201141595312稳态误差分析例题
稳态误差分析例题PPT课件
λ1s+ λ2s2
求图示系统中的λ1、λ2，使系统由 一阶无差系统变为三阶无差系统。
E(s) R(s)
k1
k2
C(s)
s(T1s+1)(T2s+1)
(1s 2s2 )k2
解Φ或因es：为者r((Ts一由1)ss阶=(T11无()ss(1+1)T差+21s所)ss1(((TTT1以G2)11sGss(系+s++(()1k统11s)1)1)k+s((稳求2TTk22定1出ssk++2，s2G112 )))则(ks2)当后，e∴即=ss令l=sλ:i→m2λGls0ik→1m(sλk20s=1Ts2)kΦ==为1TT11e1k21r3+s(2/3型sTk)R22sA即3(s)=可0。
2011年4月1分1日星子期一只有s3项时，由终值定理可得:
第1页/共7页
λ2=(T1+T2)/k2
2011年4月11日星期一
例题2
解：
已知单位反馈系统开
环传递函数为G(s)，输
入为r(t)，试求稳态误
差ess。
r1(t)=1(t)
10
G1(s) (0.1s 1)(0.5s 1)
系统2不稳定，∴ ess→∞ 系统3的A=2， ∴ ess=1/4
因为一阶无差所以系统稳定系统稳定则当分子只有slimser求出或者由已知单位反馈系统开环传递函数为gs输入为rt试求稳态误k10k218ss111ss18系统2不稳定系统3的a2ss14求图示系统的essns01s105s1102s几点说明增益2011年4月11日星期一例题4的误差终值ess001s2011年4月11日星期一例题5设无零点的单位反馈二阶系统ht曲线如图所示1试求出该系统的开环传递函数及参数
第三章 时域法 稳态误差
1. 已知某系统的结构图如图1所示，求误差传递函数()/()E s R s 及在单位斜坡信号()r t t =
(0)t ≥作用下的稳态误差。
(北航2011年《控制工程综合》考研真题，原题10分)。
()
R s ()
C s -
1
1
s +()
E s s
5
2s 1s
-
图1.系统结构图
2. 假设某单位反馈系统的开环传递函数为
100
()(0.11)
G s s s =
+
试求当输入信号为2
()12r t t t =++时，系统的稳态误差。
厦门大学《自动控制原理》课程作业
航空航天学院 航 空 系 2018年级 航空 专业
主讲教师： 董一巍 作业内容：（第七讲）稳态误差
3. (北京交通大学2010年《控制理论》考研真题，原题15分)某系统结构图如图2所示，
求：
图2.系统结构图
(1). 当0a =，8K =时，，确定系统的阻尼比ξ、无阻尼自振频率n ω和单位斜坡输入作用下系统的稳态误差。
(注：本题按输入端定义误差：()()()e t r t c t =-)；
(2). 在保证0.7ξ=和在单位斜坡输入时系统的稳态误差为0.25ss e =的条件下，确定参数a 及前向通道增益K 。
4. 已知单位反馈系统的开环传递函数如下
()(0.11)(0.51)
K
G s s s s =
++
试求位置误差系数p K ，速度误差系数v K ，加速度误差系数a K 。
并确定输入()2r t t =时，系统的稳态误差()ss e ∞。
稳态误差分析
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3-7 稳态误差分析控制系统在输入信号作用下，其输出信号中将含有两个分量。
其中一个分量是暂态分量。
它反映控制系统的动态性能，是控制系统的重要特性之一。
对于稳定的系统，暂态分量随着时间的增长而逐渐消失，最终将趋于零。
另一个分量称为稳态分量。
它反映控制系统跟踪输入信号或抑制扰动信号的能力和准确度，它是控制系统的另一个重要特性。
对于稳定的系统来说，稳态性能的优劣一般是根据系统反应某些典型输入信号的稳态误差来评价的。
因此，本节着重建立有关稳态误差的概念。
一、误差和稳态误差设)(s C r 是控制系统输出(被控量)的希望值，)(s C 是控制系统的实际输出值。
我们定义系统输出的希望值与输出的实际值之差为控制系统的误差，记作)(s E ,即)()()(s C s C s E r -= （3-40）对于如图3－36(a)所示单位反馈系统，输出的希望值就是系统的输入信号。
因此，系统的误差为)()()(s C s R s E -= （3-40a ）可见， 单位反馈系统的误差就是偏差)(s ε。
但对于如 图 3－36(b)所示的非单位反馈系统，输出的希望值与输入信号之间存在一个给定的函数关系。
这是因为，系统反馈传递函数)(s H ，通常是系统输出量反馈到输入端的测量变换关系。
因此，在一般情况下，系统输出的希望值与输入之间的关 系为)()()(s H s R s C r =，所以系统误差为 )()()(1)(s C s R s H s E -=(3-40b) 显然，在非单位反馈系统中，误差与偏差是有差别的。
