抛物线及其标准方程(孙卫星)
抛物线及其标准方程 课件
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学教案： 抛物线的几何性质苏教版选修
教学案
科目: 数学 主备人： 备课日期：
课 题
第 １ 课时
计划上课日期：
教学目标
知识与技能 掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题．
过程与方法 情感态度 与价值观
教学重难点
抛物线的几何性质．
教学流程\内容\板书
关键点拨
加工润色
一、复习回顾
抛物线的标准方程有哪些？ 二、自主探究
探究１ 类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 根据抛物线)0(22
>=p px y 的图象研究抛物线的几何性质．
１．范围．
当x 的值 时，y 也 ，这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸． ２．对称性．
从图象上看：抛物线关于 轴对称；。
20172018学年高中数学苏教版选修21学案：2.4.1抛物线的标准方程Word版含解析高品质版
抛物线抛物线的标准方程1．掌握抛物线的标准方程，会求抛物线的标准方程．(要点 ) 2．抛物线标准方程与定义的应用．(难点 )3．抛物线标准方程、准线、焦点的应用．(易错点 )[基础·初探 ]教材整理抛物线的标准方程阅读教材P51例1 以上的部分，完成以下问题.图形标准方程焦点坐标准线方程2p py ＝2px(p>0) F 2，0x＝－2y2＝－ 2px(p>0) F －p， 0x＝p 22x 2＝2py(p>0)F 0，p＝－p2y2x 2＝－ 2py(p>0)F 0，－py＝p221．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)标准方程y 2＝2px(p＞ 0)中的 p 的几何意义是焦点到准线的距离． ()(1)(2)抛物线的焦点地点由一次项及一次项系数的正负决定．()(3)抛物线的方程都是二次函数．()(4)抛物线的张口方向由一次项及一次项系数的正负决定．()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√2．若抛物线的方程为x＝ 2ay2(a＞0)，则焦点到准线的距离p＝ ________.【导学号： 09390039】【分析】把抛物线方程化为标准形式：y2＝2a1x，故 p＝4a1.【答案】14a3．已知抛物线的焦点坐标是(0，－ 3)，则抛物线的标准方程是________．【分析】∵p2＝ 3，∴ p＝6，∴ x2＝－ 12y.【答案】x2＝－ 12y[怀疑·手记 ]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”商讨交流：疑问 1：解惑：疑问 2：解惑：疑问 3：解惑：[小组合作型 ]求抛物线的焦点及准线(1)抛物线 2y 2－ 3x ＝0 的焦点坐标是，准线方程是 ________．(2)若抛物线的方程为 y ＝ax 2(a ≠0)，则抛物线的焦点坐标为 ________，准线方程为 ________．3【自主解答】(1)抛物线 2y 2－3x ＝0 的标准方程是 y 2＝2x ，3 3 p 3 33 ∴2p ＝2，p ＝4， 2＝ 8，焦点坐标是8， 0 ，准线方程是 x ＝－ 8.1(2)抛物线方程 y ＝ax 2(a ≠0)化为标准形式： x 2＝a y ，1 1 p 11 当 a>0 时，则 2p ＝a ，解得 p ＝2a ， 2＝4a ，∴焦点坐标是 0， 4a ，准线方1程是 y ＝－ 4a .1 p1当 a<0 时，则 2p ＝－ a ，2＝－ 4a .11∴焦点坐标是 0，4a ，准线方程是 y ＝－ 4a ，1 1 综上，焦点坐标是 0，4a ，准线方程是 y ＝－ 4a . 【答案】(1) 3， 0 x ＝－ 38 8 (2) 0，1 y ＝－14a4a求抛物线的焦点及准线步骤1．把分析式化为抛物线标准方程形式．2．明确抛物线张口方向．3．求出抛物线标准方程中 p 的值．4．写出抛物线的焦点坐标或准线方程．[再练一题 ]1．求抛物线 y＝－ mx2(m>0)的焦点坐标和准线方程．221【解】抛物线 y＝－ mx (m>0)的标准方程是 x ＝－m y.1 p 111∵m>0，∴ 2p＝m，2＝4m，焦点坐标是0，－4m，准线方程是 y＝4m.求抛物线的标准方程依据以下条件确立抛物线的标准方程．(1)关于 y 轴对称且过点 (－1，－ 3)；(2)过点 (4，－ 8)；(3)焦点在 x－ 2y－4＝0 上．【出色点拨】 (1)用待定系数法求解； (2)因焦点地点不确立，需分类谈论求解； (3)焦点是直线 x－ 2y－4＝0 与坐标轴的交点，应先求交点再写方程．【自主解答】 (1)法一：设所求抛物线方程为 x2＝－ 2py(p>0)，将点 (－ 1，－ 3)的坐标代入方程，得(－1)2＝－ 2p·(－ 3)，解得 p＝16，所以所求抛物线方程为21x＝－3y.法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，所以设抛物线的方程为x2＝1my(m≠0)．又抛物线过点(－ 1，－ 3)，所以 1＝ m·(－ 3)，即 m＝－3，所以所求21抛物线方程为 x ＝－3y.(2)法一：设所求抛物线方程为y2＝ 2px(p>0)或 x2＝－ 2p′y(p′>0)，将点 (4，－8) 的坐标代入 y2＝ 2px，得 p＝8；将点 (4，－8)的坐标代入 x2＝－ 2p′ y，得p′＝ 1.所以所求抛物线方程为 y2＝16x 或 x2＝－ 2y.法二：当焦点在 x 轴上时，设抛物线的方程为 y2＝ nx(n≠0)，又抛物线过点(4，－ 8)，所以 64＝4·n，即 n＝ 16，抛物线的方程为 y2＝16x；当焦点在 y 轴上时，设抛物线的方程为 x2＝my(m≠0)，又抛物线过点 (4，－8)，所以 16＝－ 8m，即 m＝－ 2，抛物线的方程为 x2＝－ 2y.综上，抛物线的标准方程为 y2＝16x 或 x2＝－ 2y.x＝0，x＝ 0，y＝ 0，y＝0，(3)由得由得x－2y－4＝ 0，y＝－ 2，x－ 2y－4＝0，x＝4.p 所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－ 2)或(4,0)．当焦点为 (0，－ 2)时，由2＝2，得 p＝4，所以所求抛物线方程为x2＝－ 8y；当焦点为 (4,0)时，由p2＝4，得 p＝8，所以所求抛物线方程为 y2＝16x.综上所述，所求抛物线方程为 x2＝－ 8y 或y2＝ 16x.求抛物线的标准方程求抛物线方程都是先定位，即依据题中条件确立抛物线的焦点地点；后定量，即求出方程中的 p 值，从而求出方程．(1)定义法：先判断所求点的轨迹能否吻合抛物线的定义，从而求出方程．(2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再依据题中条件，确立参数值．①关于对称轴确立，张口方向也确立的抛物线，依据题设中的条件设出其标准方程： y2＝ 2px(p>0)，或 y2＝－ 2px(p>0)，或 x2＝2py(p>0)，或 x2＝－ 2py(p>0)，进行求解，要点是可以依照抛物线的几何性质第一确立出抛物线方程的形式，然后采纳待定系数法求出其标准方程．②关于对称轴确立，而张口方向不确立的抛物线：当焦点在x 轴上时，可将抛物线方程设为y2＝ax(a≠ 0)；当焦点在y 轴上时，可将抛物线方程设为x2＝ay(a≠ 0)，再依据条件求 a.[再练一题 ]2．以双曲线 16x2－9y2＝144 的左极点为焦点的抛物线方程是________.【导学号： 09390040】【分析】双曲线16x2－9y2＝144 的标准方程是22x9 －16y＝1，左极点是 (－3,0)，由题意设抛物线的方程为y2＝－ 2px(p>0)，∴－p2＝－ 3，∴ p＝6，抛物线的标准方程是y2＝－ 12x.