正态总体的参数检验简讲义单总结
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数理统计17：正态总体参数假设检验
数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。
假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。
根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。
设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。
⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。
以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。
对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。
单个正态总体参数的假设检验
X -0 取统计量 t ~ t (n 1) S/ n
x -0 拒绝域为 t t (n 1) s/ n
由已知可得 x 5.34 , n 5 , s 2 0.631,
5.34 5 0.9570 得 t 0.631 / 5
查表 t0.05 (4) 2.1318 t t0.05 (4)
Hale Waihona Puke x -0 14.2-14 0.375 计算 u / n 3.2/ 36
查表 z z0.05 1.645 u z0.05 所以未落在了拒绝域之内，故接受 H 0 : 14, 即不能认为这批木材的小头直径在14cm以上。
例7 已知某压缩机的冷却用水，其升高温度 X ~ N ( , 2 ),
z
2. σ2未知，检验μ （t 检验法）
右边假设检验 H 0 : 0
H1 : 0 ，拒绝域为
x -0 t t (n 1) s/ n
左边假设检验 H 0 : 0
t (n 1)
H1 : 0 ，拒绝域为
x -0 t t (n 1) s/ n
x
例4 某次统考后随机抽查26份试卷,测得平均成绩:
2 样本方差 x 75.5分， s 162 ，已知该次考试
成绩 X ~ N ( , 2 ) ，试分析该次考试成绩标准差 是否为σ=12分左右？（=0.05） 解: 提出假设 H 0 : 0 12, H1 : 12 取统计量
三、单个正态总体均值的假设检验（单边检验） 1. 已知σ2，检验μ （U 检验法） 右边假设检验 H 0 : 0
H1 : 0 ，拒绝域为
概率论与数理统计72正态总体的均值和方差的假设检验
0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12 假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立, 方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~ N ( μ2,σ22 )
样本(Y1,Y2, ,Yn2 )来自总体Y .
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
σ12,σ22为已知, μ1, μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2;
2 取检验统计量为
U (X Y)/
σ12 σ22 n1 n2
~ N (0,1)
(当H0成立时)
3 取显著性水平为 α. P{ U u/2 } ,
~
t(n1 n2
2),
(当H0成立时)
其中 Sw2
( n1
1)S1*n21 (n2 1)S2*n22 n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t /2(n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2(n1 n2 2). 拒绝域：
W1 {( x1, x2,, xn1; y1, y2,, yn2 ) :| t | t/2(n1 n2 2)}
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
为了考察温度对材料断裂强力的影响，在70 C与80 C
下，分别重复作了8次试验，得数据如下：
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
（ = 0.05）?
解 以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在
处理后的含脂率,且 X ~ N ( μ1,σ12 ),Y ~ N ( μ2,σ22 )
样本(Y1,Y2, ,Yn2 )来自总体Y .
1. 已知方差时两个正态总体均值的检验
σ12,σ22为已知, μ1, μ2未知的检验（U检验法）
1 假设 H0 : 1 2 , H1 : 1 2;
2 取检验统计量为
U (X Y)/
σ12 σ22 n1 n2
~ N (0,1)
(当H0成立时)
3 取显著性水平为 α. P{ U u/2 } ,
~
t(n1 n2
2),
(当H0成立时)
其中 Sw2
( n1
1)S1*n21 (n2 1)S2*n22 n1 n2 2
.
