人教A版数学必修一1.1.1第1课时
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素要符合哪种表达式或满足哪些条件.
【变式训练】集合A是由形如m＋ 3 n(m∈Z，n∈Z)的数构成
的，试判断 1 是不是集合A中的元素.
2－ 3
【解析】∵ 1
2－
3
＝2＋
3 ＝2＋
3×1，而2∈Z,1∈Z，
∴2＋
3∈A，即
1 ∈A.
2－ 3
类型 三 集合中元素互异性的简单应用
【典型例题】
1.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且
(3)整体：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体” 的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这 些对象的全体，而并非个别对象.
2.集合中元素的三个特性 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的， 即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是 确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一， 这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个 给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
2.(1)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.5＝ 1 ，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有
2
三个元素．
(2)不正确.因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有
一个元素-1.
(3)正确.因为组成单词china的字母是确定的.
【拓展提升】判断一组对象组成集合的依据及流程 (1)依据：元素的确定性是判断的依据.如果考察的对象是确定 的，就能组成集合，否则不能组成集合. (2)流程：找出对象 →判断确定性 → 验证互异性 → 得出结论
1.下列各组对象中不能组成集合的是( ) A.某科教文化股份有限公司的全体员工 B.文化书店的所有书刊 C.2013年考入清华大学的全体学生 D.美国NBA的篮球明星 【解析】选D. A，B，C中的元素：员工、书刊、学生都有明 确的对象，而D中对象不确定，“明星”没有具体明确的标 准．
2.设集合A只含一个元素a，则下列表示正确的是( ) A.{a}≠AB.a∉A C.a∈AD.a＝A 【解析】选C.本题考查元素与集合之间的关系，显然A,B,D不 正确，由题意知C正确.
4.元素与集合的关系
aA aA
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) (2)漂亮的花组成集合.( ) (3)本班所有的姓氏组成集合.( ) (4)由3个不同的元素进行排序可以构成6个不同的集合.( )
提示：(1)错误.集合中元素满足互异性. (2)错误.因为什么样的花是漂亮的花不确定，所以漂亮的花 构不成集合. (3)正确.因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集 合. (4)错误.集合中元素满足无序性. 答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
3.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M， 则M中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2，3，方程x2-x-2=0的解 为2，-1，故集合M中有3个元素，分别是2,3，-1.
4.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则： 深圳 _____A，广州_____A (填“∈”或“∉”). 【解析】深圳不是省会城市，故深圳∉A；广州是省会城市， 故广州∈A. 答案：∉ ∈
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b， c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常 用来判断两个集合的关系．
3.元素和集合之间的关系 (1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在 a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系. 4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点
解得a<2.又a∈N，∴a=0或1.
【易错误区】忽视集合中元素的互异性致误 【典例】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a 的值为( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对
【解析】选B.若1∈A，则a=1或a2=1， 解得a=1或-1. (1)当a=1时①，集合A中元素为1和1，不满足集合元素的互异 性，故a≠1. (2)当a=-1时①，集合A中含有两个元素-1和1，符合集合元素 的互异性. 综上所述，a=-1.
【类题试解】集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实 数x的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 【解析】选C.当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合 元素的互异性，x≠0，x≠1，故x=－1.
【误区警示】
【防范措施】 1.分类讨论思想的运用 解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨 论的意识.如本例中由1∈A，可知a=1或aБайду номын сангаас=1. 2.集合元素互异性的作用 求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来 检验所求参数值是否符合要求.如本例中对所求出的1与-1分 别进行检验.
【拓展提升】互异性在解决集合问题中的运用 在解决集合中元素的问题时，互异性是至关重要的，利用集 合元素的特性求参数取值涉及分类讨论的思想方法.在解题中 遇到参数的代数式，要采用分类讨论的方法进行研究.
【变式训练】由a2,2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素， 则实数a的取值可以是( ) A.1 B.-2 C.6 D.2 【解析】选C.因A中含有3个元素，即a2,2－a，4互不相等， 将选项中的数值代入验证知选C.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第一章 集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、元素与集合 1.定义： (1)元素：一般地，把所研究的_对__象_统称为元素，常用小写的 拉丁字母a,b,c，…表示. (2)集合：一些元素组成的总体，简称为_集_，常用大写拉丁字 母A,B,C，…表示. 2.集合相等：指构成两个集合的元素是_一__样_的. 3.集合中元素的特性：_确__定__性_、_互_异__性__和_无__序__性__.
2∈A，则实数m为( )
A.2
B.3
C.0或3
D.0,2,3均可
2.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，6－a∈A，
则a＝_____________.
