相似原理和模型试验基础
流体力学4-3.4相似定理
5. 马赫准则 Ma（表面张力） Mach number
在高速气流中，存在着 弹性力和惯性力的关系
FEp I p FEm Im
FE=El2 E=ρa2
I=ρl 2v2 FE= ρl2a2
pl
2 p
v2p
pl
p2a
2 p
mlm2 vm2 mlm2 am2
vp vm ap am
Map = Mam
适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的流体流动， 如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和 潜体绕流问题等。
2.弗劳德准则 Fr（重力）
考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系
G gl3
I l22
Gp Ip
Gm Im
2 p
m2
g plp gmlm
Fr Fr 2
# 对于非恒定流动，还要满足初始条件相似； 而对于恒定流动，无需初始条件相似。
流动相似的进一步解释：
边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动
相似的前提与依据；
动力相似是决定流体运动相似的主导因素；
运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是
流动相似的目标；
凡流动相似的原型与模型流动，必然同 时满足几何相似、动力相似和运动相似。
考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系
P pl2
I l22
Pp I p
Pm Im
pp pm
p
2 p
mm2
Eup
Eum
p
2
欧拉数（Euler number）表征压力与惯性力之比。 两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。
由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力 相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳 德准则成立，欧拉准则可自行成立。
18、相似原理及模型试验基础
根据重力相似准则（18-25）式，可得单宽流量比尺： qr
=
Qr br
=
L2.5 r
Lr
=
L1.5 r
那么，模型单宽流量
qM
=
L−1.5 r
×
qP
= 20−1.5 ×11.272 = 0.126m3/s-m
18-6 有一直径为 20cm 的圆管，输送 ν=0.4cm2/s 的油液，其流量为 12 l/s。若用直径为 5cm 的圆管
= (u' u' ) i jr
(u' i
u' j
)M
= (u' u' ) i jr
u' u' Mi Mj
将各物理量比尺关系代入原型水流的雷诺方程，并将结果与模型水流的雷诺方程相比，则
F Pi
1 − ρP
∂ pP ∂xPi
∂u' u'
+ νP∇2 uPi −
Pi P j
∂xP j
=
∂uPi ∂tP
+
uPi
做模型试验，要求保证粘滞阻力作用的相似，今采用（1）20℃的水，（2）空气（ν=0.17cm2/s），
试求模型流量各为多少？
解：因 dP＝20cm，dM＝5cm，那么 Lr＝dr＝dP/dM＝4，本题要求保证粘滞阻力作用的相似，所
以可由雷诺相似准则，即（18-35）式可得流速比尺： vr = Lr−1
用 m＝0.49，今欲通过长度比尺 Lr＝20 的断面模型试验来验证该流量系数，试求当模型的单 宽流量为多少时，测量坝顶水头来计算流量系数?
-3-
第十八章 相似原理及模型试验基础
解：因原型坝顶水头 HP＝3m，模型与原型为重力相似，且有流量系数 mP＝mM，则原型单宽
相似理论与结构模型试验
一、相似理论与结构模型试验相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。
随着计算机技术的进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩大应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域指导性理论。
相似理论是说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。
在结构模型试验研究中，只有模型和原型保持相似，才能由模型试验结果推算出原型结构的相应结果。
结构模型中的“相似”主要是指原型结构和模型结构的主要物理量相同或成比例。
常需要满足的相似条件有：几何相似、质量相似、荷载相似、物理相似、时间相似和边界初始条件相似。
1.几何相似模型与原结构之间所对应部分的尺寸成比例，模型比例即为几何相似常数。
S l=l ml p =b mb p=ℎmℎp式中：S l——几何相似常数；l、b、ℎ——结构的长、宽、高三个方向的线性尺寸；m、p——分别代表模型和原型。
对一矩形截面，模型和原型结构的面积相似常数、截面抵抗矩相似常数和惯性矩相似常数分别为：S A=A mA p =ℎm·b mℎp·b p=S l2式中：S A——面积相似常数。
S w=W mW p =16b m·ℎm216b p·ℎp2=S l3式中：S w——截面抵抗矩相似常数。
S I=I mI p =112b m·ℎm3112b p·ℎp3=S l4式中：S I——惯性矩相似常数相似常数。
2.质量相似要求模型与原型结构对应部分质量成比例，质量之比称为质量相似常数。
S m=m mm p式中：S m——质量相似常数。
对于具有分布质量部分，用质量密度ρ表示。
Sρ=S mS V =S mS l3式中：Sρ——质量密度相似常数。
3.荷载相似要求模型与原型在各对应点所受的荷载方向一致，大小成比例。
S p=P mP p =A m·σmA p·σp=Sσ·S l2式中：S p——集中荷载相似常数。
相似原理和模型试验基础.