3° 给定显著水平 ( 0< < 1)
P{ | T | t /2(n1 n2 2) } ，
查表可得 tα / 2(n1 n2 2). 拒绝域：
W1 {( x1, x2,, xn1; y1, y2,, yn2 ) :| t | t/2(n1 n2 2)}
X
~
N
(
1
,
2 1
),Y
~
N
(
2
,
2 2
),
为了考察温度对材料断裂强力的影响，在70 C与80 C
下，分别重复作了8次试验，得数据如下：
选择统计量
U X 800 9 40
当H0成立时,U~N(0,1).对于 = 0.05,由正态分布函
正态总体参数的假设检验
n
W1 ( 12 , )
统计量
2
(X
i 1
i
0 )
2 0
2
~ (n)
2
2、单个总体，未知， 的检验
统计量
2
2 (n 1) Sn 1
2 0
2
~ (n 1)
2
2
2 2 和 双侧检验：临界值 1
2 单侧检验：临界值 或 12
a) H 0 : 0 , H1 : 0 ; b) H 0 : 0 , H1 : 0
a), b) 为左单侧检验
x 0 H 0成立 统计量U ~ N (0,1) 0 / n
临界值为 u1 u
拒绝域W1 (, U 1 ) ，接受域 W0 [ U 1 , )
例 7.1.1 某药厂包装硼酸粉，规定每袋净重为 0.5 （ kg ） ，设每袋重量服从正态分布，标准差
0.014 (kg） 。为检验包装机的工作是否正常，随
机抽取 10 袋，称得净重分别为： 0.496 0.510 0.515 0.506 0.518 0.512 0.524 0.497 0.488 0.511 问这台包装机的工作是否正常
解：1）检验假设 H0 : 0; H1 : 0
2）统计量 t x 0 s/ n 3）计算观测值
H 0 成立
~ t (4)
x 45 . 98 , s 1 . 535
| 45 . 98 48 | | t | 2 . 942 1 . 535 / 5
4）与临界值比较 | t | 2 . 942 2 . 7764 t 0 .025 ( 4 ) （统计量的值落在拒绝域内） 结论：拒绝原假设，即认为 48 。
W1 ( 12 , )
统计量
2
(X
i 1
i
0 )
2 0
2
~ (n)
2
2、单个总体，未知， 的检验
统计量
2
2 (n 1) Sn 1
2 0
2
~ (n 1)
2
2
2 2 和 双侧检验：临界值 1
2 单侧检验：临界值 或 12
a) H 0 : 0 , H1 : 0 ; b) H 0 : 0 , H1 : 0
a), b) 为左单侧检验
x 0 H 0成立 统计量U ~ N (0,1) 0 / n
临界值为 u1 u
拒绝域W1 (, U 1 ) ，接受域 W0 [ U 1 , )
例 7.1.1 某药厂包装硼酸粉，规定每袋净重为 0.5 （ kg ） ，设每袋重量服从正态分布，标准差
0.014 (kg） 。为检验包装机的工作是否正常，随
机抽取 10 袋，称得净重分别为： 0.496 0.510 0.515 0.506 0.518 0.512 0.524 0.497 0.488 0.511 问这台包装机的工作是否正常
解：1）检验假设 H0 : 0; H1 : 0
2）统计量 t x 0 s/ n 3）计算观测值
H 0 成立
~ t (4)
x 45 . 98 , s 1 . 535
| 45 . 98 48 | | t | 2 . 942 1 . 535 / 5
4）与临界值比较 | t | 2 . 942 2 . 7764 t 0 .025 ( 4 ) （统计量的值落在拒绝域内） 结论：拒绝原假设，即认为 48 。
7-2正态总体参数的检验
第二节 正态总体参数的假设检验
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
一、单个正态总体均值的检验 二、两个正态总体均值差的检验 三、正态总体方差的检验
同上节) 标准要求长度是32.5毫米 毫米. 例2(同上节 某工厂生产的一种螺钉 标准要求长度是 同上节 某工厂生产的一种螺钉,标准要求长度是 毫米
实际生产的产品，其长度 假定服从正态分布N( σ 未知， 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 µ,σ2 ) ,σ2 未知， 现从该厂生产的一批产品中抽取6件 得尺寸数据如下: 现从该厂生产的一批产品中抽取 件, 得尺寸数据如下
(1)与(4); (2)与(5)的拒绝域形式相同 与 的拒绝域形式相同. 与 的拒绝域形式相同
一、单个正态总体均值的检验
是来自N( σ 的样本 的样本, 设x1,…,xn是来自 µ,σ2)的样本 关于µ的三种检验问题是 (µ0是个已知数 是个已知数)
(1) H0 : µ ≤ µ0 vs H1 : µ > µ0 (2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 (3) H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0
对于检验问题 对于检验问题
(2) H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0
x − µ0
仍选用u统计量 u = 选用 统计量 相应的拒绝域的形式为: 相应的拒绝域的形式为
取显著性水平为α 取显著性水平为α，使c满足 P 0 (u ≤ c) = α 满足 µ
由于μ = μ 0时，u ~ N(0,1),故 c = uα,如图 故 , 因此拒绝域为: 因此拒绝域为 或等价地: 或等价地 φ(x)
检 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ ≠ µ0 验
x − µ0 s/ n
接受域为: 接受域为
8.2正态总体的参数检验
x 140.6, y 125.8,
s12 16.93, s22 72.62,
电子科技大学
正态总体参数假设检验
Nov-19
t n（x y） 10 （140.6 125.8） 4.9457
s12 s22
16.93 72.62
查t 分布表得： t0.025(18)= 2.1009
465.13万/mm3，样本标准差为54.976万/mm3；
女性红细胞平均数为422.16万/mm3，样本标准
差为49.536万/mm3.
