苏教版二次函数导学案
苏科版初三九年级数学《二次函数》全章导学案教案(共11课时)
官墩九年制学校九年级班数学学案
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与
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画出函数
、你能否在这个直角坐标系中，再画出函数
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轴有两个公共点（x1,0）、(x2,0),
个不相等的实数根：。
2-6x+9与y= x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数；
）判断一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况；
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两点，求C，A，B的坐标；
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结果球离球洞的水平距离还有2m．
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１．河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的
位置时，水面宽 AB = 30米，这时水面离。
九年级数学下册 第5章 二次函数复习导学案(无答案)(新版)苏科版
二次函数学习目标总结近两年中考试卷中的二次函数问题，有针对性的进行分析、总结学习难点1.能结合具体情境体会二次函数的意义。
2.能根据已知条件确定二次函数表达式。
3.会画二次函数的图像，通过图像理解其性质。
4.能用二次函数解决一些实际问题。
5.能确定二次函数图像的顶点坐标、开口方向与对称轴，并能解决简单的实际问题。
6.会利用二次函数图像求一元二次方程的近似解。
教学过程例1．新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x 个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC 为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？例2．已知抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，•抛物线的对称轴交轴于点E，点B的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC 分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．ODBCA例3．已知抛物线（）与轴的一个交点为，与y轴的负半轴交于点C，顶点为D．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点A的坐标；（2）以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的解析式；②点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．OxyABCD例4．在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线上．（1）点A的坐标为，点B的坐为；（2）抛物线的关系式为；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的积；（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．【课后作业】班级姓名学号1．如图所示．某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造．已知△ABC的边BC长120米，高AD长80米。
九年级数学下册第六章二次函数的图像与性质导学案苏科版
6.2.1二次函数的图像与性质⑸班级 姓名 【学习目标】1.会用描点法画二次函数c bx ax y ++=2的图像，掌握它的性质. 2.渗透数形结合思想. 【课前自习】1. 根据()k h x a y ++=2的图像和性质填表：函 数图 像a开口 对称轴顶 点增 减 性 ()k h x a y ++=2向上当x 时，y 随x的增大而减少. 当0>x时，y 随x的增大而 .0<a当x 时，y 随x的增大而减少. 当x 时，y 随x 的增大而 .2.抛物线()1222++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线()1322---=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线()31212-+-=x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称；抛物线()31212-+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称. 5.()k h x a y ++=2被我们称为二次函数的 式.【课堂助学】教师 评价家长 签字xyOxyO一、探索归纳：1.问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ 2.你有办法解决问题①吗？222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 .3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式，从而直接得到它的图像性质.练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②232++=x x y ③c bx ax y ++=24.