(6) 功的比尺 当 1 时
7.功率比尺 当 1 时
W F L L
W L
P
F L t
L L 2
L 1
P
1 L
31
三、 惯性力相似准则 要使两个流动的当地惯性力
作用相似，则它们的斯特劳哈尔数 必须相等，这称为惯性力相似准则， 也称为斯特劳哈尔准则。 四、 弹性力准则
q P1 qM1
qP2 qM 2
qPn qMn
显然，没有必要把每一点处同名物理量之比一一列
出，仅需着眼于某一个 qr 就足够了，这个 qr 称为特征值或代表值。以后对于各种具体属性的物
理量，如长度L、时间t、力F等,除非预先说明，一
般就认为是它们是特征值或代表值。
4
三． 基本比尺和导出比尺 相似比尺是两个系统相应物理量之比，那么
7
原型：Prototype
模型：Model
为便于讨论，规定：
以λ 表示其原型量和模型量的比尺，而 物理量下标 P 、M 则分别表示原型量和模型量。
流动相似
几何相似 运动相似 动力相似
8
１、几何相似
几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似， 也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比例关 系。
v g 2 L
1 g
v 2 L
（2）若按佛汝得准则设计模型
FrP
FrM
vP2 g P LP
vM2 g M LM
vP2 g P LP
vM2 g M LM
v2
gL
28
阻力相似，上两式同时成立。联立可得
相似理论与模型试验
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7
④ 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不 能直接研究的实物对象的性能。 ⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了 现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工 程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用 前景。
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2
但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性， 在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓 住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象 推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究 的全新理论——“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解 析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中 的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程 问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
相似理论与模型实验
授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月
引 言
1.人们对自然规律的不倦探索
在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界 的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静 止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用 的范围。 高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是 探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综 复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或 根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。
8
一、物理模拟和数学模拟
