最新1.3.1-2二项式定理.ppt
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高中数学 1.3.1《二项式定理》课件 新人教A版选修2-3
1 5 1、求(2 x − ) 的展开式 x 2、求（ + 2 x) 7的展开式第4项的系数 1 1 7 3、求（x − ) 的展开式中x 3的系数 x
破解疑惑： 破解疑惑： 今天是星期五,再过2 天后是星期几, 今天是星期五,再过22007 天后是星期几, 你知道吗？ 你知道吗？
解： = 8670 × 2 22011 = 2(7 +1)670
0 1 669 670 = 2(C670767010 + C670766911 + ...+ C670 711669 + C670 701670)
发现被7整除余 ，故相当过2天后是星期几是一样的 天后是星期几是一样的。 发现被 整除余2，故相当过 天后是星期几是一样的。 整除余 故是周日
拓 展 提 高 (x2+3x+2)5展开式中 的系数为 展开式中x的系数为 _____. 方法1 方法 (x2+3x+2)5=[(x2+2)+3x]5
在展开式中只有 C 1 (x 2 + 2)4 ⋅ 3x才存在 x的项 , 5 其系数为 5C 4 2 4 ⋅ 3 = 240 4
方法2 方法 (x2+3x+2)5=[x(x+3)+2]5
在展开式中只有 C 1 x(x + 3) ⋅ 2 4 才存在 x的项 , 5 其系数为 C 1 ⋅ 3 ⋅ 2 4 = 240 5
1 x
)10 的展开式中是否包含常数项? 的展开式中是否包含常数项?
分析:取通项来分析, 分析:取通项来分析, 常数项即 x 项.
0
Tr +1 = C ⋅ ( 3 x
r 10
2
)
二项式定理-PPT课件
1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1
问题提出
1.(a＋b)2和(a＋b)3展开后分别等 于什么？
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2
问题提出
2.对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3， (a＋b)4，(a＋b)5等代数式，数学上统 称为二项式，其一般形式为(a＋b)n
7
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a b)n
Cn0an Cn1an 1b Cn2an 2b2
C
n n
1abn
1
C nnb n
如何证明这个猜想？
8
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
9
形成结论
(a b)n Cn0an Cn1an 1b
Cnkan kbk
C nnb n
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，2，
…，n)叫做二项式系数.
10
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次
数为n且按降幂排列；字母b的最高
次数为n且按升幂排列；各项中a与
b的指数幂之和都是n；各项的二项
式系数依次为 b无关.
C
n0,C
n1,C
n2,
13
问题探究
在(a＋b)n的二项展开式中，
Tk 1 Cnkan kbk 叫做二项展开式的通
项，那么(a－b)n的二项展开式的通项
是什么？
Tk 1 ( 1)kCnkan kbk
14
问题探究
(2x＋3y)20的二项展开式的通项是什 么？
1.3.1 二项式定理ppt课件
3
要 点 导 学
4 1 4 ＋C4·
x
12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2.
2
第11页
第一章
1.3.1
与名师对话· 系列丛书
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
方法二： 3
4 3 x ＋ 1 1 4 x＋ ＝ x2 x
自 主 预 习
n 1 n －1 2 n －2 (2)化简：C 0 ( x ＋ 1) － C ( x ＋ 1) ＋ C ( x ＋ 1) －…＋(－ n n n k 1)kCn (x＋1)n－k＋…＋(－1)nCn n.
课 时 作 业
要 点 导 学
化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与二项式定 理有关的问题的前提． (2)逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点，如 果项的系数是正负相间，则是(a－b)n的形式．
第13页
第一章
1.3.1
与名师对话· 系列丛书
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
(1)求(x＋2y)4的展开式．
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
要 点 导 学
要 点 导 学
课 时 作 业
第8页
第一章
1.3.1
与名师对话· 系列丛书
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
要点一
自 主 预 习
二项式定理的正用和逆用
1.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的 幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列， 从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从
与名师对话· 系列丛书
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
要 点 导 学
4 1 4 ＋C4·
x
12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ x ＋x2.