归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以被整理成顶点式： ，说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①4322+-=x x y ②232++-=x x y ③x x y 22--=二、典型例题： 例1、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑵列表：顶点坐标填在x… ……⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ，与x 轴有 个交点.12212-+=x x y xy O 1-1-2-3-4-5234512-1-2例2、已知抛物线c x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上 ，求抛物线的顶点坐标.【课堂检测】1.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①232+-=x x y ②242++=x x y2.用公式法把下列二次函数化成顶点式：①4322-+-=x x y ②2212+-=x x y3.用描点法画出322-+=x x y 的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑵列表：⑷观察左图：①抛物线与y 轴交点坐标是 ； ②抛物线与x 轴交点坐标是 ；③当=x 时，0=y ； ④它的对称轴是 ； ⑤当x 时，y 随x 的增大而减小.【课外作业】x… … 322-+=x x y …x yO 1-1-2-3-423412345-1-2-3-41.用配方法把下列二次函数化成顶点式：①252+-=x x y ②322-+=x x y2.用公式法把下列二次函数化成顶点式： ①322-+-=x x y ②x x y -=2213.抛物线y= 3x 2+2x 的图像开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x= 时， y 有最 值是 .4.函数y=-2x 2+8x+8的对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.5.用描点法画出23212+--=x x y 的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑵列表： ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察上图：①抛物线与y 轴交点坐标是 ；抛物线与x 轴交点坐标是 ； ②当=x 时，0=y ； ③它的对称轴是 ； ④当x 时，y 随x 的增大而减小.x… … …教师 评价家长 签字23212+--=x x y xy O 1-1234-2-3-4-5512-1-2-3。
苏科版初三二次函数与一元二次方程导学案
苏科版初三二次函数与一元二次方程导学案课程主题： 二次函数与一元二次方程 学习目标把握二次函数的图像及性质的解题技巧教学内容一、二次函数与医院二次方程 【知识梳理】（一）摸索与探究：1、观看右图，从关系式看：二次函数y =x 2－2x －3成为一元二次方程x 2－2x －3=0的条件是什么？2、反映在图象上：观看二次函数y =x 2－2x －3的图象， 你能确定一元二次方程x 2－2x －3=0的根吗？3、结论：一样地，假如二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点（x 1,0）、(x 2,0),那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根x 1、x 2。
反过来也成立。
4、观看与摸索： 观看下列图象：（1）观看函数y = x 2－6x +9与y = x 2－2x +3的图象与x 轴的公共点的个数； （2）判定一元二次方程x 2－6x +9=0和x 2－2x +3=0的根的情形； （3）你能利用图象说明一元二次方程的根的不同情形吗？ （二）归纳提高：1、判定下列函数的图象与x 轴是否有公共点，说明理由. （1）y =x 2－x (2)y =－x 2+6x －9 (3)y =3x 2+6x +112、已知二次函数1x m x y 2-+=．（1）当m 取何值时，它的图象与x 轴有两个公共点？ （2）当m 取何值时，它的图象与x 轴有一个公共点？ （3）当m 取何值时，它的图象与x 轴没有公共点？3、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，依照图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集． （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范畴． ___例题x y 3 3 2 2 1 1 4 1- 1- 2-O（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范畴_______________4、如图，抛物线y =ax 2+bx 与直线y =kx 相交于O （0，0）和A （3，2）两点， 则不等式ax 2+bx ＜kx 的解集为 __________1.方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ．2.方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ． 3．下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ）4．已知二次函数y=x 2﹣2mx+m 2+3（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？【知识梳理】自主探究问题1：请画出二次函数y=x 2+2x-5 的图象问题2：你能说出二次函数y=x 2+2x-5 的图象与一元二次方程x 2+2x-5=0的关系吗？ 问题3：二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的函数值有何特点？交点邻近点的函数值有何特点？问题4：从图象上来看，二次函数y ＝x 2＋2x －5的图象与x 轴交点的横坐标分别在哪两个整数之间？具备问题．．3．中发觉的特点吗？ 问题5：为了进一步缩小探究的范畴，如何在确定的两个整数之间连续取值，从而逐步靠近使函数值y=0的自变量x 的值，有何技巧吗？ 试试看例1 利用函数图象，求下列方程的解：（1）x 2＋2x －3 ＝0 （2）2x 2－5x ＋2＝0 例2 关于x 的二次三项式2x px q ++的值的情形,可列表如下:x0.51 1.11.21.32x px q ++15-8.75-2-0.59-84.029.2则方程20x px q ++=的正数解满足例题0542=-+x x 542-+=x x y 025102=-+-x x 25102-+-=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y DA ．