由图3-36(b)和式(3-40b)不难看出，它们之间存在如下简单关系)()(1)(s s H s E ε= (3-40c) 所谓稳态误差，是指系统在趋于稳态后的输出希望值)(∞r c 和实际输出的稳态值)(∞c 之差，即)()(∞-∞=c c e r ss下面举二个例子说明稳态误差究竟是如何产生的?它与哪些因素有关?1．随动系统如图1-7所示随动系统，要求输出角c θ以一定精度跟踪输入角r θ，显然这时输出的希望值就是系统的输入角度。
稳态误差的总结分析和例解
稳态误差的总结分析和例解控制系统稳态误差是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。
只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义，对不能稳定的系统，根本不存在研究稳态误差的可能性。
一、 误差与稳态误差1、输入端的定义：对图一，比较输出得到：E(s)=R(s)-H(s)*Y(s)称E(s)为误差信号，简称误差图一2、输出端的定义：将图一转换为图二，便可定义输出端的稳态误差，并且与输入端的稳态误差有如下关系：E ’(s)=E(s)/H(s)输入端定义法可测量实现，输出端定义法常无法测量，因此只有数学意义，以后在不做特别说明时，系统误差总是指输入端定义误差。
图二再有误差的时域表达式：也有：e(t)= [E(S)]= [Φe (s)*R(S)]其中Φe (s)是误差传递函数，定义为：Φe (s)==根据拉氏变换终值定理，由上式求出稳态误差：(T j s+1)e ss (∞)= =二、 系统类型一般的，定义一个分子为m 阶次，分母为n 阶次的开环传递函数为：[]1()()()()ts ss e t L E s e t e t -==+G(S)H(S)=K为开环增益，ν表示系统类型数，ν=0，表示0型系统；ν=1表示Ⅰ型系统；当ν大于等于2时，除了符合系统外，想使得系统稳定相当困难。
四、阶跃输入下的ess(∞)与静态位置误差系数Kpr(t)=R*1(t),则有：ess (∞)=νν用Kp表示静态位置误差系数：ess(∞)==其中： Kp=且有一般式子：Kp=ν∞ν五、斜坡输入下的ess(∞)与静态速度误差系数Kvr(t)=Rt,则有：ess (∞)=ν用Kv表示静态速度误差系数：ess(∞)==其中： Kv=六、加速度输入下的ess(∞)与静态加速度误差系数Kar(t)=Rt2/2,则有： ess (∞)=ν、用Kv表示静态速度误差系数： ess(∞)==其中： Kv=且有： Ka=、七、扰动状况下的稳态误差系统的模型如图三所示对扰动状况下的稳态误差仍然有输入端与输出端的两种定义：图三1、输入端定义法：扰动状况下的系统的稳态误差传递函数：由拉氏变换终值定理，求得扰动状况下的稳态误差为：2、输出端定义法：212()'()0()()1()()()G s E s Y s N s G s G s H s =-=-+记Φe (s) =为误差传递函数，其中G(s)为：G(s)=G 1(s)*G 2(s)*H(s)八、减小或者消除稳态误差的措施： （1）保证系统中各个环节（或元件），特别是反馈回路中元件的参数具有一定的精度和恒定性；（2）对输入信号而言，增大开环放大系数（开环增益），以提高系统对给定输入的跟踪能力；（3）对干扰信号而言，增大输入和干扰作用点之间环节的放大系数（扰动点之前的前向通道增益），有利于减小稳态误差；（4）增加系统前向通道中积分环节数目，使系统型号提高，可以消除不同输入信号时的稳态误差。
第六节稳态误差分析
Thursday, July 11, 2013
扰动误差与积分环节的关系
e 可见， ssn 不仅与 Gk (s), N (s)有关，还与G2 (s) 有关（扰动点到输 出点之间的那部分前向通道传递函数）。
[例子]：考虑下面两个系统。
N (s ) N (s )
R(s)
-
k1
k2 s
+
(a )
k3 C (s ) R(s) Ts 1
Thursday, July 11, 2013
2
给定输入时的稳态误差表达式
一、给定输入值作用下系统的误差分析 这时，不考虑扰动的影响。由图b，可以写出随动系统的误 差 E (s)为（见右图）：
R(s)
E (s )
E ( s) 1 1 , E ( s) R( s ) R(s) 1 G1G2 H 1 G1G2 H
s 0
当 0,1时，K a lim s (1, 2) kG 0 ( s) 0, essr s 0 1 当 2时，K a lim kG 0 ( s ) k , essr s 0 k k 当 3时，K a lim G0 ( s) , essr 0 s 0 s
Thursday, July 11, 2013
12
稳态误差的例子||例3-9
N (s ) k 1 T s 1 2、 再令 R( s ) 0, N (t ) 2 s 2 N ( s) C ( s) 1 Ts s k R(s) E (s ) + C (s) k1 2 s (Ts 1) ' N ( s) 1 k1k 2 Ts s k1k 2 s(Ts 1) Ts 2 s kn Ts 2 s ' C ( s) N ( s) 2 N ( s) Ts s k1k2 Ts s k1k2 Tn s 1