【解题探究】1.题1集合中含有三个元素，那么2到底是哪个 元素？ 2.题2中实数a有几种选择的可能？利用哪个条件判断？ 探究提示： 1.要么m=2，要么m2－3m＋2=2，此时应分类讨论，并利用集 合元素的互异性进行检验. 2.a有三种选择的可能，分别是2，4，6，可利用6-a是否属于 A判断.
22
(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素. (3)组成单词china的字母组成一个集合. 【解题探究】 1.集合中的元素有哪些特性？ 2.集合中的元素能重复吗？
探究提示： 1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性. 2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性， 相同的元素只能算作一个. 【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准． ②正确．中国海洋大学2013级大一新生是确定的，明确的． ③正确．因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的， 明确的． ④不正确．因为高科技产品的标准不确定． 答案：②③
【拓展提升】判断元素和集合关系的两种方法
直 如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素 接 在已知集合中是否出现即可.此时应首先明确集合 法 是由哪些元素构成.
对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是 推
否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先 理
明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元 法
【变式训练】1.下列对象能组成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好音乐的一些人 C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程 【解析】选D.A，B，C的对象不确定，唯有D某校某班某一天 所有课程是确定的，故能形成集合的是D.
2.指出下列集合中的元素： (1)young中的字母组成的集合. (2)book中的字母组成的集合. 【解析】(1)单词young中的字母互不相同，其组成的集合中 有5个元素，分别是y，o，u，n，g.(2)单词book中的字母有 两个是相同的，其组成的集合中元素有3个，分别是b，o，k.
类型 二 元素和集合的关系 【典型例题】 1.(2013·临沂高一检测)下列所给关系中正确的个数是( ) ①π ∈R；② 3 ∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*. A.1 B.2 C.3 D.4 2.设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为 (2,7)_________P(填“∈”或“∉”).
【解题探究】1.常用数集有哪些？分别是指哪些数组成的集 合？ 2.判断一个元素是否是某个集合的元素的关键是什么？ 探究提示： 1.常用的数集有“N”，表示非负整数集；“N*”或“N+”， 表示正整数集；“Z”，表示整数集；“Q”，表示有理数集； “R”，表示实数集. 2.判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否 具有这个集合中元素的特征，若具备就是，否则不是.
类型 一 集合的判定 【典型例题】 1.下列说法中正确的序号是. ①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合； ②中国海洋大学2013级大一新生组成一个集合； ③参加2012年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合； ④未来世界的高科技产品组成一个集合.
2.判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)1,0.5，3，1 组成的集合含有四个元素.
二、常用的数集及其记法
数集 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
__N_
__N_*_或__N_+_ _Z_
_Q _
_R _
思考：N与N+(或N*)有何区别？ 提示：N+是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整 数组成的集合，所以N比N+(或N*)多一个元素0.
【知识点拨】 1.对集合相关概念的理解 (1)集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只 对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体. (2)元素：集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活 中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样 的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素.
【解析】1.选B.根据各数集的意义可知，①②正确，③④错 误． 2.直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的 关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素.由于当x＝2 时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P. 答案：∈
【互动探究】题2中，集合P不变，则2与集合P的关系是什么？ (3,4)与集合P又有什么关系？ 【解题指南】充分理解数集和点集的区别是正确解答本题的 关键. 【解析】由于2是实数，而集合P是点集，故2∉P； 由于当x＝3时，y＝2×3＋3＝9≠4，故(3,4)∉P.
5.由实数x，－x， x2 ，－3 x3 所组成的集合中元素最多 有个． 【解析】 x2＝|x|，而 －3 x3 ＝－x，故集合里面元素最多有2 个． 答案：2
6.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且
3a∈A，求a的值.
【解析】∵a∈A且3a∈A，
∴
a 6， 3a 6，
【解析】1.选B.若m=2，则22－3×2＋2=0，不满足互异性； 若m2－3m＋2=2，则m=0或3，显然当m=0时不满足元素的互异 性，故m=3. 2.∵A中的三个元素是2,4,6， ∴当a＝2时，6－a＝4∈A，适合题意； 当a＝4时，6－a＝2∈A，也适合题意； 当a＝6时，6－6＝0∉A，不合题意． ∴a的值为2或4. 答案：2或4
【变式训练】集合A是由形如m＋ 3 n(m∈Z，n∈Z)的数构成
的，试判断 1 是不是集合A中的元素.
2－ 3
【解析】∵ 1
2－
3
＝2＋
3 ＝2＋
3×1，而2∈Z,1∈Z，
∴2＋
3∈A，即
1 ∈A.