试检验该地正常成年人的红细胞平均数是否
与性别有关(α=0.01).
电子科技大学
正态总体参数假设检验
Nov-19
解 设X表示正常成年男性的红细胞数, Y表示正常成年女性的红细胞数， 假定X~N(μ1,σ2), Y~N(μ2,σ2)
拒绝域为：
u u
2
见例8.1.1 “包装机工作正常与否的判断”
电子科技大学
正态总体参数假设检验
Nov-19
2) 双样本u 检验法
X
1
,
X
2
,,
X
n1
来自正态总体N
(
1
,
2 1
)
Y1
,
Y2
,,
Yn2
来自正态总体N
(
2
,
2 2
)
已知σ12与σ22，检验假设
H0: μ1= μ2，（或μ1μ2=0） H1:μ1≠μ2
(
1
,
2 1
)
Y1
,
Y2
,,Yn2
来自正态总体N
(
2
正态总体参数假设检验
这里 u 值没有落入拒绝域，故不能拒绝原假设，因而可以认为生产之铁水平均含碳量仍为
4.55。
3，由经验知某零件重量 X ~ N (15, 0.052 ) （单位：克），技术革新后，抽出 6 个零件，
测得重量为： 14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6
已知方差不变,问平均重量是否仍为 15 克？（取 α＝005）
计算得， x = 928, u = 928 − 950 = −6.6 ，此处 u 值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判 10 3
断这批枪弹的初速有显著降低。
关于本题说明一点：本题中的一对假设 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0 的检验与另一对假设
H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，
解：本题归结为对方差已知时检验正态总体均值 µ = 15 的问题，而且这是一个双侧假
设检验问题，检验的拒绝域为{ | u |≥ u1−α / 2 }。由α=0.05，查表知 u0.975 =1.96。使用样本数
据可算得，
x = 14.9 ， u = 6(14.9 −15) / 0.05 = −4.90 ，
|≥
2.5706} ，故应
接受原假设。
4
4，化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的重量服从正态分布，其平均重量为 100 千克， 标准差为 1.2 千克．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取 9 袋化肥， 称得重量如下：
99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 设方差稳定不变,问这一天包装机的工作是否正常? （取 α＝005）
4.55。
3，由经验知某零件重量 X ~ N (15, 0.052 ) （单位：克），技术革新后，抽出 6 个零件，
测得重量为： 14.7 15.1 14.8 15.0 15.2 14.6
已知方差不变,问平均重量是否仍为 15 克？（取 α＝005）
计算得， x = 928, u = 928 − 950 = −6.6 ，此处 u 值落入拒绝域内，故拒绝原假设，可以判 10 3
断这批枪弹的初速有显著降低。
关于本题说明一点：本题中的一对假设 H0 : µ = µ0 vs H1 : µ < µ0 的检验与另一对假设
H0 : µ ≥ µ0 vs H1 : µ < µ0 的检验有完全相同的拒绝域，这是因为二者的拒绝域形式相同，
解：本题归结为对方差已知时检验正态总体均值 µ = 15 的问题，而且这是一个双侧假
设检验问题，检验的拒绝域为{ | u |≥ u1−α / 2 }。由α=0.05，查表知 u0.975 =1.96。使用样本数
据可算得，
x = 14.9 ， u = 6(14.9 −15) / 0.05 = −4.90 ，
|≥
2.5706} ，故应
接受原假设。
4
4，化肥厂用自动包装机包装化肥，每包的重量服从正态分布，其平均重量为 100 千克， 标准差为 1.2 千克．某日开工后，为了确定这天包装机工作是否正常，随机抽取 9 袋化肥， 称得重量如下：
99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.1 100.5 设方差稳定不变,问这一天包装机的工作是否正常? （取 α＝005）
概率论与数理统计假设检验正态总体参数的假设检验(2)