物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟。 这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。 区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说 成是保持物理本质一致的模拟。 （两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。
工程流体力学-第4章-M
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。
流体力学(相似原理与)
四、初始条件和边界条件的相似
初始条件：适用于非恒定流。 边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界 上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等 。
五、流动相似的含义
几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据； 动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素； 运动相似是几何相似和动力相似的表现； 凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似的流 动。
1 v l
小，失去了模型实验的价值。
v l
显然，要同时满足以上两个条件，则
l 1
,即模型不能缩
从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力
相似是难以实现的。
二、模型设计
模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 l 小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。 通常，模型和原型采用同一种类流体，则 1 ，然后按 所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的
二、佛汝德准则
作用在流体上的力主要是重力。即：重力
重力比尺
G V g p p p p 3 G g l G V g m mm m
G = mg = ρVg
由于作用力F中仅考虑重力G，因而 F = G，即λf = λG 于是
2 2 3 l v g l
模型流量为
Q p
因为
Q m
vpA p v mA m
2 l
vp v m
所以
Q v . 3 ( 90 4 . 3 ) 8 . 2 0 . 325 3 p m 2 Q 0 . 091 ( m / s ) m 2 2 v 50 2 . 3 l p
相似原理与模化实验
1 6 226.8 10 80.64 pa 800 11.25
（3） 说明：以空气为介质作模型：由Re相等，则
m lp 30 p lm
m 180m / s
此时空气压缩性不能忽视，故不能用空气作介质，
则用水质后，
m 11.25m / s
5.3相似定理
三个定理回答了三个问题：
1.实验研究必须测量哪些量→相似第一定理 2.如何做到模型与原型相似→相似第三定理 3.如何对测量结果进行加工整理→相似第二定理
5.3相似定理
5.3相似定理
5.3相似定理
例：
总结： ⒈相似第一定理是对相似性质的总概括，阐明了 相似现象中各物理量之间存在一定关系。 ⒉对于复杂的现象，常存在几个相似准数。 例：对不可压缩粘性流体的不稳定等温流动共有 四个： t H0 均时性准数： 不稳定流体流动必与 t 有关。 l l Re 雷诺准数： 与粘性有关的流动，惯性力/粘性力 付鲁德准数： Fr
b 1 c 1 0 ab vd 1 1 v k d , k
1 b
Re
vd
5.4量纲分析和π定理
5.4.2.2 布金汉（Buckingham）定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数 关系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式 F(1,2, … n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中 的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物 理现象的内在关系。
or 其中：
1 f（ 2， 3 n）
1 ——非定性准数 2 n ——定性准数
相似原理及水力模型试验资料
5.1 重力相似准则 – 用重力代替Newton数中的F
F 1 2 2 L v
GP 3 G gV G g L GM
1
3 g L 2 2 L v
1 g L
2 v
v
2 P
g P LP
v
2 M
重力相似准则 Froude 相似准则
§4 相似准则的导出