稳态误差分析.ppt
sGK
(s)
令：Kv
lim
s0
sGK
(s)
Kv 称为为系统的静态速度误差系数，于是系统在单位斜坡函数作用 下的稳态误差为：
1 ess Kv
0，即0型系统，Kv
lim
s0
sGK
(s)
lim
s0
s
K s
G0 (s) 0 ess
1 Kv
1,
即1型系统，K v
(s)
lim
s0
s2
K s
G0 (s) K
ess
1 Ka
1 K
（4）输入信号为单位阶跃、斜坡、加速度信号时的稳态误差
设输入信号为
r(t) 1 t 1 t 2 2
R(s)
1 s
1 s2
1 s3
利用线性系统的叠加原理，可得系统的稳态误差为
ess
1 1 Kp
1 Kv
lim s0
sE(s)
4．稳态误差分析
设系统开环传递函数如下，并表示为归一化（时间常数）形式
G(s)
b0sm a0sn
b1sm-1 a1sn-1
bm-1s bm an-1s an
K
(1s
1)(
2 2
s2
2
2
2s
1)
s (T1s 1)(T22s2 2T22s 1)
lim
s0
sGK
(s)
《自动控制原理》第三章稳态误差计算(共28张PPT)优秀
K
位置误差
ess
R 1 kp
R
1 K
I
0
II
0
III
0
7
第七页，共28页。
3. 输入作用下稳态误差计算…
（2）斜坡作用下的稳态误差
R
r(t)R,tR(s)s 非过主阻导 尼极点>1：响除应主直导接极收点敛外，的系其统他有闭两环个极不点等2的负实根
速度误差不是速度上存在稳态误差 误差与稳态误差的定义
)
1
R Lims R 输入作用下稳态误差计算…
s0
第二十三页，共28页。 LimsG(s)H(s) K Lims 临界稳定：若系统的响应随时间的推移而趋于常值或等幅正弦振荡
开环系统的静态误差s系0数Kp,Kv,Ka；
s0
输入作用下稳态误差计算…
kvL s 0ism G (s)H(s), essk R v
（1）阶跃作用下的稳态误差
r(t)R1(t),R(s)R s
ess
Lim sR(s) s0 1G(s)H(s)
Lims1R(s)
s0
K Lims
s0
1
R LimG(s)H(s)
Lims R
s0
K Lims
s0
s0
kpL s 0iG m (s)H (s), ess1 R kp
系统 型别
0
静态位置 误差系数
18
第十八页，共28页。
19
第十九页，共28页。
主导极点: 如果在所有的闭环极点中，距虚轴
最近的极点周围没有闭环零点，而其他闭环极点 又远离虚轴，那么距虚轴最近的极点在系统响应 过程中起主导作用，这样的闭环极点称为主导极 点 非主导极点：除主导极点外的其他闭环极点
稳态误差的分析与计算
系统
G (s)
K (T jS 1)
j1
m
(Ti S 1)
i 1
n
系统开环传递函数中 不含积分环节
K P lim G ( s ) K s 0 1 ess
阶跃输入时，误差系数=K
1 K
输出始终不会等于输入，存在稳态误差
K lim SG ( s ) 0 斜坡输入时，误差系数=0 s 0 e ss 稳态误差无穷大（输出不能跟随输入）
例：阀控油缸伺服工作台要求定位精度为0.05cm, 该工作台最大移动速度vmax =10cm/s，若系统 为I型，试求系统开环增益。
单位速度输入下的稳态误差为
0 .05 e 0 .005 s ss 10
系统的开环增益
1 1 1 K K 200 s v e . 005 ss 0
es s 0
I型系统，阶跃输入时误差系数无穷大 没有稳态误差 输出最终等于输入
K lim SG ( s ) K I型系统，斜坡输入时，误差系数=K s 0 1 e ss 输出可跟随输入，但存在误差 K
2 Ka lim S G ( s ) 0 I型系统，抛物线输入时，误差系数=0 s 0
m 1
( Ts 1 ) ( T s 2 s 1 )
j 1 l 1
稳态误差系数仅与系统参数K、(积分环节个数—系统 型号)有关，对应＝0、1、2 称 0、I、Ⅱ型系统
0、I、Ⅱ型三种系统 分别三种典型输入 稳态误差有九种情况
0型
阶跃输入 斜坡输入 抛物线输入
0型系统 I型系统 Ⅱ型系统
给定稳态误差的终值 0型系统 I型系统 Ⅱ型系统 1/(1+K) 0 0 ∞ 1/K 0 ∞ ∞ 1/K
自动控制理论_12稳态误差分析及计算
解：① 判断稳定性。系统的闭环特征方程为
s2 (Tm s 1) K1Km ( s 1) 0 Tm s3 s2 K1Km s K1Km 0
稳定条件：（1）Tm，K1，Km， 均应大于零； （2） Tm
② 根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接 求 ess 从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此