解的整数部分是0,十分位是5B ．解的整数部分是0,十分位是8C ．解的整数部分是1,十分位是2D ．解的整数部分是1,十分位是1 例3 利用函数图象，求方程x 2－x －3 ＝0的近似解（精确到0.1）： 例4、利用函数图象，求方程x 2+2x ＝3x +6的解1.抛物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为_________________________,2.依照下列表格的对应值： (a ≠判定方程0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范畴是（ ）A 3＜x ＜3.23B 3.23＜x ＜3.24C 3.24＜x ＜3.25D 3.25 ＜x ＜3.26 3.已知二次函数y=kx 2＋3x －4 ①若它的的图象与x 轴只有一个交点，则k= ；②若它的的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范畴．4.若关于x 的方程x 2-x-n=0没有实数根，则抛物线y= x 2-x-n 与x 轴的交点情形为,顶点在第________象限．5.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24，c b a N +-=，b a P 24+=，则 （ ） A ．0,0,0>>>P N M B. 0,0,0><>P N M C. 0,0,0>><P N M D. 0,0,0M N P <<< 6.利用二次函数的图象求方程x 2+2x-2=0的近似根（精确到0.1）7.利用函数图象求方程组 ⎩⎨⎧=+-=262xy x y 的近似解（精确到0.1） 例题1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )x3.233.243.25 3.26 －0.06 －0.020.03 0.0902=++c bx ax c bx ax ++2A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0 例题2、平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2021)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位例题3、如图10-2，是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是 . 例题4、已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值． 解：（1）证明：法一：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．依照一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-． ∴2b m =，23c m =， ∴224312c b m ==．法二：由题意得⎩⎨⎧=--=-+039022c bm m c bm m ，①—②得0482=+-bm m ，因为0m ≠，因此m b 2=．代入①得0222=-+c m m ，因此23m c =，因此2124m c =，22123m b =，因此243b c =．法三：由抛物线的轴对称性可知其对称轴为2)3(2m m b x -+=-=，可得m b 2=（下同法二）． （2）解：法一：依题意，12b -=，∴2b =-． 由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--．∴二次函数的最小值为4-．法二：因为函数图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）， 因此由抛物线的轴对称性可知抛物线的对称轴是直线m x -=，因此1=-m ，因此1-=m ，故抛物线与x 轴的两交点为)0,1(-、)0,3(， 因此抛物线的解析式为32)3)(1(2--=-+=x x x x y ， 当1=x 时，4321-=--=最小y ， ∴二次函数的最小值为4-．例题5、定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特点数, 下面给出特点数为 [2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象通过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④分析：把m ＝－3代入[2m ，1–m , –1–m]，得a ＝－6，b ＝4，c ＝2，函数解析式为y ＝－6x 2+4x+2，易求出其图像顶点为(31，38)，故①正确；当a=2m 、b=1-m 、c=-1-m 时，△=b 2－4ac ＝(1－m)2－4×2m×(－1－m)＝(3m+1)2，依照公式①可知函数图象截x 轴所得的线段长度为21x x -a ∆=mm 2)13(2+==m m 213+，当m ＞0时，21x x -=m m m 2123213+=+＞32，故②正确；∵m ＜0，∴抛物线开口向下.∵抛物线对称轴为x ＝－2b a ＝122m m --⨯＝1144m -，∴在对称轴左侧，即当m x 4141-<时，y 随x 的增大而增大，对称轴右侧，即当mx 4141->时，y 随x 的增大而减小.在∵14<1144m -,因此当x >41时，图像有可能一部分在对称轴左侧，一部分在对称轴右侧，故③不正确；关于抛物线y=2mx 2+(1-m)x-1-m 时，当x=1时，y=2m+1－m+(－1－m)＝0，∴当m≠0时，抛物线一定通过(1，0)那个点，故④正确．答案：B. 例题6、若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范畴是 ．分析：这是一个一元二次方程问题，假如直截了当用一元二次方程的根来列不等式组，需要列5个不等式，也确实是：0402>-=∆a 、04402>-+-a a 、14402<-+-a a 、04402>---a a 、14402<---a a ，如此将会专门苦恼．