– 特定相似准则的意义：牛顿数中的力只表示作用力 合力，合力的组成并未被揭示，牛顿相似准则只具 有一般意义，解决具体模型试验的比尺关系必须根 据特定运动现象来导出 u xP u xP 1 pP 2 一、控制方 XP P u xP u xP P xP t P xP 程方法 – 原型流动 u xP u xP u yP u zP 的N-S方程 yP z P u xM u xM 1 pM 2 XM M u xM u xM M xM t M xM – 模型流动 的N-S方程 u xM u xM u yM u zM yM z M
液体相同
1 p L
(6) 功的比尺
W F L
(7) 功率比尺
4 L 0.5 L
4 L
1
W
4 L
1 W 3.5 N L 3.5 t W L
5.2 阻力相似准则
– 用阻力代替Newton数中的F
大多数水力模型试验需要满足重力相似准则要同时满足阻力相似准则则必须有此时可用重力相似准则设计阻力相似的模型341水流在阻力平方区谢才公式按佛汝德准则设计模型比尺采用manning公式时352水流在层流区粘滞切应力dydudydugrdydudydudydu流速比尺原模型为同种液体流量比尺3时间比尺dtdvdtdv3953惯性力相似准则stst4054弹性力相似准则caca4155表面张力相似准则wewe4256压力相似准则paeueu相似理论是水力模型试验的基础newton相似定律重力作用增加限制?一般情况满足两个以上的力系相似往往不可能抓住主要矛盾?重力froude准则?粘滞力reynolds准则?重力与粘滞力同时满足特例
模型试验基本原理
模型试验基本原理模型试验是指利用模型装置对实际问题进行缩尺模拟试验的一种方法，通过模型实验可以研究、预测和评估实际问题的各种特性和性能，以及寻求解决问题的方法。
模型试验的基本原理包括几何相似原理、动力相似原理和相似系数原理。
1.几何相似原理几何相似是指模型和实际问题之间的几何形状和尺寸上具有相似性。
按照几何相似原理，模型的尺寸和实际问题之间需要保持一定的比例关系。
例如，水利工程中的水闸或堤坝的模型试验，模型的尺寸通常要缩小到实际问题的1/10或1/100，控制各个构件的尺寸比例保持一致。
2.动力相似原理动力相似是指模型试验过程中主要的力学特性和动态行为与实际问题的相似性。
按照动力相似原理，模型和实际问题之间需要保持一定的物理量比例关系，如力、速度、加速度等。
这样可以使模型试验的动力特性对应到实际问题中，研究问题时所得到的结果可以推广到实际问题中。
3.相似系数原理相似系数是指模型和实际问题之间的各种物理量相互之间的比例关系。
根据相似系数原理，物理量之间的比例关系可以表示为一组相似系数，对于不同的物理量可以有不同的相似系数。
通常情况下，相似系数包括长度比例系数、速度比例系数、密度比例系数、黏性比例系数等。
通过确定合适的相似系数，可以保证模型试验中的各种物理量之间的比例关系与实际问题保持一致。
模型试验的基本过程包括设计模型、制作模型、试验准备、试验操作和结果分析等阶段。
在设计模型阶段，需要根据实际问题的要求确定模型的尺寸、材料和结构等；制作模型阶段需要按照设计要求制作出符合几何和动力相似原理的模型；在试验准备和试验操作阶段，需要按照实验计划和方法进行试验前的准备工作，包括设置试验装置、调整实验参数等；在试验过程中，需要记录和采集各种数据和结果，以便进行后续的分析和评估。
总之，模型试验是一种对实际问题进行缩尺模拟试验的方法，基于几何相似、动力相似和相似系数原理，通过设计模型、制作模型、试验准备、试验操作和结果分析等阶段，可以研究和评估实际问题的各种特性和性能，以及寻求解决问题的方法。
相似理论与模型试验
Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
力矩M
压强p
kM
功率N
Fl m Fl p
k kl3kv2
动力粘度
kN kM kt 1 k kl 2kv3
kp
pm pp
kF kA
k kv2
k k klkv
46
Dynamic Similarity
Forces at corresponding locations on model and prototype are similar
满足了主要动力相似，抓住了解决问题 的实质。 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似准 数作为决定性相似准数满足相等时， Eu 准数同时可以满足）
57
第三节 模型设计与数据换算
1 模型流动设计
设计模型流动,要使之成为原型流动的 相似流动，原则上要满足几何相似、运 动相似和主要动力相似。具体设计时， 首先要考虑该流动性质选择决定性相似 准数，此外还要考虑实验规模和实验室 的条件以及实验时所采用的流体是否与 原型流动中的流体相同且是否同一温度 等因素。
