2020-2021学年人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除-教案(9)
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》是学生在学习了二次根式的性质和运算律的基础上进行的一个章节。
此章节主要介绍了二次根式的乘除运算法则，通过实例展示了如何进行二次根式的乘除运算。
教材通过引导学生自主探究和合作交流，让学生在理解的基础上掌握二次根式的乘除法，提高学生的数学运算能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了二次根式的性质，能够进行二次根式的化简，同时也具备了一定的运算律知识。
但学生在进行二次根式的乘除运算时，可能会对如何正确去括号、如何正确处理根号下的乘除法运算存在困惑。
因此，在教学过程中，需要针对这些困惑进行讲解和练习。
三. 教学目标1.理解二次根式的乘除运算法则。
2.能够正确进行二次根式的乘除运算。
3.提高学生的数学运算能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的乘除运算法则。
2.如何正确去括号和处理根号下的乘除法运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究和合作交流。
2.通过具体实例，让学生在实际操作中理解和掌握二次根式的乘除运算法则。
3.运用归纳总结法，帮助学生梳理和巩固所学知识。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示一些实际问题，引导学生思考如何运用二次根式的乘除运算法则进行解答。
例如，计算下列式子：√2 × √8；√36 ÷ √4；√(25 × 3)。
2.呈现（10分钟）通过PPT课件，展示二次根式的乘除运算法则，并对运算法则进行解释和讲解。
强调在乘除运算中，如何正确去括号和处理根号下的乘除法运算。
3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，每组选取一道练习题进行解答，并展示解题过程。
选取的练习题包括：√25 × √16；√(16 ÷ 4)；√(25 × 16)。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，教师进行个别指导和讲解。
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案
16．2 二次根式的乘除（2）教学内容： b ab a =反之ba b a =（a ≥0,b >0），利用它就可以进行二次 教学目标1.知识技能：（1）.会进行简单的二次根式的除法运算．（2）.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．2. 数学思考：在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.3. 解决问题：引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．4. 情感态度：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.教学重难点关键重点：会利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简，会进行简单的二次根式的除法运算.难点：二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用． 教学方法 1. 讨论分析法. 2. 类比法. 3. 逆向思维法. 4. 练习法. 教学过程 二、课前复习1.请同学们回忆ab b a =⋅ (a ≥0，b ≥0)是如何得到的?2.计算：()()0,04912.12>>⨯y x x xy ()322112.2⨯⨯()()()6416.3-⨯- ()()0,0,09.4432>>>c b a c b a三、探索新知1.（学生活动）请同学们完成下列各题：计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?（1=________；（2；32____32(3)52___522.例题讲评()()18123232414÷，：计算例()61521123÷3.请你动手试一试计算下列各式：a38a3413÷）（xyaby x b a 205)2(32÷xyx 33218)3(3÷a b ab 363)4(÷例5：化简1003)1(2775)2( ()29253y x 4.最简二次根式:（1）.被开方数不含分母;（2）.被开方数不含能开得尽方的因数或因式.例：指出下列各式中的最简二次根式xb )1(32)2(ab3.0)3(ab 5.0)4(()525a 23)6(22)7(b a +x x x 96)8(23++5.相信自己，你能行！化简下列各式：)0x 94.12>（x nm 389.2755.3a b 24918.4xy a6.大显身手应用拓展=，且x为偶数，求（1+x 的值．分析：，只有a ≥0，b>0时才能成立．因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩∴6<x ≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x ）=（1+x ）=（1+x ）∴当x=8时，原式的值=6．四、归纳小结1.a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用．2.最简二次根式:（1）被开方数不含分母;（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式. 五、布置作业 计算:（1）218； （2）102175÷； (3) a b a 2112532÷； (4) 31501000m m.。
人教版八年级下册16.2二次根式的乘除教学设计
人教版八年级下册16.2二次根式的乘除教学设计教学目标1.理解二次根式的乘法和除法的概念。
2.掌握二次根式的乘法规则和除法规则。
3.能够灵活运用二次根式的乘法和除法解决实际问题。
教学内容1.二次根式的乘法。
2.二次根式的除法。
教学步骤步骤一：导入新知识1.导入新知识，引出本节课将要学习的内容——二次根式的乘法和除法。
2.明确学习目标，告知学生学习这节课的目标是什么。
步骤二：讲解二次根式的乘法1.介绍二次根式的乘法概念。
2.通过例题解释二次根式的乘法规则：两个二次根式相乘时，先将根号内的数相乘，然后再将根号外的系数相乘，最后将两者相乘即可。
3.给出几个练习题让学生练习。
步骤三：讲解二次根式的除法1.介绍二次根式的除法概念。
2.通过例题解释二次根式的除法规则：两个二次根式相除时，先将被除数和除数的根号内的数相除，并将商化成最简根式，然后将被除数和除数的根号外的系数相除，最后将两者相除即可。
3.给出几个练习题让学生练习。
步骤四：深入训练1.教师布置一些练习题，要求学生根据所学知识进行解答。
2.学生自主解答并交作业。
步骤五：拓展思考1.通过讨论，引出二次根式在实际问题中的应用。
2.提出几个实际问题，并让学生尝试利用所学知识解决问题。
步骤六：课堂小结1.教师对本节课所学的知识点进行总结、归纳。
2.强调学习重点和难点，并提醒学生平时要多多练习。
教学评估1.观察学生上课表现，包括听讲情况、提问回答情况等。
2.收集学生课堂练习的错题，并进行分析、解析。
参考文献人教版八年级数学下册，ppt课件，各类习题集。
人教版八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案
1.教学重点
a.掌握二次根式的乘法法则：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a \geq 0$，$b \geq 0$）
b.掌握二次根式的除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a \geq 0$，$b > 0$）
五、教学反思
在今天的教学中，我们探讨了二次根式的乘除运算。通过这节课的学习，我发现学生们在理解乘除法则和应用这些法则解决实际问题时，普遍存在一些挑战。首先，学生们在从理论到实际应用的转换上存在一定的难度。他们能够理解乘法法则和除法法则的概念，但在将法则应用到具体题目中时，往往不知道如何下手。
例如，在计算$\sqrt{12} \times \sqrt{18}$时，部分学生未能首先将根式化简，而是直接相乘，导致计算错误。这让我意识到，在讲解乘除法则时，需要更加强调化简的步骤，让学生形成自动化的解题流程。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次根式乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次根式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
d.了解二次根式乘除运算在实际问题中的应用。
教学内容涵盖以下例题与练习：
1.计算下列二次根式的乘积：
$\sqrt{3} \times \sqrt{5}$，$2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}$，$5\sqrt{2} \times \sqrt{18}$
人教初中数学八年级下册16-2二次根式的乘除教案
16.2二次根式的乘除【内容出处】§16.2二次根式的乘除。
人教版数学八年级下第十六章，P6-P11。
（2课时）【课标要求】本节内容是在学习了二次根式的概念、性质的基础上进一步学习二次根式的乘法与除法，掌握二次根式的运算和化简，同时也为后面学习二次根式的加、减法等运算做准备。
通过对二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。
【学习目标】1.学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算。
2.会进行简单的二次根式的乘法运算。
3.掌握二次根式的除法法则，二次根式的除法法则和二次根式的化简。
4.理解最简二次根式的概念。
5.通过对二次根式的计算和化简，使学生产生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧。
【教学重点】二次根式的运算和化简、二次根式的除法法则、最简二次根式【教学难点】二次根式的除法法则【评价任务】完成探究1、探究2，例6、例7。
合作完成例1、例2、例3、例4、例5.独立完成练习1、练习2。
【学习过程】资源与建议1.本节内容是在学生了解了二次根式的意义、基本概念、性质的前提下，学习二次根式乘除运算及二次根式的化简，并且能够用二次根式解决生活中的问题。
同时，为下一节二次根式的加减的学习打下基础。
2.本主题的学习按以下流程进行：乘法运算法则→除法运算法则→化简→应用3.本主题的重点是二次根式的乘法、除法运算和化简。
难点是二次根式的乘法、除法运算公式的双向使用。
一、复习上节课内容，激发学习兴趣复习二次根式的意义，二次根式也是实数，那么，这类实数如何进行运算呢？二、探究问题，发现规律探究：（1）√4×√9=√4×9=（2）√16×√25=√16×25=（3）√25×√36=√25×36=总结：一般地，二次根式的乘法法则是√a∙√b=√ab（a≥0，b≥0）三、小组合作，加深理解例1计算：（1）√3×√5=（2）√13×√27=思考：把√a∙√b=√ab反过来，得到√ab=√a∙√b（a≥0，b≥0），利用它我们是否可以进行二次根式的化简？例2化简：（1）√16×81=（2）√4a2b3=解：（1）√16×81=√16×√81=4×9=36（2）√4a2b3=√4∙√a2∙√b3=2∙a∙√b2∙b=2a∙√b2∙√b=2ab√b 被开方数4a2b3含4，a2，b3这样的因式或因数，它们被开方后可以移到根号外，是开得尽方的因式或因数。
2020—2021年最新人教版初中数学八年级下册16.2二次根式的乘除(2)教案(教学设计).doc
课题16.2二次根式的乘除（2）学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。
问题导学1、计算：（1）38×（-46）（2）3612abab2、填空：（1）916=____，916=____；规律：916______916；（2）1636=____，1636=____；1636______1636；（3）416=____，416=____；416_______416；（4）3681=____，3681=___．3681_______3681．探究研学一般地，二次根式的除法法则是：ab=ab（a≥0，b>0）（利用它可以进行二次根式的）反过来，a b=a b（a ≥0，b>0）（利用它可以进行二次根式的 ）1、计算：（1）243（2）648（3）31218÷ （4）11416÷2、化简： （1）364（2）7527 （3）459（4）2964x y学以致用展示提升（质疑点拨） 阅读下列运算过程：1333333==⨯，225255555==⨯ 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。
利用上述方法化简：（1）26（2）132（3）112（4）1025（5）35（6）3227（7）82a（8）41525观察上面各题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．；2．．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．梳理归纳达标检测1、选择题（1）计算112121335÷÷的结果是（2）化简3227-的结果是2、计算：（1）482 （2） xx 823 （3）16141（4）2964xy3、用两种方法计算： （1）648（2）346。
最新人教版八年级数学下册十六章二次根式16.2二次根式的乘除教学设计
