高三数学 专题28 转化与化归思想课件 理
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经验证 f(x)＝xsin 2πx 满足题意，则 f52＝0.
答案 0
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19
热点二 函数、方程、不等式之间的转化
例 2 (1)定义运算：(a b)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于 x
的不等式(a b)⊗x<0 的解集为{x|1<x<2}，则关于 x 的
不等式(b a)⊗x<0 的解集为( )
A.(1,2)
答案
4 5
精品
17
(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的 偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)， 则 ＝________.
f52
解析 因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，
所以fx＋1＝1＋x， fx x
使f(x)特殊化，可设f(x)＝精x品g(x)，
18
其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化， 可设g(x)＝sin 2πx，则f(x)＝xsin 2πx，
解析 因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋ t≥0， 所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)， 使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立.
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.－23，1
D.－∞，－23∪(1，＋∞)
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20
解析 1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，
1＋2＝－ba，1×2＝2a，解得ab＝＝1－，3，
由(－3 1)⊗x＝－3x2＋x＋2<0，得3x2－x－2>0，
解得 x<－23或 x>1.
答案 D
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21
(2)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)， 使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋ t)≤3ex，则m的最大值为________.
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3
转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学 问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的 转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题 的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向 数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转 化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内 容和解题过程中．
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6
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基 本公式或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使 整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题 转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与 空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.
专题28
转化与化归思想
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1
转化与化归思想
思想方法概述 热点分类突破
真题与押题
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2
思想方法概述
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得 到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换 转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容 易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解 决的问题．
若a、b、c成等差数列，则 cos A＋cos C ＝________. 1＋cos Acos C
解析 根据题意，所求数值是一个定值， 故可利用满足条件的直角三角形进行计算. 令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，
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16
且 cos A＝45，cos C＝0，
代入所求式子，得1c＋oscAos＋AccoossCC＝1＋45＋45×0 0＝45.
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9
热点分类突破
➢ 热点一 特殊与一般的转化 ➢ 热点二 函数、方程、不等式之间的转化 ➢ 热点三 正难则反的转化
精品
10
热点一 特殊与一般的转化
例 1 (1)AB 是过抛物线 x2＝4y 的焦点的动弦，直线
l1，l2 是抛物线两条分别切于 A，B 的切线，则 l1，l2
的交点的纵坐标为( )
f1200＋…＋f19090的值为________.
解析 由于直接求解较困难，可探求一般规律，
∵f(x)＋f(1－x)＝ax＋ax a＋a1－ax1＋－x a＝ax＋ax a＋a＋aax a
＝ax＋ax
＋ a
a＋a ax＝axa＋＋a精ax品＝1，
13
∴f1100＋f1200＋…＋f19090
＝ f1100＋f19090 ＋ f1200＋f19080 ＋ … ＋
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8
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于 确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式 进行解决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原 问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问 题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.
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4
1.转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化，即化归对象. (2)化归到何处去，即化归目标. (3)如何进行化归，即化归方法. 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
精品
5
2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一 种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决， 这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成 功的思维方式.常见的转化方法有：
A.－1
B.－4
C.－14
D.－116
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11
解析 找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝ 1，则A(－2，1)，B(2,1)， 过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0. 同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0， 则l1，l2的交点为(0，－1). 答案 A
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12
(2)已知函数 f(x)＝ax＋ax a(a>0 且 a≠1)，则 f1100＋
f14090＋f15010＋f15000＝1×49＋12＝929.
答案
99 2
精品
14
一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特
思 殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把
维 升
握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效
华 果.
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15
变式训练1
(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
精品
7
Hale Waihona Puke Baidu
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价 命题，达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化， 并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变 为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问 题是转化方法的一个重要途径.
答案 0
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19
热点二 函数、方程、不等式之间的转化
例 2 (1)定义运算：(a b)⊗x＝ax2＋bx＋2，若关于 x
的不等式(a b)⊗x<0 的解集为{x|1<x<2}，则关于 x 的
不等式(b a)⊗x<0 的解集为( )
A.(1,2)
答案
4 5
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17
(2)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的 偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)， 则 ＝________.
f52
解析 因为xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，
所以fx＋1＝1＋x， fx x
使f(x)特殊化，可设f(x)＝精x品g(x)，
18
其中g(x)是周期为1的奇函数，再将g(x)特殊化， 可设g(x)＝sin 2πx，则f(x)＝xsin 2πx，
解析 因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋ t≥0， 所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)， 使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立.
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.－23，1
D.－∞，－23∪(1，＋∞)
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20
解析 1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两实根，
1＋2＝－ba，1×2＝2a，解得ab＝＝1－，3，
由(－3 1)⊗x＝－3x2＋x＋2<0，得3x2－x－2>0，
解得 x<－23或 x>1.
答案 D
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21
(2)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)， 使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋ t)≤3ex，则m的最大值为________.
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转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学 问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的 转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题 的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向 数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转 化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内 容和解题过程中．
精品
6
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基 本公式或基本图形问题. (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使 整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题 转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与 空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.
专题28
转化与化归思想
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1
转化与化归思想
思想方法概述 热点分类突破
真题与押题
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2
思想方法概述
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问 题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得 到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换 转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容 易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解 决的问题．
若a、b、c成等差数列，则 cos A＋cos C ＝________. 1＋cos Acos C
解析 根据题意，所求数值是一个定值， 故可利用满足条件的直角三角形进行计算. 令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，
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且 cos A＝45，cos C＝0，
代入所求式子，得1c＋oscAos＋AccoossCC＝1＋45＋45×0 0＝45.
精品
9
热点分类突破
➢ 热点一 特殊与一般的转化 ➢ 热点二 函数、方程、不等式之间的转化 ➢ 热点三 正难则反的转化
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10
热点一 特殊与一般的转化
例 1 (1)AB 是过抛物线 x2＝4y 的焦点的动弦，直线
l1，l2 是抛物线两条分别切于 A，B 的切线，则 l1，l2
的交点的纵坐标为( )
f1200＋…＋f19090的值为________.
解析 由于直接求解较困难，可探求一般规律，
∵f(x)＋f(1－x)＝ax＋ax a＋a1－ax1＋－x a＝ax＋ax a＋a＋aax a
＝ax＋ax
＋ a
a＋a ax＝axa＋＋a精ax品＝1，
13
∴f1100＋f1200＋…＋f19090
＝ f1100＋f19090 ＋ f1200＋f19080 ＋ … ＋
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8
(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于 确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式 进行解决. (10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原 问题的结果看做集合A，而把包含该问题的整体问 题的结果类比为全集U，通过解决全集U及补集∁UA 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.
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1.转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化，即化归对象. (2)化归到何处去，即化归目标. (3)如何进行化归，即化归方法. 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.
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2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时， 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一 种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决， 这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成 功的思维方式.常见的转化方法有：
A.－1
B.－4
C.－14
D.－116
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11
解析 找特殊情况，当AB⊥y轴时，AB的方程为y＝ 1，则A(－2，1)，B(2,1)， 过点A的切线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0. 同理，过点B的切线方程为x－y－1＝0， 则l1，l2的交点为(0，－1). 答案 A
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(2)已知函数 f(x)＝ax＋ax a(a>0 且 a≠1)，则 f1100＋
f14090＋f15010＋f15000＝1×49＋12＝929.
答案
99 2
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一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特
思 殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把
维 升
握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效
华 果.
精品
15
变式训练1
(1)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
精品
7
Hale Waihona Puke Baidu
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价 命题，达到化归的目的. (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化， 并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变 为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问 题是转化方法的一个重要途径.