up vp
up um vp vm
vm um
45
三 动力相似（受力相似）
定义:两流动的对应部位上同名力矢成
同一比例。引入力比例系数 也可写成 kF kmka (k kl3)(klkt 2 )
k
kF kl
2kv
Fm Fp
2
C
力学物理量的比例系数可以表示为密度、
尺度、速度比例系数的不同
❖第一节 基本概念
❖ 1、相似 ❖ 指自然界中两个及以上现象在外在表象
及内在规律性方面的一致性。工程界常指 “模型”与“工程原型”之间的一致性。
第五章 相似理论与结构模型试验
2.2.6.边界条件和初始条件
在材料力学和弹性力学中，常用微分方程描
述结构的变形和内力，边界条件和初始条件是求 微分方程的必要条件。原型与模型采用相同组微 分方程和边界条件及初始条件描述。
2.2.6.1 边界条件
原型与模型在外界接触的区域内各种条件 保持相似。如支撑条件、约束情况、边界受力 等相似。
d 水泥砂浆
水泥砂浆被广泛地用来制作钢筋混凝土板壳等 薄壁
似，即模型与原模型结构对应部分的质量成比例 Sm=mm/mp或Sp=ρm/ρp 质量是密度与体积的乘积：
Sp=ρm vmvm/(ρpvpvp)=Sm/S3l
可见，在给定几何常数后，密度相似常数可以
由质量相似常数导出。
2.2.3.荷载相似
模型与原型在各对应点所受的荷载方向一
致，荷载大小成比例。集中荷载与力的量纲相
3.1 模型的类型分类
如按模型试验研究范围可分为：弹性模型试验、强
度模型试验。
如按试验模拟的程度分类：断面模型试验(平面)，
半整体模型，整体模型试验。
如按试验加载方法分类：静力结构模型试验，动力
结构模型试验，等等。
3、模型设计
3.2 模型几何尺寸的确定
确定几何尺寸是关键的一步，主要应考虑： a、 模型的尺寸大小要适中，可行，对于与结构 物相互作用问题，应考虑影响范围。 b、 测量手段，应考虑传感器的大小和精确度要 求。当传感器精度不够时应加大模型尺寸。 c、 试验待求量应方便、可以实施 因此，设计时应综合考虑模型类型、制作条件及试 验等，才能确定出一个最优的几何尺寸。
1.3.模型试验特点
经济性好
特点
针对性强 数据准确
1.4.模型试验适用范围
1
机械设计中相似理论与模型试验的应用研究
时 代 农 机TIMES AGRICULTURAL MACHINERY第 ４５ 卷第 ４ 期２０１８ 年 ４ 月 Ａｐｒ．２０１８ Ｖｏｌ．４５ Ｎｏ．４２０１８年第４期228机械设计中相似理论与模型试验的应用研究王 理摘 要：模型试验是现代化机械设计中的一个重要的方法手段，而相似理论则是模型试验的理论基础。
文章就将以现代化的机械设计为例，对相似理论与模型试验在其中的应用进行研究，通过对相关理论的介绍以及特定的例子来说明相似理论和模型试验在机械设计中应用的重要性。
关键词：相似理论；模型试验；机械设计(铁岭师范高等专科学校，辽宁 铁岭 112001)作者简介：王理（１９９０－），辽宁铁岭人，大学本科，助理实验师，研究方向：机械设计制造及其自动化。
１ 相似理论与模型试验（1）相似原理相似理论是对物理现象的相似条件和相似现象性质的一种论述，从20世纪开始就被广泛的运用在各类学科当中。
相似理论包含三条定理，即相似第一定理、相似第二定理与相似第三定理。
相似第一定理，任意两个相似的现象只要满足单值条件相同，就可以确定对应的相似准则的数值也相同。
这是由法国的J Bertrand 所建立的，对于单值条件条件来说，其主要包括以下因素：物理参数、系统的初始条件与几何性质等。
相似第二定理，由美国学者J Buckingham 提出，当一个现象由n 个包含k 个基本量纲的物理量所组成时，在彼此的相似现象中，相似准则只需要通过将各个物理量之间的关系方程式转化成为无量纲方程式的形式就可以自行导出。
相似第三定理，由原苏联人M B Kupnhyeb 提出，即现象的单值条件相似且由其导出的相似准则在数值上相等，则现象就相似。
（2）相似原理的特征相似原理主要存在以下几点特征：一是相似现象能为文字上完全相同的现象所描述；二是对于存在相似现象的物理量来说，其在空间对应的各点和时间上相互对应的各瞬间存在一定的比例规律。
三是各相似常数值都满足一定的自然规律，不能够任意选择。
第十四章相似原理及模型试验简介
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中
作用力的分力与位移惯性力比值相等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中
作用力的分力与位移惯性力比值相等
设作用于水流的力 重力 G
阻力 T
表面张力 S 压力 P 弹性力 E
FP FM 2 2 P L2 M L2 PvP M vM