那么如何解才能比较简单呢？假如我们利用二次函数图像来关心分析，解法将简单得多．令522++=ax x y ，如图10-3我们能够画出那个函数的大致图像．依照图像对称轴在y 轴右侧，可知04>-a，解得0<a ．再依照0402>-=∆a 可得102-<a ．依照图像特点可知图像上横坐标为1和2的两个点的纵坐标差不多上正数，因此可得⎩⎨⎧>+⋅+⨯>+⋅+⨯052220511222a a ，可解得213->a ．如此就能得到a 的取值范畴是102213-<<-a ． 答案：102213-<<-a ． 例题7、已知函数y 1＝x 2与函数y 2＝－12 x ＋3的图象大致如图10-4，若y 1＜y 2，则自变量x 的取值范畴是（ ）A ．－12 ＜x ＜2B ．x ＞2或x ＜－32C ．－2＜x ＜32D ．x ＜－2或x ＞32分析：当y 1＜y 2时，在图象中反映的是直线在抛物线的上方，也确实是两函数图像两个交点之间的部分，因此我们要求出这两个函数图像的交点．由⎪⎩⎪⎨⎧+-==3212x y x y 解得⎩⎨⎧=-=4211y x 、⎪⎩⎪⎨⎧==492322y x ，因此满足要求的自变量x 的取值范畴应该是－2＜x ＜32 ． 答案：C ．1、抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情形为 ． 答案： 没有实数根． 2、函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ、0个Ｂ、1个Ｃ、2个Ｄ、1个或2个 答案：Ｃ2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=092-<22y mx x m =+-m x）、下图是二次函数）依照图像确定，，，求那个二次函数的函数表达式．）抛物线开口向上，，，244ac b a -21x x =--y ax =a b 4560∠4560∠OB．．、已知二次函数）求证：当360=1OB OA 1-23x -y =0m ≠，是方程，或课后作业、关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数0m ≠224x mx -21124222ABCSAB h m m ===m 2284y x x ∴=++2284y x x =-+x 25mx mx m ++=，．，．的图像与答案：（3，0）(10)A -，18ABP=4AB =2113x =+(1139)P +，269x x -+-。
【最新】苏科版九年级数学下册第五章《二次函数》导学案1
新苏科版九年级数学下册第五章《二次函数》导学案【知识扫描】1．一般地，形如_____________________________（a 、b 、c 为常数，且_________）的函数称为二次函数。
当0,0a b c ≠==时，则y =__________；当0,0,0a b c ≠=≠时，则y =__________；当仅有0c =时，则y =__________；这些函数都叫做____________。
2．能根据题意列出函数关系式；3．注意：函数自变量取值通常有一定的范围。
【基础训练】二次函数的定义：1.下列函数中（x 是自变量）是二次函数 （ ）A 、2(1)y x x x =-+B 、22y =-C 、22()1y x x x =+-D 、21y x x =+ 2．已知函数24(2)k k y k x+-=+是二次函数，求k 值。
※能列出函数的关系式：3．已知一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ，设其中一条直角边长为x cm ，它的面积为y cm 2，则y 关于x 的函数关系式为___________________； 4．将铁丝围成的边长为x cm 的正方形，如果一组对边每条边都增加2cm ，另一组对边每条边都减少2cm ，那么得到的长方形的面积为y cm 2与x 的函数关系式是___________________；5．某工厂第一年的利润为20万元，年增长率为x ，则第三年的利润y （万元）与x 的函数关系式为_________________；6．设圆柱的高为6cm ，底面半径为r cm ，底面周长为C cm ，圆柱的体积为V cm 3.①C 关于r 的函数关系式为__________________________；②V 关于r 的函数关系式为________________________；③V 关于C 的函数关系式为______________；这三个函数中，___________________是二次函数（只填序号）；解决实际问题：7．如图，矩形的长是4cm ，宽是3cm ，长和宽都增加x cm ，那么面积增加y cm 2。
苏科版九年级数学下册《二次函数的图像和性质(1)》导学案1-新版
课题：5.2二次函数的图像和性质（1）
学习目标：
1．能用描点法画函数y＝x2的图像；
2．能画函数y＝－x2的图像，并说出它与y＝x2的图像的共同特征；
3．感受数形结合的数学思想方法，体验由具体到抽象、特殊到一般的研究方法。
学习过程：
【创设情境】
复习：1．画函数图像步骤：列表、描点、连线．
2．研究函数性质方法：数形结合．
3．猜想二次函数图像是怎样的？
【新知探究】
问题1：根据二次函数y＝x2表达式，你能描述它的图像有什么特征吗？
问题2：（1）在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数y＝x²的图像。
①列表
③连线
（2）类似地，在平面直角坐标系中，画出二次函数y＝－x2的图像。
（3）二次函数y＝x2的图像与二次函数y＝－x2的图像有什么共同特征？
总结归纳：
【拓展延伸】
问题3：
（1）若点P（2，－1）在二次函数y＝ax2的图像上，则该函数的表达式是_______________。
（2）直线y＝3x－2与抛物线y＝x2的交点坐标是____________________________。
【回扣目标】
通过这节课的学习，说说自己的收获。
【课堂反馈】
见《课时作业本》P6的“课堂作业”。
九年级数学下册 5.2 二次函数的图象与性质导学案2(新版)苏科版