K 5
K 1
K 0
2
ess lim sE ( s )
s 0
1 K1
G1 ( s)
用一待定的G1 ( s)来代替图中的 K1 ,然后找出消除系 统在干扰n(t)作用下的误差时， G1 ( s ) 需具备的条件。
选择G1 (s)首先要保证sEN (s)的所有极点在s平面的左半平面。 这时essn K2 lim s[ N (s)],当n(t )为单位阶跃干扰时，有 s 0 s G1 (s) K 2
在零初始条件下，对上式进行拉氏反变换，得 到误差信号e(t)的稳态分量
1 ess (t ) e (0)r (t ) e (0) r (t ) e (0) r (t ) 2!
ess (t ) Ci r (t )
(i ) i 0
式中
C0 e (0)
当输入r(t)=1(t)时，ess1 0； 当输入r (t ) t时，ess 2 0； a0 1 2 1 当输入r(t)= t 时，ess 3 2 K K1 K m 所以系统的稳态误差ess ess1 ess 2 ess 3 1 K1 K m
4、任意输入信号
利用动态误差系数，可以求解输入信号为任意 时间函数时的系统稳态误差。
解.由题意写出系统的误差传递函数
稳态误差(2)
R( s ) E ( s )
扰动误差为
G1 ( s )
H (s)
+
G2 (s)
C (s)
(b )
essn lim s
s0
G2 H sN (s) G1G2 H sN (s) Gk N ( s) lim lim s 0 s 0 1 G1G2 H G1 1 G1G2 H G1 1 Gk
② 设 u 0 即 G1 ( s ) 有积分环节
前提是即使出现 G(s) G1 (s)G2 (s)H (s) 零、极点相消的情况， G1(s)中仍保留积分环节 当系统输入为阶跃信号时且 u 1 系统扰动误差为零 su 1 N (s) essn lim 0 s 0 K1 当系统输入为斜波信号时且 u 2 系统扰动误差为零
G2 ( s) s
说明： 所谓极点配置指的是让系统的特征根落在指定的点上。
系统时刻误差为零，要求相应传函为零
系统要求稳态误差为零，则相应的终值定理为零。
06年
例 系统结构图如图所示。
解. (1) K t 0 时
系统结构不稳定！
只有当Kt>0，系统稳定 (2 ) K t 0 时 （1）Kt=0 时系统的性能? （2）Kt 时，s, ts 变化趋势? x0.707时, s, ts =？ （3）Kt ，r(t)=t ，ess变化趋势? x0.707时,
A A s1 s2 A lim s 3 s0 s 2 s1 s2 K1 K 2 K 3Ts K1 K 2 K 3 K1 K 2 K 3
结论：增大回路中任何一个环节的增益和积分环节个数，都可消除或减小 r(t)作用下的稳态误差。
en ( s )
第六章 系统稳态误差及稳定性分析(1)
第一节 系统稳态误差的分析和计算
2008.11.3
稳态误差：系统进入稳态后实际输出量与期望输出量 之差。它反映系统跟踪控制信号或者抑制干扰信号的 能力，是评价系统稳态性能的重要指标。 稳态误差不但与系统本身结构和参数有关，而且与输 入信号的类型有关。 1. 系统的误差 e (t) 与偏差ε(t) 误差 e (t)=xor(t)-xo(t) 偏差ε(t)=xi(t)-h(t)*xo(t)
Xi(s)
+ 2 ωn s 2 + 2ξωn s
Xo(s)
解
2 ωn 其开环传递函数为 GK(s)= G(s)H(s) = 2 s + 2ξωn s
KA1 ( s ) = = = g s s s B1 ( s ) 2ξωn s( + 1) s ( + 1)
2ξωn
2ξωn
2 ωn
ωn 2ξ
而该系统的阶次为 二阶系统 注意区分系统的型号和系统的阶次
=0
ess= εss= 0
根据表求解 GK(s)=G(s)H(s)=
s 40 + 1 2 s 2 (2 s 2 + 3s + 1)
Ⅱ型系统对单位恒速信号
ess=εss= 0
例4
20( s + 2) 已知系统为单位负反馈系统, GK(s)= s( s + 1)( 4 s + 2)
求系统的开环增益K、型号,当输入信号 xi(t)=t 时的稳态误 差ess和稳态偏差εss
拉氏变换
E(s)=Xor(s)-Xo(s)
拉氏变换
ε(s)=Xi(s)-H(s)·Xo(s)
当E(s)≠0时， ε(s)就试图把 o(s)拉回到 or(s) 时 就试图把X 拉回到 拉回到X 就试图把 当E(s)=0时，ε(s)=0 时
自动控制原理第三章4_稳态误差
但该系统对于扰动输入为单位阶跃函数时的稳态误差 essn 并不等于零。稳态误差与G 中的增益和积分环节的个数有关。 1 此时因G1无积分环节，所以
1 K2 1 essn lim s NE lim s 0 s s0 s K1K 2 K1
ess essr essn 1
系统型别 2 例题 1 误差定义