(G T E S F ...)P (G T E S F ...) 2 2 2 2 P LP v P M LM v M
紊流阻力平方区
vr 2 v2P v2M 1 Frr 1 g P LP g M LM gr Lr
( gr 1)
vr 2 v2 J 2 Jr 2 1 C r 1 r 1 P M RP RM C R C r Lr /6 nr L1 r
2 FrP2 FrM vr 2 v2P v2M 1 g P LP J P g M LM J M JP JM gr Lr J r
2
阻力
1 2 Fr t r r L3 J L u g L J u r r r r r r r r 1 1 1 3 2 mr ur r Lr ur ur gr Lr J r
14.1
14.2 14.4
概述
相似的基本概念 相似准则
14.4.1 牛顿数相似准则
原型与模型尺度不同，但两者水流运动遵循 同一规律－牛顿第二定律
原型：
FP m P
duP dt P
模型：
duM FM m M dt M
式中：F、m、u、t 为的合力、质量、流速和时间
相似系统中存在下列比尺关系
——相似理论与模型试验
（1）式实际上可用于描述彼此相似的两个现象。这
但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较 大的局限性，在于它常常只能得出个别量之间的规律 性关系，难以发现或抓住现象的本质（全部），从而 无法向实验条件范围以外的同类现象推广。
但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自 然规律研究的全新理论——“相似理论”便应运而生了 。它是把数学解析法和试验法的优点结合起来，用来 研究和解决生产和工程中的问题。这是科学研究的主 要方法之一，也是解决生产和工程问题的一种有效方 法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
[L]：1=-a-2b+4b+c [F]：0=a+b
a2bc 1 ①
②
a b
∴ 3b c 1
c
a 1
b 3b
∴ y=k q-b[EI]bL1-3b
令：d=-b
∴
y=k q d L(13d )
(EI )d
做二次试验后解得：d=1, k= 5 ∴y= 5ql 4
384
384EI
从上面二例可以看出，采用量纲分析法求等式的关键在于： 选择的物理参数要正确。
量纲分析法除了求导相似准则外，还可用于：（1）、导出无 量纲量；（2）、可简化方程，把多个物理量减少等，其用途较 多。
3、 相 似 理 论
3.1 相似概论 相似——两种物理量对应时刻的对应点成比例，可称
相似。 3.1.1 几何相似 ——对应尺寸成比例。 如两个三角形相似，对应边成比例， 比例值CL称为几何相似常数。
对于完全方程，除以方程中的任一项，将变 为无量纲的量。
如
：
s=v0t+
1 2
gt
2[L]
但对于非完全方程如P=0.013H(重液公式)则 不成立。
混凝土重力坝结构模型试验指导-2013.
《水工建筑物》结构模型教学实验重力坝断面结构模型试验李桂荣2013-3-22混凝土重力坝断面结构模型试验1． 模型试验的原理模型试验的理论基础就是相似原理。
我们研究的对象主要是水利和土建工程中的混凝土建筑物及地基。
需要通过模型模拟的主要有荷载的类型及大小，建筑物的几何形状和材料的物理力学性能。
为了使模型上产生的物理现象与原型相似，模型材料、模型形状和荷载等必须遵循一定的规律，这个规律就是相似原理。
水工结构模型试验要解决的问题，是将原型水工建筑物上的力学现象缩小到模型上，从模型上模拟出与原型相似的力学现象中，量测应力、位移和安全度等，再通过一定的相似关系推算到原型建筑物。
模型试验如果能正确地解决模拟问题，同时又采用了精确的量测方法，则其所得成果就可能较好地反映原型的实际情况。
2.试验任务对所取坝段的断面结构模型进行一次应力试验，提供大坝在上游正常蓄水位作用下的坝基面上应力的分布和坝体位移变化情况的试验成果。
3．原型的基本资料：坝型为混凝土实体重力坝，坝高为81m ，坝顶宽12m ，坝底宽60m ，下游坝坡1：0.75。
坝体混凝土弹性模量E 1=19200Mpa,坝基岩体弹性模量E 2=19200Mpa ，E 3=11600Mpa ，基岩材料分布图4-1。
混凝土与基岩材料的泊松比均为μ1=μ2=0.2，坝体混凝土容重3/24m KN r ,上游正常蓄水位78m 。
4.模型设计 4.1相似常数根据线弹性模型的相似要求结合本次试验，原型（P ）与模型（M ）各物理量之间保持下列相似关系：几何比尺： C L =L P /L M =100 弹性模量比尺： C E =E P /E M =6容重比尺：Cγ=γP/γM= Cσ/ C L应变比尺：Cε=εP/εM=1应力比尺：Cσ=σP/σM=6位移比尺：Cδ=δP/δM=100泊松比比尺：Cμ=μP/μM=14.2相似模型本次试验的模型材料采用石膏材料，模型是根据相似要求将石膏粉和水按照不同的比例浇注成块体，经过烘干、加工、制作而成。