【答案】y2＝－ 12x抛物线的标准方程及定义的应用(1)设 P 是曲线 y2＝4x 上的一个动点，求点P 到点 B(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－ 1 的距离之和的最小值．(2)已知抛物线 y2＝ 2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求 PA＋ PF 的最小值，并求出获得最小值时点P 的坐标．【出色点拨】(1)把点P 到准线的距离转变成点P 到焦点F 的距离，利用PB ＋PF≥BF 求解． (2) 把点 P 到焦点 F 的距离转变成点 P 到准线的距离，利用垂线段时最短求解．【自主解答】 (1)∵抛物线的极点为 O(0,0)，p＝2，∴准线方程为 x＝－ 1，焦点F 坐标为 (1,0)，∴点 P 到点 B(－ 1,1)的距离与点 P 到准线 x＝－ 1 的距离之和等于PB＋PF.如图， PB＋PF≥BF，当 B，P，F 三点共线时获得最小值，此时BF＝－1－12＋1－02＝5.(2)将 x＝3 代入抛物线方程 y2＝ 2x，得 y＝± 6.∵ 6>2，∴ A 在抛物线内部．设抛物线上点 P 到准线 l ：x＝－1的距离为 d，由定义知 PA＋PF＝PA＋ d. 2由图可知，当 AP⊥l 时， PA＋d 最小，最小值为7，即 PA＋PF 的最小值为7，此22时点 P 的纵坐标为 2，代入 y2＝ 2x，得 x＝ 2，∴点 P 的坐标为 (2,2)．抛物线定义在求最值中的应用1．解此类最值、定值问题时，第一要注意抛物线定义的转变应用，其次是注意平面几何知识的应用， 比方两点之间线段最短， 三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．2．数形联合思想是求解几何最值的常用方法之一．[再练一题 ]3．已知定长为 3 的线段 AB 的端点 A ，B 在抛物线 y 2＝ x 上挪动，求 AB 的中点 M 到 y 轴距离的最小值．【解】 如图，设点 F 是抛物线 y 2＝x 的焦点，过 A ，B 两点分别作其准线的垂线 AC ， BD ，过 AB 的中点 M 作准线的垂线 MN ，C ，D ， N 为垂足，则 MN1＝ 2(AC ＋ BD)．由抛物线的定义，知 AC ＝AF ，BD ＝BF ，∴MN ＝ 1＋BF) ≥ 1 ＝32(AF2AB 2.设点 M 的横坐标为 x ，13 1 5 MN ＝x ＋4，则 x ≥ 2－ 4＝ 4.当线段 AB 过焦点 F 时，等号建立，此时点 M 到 y 轴的最短距离为 54.[研究共研型 ]抛物线的标准方程研究 1 四种形式的标准方程的异同点是什么？【提示】 对四种地点不一样的抛物线和它们的标准方程进行比较、 分析，其共同点有： (1)过原点； (2)对称轴为坐标轴； (3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点12p p关于极点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的4，即4＝2 (p>0)；(4) 焦点到准线的距离均为p.不一样点： (1)对称轴为x 轴时，方程的右端为±2px，左端为y2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，左端为 x2；(2)张口方向与 x 轴(或 y 轴)的正方向同样时，焦点在 x 轴(或 y 轴 )的正半轴上，方程的右端取正号；张口方向与x 轴(或 y轴 )的正方向相反时，焦点在 x 轴(或 y 轴)的负半轴上，方程的右端取负号．研究 2 经过抛物线的标准方程，如何判断焦点地点及张口方向？【提示】在抛物线的标准方程中，一次项起了要点作用．(1)假如一次项含有x，则说明抛物线的焦点在x 轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，张口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，张口向左；(2)假如一次项含有y，则说明抛物线的焦点在y 轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，张口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，张口向下．研究 3我们知道，二次函数y＝ax2的图象是抛物线，如何确立它的焦点和准线？【提示】焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程为 x2＝2py，平常又可以写成y＝ax2，这与从前所学习的二次函数的分析式是完整一致的，但需要注意的是，由方程 y＝ax2来求其焦点和准线时，一定先化成标准形式．动点 M(x，y)到 y 轴的距离比它到定点 (2,0)的距离小 2，求动点 M(x，y)的轨迹方程．【出色点拨】设 F(2,0)，由题意 MF＝ |x|＋2，或依据点 M，F 在 y 轴的同侧或异侧分类谈论．【自主解答】法一：设 F(2,0)，由题意 MF＝ |x|＋2，2 2 2 8x x≥0，x－2 ＋y ＝|x|＋2，化简得 y ＝4x＋4|x|＝∴动点 M 的轨迹方程是 y＝ 0(x<0)或 y2＝8x(x≥ 0)．法二：(1)当 x≥ 0 时，∵动点 M(x，y)到 y 轴的距离比它到定点 (2,0)的距离小2，∴动点 M 到定点 (2,0)的距离与到定直线x＝－ 2 的距离相等，∴动点 M 的轨迹是以 (2,0)为焦点， x＝－ 2 为准线的抛物线，且p＝4，∴抛物线的方程为y2＝8x(x≥ 0)．(2)当 x<0 时，因为 x 轴上原点左边的点到 y 轴距离比它到 (2,0)的距离小于 2，∴动点 M 的轨迹方程 y ＝ 0(x<0)．2综上，动点 M 的轨迹方程为 y ＝0(x<0)和 y ＝ 8x(x ≥0)．1．设抛物线的极点在原点， 准线方程 x ＝－ 2，则抛物线的方程是 ________．【分析】由准线方程 x ＝－ 2，极点在原点，可得抛物线焦点为F(2,0)，p＝ 4.故所求抛物线方程为 y 2＝8x.【答案】 y 2 ＝8x2．抛物线 y ＝ax 2 的准线方程是 y ＝2，则 a 的值是 ________.【导学号： 09390041】21【分析】抛物线的标准方程为 x ＝a y.则 a ＜ 0 且 2＝－ 1 ，4a 得 a ＝－ 1 8.1【答案】－82＝ 122．若抛物线的焦点与椭圆 x＋ y＝1 的右焦点重合，则 p 的值为3y 2px62 ________．椭圆的右焦点为 (2,0)，故 p ＝ 1【分析】16.1【答案】164．已知点 P(2， y)在抛物线 y2＝ 4x 上，则 P 点到抛物线焦点 F 的距离为________．【分析】∵点 P(2，y)在抛物线y2＝4x 上，∴点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 x＝－ 1 的距离．∵点 P 到准线 x＝－ 1 的距离为 3，∴点 P 到焦点 F 的距离为 3.【答案】35．已知抛物线的方程为y2＝－ 8x.(1)求它的焦点坐标和准线方程；(2)若该抛物线上一点到y 轴的距离为 5，求它到抛物线的焦点的距离；(3)该抛物线上的点M 到焦点的距离为4，求点 M 的坐标．【解】(1)焦点坐标为 (－2,0)，准线方程为 x＝2.(2)设 M(x0，y0)是抛物线 y2＝－ 8x 上一点， F 是它的焦点，由抛物线定义知，p|MF|＝ x0＋2＝5＋2＝7.∴它到抛物线焦点的距离为7.(3)∵ M 到焦点的距离为4，∴M 到准线的距离为4，即 M 到 y 轴的距离为 2，M 的横坐标为－ 2.∴M 的坐标为 (－2，±4)．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提高方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、填空题．