二次函数的图象与性质【学习目标】1.会用列表描点法画二次函数y =ax 2＋k 、y =a (x ＋m )2的图象；2.探索出二次函数y =ax 2＋k 、y =a (x ＋m )2的图象与二次函数y =ax 2的图象的关系；3.能从图象上认识二次函数y =ax 2＋k 、y =a (x ＋m )2的性质.【知识准备】写出二次函数y =ax 2（a ≠0）的性质.【课前预习】预习课本P 12操作与思考至P 14练习，完成下列问题1.用列表描点法在图①中画出二次函数y =x 2、y =x 2－12x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y =x 2…… y =x 2－1 … … y =x 2＋2 ……2.用列表描点法画二次函数=、=－1和=＋2的图象过程中，⑴从表格中的数值看，相同自变量所对应的三个函数值有什么关系？ 图①⑵从对应点的位置看，三个函数的图象的位置有什么关系？3.结合函数图象回答：y =x 2＋2开口 ，对称轴为 ，顶点为 ，当 时，函数取最 值为 ， 当x ＞0时，y 随的x 增大而 .4.用列表描点法在图②中画出二次函数y =－12x 2、y =－12x 2－2和y =－12x 2＋3的图象.x … －3 －2 －1 01 2 3 … y =－12x 2…… y =－12x 2－2 ……oyxoy xy =－12x 2＋3 ……5.用列表描点法画二次函数y =－12x 2、y =－12x 2－2和y =－12x 2＋3的图象过程中， 图②⑴从表格中的数值看，相同自变量所对应的三个函数值有什么关系？⑵从对应点的位置看，三个函数的图象的位置有什么关系？ 【课中研学】活动一：探究二次函数y =ax 2＋k 的图象与性质.活动二：探究二次函数y =a (x ＋m )2的图象与性质.描点、画图：… ………… ………… ………当堂反馈：1.抛物线y =2x 2－9的开口 ，对称轴为 ，顶点坐标是 ，当x ＜0时，y 随的x 增大而 ，当 时，函数取最 值为 ，它可以看做是由抛物线y =2x 2向 平移 单位得到的.oyx2.如果抛物线y=－3x2与y=a(x－2) 2的形状相同但开口方向相反，那么抛物线y= a(x－2) 2的对称轴为，顶点坐标是，当x时，y随的x增大而增大，当时，函数取最值为 .【课后整学】1.作业课本P19习题6.2中的3、4.2.通过本堂课的学习，我的收获和困惑：。
苏版初三数学上二次函数的图像与性质导学案
苏版初三数学上22教学目标： 二次函数c bx ax y ++=2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质。
重点：通过配方确定抛物线的对称轴、顶点。
难点：二次函数c bx ax y ++=2的性质。
前置预习（ 阅读教材第37至39页，自学“摸索”和“探究”） 1．说出函数1)2(42+--=x y 图象的开口向_____、对称轴_______、顶点坐标________2．抛物线24x y -=先向______平移_______个单位长度，再向______平移_______个单位长度就得到抛物线1)2(42+--=x y 。
3、抛物线的顶点为)3,3(，且通过原点O ，则此抛物线的解析式是_________________.合作探究摸索：我们差不多明白二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数216212+-=x x y 的图象和性质？分析：这种函数形式并不是我们所熟悉的二次函数，因此考虑将其变形进行配方。
提取二次项系数:21)___(212+-=x x y配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方:21___)______(212+-+-=x x y前三项化为完全平方式,后两项合并同类项:________(212+-=）x y化简得： 因此，216212+-=x x y 图像的开口向____、对称轴为__________、顶点为_________ 假如我们直截了当画二次函数216212+-=x x y 的图象，可按如下步骤进行:利用图形对称性列表：x...3 4 5 6 7 8 9 (2162)12+-=x x y ......描点画图：从图像中能够看出：当____x 时，y 随x 的增大而减小；当____x 时，y 随x 的增大而增大。
5、探究：你能通过配方法把)02≠++=a c bx ax y （化成)0((2≠+-=a k h x a y ）的形式吗？ )02≠++=a c bx ax y （提取二次项系数：＿＿＿++=)___(2x x a y 配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方:__________)______(2+-++=x x a y前三项化为完全平方式,后两项合并同类项:________(2++=）x a y 化简得：因此，抛物线)02≠++=a c bx ax y （的对称轴是________，顶点是________________归纳：二次函数)02拓展提高 1．填空：(1)抛物线222+-=x x y 配方后得________,它的顶点坐标是_______； (2)抛物线25222--=x x y 的开口向_______，对称轴是_______；(3)抛物线8422+--=x x y 的开口向_______，顶点坐标是_______；(4)抛物线42212++-=x x y 的对称轴是_______；2.二次函数342++=x x y 的图像能够由二次函数2x y =的图像先向_______平移_____个单位长度，再向______平移_______个单位长度而得到。
苏科版九年级数学下册 第5章：二次函数 导学案
苏科版九年级数学下册第5章二次函数二次函数知识点1：二次函数的概念【基本知识】1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c（a b c，，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。
