椭圆高考典型题型整理

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(完整版)高考椭圆题型总结

椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:PA+PB=2a>2c1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙： P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的 ( )A 。

充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。

充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是( ）A 。

椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知1F 、2F是椭圆的两个焦点， P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ，使得2PF PQ =，那么动点Q的轨迹是( ）A.椭圆B.圆C.直线D.点4. 已知1F 、2F 是平面α内的定点，并且)0(221>=c c F F ,M 是α内的动点，且a MF MF 221=+，判断动点M 的轨迹。

5. 椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是。

(二) 标准方程求参数范围1. 若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的范围。

（3，4）U(4，5） 2.轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 1022=+>>( ） A.充分而不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分又不必要条件3. 已知方程112522=-+-m y m x 表示焦点在Y 轴上的椭圆，则实数m 的范围是。

4. 已知方程222=+ky x 表示焦点在Y 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 . 5. 方程231y x -=所表示的曲线是 .6. 如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数k 的取值范围. 7. 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为)2,0(，求m 的值。

高中数学椭圆大题经典例题

高中数学中椭圆大题的经典例题题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0)的直线与原点的距离为√3/2。

(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，E、F 是椭圆 C 上的两动点，如果直线 PE，PF 的斜率都存在，且满足 kPE * kPF = -2/3，试探究△OEF 的形状，并说明理由。

(3)试问：是否存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形？如果存在，求出所有这样的平行四边形；如果不存在，说明理由。

解析：(1)由题意，离心率 e = c/a = √3/3，直线 AB 的方程为 y = -√3x + b，利用点到直线的距离公式得到 b = √3/2。

又因为 a^2 = b^2 + c^2，解得 a = √3, b = 1。

所以椭圆 C 的方程为 x^2/3 + y^2 = 1。

(2)设 P(x0,y0)，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由 kPE * kPF = -2/3，得到 (y0 - y1)(y0 - y2) / (x0 - x1)(x0 - x2) = -2/3。

根据椭圆方程和斜率公式，化简得到 (x0^2 - 1)(x0^2 - 3) = -4(x0^2 - 1)，解得 x0^2 = 1 或 x0^2 = 3（舍去）。

所以△OEF是直角三角形。

(3)假设存在以 PE，PF 为邻边的平行四边形，则 PE // PF，即存在 m，使得 kPE = kPF = m。

联立方程求解得 m = -√5/5 或 m = √5/5。

当 m = -√5/5 时，P(-√15/3, √15/5)，E(-√15/5, √15/5)，F(-√15/5, -√15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，不满足题意。

当 m = √5/5 时，P(-√15/3, -√15/5)，E(-√15/5, -√15/5)，F(-√15/5, √15/5)，此时ΔOEF 是等腰三角形，满足题意。

高考椭圆题型总结有答案

高考椭圆题型总结有答案椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题一)定义:命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PA+PB=2a(a>0，常数)。

命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的充要条件。

已知F1、F2是两个定点，且F1F2=4，若动点P满足PF1+PF2=4，则动点P的轨迹是椭圆。

已知1、2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长1到P，使得PQ=PF2，那么动点的轨迹是圆。

x^2+y^2=1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，椭圆则ON的值是4.O是椭圆的中心，(1,0)是椭圆的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1，1）。

选做：已知F1是椭圆，求|PA|+|PF1|的最小值。

二)标准方程求参数范围试讨论k的取值范围，使方程(5-k)x^2+ky^2-3=0表示圆、椭圆、双曲线。

m>n>0”是“方程mx+ny=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件。

若方程xsinα+ycosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，α所在的象限是第二象限。

方程x=1-3y所表示的曲线是椭圆的右半部分。

已知方程x+ky=2表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1.1.根据下列条件求椭圆的标准方程：1) 两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；2) 长轴是短轴的2倍，且过点(2,-6)；3) 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6,1)、P2(-3,-2)。

二、简单几何性质椭圆的离心率为e=√(1-b^2/a^2)，其中a、b分别为长轴和短轴的一半。

椭圆的周长为C=4aE(e)，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。

椭圆的面积为S=πab。

点M(x,y)满足x2/25+(y+3)2/16=1，求点M的轨迹方程。

2.已知动点P(x,y)过定点A(-3,0)，并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动点P的轨迹方程。

2024全国高考真题数学汇编：椭圆(1)精选全文完整版

2024全国高考真题数学汇编椭圆一、单选题1．（2024全国高考真题）已知曲线C ：2216x y （0y ），从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M 的轨迹方程为（）A ．221164x y（0y ）B ．221168x y （0y ）C ．221164y x （0y ）D ．221168y x （0y ）二、解答题2．（2024天津高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b椭圆的离心率12e ．左顶点为A ，下顶点为B C ，是线段OB 的中点，其中ABC S △(1)求椭圆方程．(2)过点30,2的动直线与椭圆有两个交点P Q ，．在y 轴上是否存在点T 使得0TP TQ ．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．3．（2024北京高考真题）已知椭圆E ： 222210x y a b a b，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点 0,t t 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和 0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．4．（2024全国高考真题）已知(0,3)A 和33,2P 为椭圆2222:1(0)x yC a b a b上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程．5．（2024全国高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x 轴．(1)求C 的方程；(2)过点 4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y 轴．参考答案1．A【分析】设点(,)M x y ，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ，则0(,),(,0)P x y P x ，因为M 为PP 的中点，所以02y y ，即(,2)P x y ，又P 在圆2216(0)x y y 上，所以22416(0)x y y ，即221(0)164x y y ，即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y .故选：A2．(1)221129x y (2)存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程.（2）设该直线方程为：32y kx， 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用,k t 表示TP TQ，再根据0TP TQ 可求t 的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为12e，故2a c，b ，其中c 为半焦距，所以2,0,0,,0,2A c B C，故122ABC S c △故ca ，3b ，故椭圆方程为：221129x y .（2）若过点30,2的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：32y kx ，设 1122,,,,0,P x y Q x y T t ，由22343632x y y kx可得223412270k x kx ，故 222Δ144108343245760k k k 且1212221227,,3434k x x x x k k而 1122,,,TP x y t TQ x y t，故121212123322TP TQ x x y t y t x x kx t kx t22121233122kx x k t x x t22222731231342342k k k t t kk2222222327271812332234k k k t t t k k22223321245327234t t k t k，因为0TP TQ 恒成立，故 223212450332702t t t，解得332t .若过点30,2的动直线的斜率不存在，则 0,3,0,3P Q 或 0,3,0,3P Q ，此时需33t ，两者结合可得332t.综上，存在 30,32T t t，使得0TP TQ 恒成立.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设.3．(1)221,422x y e(2)2t 【分析】（1）由题意得b c a ，由此即可得解；（2）设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立椭圆方程，由韦达定理有2121222424,1221kt t x x x x k k ，而 121112:y y AD y x x y x x ，令0x ，即可得解.【详解】（1）由题意b c，从而2a ，所以椭圆方程为22142x y，离心率为e；（2）直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设 :,0,AB y kx t k t ， 1122,,,A x y B x y ，联立22142x y y kx t，化简并整理得222124240k x ktx t ，由题意 222222Δ1682128420k t k t k t ，即,k t 应满足22420k t ，所以2121222424,1221kt t x x x x k k ，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设 22,D x y ，所以 121112:y y AD y x x y x x，在直线AD 方程中令0x ，得 2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x kt ，所以2t ，此时k 应满足222424200k t k k，即k应满足2k或2k ，综上所述，2t满足题意，此时2k或2k .4．(1)12(2)直线l 的方程为3260x y 或20x y .【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设 00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx ，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可.【详解】（1）由题意得2239941b a b，解得22912b a ，所以12e .（2）法一：3312032APk，则直线AP 的方程为132y x ，即260x y ，AP 1）知22:1129x y C ，设点B 到直线AP 的距离为d，则d则将直线AP 沿着与AP 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ，6C 或18C ，当6C 时，联立221129260x y x y，解得03x y 或332x y ，即 0,3B 或33,2，当 0,3B 时，此时32l k，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当33,2B时，此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，当18C 时，联立2211292180x y x y得22271170y y ，227421172070 ，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP 的距离d设 00,B x y，则220012551129x y，解得00332x y 或0003x y ，即 0,3B 或33,2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d设,3sin B ，其中 0,2联立22cos sin 1，解得cos 21sin 2或cos 0sin 1，即 0,3B 或33,2，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时 0,3B ，16392PAB S ，符合题意，此时32l k ，直线l 的方程为332y x ，即3260x y ，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx ，联立椭圆方程有2231129y kx x y，则2243240k x kx ，其中AP k k ，即12k ，解得0x 或22443kx k，0k ，12k ，令22443k x k ，则2212943k y k ，则22224129,4343k k B k k同法一得到直线AP 的方程为260x y ，点B 到直线AP的距离d，解得32k =，此时33,2B，则得到此时12l k ，直线l 的方程为12y x ，即20x y ，综上直线l 的方程为3260x y 或20x y .法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x，令 1122,,,P x y B x y ，223(3)21129y k x x y，消y 可得 22224324123636270k x k k x k k ，2222Δ24124433636270k kk k k ，且AP k k ，即12k ，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k，A 到直线PB距离192PAB d S，12k或32，均满足题意，1:2l y x 或332y x ，即3260x y 或20x y .法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A到PB 距离3d ，此时1933922ABP S 不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(2l y k x，设l 与y 轴的交点为Q ，令0x ，则30,32Q k，联立223323436y kx k x y，则有2223348336362702k x k k x k k ，2223348336362702k xk k x k k，其中22223Δ8343436362702k k k k k，且12k ，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k，则211312183922234P B k S AQ x x k k，解的12k 或32k =，经代入判别式验证均满足题意.则直线l 为12y x或332y x ，即3260x y 或20x y .5．(1)22143x y (2)证明见解析【分析】（1）设 ,0F c ，根据M 的坐标及MF x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y ，结合韦达定理化简前者可得10Q y y ，故可证AQ y 轴.【详解】（1）设 ,0F c ，由题设有1c 且232b a ，故2132a a ，故2a，故b ，故椭圆方程为22143x y .（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x ， 11,A x y ， 22,B x y，由223412(4)x y y k x 可得 2222343264120k x k x k ，故 422Δ102443464120k k k ，故1122k ，又22121222326412,3434k k x x x x k k ，而5,02N，故直线225:522y BN y x x ，故22223325252Qy y y x x，所以 1222112225332525Q y x y y y y y x x12224253425k x x k x x222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x2222212824160243234025k k k k k x ，故1Q y y ，即AQ y 轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为 1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x 、12x x （或12y y 、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。

高三数学椭圆常考题型

高三数学椭圆常考题型一、椭圆的基本性质椭圆是一种常见的二次曲线，具有以下基本性质：1. 椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

2. 椭圆的焦点距离为：c = sqrt(a^2 - b^2)。

3. 椭圆的离心率e = c/a，离心率的取值范围是[0,1]。

4. 椭圆的准线方程为：x = ±a^2/c。

二、常考题型及解析1. 椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为1/2，且椭圆C上一点到两焦点的距离之和为4。

(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 若AB是过椭圆C中心的弦，M是AB的中点，且|AB| = 4√5，求线段AB 的长。

【解析】(1) 根据题意，设椭圆C的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0)。

由离心率的定义，我们有e = c/a = 1/2。

再根据椭圆的定义，到两焦点的距离之和为4，所以2a = 4，即a = 2。

由离心率的定义和已知条件，我们可以得到b = sqrt(a^2 - c^2) = sqrt(4 - 1) = sqrt3。

所以椭圆C的标准方程为：x^2/4 + y^2/3 = 1。

(2) 设AB的方程为y = kx + t。

代入椭圆方程得到二次方程(3 + 4k^2)x^2 +8ktx + 4t^2 - 12 = 0。

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有x1 + x2 = -8kt/(3 + 4k^2)，x1x2 = (4t^2 - 12)/(3 + 4k^2)。

由弦长公式得|AB| = sqrt((x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2) = sqrt((1 + k^2)(x1 - x2)^2) = sqrt((1 + k^2)[(x1 + x2)^2 - 4x1x2])。

将已知条件代入得到k 和t 的关系，进一步求出线段AB的长为8sqrt(3-k^2)。

高考椭圆试题及答案

高考椭圆试题及答案一、选择题1. 已知椭圆的方程为\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴，若椭圆的离心率为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则下列说法正确的是（）A. \(a > b\)B. \(a < b\)C. \(a = b\)D. \(a = 2b\)答案：A2. 椭圆\(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\)的长轴长度为（）A. 3B. 5C. 6D. 9答案：C二、填空题3. 若椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的焦点坐标为\((\sqrt{5}, 0)\)和\((-\sqrt{5}, 0)\)，则a的值为（）。

答案：34. 椭圆\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)的短轴长度为（）。

答案：6三、解答题5. 已知椭圆\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\)，求椭圆上一点P(x, y)到焦点F(1, 0)的距离的最小值。

答案：最小值为\(\sqrt{3} - 1\)。

6. 椭圆\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)的长轴和短轴分别为2a和2b，且a > b > 0，若椭圆上存在一点P(x, y)，使得\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，且\(\frac{x^2}{a^2} = \frac{y^2}{b^2}\)，求椭圆的离心率。

