信号与线性系统(2).ppt

f (t) c0 An cos(n0t n )
n1
c0
1 2
c
An an2 bn2
tann
an bn
(4―10)
(4―11) (4―12) (4―13)
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
式(4―6)还可写为如下形式
f (t) c0
n1
1 2
An{[cos(n0t
n)
j sin(n0t
叶级数,只是形式不同而已。式(4―6)和(4―10)称为三
角函数式傅里叶级数,式（4―14）称为复指数形式的傅
里叶级数。由于式（4―14）的数学表示更为简洁,故在
后续章节中,这一式子用得更多。
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
4.1.3 信号的傅里叶级数正交分解 由于傅里叶级数具有正交性及完备性,故任何周期信
n )]
[cos(0t n ) j sin(n0t n )]}
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n )
j sin(n0t
n )]
1 2
An [cos(0t
n )
j sin(n0t
n )]
c0
n1
1 2
An [cos(n0t
n )
j sin(n0t
n )]
1
n
1 2
[cos(n0t
号均可正交分解成傅里叶级数。这种分解,在对信号进 行分析时将会表现出很大的优势。
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开为傅里叶 级数。
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
f (t) 1
－T T
0T T
2T
t
2
－12
图4.2 方波信号的傅里叶级数 《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
式(4―5)即是信号f(t)在三角函数集上的正交分解。 图4.1中绘出了有关信号的波形。
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
f (t) A(1 ＋B)
0 －A(1 ＋B)
(a)
F() 1
AB 2
A t
0来自百度文库
40 50 60
(b)
图4.1 调幅信号及其频谱 《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
an
2 T
2 0
f (t) sin(2 nf )dt
bn
2 T
2 0
f (t) cos(2 nf )dt
22
c T 0 f (t)dt
(4―7) (4―8) (4―9)
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
根据三角函数的运算法则,式(4―6)还可写成式(4―10)。
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
0 m n
t0 T
cos t cos dt T / 2
m n 0
t0
T
m
n
0
t0 T
sin t
sin
dt
0
mn
t0
T / 2 m n 0
t0T sin t cos dt 0 t0
(4―3)
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
n )
j sin(n0t
n )]
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
式中,An=A-n,θn=-θ-n。最后,由欧拉公式,上式可写
为
f (t)
cne jn0t
(4―14)
n
cn
1 T0
T0
2 T0
2
f (t)e jn0tdt
(4―15)
对于式（4―10）,(4―14),同式(4―6)一样,也是傅里
0 T
2
2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin(2 nft)dt
2 T
0 T
2
(1)sin(2 nft)dt 2
T
T 2 0
1 sin(2 nft)dt
2 T
1
2 nft
[ cos(2 nft)]
即三角函数集满足正交性式（4―2）,因而是正交 函数集。其完备性这里不去讨论。
对于调幅信号（ω=5Ω）
f(t)=A(1+BcosΩ)cosω
(4―4)
利用三角公式2cosαcosβ=cos(α-β)+cos(α+β)可写为
f(t)=Acosωt+ ½ ABcos(ω-Ω)t+½
ABcos(ω+Ω)t(4―5)
数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函
数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开
式。信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开
成这样一组多项式。这就是信号的分解,用式（4―1）
描述:
n
f (t) cii (t) (i,n为整数)
i 1
（4―1）
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,并按 式(4 ― 7)、(4―8)、(4―9)分别计算an, bn及c。
an
2 T
T
2 T
2
f (t) cos(2 nft)dt
2
T
0 T
2
(1) cos(2 nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2 nft)dt
2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
第4章 连续系统的频域分析
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数 4.2 信号的频谱 4.3 傅里叶变换的性质 4.4 线性非时变系统的频域分析 4.5 傅里叶变换计算机模拟举例
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析
4.1 信号的正交分解与傅里叶级数
4.1.1 信号的正交分解
当上述函数集中任意两个函数φi(t),φj(t)之间,在区间
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0 ki
i j i j
（ki为与之有关的常（量）4―2 ）
例如,三角函数集 ｛1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…｝ 在区间（t0,t0+Ｔ）(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且 是完备的正交函数集。这是因为
4.1.2 傅里叶级数
19世纪初叶,法国数学家吉·傅里叶证明:任何正常 的周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函 数的代数和。即
f (t) 1 c
2
n1
an sin(2 nft)
n1
bn cos(2 nft)
(4―6)
通常称（4―6）式为傅里叶级数。如果已知f(t),则 可通过式(4―7)、(4―8)和(4―9)分别求出an,bn,c的值。
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
4
n
n 2, 4,6, n 1,3,5,
《 信号与线性系统》
第4章 连续系统的频域分析