2－ 3
类型 三 集合中元素互异性的简单应用
【典型例题】
1.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且
(3)整体：集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体” 的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这 些对象的全体，而并非个别对象.
2.集合中元素的三个特性 (1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的， 即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是 确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一， 这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合． (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个 给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
2.(1)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.5＝ 1 ，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有
2
三个元素．
(2)不正确.因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有
一个元素-1.
(3)正确.因为组成单词china的字母是确定的.
【拓展提升】判断一组对象组成集合的依据及流程 (1)依据：元素的确定性是判断的依据.如果考察的对象是确定 的，就能组成集合，否则不能组成集合. (2)流程：找出对象 →判断确定性 → 验证互异性 → 得出结论
1.下列各组对象中不能组成集合的是( ) A.某科教文化股份有限公司的全体员工 B.文化书店的所有书刊 C.2013年考入清华大学的全体学生 D.美国NBA的篮球明星 【解析】选D. A，B，C中的元素：员工、书刊、学生都有明 确的对象，而D中对象不确定，“明星”没有具体明确的标 准．
2.设集合A只含一个元素a，则下列表示正确的是( ) A.{a}≠AB.a∉A C.a∈AD.a＝A 【解析】选C.本题考查元素与集合之间的关系，显然A,B,D不 正确，由题意知C正确.
4.元素与集合的关系
aA aA
判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) (2)漂亮的花组成集合.( ) (3)本班所有的姓氏组成集合.( ) (4)由3个不同的元素进行排序可以构成6个不同的集合.( )
提示：(1)错误.集合中元素满足互异性. (2)错误.因为什么样的花是漂亮的花不确定，所以漂亮的花 构不成集合. (3)正确.因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集 合. (4)错误.集合中元素满足无序性. 答案：(1)×(2)×(3)√(4)×
3.若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素的集合为M， 则M中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.方程x2-5x+6=0的解为2，3，方程x2-x-2=0的解 为2，-1，故集合M中有3个元素，分别是2,3，-1.
4.设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则： 深圳 _____A，广州_____A (填“∈”或“∉”). 【解析】深圳不是省会城市，故深圳∉A；广州是省会城市， 故广州∈A. 答案：∉ ∈
(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b， c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常 用来判断两个集合的关系．
3.元素和集合之间的关系 (1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a和集合A，在 a∈A和a∉A两种情况中有且只有一种成立. (2)符号“∈”和“∉”只是表示元素与集合之间的关系. 4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点
解得a<2.又a∈N，∴a=0或1.
【易错误区】忽视集合中元素的互异性致误 【典例】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a 的值为( ) A.1 B.-1 C.1或-1 D.以上都不对
【解析】选B.若1∈A，则a=1或a2=1， 解得a=1或-1. (1)当a=1时①，集合A中元素为1和1，不满足集合元素的互异 性，故a≠1. (2)当a=-1时①，集合A中含有两个元素-1和1，符合集合元素 的互异性. 综上所述，a=-1.
【类题试解】集合A中含有三个元素0，1，x，且x2∈A，则实 数x的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D.1或-1 【解析】选C.当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合 元素的互异性，x≠0，x≠1，故x=－1.
【误区警示】
【防范措施】 1.分类讨论思想的运用 解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨 论的意识.如本例中由1∈A，可知a=1或aБайду номын сангаас=1. 2.集合元素互异性的作用 求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来 检验所求参数值是否符合要求.如本例中对所求出的1与-1分 别进行检验.
【拓展提升】互异性在解决集合问题中的运用 在解决集合中元素的问题时，互异性是至关重要的，利用集 合元素的特性求参数取值涉及分类讨论的思想方法.在解题中 遇到参数的代数式，要采用分类讨论的方法进行研究.
【变式训练】由a2,2－a，4组成一个集合A，A中含有3个元素， 则实数a的取值可以是( ) A.1 B.-2 C.6 D.2 【解析】选C.因A中含有3个元素，即a2,2－a，4互不相等， 将选项中的数值代入验证知选C.
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
第一章 集合与函数概念 1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义
一、元素与集合 1.定义： (1)元素：一般地，把所研究的_对__象_统称为元素，常用小写的 拉丁字母a,b,c，…表示. (2)集合：一些元素组成的总体，简称为_集_，常用大写拉丁字 母A,B,C，…表示. 2.集合相等：指构成两个集合的元素是_一__样_的. 3.集合中元素的特性：_确__定__性_、_互_异__性__和_无__序__性__.
2∈A，则实数m为( )
A.2
B.3
C.0或3
D.0,2,3均可
2.设由2,4,6构成的集合为A，若实数a满足a∈A时，6－a∈A，
则a＝_____________.