答案：离心率为\(\frac{1}{2}\)。

四、计算题7. 已知椭圆\(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)，求椭圆的离心率和焦距。

答案：离心率\(e = \frac{3}{5}\)，焦距\(2c = 6\)。

椭圆中6种常考基础题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版

第19讲椭圆中6种常考基础题型【考点分析】考点一：椭圆的通径过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a．考点二：椭圆中有关三角形的周长问题图一图二如图一所示：21F PF ∆的周长为c a 22+如图一所示：ABC ∆的周长为a 4考点三：椭圆上一点的有关最值①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a c +，距离的最小值为a c -．考点四：椭圆的离心率椭圆的离心率()10<<=e a c e ，222222221ab a b a ac e -=-==考点五：椭圆焦点三角形的面积为2tan2S b θ=⋅（θ为焦距对应的张角）考点六：中点弦问题（点差法）中点弦问题：若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且AB k 与OM k 斜率存在时，则22ab K k OM AB -=⋅；（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k OMAB -=⋅若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，22ab K k PB P A -=⋅（焦点在x 轴上时），当焦点在y 轴上时，22ba K k PBP A -=⋅【题型目录】题型一：椭圆的定义有关题型题型二：椭圆的标准方程题型三：椭圆的离心率题型四：椭圆中焦点三角形面积题型五：椭圆中中点弦问题题型六：椭圆中的最值问题【典型例题】题型一：椭圆的定义有关题型【例1】已知△ABC 的周长为10，且顶点()2,0B -，()2,0C ，则顶点A 的轨迹方程是（）A ．221(0)95x y y +=≠B ．221(0)59x y y +=≠C ．221(0)64x y y +=≠D ．221(0)46x y y +=≠【答案】A【解析】∵△ABC 的周长为10，顶点()2,0B -，()2,0C ，∴=4BC ，+=10464AB AC -=>，∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵3,2a c ==，∴2945b =-=，又因为,,A B C 三点构成三角形，∴椭圆的方程是()221095x y y +=≠.故选：A ．【例2】如果点(),M x y =M 的轨迹是（）．A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线【答案】B=(),M x y 到点(0,3),(0,3)-的距离之和为3(3)6--=<M 的轨迹是椭圆，故选：B【例3】设1F ，2F 分别为椭圆2214x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，且1223PF PF += ，则12F PF ∠=（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π【答案】D【解析】因32221==+PO PF PF ，所以213OF OF PO ===，所以︒=∠9021PF F 【例4】1F 、2F 是椭圆22:1259x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，1||6PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则||OM 的长为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】如图，直线1F M 与直线2PF 相交于点N ，由于PM 是12F PF ∠的平分线，且PM ⊥1F N ，所以三角形1F PN 是等腰三角形，所以1PF PN =，点M 为1F N 中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 是三角形12F F N 的中位线，所以212OM F N =，其中212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因61=PF ，所以62=N F ，所以3=OM ，所以选C【例5】已知椭圆22:12516x y C +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=（）A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】设MN 的中点为G ，椭圆的左右焦点分别为21,F F ，则G 为MN 的中点，1F 为MA 的中点，所以12GF AN =，同理22GF BN =，所以()204221==+=+a GF GF BN AN【例6】方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A ．0k >B ．12k <<C ．1k >D ．01k <<【答案】B【解析】方程x 2＋ky 2＝2可变形为：22122x y k+=，表示焦点在x 轴上的椭圆，则有：202k<<，解得k 1>.易知当12k <<时，k 1>，当k 1>时未必有12k <<，所以12k <<是k 1>的充分但不必要条件.故选B.【例7】点1F ，2F 为椭圆C ：22143x y+=的两个焦点，点P 为椭圆C 内部的动点，则12PF F △周长的取值范围为（）A ．()2,6B ．[)4,6C ．()4,6D ．[)4,8【答案】C【解析】由椭圆C ：22143x y +=，得：2,1a c ==，当点P 在椭圆上时，12PF F △周长最大，为226a c +=，当点P 在x 轴上时，去最小值，为44c =，又因点P 为椭圆C 内部的动点，所以12PF F △周长的取值范围为()4,6.故选：C.【例8】椭圆22193x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，如果1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的（）A ．7倍B ．6倍C ．5倍D ．4倍【答案】C【解析】由题意知：212F F PF ⊥，所以13322===a b PF ，因6221==+a PF PF ，所以51=PF ，所以521=PF PF【题型专练】1.已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（）A ．2213620x y +=（x≠0）B ．2212036x y +=（x≠0）C ．221620x y +=（x≠0）D ．221206x y +=（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC 的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC ＝8，AB +AC ＝20﹣8＝12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4∴b 2＝20，∴椭圆的方程是()22102036x y x +=≠故选B ．2.焦点在x 轴上的椭圆222125x y a +=焦距为8，两个焦点为12,F F ，弦AB 过点1F ，则2ABF ∆的周长为（）A ．20B ．28C ．D ．【答案】D【解析】由题意知252=b ，因为222c b a +=，所以16252+=a ，解得41=a ，所以2ABF ∆的周长为4144=a ，故选：D3.（2021新高考1卷）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A.13B.12C.9D.6【答案】C【解析】因2121262MF MF a MF MF ⋅≥==+，所以921≤⋅MF MF 4.已知椭圆22192x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在椭圆上，若1||4MF =，则12F MF ∠=（）A ．30°B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程求得12F F =1226MF MF a +==，求得1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，再由余弦定理列出方程，求得121cos 2F MF ∠=-，即可求解．【详解】解：由题意，椭圆方程22192x y +=，可得3,a b c ===所以焦点12(F F ，又由椭圆的定义，可得1226MF MF a +==，因为1||4MF =，所以22MF =，在12F MF △中，由余弦定理可得222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠,所以2221242242cos F MF =+-⨯⨯∠，解得121cos 2F MF ∠=-，又由12(0,180)F MF ∠∈，所以12120F MF ∠= .故选:C ．5.设1F ，2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（）A ．513B ．45C ．27D ．49【答案】C 【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出243PF =，再由椭圆的定义得出1PF ，再求21PF PF 的值.【详解】由椭圆的定义可知，1226PF PF a +==，由中位线定理可知，212PF F F ⊥，将x =22194x y+=中，解得43y =±，即243PF =，1414633PF =-=，故214323147PF PF =⨯=故选：C6.已知曲线22:1C mx ny +=A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在x 轴上C ．若0m n =>，则CD ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【答案】AD【解析】由题意得：11122=+ny m x ，所以当0>>n m ，则nm 110<<，所以表示焦点在y 轴上的椭圆，所以A 对，B 错，当0>=n m 时，曲线C 为ny x 122=+，所以表示圆，半径为n 1，当0,0>=n m 时，曲线C 为ny 12=，所以n y 1±=，所以表示两条直线，故选：AD7.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（）AB．CD．【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.8.在平面直角坐标系xOy 中，若△ABC 的顶点(0,2)A -和(0,2)C ，顶点B 在椭圆181222=+xy 上，则sin sin sin A C B +的值是（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】【分析】由题设易知,A C 为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有||||2AB CB a +=，||2AC c =，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.【详解】由题设知：,A C 为椭圆的两个焦点，而B 在椭圆上，所以||||2AB CB a +==||24AC c ==，由正弦定理边角关系知：|||||sin sin sin |A A CB CB A BC +=+故选：A9.已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）．故选：C ．10.已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上且在x 轴的下方，若线段2PF 的中点在以原点O 为圆心，2OF 为半径的圆上，则直线2PF 的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．23π【答案】C 【解析】【分析】设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，利用圆的几何性质可得出12F M PF ⊥，求得11222PF F F c ===，利用椭圆的定义可求得2PF ，可判断出12PF F △的形状，即可得解.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =，1c =，设线段2PF 的中点为M ，连接1PF 、1MF ，则12F F 为圆O 的一条直径，则12F M PF ⊥，因为M 为2PF 的中点，则11222PF F F c ===，则2122PF a PF =-=，所以，12PF F △为等边三角形，由图可知，直线2PF 的倾斜角为3π.故选：C.11．已知A 为椭圆2212516x y +=上一点，F 为椭圆一焦点，AF 的中点为P ，O 为坐标原点，若2OP =则AF =（）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】不妨设椭圆2212516x y +=左焦点为F ，右焦点为E ，因为AE 的中点为P ，EF 的中点为O ，所以24AE OP ==，又由210AE AF a +==，可得1046AF =-=.故选：B .12.已知椭圆C ：22194x y +=的左右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且118AF BF +=，则AB =（）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】由椭圆22:194x y C +=知：a =3，由椭圆的定义得：121226,26AF AF a BF BF a +==+==，所以11412AF BF AB a ++==，又因为118AF BF +=，所以AB 4=，故选：A题型二：椭圆的标准方程【例1】已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为)，其上下顶点分别为1C ，2C ，点()1,0A ，12AC AC ⊥，则该椭圆的标准方程为（）A ．22134x y +=B ．22143x y +=C ．2213y x +=D ．2213x y +=【例2】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，椭圆C 的一顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，12AF F △焦距为2，过1F ，且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于D ，E 两点，则ADE ∆的周长是（）A ．B ．8C ．D ．16【例3】如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =，且||4PF =，则椭圆C 的方程为（）A ．221255x y +=B ．2214525x y +=C ．2213010x y +=D ．2213616x y +=故选：D【例4】阿基米德（公元前287年—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为53，面积为12π，则椭圆C 的方程为（）A ．221188x y +=B ．22198y x +=C ．221188y x +=D ．22184y x +=【例5】过椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：20x y --=交C 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．22184x y +=B ．22195x y +=C ．22173x y +=D ．221106x y +=【例6】已知12,F F 分别是椭圆221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，A ，B 分别为椭圆的上，下顶点，过椭圆的右焦点2F 的直线交椭圆于C ，D 两点，1FCD 的周长为8，且直线AC ，BC 的斜率之积为14-，则椭圆的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．2214x y +=D ．22143x y +=【例7】已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||3||AF F B =，15||4||AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【题型专练】1．已知1F 、2F 是椭圆C ：22221x ya b+=()0a b >>的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，B 在x 轴上，20AB AF ⋅= 且122AF AB AF =+.若坐标原点O 到直线AB 的距离为3，则椭圆C 的方程为（）A ．2214x y +=B ．22143x y +=C ．221169x y +=D ．2211612x y +=1612故选：D2．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ∠=，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A ．221129x y +=B ．2211612x y +=C ．2212418x y +=D ．2213224x y +=3．已知椭圆的两个焦点为1(F ，2F ，M 是椭圆上一点，若12MF MF ⊥，128MF MF ⋅=，则该椭圆的方程是（）A ．22172x y +=B ．22127x y +=C ．22194x y +=D ．22149x y +=4．已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，3AB =，则椭圆C 的标准方程为（）A ．2213y x +=B ．2213x y +=C ．22143x y +=D ．22132x y +=方法二：由题意，设椭圆C 的标准方程为所以a ＝2或12a =-（舍去），所以2a 故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．故选：C.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为)，右顶点为A ，O 为坐标原点，过OA 的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C 于M ，N 两点，若四边形OMAN 是正方形，则C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22153x y +=C ．22175x y +=D．22197x y +=6．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -=与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（）A ．2213x y +=B ．22142x y +=C ．22153x y +=D ．22163x y +=7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，P 是C 上一点，213PF PF =，123F PF π∠=，C 的面积为12π，则C 的标准方程为（）A ．221364x y +=B ．22112x y +=C ．221169x y +=D ．22143x y +=8．已知椭圆C ：22=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C的标准方程为（）A ．22=134y x +B ．22=134x y +C ．22=13x y +D ．22=132x y +9．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线交于C 与A ，B ，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22198x y +=1F 题型三：椭圆的离心率【例1】已知1F ，2F 为椭圆22221x ya b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为A ，B ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为（）A1B 1C ．12D 又1290F AF ∠=，∴21,3AF c AF c ==，∴32c c a +=，可得2331c a ==+故选：B ．【例2】已知椭圆C ：()21024b b+=<<的左焦点为1F ，直线()0y kx k =≠与C 交于点M ，N .若1120MF N ︒∠=，1183MF NF ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．22C D 因为O 为12,MN F F 的中点，所以四边形所以12MF NF =，12NF MF =，由椭圆的定义可得：又因为1183MF NF ⋅=，所以1MF 【例3】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>上存在两点,M N 关于直线3310--=x y 对称，且线段MN 中点的纵坐标为53，则椭圆C 的离心率是（）A B C ．23D【例4】已知椭圆C ：221a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 做倾斜角为6π的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若222,AF F B =，则椭圆C 的离心率e 为（）AB ．34C ．35D【例5】设B 是椭圆()22:10C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎝⎦【例6】12,F F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上异于顶点的一点，I 是12PF F △的内切圆圆心，若12PF F △的面积等于12IF F △的面积的3倍，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．2D ．2a b如图，设()()()12,,,0,,0,P m n F c F c ∴-三角形由椭圆的定义可得22l a c=+122222PF F S cn cnr l a c a c∴===++ ，又2121113,2322P I F F F F cn S S c n a =∴⨯⨯=⨯⨯ 故选：B【例7】用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．②③C ．①②D ．①③【答案】C【分析】根据切线长定理可以证明椭圆上任意一点到12,F F 的距离之和为定值，即12,F F 是焦点再运用勾股定理证明短轴长，最后构造三角形，运用三角函数表示离心率即可.【详解】如图：在椭圆上任意一点P 作平行于12O O 的直线，与球1O 交于F 点，与球2O 交于E 点，则PE ，2PF 是过点P 作球2O 的两条公切线，2PE PF =，同理1PF PF =，是椭圆的焦点；①正确；【例8】国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于34-，则椭圆的离心率为（）A ．34B ．58C ．12D ．4【题型专练】1．直线:l y =与椭圆2222:1x y C a b+=交于,P Q 两点，F 是椭圆C 的右焦点，且0PF QF ⋅= ，则椭圆的离心率为（）A ．4-B ．3C 1D ．2【详解】的左焦点为F '，由对称性可知：四边形PF QF '为平行四边形，PF QF '∴=2PF PF QF a '=+=；2．设12,F F 分别是椭圆221x ya b+=的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使12120F AF ∠=︒且123AF AF =，则椭圆的离心率为（）AB C D3.设椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M ，N 在C 上（M 位于第-象限），且点M ，N 关于原点O 对称，若1222||,F F MN MF ==，则C 的离心率为（）A ．4B ．37C ．12D ．377122a +故选：B4．如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P ，则球在地面上的投影为以球与地面切点F 为一个焦点的椭圆，已知是12A A 椭圆的长轴，1PA 垂直于地面且与球相切，16PA =，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．23C ．13D ．2【答案】A【分析】根据给定条件，结合球的性质作出截面12PA A ，再结合三角形内切圆性质求出12A A 长即可作答.【详解】依题意，平面12PA A 截球O 得球面大圆，如图，12Rt PA A 是球O 大圆的外切三角形，其中112,PA A A 切圆O 于点E ，F ，=5．如图圆柱12O O 的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱12O O 内部，现用一垂直于轴截面ABB A ''的平面α去截圆柱12O O ，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（）A ．3B ．3C D ．3半径为1，12O O 平面α与底面夹角余弦值为圆柱的底面半径为1,∴又椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为以G 为原点建立上图所示平面直角坐标系，12,332FH a EF a ∴===，则椭圆标准方程为2222c a b =-=，故离心率故选：A.6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为坐标平面上一点，且满足120PF PF ⋅=的点P 均在椭圆C 的内部，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．2⎛ ⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知点A ，P ，Q 为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上不重合的三点，且点P ，Q 关于原点对称，若12AP AQ k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为（）A ．2B C D8．已知椭圆22:1(0)x yC a ba b+=>>的一个焦点为F，椭圆C上存在点P，使得PF OP⊥，则椭圆C的离心率取值范围是（）A．2⎛⎝⎦B．,12⎫⎪⎪⎣⎭C．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：B题型四：椭圆中焦点三角形面积【例1】已知椭圆()222210+=>>x y C a b a b：的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，12π3F PF ∠=，若12F PF △的面积为C 的短袖长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知12,F F 为椭圆C ：221164x y+=的两个焦点，P ，Q为C 上关于坐标原点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________．【答案】8【解析】因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8.故答案为：8.【题型专练】1.设P 为椭圆221259x y +=上一点，1,F 2F 为左右焦点，若1260F PF ︒∠=，则P 点的纵坐标为（）A．4B．4±C．4D．4±【答案】B 【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式2tan 2S b θ=求解即可.【详解】由题知12609tan2F PF S ︒=⨯= 设P 点的纵坐标为h则12421F F h h ⋅⋅=±⇒=.故选：B2．已知()()1200F c F c -，，，是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF ⋅=，且122=△PF F S c ，则E 的离心率为（）ABC ．2D 3．已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅ 12，则12F PF △的面积为（）A．B．CD ．9题型五：椭圆中中点弦问题【例1】已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴为4，直线230x y +-=与椭圆C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M ，则椭圆C 的方程为（）A ．221168x y +=B ．22142x y +=C ．2211612x y +=D ．22143x y +=【例2】平行四边形ABCD 内接于椭圆221x y a b +=()0a b >>，椭圆的离心率为2，直线AB 的斜率为1，则直线AD 的斜率为（）A ．1-4B ．1-2C ．2D ．-1设E 为AD 中点，由于O 为BD 中点，所以因为1133(,),(,)A x y D x y 在椭圆上，【例3】椭圆2294144x y +=内有一点(2,3)P ，过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程为（）A ．23120x y +-=B ．32120x y +-=C ．941440x y +-=D ．491440x y +-=【例4】已知椭圆E ：143+=上有三点A ，B ，C ，线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，O为坐标原点，直线OD ，OE ，OF 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，3k ，且123k k k ++=直线AB ，BC ，AC 的斜率都存在，分别记为AB k ，BC k ，AC k ，则111AB BC ACk k k ++=（）AB ．C ．-D ．1-【例5】离心率为2的椭圆()222210x y a b a b +=>>与直线y kx =的两个交点分别为A ，B ，P 是椭圆不同于A 、B 、P 的一点，且PA 、PB 的倾斜角分别为α，β，若120αβ+=︒，则()cos αβ-=（）A ．16-B ．13-C ．13D ．16【例6】（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MA NB MN ==l 的方程为___________．【例7】（2022·全国甲（理）T10）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（）A.32B.22C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：(),0A a -，设()11,P x y ，则()11,Q x y -，则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+，故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+，又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a -=，所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =，所以椭圆C的离心率2c e a ===.故选：A.【例8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为椭圆的右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率的最大值为__________．【答案】63【解析】因为,B A 关于原点对称，所以B 也在椭圆上，设左焦点为F '，根据椭圆的定义：||2AF AF a '+=，因为||BF AF'=，所以||||2AF BF a +=，O 是直角三角形ABF 斜边的中点，所以||2,||2sin ,||2cos AB c AF c BF c αα===，所以2(sin cos )2c a αα+=，所以11sin cos 4c a πααα==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由于,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当12πα=时，离心率的最大值为63，故答案为63．【题型专练】1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．23C．3D ．32.椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（）A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【详解】由题意，椭圆C ：22143x y +=的左、右顶点分别为12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)P x y ，则()2200344y x =-，又由1220002200034PA PA y y y k k x a x a x a ⋅=⨯=-+--，可得1234PA PA k k -=，因为[]12,1PA k ∈--，即23421PA k --≤≤-，可得23384PA k ≤≤，所以直线2PA 斜率的取值范围33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B3．已知椭圆22:184x y C +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积（）A ．1-B ．1C ．12D ．12-【答案】D，进而联立方程求解中点4．点A ，B 在椭圆2212x y +=上，点11,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2OA OB OM +=，则直线AB 的方程是（）A ．12y x =-B ．522y x =-+C ．32y x =-+D ．322y x =-5．已知椭圆143x y +=上有三个点A ､B ､C ，AB ，BC ，AC 的中点分别为D ､E ､F ，AB ，BC ，AC 的斜率都存在且不为0，若34OD OE OF k k k ++=-(O 为坐标原点)，则111AB BC ACk k k ++=（）A ．1B ．-1C ．34-D ．34【答案】A的斜率转化为6．直线:20l x y-=经过椭圆22+1(0)x y a ba b=>>的左焦点F，且与椭圆交于,A B两点，若M为线段AB中点，||||MF OM=，则椭圆的标准方程为（）A．22+163x y=B．22+185x y=C．2214x y+=D．22+1129x y=7．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（）A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-8．已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为（）A ．30x y -+=B ．230x y +-=C ．2230x y -+=D ．230x y +-=题型六：椭圆中的最值问题【例1】已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上、下焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上则下列结论正确的是（）A ．12PF PF ⋅有最大值无最小值B ．12PF PF ⋅无最大值有最小值C ．12PF PF ⋅既有最大值也有最小值D ．12PF PF ⋅既无最大值也无最小值【例2】若点O 和点F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（）A ．()a a c +B ．()b a c +C ．()a a c -D ．()b ac -【例3】已知点P 是椭圆4x +2y =1上的动点（点P 不在坐标轴上），12F F 、为椭圆的左，右焦点，O 为坐标原点；若M 是12F PF ∠的角平分线上的一点，且1F M 丄MP ，则丨OM 丨的取值范围为（）A ．（0B ．（0，2）C ．（l ，2）D ．2）【答案】A=因为1F M MP ⊥，因为PM 为12F PF ∠的角平分线，所以，PN 因为O 为12F F 的中点，所以，212OM F N =设点00(,)P x y ，由已知可得2a =，1b =，c 则022x -<<且00x ≠，且有220114y x =-，()2221000032331PF x y x x =++=+++-【例4】已知点P 在椭圆193x y +=上运动，点Q 在圆22(1)8x y -+=上运动，则PQ 的最小值为（）A ．2B ．2C ．24-D ．4【答案】D【分析】先求出点P 到圆心(1,0)A 的距离的最小值，然后减去圆的半径可得答案。

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。

椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。

该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。

长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。

当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。

高中数学椭圆专题(经典例题考题练习)附答案

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

圆锥曲线：有关椭圆的小题总结高考数学

m足∠ = ∘ ,则

∘
≥ = ,

【解析】由题意得： +
=

，所以当＞＞，则＜＜，所

以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线

+
= ，所以表示圆，半径为，当 = , ＞时，曲线为

= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：

为

以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =

±
,

所以点横坐标的取值范围是:

+ =

�� +

−
＜＜
.