2
第11页
第一章
1.3.1
与名师对话· 系列丛书
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自 主 预 习
方法二： 3
4 3 x ＋ 1 1 4 x＋ ＝ x2 x
自 主 预 习
n 1 n －1 2 n －2 (2)化简：C 0 ( x ＋ 1) － C ( x ＋ 1) ＋ C ( x ＋ 1) －…＋(－ n n n k 1)kCn (x＋1)n－k＋…＋(－1)nCn n.
课 时 作 业
要 点 导 学
化．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式是解答好与二项式定 理有关的问题的前提． (2)逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点，如 果项的系数是正负相间，则是(a－b)n的形式．
第13页
第一章
1.3.1
与名师对话· 系列丛书
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
(1)求(x＋2y)4的展开式．
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
要 点 导 学
要 点 导 学
课 时 作 业
第8页
第一章
1.3.1
与名师对话· 系列丛书
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
要点一
自 主 预 习
二项式定理的正用和逆用
1.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的 幂指数规律是：(1)各项的次数等于n；(2)字母a按降幂排列， 从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从
与名师对话· 系列丛书
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
1.3.1二项式定理PPT优秀课件
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
可用数学归纳法证明
基础训练：展开(p+q)7 解: (pq)7C7 0p7C1 7p6qC7 2p5q2C3 7p4q3 C7 4p3q4C5 7q2q5C7 6pq6C7 7q7
a 3 3 a 2 b 3 a2 bb 3
(a b)4 ？ (ab)100？ (a b)n ？
(n N )
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )＝C02 a2＋C12 ab ＋C22 b2
选b
＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )
变式训练：若 求 （ 1 2 x ) 5 的 展 开 式 呢 ？
解: ( 1 2 x ) 5 C 5 0 ( 2 x ) 0 C 1 5 ( - 2 x ) 1 C 2 5 ( 2 x ) 2
C 3 5 ( 23 x C 5 ) 4 ( 24 x C ) 5 5 ( 25 x
＝C0n an＋ C1nan-1b＋ C2nan-2b2＋ C3nan-3b3＋…＋Cknan-kbk＋…＋ Cnn bn
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(ab )nC n 0 a n C n 1 a n 1 b C n ka n kb k C n n b n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
组合数公式：C n mA A n m m mn(nm 1 ()m (n 1 )2 ()m (2 n )m 11 )
引入：
（a b)2 a22abb2
1.3.1二项式定理PPT优秀课件2
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
2.增减性与最大值：
当n为偶数时，展开式中间的一项 n 取得最大；当
n为奇数时，展开式中间的两项
2
Cn 、 n 1
n 相1 等，且同
时取得最大。
C n2 C n2
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二项式定理(二)
21.05.2019
知识回顾
1.(a+b) n= C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b 2 C n n b ﹙n nN﹚,
展开式共有 n+1 项，其中 C（rn r=0,1,2,……,n）
叫做 二项式系数
；
2.通项表示展开式中的第 r+1
是 Tr1 Cnranrbr .