16．2 二次根式的乘除第一课时教学内容二次根式的乘法法则以及二次根式的乘法法则的逆用教学目标理解·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出=·（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：·＝（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出·＝（a≥0，b≥0）．关键：要讲清（a<0,b<0）=，如=或==×．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）×=_______，=______；（2）×=_______，=________．（3）×=________，=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．×_____，×_____，×________2．观察计算结果，你能发现什么规律？老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）选三个小组里面的一名同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数． 一般地，对二次根式的乘法规定为·＝．（a ≥0，b ≥0）反过来: =·（a ≥0，b ≥0）例1．计算（1）× （2）× （3）× （4）×分析：直接利用·＝（a ≥0，b ≥0）计算即可．解：（1）×=（2）×==（3）×==9（4）×==例2 化简（1） （2） （3）（4） （5） （6）32b a 4 分析：利用=·（a ≥0，b ≥0）直接化简即可．各小组四号完成上面的题目，然后教师进行点评三、展示交流（1）完成例3计算（学生练习，老师点评）利用乘法的交换律和结合律，将两个系数和两个二次根式分别相乘，同时注意符号四、堂清巩固判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）（2）×=4××=4×=4=8完成书上的练习题1和2五、课堂小结本节课应掌握：（1）·＝=（a≥0，b≥0），=·（a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P7练习题3习题16.2第1题6题2.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16．2 二次根式的乘除（1）（1）·＝=（a≥0，b≥0）（2）=·（a≥0，b≥0）．八、课后回顾16．2 二次根式的乘除第二课时教学内容二次根式除法法则和除法法则的逆用教学目标理解=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1．重点：理解=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）=________，=_________；（2）=________，=________；（3）=________，=_________；（4）=________，=________．规律：______；______；_______；_______．3．观察计算结果，你能发现什么规律？每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：=（a≥0，b>0），反过来，=（a≥0，b>0）下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．完成例4并计算：（1）（2）（3）（4）完成例5．并化简：（1）（2）（3）（4）分析：直接利用=（a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．三、展示交流 例6 计算： （1)53（注意本题可以有不同的解法，解法2采用分母有理化的方法） （2)2723 （3）a28四、堂清巩固例7 设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为a ，b ，已知S=32，b=10，求a 完成习题16.2的第10题11题五、课堂小结本节课要掌握=（a ≥0，b>0）和=（a ≥0，b>0）及其运用．六、布置作业1．教材P 10 练习题 习题16．2 4、5、7、11． 拓展题12题2.课后作业:《练习册》中的相关内容 七、板书设计16．2 二次根式的乘除（2）（1）=（a ≥0，b>0）（2）=（a ≥0，b>0）八、课后回顾第二课时作业设计一、选择题1．计算的结果是（ ）．A ．B ．C ．D ．2．阅读下列运算过程：，数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是（）．A．2 B．6 C． D．二、填空题1．分母有理化:(1)=_________;(2)=________;(3)=______.2．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题1．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3cm的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？2．计算（1）·（-）÷（m>0，n>0）（2）-3÷（）×（a>0）答案:一、1．A 2．C二、1．(1) ;(2);(3)2．三、1．设：矩形房梁的宽为x（cm），则长为xcm，依题意，得：（x）2+x2=（3）2，4x2=9×15，x=（cm），x·x=x2=（cm2）．2．（1）原式＝-÷=-=-=-（2）原式=-2=-2=-a16.2 二次根式的乘除(3)第三课时教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1），（2），（3）老师点评：=，=，=2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．它们的比是．二、探索新知再观察例4例5和例6中各小题的最终结果，可以发现哪些特点？观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．=.例1．(1); (2); (3)三、展示交流教材P14练习2、3四、堂清巩固例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：==-1，==-，同理可得：=-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……）（+1）的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．解：原式=（-1+-+-+……+-）×（+1）=（-1）（+1）=2002-1=2001五、课堂小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、布置作业1．教材P15习题16．2 相关习题．2.课后作业:《练习册》中的相关内容七、板书设计16．2 二次根式的乘除（3）最简二次根式八、课后回顾第三课时作业设计一、选择题1．如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．A．（y>0） B．（y>0） C．（y>0） D．以上都不对 2．把（a-1）中根号外的（a-1）移入根号内得（）．A． B． C．- D．-3．在下列各式中，化简正确的是（）A．=3 B．=±C．=a2 D．=x4．化简的结果是（）A．- B．- C．- D．-二、填空题1．化简=_________．（x≥0）2．a化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a为实数，化简：-a，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-a=a-a·=（a-1）2．若x、y为实数，且y=，求的值．答案:一、1．C 2．D 2.C 4.C二、1．x 2．-三、1．不正确，正确解答：因为，所以a<0，原式＝-a·=·-a·=-a+=(1-a)2．∵∴x-4=0，∴x=±2，但∵x+2≠0，∴x=2，y=∴.。
最新人教版初中数学八年级下册 16.2 二次根式的乘除教案
二次根式的乘除教案总序号：4 时间：教学内容 a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 教学目标理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）．关键：要讲清ab （a<0,b<0）=a b ，如(2)(3)-⨯-=(2)(3)--⨯--或(2)(3)-⨯-=23⨯=2×3．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）4×9=_______，49⨯=______；（2）16×25=_______，1625⨯=________．（3）100×36=________，10036⨯=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空． 4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×36________10036⨯2．利用计算器计算填空（1）2×3______6，（2）2×5______10，（3）5×6______30，（4）4×5______20，（5）7×10______70．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为 a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）例1．计算 （1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 （4）12×6 分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可．解：（1）5×7=35 （2）13×9=193⨯=3 （3）9×27=292793⨯=⨯=93（4）12×6=162⨯=3 例2 化简（1）916⨯ （2）1681⨯ （3）81100⨯ （4）229x y （5）54分析：利用ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）直接化简即可．解：（1）916⨯=9×16=3×4=12（2）1681⨯=16×81=4×9=36（3）81100⨯=81×100=9×10=90（4）229x y =23×22x y =23×2x ×2y =3xy（5）54=96⨯=23×6=36 三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）① 16×8 ②36×210 ③5a ·15ay(2) 化简: 20; 18; 24; 54; 2212a b教材P 11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49-⨯-=-⨯-（2）12425×25=4×1225×25=41225×25=412=83 解：（1）不正确．改正：(4)(9)-⨯-=49⨯＝4×9=2×3=6（2）不正确． 改正：12425×25=11225×25=1122525⨯=112=167⨯＝47 五、归纳小结本节课应掌握：（1）a ·b ＝ab =（a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P 11 1，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．化简a 1a-的结果是（ ）． A ．a - B ．a C ．-a - D ．-a2．等式2111x x x +-=-成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-13．下列各等式成立的是（ ）．A ．45×25=8 5B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206二、填空题1．1014=_______．2．自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）223=223+ 验证：223=22×23=2223⨯=332(22)233-+= =3222222222(21)221212121--+=+----=223+ （2）338=338+ 验证：338=23×38=338=3233331-+- =222223(31)33(31)3313131-+-=+---=338+ 同理可得：44441515=+ 55552424=+，…… 通过上述探究你能猜测出： a21a a -=_______（a>0）,并验证你的结论． 答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1．136 2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x ，则x 2×10=30×30×20，x 2=30×30×2， x=3030⨯×2=302．2． a 21a a -=21a a a +- 验证：a 21a a -=322211a a a a a ⨯=--=33222111a a a a a aa a a-+-=+---=222(1)11a a aa a-+--=21aaa+-.。
八年级数学下册 16.2 二次根式的乘除教案 新人教版(2021学年)
八年级数学下册1６．2 二次根式的乘除教案(新版)新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（八年级数学下册１６.2 二次根式的乘除教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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16。
2二次根式的乘除一、教学目标1。