【解题探究】1.题1集合中含有三个元素，那么2到底是哪个 元素？ 2.题2中实数a有几种选择的可能？利用哪个条件判断？ 探究提示： 1.要么m=2，要么m2－3m＋2=2，此时应分类讨论，并利用集 合元素的互异性进行检验. 2.a有三种选择的可能，分别是2，4，6，可利用6-a是否属于 A判断.
22
(2)方程x2+2x+1=0的解集中有两个元素. (3)组成单词china的字母组成一个集合. 【解题探究】 1.集合中的元素有哪些特性？ 2.集合中的元素能重复吗？
探究提示： 1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性. 2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性， 相同的元素只能算作一个. 【解析】1.①不正确.因为成绩较好没有明确的标准． ②正确．中国海洋大学2013级大一新生是确定的，明确的． ③正确．因为参加2012年伦敦奥运会的所有国家是确定的， 明确的． ④不正确．因为高科技产品的标准不确定． 答案：②③
【拓展提升】判断元素和集合关系的两种方法
直 如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素 接 在已知集合中是否出现即可.此时应首先明确集合 法 是由哪些元素构成.
对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是 推
否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先 理
明确已知集合的元素具有什么特征,即该集合中元 法
【变式训练】1.下列对象能组成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好音乐的一些人 C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程 【解析】选D.A，B，C的对象不确定，唯有D某校某班某一天 所有课程是确定的，故能形成集合的是D.
2.指出下列集合中的元素： (1)young中的字母组成的集合. (2)book中的字母组成的集合. 【解析】(1)单词young中的字母互不相同，其组成的集合中 有5个元素，分别是y，o，u，n，g.(2)单词book中的字母有 两个是相同的，其组成的集合中元素有3个，分别是b，o，k.
类型 二 元素和集合的关系 【典型例题】 1.(2013·临沂高一检测)下列所给关系中正确的个数是( ) ①π ∈R；② 3 ∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*. A.1 B.2 C.3 D.4 2.设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为 (2,7)_________P(填“∈”或“∉”).
【解题探究】1.常用数集有哪些？分别是指哪些数组成的集 合？ 2.判断一个元素是否是某个集合的元素的关键是什么？ 探究提示： 1.常用的数集有“N”，表示非负整数集；“N*”或“N+”， 表示正整数集；“Z”，表示整数集；“Q”，表示有理数集； “R”，表示实数集. 2.判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否 具有这个集合中元素的特征，若具备就是，否则不是.
类型 一 集合的判定 【典型例题】 1.下列说法中正确的序号是. ①高一(四)班学习成绩较好的同学组成一个集合； ②中国海洋大学2013级大一新生组成一个集合； ③参加2012年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合； ④未来世界的高科技产品组成一个集合.
2.判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)1,0.5，3，1 组成的集合含有四个元素.
二、常用的数集及其记法
数集 非负整数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
__N_
__N_*_或__N_+_ _Z_
_Q _
_R _
思考：N与N+(或N*)有何区别？ 提示：N+是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整 数组成的集合，所以N比N+(或N*)多一个元素0.
【知识点拨】 1.对集合相关概念的理解 (1)集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只 对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体. (2)元素：集合中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活 中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样 的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素.
【解析】1.选B.根据各数集的意义可知，①②正确，③④错 误． 2.直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的 关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素.由于当x＝2 时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P. 答案：∈
【互动探究】题2中，集合P不变，则2与集合P的关系是什么？ (3,4)与集合P又有什么关系？ 【解题指南】充分理解数集和点集的区别是正确解答本题的 关键. 【解析】由于2是实数，而集合P是点集，故2∉P； 由于当x＝3时，y＝2×3＋3＝9≠4，故(3,4)∉P.
5.由实数x，－x， x2 ，－3 x3 所组成的集合中元素最多 有个． 【解析】 x2＝|x|，而 －3 x3 ＝－x，故集合里面元素最多有2 个． 答案：2
6.设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且
3a∈A，求a的值.
【解析】∵a∈A且3a∈A，
∴
a 6， 3a 6，
【解析】1.选B.若m=2，则22－3×2＋2=0，不满足互异性； 若m2－3m＋2=2，则m=0或3，显然当m=0时不满足元素的互异 性，故m=3. 2.∵A中的三个元素是2,4,6， ∴当a＝2时，6－a＝4∈A，适合题意； 当a＝4时，6－a＝2∈A，也适合题意； 当a＝6时，6－6＝0∉A，不合题意． ∴a的值为2或4. 答案：2或4