=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠

=
−

迹E的方程为

+

=

所以动圆C的圆心轨迹E的方程为

+

=

，

+

=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2

高考椭圆最常考的题型(140分推荐)

高考椭圆最常考的题型（140分推荐）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知椭圆：x 24+y 2b2=1(0<b <2) ，左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A,B 两点，若|BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为5，则b 的值是( )A. 1B. √2C. 32D. √32. 已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，直线x =√2与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则椭圆的方程为( )A.x 22+y 2=1B.x 24+y 22=1C.x 28+y 24=1D.x 26+y 23=13. 已知直线y =kx(k ≠0)与椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)交于P ，Q 两点，点F ，A 分别是椭圆C 的右焦点和右顶点，若|FP|+|FQ|+|FA|=52a ，则a =( )A. 4B. 2C. 43D. 2√334. 已知直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，且与椭圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，F 1是椭圆的左焦点，且|AB |=|AF 1|，则椭圆的方程为( )A. x 240+y 236=1B. x 220+y 216=1C. x 210+y 26=1D.x 25+y 2=15. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. √32B. √22C. 12D. 136. 已知椭圆方程为x 2+ky 2=5的一个焦点是(0,2)，那么k =( )A. 59B. 97C. 1D. 537. 已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦距为4，则C 的离心率( )A. 13B. 12C. √22D. 2√238. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则椭圆C 的方程为( )A. x 23+y 2=1B. x 23+y 22=1 C. x 212+y28=1 D. x 212+y24=1二、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为12，则C的方程可以为．10.椭圆E：x2a2+y23=1的右焦点为F2，直线y=x+m与椭圆E交于A，B两点．若△F2AB周长的最大值是8，则m的值等于________．三、解答题（本大题共20小题，共240.0分）11.设椭圆C∶x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√33，短轴一个端点到右焦点的距离为√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求|AB|．13.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(1,√32)在椭圆C上，且△PF1F2的面积为32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C上存在A，B两点关于直线x=my+1对称，求m的取值范围．14.已知点P(3,4)是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1，F2为椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF1F2的面积．15.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆Ｃ的标准方程；(Ⅱ)若斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的垂直平分线过定点(13,0)，求k的取值范围．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)和直线l:xa−yb=1，椭圆的离心率e=√63，坐标原点到直线l的距离为√32．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由．17.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过两点(0,1)，(√3,12)．(I)求椭圆E的方程；(II)若直线l:x−y−1=0交椭圆E于两个不同的点A，B，O是坐标原点，求△AOB 的面积S．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，M(√3,−12)是椭圆C上的一点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(−4,0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．19.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴的一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆相交于不同两点A、B，求|AB|．20.已知椭圆C1的方程为x24+y23=1，椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为√32．(1)求椭圆C2的方程；(2)如上图，M，N分别为直线l与椭圆C1，C2的交点，P为椭圆C2与y轴的交点，△PON 的面积为△POM的面积的2倍，若直线l的方程为y=kx(k>0)，求k的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点，且AB=√7，右准线l的方程为x=4．(1)求椭圆的标准方程；(2)过点A的直线交椭圆于另一点P，交l于点Q.若以PQ为直径的圆经过原点，求直线PQ的方程．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．23.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y=kx+2与椭圆C交于A，B两点且∠AOB为直角，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求AB的长度．24.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．25.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x−3)2+y2=1，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当AN=127AM时，求直线l的方程．26.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(0,1)的直线l与椭圆C交于两点A，B.已知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标．27.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上.(1)若F1F2=2√2，点P的坐标为(√3,√2)，求椭圆E的方程；(2)若点P横坐标为a2，点M为PF1中点，且OP⊥F2M，求椭圆E的离心率．28.如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C:x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M( √2, 1 )(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的一个顶点为B( 0,−b )，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积29.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(1,32)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C 于D，E两点(其中D在x轴上方)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若ΔAEF与ΔBDF的面积比为1:7，求直线l的方程．30.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且椭圆E经过点P(−√3,12)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A,B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查椭圆的定义的应用，做题时要善于发现规律，进行转化，三角形AF2B为焦点三角形，周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出三角形AF2B的周长，欲使|BF2|+|AF2|的最大，只须|AB|最小，利用椭圆的性质即可得出答案．【解析】解：由椭圆的方程可知：长半轴长为a=2，由椭圆的定义可知：|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8，所以|AB|=8−(|AF2|+|BF2|)≥3，由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b2a=3，可求得b2=3，即b=√3．故选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的方程和离心率，属于简单题．结合已知条件建立关系式求得a2=6,b2=3，即可得到椭圆方程．【解答】解：因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，所以ca =√22①又因为直线x=√2与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，所以A(√2,√2)代入x2a2+y2b2=1得2a2+2b2=1②又因为a2=b2+c2③联立①②③解得a2=6,b2=3，所以椭圆的方程为x26+y23=1．故选D．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的概念与标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系，属于基础题．取椭圆的左焦点F′，由三角形全等知|PF|=|QF′|，由椭圆的概念及集合性质知|FP|+ |FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,|FA|=a−c,b=1，代入条件及利用a，b，c的关系式求得a．【解答】解：取椭圆的左焦点F′，因为直线过原点，∴|OP|=|OQ|,|OF|=|OF′|，由椭圆的对称性，∴|PF|=|QF′|，∴|FP|+|FQ|=|F′Q|+|FQ|=2a,∵|FP|+|FQ|+|FA|=52a,|FA|=a−c，所以2a+a−c=52a，即a=2c，∵a2=b2+c2=1+14a2，a=2√33．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．由直线2x+y−4=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2，可求得c=2，由椭圆定义可求得即a=√5，故a2=5，b2=1，椭圆方程可解．【解答】解：直线2x +y −4=0与x 轴和y 轴的交点分别为F 2(2,0)，B(0,4)，所以c =2，又2a =|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AF 2|=|BF 2|=2√5，所以a =√5，从而b 2=5−4=1，所以椭圆方程x 25+y 2=1．故选D ．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的几何性质，涉及向量的线性关系，属基础题．根据向量关系得出|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据平行线截线段成比例定理得出|AO||AF|的值，得到a ，c 的关系，求得离心率．【解答】解：如图所示：∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴|PA||AB|=23，又∵PO//BF ， ∴|AO||AF|=|PA||AB|=23，即aa+c =23， ∴e =ca =12．故选C ．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的简单性质，利用待定系数法求参数的值，属于基础题．把椭圆x 2+ky 2=5的方程化为标准形式，得到c 2的值等于4，解方程求出k ．【解答】解：椭圆x 2+ky 2=5，即x 25+y 25k=1，∵焦点坐标为(0,2)，c 2=4， ∴5k −5=4，∴k =59，故选：A ．7.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查椭圆的离心率，属于基础题．根据题意求出c =2，a =2√2，由e =ca 即可求出结果．【解答】解：∵椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的焦点在x 轴上，且焦距为4，∴a 2>4，c =2， ∴a 2−4=4， ∴a =2√2， ∴e =ca =2√2=√22．故选C ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．利用△AF 1B 的周长为4√3，求出a =√3，根据离心率为√33，可得c =1，求出b ，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF 1B 的周长为4√3，∵△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a +2a =4a ， ∴4a =4√3， ∴a =√3， ∵离心率为√33，∴ca =√33，c =1，∴b =√a 2−c 2=√2，即椭圆C 的方程为x 23+y 22=1．故选B ．9.【答案】x 24+y 23=1(答案不唯一)【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，解题的关键是熟练掌握椭圆标准方程中a ，b 和c 之间的关系，属于基础题．利用离心率为12，可得b =√32a ，即可求解．【解答】解：设椭圆的标准方程为 x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，∵离心率为12， ∴e =ca =√a 2−b 2a=12， ∴b =√32a ，令a =2，则b =√3，∴椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．故答案为x 24+y 23=1(答案不唯一)．10.【答案】1【解析】【分析】本题考查的知识要点：椭圆的定义和方程的应用，属于基础题型．首先利用椭圆的定义建立周长的等式，进一步利用三角形的边长关系建立等式，求出相应的值，最后求出结果．【解答】解：椭圆E ：x 2a 2+y 23=1的右焦点为F 2，N 为左焦点，直线y =x +m 与椭圆E 交于A ，B 两点，则△F 2AB 周长l =AB +BF 2+AF 2=AB +2a −NB +2a −NA =4a +(AB −NA −NB)，由于NA +NB ≥AB ，所以当N 、A 、B 三点共线时，△F 2AB 的周长l =4a =8，所以a =2，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，直线y =x +m 经过左焦点，所以m =1．故答案为1．11.【答案】解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2=1，则b =4，∵e =ca =35，∴a 2−b 2a 2=925，即1−16a 2=925，∴a =5，∴椭圆C 的方程为x 225+y 216=1． (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)，设直线与C 的交点为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). 将直线方程y =45(x −3)代入C 的方程，得x 225+(x−3)225=1，即x 2−3x −8=0，故x 1+x 2=3．设线段AB 的中点坐标为(x′,y′)，则x′=x 1+x 22=32，y′=y 1+y 22=25(x 1+x 2−6)=−65，即所求中点坐标为(32,−65).【解析】本题考查椭圆的标准方程及性质，以及直线与椭圆的综合应用，属于中档题目． (1)将(0,4)代入椭圆方程求出b ，再由椭圆的离心率求出a ，得到椭圆方程； (2)写出直线方程联立椭圆方程，利用中点坐标公式结合韦达定理得出．12.【答案】解：(Ⅰ)由题意：e =c a =√33，即a =√3c ，短轴一个端点到右焦点的距离为√3，即b 2+c 2=(√3)2=3，而a 2=b 2+c 2，所以a 2=3，b 2=2，所以椭圆的方程：x 23+y 22=1；(Ⅱ)由(Ⅰ)，左焦点(−1,0)，直线l 的方程：y =x +1，设A(x,y)，B(x′,y′)，联立直线l 与椭圆的方程，消去y 整理得：5x 2+6x −3=0，所以x +x′=−65，xx′=−35，∴|AB|=√1+k 2√(x +x′)2−4xx′ =√1+1×√(−65)2−4×(−35)=8√35．【解析】本题考查直线与椭圆的交点弦长，属于基础题．(Ⅰ)由题意得离心率及长半轴长及a ，b ，c 之间的关系，求出椭圆的方程；(Ⅱ)由题意写出直线l 的方程与椭圆联立写出两根之和及之积，再由弦长公式求出弦长．13.【答案】解：(1)由题意可得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2解得a =2，b =1，故椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0). 因为直线x =my +1过定点(1,0)，所以(x 1−1)2+y 12=(x 2−1)2+y 22.因为A ，B 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，所以(x 1−1)2+1−x 124=(x 2−1)2+1−x 224，整理得x 12−x 224=(x 1−x 2)(x 1+x 2−2)，所以x 1+x 2=83，所以x 0=43.因为点M 在直线x =my +1上，所以x 0=my 0+1，则y 0=13m .由{x 24+y 2=1,x =43,得y =±√53，则−√53<13m <0或0<13m <√53，解得m <−√55或m >√55.故m 的取值范围为(−∞,−√55)⋃(√55,+∞)．【解析】本题考查椭圆的性质和标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于中档题． (1)由题意得{ 1a 2+34b 2=1,√3c 2=32,c 2=a 2−b 2，解出a ，b ，进而求出答案．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M(x 0,y 0)，由条件求出x 1+x 2=83，x 0=43，进而由条件求出y =±√53，进而求出答案．14.【答案】解：(1) 令F 1(−c,0)，F 2(c,0)，∵PF 1⊥PF 2，∴k PF 1·k PF 2=−1，即43+c ·43−c =−1，解得c =5，∴椭圆的方程为x 2a 2+y 2a 2−25=1．∵点P(3,4)在椭圆上，∴9a 2+16a 2−25=1，解得a 2=45，或a 2=5，又a >c ，∴a 2=5舍去，故所求椭圆方程为x 245+y 220=1．(2)P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高，∴△PF1F2=12|F1F2|×4=12×10×4=20．【解析】本题考查椭圆的简单性质的应用，以及用待定系数法求椭圆的标准方程的方法．(1)设出焦点的坐标，利用垂直关系求出c值，椭圆的方程化为x2a2+y2a2−25=1，把点P的坐标代入，可解得a2的值，从而得到所求椭圆方程．(2)P点纵坐标的值即为F1F2边上的高，由S△PF1F2=12|F1F2|×4求得△PF1F2的面积．15.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知：{2b=2√3ca=12a2=b2+c2，得{a=2b=√3c=1,故椭圆C的标准方程为x24+y23=1；(Ⅱ)设直线l：y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=kx+m代入椭圆方程，消去y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，所以，即m2<4k2+3…………①由根与系数关系得x1+x2=−8km3+4k2，则y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，所以线段AB的中点P的坐标为(−4km3+4k2,3m3+4k2)．又线段AB的垂直平分线l′的方程为y=−1k (x−13)，由点P在直线l′上，得3m3+4k2=−1k(−4km3+4k2−13)，即4k2+3km+3=0，所以m=−13k(4k2+3)…………②由①②得(4k2+3)29k2<4k2+3，∵4k2+3>0,∴4k2+3<9k2所以k2>35，即k<−√155或k>√155，所以实数k的取值范围是．【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，考查了直线和圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解，属于中档题．(Ⅰ)由离心率得到a ，c ，b 的关系，再代入椭圆的标准方程中即可求解．(Ⅱ)设出A ，B 的坐标，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0得到m 2<4k 2+3，再结合根与系数关系得到AB 中点P 的坐标为(−4km3+4k 2,3m3+4k 2).求出AB 的垂直平分线l′方程，由P 在l′上，得到4k 2+3km +3=0.结合m 2<4k 2+3求得k 的取值范围．16.【答案】解：(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca=√63ab√a 2+b 2=√32，又a 2=b 2+c 2,解得：a 2=3，b =1， ∴椭圆的方程为x 23+y 2=1;(Ⅱ)假设存在这样的k ，使以CD 为直径的圆过定点E ，联立直线与椭圆方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， ∴△=(12k)2−36(1+3k 2)>0，∴k >1或设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−12k1+3k 2x 1·x 2=91+3k2，② 而y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2),要使以CD 为直径的圆过点E(−1,0)，当且仅当CE ⊥DE 时，故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0，∴(k 2+1)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0，③ 将②代入③整理得k =76>1，经验证使得①成立，综上可知，存在k =76，使得以CD 为直径的圆过点E ．【解析】本题考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，注意合理地进行等价转化，属于中档题．(Ⅰ)直线l 方程为bx −ay −ab =0，依题意可得：{ca =√63√a 2+b 2=√32，由此能求出椭圆的方程;(Ⅱ)假设存在这样的值，联立方程得(1+3k 2)x 2+12kx +9=0，再由根的判别式和根与系数的关系进行求解即可．17.【答案】解：(1)由题意得{b 2=13a2+14b2=1，解得{a =2b =1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)记A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1x =y +1，消去x 得5y 2+2y −3=0．所以y 1,2=−1或35，直线l 与x 轴的交点为(1,0)，记为点P ，S =12|OP||y 1−y 2|=45．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，直线与椭圆的位置关系，三角形面积的应用，属于简单题．(1)根据已知及椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义的计算，求出椭圆E 的方程;(2)根据已知及直线与椭圆的位置关系，三角形面积的计算，求出△AOB 的面积S ．18.【答案】解：(1)∵c a =√32，a 2=b 2+c 2，∴a 2=4b 2，∴x 24b 2+y 2b 2=1，将M (√3,−12)代入椭圆C ，∴b 2=1， ∴椭圆C 方程为：x 24+y 2=1．(2)显然AB 斜率存在，设AB 为：y =k(x +4)，{x 24+y 2=1,y =k(x +4)⇒(1+4k 2)x 2+32k 2x +64k 2−4=0,Δ=16−192k 2>0，∴k 2<112．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，D(x 1,−y 1)， ∴x 1+x 2=−32k 21+4k2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2，∵BD ：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，∴y =0时x =x 1+x 2y 1−x 1y 1y 1+y 2=2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)k(x 1+x 2)+8k=2k(64k 2−41+4k 2)+4k(−32k 21+4k 2)k(−32k 21+4k 2)+8k =128k 3−8k−128k 3−32k 3+8k+32k 3=−1，∴直线BD 过定点(−1,0)．【解析】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)根据点在椭圆上得3a 2+14b 2=1，与离心率联立方程组解得a 2=2，b 2=1，即得太严方程；(2)设直线l 的方程为y =k(x +4)，A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=−32k 21+4k 2，x 1x 2=64k 2−41+4k 2求出BD 的方程，令y =0，解得横坐标，结合韦达定理化简可得横坐标为定值，即可证明直线BD 过定点．19.【答案】解：(1)根据题意，椭圆C 的短轴一个端点到右焦点的距离为3√2，则有a =3√2，又由椭圆C 的离心率为√22，则有e =ca =√22，则有c=3，则b2=a2−c2=18−9=9，则椭圆的标准方程为：x218+y29=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)．由(1)可得：椭圆的标准方程为：x218+y29=1，直线l的方程为：y=x−1，联立{x218+y29=1y=x−1，消去y得3x2−4x−16=0，则有x1+x2=43,x1x2=−163，|AB|=√1+12√(x1+x2)2−4x1x2=√2√169+643=4√263．【解析】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的标准方程，属基础题．(1)根据题意，由椭圆的几何性质可得e=ca =√22且a=3√2，解可得c的值，进而计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，即可得答案；(2)联立直线与椭圆的方程，可得方程3x2−4x−16=0，结合根与系数的关系由弦长公式计算可得答案．20.【答案】解：(1)椭圆C1的方程为x24+y23=1的长轴长为4，设椭圆C2的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，由题意可得b=2，e=ca =√32，a2−c2=4，解得a=4，b=2，c=2√3，可得椭圆C2的方程为y216+x24=1；(2)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，△PON面积为△POM面积的2倍，可得|ON|=2|OM|，即有|x2|=2|x1|，联立{y =kx 3x 2+4y 2=12，消去y 可得x =±√123+4k2，即|x 1|=√123+4k 2，同样求得|x 2|=√164+k 2，由√164+k 2=2√123+4k 2，解得k =±3，由k >0，得k =3．【解析】本题考查椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系，考查联立方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (1)由题意设椭圆C 2的方程为y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程即可得到所求方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由题意可得|x 2|=2|x 1|，联立直线y =kx 和椭圆方程，求得交点的横坐标，解方程即可得到所求值．21.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c(c >0)．由题意得{a 2c=4,a 2=b 2+c 2,√a 2+b 2=√7,解得a 2=4，b 2=3．所以椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1．(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y 23=1,消y 得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．又直线PQ 过点A(2,0)，则方程必有一根为2，则x P =8k 2−64k 2+3．代入直线y =k(x −2)，得点P (8k 2−64k 2+3,−12k4k 2+3)．联立{y =k(x −2),x =4,所以Q(4,2k)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k 4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，解得k 2=3，所以k =±√3．所以直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x0−2)．又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以4x 0+2y 02x0−2=0 ①，又x 024+y 023=1 ②，联立①②，解得x 0=65或x 0=2(舍)，所以P (65,−4√35)或P (65,4√35)．所以直线PQ 的斜率为±√3，从而直线PQ 的方程为√3x −y −2√3=0或√3x +y −2√3=0．【解析】本题考查椭圆的标准方程，椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于难题． (1)由题意列出关于a ，b ，c 的方程组，求解即可；(2)方法一：由题意得直线PQ 不垂直于x 轴，设PQ 的方程为y =k(x −2)，联立{y =k(x −2),x 24+y23=1,求出P (8k 2−64k 2+3,−12k 4k 2+3)，Q(4,2k).利用OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4⋅8k 2−64k 2+3+2k ⋅−12k4k 2+3=8k 2−244k 2+3=0，求出k 即可求解；方法二：设点P(x 0,y 0)(x 0≠2)，所以直线PQ 方程为y =yx 0−2(x −2)，与右准线x =4联立，得Q(4,2y 0x−2).又以PQ 为直径的圆过原点，所以OP ⊥OQ ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求出x 0=65，得到P (65,−4√35)或P (65,4√35).所以直线PQ 的斜率为±√3，即可求解．22.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3，得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意：当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(1,32)，(−1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．23.【答案】解：(1)由题意2a =4，∴a =2，∴ca =√32，∴c =√3，b 2=a 2−c 2=1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，把y =kx +2代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+16kx +12=0，Δ=(16k)2−4×12×(4k 2+1)=64(k 2−3)>0，即k 2>3， ∴x 1+x 2=−16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，∵∠AOB 为直角，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， ∴x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)=0，即(k 2+1)x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=0， ∴12(k 2+1)1+4k 2−32k 21+4k 2+4=0，∴−4k 2+16=0，∴k 2=4，∴x 1+x 2=−16k1+4k 2=±3217，x 1x 2=121+4k 2=1217，∴|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√5⋅√(3217)2−4817=4√6517，故|AB|的长度4√6517．【解析】本题考查了椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，属于中档题．(1)根据离心率和长轴长，可得a ，b ，然后即可写出椭圆方程；(2)联立直线与椭圆，利用韦达定理以及∠AOB =90°，求出k.再用弦长公式求出弦长|AB|．24.【答案】解：(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，右焦点到右准线的距离为3.得{e =c a =12,a 2c −c =3解得{a =2,c =1所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，因为OAQB 为平行四边形，所以OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则Q(x 1+x 2,y 1+y 2)，当直线l 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时O 、A 、B 三点共线，不符合题意：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =kx +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．25.【答案】解：(1)记椭圆E 的焦距为2c(c >0).因为右顶点A (a , 0)在圆C 上，右准线x =a 2c与圆C ：(x −3)2+y 2=1相切．所以{(a −3)2+02=1 , | a 2c−3 |=1 ,解得{a =4 ,c =8,(舍去) { a =2 ,c =1 ．于是b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆方程为：x 24+y 23=1．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y =k (x −2)．由方程组 {y =k (x −2) , x 24+y 23=1消去y 得，(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0．所以x N ⋅2=16k 2−124k 2+3，解得x N =8k 2−64k 2+3. 由方程组{ y =k (x −2) ,(x −3)2+y 2=1 ,消去y 得(k 2+1)x 2−(4k 2+6)x +4k 2+8=0 , 所以x M ⋅2=4k 2+8k 2+1，解得x M =2k 2+4k 2+1．因为AN =127AM ，所以2−x N =127(x M −2)．即124k 2+3=127⋅21+k 2，解得 k =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )，当直线l 与x 轴重合时，不符题意．设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)．由方程组{x =ty +2 , x 24+y 23=1消去x 得，(3t 2+4)y 2+12ty =0，所以y N =−12t3t 2+4 ，由方程组 {x =ty +2 ,(x −3)2+y 2=1消去x 得(t 2+1)y 2−2ty =0，所以y M =2tt 2+1，因为AN =127AM ，所以y N =−127y M ，即−12t3t 2+4=−127⋅2t t 2+1，解得 t =±1，所以直线l 的方程为x −y −2=0或 x +y −2=0．【解析】本题主要考查了椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系及判定，直线的一般式方程，考查学生的计算能力和推理能力，属于较难题． (1)记椭圆E 的焦距为2c ，根据题意可知{ (a −3)2+02=1 ,| a 2c −3 |=1 ,从而即可得a ，c 的值，进而求得椭圆E 的方程．(2)法1：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且直线l 的方程为：y =k (x −2)，从而联立直线和椭圆方程消去y 后可得x N =8k 2−64k 2+3，同理联立直线和圆可得x M =2k 2+4k 2+1，再根据AN =127AM 即可求得k 的值，从而求得直线l 的方程．法2：设N (x N , y N ) , M (x M , y M )且设直线l 的方程为：x =ty +2 (t ≠0)，联立直线和椭圆方程消去x 可得y N =−12t3t 2+4，再联立直线和圆可得y M =2tt 2+1，从而据AN =127AM 即可求得t 的值，从而求得直线l 的方程．26.【答案】解：(1)由椭圆C:x 2a 2+y2b 2=1的离心率为12，右焦点与右准线的距离为3，得c a =12，a 2c−c =3，解得c =1，a =2，所以b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，四边形OAQB 是平行四边形时OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当直线I 的斜率不存在时，直线l 过原点O ，此时OAB 三点共线，不符合题意：当直线I 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立有{y =kx +1,x 24+y 23=1,所以x 24+(kx+1)23=1，即(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，所以△>0，x 1+x 2=−8k3+4k 2，所以y 1+y 2=63+4k 2，将Q(x 1+x 2,y 1+y 2)的坐标代入椭圆方程得(−8k3+4k 2)24+(63+4k 2)23=1，化简得k 2=14，所以k =±12，符合题意，所以Q 的坐标是(±1,32).【解析】本题考查了椭圆的标准方程及性质，考查了直线与椭圆的位置关系． (1)由离心率及右焦点F 到右准线的距离为3及a ，b ，c 之间的关系求出椭圆的方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线l 的方程为y =k +1，与椭圆方程联立消去y 后结合韦达定理可得x 1+x 2，y 1+y 2，结合点Q(x 1+x 2,y 1+y 2)在椭圆上可解得k 的值，故可得Q 的坐标．27.【答案】解：(1)设椭圆E 焦距为2c ，则2c =|F 1F 2|=2√2，所以c 2=a 2−b 2=2， ① 又点(√3,√2)在椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1上，所以3a 2+2b 2=1，②联立①②解得{a 2=6b 2=4或{a 2=1b 2=−1(舍去)，所以椭圆E 的方程为x 26+y 24=1；(2)设椭圆E 焦距为2c ，则F 1(−c,0)，F 2(c,0)，将x =a2代入x 2a 2+y 2b 2=1，得y 2=3b24，不妨设点P 在x 轴上方，故点P 坐标为(a2,√3b2)，又点M 为PF 1中点，故点M 坐标为(a−2c 4,√3b4)，所以F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a−6c 4,√3b 4)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a 2,√3b2)，由，得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即a−6c 4⋅a2+√3b4⋅√3b 2=0，化简得a 2−6ac +3b 2=0，将b 2=a 2−c 2代入得3c 2+6ac −4a 2=0，即3(ca )2+6⋅ca −4=0，所以3e 2+6⋅e −4=0，解得e =−1±√213，因为e ∈(0,1)，所以椭圆E 的离心率为e =√213−1．【解析】本题考查向量的数量积、椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系，为基础题．(1)把点(√3,√2)代入椭圆方程，求出a ，b ，即可求出结果； (2)将x =a2代入x 2a2+y 2b 2=1，得出点P 坐标为(a 2,√3b2)，得出点M 的坐标和相应向量的坐标，利用数量积，即可求出结果．28.【答案】解：(1)因为l ⊥x 轴，所以F 2(√2,0)，由题意可得{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，解得{a 2=4b 2=2,∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线BF 2的方程为y =x −√2．由{y =x −√2x 24+y 22=1得点N 的纵坐标为√23．又| F 1F 2 |=2√2， ∴S △F 1BN =12×(√2+√23)×2√2=83．【解析】本题考查求椭圆的方程，三角形的面积，是直线与椭圆位置关系，属于基础题(1)由题意可得F 2(√2,0)，进而得到{2a 2+1b 2=1a 2−b 2=2，求解即可得到椭圆C 的方程；(2)根据题意可得直线BF 2的方程为y =x −√2.联立直线方程和椭圆方程即可得到N 的纵坐标为√23.再根据| F 1F 2 |=2√2和三角形的面积公式即可得解．29.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距长为c ，∴{ c a =121a 2+94b 2=1, 又∵a 2=b 2+c 2，∴{a =2b =√3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，，联立{x =ky −13x 2+4y 2=12⇒3(ky −1)2+4y 2=12 ∴(3k 2+4)y 2−6ky −9=0 ∴{y 1+y 2=6k3k 2+4 ①y 1y 2=−93k 2+4 ②y 2=−37y 1 ③,由①③得{y 1=21k2(3k 2+4)y 2=−9k 2(3k 2+4)代入 ②21⋅9⋅k 24(3k 2+4)2=93k 2+4⇒k =±43综合图象知k =43∴l 的方程为3x −4y +3=0【解析】本题考查了椭圆的概念及标准方程、椭圆的性质及几何意义、直线与椭圆的位置关系和圆锥曲线中的面积问题，是中档题．(1)由离心率为12和(1,32)在椭圆上，再结合a 2=b 2+c 2，可得a 、b ，从而得出椭圆方程；(2)设直线DE 的方程为x =ky −1，由ΔAEF 与ΔBDF 的面积比为1:7，可得y 2y 1=−37，直线DE与椭圆联立，计算可得k的值，即可得出直线l的方程．30.【答案】解：(1)因为椭圆焦点坐标为F1(−√3,0),F2(√3,0)，且过点P(−√3,12)，所以2a=PF1+PF2=12+√494=4，所以a=2，从而b=√a2−c2=√4−3=1，故椭圆的方程为x24+y2=1；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，因为A(−2,0)，且A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，解得n=2y0x0+2，所以BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，同理得AC=x0+2y0+2y0+1，因此，S ABCD=12AC⋅BD=12⋅x0+2y0+2x0+2⋅x0+2y0+2y0+1=(x0+2y0+2)2 2(x0+2)(y0+1)=x02+4y02+4x0y0+4x0+8y0+42(x0y0+x0+2y0+2)，因为点M(x0,y0)在椭圆上，所以x024+y02=1，即x02+4y02=4，代入上式得：S ABCD=4x0y0+4x0+8y0+82(x0y0+x0+2y0+2)=2，∴四边形ABCD的面积为2．【解析】本题考查的是椭圆的标准方程和计划意义，直线与椭圆的位置关系，属于较难题．(1)由2a=PF1+PF2=12+√494=4得到a，再由焦点坐标可得到c，利用b=√a2−c2，即可得到b，从而得到椭圆E的标准方程；(2)设点M(x0,y0)(0<x0<2,0<y0<1)，C(m,0)，D(0,n)，A，D，M三点共线，所以y0x0+2=n2，从而得到BD=1+2y0x0+2=x0+2y0+2x0+2，AC=x0+2y0+2y0+1，由S ABCD=12AC⋅BD，即可得到四边形ABCD的面积．。