理解• = (a≥0，b≥0)，=• （a≥0,ｂ≥0）,并利用它们进行计算和化简;2。
理解= （ａ≥0，b>0)和=(a≥0,b〉0）及利用它们进行计算；３。
了解最简二次根式的概念。
二、课时安排１课时三、教学重点１.•＝(a≥０,b≥0),=•(a≥0，b≥０)及它们的运用。
2。
理解= (ａ≥0,b>０)和=（a≥０,b〉0）及利用它们进行计算。
四、教学难点发现规律，导出•＝(a≥０,b≥0)。
发现规律,归纳出二次根式的除法规定五、教学过程(一)新课导入上节课我们学习了什么是二次根式以及二次根式的特点,现在,我们一起来复习一下这些基本的知识吧。
(引导学生复习基本知识）二次根式的特点及性质。
在有理数的运算中，我们学习了加、减、乘、除四则运算，那么，在我们学习了二次根式之后，大家有没有考虑过，两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始。
(二）讲授新课二次根式的乘法：【探究】现在,大家来看一下课本的探究内容，研究一下二次根式的乘法吧．课本Ｐ6探究内容。
从刚刚的结果中,我们可以看到，分别有这样的等式，×=,×=，×=。
大家能用字母表示你所发现的规律吗?（学生讨论回答)将字母表示规律，就得到二次根式的乘法法则：一般地,对二次根式的乘法规定为a·b=ab.（a≥0,ｂ≥０)从这个乘法法则中，我们需要知道:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。
八年级数学下册16.2二次根式的乘除教案(人教版)【DOC范文整理】
八年级数学下册16.2二次根式的乘除教案（人教版）．2二次根式的乘除教学内容：•＝，反之=•及其运用．教学目标知识与技能目标：理解•＝，=•，并利用它们进行计算和化简过程与方法目标：由具体数据，发现规律，导出•＝并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出=•并运用它进行解题和化简．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重难点关键重点：•＝，=•及它们的运用．难点：发现规律，导出•＝．关键：要讲清=，如=或==×．教法：1、引导发现法:通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与算术平方根的乘法进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的乘法法则，形成有效的学习策略。
阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT，展台。
课时安排：1课时。
教学过程一、复习引入请同学完成下列各题．．填空×=_______，=______；×=_______，=________．×=________，=_______．参考上面的结果，用“>、0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6>0，即6<x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6<x≤9∵x为偶数∴x=8∴原式====∴当x=8时，原式的值==6．四、归纳小结本节课要掌握=和=及其运用．五、布置作业一、选择题．计算的结果是．A．B．c．D．．阅读下列运算过程：数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，那么，化简的结果是．A．2B．6c．D．二、填空题．分母有理化:=_________;=________;=______.．已知x=3，y=4，z=5，那么的最后结果是_______．三、综合提高题．有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为：1，•现用直径为3c的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？．计算•÷-3÷×答案:一、1．A2．c二、1．;;2．三、1．设：矩形房梁的宽为x，则长为xc，依题意，得：2+x2=2，x2=9×15，x=，x•x=x2=．．原式＝-÷=-=-=-原式=-2=-2=-a板书设计：．2二次根式的乘除情境引入例2学生板演=，反过来=例3例1练习小结2二次根式的乘除教学内容:最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标知识与技能目标：理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．过程与方法目标：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．重难点关键．重点：最简二次根式的运用．．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教法：1、引导发现法:通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
【人教版八年级下册】《16.2 二次根式的乘除(第2课时)》教案教学设计
16.2 二次根式的乘除第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会进行简单的二次根式的除法运算.2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.【情感态度与价值观】在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.【教学难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-3）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为d=8√ℎ5.问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即ℎ5=20时，他看到的水平线的距离d1是多少？学生答：d1=8√20=16√5问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即ℎ5=40时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？学生答：d1=8√40=16√10问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解：d2d1=√1016√5教师提出问题：乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？（二）探索新知1.探究二次根式的除法（出示课件5） 教师依次出示下列问题： 计算下列各式：（1）√4√9=___÷___=__;√49=_____;（2）√16√25=___÷___=__;√1625=______;（3）√36√49=___÷___=__;√3649=_______;学生依次解答如下：学生1答：（1）√4√9=2÷3=23;√49=23;学生2答：（2）√16√25=4÷5=45;√1625=45;学生3答：（3）√36√49=6÷7=67;√3649=67;教师问： 观察两者有什么关系？出示课件6： 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： 依次展示学生答案： 学生1答：（1）√4√9=√49;学生2答：（2）√16√25=√1625;学生3答：（3）√36√49=√3649.教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式√a√b的结果吗？（出示课件7）学生回答：√a√b =√ab.教师问：在前面发现的规律√a√b =√ab中，a,b的取值范围有没有限制呢？学生讨论回答：a≥0，b＞0师生一起归纳总结：（出示课件8）二次根式的除法法则:√a √b =√ab（a≥0，b＞0）教师问：你能利用文字描述二次根式的除法法则吗？学生答：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.教师追问：当二次根式根号外的因数(式)不为1时，如何处理呢？学生答：类比单项式除以单项式法则进行化简.教师总结如下：文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得√an√b =mn√ab（a≥0，b＞0,n≠0）考点1：利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式计算：（出示课件9） （1）√24√3;（2）√32÷√118;师生共同讨论解答如下： 解：（1）√24√3=√243=√8=2√2;（2）√32÷√118=√32÷118=√32×18=√3×9=3√3;教师追问：像（2）除式中有分数或分式时，如何化简呢？ 学生答：先要转化为乘法再进行运算.出示课件10，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式计算: （出示课件11）（1）√425√6;（2）2√112÷12√16;学生独立思考后，师生共同解答. 解：（1）√425√6 =35√426=35√7;（2）2√112÷12√16=（2÷12）√32÷16=（2×2）√32×6=4√9=12;教师问：类似（2）中被开方数中含有带分数的怎样计算呢？ 学生答：应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.出示课件12，学生自主练习后口答，教师订正.2.探究商的算术平方根的性质从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式：（1）√49=√4√9;（2）√1625=√16√25;（3）√3649=√36√49.教师问：通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式√ab的结果吗？学生回答:√ab =√a√b.教师问：在前面发现的规律√ab =√a√b中，a,b的取值范围有没有限制呢？学生回答：a≥0，b＞0师生一起归纳总结：（出示课件13）二次根式的商的算术平方根的性质:√a b =√a√b（a≥0，b＞0）教师问：你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗？学生答:商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.考点1：商的算术平方根的性质的应用 化简:（出示课件14-15） （1）√3100 ;（2）√7527; （3）√279;（4）√8125x2(x>0); （5）√0.09×1690.64×196.学生独立思考后，师生共同解答. 展示学生答案如下： 学生1解：（1）√3100=√3√100 =√310; 学生2解：（2）√7527=√52×3√32×3=√52√32=53;学生3补充解法：√7527=√75√27 =√33√3=53.学生4解：（3）√279=√259=√25√9=53; 学生5解：（4）√8125x2==√92√（5x ）=95x;学生6解：（5）√0.09×1690.64×196=√0.32× 132√0.82×142=0.3×130.8×14=39112.教师问：像（5）可以如何计算的呢？学生答：可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.出示课件16，学生自主练习，教师给出答案。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除优秀教学案例
1.通过探究二次根式的乘除运算，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
2.运用小组合作、讨论交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.引导学生运用数形结合的方法，通过图形直观地理解二次根式的乘除运算。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，激发学生学习数学的内在动力。
针对以上问题，我制定了以下教学策略，以提高学生的学习效果和解决问题的能力。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次根式的乘除法则，能够正确进行二次根式的乘除运算。
2.掌握二次根式的性质和化简方法，能够将二次根式进行化简。
3.能够运用二次根式的乘除运算解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
2.二次根式的化简方法：引导学生总结二次根式的化简方法，掌握提取公因数、应用平方差公式等技巧，提高解题效率。
3.实际问题解决：引导学生总结如何运用二次根式的乘除运算解决实际问题，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
（五）作业小结
1.布置作业：设计具有针对性和实践性的作业，让学生巩固和应用所学知识，提高学生的实际操作能力。
2.培养学生勇于探索、坚持不懈的学习精神，培养学生的自主学习能力。
3.通过对实际问题的解决，让学生体验到数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识和社会责任感。
作为一名特级教师，我深知教学目标的重要性，它不仅是教学活动的出发点和归宿，也是评价教学效果的重要依据。在教学过程中，我将紧紧围绕以上教学目标，采用多种教学方法和手段，引导学生积极参与，主动探究，使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学下册第十六章二次根式二次根式的乘除教案新人教版