土木工程相似试验原理
土木工程相似试验原理一、相似试验是啥呢？土木工程中的相似试验啊，就像是给那些大型的土木工程项目做个小模型来进行测试一样。
你想啊，要是直接在真正的大楼或者大桥上搞试验，那得费多少钱，还多危险呀。
相似试验就是按照一定的比例把那些土木工程的结构缩小，然后在这个小模型上做各种测试，就像玩缩小版的土木工程项目一样有趣呢。
二、相似三要素1. 几何相似这就是说啊，模型和实际的土木工程结构在形状上是相似的，就好比一个小房子模型和真正的房子，它们的各个部分的比例是一样的。
比如说实际的房子长10米，宽8米，高3米，按照1:10的比例做模型的话，那模型的长就是1米，宽0.8米，高0.3米啦。
2. 物理相似这里面包含的东西就多喽。
像材料的力学性能，比如说弹性模量啊、泊松比这些。
如果实际工程中用的钢材弹性模量是多少多少，那在模型里用的材料也要有相似的弹性模量比例关系。
还有像荷载相似，实际工程承受的是大风啊、地震啊这些荷载，那模型上施加的荷载也要按照一定比例来，这样才能模拟出实际的情况呢。
3. 边界条件相似这个边界条件就像是给土木结构设定的一个环境限制。
比如实际的桥梁一端是固定在桥墩上，一端是可以伸缩的，那模型的桥梁也要有类似的边界条件设置，这样才能准确地反映出实际结构在各种情况下的表现。
三、相似试验的原理应用1. 在建筑设计中的应用在设计新的大楼的时候，设计师可以先做个相似试验模型。
通过在模型上施加模拟的风荷载，看看这个大楼的结构会不会摇晃得太厉害，是不是能够承受得住这样的外力。
如果模型都撑不住，那肯定要对设计进行修改啦，不然真盖起来那可就危险了。
2. 在桥梁工程中的应用对于桥梁来说，相似试验可以帮助工程师研究桥梁在车辆荷载、水流冲击等情况下的反应。
比如说，看看桥梁的哪个部位最容易出现疲劳损坏，这样就可以提前在这些部位进行加固设计，提高桥梁的安全性和使用寿命。
四、相似试验的局限性虽然相似试验很有用，但是它也有自己的小缺点哦。
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一般作用在水流中的力有：重力G、粘滞力
T、压力P、表面张力S、弹性力E，如果作用于
质点的合外力F ≠0，将此力视为惯性力I，则所 有的力构成一个平衡力系，并组成一封闭的力多 边形。
12
动力相似：原型与模型中相应点上作用的各同名力 矢量互相平行，且均具有同一比值。
动力相似：模型与原型中任意相应点的力多边形相似， 相应边（即同名力）成比例。
12 相似原理和模型试验基础
工程流体力学、水力学的问题，由于边界条 件复杂，大多数不能单纯依靠解析法求得严 谨的解答；即使是少数可以求解的问题，也 要做相当简化和假定；对于重要的工程，为 确保工程安全，在付诸实施之前，一般还要 经过模型实验的验证。
1
12.1 相似模型和相似比尺
一、相似模型 研究水流现象的模型，不仅要求形体上与原型相象，更重要的 是能够体现原来现象的物理本质。或者说，在模型中演示的现 象与原型中的现象之间必须存在着科学的关联。 相似模型：能将某些物理现象(例如水流)中的量缩小或扩大来 进行实验的装置。
7
原型：Prototype
模型：Model
为便于讨论，规定：
以λ 表示其原型量和模型量的比尺，而 物理量下标 P 、M 则分别表示原型量和模型量。
流动相似
几何相似 运动相似 动力相似
8
１、几何相似
几何相似是指原型与模型保持几何形状和几何尺寸相似， 也就是原型和模型的任何一个相应线性长度保持一定的比例关 系。
原型
模型
13
4、边界条件和初始条件相似
边界条件和初始条件相似 水流运动受到边界条件和初始条件的影响和制
约，要做到其流动相似，必须使两个系统的边界条 件和初始条件相似。
例如，原型：自由表面 模型：自由表面 固体边壁 固体边壁
给定瞬时tP的流速vP 对应瞬时tP的流速vM
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几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征 它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件 动力相似是是决定流动相似的主导因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现形式 它们是一个统一的整体，缺一不可。
设时间比尺： 则速度比尺 加速度比尺
t
tp tm
v
vp vM
Lp / tP LM / tM
L t
a
ap aM
Lp / tP2 LM / tM 2
L t 2