抛物线 ＝ 2 的焦点坐标是 ________． 1 y 2x22 111 p 1【分析】∵抛物线 y ＝2x 的标准方程是 x ＝2y ，∴ 2p ＝ 2， p ＝ 4， 2＝ 8，1∴焦点坐标是 0，8 .1【答案】0，82．抛物线 y 2＝10x 的焦点到准线的距离是 ________．【分析】∵2p ＝10，p ＝5，∴焦点到准线的距离为 5.【答案】53．以原点为极点，坐标轴为对称轴，而且准线经过P(－2，－ 4)的抛物线方程为 ________．【分析】 若抛物线的准线为 x ＝－ 2，则抛物线的方程为 y 2＝8x ；若抛物线的准线为 y ＝－ 4，则抛物线的方程为 x 2＝ 16y.【答案】y 2 ＝8x 或 x 2＝16y4．已知抛物线 y ＝4x 2 上一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的坐标是 ________.【导学号： 09390042】2 21【分析】设 M(x 0，y 0)，把抛物线 y ＝4x 化为标准方程，得x ＝4y.1115则其准线方程为 y ＝－ 16，由抛物线的定义，可知 y 0－ －16 ＝1，得 y 0＝ 16， 21 15 15 15 ± 15 15 . 代入抛物线的方程，得 x 0＝ × ＝ ，解得 x 0＝± 8 ，则 M 的坐标为8 ， 164 16 64【答案】 15 15±8 ，16．抛物线 x 2＝ 2y 上的点 M 到其焦点 F 的距离 MF ＝5，则点 M 的坐标是 5 2________．11【分析】设点 M(x ，y)，抛物线准线为 y ＝－ 2，由抛物线定义， y － － 2＝5， y ＝2，所以 x 2＝ 2y ＝4，x ＝±2，所以点 M 的坐标为 ( ±2,2)． 2【答案】 ( ±2,2)6．已知 F 是拋物线 y 2＝ x 的焦点， A ，B 是该拋物线上的两点， AF ＋BF ＝3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ________．【分析】如图，由抛物线的定义知， AM ＋BN ＝AF ＋33 1 5BF ＝3，CD ＝2，所以中点 C 的横坐标为 2－ 4＝4，即 C 到 y5轴的距离为 4.【答案】547．若动圆与圆 (x － 2)2＋y 2＝1 外切，又与直线 x ＋1＝0 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ________．【分析】 设动圆半径为 r ，动圆圆心 O ′(x ，y)到点 (2,0)的距离为 r ＋′到直线 x ＝－ 1 的距离为 r ，∴ O ′到(2,0)的距离与 O ′ 到直线 x ＝－ 2 的距离相等，由抛物线的定义知动圆圆心的轨迹方程为y 2＝8x.【答案】y 2 ＝8x8．在平面直角坐标系 xOy 中，有必定点 A(2,1)．若线段 OA 的垂直均分线过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．【分析】由题意可求出线段OA 的垂直均分线交x 轴于点54，0，此点为抛物线的焦点，故准线方程为5x ＝－ 4.【答案】5x ＝－ 4二、解答题9．已知抛物线的极点在原点，焦点在x 轴上，抛物线上的点 M(－3，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的标准方程和 m 的值．2【解】法一： 由题意可设抛物线方程为 y ＝－ 2px(p>0) ，则焦点为pF －2，0，m 2＝ 6p ，因为点M 在抛物线上，且 MF ＝5，所以有m 2＋p3－22＝5，p ＝4，p ＝ 4，解得或m ＝2 6m ＝－ 2 6.故所求的抛物线方程为 y 2＝－ 8x ， m 的值为 ±26.法二：由题可设抛物线方程为y 2＝－ 2px(p>0)，则焦点为pF －2，0，准线方程为px ＝2，依据抛物线的定义，点 M 到焦点的距离等于 5，也就是 M 到准线的距离为5，p则 3＋2＝5，∴p ＝4，2∴抛物线方程为 y ＝－ 8x.∴m 2＝24，∴ m ＝±2 6.．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线 x 2－y 2 ＝1 上的抛物线的标准方程． 10 4 2【解】由题意可设抛物线方程为 y 2＝2mx(m ≠0)，m则焦点为 2，0 .x 2 y 2∵焦点在双曲线 4 － 2 ＝ 1 上，∴ m 2＝1，求得 m ＝±4， 4×4∴所求抛物线方程为 y 2＝8x 或 y 2＝－ 8x.[ 能力提高 ]1．设 M(x 0，y 0)为抛物线 C ：x 2＝ 8y 上一点， F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心， FM 为半径的圆和抛物线 C 的准线订交，则 y 0 的取值范围是 ________.【导学号： 09390043】【分析】 圆心到抛物线准线的距离为 p ＝4，依据已知，只要 FM>4 即可．依据抛物线定义， FM ＝y 0＋ 2，由 y 0＋2>4，解得 y 0>2.故 y 0 的取值范围是 (2，＋∞)．【答案】(2，＋∞ )2．设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2＝ax(a ≠ 0)的焦点 F ，且和 y 轴交于点 A ，若△ OAF(O 为坐标原点 )的面积为 4，则抛物线的方程为 ________．【分析】因为抛物线 2＝ ≠ 的焦点F 的坐标为 a，0 ，所以直线 ly ax(a 0) 4aa 1的方程为 y ＝ 2 x － 4 ，它与 y 轴的交点为 A0，－ 2 ，则△ OAF 的面积为 2a·－ a＝4，解得 a ＝±8，故抛物线的方程为 y 2＝8x 或 y 2＝－ 8x.42【答案】y 2 ＝8x 或 y 2＝－ 8x3．已知点 P 是抛物线 y 2＝4x 上的点，设点 P 到抛物线准线的距离为 d 1，到圆 (x ＋3)2＋ (y －3)2＝1 上的一动点 Q 的距离为 d 2，则 d 1＋d 2 的最小值是 ________．【分析】 由抛物线的定义得 P 到抛物线准线的距离为 d 1＝ PF ， d 1＋d 2 的最小值即为抛物线的焦点 F(1,0)到圆 (x ＋3)2＋(y －3)2＝1 上的一动点 Q 的距离的最小值，最小值为 F 与圆心的距离减半径，即为 4，故填 4.【答案】44．如图 2-4-1 所示，一地道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部 (设为平顶 )与地道顶部在竖直方向上高度之差最少要有 0.5 米．图 2-4-1(1)以抛物线的极点为原点 O ，其对称轴所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系 (如图 )，求该抛物线的方程；(2)若行车道总宽度 AB 为 7 米，请计算经过地道的车辆限制高度为多少米？(精确到 0.1 米)【解】 以以下图：(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－ 2py(p＞ 0)，5因为点 C(5，－ 5)在抛物线上，所以p＝2.所以该抛物线的方程为x2＝－ 5y.(2)设车辆高 h，则 DB＝ h＋，故，h－6.5)，代入方程 x2＝－ 5y，解得 h＝，所以车辆经过地道的限制高度为 4.1 米.跟着年的叠加，我会：越是有智慧的人，越是虚，因昂的不过稗子，低的才是稻子；越是富裕的人，越是高，因真切的丰饶是灵魂上的高以及精神世界的丰饶；越是秀的人，越是努力，因秀向来不是与生俱来，向来不是一蹴而就。
江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学2.4.1抛物线的标准方程教案 苏教版选修2-1
五、小结
抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念．
六、课后作业
教学心得
三、讲解范例
例1已知抛物线标准方程，求它的焦点坐标和准线方程．
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
例2求满足下列条件的抛物线的标准方程：
（1）焦点坐标是F（0，－3）
（2）经过点A（－3，2）
四、课堂练习
1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．
（1）y2＝8x（2）x2＝4y（3）2y2＋3x＝0（4）
江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学教案：《2.4.1抛物线的标准方程》（苏教版选修2-1）
教学目标
知识与技能
1．掌握抛物线的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；
2．掌握求抛物线的标准方程的基本方法；
过程与方法
情感态度
与价值观
教学重难点
能根据已知条件求抛物线的标准方程
教学流程\内容\板书
不同点：
（1）图形关于 轴对称时， 为一次项， 为二次项，方程右端为 、左端为 ；图形关于 轴对称时， 为二次项， 为一次项，方程右端为 ，左端为 ．
（2）开口方向在 轴（或轴）正向时，焦点在 轴（或 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在 轴（或 轴）负向时，焦点在 轴（或 轴）负半轴
时，方程右端取负号．
2．推导抛物线的标准方程：
如图所示，建立直角坐标系，设 （ ）,
那么焦点 的坐标为 ，准线 的方程为 ，
设抛物线上的点 ，则有
．
化简方程得 ．
方程 叫做抛物线的标准方程．
3．抛物线的标准方程：
图形
焦点
准线
标准方程
相同点：
“抛物线及其标准方程”的教学设计及思考
“抛物线及其标准方程”的教学设计及思考申会文 （江苏省苏州工业园区第二高级中学 ２１５１２１） 《普通高中数学课程标准（实验）》指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式．这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程．笔者在设计“抛物线及其标准方程”时，努力践行这一理念，下面给大家分享一下设计过程．１ 过程设计１．１ 动手探索，自主建构图１上课前先发一张如图１所示的讲义纸（１６Ｋ薄纸），让学生对折，使得点犃和点犉重合，标记折痕和直线犪的交点为犃１，依次继续对折，使得点犅和点犉重合，标记折痕和直线犫的交点为犅１，……当学生大都得到犈１点时，笔者让他们停下来思考如下两个问题．问题１ 点犈１与点犈，犉的位置关系是什么？问题２ 能否不再折纸，得到余下四个点？全部完成以后，引导学生发现这些点的共同特点（到直线犾和点犉的距离相等），从而得到抛物线的定义（学生自主建构得到）．教师用几何画板动态验证（略）．图２（教师投影）抛物线的定义：平面内到一个定点犉和一条定直线犾（犉不在犾上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（如图２）．定点犉叫做抛物线的焦点，定直线犾叫做抛物线的准线．（此处强调犉不在犾上，当犉在犾上时，引导学生思考此时轨迹是什么．）问题３ 你能给出一些你见过的抛物线模型吗？教师在学生回答的基础上，投影出以下和抛物线有关的图案（如图３），让学生感受数学的美和实用性．图３１．２ 小组合作，再次建构问题４ 求曲线方程的一般步骤是什么？建系→设点→列等式→代方程→化简→检验（简单概括：建设现代化，现代化的成果需要检验）问题５ 你认为应如何选择坐标系，使所建立的抛物线的方程更简洁？尝试一下．学生受已有经验和图形对称性的影响，一般会想到以下三种建系方式（如图４）．图４根据学生的构想，将学生分成三组，分别探索出方程．交流比较所得结果，看哪一种最简洁．（教师投影）我们把方程狔２＝２狆狓（狆＞０）叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在狓轴的正半轴上，坐标是狆２，（）０，准线方程是狓＝－狆２．问题６ 狆的几何意义是什么？１．３ 类比迁移，发现新知问题７ 如果抛物线的开口方向向左（或向上、向下）时，又如何建立坐标系，使推导出来的方程最简洁呢？请填写下表．图 形标准方程焦点坐标准线方程１．４ 学以致用，巩固新知例１ 已知抛物线的标准方程是狔２＝４狓，它的焦点坐标是 ，准线方程 ．变式１ 已知抛物线的标准方程是狓２＝４狔，它的焦点坐标是 ，准线方程 ．问题８ 根据抛物线的４种形式，你能出几道题吗？（小组内相互交流解决，每个小组再选出两道有价值的题目，让其他小组完成．）注 如果学生给出焦点坐标或者准线方程，去求抛物线的标准方程，应给以表扬，问题９可忽略．问题９ 还能给定一些条件，探求抛物线的标准方程吗？（鼓励学生逆向变式）例２ 已知点犕到点犉（１，０）的距离和到直线犾：狓＋１＝０的距离相等，求点犕的轨迹方程．注 学生可能会想到两种方法：直译法（设点代入化简）和定义法，都应鼓励．变式１ 已知点犃（２，０）和直线犾：狓＝－２，则经过点犃且与直线犾相切的动圆圆心犕的轨迹方程为 ．变式２ 若点犕到点犉（４，０）的距离比它到直线犾：狓＋５＝０的距离小１，求点犕的轨迹方程．１．５ 总结反思，理性升华引导学生从知识、方法等方面进行总结，教师点评，引导其他学生补充．１．６ 操作探究，循环回归（课后作业）（１）同座互出一道关于抛物线的题目，相互交流解决．（２）将一张长方形纸片犃犅犆犇的一个角斜折，使犇点总是落在对边犃犅上，然后展开纸片，得到一条折痕犾．这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它们形成何种曲线？为什么是这种曲线？你能用这种曲线的定义验证吗？２ 教学设计的几点说明２．１ 关于教学内容的说明（１）抛物线及其标准方程的地位和作用抛物线是学生接触的第三种圆锥曲线，相对于椭圆和双曲线而言要简单一些，只是出于其开口有四种方向，使得抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程个数较多，形式又很接近，学生极容易混淆．抛物线方程和二次函数、导数联系紧密，应用也很广泛，但在江苏高考要求中仅属于Ａ级（了解级）．（２）抛物线及其标准方程的教育功能分析抛物线轨迹的发现，可以采用类比的方法，也可以采用实验的方法．本文采用的是实验的方法，旨在培养学生动手操作、探索发现的能力．标准方程的推出过程充满了辩证思维，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换．而要得到标准方程，必须适当建立坐标系，抛物线作为无心二次曲线，方程对坐标系的依赖关系和椭圆、双曲线不同，学生会联想到多种情况．另外，焦点和准线的相对位置关系决定了抛物线的标准方程有４种．因此，抛物线标准方程的推导是培养辩证思想的好素材．２．２ 关于教学方法的说明本节课采用“支架式（ｓｃａｆｆｏｌｄｉｎｇ）”教学模式．ｓｃａｆｆｏｌｄｉｎｇ的本意是建筑行业的脚手架，这里用来形象地说明一种教学模式：教师引导着教学的进行，使学生掌握、建构和内化所学的知识技能，从而使他们进行更高水平的认知活动．简言之，是通过支架（教师的帮助）把管理学生学习的任务逐渐由教师转移给学生自己，最后撤去支架．显然，“支架式”教学模式符合课标的理念．（１）搭脚手架———围绕当前学习主题，按“最近发展区”的要求建立概念框架本节课的教学框架如下：（２）进入情境———将学生引入一定的问题情境（概念框架中的某个节点）首先本文创设一个有趣的折纸游戏，为抛物线定义的发现创设一个“脚手架”．其次通过类比椭圆和双曲线标准方程的推导过程，联想抛物线方程的推导方法，从而在定义和标准方程之间建立“最近发展区”．而抛物线标准方程的多样性也为问题情境的创设提供了素材．（３）独立探索———让学生独立思考学生通过折纸、描点、连线各自独立完成抛物线，又通过独立思考这些点的共同特点导出抛物线的定义．