16．2 二次根式的乘除教学内容 a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），反之ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用． 教学目标 理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）并运用它进行计算；•利用逆向思维，得出ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）．关键：要讲清ab （a<0,b<0）=a b ，如(2)(3)-⨯-=(2)(3)--⨯--或(2)(3)-⨯-=23⨯=2×3．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1）4×9=_______，49⨯=______；（2）16×25=_______，1625⨯=________．（3）100×36=________，10036⨯=_______．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．4×9_____49⨯，16×25_____1625⨯，100×36________10036⨯2．利用计算器计算填空（1）2×3______6，（2）2×5______10，（3）5×6______30，（4）4×5______20，（5）7×10______70．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为 a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0） 反过来: ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）例1．计算（1）5×7 （2）×9 （3）9×27 （4）×6分析：直接利用a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0）计算即可．解：（1）5×7=35（2）×9==3（3）9×27=292793⨯=⨯=93（4）×6==3例2 化简（1）916⨯ （2）1681⨯ （3）81100⨯（4） （5）54分析：利用ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）直接化简即可．解：（1）916⨯=9×16=3×4=12（2）1681⨯=16×81=4×9=36（3）81100⨯=81×100=9×10=90（4）=23×=23×2x ×=3xy（5）54=96⨯=23×6=36三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）① 16×8 ②36×210 ③5a ·(2) 化简: 20; 18; 24; 54; 2212a b教材P 11练习全部四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49-⨯-=-⨯- （2）×25=4××25=4×25=412=83解：（1）不正确．改正：(4)(9)-⨯-=49⨯＝4×9=2×3=6（2）不正确．改正：×25=×25==112=167⨯＝47五、归纳小结本节课应掌握：（1）a ·b ＝ab =（a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）及其运用．六、布置作业1．课本P 11 1，4，5，6．（1）（2）．2．选用课时作业设计．第一课时作业设计一、选择题1．化简a 的结果是（ ）．A ．a -B ．aC ．-a -D ．-a2．等式2111x x x +-=-成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-13．下列各等式成立的是（ ）．A ．45×25=8 5B ．53×42=205C ．43×32=75D ．53×42=206二、填空题1．1014=_______．2．自由落体的公式为S=gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________．三、综合提高题1．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水例入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？2．探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2=验证：2=22×====（2）3=验证：3=23×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出： a=_______（a>0）,并验证你的结论．答案:一、1．B 2．C 3.A 4.D二、1．136 2．12s三、1．设：底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，×2=302．x=30302． a=验证：a====.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，△ABC中，AC＝BC，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点E，F．点D为AB边的中点，点M为EF上一动点，若AB＝4，△ABC的面积是16，则△ADM周长的最小值为（）A．20 B．16 C．12 D．10【答案】D【分析】连接CD，CM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BA边的中点，故CD⊥BA，再根据三角形的面积公式求出CD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，故CD的长为AM＋MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接CD，CM．∵△ABC是等腰三角形，点D是BA边的中点，∴CD⊥BA，∴S△ABC＝12BA•CD＝12×4×CD＝16，解得CD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点A关于直线EF的对称点为点C，∴MA＝MC，∵CD≤CM+MD，∴CD的长为AM+MD的最小值，∴△ADM的周长最短＝（AM+MD）+AD＝CD+12BA＝8+12×4＝8+2＝1．故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称−最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．2．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，则等腰三角形顶角的度数是（）A ．140B ．20或80C ．44或80D ．140或44或80【答案】D 【分析】设另一个角是x ，表示出一个角是2x-20°，然后分①x 是顶角，2x-20°是底角，②x 是底角，2x-20°是顶角，③x 与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x ，表示出一个角是2x-20°，①x 是顶角，2x-20°是底角时，x+2（2x-20°）=180°，解得x=44°，∴顶角是44°；②x 是底角，2x-20°是顶角时，2x+（2x-20°）=180°，解得x=50°，∴顶角是2×50°-20°=80°；③x 与2x-20°都是底角时，x=2x-20°，解得x=20°，∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．3．下列方程是二元一次方程的是（ ）A ．2y xy -+=B ．3115x x -=C ．32x y =+D ．2612x y -= 【答案】C【分析】根据二元一次方程的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、2y xy -+=是二元二次方程，故本选项错误；B 、3115x x -=是一元一次方程，故本选项错误；C 、32x y =+是二元一次方程，故本选项正确；D 、不是整式方程，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．4．若()()221x y x ky +--的结果中不含xy 项，则k 的值为（ ）A ．2B ．－4C ．0D ．4【答案】D【分析】由()()221x y x ky +--的结果中不含xy 项，可知，结果中的xy 项系数为0，进而即可求出答案．【详解】∵()()221x y x ky +--=222422x kxy x xy ky y --+--=222(4)22x k xy ky x y +----，又∵()()221x y x ky +--的结果中不含xy 项，∴1-k=0，解得：k=1．故选D ．【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法法则，利用法则求出结果，是解题的关键．5．下列坐标点在第四象限内的是( )A ．(1，2)B ．(﹣1，﹣2)C ．(﹣1，2)D ．(1，﹣2) 【答案】D【分析】根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．【详解】解：由第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得在第四象限内的是（1，-2）， 故选：D ．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记各象限内点的坐标特征是解题的关键．6．甲、乙两名运动员同时从A 地出发到B 地，在直线公路上进行骑自行车训练.如图，反映了甲、乙两名自行车运动员在公路上进行训练时的行驶路程S (千米)与行驶时间t (小时)之间的关系，下列四种说法：①甲的速度为40千米/小时；②乙的速度始终为50千米/小时；③行驶1小时时，乙在甲前10千米；④甲、乙两名运动员相距5千米时，t =0.5或t =2或t =5.其中正确的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】 ①甲的速度为120÷3=40，即可求解；②t ≤1时，乙的速度为50÷1=50，t ＞1后，乙的速度为(120-50)÷(3-1)=35，即可求解；③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，即可求解；④甲的函数表达式为：40y x =，乙的函数表达式为：01t ≤≤时，50y x =，1t >时，3515y x =+，即可求解．【详解】①甲的速度为120÷3=40(千米/小时)，故正确；②1t ≤时，乙的速度为50÷1=50(千米/小时)，1t >后，乙的速度为(120-50)÷(3-1)=35(千米/小时)，故错误；③行驶1小时时，甲走了40千米，乙走了50千米，乙在甲前10千米处，故正确；④由①②③得：甲的函数表达式为：40y x =，乙的函数表达式为：当01t ≤≤时，50y x =，当1t >时，3515y x =+，当01t ≤≤时，50405t t -=，解得0.5t =(小时)；当13t <≤时，3515405t t +-=，解得2t =(小时)；当3t >时，()4035155t t -+=，解得4t =(小时)；∴甲、乙两名运动员相距5千米时，0.5t =或2或4小时，故错误；综上，①③正确，共2个，故选：B ．【点睛】本题为一次函数应用题，考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：根据速度=路程÷时间求出速度；待定系数法求函数解析式；找出各线段所对应的函数表达式做差解方程．7．下列运算正确的是A ．532b b b ÷=B ．527()b b =C ．248·b b b =D ．2·22a a b a ab -=+（） 【答案】A【解析】选项A ， 532b b b ÷=，正确；选项B ， ()25b =10b ，错误；选项C ， 24·b b =6b ，错误；选项D ， 2·22a a b a ab -=-，错误.故选A.8．在钝角三角形ABC 中，C ∠为钝角，10AC =，6BC =，AB x =，则x 的取值范围是（ ） A ．416x <<B ．1016x <<C ．416x <≤D ．1016x <≤ 【答案】B【分析】由三角形的三边关系可知x 的取值范围，又因为x 是钝角所对的边，应为最长，故可知1016x <<．【详解】解：由三边关系可知416x <<，又∵C ∠为钝角，∴C ∠的对边为AB ，应为最长边，∴1016x <<，故选B ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，同时应注意角越大，所对边越长，理解三角形的边角之间的不等关系是解题的关键． 9．已知11x y -=5，则分式2x 3xy 2y x 2xy y+---的值为（ ） A ．1B ．5C ．137D ．133【答案】A 【分析】由11x y-=5，得x ﹣y ＝﹣5xy ，进而代入求值，即可． 【详解】∵11x y-=5， ∴y x xy-=5，即x ﹣y ＝﹣5xy ， ∴原式()2x y 3xy 10xy 3xy x y 2xy 5xy 2xy -+-+===----1，故选：A ．【点睛】本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，是解题的关键． 10．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码39 40 41 42 43 平均每天销售数量（件） 10 12 20 1212 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）A ．平均数B ．方差C ．众数D ．中位数【答案】C【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数．【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．故选：C ．