概率论与数理统计第7章假设检验第3讲正态总体参数的假设检验(2)01 两个正态总体参数的假设检验02单侧检验03 p 值检验法—简介本讲内容*21μμ-2221σσ检验目的本节将讨论两个相互独立的正态总体，211(,)X N μσ222(,)Y N μσ的参数检验问题.设是来自总体X 的简单随机样本；112,,,n X X X 是来自总体Y 的简单随机样本；212,,,n Y Y Y 样本均值.X Y 、为两为两样本方差. 显著性水平为α .2212S S 、(3) μ1 , μ2 未知，检验.2222012112::H H σσσσ=≠，(1)σ12,σ22已知，检验.012112::H H μμμμ=≠，这些假设检验可细分为许多种情形，这里只介绍3种最常见的类型：(2)σ12,σ22未知但σ12 =σ22，检验.012112::H H μμμμ=≠，两个正态总体的参数检验，主要有比较两个均值μ1与μ2的大小，比较两个方差σ12与σ22的大小.根据已知条件的不同，由样本观测值求出统计量的观测值u ，然后作判断.确定拒绝域2{}U u α>选取检验统计量221212~(0,1)X YU N n n σσ-=+U 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，借鉴上一章区间估计(1) 已知，检验.12μμ-2212,σσ1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+122{(2)}T t n n α>+-(2) 未知但σ12 =σ22，检验.2212,σσ12μμ-T 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，由样本观测值求出统计量的观测值t ，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--2212121{(1,1)(1,1) 或}F F n n F F n n αα-<-->--2222012112::H H σσσσ=≠，(3) μ1 , μ2 未知，检验.2212/σσF 检验法建立假设由样本观测值求出统计量的观测值，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。
单个正态总体的参数检验
在这个检验过程中,我们用统计量 2来确定拒
绝域，这种检验法称为 2检验法.
单个正态总体X : N (, 2 )均值 的检验(表1)
条件
检验问题
检验统计量
H0真时检验 统计量分布
拒绝域
2 H0: 0 H1:0
N (0,1) U 2
已 H0:0H1:0 U X 0 N(a,1) U
知 H0: 0H1:0
U X 0 n
作出判断: 若 U u 2 ,则拒绝H0，否则接受H0 .
上面的检验过程中,我们用统计量U来确定拒 绝域，这种检验法称为u检验法.
2 方差 2未知，关于的检验
同前面的分析一样，当 X 0 较大时，应拒绝H0， 但此时不能用U作为检验统计量，因为 2未知，U不是
统计量，不能根据U确定拒绝域. 根据第五章的定理，
第六章 参数估计与假设检验 第八讲 单个正态总体的参数检验
主讲教师 胡发胜 教授
本节将讨论一个正态总体X N(, 2 )的
参数检验问题.
一 单个正态总体均值的参数检验
设 X1 , X2 ,
,
Xn是来自总体X
~
N (, )的简 2
单随机样本,X , S 2是样本均值和样本方差.现考虑
关于均值的检验
H0 : 0 H1 : 0 .
1 方差 2已知，关于 的检验如下(见第六讲）
(1)原假设与备择假设
H0 : 0 H1 : 0 .
(2)检验统计量为
U X0
H0成立
~ N (0,1)
n
(3)对给定的显著性水平 ，H0的拒绝域为 W ={( x1 , x2 , , xn ) :| U | 2 }
(4)由样本观察值算出统计量的实测值
第二节 正态总体参数的检验
∵ χ > λ2 , ∴ 否定 H 0 ， 即认为方差显著地改变了. 即认为方差显著地改变了.
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
2
9
二、两个正态总体参数的假设检验
2 设 有 两 个 相 互 独 立 的 正 态 总 体 X ~ N ( µ1，σ 1 ) ,
Y ~ N ( µ 2，σ ) , 分别抽取独立的样本 ( X1 , X2 ,⋯, Xn1 ) 和
2
µ 第六章证明, X = ( (− , ) 第六章证明,若 χ 2 ~ Nn−1σS 证明 (2) 检验统计量 2
2 2 H 下 O χ1−α / 2(n−1) 2 0 )， 2 则
x
( n − 1) S
~ χ (n −1) ,
(4) 由样本值算得
χ的值； 的值；
2
则拒绝H 否则 不能 若 χ 2 < λ1 或 χ 2 > λ2 ，则拒绝 0 ； 否则, 拒绝H 拒绝 0 .