2025年新高考数学题型解密：椭圆解析版

椭圆命题解读考向考查统计1.高考对椭圆的考查，重点是(1)椭圆的定义、几何图形、标准方程。

(2)椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)。

(3)直线和椭圆的位置关系及综合应用。

椭圆的定义和弦长2022·新高考Ⅰ卷，16椭圆的离心率2023·新高考Ⅰ卷，5直线与椭圆的应用2022·新高考Ⅱ卷，162023·新高考Ⅱ卷，5椭圆的轨迹方程2024·新高考Ⅱ卷，5命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷椭圆的考查体现在大题中，后续专题会解读。

Ⅱ卷考查了椭圆的轨迹方程求法，难度较易。

椭圆是圆雉曲线的重要内容，高考主要考查椭圆定义的运用、椭圆方程的求法以及椭圆的简单几何性质，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，因方法多，试题灵活，在各种题型中均有体现。

预计2025年高考还是主要考查椭圆的定义和离心率。

试题精讲一、单选题1(2024新高考Ⅱ卷·5)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP ，P 为垂足，则线段PP 的中点M的轨迹方程为()A.x216+y24=1(y>0) B.x216+y28=1(y>0) C.y216+x24=1(y>0) D.y216+x28=1(y>0)【答案】A【分析】设点M(x,y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解.【详解】设点M(x,y)，则P(x,y0),P (x,0)，因为M为PP 的中点，所以y0=2y，即P(x,2y)，又P在圆x2+y2=16(y>0)上，所以x2+4y2=16(y>0)，即x216+y24=1(y>0)，即点M的轨迹方程为x216+y24=1(y>0).故选：A一、单选题1(2023新高考Ⅰ卷·5)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1),C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1,e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.6【答案】A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由e 2=3e 1，得e 22=3e 21，因此4-14=3×a 2-1a2，而a >1，所以a =233.故选：A2(2023新高考Ⅱ卷·5)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-23【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m 范围，再根据三角形面积比得到关于m 的方程，解出即可.【详解】将直线y =x +m 与椭圆联立y =x +mx 23+y 2=1，消去y 可得4x 2+6mx +3m 2-3=0，因为直线与椭圆相交于A ,B 点，则Δ=36m 2-4×43m 2-3 >0，解得-2<m <2，设F 1到AB 的距离d 1,F 2到AB 距离d 2，易知F 1-2,0 ,F 22,0 ，则d 1=|-2+m |2，d 2=|2+m |2，S △F 1AB S △F 2AB =|-2+m |2|2+m |2=|-2+m ||2+m |=2，解得m =-23或-32(舍去)，故选：C .二、填空题3(2022新高考Ⅰ卷·16)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x 24c 2+y 23c2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，根据离心率得到直线AF 2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，利用弦长公式求得c =138，得a =2c =134，根据对称性将△ADE 的周长转化为△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a =13.【详解】∵椭圆的离心率为e =c a =12，∴a =2c ，∴b 2=a 2-c 2=3c 2，∴椭圆的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，即3x 2+4y 2-12c 2=0，不妨设左焦点为F 1，右焦点为F 2，如图所示，∵AF 2=a ，OF 2=c ，a =2c ，∴∠AF 2O =π3，∴△AF 1F 2为正三角形，∵过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段AF 2的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，斜率倒数为3，直线DE 的方程：x =3y -c ，代入椭圆方程3x 2+4y 2-12c 2=0，整理化简得到：13y 2-63cy -9c 2=0，判别式Δ=63c 2+4×13×9c 2=62×16×c 2，∴DE =1+3 2y 1-y 2 =2×Δ13=2×6×4×c13=6，∴c =138，得a =2c =134，∵DE 为线段AF 2的垂直平分线，根据对称性，AD =DF 2，AE =EF 2，∴△ADE 的周长等于△F 2DE 的周长，利用椭圆的定义得到△F 2DE 周长为DF 2 +EF 2+DE = DF 2+ EF 2+ DF 1+ EF 1= DF 1+ DF 2+ EF 1+ EF 2 =2a +2a =4a =13.故答案为：13.4(2022新高考Ⅱ卷·16)已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．【答案】x +2y -22=0【分析】令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法令AB 的中点为E ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，利用点差法得到k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；解：令AB 的中点为E ，因为MA =NB ，所以ME =NE ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 126+y 123=1，x 226+y 223=1，所以x 126-x 226+y 123-y 223=0，即x 1-x 2 x 1+x 2 6+y 1+y 2 y 1-y 23=0所以y 1+y 2 y 1-y 2 x 1-x 2 x 1+x 2=-12，即k OE ⋅k AB =-12，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，令x =0得y =m ，令y =0得x =-m k ，即M -mk,0 ，N 0,m ，所以E -m 2k ,m2 ，即k ×m 2-m 2k=-12，解得k =-22或k =22(舍去)，又MN =23，即MN =m 2+2m 2=23，解得m =2或m =-2(舍去)，所以直线AB :y =-22x +2，即x +2y -22=0；故答案为：x +2y -22=0[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法解：由题意知，点E 既为线段AB 的中点又是线段MN 的中点，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，设直线AB :y =kx +m ，k <0，m >0，则M -m k ,0 ，N 0,m ，E -m 2k ,m2，因为MN =23，所以OE =3联立直线AB与椭圆方程得y=kx+mx26+y23=1消掉y得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-6=0其中Δ=(4mk)2-4(1+2k2)(2m2-6)>0,x1+x2=-4mk1+2k2，∴AB中点E的横坐标x E=-2mk1+2k2,又E-m2k,m2，∴x E=-2mk1+2k2=-m2k∵k<0，m>0，∴k=-22,又OE=-m2k2+m2 2=3，解得m=2所以直线AB:y=-22x+2，即x+2y-22=0一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：P||PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c>0)注意：当2a=2c时，点的轨迹是线段；当2a<2c时，点的轨迹不存在．二、椭圆的方程、图形与性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2+y2b2=1a>b>0y2a2+x2b2=1a>b>0统一方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)参数方程x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])x=a cosθy=b sinθ,θ为参数(θ∈[0,2π])第一定义到两定点F1 、 F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点Α1-a,0、Α2a,0Β10,-b、Β20,bΑ10,-a、Α20,aΒ1-b,0、Β2b,0轴长长轴长=2a，短轴长=2b长轴长=2a，短轴长=2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点F1-c,0、F2c,0F10,-c、F20,c焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)离心率e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-b2a2(0<e<1)准线方程x=±a2 c点和椭圆的关系x20a2+y20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内y20a2+x20b2>1=1<1⇔点(x0,y0)在椭圆外上内切线方程x0xa2+y0yb2=1((x0,y0)为切点)y0ya2+x0xb2=1((x0,y0)为切点)对于过椭圆上一点(x0,y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x2换为x0x，y2换为y0y可得切点弦所在的直线方程x0xa2+y0yb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)y0ya2+x0xb2=1(点(x0,y0)在椭圆外)焦点三角形面积①cosθ=2b2r1r2-1,θmax=∠F1BF2，(B为短轴的端点)②SΔPF1F2=12r1r2sinθ=b2tanθ2=c|y0|,焦点在x轴上c|x0|,焦点在y轴上(θ=∠F1PF2)③当P点在长轴端点时,(r1r2)min=b2当P点在短轴端点时,(r1r2)max=a2焦点三角形中一般要用到的关系是|MF1|+|MF2|=2a(2a>2c)SΔPF1F2=12|PF1||PF2|sin∠F1PF2|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2焦半径左焦半径：MF1=a+ex0又焦半径：MF1=a-ex0上焦半径：MF1=a-ey0下焦半径：MF1=a+ey0焦半径最大值a+c，最小值a-c通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2b2a(最短的过焦点的弦)弦长公式设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，k AB=k，则弦长AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+1k2(y 1+y 2)2-4y 1y 2=1+k 2Δ|a |(其中a 是消y 后关于x 的一元二次方程的x 2的系数，Δ是判别式)【椭圆常用结论】1、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为2b 2a．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为a +c ，距离的最小值为a -c ．2、椭圆的切线①椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)上一点P (x 0 ， y 0)处的切线方程是x 0x a 2+y 0y b2=1；②过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)外一点P (x 0 ， y 0)，所引两条切线的切点弦方程是x 0x a 2+y 0y b 2=1；③椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)与直线Ax +By +C =0相切的条件是A 2a 2+B 2b 2=c 2．一、单选题1(2024·湖北荆州·三模)已知椭圆C ：x 28+y 2k =1的一个焦点为0,2 ，则k 的值为()A.4B.8C.10D.12【答案】D【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解.【详解】由题意得，c 2=4，a 2=k ，b 2=8，所以k =4+8=12．故选：D ．2(2024·山东烟台·三模)若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b2=1(b >1)的离心率相同，则实数b 的值为()A.233B.43C.52D.54【答案】A【分析】由离心率相等列出关于b 的方程求解即可.【详解】若椭圆x 24+y 23=1与椭圆x 2+y 2b 2=1(b >1)的离心率相同，则4-34=b 2-1b 2，解得b =233>1满足题意.故选：A .3(2024·江西九江·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且倾斜角为π6的直线交C 于第一象限内一点A .若线段AF 1的中点在y 轴上,△AF 1F 2的面积为23,则C 的方程为()A.x 23+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 29+y 23=1D.x 29+y 26=1【答案】D【分析】根据题意得到Rt △AF 1F 2，∠AF 1F 2=π6, ,设AF 2 =t ，其它边全部用t 表示,运用面积为23构造方程求出t .再用椭圆定义求出a ,进而求出c ,b 即可.【详解】如图,∵O 为线段F 1F 2的中点,B 为线段AF 1的中点,∴OB ∥AF 2,又OB ⊥x 轴,∴AF 2⊥x 轴.在Rt △AF 1F 2中,∠AF 1F 2=π6,设AF 2 =t ,则AF 1 =2t ,F 1F 2 =3t .∵△AF 1F 2的面积为23,∴12×3t ×t =23,t =2.∴2a =AF 1 +AF 2 =3t =6,a =3,2c =F 1F 2 =3t =23,c =3,b 2=a 2-c 2=6,则C 的方程为x 29+y 26=1.故选：D .4(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴长为23，点M 在椭圆上，若|MF |的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为()A.3 B.4 C.1 D.2【答案】D【分析】利用椭圆的几何性质得到关于a ,c 的方程组，解之即可得解.【详解】依题意，椭圆短轴长为23，得b =3，则a 2-c 2=b 2=3，又|MF |的最大值是最小值的3倍，即a +c =3(a -c )，所以a =2c ，所以a =2,c =1，则其焦距为2c =2.故选：D5(2024·浙江绍兴·三模)已知直线y =kx k ≠0 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的左焦点F 1，若F 1A =2F 1B ，则椭圆C 的离心率是()A.52B.54C.53D.59【答案】C【分析】由题意可得四边形AF 1BF 2为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将F 1A +F 1B 分别用a 和c 表示，即可得离心率.【详解】取右焦点F 2，连接AF 2、BF 2，由F 1在以线段AB 为直径的圆上，故AF 1⊥BF 1，结合对称性可知四边形AF 1BF 2为矩形，有AF 2 =BF 1 ，有OA =OB =OF 1=c ，又F 1A =2F 1B ，由F 1A 2+F 1B 2=2c 2，则F 1A =455c ，F 1B =255c ，由椭圆定义可得F 1A +AF 2 =2a ，故F 1A +F 1B =455c +255c =655c =2a ，则e =c a =2655=53.故选：C .6(2024·江西鹰潭·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，倾斜角为45°且过原点的直线l 交椭圆于M ,N 两点.若MN =F 1F 2 ，设椭圆的离心率为e ，则e 2=()A.2-1B.2-2C.3-1D.3-3【答案】B【分析】根据题意MN =F 1F 2 =2c ，得到四边形NF 1MF 2为矩形，由直线l 过原点且倾斜角为45°，在△MOF 2和△MOF 1中，利用余弦定理计算得MF 1 ,MF 2 ，结合椭圆的定义2a =MF 1 +MF 2 ,求得离心率，进而计算出e 2.【详解】如图所示，因为MN =F 1F 2 =2c ，且O 分别为MN 和F 1F 2的中点，OM =OF 2 =ON =OF 1 =c ，所以四边形NF 1MF 2为矩形，又直线l 过原点且倾斜角为45°，即∠MOF 2=45°，∠MOF 1=135°，且△MOF 2为等腰三角形，所以，在△MOF 2中，根据余弦定理可得MF 2 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos45°=(2-2)c 2，即MF 2 =2-2c ，同时，在△MOF 1中，根据余弦定理可得MF 1 2=c 2+c 2-2×c ×c ×cos135°=(2+2)c 2，即MF 1 =2+2c ，所以2a =MF 1 +MF 2 =2-2c +2+2c ，可得e =ca=22-2+2+2，e 2=22-2+2+22=42-2+22+2+2=22+2=2- 2.故选：B .7(2024·天津河西·三模)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则e 21+e 22的最小值为()A.3+3 B.5+32C.2+32D.4【答案】C【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，易得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，利用椭圆和双曲线的定义得到m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，然后在△PF 1F 2中，利用余弦定理得到1e 21+3e 22=4，然后利用基本不等式求解.【详解】解：如图所示：设椭圆和双曲线的方程分别为：x 2a 21+y 2b 21=1，x 2a 22-y 2b 22=1，由题意得a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，则m +n =2a 1,n -m =2a 2，解得m =a 1-a 2,n =a 1+a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理得：F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos ∠F 1PF 2，即2c 2=a 1-a 2 2+a 1+a 2 2-a 1-a 2 a 1+a 2 ，化简得4c 2=a 21+3a 22，则1e 21+3e 22=4，所以e 21+e 22=14e 21+e 22 1e 21+3e 22=14e 22e 21+3e 21e 22+4，≥142e 22e 21⋅3e 21e 22+4=2+32，当且仅当e 22e 21=3e 21e 22，即e 22=3e 21时，等号成立；故选：C8(2024·四川·三模)已知椭圆C :x 24+y 2b2=1(b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 是椭圆上一点，若△PF 1F 2的内心为M ，连接PM 并延长交x 轴于点Q ，且PM =3QM ，则椭圆的短轴长为()A.2 B.22C.23D.463【答案】D【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求短轴长度即可.【详解】如图，连接MF 1,MF 2,在△PF 1Q 和△PF 2Q 中，利用角平分线定理可得PMQM =PF 1QF 1=PF 2QF 2=3,由等比定理可得PF 2QF 2=PF 1+PF 2QF 1+QF 2=2a 2c ,从而c =233,b =263.故椭圆的短轴长为2b =463，故B 正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理构建图形，然后利用角平分线定理和等比定理得到PF 2QF 2=2a2c ，再求解短轴长度即可．9(2024·广东汕头·三模)已知椭圆C ：x 216+y 212=1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上任意一点，则下列不正确的是()A.C 的离心率为12B.PF 1 的最小值为2C.PF 1 ⋅PF 2 的最大值为16D.可能存在点P ，使得∠F 1PF 2=65°【答案】D【分析】求出椭圆C 的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆的性质逐项分析计算即可.【详解】椭圆C ：x 216+y 212=1的长半轴长a =4，短半轴长b =23，半焦距c =a 2-b 2=2，对于A ，C 的离心率e =c a =12，A 正确；对于B ，由PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 ≤2c，得a -c ≤|PF 1|≤a +c ，因此|PF 1|min =a -c =2，B 正确；对于C ，|PF 1|⋅|PF 2|≤|PF 1|+|PF 2|22=a 2=16，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4时取等号，C 正确；对于D ，当P 不在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(2a )2-(2c )22|PF 1||PF 2|-1，=24|PF 1||PF 2|-1≥2416-1=12，当且仅当|PF 1|=|PF 2|=4取等号，当P 在x 轴上时，cos ∠F 1PF 2=1，上述不等式成立，因此∠F 1PF 2最大为60°，D 错误.故选：D10(2024·河北衡水·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 2向圆x 2+y 2=14b 2引切线交椭圆于点P ,O 为坐标原点，若OP =OF 2 ，则椭圆的离心率为()A.12B.32C.53D.23【答案】C【分析】先画出图形，由OP =OF 2 =OF 1 得PF 1⊥PF 2，进而得OM ⎳PF 1，PF 1 =2OM =b ，然后由椭圆的定义可得PF 2 =2a -b ，由勾股定理b a =23，从而即可得到离心率.【详解】由题意画出图形，如下图：设切点为M ，连接PF 1，由已知OP =OF 2 =OF 1 ，∴PF 1⊥PF 2，∵OM ⊥PF 2，∴OM ⎳PF 1，又O 是F 1F 2的中点，圆x 2+y 2=14b 2的半径为12b ，PF 1 =2OM =b ，PF 2 =2a -b ，∴b 2+2a -b 2=4c 2=4a 2-b 2 ，即2a =3b ，得b a =23，e =c a=a 2-b 2a 2=1-b a 2=53.故选：C .11(2024·浙江·三模)已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与椭圆Γ相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ．连接F 1C ，F 1A ．若O 为坐标原点，F 1C ⊥F 1A ，，则椭圆Γ的离心率为()A.105B.55C.1010D.510【答案】A【分析】由三角形面积关系得出F 2C =4t =F 1C ，再由勾股定理及椭圆定义求出t ，利用余弦定理及cos ∠AF 2F 1+cos ∠CF 2O =0求解即可.【详解】设F2A =t ，由可得，由于△F 1CF 2与△AF 1F 2等高，所以F 2C =4t =F 1C ，又F1C⊥F1A，AC=5t，∴F1A=3t，又AF1+AF2=2a=4t，∴t=a 2，在中，cos∠CF2O=c2a，∵cos∠AF2F1+cos∠CF2O=0，∴cos∠AF2F1=-c2a在中，cos∠AF2F1=AF22+F1F22-AF122F2A⋅F1F2=2c2-a2ac=-c2a，化简可得2a2=5c2，解得e=c2a2=105，故选：A．【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出F2C=F1C=4t，其次需要根据cos∠AF2F1 +cos∠CF2O=0建立a,c关系.二、多选题12(2024·河南开封·三模)椭圆C:x2m2+1+y2m2=1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与C的另一个交点为B，若∠F1AF2=π3，则()A.C的焦距为2B.C的短轴长为23C.C的离心率为32D.△ABF2的周长为8【答案】ABD【分析】根据∠F1AF2=π3以及椭圆的对称性可得b2a2=322=m2m2+1，进而可求解a=2,b=3,c=1，即可根据选项逐一求解.【详解】由于∠F1AF2=π3，所以∠F1AO=∠OAF2=π6,故cos∠F1AO=cos π6=AOAF1=bc2+b2=ba=32，因此b2a2=322=m2m2+1，故m2=3，所以椭圆C :x 24+y 23=1，a =2,b =3,c =1对于A ，焦距为2c =2，故A 正确，对于B ，短轴长为2b =23，B 正确，对于C ，离心率为e =c a =12，C 错误，对于D ，△ABF 2的周长为4a =8，D 正确，故选：ABD13(2024·全国·模拟预测)已知长轴长、短轴长和焦距分别为2a 、2b 和2c 的椭圆Ω，点A 是椭圆Ω与其长轴的一个交点，点B 是椭圆Ω与其短轴的一个交点，点F 1和F 2为其焦点，AB ⊥BF 1．点P 在椭圆Ω上，若∠F 2PF 1=π3，则()A.a ，b ，c 成等差数列B.a ，b ，c 成等比数列C.椭圆Ω的离心率e =5+1D.△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积【答案】BD【分析】AB 选项，根据垂直关系得到k BF 1k AB =-1，求出b 2=ac ，得到A 错误，B 正确；C 选项，根据b 2=ac 得到c 2+ac -a 2=0，进而求出离心率；D 选项，计算出△ABF 1和△PF 1F 2的面积，作差法结合基本不等式求出答案.【详解】AB 选项，椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，不妨设A a ,0 ，B 0,b ，故F 1-c ,0 ，因为AB ⊥BF 1，且直线AB ,BF 1的斜率存在，所以k BF 1k AB =-1，即b c ⋅-ba=-1，故b 2=ac ，a ,b ,c 成等比数列，A 错误，B 正确；C 选项，因为b 2=a 2-c 2，b 2=ac ，所以c 2+ac -a 2=0，方程两边同除以a 2得，e 2+e -1=0，解得e =-1±52，负值舍去，故离心率为e =5-12，C 错误；D 选项，由椭圆定义得PF 1 +PF 2 =2a ，F 1F 2 =2c ，因为 F 2PF 1=π3，所以PF 1 2+PF 2 2-PF 1 PF 2 =4c 2，PF 1 +PF 2 =2a 两边平方得PF 12+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2，故3PF 1 ⋅PF 2 =4b 2，S △PF 1F 2=12PF 1 ⋅PF 2 ⋅32=3b 23，S △ABF 1=12AF 1 ⋅OB =12a +c ⋅b =ab +bc2，又b 2=ac ，且a >c ，由基本不等式得ab +bc 2-b 2=b 2a +c -2b =b2a +c -2ac >0，所以S △ABF 1=ab +bc2>b 2> S △PF 1F 2即△ABF 1的面积不小于△PF 1F 2的面积，D 正确.故选：BD14(2024·河南·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (2,1)，且离心率为22．记C 在P 处的切线为l ，平行于OP 的直线l 与C 交于A ，B 两点，则()A.C 的方程x 24+y 22=1B.直线OP 与l 的斜率之积为-1C.直线OP ，l 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形D.直线P A ，PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形【答案】ACD【分析】根据题干列出方程组，解方程组可判断A ；根据直线与椭圆相切的可求出直线l 的方程即可判断B ，C ；通过计算k P A +k PB =0可判断D .【详解】c a =222a 2+1b 2=1ab 2=b 2+c 2 , ∴a =2b =2c =2∴ 椭圆方程为：x 24+y 22=1，故A 正确；如图，因为点P 在第一象限，取椭圆方程的右半部分得：y =2-x 22，则y=122-x 22 -12·2-x 22=-x8-2x 2，所以k PM =yx =2 =-22，所以k OP ⋅k PM =-b 2a2=-12，故B 错误；k PM +k OP =0，则△POM 为等腰三角形，故C 正确；AB :y =22x +m ,y =22x +m x 24+y 22=1，消y 可得x 2+2mx +m 2-2=0，x 1+x 2=-2m , x 1x 2=m 2-2, k P A +k PB =y 1-1x 1-2+y 2-1x 2-2=22x 1+m -1x 1-2+22x 2+m -1x 2-2=2x 1x 2+(m -2)x 1+x 2 -22m +22x 1-2 x 2-2=0P A ,PB 与坐标轴围成的三角形是等腰三角形，故D 正确.故选：ACD15(2024·全国·二模)已知圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，且P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，且△PF 1F 2的面积为1，则下列结论正确的是()A.椭圆C 的长轴长为2B.椭圆C 的短轴长为2C.椭圆C 的离心率为12 D.点P 的坐标为33,263【答案】BD【分析】根据圆的方程确定c 的值，再由△PF 1F 2的面积可得点P 的坐标，从而可得a ,b 的值，再逐项判断即可得答案.【详解】因为圆O ：x 2+y 2=3经过椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点F 1，F 2，所以c =3，又P 为圆O 与椭圆C 在第一象限内的公共点，则S △PF 1F 2=12F 1F 2 ⋅x P =12×23⋅x P =1，故x P =33，代入圆方程可得x 2P +y 2P =3，所以y P =263，故点P 的坐标为33,263，故D 正确；将点P 的坐标33,263代入椭圆方程可得83a 2+13b2=1，又a 2=b 2+c 2=b 2+3，解得a =2,b =1，故椭圆C 的长轴长为4，短轴长为2，故A 不正确，B 正确；则椭圆C 的离心率为e =c a =32，故C 不正确.故选：BD .16(2024·江西南昌·三模)将椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，则下列说法中正确的是()A.a =23B.椭圆C 2的离心率为33C.(2,2)是椭圆C 2的一个焦点D.θ=π4【答案】ACD【分析】根据题意，由椭圆的对称性，求解顶点坐标，从而可得a ,b ,c ，再由椭圆的性质对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ<π2 角，得到椭圆C 2的方程：x 2+y 2-xy =6，设点P x ,y 在该椭圆上，则其关于y =x 的对称点P y ,x 代入椭圆方程有y 2+x 2-yx =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，同理其关于y =-x 的对称点P -y ,-x 代入椭圆方程有-y2+-x 2--y -x =6，即x 2+y 2-xy =6，则该对称点位于椭圆方程上，则x 2+y 2-xy =6关于y =±x 对称，所以θ=π4，故D 正确；将y =x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=6，可得椭圆长轴的顶点为6,6 ,-6,-6 ，所以a =6+6=23，故A 正确；将y =-x 代入x 2+y 2-xy =6可得x 2=2，可得椭圆长轴的顶点为2,2 ,-2,-2 ，所以b =2+2=2，则c =12-4=22，则e =c a =2223=63，故B 错误；所以焦点坐标为2,2 或-2,-2 ，所以C 正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键通过证明该非标准椭圆的对称性，从而得到θ的值，再按照普通椭圆a ,b ,c 的定义计算即可，也可将该过程想象成坐标系的旋转.17(2024·江西宜春·三模)设椭圆C ：x 28+y 24=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，坐标原点为O ．若椭圆C 上存在一点P ，使得|OP |=7，则下列说法正确的有()A.cos ∠F 1PF 2=35B.PF 1 ⋅PF 2 =5C.△F 1PF 2的面积为2D.△F 1PF 2的内切圆半径为2-1【答案】ACD【分析】根据已知求出P 点坐标，根据两点间距离公式分布求出PF 1 ,PF 2 ，在△F 1PF 2中利用余弦定理可判定A ，利用向量数量积公式可判定B ，三角形面积公式可判定C ，根据等面积法可判定D .【详解】法1：由题意得a =22，|F 1F 2|=2c =28-4=4，则F 1(-2,0)，F 2(2,0)．由对称性可设P (x 0,y 0)(x 0>0，y 0>0)，|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ，由x 208+y 204=1x 20+y 20=7，解得x 0=6y 0=1，又F 1(-2,0)，F 2(2,0)，所以m =(6+2)2+12=11+46，n =(6-2)2+12=11-46，所以mn =11+46⋅11-46=112-(46)2=5．由椭圆的定义得m +n =2a =42，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2=m 2+n 2-2mn cos θ，即42=(m +n )2-2mn -2mn cos θ=(42)2-2×5-2×5cos θ，解得cos θ=35，故A 正确；PF 1 ⋅PF 2 =mn cos θ=5×35=3，故B 错误；△F 1PF 2的面积为S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×1-352=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．法2：设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，∠F 1PF 2=θ．易知a =22，c =8-4=2，由极化恒等式，得PF 1 ⋅PF 2=|OP |2-|OF 1|2=7-4=3，故B 错误；由中线长定理得m 2+n 2=2(|OP |2+|OF 1|2)=22，由椭圆定义得m +n =2a =42，所以(m +n )2=m 2+n 2+2mn =22+2mn =32，所以mn =5，所以cos θ=PF 1 ⋅PF 2 mn =35，故A 正确；由cos θ=35，得sin θ=1-cos 2θ=45，所以S △F 1PF 2=12mn sin θ=12×5×45=2，故C 正确；设△F 1PF 2的内切圆半径为r ，由△F 1PF 2的面积相等，得S △F 1PF 2=12(m +n +|F 1F 2|)r ，即2=12(42+4)r ，解得r =2-1，故D 正确．故选：ACD ．三、填空题18(2024·上海·三模)已知椭圆C 的焦点F 1、F 2都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，△PF 1F 2的周长为6，且PF 1 ，F 1F 2 ，PF 2 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为．【答案】x 24+y 23=1【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出a ,c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，PF 1+ PF 2+ F 1F 2 =6PF 1+ PF 2=2 F 1F 2，即2a +2c =62a =4c，解得a =2,c =1，则椭圆短半轴长b =a 2-c 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.故答案为：x 24+y 23=119(2024·四川攀枝花·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M ,N 在C 上，且F 1F 2 =3MN ,F 1M ⊥F 2N ，则椭圆C 的离心率为．【答案】5-2/-2+5【分析】延长F 1M ,F 2N 交于点B ,由题意可求出M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，代入椭圆的方程，化简即可得出答案.【详解】延长F 1M ,F 2N 交于点B ，因为F 1F 2 =3MN ，所以NM =2c3，所以点B 在y 轴上，因为F 1M ⊥F 2N，所以△BF 1F 2为等腰直角三角形，所以∠MF 1P =π4，过点M 作MP ⊥F 1F 2交F 1F 2于点P ，所以MP =F 1P =2c 3，所以M -c 3,2c 3，因为点M 在C 上，所以c 29a 2+4c 29b 2=1，即c 2a 2+4c 2a 2-c 2=9，则c 2a 2-c 2 +4a 2c 2=9a 2a 2-c 2 ，即14a 2c 2-c 4-9a 4=0，即e 4-14e 2+9=0，所以e 2=14±4102=7±210，因为0<e <1，所以e 2=7-210，所以e =5- 2.故答案为：5- 2.20(2024·山西·三模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，若C 上存在一点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则C 的离心率的最小值是．【答案】13【分析】由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，可得a -c ≤2c ≤a +c ，运算求解即可.【详解】设椭圆C 的半焦距为c ∈0,a ，由题意可知：PF 2 =F 1F 2 =2c ，根据存在性结合椭圆性质可知：a -c ≤2c ≤a +c ，解得13a ≤c <a ，可得C 的离心率e =c a ∈13,1 ，所以C 的离心率的最小值是13.故答案为：13.21(2024·陕西咸阳·三模)已知椭圆C :x 25+y 24=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 为椭圆C 上任意一点，P 为曲线E :x 2+y 2-6x -4y +12=0上任意一点，则MP +MF 2 的最小值为.【答案】22-1【分析】求出点F 2的坐标，求出圆E 的圆心和半径，再利用圆的性质求出最小值.【详解】椭圆C :x 25+y 24=1中，右焦点F 2(1,0)，圆E :(x -3)2+(y -2)2=1的圆心E (3,2)，半径r =1，显然椭圆C 与圆E 相离，由点P 在圆E 上，得|MP |min =|ME |-1，于是|MP |+|MF 2|≥|ME |-1+|MF 2|≥|EF 2|-1=(3-1)2+22-1=22-1，当且仅当M ,P 分别是线段EF 2与椭圆C 、圆E 的交点时取等号，所以MP +MF 2 的最小值为22-1.故答案为：22-122(2024·湖南长沙·三模)已知椭圆y 29+x 2=1，P 为椭圆上任意一点，过点P 分别作与直线l 1:y =3x 和l2:y =-3x 平行的直线，分别交l 2，l 1交于M ，N 两点，则MN 的最大值为.【答案】3【分析】根据题意画出示意图，可得四边形PMON 为平行四边形，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，根据MN与OP 的中点相同，换算出关系式x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，再由两点间的距离公式，结合椭圆的性质即可求解.【详解】设过点P 分别作直线l 3,l 4，由题意，画示意图如下：设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，P (x 0,y 0).则y 1=-3x 1，y 2=3x 2，由题意可知四边形PMON 为平行四边形，所以x 1+x 2=x 0+0=13y 2-y 1 y 1+y 2=y 0+0=3x 2-x 1 ，即x 2-x 1=y 03y 2-y 1=3x 0，又因P 为椭圆上任意一点，所以y 209+x 20=1，即y 209=1-x 20，所以MN =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=y 209+9x 20=9x 20+1-x 20 =8x 20+1，因为-1≤x 0≤1，所以0≤x 20≤1，所以由函数性质知：当x 20=1时，有|MN |max =8×1+1=3.故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题结合两点间的距离公式考查椭圆的几何性质的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，解题的关键是利用平行四边形的性质找到点的坐标之间的关系.23(2024·重庆·三模)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2，若椭圆上存在不在x 轴上的两点A ，B 满足F 1A +F 1B =F 1F 2 ，且sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB ，则椭圆离心率e 的取值范围为.【答案】13,1 【分析】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 判断出四边形AF 1BF 2为平行四边形，由正弦定理BF 1 =2AF 1 ，利用AF 2 -AF 1 <F 1F 2 可得答案.【详解】由F 1A +F 1B =F 1F 2 =2F 1O 知，O 为AB 中点，四边形AF 1BF 2为平行四边形，由∠F 2AB =∠F 1BA 与sin ∠F 1AB =2sin ∠F 2AB 可知，在△ABF 1中由正弦定理知，BF 1 =2AF 1 ，在△AF 1F 2中，有AF 2 =BF 1 =2AF 1 ，又因为AF 1 +AF 2 =2a ，可得AF 1 =23a ，AF 2 =43a ，由AF 2 -AF 1 <F 1F 2 ，得e >13，故离心率的取值范围为13,1.故答案为：13,1.式)，进而求解离心率或范围.。

