抛物线及其标准方程(孙卫星)

= -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后， 它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程 就会有多解．
由例1.和例2.反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量
课堂练习
例3：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。
1 4a
∴焦点坐标是（
，0），准线方程是： x=
1 4a
②当a<0时,
p 2
=
,抛物线的开口向左 x=
1 4a
∴焦点坐标是（
1 ，0），准线方程是： 4a
想 一 想 ？
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、（证明）
抛物线标准方程的推导
l N
K
M
· · F
试 一 试 ？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
抛物线标准方程的推导
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， A 得p= 9
2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= 2
．
y
4
O
x
3
4 9 2= 2 = x ∴抛物线的标准方程为x y或 y 3 2
。
课堂小结
1。抛物线的定义
2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0 （2）y=2x2
注意：求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 （4）x2 +8y =0 标准形式
焦点坐标
准线方程
（1 ）
（2） （3） （4）
（5，0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（0，-2）
抛 物 线 方 程
左右 型
标准方程为
开口向右:
y2 =+ 2px
(p>0)
y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:
y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:
上下 型
标准方程为
x2 =+ 2py
(p>0)
x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:
x2 = -2py (y≤0)
课堂练习
例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
抛物线及其标准
横车中学高二数学组
钟涛
请同学们思考一个问题
想 一 我们对抛物线已有了哪些认识？ 想 ？
二次函数是开口向上或向下的抛物线。 y
o
x
生活中存在着各种形式的抛物线
抛物线的生活实例
投篮运动
抛物线的生活实例
飞机投弹
抛物线的生活实例 探照灯的灯面
请同学们观察这样一个小实验？
抛物线的定义
y=2
例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（-2，0） 解：y2 =-8x 1 （2）准线方程 是x = 解：y2 =x 4 （3）焦点到准线的距离是2 解：y2 =4x或y2
1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件， 就可以求出抛物线的标准方程
抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?
想 一 想 ？
其它形式的 抛物线的焦 点与准线呢？
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向 标准方程
焦点
准线
x
向右
o
x 向左
y
向上
o
x
y
﹒
o
向下Fra Baidu bibliotek
x
抛物线的标准方程
怎样把抛物线的位置特 征（标准位置）和方程特征 （标准方程）统一起来？
想 一 想 ？
抛物线的标准方程
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
4。注重数形结合的思想 5。注重分类讨论的思想
课后练习
已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
1 4a
,抛物线的开口向右
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （注意：F不在I上） 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 N L
M
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点M的轨迹是抛物线。 ︳ ︳ MN
抛物线标准方程的推导 l
N 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
M
· · F
抛物线的标准方程
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
抛物线的标准方程
方程 y2
= 2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点
位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴 p p 即右焦点F（ 2 ，0），左准线L：x =- 2
﹒
y
o
x
但是，对于一条抛物线，它在坐标平面 内的位置可以不同，所以建立的坐标系 也不同，所得抛物线的方程也不同，所 以抛物线的标准方程还有其它形式。
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F（ 2 ，0），L：x =2 设动点M的坐标为（x，y） K o 由抛物线的定义可知， F
· ·
x
p 2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）