找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝ 1，则A(－2，1)，B(2,1)， 过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0. 同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0， 则l1，l2的交点为(0，－1). 答案 A
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12
(2)已知函数 f(x)＝ax＋ax a(a>0 且 a≠1)，则 f1100＋
精品
7
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价 命题，达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化， 并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变 为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问 题是转化方法的一个重要途径.
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6
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基 本公式或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使 整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题 转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与 空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.