在解决例１后鼓励学生积极提出自己的问题，让学生真正成为课堂的主人．学生在提出问题的同时，也培养他们独立思考问题的习惯．心理学研究表明：自己独立探索发现的知识记忆最长久、最深刻．（４）协作学习———进行小组协商、讨论现代科技突飞猛进，知识更新周期变短．培养学生的独立思考能力尽管重要，但是对于复杂的问题，小组合作交流也是必要的．如抛物线标准方程的发现是通过小组合作完成的，又如例１的变式生成的结论，很多学生会产生错误，相互交流之后会发现自己的不足，修正自己．再如例２的变式，学生直观上会形成两种对立的结论，经过探索、交流，最终形成理性的结论．３ 教后反思３．１ 关于学习能力的培养数学课程标准指出：数学教学应强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展．本节课通过折纸、小组合作交流等方式重点培养了学生动手操作、探索发现和合作交流的能力，此外还培养了学生以下两种能力．（１）提出问题的能力杨振宁教授在比较中、外留学生有哪些不同时曾指出：中国学生普遍成绩比较出色，特别是在数学运算和推理方面比国外学生有明显优势，但中国学生最大的缺憾就是不善于提出问题，缺乏创新精神．这一方面是现行的教育制度造成的，另一方面也与教师的教学方式有关．本节课教师让学生自己给出变式，让别的学生解决．学生不再是解决问题的机器，也可以提出自己的问题．（２）鉴赏数学美的能力Ｆ．克莱因认为：数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作．音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切．由此可见，已经无法用语言来表达数学美的巨大魅力和美的最高境界．本节课让学生充分感悟到抛物线的对称美和应用美，并利用抛物线的对称美启迪学生建立合适的坐标系来探求抛物线的标准方程．３．２ 关于教学过程的调控（１）根据学生的实际，适时作出调整最好的教学效果不在于课堂的形式多么优美，教学内容挖掘得多深厚，而在于学生学到多少．在实际的教学中，若是学生整体水平不太高，在推导标准方程的过程中会有困难，合作交流就会流于形式．笔者的做法是选择一种形式，引导学生写出关键点的坐标，根据定义列出关键的等式，化简过程由学生完成，另外两种形式则由学生自主探索与小组交流相结合，这样教学效果会好一些．（２）预设诚可贵，生成价更高精彩预设的同时也要关注课堂的意外生成，生成是教学对话情境下师生知识、能力、情感态度的超越性获得和发展．这种获得和发展的最关键因素是教师的智慧，它仿佛是足球场上的临门一脚．这种智慧不是一般的智慧，按现象学教育大师马克斯·范梅南的说法叫“教学机智”，就是教师在教学中应对和处理偶发情况时，随机应变，因势利导，善于捕捉和发掘教育契机的能力与素质．例如本节课学生在折纸、描点的过程中，笔者发现一个学生没有折纸，而是用直尺和铅笔来完成描点，抛物线的轮廓很快就完成了．等到其他学生大多也完成了，笔者让他谈谈自己的思路．师：你是怎样找点的？生：我发现折痕实际上是直线犾上的点与点犉连线的中垂线，……师：好！“懒人”往往有聪明的想法啊！师：中垂线上的点有什么性质？……基于未来教室的高三数学教与学———以“函数的零点问题”为例王 娅 （江苏省苏州市第五中学 ２１５００８） 随着现代科学技术的飞速发展，信息技术的革新也将教育推向了改革的前端，未来教室的出现给课堂教学内容的呈现、教师的授课、学生的学习等都带来了巨大的改变．２０１５年３月１２日苏州市高三数学教改组活动在笔者所在学校举行，借此机会，笔者结合未来教室的现代信息技术开设了一堂高三二轮微专题课程“函数的零点问题”．下面来谈一谈关于这个微专题的教学设计以及在教学过程中的心得和体会．１ 未来教室环境下的教与学《国家中长期教育改革和发展规划纲要（２０１０－２０２０年）》特别提及推进教育信息化，指出：“信息技术对教育发展具有革命性影响，必须予以高度重视……强化信息技术应用，提高教师应用信息技术水平，更新教学观念，改进教学方法，提高教学效果．鼓励学生利用信息手段主动学习、自主学习，增强运用信息技术分析解决问题能力．”［１］因此，笔者就想通过未来教室的现代化教学手段探究教学方法，利用未来教室的课堂互动平台实现教师与学生之间的实时互动．这样的交互性能大大提高课堂的效率，也能促使学生在课堂中主动学习、自主探究．２ “函数的零点问题”的教学设计从２０１５年江苏省高考考试说明来看，“函数的零点问题”已经从Ａ级要求上升到了Ｂ级要求，因此应引起广大师生的重视．函数的零点、方程的根、函数图象交点之间的相互转化，体现了转化与化归、数形结合、分类讨论等重要数学思想，同时考查了函数的图象和性质，是高考重点考查的内容之一．结合２０１５年江苏省高考考试说明檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪， 笔者并没有批评这个“懒人”，而是发现其合理之处，顺势导出抛物线的定义．笔者一方面尊重学生的求异思维，另一方面也展现自己良好的驾驭课堂的能力．３．３ 关于学习效果的评价课堂教学中给学生的评价不能仅仅是“对”和“错”．这样的评价太单一，评价方式没有激励性，难以激发学生学习的积极性，久而久之，这样的评价作用就开始淡化．有效的评价应满足以下几个原则．（１）评价要有针对性如上面提到的教师应对课堂“意外”时，对于学生不是机械地去折纸，而是动脑发现折痕这件事，笔者给予充分的肯定．学生在以后的学习中，会更大胆地发表自己不同的见解，真正提高主动探索问题的能力．（２）评价要有技巧性对于一些学生在课堂中出现的精力不集中、易犯小错误等问题，教师不要去简单地批评，而是要以激励为原则．如本节课中，笔者让学生根据例题和抛物线的４种形式出一道题，在巡视的时候发现一个学生心不在焉，于是笔者让这位学生提出一个问题．显然这个学生准备不足，随口给出了这样一道题：已知抛物线的标准方程是狔＝狓２，它的焦点坐标是 ，准线方程 ．虽然这是一道很好的题，但是笔者没有立即去表扬他，而是让他自己给出答案．他给出了错误的答案：０，（）１２和狔＝－１２．笔者给出这样的评价：自己设了一个陷阱，没想到自己掉下去了．请同学们把他从“陷阱”里拉上来吧！（３）评价要有风格性评价来源于学生，要高于学生．语言要幽默精美、简短利落，学生就乐于接受．在课堂中不时地冒出：“巾帼不让须眉”、“学贵质疑”、“看要定心，读要定睛”、“你提出的问题很有水平”……这不仅是师生的心灵交流，而且也是教师文化底蕴的体现，更是中国文化博大精深的展示．。
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 抛物线的标准方程2教案 苏教版选修1-1
分析：例3是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线距离，从而达到求解目的
解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1.①
仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M的横坐标x应满足x＞－5,即点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线.
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学选修1-1教案：抛物线的标准方程2
教学
目标
1．掌握抛物线的定义，灵活应用定义求轨迹方程；
2．掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.
重点难点
重点：抛物线定义、几何性质的应用
难点：抛物线的应用
教学过程
Ⅰ.复习回顾：
师：上一节，我们学习了抛物线的定义及其标准方程，首先作简要回顾（略）.
于是可以求出|AB|=6+2=8.
说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.
Ⅲ.课堂练习
课本P1194，5.