【点睛】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO 的边CO ，OA 分别在x 轴，y 轴上，点E 在边BC 上，将该长方形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的点F 处，若8OA =，4CF =，则AE 所在直线的表达式为__________．【答案】182y x =+ 【分析】设CE=a ，根据勾股定理可以得到CE 、OF 的长度，再根据点E 在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．然后利用待定系数法求出AE 所在直线的解析式．【详解】解：设CE=a ，则BE=8-a ，由折叠的性质可得：EF=BE=8-a ，AB=AF∵∠ECF=90°，CF=4，∴a 2+42=（8-a ）2，解得，a=3，∴OE=3设OF=b，则OC=AB=AF=4+b∵∠ACF=90°，OA=8，∴b2+82=（b+4）2，∴b=6，∴OF=6∴OC=CF+OF=10，∴点E的坐标为（-10，3），设AE所在直线的解析式为y=kx+b（k≠0）．将E（-10，3），A（0，8）代入y=kx+b得1038k bb-+=⎧⎨=⎩，解得128kb⎧=⎪⎨⎪=⎩∴AE所在直线的解析式为：182y x=+故答案为：182y x=+【点睛】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．123=，且01x<<______．．【分析】，再把它们相乘得到1xx-，再对原式进行变形凑出1xx-的形式进行计算．3=，∴221239xx=++==，∴17xx+=，∴212725xx=-+=-=，∵01x <<，=，∴1x x =-=-∴原式===．故答案是：12．【点睛】本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．13|4|0x y +-=，则y-x=_________【答案】840x y +-=，4x y +-=0,∴x+2=0,x+y -4=0,∴x=-2,y=6,∴y -x=6-(-2)=8.故答案是：8.14．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为_____．【答案】11cm 或7.5cm【解析】试题解析：：①11cm 是腰长时，腰长为11cm ，②11cm 是底边时，腰长=12（26-11）=7.5cm ，所以，腰长是11cm 或7.5cm ．15．如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD CD =，25BAD ∠=︒，则C ∠的度数为______°.【答案】65【分析】根据等腰三角形的三线合一求出∠ADB=90°，进而求出∠B的度数，根据等边对等角求出∠C的度数.【详解】∵AB=AC，BD=CD∴AD⊥BC∴∠ADB=90°∵∠BAD=25°∴∠B=90°-∠BAD=65°∴∠C=∠B=65°故答案为：65【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及直角三角形的两个锐角互余，掌握等腰三角形的性质及直角三角形的性质是关键.16．平面直角坐标系中，与点（4，-3）关于x轴对称的点是______．【答案】（4，3）．【解析】试题分析：由关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，-y），可得：与点（4，-3）关于x轴对称的点是（4，3）．考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．17．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A = 70°时，则∠BPC的度数为________．【答案】125°【详解】∵△ABC中,∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−70°=110°∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，∴∠2+∠4=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°=55°∴∠P=180°−(∠2+∠4)=180°−55°=125°故答案为125°.三、解答题18．如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F为BC中点，连接AE．（1）直接写出∠BAE的度数为；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．【答案】（1）90°；（2）AF∥EC，见解析【分析】（1）分别利用等边三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠BAC，∠CAE的度数，然后利用∠BAE ＝∠BAC+∠CAE即可解决问题；（2）根据等边三角形的性质有AF⊥BC，然后利用等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出，∠BCE＝90°则有EC⊥BC，再根据垂直于同一条直线的两直线平行即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵EA＝EC，∠AEC＝120°，∴EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．故答案为90°．（2）结论：AF∥EC．理由：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC，∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥EC．【点睛】本题主要考查等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理，掌握等边三角形和等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形内角和定理是解题的关键．19．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，且∠ABC+∠ADC ＝180°．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若∠ADF ：∠FDC ＝3：2，DF ⊥AC ，求∠BDF 的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠BDF ＝18°．【分析】（1）先证明四边形ABCD 是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论；（2）求出∠FDC 的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO ，然后得到OD=OC ，得到∠CDO ，即可求出∠BDF 的度数.【详解】（1）证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC+∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC ＝90°，∠ADF ：∠FDC ＝3：2，∴∠FDC ＝36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°﹣36°＝54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴CO ＝OD ，∴∠ODC ＝∠DCO ＝54°，∴∠BDF ＝∠ODC ﹣∠FDC ＝18°．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键.注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形.20．如图，在ADF ∆与CBE ∆中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上,已知//AD BC ,AD CB =,B D ∠=∠,求证:AE CF =.【答案】证明见解析【分析】先通过△ADF ≌△CBE ，证明AF=EC ，再证明AE=CF ．【详解】证明：//AD BC ，A C ∴∠=∠，在ADF ∆和CBE ∆中，A C AD BC DB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ADF CBE ∴∆≅∆（ASA ），AF CE ∴=∴-=-AF EF CF EFAE CF ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于基础题．21．如图，90BAD ∠=︒，AB AC =，AC 的垂直平分线交BC 于D ，（1）求BAC ∠的度数；（2）若10AB =，103BC =ABD ∆的周长．【答案】（1）120°（2）10+103【分析】（1）根据等腰三角形性质和线段垂直平分线性质及三角形内角和求出∠CAD=30°，从而求出∠BAC 的度数.（2）根据垂直平分线的性质可知DA=DC ，所以△ABD 的周长=AB+BD+DC=AB+BC.【详解】解：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C∵AC 的垂直平分线交BC 于D∴DC=DA∴∠C=∠DAC∴∠B=∠C=∠DAC∵∠B+∠C+∠DAC+∠BAD=180°即3∠DAC+90°=180°∴∠DAC=30°∴∠BAC=∠DAC+∠BAD=30°+90°=120°（2）∵AC 的垂直平分线交BC 于D∴DC=DA∵△ABD 的周长=AB+BD+DA∴△ABD 的周长=AB+BD+DC=AB+BC=10+故答案为（1）120°（2）10+【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，综合性比较强.等腰三角形的性质：等腰对等底；线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；三角形内角和是180°.22．在平面直角坐标系xOy 中，点A （t ﹣1，1）与点B 关于过点（t ，0）且垂直于x 轴的直线对称． （1）以AB 为底边作等腰三角形ABC ，①当t ＝2时，点B 的坐标为 ；②当t ＝0.5且直线AC 经过原点O 时，点C 与x 轴的距离为 ；③若ABC 上所有点到y 轴的距离都不小于1，则t 的取值范围是 ．（2）以AB 为斜边作等腰直角三角形ABD ，直线m 过点（0，b ）且与x 轴平行，若直线m 上存在点P ，ABD△上存在点K ，满足PK ＝1，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）①（3，1）；② 1；③ 2t ≥ 或2t ≤- ；（2）当点D 在AB 上方时，若直线m 上存在点P ，ABD △上存在点K ，满足PK ＝1，则03b ≤≤；当点D 在AB 下方时，若直线m 上存在点P ，ABD △上存在点K ，满足PK ＝1，则12b -≤≤．或1 3.b -≤≤【分析】（1）①根据A ，B 关于直线x ＝2对称解决问题即可．②求出直线OA 与直线x ＝0.5的交点C 的坐标即可判断．③由题意()()1,1,1,1A t B t -+，根据△ABC 上所有点到y 轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题． （2）由题意AB ＝()()112t t +--=，由△ABD 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，推出点D 到AB 的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，当2,t = 11,t -=∴ A （1，1），A ，B 关于直线x ＝2对称，∴B （3，1）．故答案为（3，1）．②如图2中，当0.5,10.5,1 1.5,t t t =∴-=-+=∴ A （﹣0.5，1），()1.5,1B ，直线l ：x ＝0.5，设AO 为y kx =，0.51,k ∴-=2,k ∴=- C 在AO 上，∴ 直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ，∴C （0.5，﹣1），∴点C 到x 轴的距离为1，故答案为1．③由题意()()1,1,1,1A t B t -+，∵ABC 上所有点到y 轴的距离都不小于1，∴t ﹣1≥1或t+1≤﹣1，解得2t ≥或2t ≤-．故答案为：2t ≥或2t ≤-．（2）如图3中，∵()()1,1,1,1A t B t -+，∴AB ＝()()112,t t +--=∵ABD △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，∴点D 到AB 的距离为1，∴当点D 在AB 上方时，若直线m 上存在点P ，ABD △上存在点K ，满足PK ＝1，则03b ≤≤． 当点D 在AB 下方时，若直线m 上存在点P ，ABD △上存在点K ，满足PK ＝1，则12b -≤≤． 综上：b 的取值范围是：1 3.b -≤≤【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数根据不等式解决问题．23．已知a+b=2，求（11a b+）•2()4ab a b ab -+的值． 【答案】12【分析】首先把该分式进行化简，把括号里面的分式进行通分，然后把括号外面的分母由完全平方差和完全平方和的互化公式22()4()a b ab a b -+=+，可把分母化成2()a b +，最后进行相同因式的约分得到化简结果，再把2a b +=整体代入求值.【详解】解:原式=21()a b ab ab a b a b +⋅=++（） 当2a b +=时原式=112a b =+ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，化简过程需要用到通分约分，通分时要找准最简公分母，约分时先把分子分母因式分解，得到各个因式乘积的形式，再找相同的因式进行约分得到最简分式.