误差分析 1 k ∏(τ s+1) G H 0 0 i e =limsE (s)=
m
=
.
ss ssr ssn H(s) 3 ˊ ˊ R(s) ν=2 R(s) E(s) C(s) 0.5s(s+1)(0.2s+1) 1 1 称为Ⅱ型系统 En(s)=C -C实= –Cn(s) 希1 . G(s) 1 H(s) 5 = H(s) 2 ∴ess= 8 + 2 = s(s+1)(0.2s+1)+4 s
1 k2 当 d 时，速度误差为零，实现了完全补偿。 k2
求值。
1 当 d k 时，速度误差为负，过度补偿。表示输出量大于要 2
小结
系统误差、稳态误差的定义 给定输入值作用下系统的误差分析
—系统的型 —位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数
扰动输入作用下系统的误差分析
给定输入和扰动作用同时存在系统的误差分析
K1
扰动误差与积分环节的关系
若想使稳态误差为零，则要 N (s) 求G1中有积分环节，令 R( s ) E ( s ) K 2 C (s) K1 + G G1 2 s K1 s G1 s 1 K2s 此时 essn lim s NE lim 2 0 s 0 s s0 s K1K 2 但此时系统的稳定性遭到破坏，成为结构不稳定系统 。若要使 系统稳定，还必须在原G1中 N (s) 引入比例+微分环节 R( s) E ( s ) K1 (s 1) K2 C (s) + s K1 (s 1) s G1 s K1K 2 (s 1) 当K1>0，K2>0，τ>0 2 0 s K1K 2s K1K 2 时系统稳定
第五节稳态误差分析
时域分析法--稳态误差分析(Steady error analyse)
稳态误差的计算
② 扰动作用下的偏差传递函数
C (s )
N (s )
G2 (s)
B(s )
H (s)
G1 ( s )
1
E (s)
+
NE ( s )
E (s) N ( s)
G2 ( s ) H ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
l 1
2 l T l s 1)
2012-11-7
时域分析法--稳态误差分析(Steady error analyse)
8
给定输入时的稳态误差
Gk (s)
K s
i 1 n1 j 1
m1
( i s 1) ( k s 2 k k s 1)
2 k 1 n2
③ 给定和扰动同时作用下的偏差表达式
E ( s) E ( s) R( s) NE ( s) N ( s)
2012-11-7
R( s) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
G2 ( s ) H ( s ) N ( s ) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
(a )
2
误差和稳态误差定义
对非单位反馈系统，给定 作用 r (t )只是希望输出的 代表值， r ( t ) c 0 ( t )，偏 差不等于误差。 ss e ss
C0 (s)
N (s) R (s) B (s) E (s)
G1 ( s )
(s)
+
H (s)
实验五线性系统的稳定性和稳态误差分析(精)
实验五自动控制系统的稳定性和稳态误差分析一、实验目的1、研究高阶系统的稳定性,验证稳定判据的正确性;2、了解系统增益变化对系统稳定性的影响;3、观察系统结构和稳态误差之间的关系。
二、实验任务1、稳定性分析欲判断系统的稳定性, 只要求出系统的闭环极点即可, 而系统的闭环极点就是闭环传递函数的分母多项式的根,可以利用 MATLAB 中的 tf2zp 函数求出系统的零极点,或者利用 root 函数求分母多项式的根来确定系统的闭环极点,从而判断系统的稳定性。
(1 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 0.2(2.5 ( (0.5(0.7(3s G s s s s s +=+++, 用 MATLAB 编写程序来判断闭环系统的稳定性, 并绘制闭环系统的零极点图。
在 MATLAB 命令窗口写入程序代码如下:z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,kGc=feedback(Go,1Gctf=tf(Gcdc=Gctf.dendens=poly2str(dc{1},'s'运行结果如下:dens=s^4 + 4.2 s^3 + 3.95 s^2 + 1.25 s + 0.5dens 是系统的特征多项式,接着输入如下 MATLAB 程序代码:den=[1,4.2,3.95,1.25,0.5]p=roots(den运行结果如下:p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ip 为特征多项式 dens 的根,即为系统的闭环极点,所有闭环极点都是负的实部, 因此闭环系统是稳定的。