− tα / 2 ( n − 1) O
tα / 2 (n − 1)
x
~
(4) 由样本值算得 t 的值； 的值； 则拒绝H 如果 | t |> tα 2 (n − 1) ,则拒绝 0 ； 否则, 不能拒绝H 否则 不能拒绝 0 .
5
两家生产同一类产品， 例2 两家生产同一类产品，其质量指标假定都服从正 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5 120.现从甲厂抽出 态分布，标准规格为均值等于120.现从甲厂抽出5件 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 产品,测得其指标值为119,120,119.2,119.7,119.6; 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 从乙厂也抽出5件产品,测得其指标值为110.5,106.3, 122.2,113.8,117.2。 122.2,113.8,117.2。试判断这两家厂的产品是否符 合标准. 合标准. (α = 0.05 )
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10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 假定切割的长度X服从正态分布, 且标准差没有
变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1)
解 因为 X ~ N(, 2 ), 0.15, 要检验假设
H0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15, x 10.48, 0.05, 则 x 0 10.48 10.5 0.516,
2 0
~ 2 (n 1)
2
2
1
2
(n
1)
或
2
2
(n
1)
2
2
2 1
(n
1)
2
2 0
2>
2 0
( 未知)
2 2 (n 1)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 拒绝域
H0
H1 H0为真时的分布
2=
2 0
2
2 0
n
(Xi )2
2
2
1
2
(n)
或
2
2
(
n)
2 i1
2
2
2 0
2<
2 0
2 0
~ 2(n)
B : 27 28 23 31 26
据经验 知,两种烟 草的尼古 丁含量均服从 正态分布,且相
互独立, A种的方 差为5, B种的方 差为8,取 0.05,问两种
烟草的 尼古丁含 量是否有显著 差异?
解 以X和Y分别表示A, B两种烟草的尼古丁含量,
则X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
,
变化, 试问该机工作是否正常? ( 0.1)
解 因为 X ~ N(, 2 ), 0.15, 要检验假设
H0 : 10.5, H1 : 10.5,
n 15, x 10.48, 0.05, 则 x 0 10.48 10.5 0.516,
2 0
~ 2 (n 1)
2
2
1
2
(n
1)
或
2
2
(n
1)
2
2
2 1
(n
1)
2
2 0
2>
2 0
( 未知)
2 2 (n 1)
原假设 备择假设 检验统计量及其在 拒绝域
H0
H1 H0为真时的分布
2=
2 0
2
2 0
n
(Xi )2
2
2
1
2
(n)
或
2
2
(
n)
2 i1
2
2
2 0
2<
2 0
2 0
~ 2(n)
B : 27 28 23 31 26
据经验 知,两种烟 草的尼古 丁含量均服从 正态分布,且相
互独立, A种的方 差为5, B种的方 差为8,取 0.05,问两种
烟草的 尼古丁含 量是否有显著 差异?
解 以X和Y分别表示A, B两种烟草的尼古丁含量,
则X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
,
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3. 为未知, 关于 2的检验( 2 检验)
设总体 X ~ N (, 2 ), , 2均为未知, X1, X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本, 要检验假设: 其中 0 为已知常数. 设显著水平为 , 分析 : S 2 是 2 的无偏估计, 当H0为真时,
根据
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1),
B : 27 28 23 31 26
据经验 知,两种烟 草的尼古 丁含量均服从 正态分布,且相
互独立, A种的方 差为5, B种的方 差为8,取 0.05,问两种
烟草的 尼古丁含 量是否有显著 差异?
解 以X和Y分别表示A, B两种烟草的尼古丁含量,
则X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
,
且X
0 0 0 < 0 0 > 0
T X 0
S n ~ t(n 1)
拒绝域
t t
2
t t
t t
例3 某厂生产小型马达,说明书上写着:在正常负载
下平均消耗电流不超过0.8 安培.随机测试16台马达,
平均消耗电流为0.92安培，标准差为0.32安培. 设马达所消耗的电流服从正态分布,取显著性水
方差, 1, 2, 2均为未知,
取显著性水平为 .