代入求值时，要有整体代入的思维.24．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x 2﹣4x+1）（x 2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y 2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x 2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ； （3）请你用换元法对多项式（x 2+2x ）（x 2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C ；（2）（x ﹣2）1；（3）（x+1）1．【解析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C ；（2）（x 2﹣1x+1）（x 2﹣1x+7）+9，设x 2﹣1x=y ，则：原式=（y+1）（y+7）+9=y 2+8y+16=（y+1）2=（x 2﹣1x+1）2=（x ﹣2）1．故答案为：（x ﹣2）1；（3）设x 2+2x=y ，原式=y （y+2）+1=y 2+2y+1=（y+1）2=（x 2+2x+1）2=（x+1）1．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 25．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，请用尺规在BC 上作一点D ，使得直线AD 平分ABC 的面积．【答案】见解析【分析】首先若使直线AD 平分ABC 的面积，即作CB 的中垂线，分别以线段CB 的两个端点C,B 为圆心,以大于CB 的一半长为半径作圆,两圆交于两点,连接这两点,与CB 的交点就是线段CB 的中点，即为点D.【详解】根据题意，得CD=BD ，即作CB 的中垂线，如图所示：【点睛】此题主要考查直角三角形和中垂线的综合应用，熟练掌握，即可解题.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数的y x k =-图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【分析】根据(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，得到k <0，由此判定y x k =-所经过的象限为一、二、三象限.【详解】∵(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，∴k <0，∴y x k =-经过一、二、三象限，A 选项符合.故选：A.【点睛】此题考查一次函数的性质，y=kx+b 中，k >0时图象过一三象限，k <0时图象过二四象限；b >0时图象交y 轴于正半轴，b <0时图象交y 轴于负半轴，掌握特点即可正确解答.2．已知△ABC 为直角坐标系中任意位置的一个三角形，现将△ABC 的各顶点横坐标乘以-1，得到△A 1B 1C 1，则它与△ABC 的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y=x 对称【答案】B【分析】已知平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于y 轴的对称点的坐标是（−x ，y ），从而求解．【详解】根据轴对称的性质，∵横坐标都乘以−1，∴横坐标变成相反数，根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，∴△ABC 与△A ′B ′C ′关于y 轴对称，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点，比较简单．3．若分式31a +有意义，则a 的取值范围是( ) A ．0a =B ．1a =C ．1a ≠-D ．0a ≠【答案】C【分析】根据分式有意义时，即分式的分母不等于零解答即可.【详解】由题意得10a +≠，∴1a ≠-，故选：C .【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分式的分母不等于0，正确掌握分式有意义的条件是解题的关键. 4．下列各因式分解中，结论正确的是（ ）A ．256(1)(6)x x x x ++=-+B ．26(2)(3)x x x x -+=+-C ．2221(1)(1)a ab b a b a b -+-=+++-D ．2()223(3)(1)a b a b a b a b +++-=+++-【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．【详解】解：A. 256(1)(6)x x x x ++=-+，变形错误，不是因式分解，不合题意； B. 26(2)(3)x x x x -+=+-，变形错误，不是因式分解，不合题意；C. 2221(1)(1)a ab b a b a b -+-=+++-，变形错误，不是因式分解，不合题意；D. 2()223(3)(1)a b a b a b a b +++-=+++-，变形正确，是因式分解，符合题意．故选：D【点睛】本题考查了因式分解的定义，“将一个多项式变形为几个整式的积的形式叫因式分解”，注意因式分解是一种变形，故等号左右两边要相等．5．下列算式中，正确的是（ ）A ．a 4•a 4＝2a 4B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D ．（﹣3a 2b ）2＝9a 4b 2 【答案】D【分析】根据同底数相乘（或相除），底数不变指数相加（或相减）；幂的乘方：底数不变，指数相乘；完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法即可求解．【详解】解：A 、原式＝a 8，故A 错误．B 、原式＝a 3，故B 错误．C 、原式＝a 2﹣2ab+b 2，故C 错误．D 、原式＝9a 4b 2，故D 正确故选：D ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则和公式．6．若（x ﹣2）（x +3）＝x 2+ax +b ，则a ，b 的值分别为（ ）A ．a ＝5，b ＝﹣6B ．a ＝5，b ＝6C ．a ＝1，b ＝6D ．a ＝1，b ＝﹣6 【答案】D【分析】等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a 与b 的值即可．【详解】解：∵（x ﹣2）（x+3）＝x 2+x ﹣6＝x 2+ax+b ，∴a ＝1，b ＝﹣6，故选：D ．【点睛】此题考查了多项式乘多项式以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．下列运算中错误的是（ ）A =B =C 2÷=D ．2 (3= 【答案】A【分析】根据合并同类二次根式的法则对A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断；根据二次根式的除法法则对C 进行判断；根据二次根式的性质对D 进行判断．【详解】A.B.==C. 2÷，故此项正确，不符合要求；D. 2 (3=，故此项正确，不符合要求；故选A ．【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．直线22y x =+沿y 轴向下平移6个单位后，图象与x 轴的交点坐标是（ ）A ．()0,4-B ．()4,0C ．()1,0-D ．()2,0 【答案】D【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【详解】直线22y x =+沿y 轴向下平移6个单位则平移后直线解析式为：22-6=24=+-y x x当y=0时，则x=2，故平移后直线与x 轴的交点坐标为：（2，0）．故选：D ．【点睛】此题主要考查了一次函数平移变换，熟练掌握一次函数平移规律是解题关键．9．下列计算正确的是（ ）A =B 2=-C ．1=D 1=-【答案】D【分析】先对各选项进行计算，再判断.【详解】AB 2，故错误；C 选项：=D 1=-，故正确；故选：D.【点睛】考查立方根、平方根和算术平方根的问题，关键是根据立方根、平方根和算术平方根的定义分析．10．满足下列条件的ABC ∆，不是直角三角形的是（ ）A ．222c b a =-B ．::3:4:5a b c =C ．C A B ∠=∠-∠D ． ::3:4:5A B C ∠∠∠=【答案】D【分析】根据三角形的内角和求得一个角是90°或者根据勾股定理的逆定理进行判定即可．【详解】解：A 、原式可化为222c a b +=，由勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形； B 、∵::3:4:5a b c =，设3a k =，4b k =，5c k =，则有222(3)(4)(5)+=k k k ，即222+=a b c ，由勾股定理的逆定理可得ABC ∆是直角三角形；C 、原式可化为∠+∠=∠C B A ，由180C B A ∠+∠+∠=︒可得90A ∠=︒，则ABC ∆是直角三角形；D 、由 ::3:4:5A B C ∠∠∠=，180C B A ∠+∠+∠=︒可得： 45∠=︒A ， 60∠=︒B ， 75∠=︒C ，ABC ∆不是直角三角形；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和、勾股定理的逆定理，解题的关键是找出满足直角三角形的条件：有一个角是90°，两边的平方和等于第三边的平方．二、填空题11．等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是_____．【答案】16【分析】根据2和7可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．【详解】当7为腰时，周长＝7+7+2＝16；当2为腰时，因为2+2＜7，所以不能构成三角形．故答案为16【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，也考查了等腰三角形的性质．关键是根据2，7，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．12．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，AD 平分∠BAC ，则BD= ．【答案】1【分析】根据三线合一定理即可求解．【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=12BC=1．故答案是：1．考点：等腰三角形的性质．13．已知点A（l，－2），若A、B两点关于x轴对称，则B点的坐标为_______【答案】（1，2）【详解】关于x轴对称，则两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，故B点的坐标为（1，2）.14．已知a，b互为相反数，并且3a－2b＝5，则a2＋b2＝________．【答案】2【分析】由题意可列出关于a，b的一元二次方程组，然后求解得到a，b的值，再代入式子求解即可.【详解】依题意可得方程组0 325 a ba b+=⎧⎨⎩－＝解得11 ab=⎧⎨=-⎩则a2＋b2＝12+（﹣1）2=2.故答案为2.【点睛】本题主要考查解一元二次方程组，解一元二次方程组的一般方法为代入消元法和加减消元法.15．如图，△ABC≌△DEC，其中AB与DE是对应边，AC与DC是对应边，若∠A=∠30°，∠CEB=70°，则∠ACD=_____°.【答案】40【分析】根据全等三角形的性质可得CE=BC，∠ACB=∠DCE，根据等腰三角形的性质可得∠B的度数，进而可得∠ECB的度数，根据等量代换可证明∠ACD=∠ECB，即可得答案.【详解】∵△ABC≌△DEC，其中AB与DE是对应边，AC与DC是对应边，∴∠ACB=∠DCE，CE与BC是对应边，即CE=BC，∴∠B=∠CEB=70°，∴∠ECB=180°-2×70°=40°，∵∠ACD+∠ACE=∠ECB+∠ACE，∴∠ACD=∠ECB=40°.故答案为40【点睛】本题考查了全等三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键.16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为_____．【答案】2秒或3.5秒【分析】由AD∥BC，则PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9-3t=5-t，解方程即可；②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，则得：3t-9=5-t，解方程即可．【详解】∵E是BC的中点，∴BE=CE=12BC=9，∵AD∥BC，∴PD=QE时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形，①当Q运动到E和C之间时，设运动时间为t，则得：9−3t=5−t，解得：t=2，②当Q运动到E和B之间时，设运动时间为t，。
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案
一、教学内容
人教版数学八年级下册16.2《二次根式的乘除》教案：
1.章节内容：本节课主要学习二次根式的乘除运算。
2.教学内容：
a.理解二次根式的乘法法则，并能正确运用；
b.掌握二次根式的除法法则，并能熟练进行混合运算；
c.能够将二次根式乘除运算与其他数学知识相结合，解决实际问题；
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调乘法法则和除法法则这两个重点。对于难点部分，如根号内同类项的合并和化简，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量并计算正方形对角线长度，演示二次根式乘除的基本原理。
