一个新的不等式及其应用

文 章编号 ：１０ — ８ １（ ０２）０— ０２ ０ ０７ ９ ３ ２ １ ２ ０２ —２
一
个新 的不等式及其应用
余保 民
（ 渭南师范学院 数学与信息科学学院，陕西 渭南 ７４０ １０ ０）
摘要 ：给出并证明了一个新的不等式 Ｉ １ ） ｎ ＋ 似 ，其 中： ＞ ＞ 是常数．利用得到的新 （ ０； １ 不等式，给 出了一个函数列积分极限的结果． 关键词：不等式；积分 ； 限 极 中图分类 号 ：０ ７ 文献 标 识码 ：Ａ １８ ｄ ｉ ０３６／ｉｎ１０ － ８ ２ １． ． ８ ｏ：１．９９ ．ｓ． ７ ９３ ． ２０ ０ ｊｓ ０ １０ ２ ０
。 。
收 稿 日期 ：２ １－ ０ １ ０ １ １－ ０
基金项 目：渭南市科技计划资助项 目 （０ Ｋ 一 ；渭南师范学院科研基金资助项目 （ Ｋ ０５ ２ １Ｙ Ｊ２） １ １Ｙ Ｆ １ ） １ 作者简介：余保民 （ ９ ３ １７一），男，陕西富平人 ，讲师，硕士，从事算子理论与小波分析研究．Ｅ ｍ ｒ ｕ ｍ ｎ ． ｕｃ － ａ ：ｙｂ ＠ｗ ｕ ｄ． ｌ ｅ ｎ
【】 ｄｎ ． Ｒ ａ ａｄＣ ｍ ｌｘ ｎ ｌ ｉ【 ． ３ｄｅ ． Ｂ ｉｎ ：Ｃ ｉａ ｃ ｉｅ ｒｓ，２ ０ ５ Ｒｕｉ Ｗ ｅｌ ｎ ｏ ｐｅ ａ ｓ Ｍ】 ｒ Ａ ｙｓ ｄ ｅ ｉｇ ｈｎ ｈｎ ｅｓ ０ ４ ｊ Ｍａ Ｐ
１ 一个新 的不等式及其证 明
引理 １ 当Ｘ ０ ，１ ＜ １ ，其 中： ＞ 是常数． ＞ 时 ＋ （＋ ） １ 证明 设 ｆ ｘ ＝（＋ ） Ｘ （ ＞ ．由于 ，（） （＋ 一 （） １ 一 ０） ＝ａ １ ） 锨 ＞ ，所以 ｆｘ 在 ［，０上单调 ０ （） ０ ０ ） 递增．因此当 ＞ 时 ，ｆ ｘ ＝（＋ ） ＞ｆ Ｏ ＝ ，即 １ ＜ １ ０ （） １ 一 （） １ ＋ （＋ ） 定理 １ 设 ≥ 是 常数 ， １ 则对任意的Ｘ ０，ｌ（＋ ） 织 ． ＞ ｎ１ ≤ 证明 当 ＝ 时， １ 易知 ｌ １ Ｘ ｎ ＋） （
第２ 期
余保 民 ： 一个新 的不等式及其应用
引 设。数对意＞ｎｎ＂ ｉａ 理 是 ，于的。｝－Ｊ ＜ ４ ＞常则任 ， ＋ Ｏ ， ＜． —（ ＝ ａ ｏ ｚ Ｉ 证由（）ｃ 所 ｎ ＝Ｏ ． 明于＋～ 以 ］ｎ ｉａ ｈ薯薯 （ ＝ ・ － 十 ＜
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Ｋｅ ｏ ｄ ： ｉｅ ｕ ｌ ｙ ｉｔｇａ ； ｌ ｔ ｙｗ ｒ ｓ ｎ ｑ ａｉ ； ｎｅ ｒｌ ｉ ｔ ｍｉ
Ａ ｓ ａｔ ａｅ ｎ ｒ ｅ ｎ ｗｉｅｕ ｌｙｎ１ 缎 ， ｈ ｒ Ｘ＞０， ＞１ ｎ ａ ｉａ ｏｓ ｎ．Ｂ ｓｄｏ ｉ ｂ ｔ ｃ：Ｇ ｖ ｄ ｏ ｄａ ｅ ｑ ａ ｔｌ（＋Ｘ ） ｒ ａ ｐ ｖ ｎ ｉ ｗ ｅｅ ａｄ ｃｎｔ ｔ ａｅ ｎｔ ｓ ｓ ａ ｈ
［ 卜Ｊ ＋ ）≥ ［ 卜∞ 此。＜ … ［ 『 ・ ＝因 ＜一 十 （ ． 卜￡ ＋ Ｒ （ （ ｍ ｌ ｉ ． 当 时 ［ ）一 ， １ ＋ 卜 （
当 时 ，由推 论 可知 ， ｎ
［ 根 ｂ 控 敛 ， ・ ］ ． ｓ 制 定 有 ＋ ｃ 据ｅ 收 理 （ ） ｅ
（： ２ ， ， ｆ ｘ 『 （ ｘ ｎ１， …）且 Ｒ ） ＝Ｒ ． ，３ （ｄ ） ，ｄ ｄ 引 （ａｕ 理） 设 是 的 列 负 测 数 则Ｌｌｆ ｘ Ｉ ｘ 理３Ｆ。引 ｛｝ Ｒ上 一 非 可 函 ， ．）＜ Ｒ ） ・ ｔ ～ ｄｉ ｉ （ ｔ （ ｍ ｍ