●课堂小结
师：通过本节学习，要求大家进一步掌握抛物线的定义，并灵活运用抛物线定义求轨迹方程，同时掌握焦反思
将方程①代入抛物线方程y2=4x,得
（x－1）2=4x化简得x2－6x＋1=0
原创1：2.3.1 抛物线及其标准方程
1.抛物线在现实生活中随处可见．细心的同学可能 会注意到，广播电视局的大院内安装的卫星接收天线， 像一个个硕大的“锅盖”，其轴截面就是抛物线．当卫 星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚焦到一 点处．同学们常常见到一种高脚酒杯，其轴截面近似一 条抛物线(如图所示)．那么，抛物线到底有怎样的几何特征？
2.如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一 条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的 一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉 锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线， 这条曲线就是抛物线，那么抛物线的定义是什么？
1．抛物线的定义
【错因】 只考虑焦点在x轴上的情形，而遗漏了焦点在y 轴上的情形，本题中，抛物线的四种形式都有可能． 【正解】 由题意知p＝2，∴2p＝4. 故所求抛物线方程为y2＝±4x或x2＝±4y.
再见
平面内与一个定点F和一条直线l(l不经过点F) 距离相等 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的 焦点 ，
直线l叫做抛物线的 准线 ．
2．抛物线的标准方程
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px (p>0)
p2，0
x＝－p2
y2＝－2px (p>0)
－p2，0
x＝p2
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
故所求的抛物线方程为 y2＝－8x，m＝±2 6.
抛物线的焦点为(－2,0)，准线方程为 x＝2.
一、求抛物线的焦点坐标和准线方程
1、(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )
A．y2＝－8x
B．y2＝8x
C．y2＝－4x
抛物线及其标准方程 课件
解:(1)∵点(-3,2)在第二象限,
∴抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或 x2=2py(p>0).
把点(-3,2)的坐标分别代入 y2=-2px(p>0)和 x2=2py(p>0),得
4=-2p·(-3)或 9=2p·2,
4
3
9
2
即 2p= 或2p= .
4
3
9
2
故所求抛物线的标准方程为 y2=− 或x2= .
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可由开口向上或向下的标准形式的抛物线
通过平移得到.
求抛物线的标准方程
【例1】 试求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上;
5
(3)焦点到准线的距离为 .
2
分析:对于(1),需要确定 p 的值和开口方向两个条件,因为点(-3,2)
5
2
5
2
(3)由焦点到准线的距离为 , 可知p= ,
即 2p=5.
故所求的抛物线方程为 y2=5x 或 y2=-5x 或 x2=5y 或 x2=-5y.
抛物线的定义及标准方程的应用
【例2】 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动
点P的轨迹方程.
分析一:设点 P 的坐标为(x,y),则有 (-1)2 + 2 = || + 1,
在第二象限,所以抛物线的标准方程可设为 y2=-2px(p>0)或
x2=2py(p>0);对于(2),因为抛物线标准方程的焦点在坐标轴上,所以
求出直线 x-2y-4=0 与坐标轴的两个交点(4,0)和(0,-2),即为所求抛物
8.5《抛物线及其标准方程(2)》教案(旧人教第二册上)
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有意者请登录高考资源网()版权所有，盗用必究！8．5抛物线及其标准方程（2）一、教学目标知识目标：1、能根据题设，求出抛物线的标准方程、焦点、准线2、能推导焦点弦、焦半径公式，并熟练应用.能力目标：使学生能熟练地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平德育目标：结合教学内容，使学生牢固树立起对立统一的观点二、教材分析“抛物线及其标准方程”是教材第八章第五节的内容，也是本章介绍的最后一种圆锥知识学好本节对于完整地掌握二次曲线，有着不可替代的作用作为教学大纲规定的重点内容，高考必考的考点，这节教材继续着力于教会学生运用坐标法解题以及培养学生的对立统一的思想观点本节教材与前面的内容和结构都有相似之处但抛物线的确定过程中只有一个定点，所以这里要从对e值的讨论来导入新课教材利用教具演示引出抛物线定义，这种直观形象的过程类似于椭圆、双曲线定义引出过程，同学们已有一定的经验但这三者毕竟有着各自的特征，尤其是抛物线形成中依赖于一点一线而非两点，所以演示操作时除了讲出教材上的话之外还要适当与前面的椭圆、双曲线相关内容进行对比说明像椭圆和双曲线一样，抛物线的标准方程不只一种形式，而是共有4种形式之多为此应注意两点：一是要对四种方程形式进行列表对比，对其中的图形特征（如开口方向、顶点、对称轴等）也须作特别说明；二是要指出不能把抛物线当成双曲线的一支当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线没有渐近线；而双曲线上的点趋于无穷远时，它有渐近线1．重点：焦点弦，焦半径公式2．难点：公式的推导三、活动设计提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．四、教学过程(一)创设情境由一名学生回答，教师板书．问题：抛物线的定义是什么？答：平均数面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
抛物线的定义不仅反映了抛物线的本质，也为我们解决有关抛物线的问题提供了简捷的方法．(二)探索研究例1 点与点到的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程．解：如图，设点的坐标为由已知条件，“点与点的距离比它到直线”由已知条件，“点M与点F的距离比它到直线的距离小1”，就是“点M与点F 的距离等于它到直线的距离”。
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2.1.1抛物线及其标准方程省公开课一等奖新优质课获奖课件
分别将点P坐标代入上述方程,解得p1=4,p2= .所以,满足条件抛
2
2
2
物线有两条,它们方程分别为y =-8x和x =-y.
15/26
题型一
题型二
题型三
题型三
题型四
焦半径公式的应用
【例3】 已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,抛物线上点M(3,m)
到焦点距离等于5,求该抛物线方程和m值.
分析:依据已知条件设出抛物线方程,再利用点M在抛物线上和点
2
2
2
方程为y =x;若开口向下,设其方程为x =-2py(p>0),代入点P坐标可
得p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.另外,也可采取检验法快速得出正
确答案.
答案:A
23/26
1
3.抛物线y2=ax准线方程为(
A.x=
C.y=
B. =
4
D. =
4
2
3
4
5
)
−4
−4
答案:B
24/26
20/26
题型一
题型二
题型三
题型四
【例 4】 设抛物线 y 2=mx 的准线与直线 x=1 的距离为 3,求抛
物线方程.
4
错解:准线方程为 x=- ,因准线与直线 x=1 的距离为 3,所以准线
方程为
x=-2,所以- =-2,所以
4
m=8,故抛物线方程为 y2=8x.
错因分析:上述解法只考虑了 m>0 的情况,忽视了 m<0 的情况.
,0
2
,它的准线方程是 x=- ,
2
开口方向是向右.
课件3：2.3.1 抛物线及其标准方程
(2)令 x＝0 得 y＝－2，令 y＝0 得 x＝4，故抛物线的焦点 为(4,0)或(0，－2)．当焦点为(4,0)时，p2＝4，故 p＝8，此时抛 物线方程为 y2＝16x，当焦点为(0，－2)时，p2＝2，故 p＝4，此 时抛物线方程为 x2＝－8y，从而所求的抛物线的标准方程为 y2 ＝16x 或 x2＝－8y.
[解析] 以拱桥顶为坐标原点，拱高所在直线为 y 轴，建 立如图所示的坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p>0)，由题 意知，点 A(4，－5)在抛物线 x2＝－2py(p>0)上．
∴16＝－2p×(－5)，2p＝156. ∴抛物线方程为 x2＝－156y(－4≤x≤4)． 设水面上涨，船面两侧与抛物线拱桥接触于 B、B′时， 船开始不能通航，设 B(2，y′)．
(2)由焦点到准线的距离为 5，知 p＝5，又焦点在 x 轴负半 轴上，所以，所求抛物线的标准方程是 y2＝－10x.