（3）熟练进行二次根式的混合运算，解决实际问题；
举例：计算\( \frac{\sqrt{45} \times \sqrt{20}}{\sqrt{5} \times \sqrt{9}} \)，并应用于实际情境。
2.教学难点
（1）理解并运用二次根式乘法法则时，根号内同类项的识别与合并；
难点举例：\( \sqrt{12} \times \sqrt{8} = \sqrt{12 \times 8} \)转化为\( 2\sqrt{3} \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{6} \)
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的乘除》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积或长度的问题？”（如计算正方形对角线长度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式乘除的奥秘。
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除(教案)
（1）根号内乘除运算的简化：在二次根式乘除运算过程中，学生往往难以把握根号内乘除运算后的简化步骤。
-难点解释：如\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8}\)，需简化根号内的结果为\(\sqrt{16}\)，进而得到最终答案4。
（2）混合运算中乘除法则的运用：在二次根式乘除混合运算中，学生容易混淆乘除法则，导致计算错误。
-练习：计算\(\sqrt{18} \times \sqrt{2}\)、\(\sqrt{12} \times \sqrt{27}\)等。
2.二次根式的除法法则：理解二次根式除法的运算规律，能够熟练进行除法运算。
-例子：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（其中\(b \neq 0\)，\(a \geq 0\)，\(b > 0\)）
人教版数学八年级下册16.2二次根式的乘除（教案）
一、教学内容
本节课选自人教版数学八年级下册16.2节，主要内容包括：
1.二次根式的乘法法则：掌握二次根式乘法的运算规律，能够正确进行乘法运算。
-例子：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（其中\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)）
-练习：计算\(\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\)、\(\frac{\sqrt{54}}{\sqrt{9}}\)等。
3.二次根式的乘除混合运算：学会运用乘除法则，解决二次根式的乘除混合运算问题。
-例子：\(\sqrt{18} \div \sqrt{2} \times \sqrt{12}\)
5.设计不同难度的练习题，帮助学生巩固所学知识，逐步突破难点。
人教版八年级数学下册16.2 二次根式的乘除优秀教案
人教版八年级数学下册16.2 二次根式的乘除优秀教案二次根式是初中阶段“数与式”内容的最后一章，因此承担着整理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务．本节研究二次根式的乘法运算．运算法则是运算的依据，因此教材通过“探究”栏目，引导学生利用二次根式的性质，从具体数字运算中发现规律，进而归纳得出二次根式的乘法法则．基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质．二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程；会进行简单的二次根式的乘法运算；（2）会用公式化简二次根式．2．目标解析（1）学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容；（2）学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式．三、教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难．运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气．，培养学生良好的运算习惯．在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：（1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简（例见教科书例6解法1），也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号（例见教科书例6解法2）；（2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简．本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简．四、教学过程设计1．复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除．本节课先学习二次根式的乘法．问题1 什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？师生活动学生回答．【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质．问题2 教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？师生活动学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容．【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则．要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识．2．观察比较，理解法则问题3 简单的根式运算．师生活动学生动手操作，教师检验．问题4 成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？师生活动学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质．【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况．乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力．3．例题示范，学会应用例1 化简：（1）；（2）．师生活动提问：你是怎么理解例（1）的？如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？师生合作回答上述问题．对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外．再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向．积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简．师生活动学生计算，教师检（1）在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由直接可得而不必先写成再分解；（2）二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的．对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算；（3）例（3）的运算是选学内容．让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算．本题先利用积的算术平方根的性质，得到，然后利用二次根式的乘法法则，变成，由于可以判断，因此直接将x移出根号外．【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算．让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用．教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号．可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题．【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况．5．归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？6．布置作业：教科书第7页第2、3题．习题16．2第1，6题．五、目标检测设计1．下列各式中，一定能成立的是（）【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础．【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式．3．已知，化简二次根式的结果是（）【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式．一、内容和内容解析1．内容二次根式的除法法则及其逆用，最简二次根式的概念。
人教版八年级数学下册教案：16.2二次根式的乘除
《二次根式的乘除法》教学目标双向细目表说明1：学习水平分为三大类。
知识与技能分为识记、理解、应用三个层次；过程与方法分为分析、综合、概括、比较四个方面；情感态度价值观分为兴趣与价值两个方面。
说明2：书面测试主要题型有：a，b，c，a 为填空题，b 为选择题，c为解答题。
.第二部分课堂教学设计一、教材分析和处理（一）教材内容分析本节分2个课时。
本节主要内容是二次根式的乘除法的运算法则的推导过程和应用，及利用二次根式乘除法法则对二次根式进行化简。
这一节课是在以学习过有理数的运算及二次根式的概念及性质的基础上进行学习的，是今后学习二次根式的混合运算及解一元二次方程的基础。
本课在自主探索的基础上得到二次根式的乘除法法则，然后运用法则进行运算，在对运算结果进行处理的同时掌握最简二次根式的化简。
本节学习，体现了数学研究和发现的过程，对培养学生的探索精神，动手能力，应用意识以及学会数学思考都有很好的作用。
（二）教学重点难点用二次根式的乘除法法则来进行二次根式的计算和二次根式的化简是本节课的重点。
二次根式运算法则的探索及最简二次根式的化简是本节的难点。
（三）教材前后联系二次根式的乘除法是在学生已学习过有理数的运算及二次根式的概念及性质的基础上进行学习的。
通过学习就可以把原来在有理数范围内的乘除法运算推广到了实数范围内的乘除法运算，使学生感受到数学的奥妙，他在以后学习二次根式的混合运算及解一元二次方程中起到了很重要作用。
二、关于教学设计的建议（一）学生学情分析初三上学期，学生已经学习了初中阶段代数的多数内容及运算，虽然基础有差异，但接受能力较强，对有挑战性的任务感兴趣。
这使我在学生活动的安排上，多设法给学生活动的空间，使他们能够在活动中表现自我，发展自我。
此外，初一初二学生已形成自主探索，合作交流的良好学风，学生间互相评价和师生互动气氛较浓。
（二）教学过程设计16.2二次根式的乘除一提出问题，引入新课1.复习二次根式意义和性质.2.学生动手计算下面的探究问题.（1=______；（2=_______．（3．【（1；（2=_____；（3；（4=________．】3.对刚才解题的过程进行探究，发现存在的规律.结论：通过解题，我们发现与之间有相等的关系.这就是我们本节要学习的一个公式.二体验法则，学会计算1.上面我们得到的一个规律，就是我们本节要学习的二次根式的乘（除）法运算法则：2.下面我们运用上面的法则进行计算.【例1】学生自己动手解例1，教师巡视，发现问题，及时纠正. 总结：在上面的计算中，我们运用了今天学习的公式：这样我们就能够进行二次根式的乘（除）法运算了.3.二次根式的化简：如果我们把公式反过来写，这个式子仍然成立，这就是积（商）的算术平方根：下面请同学们利用这个公式，对下面两个式子进行运算，你会发现我们将较复杂的式子简化了.【例2】例题分析：这就是积（商）的算术平方根的性质，利用这个性质可对二次根式进行化简.运用此公式进行化简时，要注意以下两点：（1）被开数必须是乘积的形式，避免出现== a + b 的错误.所以在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解.（2）只有能开得尽方的因数或因式才能从根号内开出来.【例3】.此题中分母中的被开方数不是完全平方数或完全平方式，因此要化简需要先将分母化成完全平方数或完全平方式，方法是利用分式的基本性质，将分式的分子分母同乘一个不为零的数，这是解此类题的方法之一；方法二就是运用分母有理化的方法.学习解答下面练习题，教师巡视，及时发现学生计算中出现的错误，及时纠正.三课堂总结本节课同学们必须掌握住以下三点：（1）二次根式的乘除法公式，会利用这个公式进行二次根式的计算（2）积与商的算术平方根的公式，并利用这个公式对二次根式进行化简.（3）最简二次根式要符合两个特点：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.这是对化简二次根式提出的要求和方向，即二次根式的化简结果必须是最简二次根式.化简二次根式的注意事项：a)被开数必须是乘积的形式，在化简时，一般先将被开方数进行因数分解或因式分解，只有能开得尽方的因数或因式才能从根号内开出来.b)有分母时，进行分母有理化.（三）教学方法设计1、教科书首先通过试一试中的两个计算题结果相等的问题，吸引学生的探究兴趣，为得出二次根式乘除法则提供了有意义的特例。
人教版八年级数学下册二次根式的乘除教案
教师布置作业，并分层提出要求. 学生课完成.