9.2椭圆-高考数学总复习历年(十年)真题题型归纳+模拟预测(原卷版)

第9章解析几何9.2 椭圆从近三年高考情况来看，椭圆的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的热点，尤其是离心率问题是高考考查的重点，多在选择题、填空题中出现，考查直线与椭圆的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，多以解答题的形式出现，解题时，以直线与椭圆的位置关系为主，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养．1．（2022•新高考2）已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴、y 轴分别相交于M ，N 两点，且|MA |＝|NB |，|MN |＝2√3，则l 的方程为． 2．（2022•甲卷）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（） A ．√32B ．√22 C ．12D ．133．（2022•甲卷）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1→•BA 2→=−1，则C 的方程为（） A ．x 218+y 216=1 B ．x 29+y 28=1C ．x 23+y 22=1D ．x 22+y 2＝1题型一.椭圆的标准方程与几何性质1．（2018•新课标Ⅰ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 24=1的一个焦点为（2，0），则C 的离心率为（）A ．13B ．12C ．√22D ．2√232．（2015•新课标Ⅰ）一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点．且圆心在x 轴的正半轴上．则该圆标准方程为．3．（2016•新课标Ⅰ）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）A ．13B ．12C ．23D ．344．（2014•大纲版）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为√33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为（） A ．x 23+y 22=1 B ．x 23+y 2＝1C ．x 212+y 28=1 D ．x 212+y 24=15．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆C 的焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），过点F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为（） A ．x 22+y 2＝1 B ．x 23+y 22=1C ．x 24+y 23=1 D ．x 25+y 24=16．（2019•新课标Ⅲ）设F 1，F 2为椭圆C ：x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为． 7．（2021•甲卷）已知F 1，F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |＝|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为． 8．（2013•新课标Ⅰ）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （3，0），过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为（1，﹣1），则E 的方程为（） A ．x 245+y 236=1 B ．x 236+y 227=1C ．x 227+y 218=1D ．x 218+y 29=1题型二.椭圆的离心率1．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为（） A ．1−√32 B ．2−√3 C ．√3−12D ．√3−12．（2013•四川）从椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（） A ．√24B ．12C ．√22D ．√323．（2012•新课标）设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x =3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（） A ．12B ．23C ．34D ．454．（2018•新课标Ⅱ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（） A ．23B ．12C ．13D ．145．（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay +2ab ＝0相切，则C 的离心率为（） A ．√63B ．√33C ．√23D ．136．（2016•新课标Ⅲ）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） A ．13B ．12C ．23D ．347．（2013•辽宁）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左焦点F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF =45，则C 的离心率为（） A ．35B ．57C ．45D ．678．（2018•北京）已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），双曲线N ：x 2m 2−y 2n 2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为．题型三.取值范围问题1．（2017•新课标Ⅰ）设A ，B 是椭圆C ：x 23+y 2m=1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是（）A ．（0，1]∪[9，+∞）B ．（0，√3]∪[9，+∞）C ．（0，1]∪[4，+∞）D ．（0，√3]∪[4，+∞）2．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 25+y 2＝1的上顶点，点P 在C 上，则|PB |的最大值为（） A ．52B ．√6C ．√5D ．23．（2021•乙卷）设B 是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点，若C 上的任意一点P都满足|PB |≤2b ，则C 的离心率的取值范围是（）A ．[√22，1）B ．[12，1）C ．（0，√22]D ．（0，12]4．（2021•新高考Ⅰ）已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（） A ．13B ．12C ．9D ．61．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为35，直线2x +y +10＝0过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（） A ．x 25+y 24=1 B ．x 225+y 29=1 C ．x 216+y 29=1D ．x 225+y 216=12．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为（） A ．√32B ．√22C ．12D ．√333．设椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F 1（0，1），M （3，3）在椭圆外，点P为椭圆上的动点，若|PM |﹣|PF 1|的最小值为2，则椭圆的离心率为（） A ．23B ．√34C ．12D ．144．已知动点M 在以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2+y 24=1上，动点N 在以M 为圆心，半径长为|MF 1|的圆上，则|NF 2|的最大值为（） A ．2B ．4C ．8D ．165．已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），上顶点为A （0，b ），直线x =a 2c 上存在一点P 满足(FP →+FA →)⋅AP →=0，则椭圆的离心率取值范围为（） A ．[12，1)B ．[√22，1)C ．[√5−12，1)D ．(0，√22]（多选）6．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，焦点F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）（c ＞0），下顶点为B ．过点F 1的直线l 与曲线C 在第四象限交于点M ，且与圆A ：(x +2c)2+y 2=14c 2相切，若MF 2→⋅F 1F 2→=0，则下列结论正确的是（） A ．椭圆C 上不存在点Q ，使得QF 1⊥QF 2 B ．圆A 与椭圆C 没有公共点C ．当a ＝3时，椭圆的短轴长为2√6D ．F 2B ⊥F 1M.。

高考圆锥曲线之椭圆经典题型解析及总结

高考圆锥曲线之椭圆经典题型讲解及总结总结：1、解决圆锥曲线的一些大题的时候，注意运用发散的思维，将已知条件进行联想，将联想到的相关知识点表述出来，获取有效的得分点。

如点在椭圆上———就设点（x,y）代入椭圆方程；告诉圆的方程，马上求出半径和圆心。

2、求值的问题，往往有两种方法，直接法和间接法。

如本题求PQ的最小值，直接做没有头绪，不妨采用间接法，转化为求AP的最小值。

用AP的最小值减去圆的半径r,从而得知。

3、注意转化思想、数形结合思想、函数思想的在圆锥曲线中的综合应用。

总结1.解决本题的关键就是要熟悉内心的相关知识点：三角形的内心是三角形内切圆的圆心；内切圆的圆形到三角形三边的距离相等。

2、求值的问题，有时候考虑运用方程的思想。

构造关于某值为未知数的方程和方程组。

3、在解决椭圆的相关问题时，注意椭圆公示的贯通融合，本题运用了以下集中公示。

|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）；e=c/a；椭圆里abc的关系：a²=b²+c²。

总结：1.本题求离心率采用建立关于e的方程。

当题目当中数量关系复杂时，往往采用设K法，压缩未知数的量，往往到到事半功倍的效果。

3、本题重点考查椭圆的离心率的求解及等腰直角三角形的性质等。

总结：1、有关椭圆和直线相交的问题，往往转化为解椭圆和直线解方程组的问题。

2、利用点差法和中点坐标公式及斜率公式。

总结：1、当有条件限制时，往往考虑运用分类讨论的思想。

如本题根据直线斜率存在和不存在两种情况。

3、直线与椭圆的联立会牵扯到二次方程、二次函数的问题。

一元二次方程常用的知识点是韦达定理。

韦达定理公式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为实数且a≠0）中，两根x₁、x₂关系为x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。

4、注意斜率公式的合理运用。

总结：1.设置情景背景的问题，往往采用按部就班法，套用新的公式去解。

2.充分利用已知条件列出方程组，求出a和b,即可得到椭圆的方程。

五种椭圆解题方法高考数学一轮复习(新高考专用解析版)