项，通项公式
3. 对称性： 聚合性：
21.05.2019
= Cr nபைடு நூலகம்
Cnr n
= Cnr Cnr1
Cr n1
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
(a+b)1…………………………… C110
C
11
1
(a+b)2………………………
3. 各二项式系数的和： C n 0 C n 1 C n 2 C n n 2 n
这里要注意赋值法的应用。
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江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
4.杨辉三角
21.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二项式定理课件ppt
二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
【数学】1.3.1《二项式定理2》课件(新人教B版选修2-3)
n
n−r n
4
4
n
n
n
n
n
二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小， 二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小，且 ② 在中间取得最大值； ； 在中间取得最大值；
即与首末两端“等距离” ； 即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等
③
各二项式系数的和： 各二项式系数的和： Cn + Cn + Cn +L+ Cn = 2
n+1
r （r=0,1,2,……,n） ） n
3. 对称性： 对称性： 聚合性： 聚合性：
C = C
C +C
r n
r n
n−r n
r −1 n
= C
r n +1
1 10 (a+b)1…………………………… C1 C1 1 2 (a+b)2……………………… C 0 C 1 C 1 1 2
2
2
2
2 3 1 3 (a+b)3…………………… C 3 C 3 C3 C 31 3 2 (a+b)4……………… C 0 C 1 C C43 C 41 1 4 6
知识回顾
1.(a+b) n=
0 1 2 n Cn an +Cnan−1b +Cn an−2b2 +L+Cn bn n ∈ N ∗, ﹙ ﹚
展开式共有 项，其中 C 叫做 二项式系数 ； 2.通项表示展开式中的第 2.通项表示展开式中的第 r+1 项，通项公式 r n−r r 是 Tr+1 = Cn a b . r+1
。
4 6 4
展开式中， 4.﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是
n−r n
4
4
n
n
n
n
n
二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小， 二项式系数前半部分逐渐增大，后半部分逐渐减小，且 ② 在中间取得最大值； ； 在中间取得最大值；
即与首末两端“等距离” ； 即与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等
③
各二项式系数的和： 各二项式系数的和： Cn + Cn + Cn +L+ Cn = 2
n+1
r （r=0,1,2,……,n） ） n
3. 对称性： 对称性： 聚合性： 聚合性：
C = C
C +C
r n
r n
n−r n
r −1 n
= C
r n +1
1 10 (a+b)1…………………………… C1 C1 1 2 (a+b)2……………………… C 0 C 1 C 1 1 2
2
2
2
2 3 1 3 (a+b)3…………………… C 3 C 3 C3 C 31 3 2 (a+b)4……………… C 0 C 1 C C43 C 41 1 4 6
知识回顾
1.(a+b) n=
0 1 2 n Cn an +Cnan−1b +Cn an−2b2 +L+Cn bn n ∈ N ∗, ﹙ ﹚
展开式共有 项，其中 C 叫做 二项式系数 ； 2.通项表示展开式中的第 2.通项表示展开式中的第 r+1 项，通项公式 r n−r r 是 Tr+1 = Cn a b . r+1
。
4 6 4
展开式中， 4.﹙x-y﹚10展开式中，系数最大的项是
人教a版数学【选修2-3】1.3.1《二项式定理》ppt课件
叫做二项式定理．
第一章 1.3 1.3.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
2．二项式(a＋b)n(n∈N*)展开式的特点：
(1)它有__________ 项； n＋1 (2) 各项的次数 ( 即 a 与 b 的指数的和 ) 都等于二项式的次数 n ________ ； n 递减到_______ 0 ；字母 (3)字母a按降幂排列，次数由______ 0 递增到______ n b按升幂排列，次数由_____ ；
A．第 10 项 C．第 8 项
[答案] B
[解析] 通项
5r r 2 10－r 2 r r r Tr＋1＝C10· (x ) · ( ) ＝2 · C10x20－ ，令 x 2
20
5r － 2 ＝0 得 r＝8，∴常数项为第 9 项．
第一章
1.3
1.3.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
第一章
1.3
1.3.1
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
15 2．(x－x ) 的展开式中含 x3 项的二项式系数为( A．－10 C．－5
[答案] D
[解析] 1r r 5－r 5－2r Tr＋1＝C5· x (－ ) ＝(－1)rCr · x ， 5 x
k n－k k Cn a b 个．合并同类项后为 _____________________. 因此 (a ＋ b)n ＝ 0 n 1 n－1 r n－r r n－1 n－1 n n C a ＋ C a b ＋„＋ C a b ＋„＋ C ab ＋ C n n n n nb ______________________________________________ 这个公式