下面绘制系统的零极点图, MATLAB 程序代码如下:z=-2.5p=[0,-0.5,-0.7,-3]k=0.2Go=zpk(z,p,kGc=feedback(Go,1Gctf=tf(Gc[z,p,k]=zpkdata(Gctf,'v'pzmap(Gctfgrid运行结果如下:z =-2.5000p =-3.0058-1.0000-0.0971 + 0.3961i-0.0971 - 0.3961ik =0.2000输出零极点分布图如图 3-1所示。
稳态误差分析
R ss 1 K p
ss
v Kv
ss
K
0
Ⅰ
Ⅱ
K
0 0
K
R 1 K
v K
0
K
0 0
0
K
如果系统输入信号是多种典型信号代数组合时， 应用叠加原理可求的系统的稳态偏差（稳态误 v 差）。为了满足系统稳态响应的要求， 值应 按最复杂的输入信号来决定（例如，输入信号 包含有阶跃信号和等速度信号时， 值必须大 v 于等于1）。
G ( s)
C (s)
H ( s)
1 E ( s) R( s ) 1 H ( s)G ( s) 1 E1 ( s) R( s ) H ( s)(1 H ( s)G ( s))
图3-24 系统结构图
(3-45a) (3-45b) (3-46a) (3-46b)
系统的稳态误差为:
ess lim e(t )
1 N (s) s
K2 1 s 1 E ( s) s K1K 2 s s K1K 2 s
第三步：利用终值定理求稳态误差
ess
1 s
K2 s 1 ess lim sE ( s ) lim s s 0 s 0 s K1K 2 s s K1K 2 1 K1
(1)对扰动进行补偿
GN (s) 为待求的前
馈控制装置的传递 函数， N ( s ) 为扰动 作用 令 R( s ) 0
2.4
四、扰动输入引起的稳态偏差
R
G2 ( s) H ( S ) en ( s) 1 G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
自控第三章4
R 1 kp
0 型系统 , k p k ,e ss I 型系统 , k p ,e ss II 型系统 , k p ,e ss
I,II阶无差度系统 无静差系统 无差系统
s 0
2 ( s 50 ) s ( s 50 )( s 1 ) 500
s 0
0 .2
故
e ss e ssr e ssn 0 . 4
• 对扰动作用来讲，减小或消除误差的措施：增大扰动作用点之 前的前向通路增益、增大扰动作用点之前的前向通路积分环节数。 • 终值定理法不能表示稳态误差随时间变化的规律。
本题说明：1）使用终值定理要注意条件 2）稳态误差与输入有关。
2 系统类型
一般开环传递函数可以写成如下形式：
G (s)H (s) K ( 1 1 s )( 1 2 s ) ( 1 m s ) s ( 1 T 1 s )( 1 T 2 s ) ( 1 T n s )
T
2
1 Ts
s ( 1 Ts )
, 符合终值定理应用条件。
1
e ss lim sE ( s ) lim
s 0
s 0
s ( 1 Ts )
R 3） ( s )
s
2 2
, E (s)
Ts 1 Ts
s
2 2
, 不符合终值定理应用条件 。
•使用终值定理将得出错误结论。
2
2
Kv
Ka
e ss R ( 1 K P )
e ss R K V
e ss R K a
K
0 K ∞ ∞
0 0 K ∞
02-课件-311 稳态误差的减小与消除
3.5.4 减小或消除稳态误差的方法
前面分析表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传 递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。 但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能 任意增大，否则系统将可能不稳定。
为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合 控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量， 加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到 减小或消除稳态误差的目的。
essr =
s→0
=0 1 + G1(s)G 2 (s)
lim essn =
s→0
− sG2 (s) ⋅ N(s) 1 + G1(s)G2 (s)
lim = −
s2K1(1 + Τ2s)
⋅ Rn = 0
s→0 s(1 + Τ1s)(1 + Τ2s) + K1K 2 s
系统总的稳态误差为
ess = essr + essn = 0
-
R(s) E(s)
-
G1 ( s)
+
G2 (s)
A
C(s)
如果选择补偿装置的传递函数为
GC
(s)