命题方向 抛物线的实际应用
[例 3] 如图(1)所示，花坛水池中央有一喷泉，水管 O′P ＝1m，水从喷头 P 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下， 若最高点距水面 2m，P 距抛物线的对称轴 1m，则水池的直径 至少应设计多少米？(精确到 1m)
B．6
C．8
D．12
(2)过点 A(1,0)，且与直线 l：x＝－1 相切的圆的圆心的轨
迹是( ) A．圆 C．双曲线
B．椭圆 D．抛物线
[分析] (1)根据点 P 到 y 轴的距离求出它到抛物线准线的
距离，利用抛物线定义转化为它到焦点的距离．
(2)根据动圆过点 A，且与直线 l 相切，可知圆心到点 A 的
江苏省连云港市灌云县四队中学高中数学 抛物线的标准方程1教案 苏教版选修1-1
教学
目标
1．掌握抛物线的定义及其标准方程；
2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；
3．认识抛物线的变化规律.
重点难点
教学重点：抛物线的定义及标准方程
教学难点：区分标准方程的四种形式
教学过程
Ⅰ.复习回顾：
师：我们知道，与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？
图形
标准方程Βιβλιοθήκη 焦点坐标准线方程(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
(p＞0)
师：下面，我们通过例题来熟悉一下抛物线标准方程、焦点坐标与准线方程的相互关系.
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程.
解：（1）因为p=3,所以焦点坐标是 准线方程是
（2）因为焦点在y轴的负半轴上，并且 所以所求抛物线的标准方程是x2=－8y.
说明：此题是抛物线标准方程的直线应用，要求学生熟练掌握.
Ⅲ.课堂练习：
课本P118练习1，2，3.
课外作业
课本46页1
教学反思
方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是 它的准线方程是
②抛物线标准方程的四种形式：
师：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y2=－2px,x2=2py,x2=－2py.这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：
用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线.
抛物线及其标准方程 课件
[规律方法] 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离 等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互 转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值 时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
[规律方法] 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为 y2＝mx 或 x2＝ny，这样可以 减少讨论情况的个数． (3)注意 p 与p2的几何意义．
抛物线的定义的应用
例 2、(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，抛物线上一点 M(m， －3)到焦点的距离为 5，求 m 的值、抛物线方程和准线方程．
(2)已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝2my(m≠0)，由焦点到准 线的距离为 5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标 准方程分别为 x2＝10y 和 x2＝－10y.
(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为 y2＝－ 2px(p>0)或 x2＝－2py(p>0)．
抛物线及其标准方程
1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫 做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线． 思考 1：抛物线的定义中，若点 F 在直线 l 上，那么点的轨迹是什么？
[提示] 点的轨迹是过点 F 且垂直于直线 l 的直线．
[思路探究]
(1)(2)
由题意可确 定方程形式
上海理工大学附属中学高二数学下册《抛物线的标准方程
上海理工大学附属中学高二数学下册《抛物线的标准方程》教案沪教版一、教学内容分析本节研究的是抛物线，是解析几何基本思想方法的又一次应用.我们从研究已经熟悉的y=的性质入手，概括出了抛物线的定义；运用坐标的观点，选取适当的平面直抛物线2x角坐标系，求得了抛物线标准方程的四种形式.其重点和难点是抛物线定义的得出和求解抛物线标准方程.在求抛物线的标准方程这一过程中，可以使学生体会解析几何将几何问题代数化的基本思想，培养用已知解释未知以及分析、解决问题的能力.二、教学目标设计1、掌握抛物线的定义，掌握抛物线的四种标准方程.2、通过对抛物线概念和标准方程的学习，体验解析法，形成分析和概括的能力.3、通过对抛物线问题的分析和解决，形成良好的学习和思维习惯，初步形成勇于探索、严谨细致的科学态度.三、教学重点及难点抛物线的概念、抛物线标准方程.数形结合思想方法在概念理解与解题中的运用.四、教学流程设计y=二次函数2x的性质五、教学过程 （一）抛物线的定义 1．引入课题我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种曲线，今天学习第四种曲线——抛物线.同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运动轨迹，在函数中，二次函数的图像也被称之为抛物线.问题1：抛物线是满足什么条件的动点的轨迹？我们知道圆、椭圆、双曲线的几何性质都是由距离刻画的，那么抛物线上的点的性质能否用距离来刻画呢？我们可以从考察最简单的二次函数2x y =的图像入手来探索这个问题. 问题1．1二次函数2x y =图像上的点具有怎样的几何性质？222222111111()||21621644x y x y y y y x y y =⇔+-+=++⇔+-=+ 发现，2x y =图像上的点到定点F(0,41)的距离等于到直线y=41-的距离. 那么，到定点F(0,41)的距离与直线y=41-的距离相等的点是否都在二次函数2x y =的图像上？因为以上各步可逆所以答案是肯定的.问题1．2 是否所有的二次函数的图像都具有类似的几何性质？我们只要看2ax y =)0(≠a ，能否作类似2x y =的变形即可.课堂小结并布置作业抛物线的定义确立抛物线的标准方程2222222111112424y ax y x x y y y y a a a a a=⇔=⇔+-+=++2211||44x y y a a ⎛⎫⇔+-=+ ⎪⎝⎭，可以看到，抛物线y=2ax 上所有点到定点10,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与定直线14y a=-相等. 问题1．3 函数)0(,2≠++=a c bx ax y 图像上的点呢？ab ac a b x a y 44)2(22-++=由2ax y =的图像平移而得.其几何特性不变.所以抛物线上任意一点到已知定点和定直线的距离相等.由此，我们能不能说抛物线是到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹呢？目前尚不能.轨迹必须既满足纯粹性，又满足完备性，这里知证明了抛物线上的点所具有的几何性质，还未证明其完备性.（证略）我们还可以作一个直观的演示：把一根直尺固定在画图板内直线l 的位置上；把一块三角板的一条直角边紧靠着直尺的边缘；把一条绳子的一端固定在三角板的另一条直角边上的一点A ，截取绳子的长等于从点A 到直线l 的距离AC ，并且把绳子的另一端固定在画图板的一点F ；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线.问题1．4能否从几何的角度来概括抛物线定义？定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （定点F 不在定直线l 上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 思考：如果定点F 在定直线l 上，动点的轨迹是什么？ （二）抛物线的标准方程问题2 如何求抛物线的标准方程？设定点F 到定直线l 的距离为)0(>p p （定点不在定直线上），下面，我们来求抛物线的方程.问题2.1 首先要建立直角坐标系，如何建立直角坐标系？以对称轴为x 轴，原点定在何处？由学生思考：可能出现的结果：A•FK L(1) (2) (3)可供选择的原点的位置：一、准线与对称轴交点，二、焦点，三、前述两点的中点.（1）和（2）中的方程都含有常数项，而（3）的形式更简单.我们按上述第三种方法（如图３），取经过F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的中垂线为y轴，且使F位于x轴正半轴，建立直角坐标系，所得到的方程22y px=叫做抛物线的标准方程.其中p是焦点到准线的距离.问题2.3 顶点在原点，焦点在y轴正半轴，焦点在x轴负半轴，焦点在y轴负半轴.你能写出这三种情况下抛物线的方程吗？除了按定义推导外，有没有简单的方法？选择焦点在y正半轴，定点在原点的抛物线，求它的方程.（1）22||22p px y y⎛⎫+-=+⎪⎝⎭22x py⇔=（2）坐标变换. 对于pxy22=，若是将它的坐标逆时针旋转090，得到的抛物线的方程：//,yxxy=-=22x py⇔=.同理也可以求出其它情况，完成下列表格：标准方程图形顶点对称轴焦点准线pxy22=(0,0) x轴(2p,0)2px-=FllFlFpx y 22-=(0,0) x 轴(-2p,0) 2p x =py x 22=(0,0) y 轴(0,2p) 2p y -= py x 22-=(0,0) y 轴(0,-2p ) 2p y =我们把上述四种位置的抛物线方程都称为抛物线的标准方程.由列表知，若给出抛物线标准方程，就可以找到抛物线的焦点坐标与准线方程，反之，若抛物线顶点在原点，已知焦点坐标或准线方程（取其一）就可以写出抛物线标准方程. 问题2.4 回到最初的问题，y=x 2的图像是怎样的抛物线呢？y=x 2的图像是顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线。
最新抛物线的标准方程 - POWERPOINT PRESENTATION
左右 型
标准方程为
开口向右:
y2 =+ 2px
(p>0)
y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:
y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:
上下 型
标准方程为
x2 =+ 2py
(p>0)
x2 =2py (y≥ 0)
开口向下:
x2 = -2py (y≤0)
例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
憭篗媧靁稇蚭饱榠怋阤鞢佗缪 諅简緶礇曹坐爨臀徤髚秤锒巖 州琷
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（1）焦点是F（-2，0） 解：y2 =-8x 1 2 =x （2）准线方程 是x = 解： y 4 （3）焦点到准线的距离是2 解：y2 =4x或y2
1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件， 就可以求出抛物线的标准方程
= -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （注意：F不在I上） 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 N L
M
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 M的轨迹是抛物线。 ︳ MN ︳
抛物线标准方程的推导 l
N 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
M
江苏省灌云县四队中学 选修1-1教案 2.4.1《抛物线的标准方程1》
2.4.1 抛物线的标准方程1教学目标 1．掌握抛物线的定义及其标准方程； 2．掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系；3．认识抛物线的变化规律.重点难点教学重点 抛物线的定义及标准方程 教学难点 区分标准方程的四种形式教学过程Ⅰ.复习回顾 师：我们知道，与一个 定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时是椭圆，当e ＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？用自制的抛物线作图演示模板作出抛物线，然后得出结论，曲线就是初中见过的抛物线. 师：下面，我们就将学习抛物线的定义及其标准方程.Ⅱ.讲授新课1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F 叫抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程.2．抛物线的标准方程①推导过程如图8—20，建立直角坐标系xOy ，使x 轴经过点F 且垂直于直线l ，垂足为K ，并使原点与线段KF 的中点重合.设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为（)0,2p ，准线l 的方程为.2p x -= 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==.|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x p x d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得y 2=2px ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是).0,2(p 它的准线方程是.2p x -= ②抛物线标准方程的四种形式师：一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y 2=－2px,x 2=2py,x 2=－2py.这四种抛物线的图形，标准方程，焦点坐标以及标准方程列表如下：图 形 标准方程 焦点坐标 准线方程px y 22=(p ＞0) )0,2(p 2p x -=px y 22-=(p ＞0) )0,2(p - 2p x =py x 22=(p ＞0) )2,0(p 2p y -=py x 22-=(p ＞0) )2,0(p - 2p y =师：下面，我们通过例题来熟悉一下抛物线标准方程、焦点坐标与准线方程的相互关系. 例1 （1）已知抛物线的标准方程是y 2=6x ，求它的焦点坐标和准线方程；（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程.解：（1）因为p=3,所以焦点坐标是),0,23(准线方程是.23-=x（2）因为焦点在y 轴的负半轴上，并且,4,22==p p 所以所求抛物线的标准方程是x 2=－8y.说明：此题是抛物线标准方程的直线应用，要求学生熟练掌握. Ⅲ.课堂练习课本P 118练习1，2，3.课外作业课本46页1教学反思。
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y=2
例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（-2，0） 解：y2 =-8x 1 （2）准线方程 是x = 解：y2 =x 4 （3）焦点到准线的距离是2 解：y2 =4x或y2
1.由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中 都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件， 就可以求出抛物线的标准方程
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （注意：F不在I上） 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线L叫做抛物线的准线。 N L
M
· F ·
即:
MF ︳ ︳ 若 1, 则点M的轨迹是抛物线。 ︳ ︳ MN
抛物线标准方程的推导 l
N 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
M
· · F
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
4。注重数形结合的思想 5。注重分类讨论的思想
课后练习
已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
1 4a
,抛物线的开口向右
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F（ 2 ，0），L：x =2 设动点M的坐标为（x，y） K o 由抛物线的定义可知， F
· ·
x
p 2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 = 2px（p＞0）
抛物线的标准方程
2 方程 y
= 2px（p＞0）叫做
抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
抛物线的标准方程
方程 y2
= 2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点
位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴 p p 即右焦点F（ 2 ，0），左准线L：x =- 2
﹒
y
o
x
但是，对于一条抛物线，它在坐标平面 内的位置可以不同，所以建立的坐标系 也不同，所得抛物线的方程也不同，所 以抛物线的标准方程还有其它形式。
1 4a
∴焦点坐标是（
，0），准线方程是： x=
1 4a
②当a<0时,
p 2
=
,抛物线的开口向左 x=
1 4a
∴焦点坐标是（
1 ，0），准线方程是： 4a
抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?
想 一 想 ？
其它形式的 抛物线的焦 点与准线呢？
﹒ ﹒ ﹒
o
y
图象 y
开口方向 标准方程
焦点
准线
x
向右
o
x 向左
y
向上
o
x
y
﹒
o
向下
x
抛物线的标准方程
怎样把抛物线的位置特 征（标准位置）和方程特征 （标准方程）统一起来？
想 一 想 ？
抛物线的标准方程
想 一 想 ？
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简 5、（证明）
抛物线标准方程的推导
l N
K
M
· · F
试 一 试 ？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
抛物线标准方程的推导
抛 物 线 方 程
左右 型
标准方程为
开口向右:
y2 =+ 2px
(p>0)
y2 =2px(x≥ 0)
开口向左:
y2 = -2px(x≤ 0)
开口向上:
上下 型
标准方程为
x2 =+ 2py
(p>0)
x2 =2py (y≥ 0)
开Hale Waihona Puke 向下:x2 = -2py (y≤0)
课堂练习
例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
= -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后， 它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程 就会有多解．
由例1.和例2.反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位，后定量
课堂练习
例3：求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。
（1）y2 = 20x （3）2y2 +5x =0 （2）y=2x2
注意：求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 （4）x2 +8y =0 标准形式
焦点坐标
准线方程
（1 ）
（2） （3） （4）
（5，0）
1 （0，—） 8 5 （- —，0） 8
x= -5
1 y= - — 8 5 x= — 8
（0，-2）
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-3，2）代入， A 得p= 9
2）设抛物线的标准方程为 y2 = -2px，把A（-3，2）代入， 得p= 2
．
y
4
O
x
3
4 9 2= 2 = x ∴抛物线的标准方程为x y或 y 3 2
。
课堂小结
1。抛物线的定义
2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
抛物线及其标准
横车中学高二数学组
钟涛
请同学们思考一个问题
想 一 我们对抛物线已有了哪些认识？ 想 ？
二次函数是开口向上或向下的抛物线。 y
o
x
生活中存在着各种形式的抛物线
抛物线的生活实例
投篮运动
抛物线的生活实例
飞机投弹
抛物线的生活实例 探照灯的灯面
请同学们观察这样一个小实验？
抛物线的定义