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３、动力相似
动力相似： 模型与原型中相应点上作用的各同名力矢量
互相平行均具有同一比值。 例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面
张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力， 并且各同名力的方向互相平行、比值保持相等。
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二、相似准则——牛顿数及相似判据
相似准则的导出方法有： ①物理法则法； ②方程分析法； ③量纲分析法。
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（一）牛顿数
惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它的非惯 性物理力总是力图改变液体的运动状态。液体的运动就 是惯性力和其它非惯性物理力共同作用的结果。
惯性力： I ma L3 v L2v2 t
这是流动相似的重要判据，称为相似判据。
因
m
mp mM
PVP M VM
3L
F t 1
F
1 F 1
3Lv
2 Lv
L t
2 L2v
显然，两个流动相似，原型与模型的牛顿数一定相等。 这是标志两个流动相似的一般准则，称为牛顿相似准则。
将上式改写为比尺表示的关系式，就得到相似判据
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（二）相似判据
相似系统中各物理量的比尺是不能任意选定的而要 受描述该运动现象的物理方程的制约的。机械运动相似 的两个系统都应受牛顿第二定律约束，即有
F m du F t 1 d qMn
显然，没有必要把每一点处同名物理量之比一一列
出，仅需着眼于某一个 qr 就足够了，这个 qr 称为特征值或代表值。以后对于各种具体属性的物
理量，如长度L、时间t、力F等,除非预先说明，一
般就认为是它们是特征值或代表值。
4
三． 基本比尺和导出比尺 相似比尺是两个系统相应物理量之比，那么
2
二、相似比尺
相似比尺是指原型和模型同名物理量之比值，可表示
为：
q
qP qM
。
同名物理量是指原型和模型中同一物理属性的量，即
量纲相同的物理量。
3
用相似比尺表示模型与原型相似，在形式上似乎
很简单，而实质上对于模型是非常严格的要求。因
为：原型和模型上每一点的同名物理量之比均应满
足同一个相似比尺：q
q P1 qM1
相似比尺的数目就与物理量的数目相同。 物理量q为基本量，则相应的比尺 q 就是基
本比尺；若量q为导出物理量，q 就是导出比尺
根据诱导量纲基本公式可知：所有的物理量均 可表示为少数基本物理量的乘幂之积的形式。所 有的相似比尺也可表示为少数基本比尺的乘幂之 积的形式。
5
12.2 相似现象的相似特征
一、相似现象的相似特征
（一）几何相似：在两个几何图形的相应长度都保持固
定的比
例关系。即把一个模型（
或原型）的任一长度尺寸乘比例尺，便得到原型（模型
）的相应长度。
（二）流动相似
模型和原型水流如何达到流动相似？
6
水流运动是在一定时间和空间中进行的，它遵循水流运动学和动 力学的规律。 表征液体运动有三种不同性质的物理量：表征流场几何形状的、 表征运动状态的以及表征动力特性的物理量。 即描述水流运动 的物理量可以分为三个类型：几何量、运动量、动力量。 因此，两个系统的流动相似必须做到几何相似、运动相似和动力 相似。即两个流动系统的相似可用几何相似、运动相似及动力相 似来描述。
非惯性力：F
根据动力相似条件：F
FP FM
IP IM
FP IP
FM IM
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M L2M vM2
上式表明：相似系统中，原型中非惯性物理力与惯性 力之比应等于模型中非惯性物理力与惯性力之比。
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习惯上，将非惯性物理力F与惯性力I之比称为牛顿数，以
Ne表示，即
F
Ne L2v2 NeP NeM
式中
L
L
为长度比尺。
Lp Lm
面积比尺
体积比尺
A
Ap AM
Lp2 Lm 2
L2
V
Vp VM
Lp3 Lm3
L3
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２、 运动相似
运动相似是指原型与模型两个流动中任何对应质点的迹线 是几何相似的，而且任何对应质点流过相应线段所需的时间又 是具有同一比例的。或者说两个流动的速度场(或加速度场)是 几何相似的。