五种椭圆解题方法题型一：利用椭圆定义解决三角形周长或边长问题一、单选题1．（2022·湖北·模拟预测）椭圆：22221(0)x y a b a b +=>>有一特殊性质，从一个焦点射出的光线到达椭圆上的一点P 反射后，经过另一个焦点.已知椭圆的焦距为2，且124PF PF +=，当121sin 2F PF ∠=时，椭圆的中心O 到与椭圆切于点P 的切线的距离为：（）A ．1 BC D 【答案】C【分析】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点，做PH l ⊥交x 轴于H 点，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等得122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ，利用中位线可得1=OO cos a α，再根据121sin 2F PF ∠=，可得答案，【详解】设过P 点的切线为l ，分别做121、、⊥⊥⊥F M l F N O O l l 于1、、M N O 点，做PH l ⊥交x 轴于H 点，所得1OO 是12、F M F N 的中位线，设1α∠=MF P ，入射角和反射角相等，则122α∠∠=∠==F P F PH HP F N ，则12121cos cos 22αα++==F M F N F P F P OO 12cos cos 2αα+==F P F Pa ，因为2,1a c ==，当P 为上顶点时，12F PF ∠为60，因为，121sin 2F PF ∠=，所以1230F PF ∠=，即230α，15α=，()6cos cos15cos 45302α==-=⨯=a a a 故选：C.2．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知点P 为椭圆C ：22195x y +=上一点，点1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，若122PF PF =，则12PF F △的内切圆半径为（）A 15B 15C 215D 15【答案】B【分析】首先求1PF 和2PF 的值，再求12PF F △的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解.【详解】因为1226PF PF a +==，且122PF PF =，所以14PF =，22PF =，2954c =-=，1224F F c ==，则等腰三角形12PFF △底边上的高224115h - 所以121215152PF F S=⨯=设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121211101522PF PF F F r r ++⨯=⨯⨯= 所以15r =故选：B 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.223AF BF =，146AB BF ==，若1ABF 的周长为20，则经过点5319()的直线（） A ．与椭圆C 可能相交 B ．与椭圆C 可能相切 C ．与椭圆C 可能相离 D ．与椭圆C 不可能相切【答案】AB【分析】利用给定条件，结合椭圆定义求出椭圆方程，再判断点与椭圆的位置关系作答.【详解】由椭圆的定义知122BF BF a +=，122AF AF a +=，设2BF m =，则2233AF BF m ==，则12BF a m =-，123AF a m =-，而1AB BF =，即有42m a m =-，解得52a m =，又1ABF 的周长为20，则有11||||||420AB AF BF a ++==，解得5a =，2m =，因为1AB BF ==，即83=，解得c 22219b a c =-=，椭圆C 的方程为2212519x y +=，显然222212519+=，即点在椭圆上，所以经过点的直线与椭圆C 相交或相切. 故选：AB4．（2022·湖北·模拟预测）已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，短轴长等于1F 作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为22132y x +=B ．椭圆C 的方程为22132x y +=C ．PQ =D ．2PF Q △的周长为【答案】AC【分析】解方程组求出,a b 即可选项AB 的真假，再利用通径公式判断选项C 的真假，再利用椭圆的定义判断选项D 的真假.【详解】解：由题意得：2b =b =222113b e a =-=，故23a =，因为焦点1F ，2F 在y 轴上，所以椭圆C 的方程为22132y x+=，所以选项A 正确，选项B 错误；由通径长可得，22b PQ a ==，所以选项C 正确；2PF Q △的周长为4a =，所以选项D 错误.故选：AC ．5．（2022·山东菏泽·二模）已知椭圆22:12+=xE y的左右焦点分别为1F，2F，直线(x m m=<<与椭圆E交于A，B两点，C，D分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（）A．若直线CA的斜率为1k，BD的斜率2k，则1212k k=-B．存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形C．12AF AF⋅取值范围为()1,1-D．1ABF周长的最大值为【答案】BD【分析】A选项，求出A，B两点坐标，表达出1212k k=；B选项，验证出1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当A是直角顶点时满足题意，得出结论；C选项，设出A m⎛⎝，求出(]2120,12mAF AF⋅=∈；D选项，作出辅助线，利用椭圆定义得到直线(x m m=<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大.【详解】将x m=代入椭圆方程，求出y=()),C D，则212212122mk km⎛⎛⎫--⎪⎝⎭===-，A错误；由题意得：()()121,0,1,0F F-，当1m=±时，y=121AF F F=≠，所以当1F，2F是直角顶点时，不满足等腰性，故不成立，当点A是直角顶点时，由对称性可知：此时A在上顶点或下顶点，由于1b c==，故满足题意，所以存在唯一的实数m使得12AF F△为等腰直角三角形，B正确；不妨设A m⎛⎝，则222121122m mAF AF m⋅=-+-=，因为m(]2120,12mAF AF⋅=∈，C错误；如图，当直线(x m m=<<经过焦点2F时，此时1ABF的周长最大，等于1212442AF AF BF BF a +++==4a 小，例如当直线(22x m m =-<与椭圆相交于,A B ''，与x 轴交于C 点时，连接2A F '，由椭圆定义可知：122A F A F a ''+=，显然2A F A C '>'，同理可知：1212442A F A F B F B F a +++<''='' 故1ABF 周长的最大值为2D 正确故选：BD6．（2022·山东德州·高三期末）已知椭圆()2221024x y b b+=<<的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +的最大值为5，则下列说法正确的是（）A 3B ．当22AF BF +最大时，22AF BF =C ．椭圆离心率为12 D ．2ABF 面积最大值为3【答案】BC【分析】根据椭圆的定义得到2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，进而判断当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，进而求出b ,c ,即可判断A,B,C.设出直线AB 并代入椭圆方程并化简，进而根据根与系数的关系求出三角形的面积，然后求出其最大值，最后判断D.【详解】由题意：2a =，根据椭圆的定义可知，2222||488||AF BF AB a AF BF AB ++==⇒+=-，则8||AB -的最大值为5，根据椭圆的性质可知：当AB x ⊥轴时，||AB 最小，此时8||AB -最大，如图：将x c =-代入椭圆方程得：2222142c y by b+=⇒=±，则2||33,1AB b b c ==⇒==.所以短轴长为23A 错误；此时22AF BF =，B 正确；12c e a ==，C 正确；对D ，设()()1122,,,A x y B x y ，:1AB l x ty =-，代入椭圆方程得：()2222133911043424ty y t y ty -⎛⎫+=⇒+--= ⎪⎝⎭，则1221223231494314t y y t y y t ⎧⎪+=⎪⎪+⎪⎨⎪-⎪=⎪+⎪⎩，所以()22212121222239312||4333111444t t y y y y y y t t t ⎛⎫⎪+-+-+=⎪ ⎪+++⎝⎭21231211,||311344u u t y y u u u=+≥-==++，于是21212111212||||2112233ABF F F y y u uSu u =⨯⨯-=⨯⨯=++，由对勾函数的图象和性质可知：函数13y u u=+在[1,)+∞上是增函数，则函数1213y u u=+在[1,)+∞上是减函数.于是，当u =1，即t =0时，2ABF 面积最大值为3.故D 错误. 故选：BC.【点睛】本题答案D 的判断较为复杂，在求三角形面积时，注意要选线段12F F 作为底边将原三角形分为两个三角形，进而得到212121||||2ABF F F y Sy =⨯⨯-；在处理122||14y y t -=+. 三、填空题7．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆22:12516x y C +=，1F 、2F 为C 的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则12F PF △内切圆半径的最大值为________．【答案】32【分析】根据椭圆定义可得12121222F PF L PF PF F F a c =++=+△，结合内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，显然当P 为短轴顶点时12F PF S最大，即12F PF △内切圆半径的最大，此时12122F PF S b c bc =⨯⨯=△，代入求解．【详解】∵22:12516x y C +=，则5,4,3a b c ===∴12F PF △的周长1212122216F PF L PF PF F F a c =++=+=△∵12F PF △内切圆半径12122F PF F PF S r L △△=，则12F PF △内切圆半径的最大即为12F PF S最大显然当P 为短轴顶点时12F PF S 最大，此时1212122F PF S b c bc =⨯⨯==△则1212232F PF F PF S r L =△△=故答案为：32．8．（2022·陕西·长安一中三模（理））已知椭圆C :22143x y +=的焦点为1F ，2F ，第一象限点P 在C 上，且1294PF PF ⋅=，则12PF F △的内切圆半径为_________. 【答案】12【分析】由题意列方程组解出P 点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径【详解】由已知条件得24a =，23b =，2221c a b =-=，则1F （－1，0），2F （1，0）. 设点P 的坐标为（p x ，p y ），则()11p p PF x y =---，()2,1p p PF x y =--2212914p p PF PF x y ⋅=+-=，即22134p p x y +=①，∵第一象限点P 在C 上，∴则22143p px y +=，即22443PPy x =-②，联立解得32p y =由椭圆的定义得1224PF PF a +== 设12PF F △的内切圆半径为r ，则()121212132PF F S r PF PF F F r =++= 又∵1213222pF F p S c y ∆=⋅⋅=， ∴332r =，即12r =.故答案为：12 四、解答题9．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 为其左、右焦点，左、右顶点分别为A ，B ，过1F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于M ，N 两点（异于A ，B 两点），且2MNF 的周长为8． (1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆上一点，O 为坐标原点，OP MN ⊥，求MNOP的取值范围．【答案】(1)22143x y +=；(2)32⎛ ⎝⎭. 【分析】（1）根据离心率以及焦点三角形的边长几何特征，联立方程求,,a b c ，进而求出椭圆的标准方程；（2）设出直线l 的方程，利用弦长公式求出MN ，再利用两直线垂直斜率乘积为1-，得出直线OP ，求出OP ，进而得到MNOP的函数表达式，求其取值范围即可. (1)依题意知12e =，即2a c ＝，又2MNF 的周长为8，即2,1a c ＝＝，b ∴= 因此椭圆的方程为22143x y +=．(2)当0k =时，点,M N 为点,A B ，不符合题意，舍去；设直线l 的方程为()1y k x =+，且0k ≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()22223484120k x k x k +++-=，则2122834k x x k +=-+，212241234k x x k -=+，所以()212212134k MN x k +=-=+．设直线OP 的方程为1=-y x k，联立221431x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨设P ⎛⎝，所以OP = 故MN OP =243t k =+，()3,t ∈+∞，则MN OP=令()27103f m m m =++，110,3m t ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，()f m 开口向上，对称轴10357,m ⎛⎫⎪⎝-∉⎭=()f m ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()643,9f m ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭∴32MN OP⎛=⎝⎭．【点睛】关键点睛：（1）焦点三角形的周长为()2a c +，本题三角形周长可转化成除去2c 边的两个焦点三角形的其余边长之和；（2）设出直线l 的方程时应注意0k ≠；（3）韦达定理与弦长公式要熟练掌握；（4）两直线垂直斜率乘积为1-，几何关系应牢记；（5）表示出MNOP后，换元法求函数值域是常用方法，应注意新元的取值范围； 10．（2022·福建南平·三模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，焦距为4.过右焦点2F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，已知1△MNF的周长为M 关于x 轴的对称点为P ，直线PN 交x 轴于点Q . (1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形1MF NQ 面积的最大值.【答案】(1)2215x y +=；【分析】（1）由1△MNF 的周长求出a ，再由焦距求得c ，进而求出b ，即得椭圆C 的方程；（2）设出直线l 的方程联立椭圆方程求得1212,y y y y +，表示出直线PN 的方程求出5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，由112112MF NQ S y y FQ =-表示出面积，结合基本不等式求最大值即可. (1)1△MNF的周长为4a =a =又焦距24c =，得2c =，则1b ，所以椭圆C 的方程为2215x y +=；(2)设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，联立22215x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()225410m y my ++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122241,55m y y y y m m +=-=-++，点11(,)P x y -，直线PN 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =得()()21122112122121212222y my y my y x y x my y x y y y y y y ++++===++++2212552425m m m m -⋅+=+=+，即5,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，又()12,0F -，112112MF NQ S yy FQ=-9144==≤=m =1MF NQ 面积的最大值为958. 11．（2022·天津三中二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，其离心率12e =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且2ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图过原点的直线1l 与椭圆C 交于E ，F 两点（点E 在第一象限），过点E 作x 轴的垂线，垂足为点G ，设直线FG 与椭圆的另一个交点为H ，连接HE 得到直线2l ，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，记OFG △、OMN 的面积分别为1S ，2S ，求21S S 的最小值. 【答案】(1)22143x y +=；(2)4.【分析】（1）利用椭圆的定义可得2a =，结合条件即得；（2）设直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，利用点差法可得2221222134y y x x -=--，进而可得直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+，然后表示出1S ，2S ，再利用基本不等式即得.(1)由题知椭圆的离心率122c e ==，且2ABF 的周长为8，所以2a =，1c =, 所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；(2)令直线EF 的方程为()0y kx k =>，()11,E x y ，()11,F x y --，()22,H x y ，由EG x ⊥轴，则()1,0G x ， ∴2121HEy y k x x -=-，2121HF y y k x x +=+，则22212221HF HE y y k k x x -⋅=-，由将点E ，H 代入椭圆的方程可得：22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得：2221222134y y x x -=--，所以34HF HE k k ⋅=-，由11122HF GF y k k k x ===，所以3342HE HF k k k=-=-，所以直线HE 的方程可设为()1132y x x y k=--+，令0x =时，11113322N y x y x kx k k=+=+，令0y =时，211122133M kk x x y x ⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭，则MON △的面积为221112312232MONk S OM ON k x k ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△， OFG △的面积为211122OFG G F S x y kx ==△，则()22222222132191941224124666MON OFG k S Sk k S S k k k +⎛⎫⎛⎫===++≥⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，当且仅当62k =时取等号，所以21S S 的最小值为4. 12．（2020·河南濮阳·一模（理））如图，已知椭圆E 的右焦点为21,0F ，P ，Q 为椭圆上的两个动点，2PQF 周长的最大值为8.（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）直线l 经过2F ，交椭圆E 于点A ，B ，直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆E于点M ，N ，24MN AB =，求证：直线m 与直线l 的交点T 在定直线上.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得，2PQF 周长取最大值时，线段PQ 过点1F ，可求出a ，从而求出椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线()():10l y k x k =-≠，直线():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .把直线m 与直线l 的方程分别代入椭圆E 的方程，利用韦达定理和弦长公式求出2MN 和AB ，根据24MN AB =求出t 的值.最后直线m 与直线l 的方程联立，求两直线的交点即得结论.【详解】（Ⅰ）设2PQF 的周长为L ，则()221111224L PF QF PQ a PF a QF PQ a PF QF PQ =++=-+-+=-++44a PQ PQ a ≤-+=，当且仅当线段PQ 过点1F 时“=”成立.48a ∴=，2a ∴=，又1c =，b ∴=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（Ⅱ）若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点T 矛盾，所以直线l 的斜率存在.设()():10l y k x k =-≠，():m y k x t =-+，()11,A x y ，()22,B x y ，()33,M x y ，()44,N x y .将直线m 的方程代入椭圆方程得：()()22222348430k x k tx k t +++-=.2342834k tx x k ∴+=-+，()223424334k t x x k -⋅=+, ()()()2222222161239134k k t MN k k -+∴=+⋅+.同理，()2212134k AB k+==+. 由24MN AB =得0=t ，此时()()4222264163430k t k k t ∆=-+->.∴直线:m y kx =-，联立直线m 与直线l 的方程得11,22T k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即点T 在定直线12x =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于难题. 题型二：待定系数法求椭圆方程一、单选题 1．（2022·河北唐山·三模）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上项点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89-，则椭圆C 的长轴长为（）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n --且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=-.因为,PA PB 的斜率之积为89-，所以89n b n b m m---⋅=--，把22222a n m a b=-代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b ==所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B2．（2022·全国·模拟预测）已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点()1,0F -的直线与椭圆交于不同的两点A ，B ，与y 轴交于点C ，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）A ．22165x y +=B ．22154x y +=C ．22132x y +=D ．22143x y +=【答案】B【分析】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，易得21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得222414b a a +=，又2221c a b =-=，两式相结合即可求解【详解】不妨设A 在第一象限，由椭圆的左焦点()1,0F -，点C ，F 是线段AB 的三等分点，则C 为1AF 的中点，1F 为BC 中点，所以1A x =，所以22211A y a b +=，则2A b y a=即21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将点坐标代入椭圆方程得4222441b a a b +=，即222414b a a +=，又221a b -=，所以25a =，24b =，所以椭圆的标准方程是22154x y +=.故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()6,5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】由离心率和点()5-求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及,A B 的坐标，由点差法得到2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，结合中点坐标及斜率求得222a b =，再利用焦点坐标，即可求解.【详解】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n -=>>，则223224251m n =⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=. 故选：D. 二、多选题4．（2022·全国·模拟预测）已知直线x ＝my －1经过椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的一个焦点F ，且与C 交于不同的两点A ，B ，椭圆C 的离心率为12，则下列结论正确的有（） A ．椭圆CB ．弦AB 的最小值为3C ．存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0D ．若3AF AB =，则m = 【答案】BCD【分析】由于直线x ＝my －1经过定点()1,0-，则由题意得1c =，再由离心率为12可求出a ，从而可求出b ，则可求出椭圆方程，然后结合椭圆的性质逐个分析判断即可【详解】依题意可知，直线x ＝my －1经过定点()1,0-，所以1c =．