=
1 G1 (s)
按扰动输入补偿的复合控制
可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。
从结构上看，当满足
G C (s)
=
1 G 1 (s)
时，扰动信号经两条通道到达
A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动
例3.12 设控制系统如图所示，其中
G1 (s)
=
K1 1 + Τ1s
G2 (s)
稳态误差——精选推荐
1．（15分） 某最小相角系统的开环对数幅频特性如图3所示。
要求（1）写出系统开环传递函数；（2）利用相角裕度判断系统的稳定性；（3）将对数幅频特性向右平移十倍频程，截止频率和相角裕度会发生什么变化?解：(1)由系统开环对数频率特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故()()11(1)(1)0.120KG s H s s s s =++ 且20lgK=20,或20lg 010K=,得K=10。
所以，10()()11(1)(1)0.120G s H s s s s =++ （5分）(2)系统开环频特性为：w=0.1时，L （w ）=40(dB),(0.1)()40lg 0.1lg c cL L ωω-=--,可解得c ω＝1。
系统开环相频特性为：()90100.05177.15180() 2.850c c arctg arctg r ϕωϕω=---=-=+=>故系统稳定。
也可画出相应的相频特性图，说明r >0,系统稳定。
（6分） （3）对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数：11100()()1(1)(1)200G s H s s s s =++， 其截止频率1c ω＝10c ω＝10。
111111()90177.15200180() 2.850c G H c c G H c arctg arctgr ωϕωωϕω=---=-=+=>相角裕度不变。
2. 绘制对数频率特性和幅相特性曲线228(0.1)()(1)(425)s G s s s s s s +=++++。
3.某最小相位系统的开环对数幅频特性的渐近线如图所示 。
试确定该系统的开环传递函数以dB 30032.0lg 20,1-==ω解 ①⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⨯=15545)1(11.0251.08)(22s s s s s s s G 1.01=ω12=ω53=ωdec/dB 20+dec /dB 40-dec/dB 40-基准线： 点 斜率 dec/dB 20v 20--=②③ ④检查：L(ω)最右端斜率 = 20(n-m)=-80dB/dec L(ω)转折点数 = 3 个 ϕ(ω) → -90o (n-m )=-360o⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=15545)1()11.0(032.022s s s s ss及频率特性。
第六章 系统稳态误差及稳定性分析(2)
复合校正
本节介绍时域范围内的串联校正
（一） 时域范围内的串联校正的两个基本原理
串联校正，就是指在原来的回路中接入校正环节以改变信 号在回路中的传递情况，从而达到改善品质的目的。
Xi(s) +
ε( s)
b 1b 6 b 0b 7 C 3 b 1
C b C 1 3 b 1 2 C 1
D 2
D 3
两个特殊情况： a. 劳斯数列表中任一行第一项为零，其余各项不为零或者部 分不为零
解决方法：用一任意小的正数ε代替零的那一项，然后继续计 算。若上下项的符号不变，且第一列所有项的符号为正，则方 程有共轭虚根，系统属临界稳定。 b. 劳斯数列表中任一行全为零 解决方法： 利用全为零的这一行的上一行的各项作系数组成一个多项式方 程（最高阶次为该行的相应阶次，相邻项的阶次相差为2）； 对辅助方程取导数得一新方程； 以新方程的系数代替全为零的那一行。
系统稳定的充要条件为：劳斯数列表中第一列各项的符号均为 正且不等于零。
若有负号存在，则发生符号的变化次数，就是不稳定根的个数。
mm 1 m 2 ( s ) b s b s b s b s b 如 B 0 1 2 m 1 m
则劳斯数列表为
其中
C 1
C 2
例1 已知系统的特征方程为 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0
用劳斯判据判断系统的稳定性。
解 劳斯数列表为
s4 s3 s2 s1 s0
C 1
1 17 8 16 C1 = 15 C2 = 5 D1 = 13.3 0 E1 = 5 0
稳定误差分析
若输入信号为正弦信号，则不能应用拉氏变换终值定理。
r(t)sin t
R(s)s22