Ａ ｅ ｅ ｕ ｌ ｙａ ｄｉ ｐ ｌ ａｉｎ ｎ ｗ ｉ ｑ ａｉ ｎ ｓ ｐ ｉ ｔ ｎ ｔ ｔａ ｃ ｏ
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（ ｃｏｌｆ ｔｅ ａｉ ｄ ｎｏ ｔｎＳｉ ｃ，ＷｅｎｎＮ ｒ ａＵ ｉ ｒｉ ，Ｗｅｎｎ７４０ ，Ｃ ｉ ） ＳｈｏｏＭａ ｍ ｔｓ ｎ ｆｒ ｉ ｅ ｅ ｈ ｃ ａ Ｉ ｍａｏ ｃ ｎ ｉａ ｏｍ ｌ ｎｖ ｓｙ ｅ ｔ ｉ １０ ０ ｈｎ ａ ａ
ｉ
—
设 ｛ 是 Ｒ 上的一列可测 函数 ，对任意的 ∈ ， ｝ Ｒ
ｍ ． ） ， 如 在Ｆ∈ ｌ ， 得ｌ（ｌＦ ） ， １ ，， ∈ ， ， ∈Ｉ ｆ（ ＝ （ ． 果存 ＬＲ） 使 － （ （ ＝， ３…， Ｒ ）则 ， ＬＲ ） （ ） ｌ ２ （
州 ） ｏａ ＋ （ Ｈ ＜ Ｏ
证明 由 ｆ ｘｄ ＝Ｃ＞ｏ （） ｘ 可知 ，存在可测集 Ｅｃ Ｒ ，ｍ ０，使得当 ∈ Ｅ＞ Ｅ时 ，厂 ＞ ． （） ０
当Ｏ ＜
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…
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ｎ ｆ ”卜．，ａ理 ， Ｉ ｌ 因由 可有 ∞１ Ｊ 此 Ｆ 知 ＋ 、 （ ） ｔ
似 ．
证毕．
． ＞ 时， 当 １ 由引理 １ 可知 ， ｎ１ ｌ １ ） ｌ（＋ ） ｌ ＋Ｘ ） ｎ ＋ ＝ ｎ１ Ｘ （ （
证毕 ．
推论 １ 设 ≥ 是常数 ，则对任意的Ｘ ０ １ ＞ 和正整数 ｎ，ｎｎ１ Ｘ ， ≤锻 ． ｌ ＋ ｌ （ ）
２ 应用
引理 ２（ ｅｅｇ ຫໍສະໝຸດ Baidu控制收敛定理 ） Ｌｂ ｓｕ
第 ３ 卷 第 ２ ２ 期
２１ ０ ２芷
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ Ｕ ｇ ｎ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ｌ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏ ｅ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｎ ｏＳ Ｔ ｔ
Ｖｏ ． ２ Ｎｏ． １３ ２
３月
Ｍａ ． ２ ２ ｒ ０１
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证毕．
『 Ｒ 州 ： 十 ． 』 ＋ Ｒ 蚓 ４ 时 Ｌ［ 卜 － 时 Ｌ［ ＝ 理 当 ， ＋ ＝ ｃ ， ＋ ｌ ｎ １ Ｌ ； Ｉ ｎ １
『（ ＝． Ｒｋ ０ ｌ ｘ
综 Ｌ［ ）＝Ｏ＜ 上 ＋ ｉａ 虢 １ 卜 Ｉ ｌ ＝ ＜．
参 考文 献 ：
【 华东师范大学数学系．数学分析 （ １ 】 上册 ）Ｍ ．３ 【】 版．北 京 ：高等教育 出版社 ，２０ ０２ 【】曹怀信．实变函数引论【 ．西安 ：陕西师范大学出版社 ，２ １ ２ ００ ［ 程其襄 ，张奠宙 ，魏国强 ，等．实变函数与泛函分析基础【 】 ３ 】 Ｍ．北京 ：高等教育 出版社 ， ０２ ２０ ［ 周民强．实变函数论［】 ４ ］ Ｍ ．北京 ：北京大学出版社 ，２０ ０８