又椭圆C 的离心率为12c a =，所以a ＝2，则b =所以椭圆C的短轴长为2b =所以A 选项不正确；当m ＝0时，弦AB 即为椭圆的一条通径，且223b AB a==，所以B 选项正确；椭圆C 的长轴长为2a ＝4，所以[)3,4AB ∈，当AB 最短时，此时点()1,0在以AB 为直径的圆外，当AB 趋近于4时，点()1,0在以AB 为直径的圆内，因此，存在实数m ，使得以AB 为直径的圆恰好过点()1,0，所以C 选项正确；由3AF AB =，得2AF FB =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y =-，联立221,1,43x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2234690m y my +--=，0∆>恒成立，则122634m y y m +=+，122934y y m -=+．因为122y y =-，所以122126,3492,34m y m y m ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪-=⎪+⎩解得255m =±，所以D 选项正确．故选：BCD ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1､F 2，长轴长为22，焦距为2c ，点P 在椭圆C 上且满足|OP |=|OF 1|=|OF 2|=c ，直线PF 2与椭圆C 交于另一个点Q ，若124cos 5FQF ∠=，点M 在圆228:9G x y +=上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的焦距为2B ．三角形MF 1F 2面积的最大值为223C ．2212||||4PF PF +=D ．圆G 在椭圆C 的内部【答案】ABCD【分析】先根据已知条件，解出椭圆C 的标准方程，再逐个验证各个选项即可. 【详解】△12F PF 中，原点O 为边12F F 中点，|OP |=|OF 1|=|OF 2|，则122F PF π∠=，设2PF m =，2QF n =，则122PF m =，122QF n =△1F PQ 中，12F PQ π∠=,14cos 5FQP ∠= 则有4522223522m n n m n +⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解之得223m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故△12F PF 为等腰直角三角形：22PF =，12PF =，122F PF π∠=故222212(2)224F F c ==+=，则1c = 又222a =，故1b =.椭圆C 的方程为2212x y +=选项A ：椭圆C 的焦距为是2，正确；选项B ：圆228:9G x y +=的半径为223r = △MF 1F 2面积的最大值为1212222233F F ⨯⨯=，正确；选项C ：222212||||224PF PF +=+=，正确；选项D ：圆G 圆心在原点，半径2213r b =<=，故圆G 在椭圆C 的内部，正确. 故选：ABCD6．（2021·重庆·高三阶段练习）某文物考察队在挖掘时，挖出了一件宋代小文物，该文物外面是红色透明蓝田玉材质，里面是一个球形绿色水晶宝珠，其轴截面（如图）由半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<组成，其中222a b c =+，0a b c >>>，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是轴截面与x ，y 轴交点，阴影部分是宝珠轴截面，其以曲线224x y +=为边界，1F ，2F 在宝珠珠面上，若10260F F F ︒∠=，则以下命题中正确的是（）A ．椭圆1CB ．椭圆1C 上的点到点0F的距离的最小值为C ．椭圆2C 的焦距为4D ．椭圆2C 的长短轴之比大于椭圆1C 的长短轴之比【答案】BC【分析】据题意可知d b =，102F F F 为正三角形，结合曲线224x y +=可求出1C 、2C 的方程，然后逐项验证即可.【详解】1F ，2F 是半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<的焦点，1F ∴，2F 关于原点对称，且2001F F F F =,又10260F F F ︒∠=，102F F F ∴为正三角形，10OF ,1F ，2F 在224x y +=上, 12OF ∴=,01OF ∴==又半椭圆1C ：22221(0)x yx a b+=≥的短轴与半椭圆2C ：22221(0)x y x c d +=<的长轴相等，即d b =，对于半椭圆1C ：22221(0)x y x a b+=≥，(22220=12b OF a ==-，对于半椭圆2C ：22221(0)x y x c d+=<，22214O d c F =-=，2222124d b a b d c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2222124d ba b b c =⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，2216a c =∴-，2216d b ==∴，212c ∴=，228a =， ∴半椭圆1C 的方程为：221(0)2816x yx +=≥，半椭圆2C 的方程为：221(0)1216x y x +=< 对于A 选项：椭圆1C的离心率为：e =，故A 选项不正确；对于B 选项：椭圆1C 上的点到0F距离为的最小值为：B 选项正确；对于C 选项：椭圆2C 的焦距为124F F =，故C 选项正确；对于D 选项：椭圆1C的长短轴之比为22a b ==2C的长短轴之比为22d c ，22234771.3 1.753324⎛⎫⎛⎫=≈<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，< ∴椭圆2C 的长短轴之比小于椭圆1C 的长短轴之比，故D 选项错误；故选：BC 三、解答题7．（2022·天津和平·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>且椭圆过点2P ⎛ ⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交直线l 于点P ，交直线2x =-于点Q ，求PQMN的最小值．【答案】(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）考虑直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况，当直线斜率不存在时，求出PQ MN，当直线斜率存在时，设出直线方程，联立后利用弦长公式求出MN ，再表达出直线PQ 的方程，表达出PQ ，用基本不等式求解最小值，与2比较大小，求出最小值. (1)由题意得：2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为2212x y +=(2)由（1）知：()1,0F ，当直线l 的斜率不存在时，()1,0P ，()2,0Q -，,1,M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，此时PQ MN== 当直线l 的斜率存在时，故可设直线为()1y k x =-，联立椭圆方程得：()2222214220k x k x k +-+-=，设()()1122,,,M x y N x y ，则22121222422,2121k k x x x x k k -+==++，其中2880k ∆=+> 所以MN = 其中()121222221ky y k x x k k -+=+-=+，所以2222,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为直线PQ 为线段MN 的垂直平分线，所以直线PQ ：222122121kk y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，令2x =-得：()225221k y k k +=+，所以PQ == 故22PQ MN===因为22231k +=+≥所以22PQ MN=≥=，=，即21,1k k ==±时等号成立，所以2PQ MN≥，2>，所以PQ MN 的最小值为2. 【点睛】圆锥曲线求解取值范围问题，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，表达出线段长或面积等，最后用基本不等式或配方，求导等求解最值或取值范围.8．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））已知椭圆()2222:10xy C a b a b+=>>的焦距为且过点⎭．(1)求椭圆C的方程；(2)设,A B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P是椭圆C上在第一象限的任意一点，直线AP与y轴交于点M，直线BP与x轴交于点N，PBM与PAN△的面积分别为12,S S，求12S S+的取值范围．【答案】(1)2214xy+=(2)[)2,+∞【解析】（1）根据题意，利用待定系数法即可求出结果；（2）设()()0000,0,0,P x y x y>>，利用点斜式求出直线AM和BN的方程，求出,M N的坐标，根据题意求出001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,，由此可知()00120000221221y xS S x yx y⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，再根据P在椭圆C上，可知220044x y+=，由此可得()()00001200000041222x y x yS S x yy x x y⎛⎫⎛⎫-+=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用基本不等式即可求出()122S S+的最小值，进而求出12S S+的范围.(2)解：设椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的焦距为2c=由题意可知:222222112ca b ca b⎧⎪=⎪-=⎨⎪⎪+=⎩，解得224=1ab⎧=⎪⎨⎪⎩，所以2214xy+=；(2)设()()0000,0,0,P x y x y>>，由题意可知()()2,0,0,1A B，所以直线AM方程为()22yy xx=--，直线BN方程为011yy xx-=+；令0x=代入直线AM方程，可得020,2yMx-⎛⎫⎪⎝⎭，令0y=代入直线MN方程，可得0,01xNy-⎛⎫⎪⎝⎭，所以001020002111=22221y xS x S yx y⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,所以()00120000221221y x S S x y x y ⎛⎫⎛⎫+=-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭又220044x y +=，所以00002222y x x y +=-，00002222x x y y +-= ()22000012000024222x x y y S S x y y x +++=-+-222200000000002444242x x y y y x x y y x ++++=-+-()0000000042422x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00000000004122x y x y x y y x x y ⎛⎫⎛⎫-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又220000444x y x y +=≥，所以001x y ≤，当且仅当002x y ==.所以()()00000012000000004142224x y x y x y S S x y y x x y y x ⎛⎫⎛⎫-+=+++≥+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当002x y ==时等号成立.所以122S S +≥，即12S S +的取值范围[)2,+∞.【点睛】关键点点睛：本题第二问解答关键是对220044x y +=变形成00002222y x x y +=-和00002222x x y y +-=，然后再对()122S S +化简整理，利用基本不等式求解，这是解决本题的关键点和突破点.9．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（理））已知()()121,0,1,0F F -是椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是Γ的上顶点.1F 到直线2PF. (1)求Γ的方程；(2)设直线:2l x =与x 轴的交点为M ，过M 的两条直线12,l l 都不垂直于y 轴，1l 与Γ交于点2,,A B l 与Γ交于点,C D ，直线,AC BD 与l 分别交于,E G 两点，求证：ME MG =.【答案】(1)2212x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意利用点到直线的距离公式求得b ，继而求得a ，可得答案. （2）设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，利用点共线表示出点,E G 的纵坐标，二者相加，进行化简，可证明结论. (1)由题意知，1c = ，P 是2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>的上顶点，∴点P 的坐标为()0,b .点2F 的坐标为()1,0,∴直线2PF 的方程为11x yb+=，即0bx y b +-=，()11,0F -到直线2PF=1,b a ∴=∴=所以Γ的方程为2212x y +=.(2)证明：直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，设()()()()()()11223344,,,,,,,,2,,2,A x y B x y C x y D x y E s G t ，设直线11221212:2,:2,,0l x k y l x k y k k k k =+=+≠≠，则1112123234242,2,2,2x k y x k y x k y x k y =+=+=+=+，联立直线1l 和曲线Γ的方程，得方程组122222x k y x y =+⎧⎨+=⎩ ，消去x 得()22112420,k y k y +++=则11212221142,22k y y y y k k +=-=++. 同理23434222242,22k y y y y k k +=-=++. ,,A C E 三点共线，()()()()1331,22EA EC x y s x y s ∴--=--∥，得()()133113132x y x y y y s x x -+-=-，()()()()()13311213113213131123112322.22x y x y k k y y k y y k y y s x x k y k y k y k y -----===-----同理()12241224k k y y t k y k y -=-.()()()121312241324121123122411231224k k y y k k y y y y y y s t k k k y k y k y k y k y k y k y k y --⎛⎫+=+=-+ ⎪----⎝⎭()()()()()1312242411231211231224y y k y k y y y k y k y k k k y k y k y k y -+-=---()()()()()12112342341211231224k k k y y y y k y y y y k y k y k y k y -⎡⎤=+-+⎣⎦-- ()()()1221122222112312241221442202222k k k k k k k y k y k y k y k k k k ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪--++++⎝⎭⎝⎭⎣⎦ME MG ∴=.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，解决问题的思路要通畅，及联立直线和椭圆方程，求得点的坐标，通过两点的纵坐标之和为0，证明线段相等，解答的关键是关于关于所设字母的运算十分繁杂，要十分细心.10．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右顶点分别为A ，B ，坐标原点O 与A 点关于直线l ：2x =-对称，l 与椭圆第二象限的交点为C ，且1AC OC ⋅=-.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过A ，O 两点的圆Q 与l 交于M ，N 两点，直线BM ，BN 分别交椭圆C 于异于B 的E ，F 两点.求证：直线EF 恒过定点.【答案】(1)221164x y +=(2)20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）先求出4a =，设()2,C n -，利用向量数量积求出n =(C -代入椭圆中，求出24b =，得到椭圆方程；（2）先根据OM ON ⊥得到19BM BN k k ⋅=-，进而设出直线方程()4x my t t =+≠，联立后得到两根之和，两根之积，利用1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--及19BM BN k k ⋅=-求出2013t =-，得到定点坐标. (1)点O 与A 关于直线2x =-对称，可知()4,0A -，故点()4,0B ，4a =，由题意可设()2,C n -，0n >，于是()()22,2,41AC OC n n n ⋅=⋅-=-=-，解得：n =将(C -代入椭圆方程中，243116b+=，解得：24b =，所以椭圆方程为221164x y +=(2)证明：()4,0A -，()4,0B ，直线l ：2x =-，由题意得：圆心在直线l ：2x =-上，设()()2,,2,M N M y N y --，且OM ON ⊥，所以40M N OM ON y y ⋅=+=，故4M N y y =-，则12424369N M N M BM BN y y y y k k ⋅=⋅==-----，设直线EF ：()4x my t t =+≠，()()1122,,,E x y F x y ，由221164x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：()22242160m y mty t +++-=，则2121222216,44mt t y y y y m m --+==++， ()12122824t x x m y y t m +=++=+，()()22121224164t m x x my t my t m -=++=+，所以1212,44BE BM BF BN y y k k k k x x ====--，则()212122221212121644416164321664y y y y t x x x x x x m t t m -⋅==---++-+-++ 22161432649t t t -==--+，即21332800t t --=，解得：4t =（舍去）或2013t =-，所以直线EF 为：2013x my =-，恒过定点20,013⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】圆锥曲线中直线过定点问题，设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，由题干条件得到方程，求出定值. 题型三：直接法解决离心率问题一、单选题1．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知12,F F 是椭圆221(1)1x y m m m +=>-的左､右焦点，点A 是椭圆上的一个动点，若12AF F △）A1 B ．12CD1【答案】B【分析】依题意可得2a ，2b ，2c ，设12AF F △内切圆的半径为r，根据等面积法得到|A r y ，即可得到r 的最大值，从而求出m ，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：由椭圆221(1)1x y m m m +=>-，可得2a m =，21b m =-，2221c a b ∴=-=，则1c =，如图，设12AF F △内切圆的半径为r ，1212121211||||(||||||)22AF F A SF F y AF AF F F r =⋅=++⋅， 2||(22)A c y a c r ∴⋅=+⋅，则|1A m r y +，要使12AF F △内切圆半径最大，则需||A y 最大，||1A y b m =-又12AF F △3311m m -=+4m =，所以2a =．则椭圆的离心率12c e a == 故选：B ．2．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））一个底面半径为1，高为3的圆柱形容器内装有体积为2π的液体，当容器倾斜且其中液体体积不变时，液面与容器壁的截口曲线是椭圆，则该椭圆离心率的取值范围是（） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎝⎦D ．2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【分析】先判断出临界情况下，椭圆2a AB =，22b r =，即可求出椭圆离心率的取值范围.【详解】当液面倾斜至如图所示位置时，设AC x =，3MA x =-.因为圆柱底面积为π，故液体体积为()1322x x πππ-+=，解得2x =，即1MA =， 2AC BC ==，故22AB =，所以2a AB ≤，22b r =，即2,1a b ≤=，所以离心率221c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即椭圆离心率的取值范围是2⎛ ⎝⎦.故选：C 二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（） A ．椭圆C 的离心率为12 B ．12PF PF ⋅的最大值为4 C ．12PF F △的面积可能为2 D ．2PQ PF -的最小值为256【答案】ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，3b =1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，3b =1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值123322⨯⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()21114424256PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．三、填空题4．（2022·浙江温州·三模）如图，椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>和2222222:1x y C a b +=在相同的焦点1F ，2F ，离心率分别为12,e e ，B 为椭圆1C 的上顶点，21F P F B ⊥，且垂足P 在椭圆2C 上，则12e e 的最大值是___________.【答案】122【分析】首先分别表示出12,e e ，设12PF F θ∠=，将12ee 表示成关于θ的三角函数，然后求其最值即可. 【详解】由图知12121122122,2c OF c c OF e e a BF a a PF PF =====+，则112212e PF PF e BF +=，设1212,2PF F F F c θ∠==，则1212(sin cos ),cos cPF PF c BF θθθ+=⋅+=，则()122112sin cos cos 242e e πθθθθ+⎛⎫=+⋅++≤ ⎪⎝⎭24πθ=时等号可取到.122.5．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））如图，1F ，2F 是椭圆1C 与双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点，若112OF AB =，且16OF B π∠=，则1C 与2C 的离心率之积为_____.【答案】2【分析】根据已知条件结合椭圆的对称性可求出1AF c =，23AF c =，再根据椭圆和双曲线的定义以及离心率公式求出离心率即可求解.【详解】解：连接22,AF BF ，根据椭圆的对称性可知：点O 是AB 的中点，所以，四边形12AF BF 为平行四边形，若112OF AB =，所以1OF OA OB c ===，因为16OF B π∠=，所以1π3AOF ∠=，所以1AOF △是等边三角形，所以11AF OF c ==，1π3AFO ∠=，12AF B π∠=，所以，四边形12AF BF 为矩形，所以，在直角三角形1ABF 中，()22123BF c c c =-=，所以，213AF BF c ==，在椭圆中，12132AF AF c c a +==，可得1131c e a ==+在双曲线中，21232AF AF c c a -=-=，可得2231c e a ==-所以离心率之积1223131e e ==+-，故答案为：2.四、解答题6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e ，斜率为e 且过点()0,Pa 的直线l 与x 轴交于点Q(1)证明：直线l 与椭圆相切(2)记在（1）中的切点为S ，过点S 且与l 垂直的直线交y 轴于点T ，记POQ △的面积为1,S PQT 的面积为2S ，若1234S S =，求椭圆的离心率【答案】(1)证明见解析；3【分析】（1）根据直线的点斜式方程与椭圆方程联立，结合一元二次方程根的判别式、椭圆的离心率公式进行求解即可；（2）根据（1）的结论，结合一元二次方程根与系数关系、三角形的面积公式、椭圆的离心率公式进行求解即可. (1)由已知，:l y ex a =+．令l 与椭圆方程222222b x a y a b +=联立，经过整理，得到()2222342220b a e x a ex a a b +++-=，所以()()()()6222242224222442222222222Δ4444a e b a e a a b a a e b a b a e a b e a b a b a e =-+-=-+-+=-++()222222222222440c a b a b a a b a b c a ⎛⎫=-++⋅=-++= ⎪⎝⎭，所以直线l 与椭圆相切．(2)由（1），有322222S a ex b a e=-+，所以3222222s a e a c x c b a e b c =-=-=-++，所以22S S c b y ex a ec a a a a =+=-+=-+=，所以2,b S c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为ST l ⊥，所以1STk e =-，所以()21:b ST y x c a e -=-+．令0x =，得到2b cy a e-=-，所。