二次根式的除法是建立在二次根式的基础上的，所以在学习中侧重于引 导学生利用与乘法相类似的方法去学习，从而进一步降低学习的难度，提高 学习的效率，但在教与学中，可以明显感受到学生对分母有理化概念在运用 中的不灵活性，这也是应在今后的复习中给予加强的
16.2 二次根式的乘除（第 2 课时）
【教学任务分析】 知识 1.会进行简单的二次根式的除法运算．
教 技能 2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算．
学
3.理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二
次根式．
目 过程 1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则．
标 方法 2.引导学生利用从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学
解清楚也可以提出问题让学生探
讨正确答案.
（1） 5 × 7
（2） 1 × 9 3
（3）3 6 ×2 10 （4） 5a · 1 ay 5
3.例 2 化简：
（1） 916 （2） 16 81
教师要提醒学生应用公式要注意 解题灵活性.
通过练习培养学生养成良好的 分析问题能力和习惯． 方法归纳：你能体会出何时用
（2）
25 y = 9x2
25y 5 x . 9x2 3x
4.化简
（1） 3 ； 64
（2） 64b2 . 9a2
5.例 6 计算：
（1） 3 ； （2） 3 2 ； （3） 8 .
5
27
2a
解：（1） 3 = 3 5 15 ； 5 5 5 5
（2） 3 2 = 3 2 2 3 6 ； 27 3 3 3 3 3
2020年春八年级数学下册第16章二次根式16.2二次根式的乘除教案(新版)新人教版
16.2 二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法教学目标一、基本目标【知识与技能】理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，ab＝a·b(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．【过程与方法】经历“探索——发现——猜想——验证”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖、相互补充的关系；培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．【情感态度与价值观】鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．二、重难点目标【教学重点】二次根式的乘法运算法则．【教学难点】运用二次根式的乘法运算法则进行简单的运算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P6～P7的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．教材P6“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)4×9＝6，4×9＝6；(2)16×25＝20，16×25＝20；(3)25×36＝30，25×36＝30.a≥0，b≥0.规律：一般地，二次根式的乘法法则是a·b＝ab()2．把a·b＝ab反过来，就得到ab＝a·b，利用它可以进行二次根式的化简．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)3×5；(2)13×27；(3)9×27；(4)12× 6.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的乘法运算法则进行计算．【解答】(1)3×5＝15.(2)13×27＝13×27＝9＝3.(3)9×27＝9×27＝92×3＝9 3.(4)12×6＝12×6＝ 3.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的乘法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数．【例2】化简：(1)9×16；(2)16×81；(3)81×100；(4)4a2b3；(5)54.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式积的算术平方根的性质进行化简时，需要注意什么？【解答】(1)9×16＝9×16＝3×4＝12.(2)16×81＝16×81＝4×9＝36.(3)81×100＝81×100＝9×10＝90.(4)4a2b3＝4·a2·b3＝2·a·b2·b＝2ab b.(5)54＝9×6＝32×6＝3 6.【互动总结】(学生总结，老师点评)积的算术平方根是二次根式乘法法则的逆用，注意被开方数必须是非负数．活动2 巩固练习(学生独学)1．等式x＋1·x－1＝x2－1成立的条件是( A )A．x≥1B．x≥－1C．－1≤x≤1D．x≥1或x≤－12．计算：(1)12×3；(2)23×315；(3)23×3512×5936.解：(1)6. (2)310. (3)18.3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)－4×－9＝－4×－9；(2)41225×25＝4×1225×25＝4×1225×25＝412＝8 3.解：(1)不正确．改正：－－＝4×9＝36＝6.(2)不正确．改正：41225×25＝11225×25＝11225×25＝112＝47.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】比较大小：(1)35与53；(2)－413与－511.【互动探索】由于根号外的因数不为1，可以将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．【解答】(1)35＝9×5＝45，53＝25×3＝75.因为45<75，所以35<5 3.(2)－413＝－16×13＝－208，－511＝－25×11＝－275.因为208<275，所以－208>－275，所以－413>－511.【互动总结】(学生总结，老师点评)要比较两个二次根式的大小，可以先运用二次根式的乘法运算法则，将根号外的数移到根号内，再比较被开方数的大小．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！第2课时二次根式的除法教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解ab＝ab(a≥0，b>0)和ab＝ab(a≥0，b>0)及利用它们进行运算；2．理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．【过程与方法】通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．【情感态度与价值观】在经历二次根式除法运算法则的过程中，获得成就感，建立学习数学的信心和兴趣．二、重难点目标【教学重点】最简二次根式的概念，二次根式的除法运算法则．【教学难点】二次根式商的算术平方根的运用．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P8～P10的内容，完成下面练习．【3 min反馈】(一)二次根式的除法1．教材P8“探究”，计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？(1)49＝23，49＝23；(2)1625＝45，1625＝45；(3)3649＝67，3649＝67.规律：一般地，二次根式的除法法则是ab＝ab()a≥0，b>0.2．把ab＝ab反过来，就得到ab＝ab()a≥0，b>0，利用它可以进行二次根式的化简．(二)最简二次根式1．观察教材P8～P9例4、例5、例6中各小题的最后结果，比如22，310，2aa等，可以发现这些式子有如下两个特点：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则进行计算．【解答】(1)原式＝123＝4＝2 .(2)原式＝32÷18＝32×8＝3×4＝2 3.(3)原式＝14÷116＝14×16＝4＝2.(4)原式＝648＝8＝2 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则进行计算时，注意被开方数必须是非负数，结果必须是最简二次根式．【例2】化简：(1)364；(2)64b29a2；(3)35；(4)22－1.【互动探索】(引发学生思考)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简．【解答】(1)原式＝364＝38.(2)原式＝64b29a2＝8b3a.(3)原式＝35＝3×55×5＝155.(4)原式＝2×()2＋1()2－1()2＋1＝2＋22－1＝2＋ 2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)利用二次根式的除法运算法则和商的算术平方根的性质将二次根式进行化简时，注意将结果化为最简二次根式．活动2 巩固练习(学生独学) 1．计算113÷213÷125的结果是( A ) A ．27 5 B ．27 C ． 2 D ．272．如果xy(y >0)是二次根式，那么化为最简二次根式是( C ) A ．xy(y >0) B ．xy (y >0)C ．xyy(y >0) D ．以上都不对3．化简： (1)483； (2)0.7； (3)23－1； (4)6－56＋5. 解：(1)4. (2)7010. (3)3＋1. (4)11－230. 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．【互动探索】等式形式符合商的算术平方根公式→确定x 的取值范围→化简所求式子【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6，∴6<x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8， ∴原式＝(1＋x )x －x －x ＋x －＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋＝＋xx －.∴当x ＝8时，原式＝4×9＝6.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据商的算术平方根的性质化简时，分子中被开方数是非负数，分母中被开方数是正数．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)练习设计请完成本课时对应训练！。
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小结（六）归纳小结，反思提高
师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答问题：
1、你能说明二次根式的除法法则是如何得出的吗？
2、二次根式的除法法则内容是什么？对等式中字母的取值范围有何要求？
3、你能说明除法法则逆用的意义吗？
4、知识小结：
设计意图：帮助学生对本节课所学的知识、技能、方法三方面有一个系统的认识，归纳本节课探究除法法则的思路，体会数学思想和方法，更好的构建知识网络，培养了学生自我反馈、自主发展的意识。
（七）布置作业：必做题：教科书第10页练习第1题，习题第2题，第11页第8题
选做题：计算：
3
1252
4
31
2
243
a b
b a b
⨯÷
⎛⎫
•÷
⎪
⎪
⎝⎭
（1）2
（2）
设计意图：一部分是必做题，及时巩固课堂学过的知识，查漏补缺，进一步巩固易错点，从而内化知识；另一部分是选做题，给学有余力的学生留有充分思考的空间，让学有余力的学生能够学到“根号下为字母的二次根式”的运算，由于数式通性，只要将二次根式中的实数看成字母，二次根式的运算实际上就是整式的运算。
（八）当堂反馈检测达标
1.
33
11
a a
a a
--
=
--
成立的条件是（）答案：D．
A．1
a≠B．31
a a
≥≠
且C．1
a>D．3
a≥
2. 计算：
()1123
÷=()25832
÷=()25
31
354
-÷=
设计意图：学生独立完成，通过1、2两题考查目标1的完成情况，便于课后查漏补缺。
3.计算：()()()
232
123
3155
设计意图：通过第3题考查目标2的完成情况，进一步深化学生对知识和方法的理解。
二次根式除法
法则
拓展法则
商的算术平方根性质()
0,0
a a
a b
b b
=≥>
()
0,0
m a
m a n b a b
n b
÷=≥>
()
0,0
a a
a b
b
b
=≥>。