3.4基本不等式(全)

点评:可以用基本不等式来求某些函数的最值, 但要注意基本不等式的适用范围，一般 要点明等号成立的条件.
练习：
4 例3、求 y 2 3 x 的最小值.（其中x 1） x 1
2 3 当且仅当x = 1 + 时, ymin = 4 3 + 5 3
x2 变式1 :已知x > 1, 求y = 的最小值. x- 1
点评: 利用均值定理建立 ab的不等式。
1 1 k 变式已知 . a > 0, b > 0, 且 + + ? 0恒成立， a b a+ b 试求实数k的最小值。
1 1 例7.若正数x, y满足3x + y = 1, 求 + 的最小值。 x y
x , y为正数得 1＝3 x y 2 错 解：由
问题引入:
1.设a , b R , 则a b 与2ab的大 小关 系如 何 ? 它们 能成 立相 等关 系吗 ? 如果 能 ," " 号 成
2 2
立的 条件 是什 么 ? 结论 : a 2 b 2 2ab ,当且仅当 a b时 , 等号成立 . 2.上 述 结 论 中 , 如 果a 0 , b 0 , 用 a , b分 别
a b
点评 :" 两数为正数" 的前提下 : 积定 , 和最小 , 和定 , 积最大 .
“一正、二定、三相等”
基本不等式的应用:
例5.已知0 ＃x
2, 求x (2 - x)的最大值。
5 变式1.已知0 < x < , 如何求x (5 - 2 x)的最大值？ 2 2 y 变式2.设正数x, y满足x 2 + = 1, 则 2
2 3 1 1 1 1 2 2 x y x y xy 故 xy 1
等号当且仅当3 x = y 时成立。
3x y
2 1
4 3
2 3 1 1 的最小值为 4 3. x y 1 1
x 故两个等号不能同时成立。
等号当且仅当

y
即 x = y 时成立。
基本不等式的应用:
2
1 ? （ 2 a a
0）
a b 3） + ? （ 2 ab b a
0）等等。
基本不等式的应用:
1 例2.x＞0，求 x + 的最小值 x
1 变式一：x＜0，求x + 的最大值 x
3 变式二:设0＜x≤1，求函数 y x x
的最小值
3 变式三:设x≥5，求函数 y x x 的最小值
ab 而半径为 CD ab 2
基本不等式的应用:
例1.已知 : a , b , c , d都是正数 ,
2 2 2
求证 : ab cd ac bd 4abcd
练习: 证明a b c ab bc ca.
点评：可以用基本不等式来证明其它不等 式，但要注意基本不等式的适用范围，一 般要点明等号成立的条件。
1 1 例7.若正数x, y满足3x + y = 1, 求 + 的最小值。 x y
点评:1.利用两次均值定理求最值时,一定要注意
等号的传递性,即两个等号成立的条件一
定要一致。
2.最简单的解法数“1”的替代。
1 9 变式.若正数x, y满足 + = 1, 求x + y的最小值。 x y
基本不等式的应用:
不小于它们的几何平均 数 . ab 4几何解释 : 圆的半径长 不 2 小于半弦长 ab .
ab ab的几何解释 : 2
D
如图AB是圆的直径， ab 在直径AB上取一点C，A a C b B 使AC=a，CB=b，过C 作弦DEAB，连AD、 E BD，你能利用这个图 形得出上述不等式的几 2 何解释吗？ CD AC CB CD ab
基本不等式的应用:
例8.甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶 到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小 时的运输成本由可变部分和固定部分组成：可变 部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系 数为b，固定部分为a元。 （1）把全程运输成本y表示为速度v的函数，并 指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大 速度行驶？
点评：为凑积为定值, 技巧: ①添项 ②拆项
x 3x 1 变式2：若x 3,函数y ， x 3 当x为何值时，函数有最值 ，并求其最值
2
x 3 思考：若x 3, 函数y 2 ， x 3x 1 当x为何值时，函数有最值，并求其最值
基本不等式的应用:
已知 x , y 都是正数：
x? 1
y 2的最大值为 ______ .
1 , 如何求 ( x + 3)(1- x)的最大值 ? 2
点评：为凑和为定值，技巧：添系数！
变式3.已知0 ＃x
点评：应用均值定理得最值时,等号必须成立.
基本不等式的应用:
例6.已知a > 0, b > 0, 且3ab = a + b + 1, 试求y = ab和z = a + b的取值范围。
例6.（1）用篱笆围成一个面积为 100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短， 最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m篱笆围成一个矩形菜园，问这个 矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大 的面积是多少？ 例 7. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容 积为4800m，深为3m，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水 池能使总造价最低，最低总造价是多少？
小结: 1.基本不等式:
ab 若a , b R , 则 ab 1 1 2 a b 当且仅当 " a b" 时 , 等 号 成 立 . 2
2.基本不等式应用:
a 2 b2 . 2
（1）证明不等式：适用范围，等号成立条件； （2）求函数最值：“一正、二定、三相等”
2取" " 的条件 : a b .
知识要点: ab 定 理2 对 任 意 a ,b R ,有 ab , 2 当且仅当 a b时 , 等 号 成 立 .
说明 : 1适用范围 : a , b R ;
2取" " 的条件 : a b . 3语言描述 : 两个正数的算术平均数
ab 结论 : ab , a 0 , b 0 当且仅当 a b时 , 2 等号成立 .
代 替a , b能 得 到 什 么 结 果 ?你能证明吗 ?
Hale Waihona Puke Baidu
知识要点:
定理1 对任意 a , b R , 有a b 2ab, 当且仅当 a b时 , 等号成立 .
2 2
说明 : 1适用范围 : a , b R ;
基本不等式的应用:
例4.根据条件, 求下列式子的最值, 要求指明是 最大还是最小值, 并指出何时取到最值？
(1)若x > 0, y > 0且xy = 2, 求x + y的最值. (2)若x, y为正数且x + 2 y = 8,
求 log 2 x + log 2 y的最值.
(3)若a + b = - 1, 求3 + 3 的最值.
（1）如果积 xy 是定值P , 那么当 x = y 时,
和 x + y 有最小值 2 p ；
（2）如果和 x + y 是定值S , 那么当 x = y 时, 1 2 积 xy 有最大值 S . 4 结论 :" 两数为正数" 的前提下 : 积定 , 和最小 , 和定 , 积最大 .
“一正二定三相等”
基本不等式的推广:
ab 若a , b R , 则 ab 1 1 2 a b 当且仅当 " a b" 时 , 等 号 成 立 .

2
a b . 2
2 2
即，两个正数的调和平均数小于等于几何平均 数小于等于算术平均数小于等于平方平均数。
骣 a + b÷ ç 公式变形 :1)ab ? ç , 2)a ÷ ÷ ç 桫2