高中数学椭圆题型完美归纳(经典)

椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c ) .2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0） 12222=+bx a y （a ＞b ＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为221(0,0)mx ny m n +=>>不必考虑焦点位置，求出方程。

3.范围. 椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 围成的矩形里．|x|≤a ，|y|≤b ． 4.椭圆的对称性椭圆是关于y 轴、x 轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 5.顶点椭圆有四个顶点：A 1(－a , 0)、A 2(a , 0)、B 1(0, －b )、B 2(0, b )．线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。

长轴的长等于2a . 短轴的长等于2b .|B 1F 1|＝|B 1F 2|＝|B 2F 1|＝|B 2F 2|＝a ．在Rt △OB 2F 2中，|OF 2|2＝|B 2F 2|2－|OB 2|2，即c 2＝a 2－b 2．6.离心率7.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

(完整word版)椭圆高考典型题型整理(word文档良心出品)

椭圆高考典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；例2. 方程2x =+所表示的曲线是练习：1.6=对应的图形是（）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是（）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.10=成立的充要条件是（）A.2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 221925x y +=4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于；6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例1.方程2211625x y +=的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆22221x y a b+=共焦点的椭圆可设其方程为222221()x y k b a k b k +=>-++；（四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB =的点，求点P 的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题例1. 已知椭圆2211625x y +=上一点P 的纵坐标为53，椭圆的上下两个焦点分别为2F 、1F ，求1PF 、2PF 及12cos F PF ∠；例2.题型四.椭圆的几何性质例 1.已知P 是椭圆22221x y a b +=上的点，的纵坐标为53，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则12PF PF 的最大值与最小值之差为例 2.椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的四个顶点为,,,A B C D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆22114x y k +=+的离心率为12，则k = ；例 4.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且01215PF F ∠=，02175PF F ∠=，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程22221(1)x y m m +=-表示准线平行于x 轴的椭圆，求实数m 的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1. 方程2x y =++所表示的曲线是例2.求经过点(1,2)M ，以y 轴为准线，离心率为12的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆221259x y +=上有一点P ，它到左准线的距离等于52，那么P 到右焦点的距离为例4．已知椭圆13422=+y x ，能否在此椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点12,F F 距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。

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例5．已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标．题型七.求离心率例1. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点为1(,0)F c -，(,0)A a -，(0,)B b 是两个顶点，如果1F 到直线AB 的，则椭圆的离心率e = 例2.若P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 、2F 为其两个焦点，且12PF F α∠=，212PF F α∠=，则椭圆的离心率为例3. 1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为；题型八.椭圆参数方程的应用例1. 椭圆22143x y +=上的点P 到直线270x y -+=的距离最大时，点P 的坐标例2.方程22sin cos 1x y αα-=(0απ<<)表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1. 当m 为何值时，直线:l y x m =+与椭圆22916144x y +=相切、相交、相离？例2.曲线2222x y +=例3.过点)0 ,3(-P 分析：的斜率一定要存在，3-=my x 了运算。

解：设11(,),(A x y B )(3|)||(|3||||21||||21212121y y y y y OP y OP S AOB -=+=⋅+⋅=∆ 把3-=my x 代入椭圆方程得：0124)332(3222=-++-y my y m ，即0336)43(22=--+my y m ，4336221+=+m m y y ，433221+-=m y y 481444314312)43(108||22222221++=+++=-x m m m m y y 3)13(133443133443394222222+++⋅=++⋅=++=m m m m m m 23234133133422=≤+++=m m m∴3223=⨯≤S ，此时1331322+=+m m 36±=m令直线的倾角为α，则tan2α==±即OAB ∆面积的最大值为3，此时直线倾斜角的正切值为26±。

例4.求直线cos sin 2x y θθ+=和椭圆2236x y +=有公共点时，θ的取值范围(0)θπ≤≤。

（二）弦长问题例1.已知椭圆22212x y +=，A 是x 轴正方向上的一定点，若过点A ，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为3134，求点A 的坐标。

分析：若直线y kx b =+与圆锥曲线(,)0f x y =相交于两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，则弦PQ 的长度的计算公式为||11||1||212212y y kx x k PQ -+=-+=，而21221214)(||x x x x x x -+=-，因此只要把直线y kx b =+的方程代入圆锥曲线(,)0f x y =方程，消去y（或x ），结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。

解：设0(,0)A x （00x >），则直线l 的方程为0y x x =-，设直线l 与椭圆相交于11(,)P x y 、22(,)Q x y ，由022212y x x x y =-⎧⎨+=⎩，可得2200342120x x x x -+-=， 34021xx x =+，3122221-=⋅x x x ，则 20202021221212363234889164)(||x x x x x x x x x -=--=-+=-∴||13144212x x x -⋅+=，即2023********x -⋅⋅= ∴204x =，又00x >，∴02x =，∴(2,0)A ；例2.椭圆221ax by +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，C 是AB 的中点，若22||=AB ，O 为坐标原点，OC 的斜率为22，求,a b 的值。

例3.椭圆1204522=+y x 的焦点分别是1F 和2F ，过中心O 作直线与椭圆交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，求直线方程。

（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆221164x y +=，过点(2,0)P 能否作直线l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ；例2.已知一直线与椭圆224936x y +=相交于,A B 两点，弦AB 的中点坐标为(1,1)M ，求直线AB 的方程；例3. 椭圆E 中心在原点O ，焦点在x 轴上，其离心率32=e ,过点(1,0)C -的直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，且C 分有向线段AB 的比为2.（1）用直线l 的斜率(0)k k ≠表示OAB ∆的面积；（2）当OAB ∆的面积最大时，求椭圆E 的方程．解：（1）设椭圆E 的方程为12222=+by a x ，由23c e a ==，∴a 2=3b 2故椭圆方程22233x y b +=；设1122(,),(,)A x y B x y ，由于点(1,0)C -分有向线段AB 的比为2．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+0321322121y y x x ，即⎩⎨⎧-=+-=+21212)1(21y y x x由⎩⎨⎧+==+)1(33222x k y b y x 消去y 整理并化简得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2－3b 2=0 由直线l 与椭圆E 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>-+-=13331360)23)(13(4362222122212224k b k x x k k x x b k k k Δ ③④ ⑤而122222211333|||2||||(1)||||1|22222OAB S y y y y y k x k x ∆=-=--==+=+ ⑥ 由①④得:222131x k +=-+，代入⑥得：23||(0)31OAB k S k k ∆=≠+.（2）因23||313123||||OAB k S k k k ∆==≤=++, 当且仅当,33±=k OAB S ∆取得最大值．此时121x x +=-，又∵12213x x +=-，∴121,2x x =-=-；将12,x x 及213k =代入⑤得3b 2=5，∴椭圆方程2235x y +=．例4.已知11022(,),(1,),(,)A x y B y C x y 是椭圆22143x y +=上的三点，F 为椭圆的左焦点，且,,AF BF CF 成等差数列，则AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。