E(s)TT s1 ss2 2 (T T) 21s1 1/T(T T) 21s2 s2(T ( T )2) 21s2 2
e (t) T e t/TT co t s(T)2 sitn (T)2 1 (T)2 1 (T)2 1
稳态误差为：
es(st)(T T ) 21co ts(T ( T )2) 21si n t
三、稳态误差的计算（总结）：
R(s) B(s)
E(s) -
G1(s)
N (s)
+
C(s)
G2 (s)
H (s)
给定作用下的误差传递函数
R(s)
B(s)
H (s)
G1(s)
E(s)
G2 (s)
在本课以后的叙述中，均采用从输入端定义系统的误差，则
如图系统的误差信号为：
R (s )
R (s )
E (s ) R (s ) H (s )Y (s )
e(t)L1[E(s)]
1 G (s )H (s ) 1 G k(s )
Rs
E(s)
-
G(s)
控制对象
B(s)
H (s)
检测装置
记为 e ss 。即：
ess
lime(t) t
由系统误差的讨论和稳态误差的定义，可知稳态误差不仅和系统的特 性（系统的类型和结构）有关，而且和系统的输入(参考输入和扰动输入)信 号的特性有关。由系统的类型、结构或输入信号形式所产生的稳态误差称为 原理性稳态误差，而由非线性因素所引起的稳态误差称为附加稳态误差。本 节不涉及附加稳态误差的计算，只讨论原理性稳态误差。
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kh
ts=3T=0.03/kh=0.3
E(s) R(s)
1
30
H(s) 1 G(s)H(s) s(s 10)
∴kh=0.1
ess= 3
例题5 1、试求出该系统的开环传递函数及参数；
2、确定串联校正装置的传递函数，使系统 对阶跃输入的稳态误差为零。
设无零点的单位反馈二阶系统h(t)曲线如图所示,
r=0
5
s
2
c(t)
(0.1s+1)(0.5s+1)
∴essn=
-limsC(s) s→0
=
0
几点说明
(2)
① 增益
③ 差异
② 型别
例题4
已知图示系统的调节时间ts= 0.3秒，
试求r(t)=3t时输出端定(义s) 的 误差1终/ k值h ess。
R(s)
1 C(s)
0.01s / kh 1
0.01s
线性系统时域分析
稳态误差例题
例题
λ1s+ λ2s2
E(s) R(s)
k1
求图示系统中的λ1、λ2，使系统由 一阶无差系统变为三阶无差系统。
k2
C(s)
s(T1s+1)(T2s+1)
解或：者由(s1) Φer(s) =
1+
(G1s(s)2求s2出)kG2 (s)后 s1(T1Gs+(1s) (T2s+1)
s2
An2 2 n s
n2
s0
s
得(s)
s2
0.95 3.3462 2 0.344 3.346s 3.3462
s2
10.636 2.3s 11.196
开环传递函数
G(s)
s2
10.636 2.3s 0.56
2.
Gc (s)
kc s
0 < kc < 0.12
1.25
0.95
0
1
解
1.25
ess 0.05
% 0.3 0.95
tp 1s
0.95
＝0.344，n 3.346
或 者 令G(s) 19
解 得G(s)
as 2 19bs 1 1.786s2 4.1s
1
0
1
1、由于 h() 0.95
由 h() lims(s)
设
1A
(s)
0.95
解：
(1)
1
C(s)=
5 (0.1s+1)(0.5s+1) s s(0.1s+1)(0.5s+1)+10
∵系统稳定r=02 Nhomakorabea(0.1s+1)(0.5s+1)
5 s
c(t)
∴essn=
-limsC(s) s→0
=
-1/2
(1)
(2) C(s)=
2s
1 s
s(0.1s+1)(0.5s+1)+10
n(t)=1(t)
√ 0型 k=10 ess=1/11
× r2(t)=t
G 2 (s)
s(s
7(s 3) 4)(s2 2s
2)
Ⅰ型
k=21/8 ess= 8/21
r3(t)=t2
8(0.5s 1)
G 3 (s) s2 (0.1s 1)
× Ⅱ型 k=8 ess=1/8
例题3 求图示系统的essn。
n(t)=1(t)
λ2k2=T1+T2
即: λ1 = 1/k2
分子只有s3项时，由终值定理可得: λ2=(T1+T2)/k2
例题2
已知单位反馈系统开
环传递函数为G(s)，输
入为r(t)，试求稳态误
差ess。
r1(t)=1(t)
10
G1(s) (0.1s 1)(0.5s 1)
解：
系统2不稳定，∴ ess→∞ 系统3的A=2， ∴ ess=1/4
k1k2
s(T1s+1)(T2s+1)
s(T1s 1)(T2s 1) (1s 2s2 )k2
s(T1s+1)(T2s+1)+k1k2
因为一阶无差所以系统稳定，则当
，ess令= Glsi→m(0ss)Φ为er3(型s)R即(s)可。
=
lim
s→0
s
T1T2s3
k1k2
∴ λ1k2=1
A
s3
=0