检验假设H0：1 2，H1：1 2
引入 t统计量
T (X Y) ,
Sw
1 1 nm
其中
Sw2
的原因，即样本容量不够大．
若样本容量足够大，则不论把哪个假设作 为原假设所得检验结果基本上应该是一样的．否 则假设检验便无意义了！
正态总体参数假设检验
16 July 2012
嘉兴学院
第七章 假设检验
第18页
7.2.2 两个正态总体均值差的检验 检验 法 u检 验 t检 验 条 件 原假 设 备择 假设 检验统 计量 拒绝域
已 知
未 知
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16 July 2012
第七章 假设检验
第19页
大样 本检 u验 近似 t检 验
未知 m,n充 分大 未知 m,n不 很大
16 July 2012
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第七章 假设检验
第4页
(a)
16 July 2012
(b)
(c)
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第七章 假设检验
第5页
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。 下面以 由 为例说明： 可推出具体的拒绝域为
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布 写出，具体为
16 July 2012
16 July 2012
16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0
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第七章 假设检验
第30页
这是两正态总体方差之比的双侧假设检验问题， 待检假设为 此处 m=7，n=8，经计算
于是 查表知 ，若取 =0.05，
通常 , 均未知，记 , 分别是由 算得的 的无偏估计和由 算得的 的无偏估计.
16 July 2012
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第七章 假设检验
第28页
可建立检验统计量: 三种检验问题对应的拒绝域依次为
或
16 July 2012
}。
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第七章 假设检验
第29页
例7.2.5 甲、乙两台机床加工某种零件，零件 的直径服从正态分布，总体方差反映了加工 精度，为比较两台机床的加工精度有无差别， 现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8 件产品，测得其直径为 X (机 床甲) Y (机 床乙)
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第七章 假设检验
第18页
7.2.2 两个正态总体均值差的检验 检验 法 u检 验 t检 验 条 件 原假 设 备择 假设 检验统 计量 拒绝域
已 知
未 知
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大样 本检 u验 近似 t检 验
未知 m,n充 分大 未知 m,n不 很大
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第4页
(a)
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(b)
(c)
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该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。 下面以 由 为例说明： 可推出具体的拒绝域为
该检验的势函数是 的函数，它可用正态分布 写出，具体为
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16.2 16.4 15.8 15.5 16.7 15.6 15.8 15.9 16.0 16.4 16.1 16.5 15.8 15.7 15.0
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这是两正态总体方差之比的双侧假设检验问题， 待检假设为 此处 m=7，n=8，经计算
于是 查表知 ，若取 =0.05，
通常 , 均未知，记 , 分别是由 算得的 的无偏估计和由 算得的 的无偏估计.
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可建立检验统计量: 三种检验问题对应的拒绝域依次为
或
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}。
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第七章 假设检验
第29页
例7.2.5 甲、乙两台机床加工某种零件，零件 的直径服从正态分布，总体方差反映了加工 精度，为比较两台机床的加工精度有无差别， 现从各自加工的零件中分别抽取7件产品和8 件产品，测得其直径为 X (机 床甲) Y (机 床乙)
§8.2 正态总体的参数检验
(n
1)S 2
2 0
2
2
待估参数
2
枢轴量及其分布 置信区间
2
(n
1)S 2
2
~
2
(n
1)
(未知)
(n 1)s2 (n 1)s2
(
2
2
(n
1)
,
12
2
(n
1)
)
ch8-30
例5 新设计的某种化学天平，其测量 误差服从正态分布, 现要求 99.7% 的测
P ( X 0 k 0 ) PH0 ( X 0 k )
PH0 (
X 0
k
) PH0 (
X 0
Z )
2
n
n
n
取k Z
2n
所以本检验的拒绝域为
： U z
2
U 检验法
U 检验法 (2 已知)
ch8-3
同一函数
假 统计量
设 检 接受域
验
枢轴量 区 间
置信区间 估
计
1
对偶关系
ch8-27
假设检验与置信区间对照
原假设 H0
0
备择假设 检验统计量及其在
H1
H0为真时的分布
0
U
X 0
~
N (0,1)
n
（ 2 已知)
待估参数 枢轴量及其分布
接受域
x 0
n
z
ch8-18
拒绝域
T t
2
T t
1 – 2 1 – 2 >