二次函数2y ax bx c的定义域是一切实数2. 二次函数2y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．典例精讲：类型一：二次函数的基本概念1．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．2．如果函数y=(k−3)x k2−3k+2+7x+2是关于x的二次函数，那么k的值是．3．函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．类型二：二次函数的图像与性质1．某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m．根据图象，当推出秋千3s后，秋千的高度为（）A．10m B．15m C．16m D．18m2记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A．y＝﹣（x﹣60）2+1825B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850C．y＝﹣（x﹣65）2+1900D．y＝﹣2（x﹣65）2+20003小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）x/分… 2.66 3.23 3.46…y/米…69.1669.6268.46…A．8分B．7分C．6分D．5分4．抛物线y＝4x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为．5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c ＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣3，y1）、N（6，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是．（只要填序号）6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．若存在实数c，使得x1≤c﹣3，且x2≥c+3成立，则m的取值范围是．7．已知函数y1={x+3，(x＜0)(x−1)2+2，(x≥0)，探究其图象和性质的过程如下：（1）函数图象探究：①下表是y1与x的部分对应值，则表格中的a＝，b＝．x…﹣3﹣2﹣100.51 1.52 2.53…y1…0123 2.25a 2.253b6…②根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；（2）观察函数的图象，请描述该函数的一条性质．8．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E 为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由．类型三：与二次函数相关的实际应用问题1．二次函数y=12（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5）B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）2．将抛物线y＝x2先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，则新的函数解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+13．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是平方米．4．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧CÊ和弧FD̂组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD 的视图，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH 的水平距离为2cm 去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为 cm ．5．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于13米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．6．如图，B 船位于A 船正东25km 处，现在A ，B 两船同时出发，A 船以6km /的速度朝正北方向行驶，B 船以8km /h 的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是 km ．练习1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1），点B（−12，y2），点C（72，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2，其中正确的结论有（）A．1个B．2C．3个D．4个2．在抛物线y＝x2﹣2x﹣4上的一个点是（）A．（1，4）B．（2，4）C．（3，4）D．（4，4）3．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是（）A．﹣3≤y＜0B．﹣4≤x＜﹣3C．﹣4＜y＜0D．﹣4≤y＜04．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c ＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．在直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，则：（1）抛物线的对称轴为直线x＝；（2）若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为．10．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=14x2−2x+6的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y＝x2+1于点B，点B在第一象限．（1）求点A的坐标；（2）点P为x轴上任意一点，连结AP、BP，求△ABP的面积．。
苏科版九年级数学下册 第5章：二次函数 导学案
苏科版九年级数学下册第5章二次函数二次函数知识点1：二次函数的概念【基本知识】1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c（a b c，，是常数，0a ）的函数，叫做二次函数。
二次函数2y ax bx c的定义域是一切实数2. 二次函数2y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．典例精讲：类型一：二次函数的基本概念1．函数y＝（m+1）x|m|+1+5x﹣5是二次函数，则m＝．2．如果函数y=(k−3)x k2−3k+2+7x+2是关于x的二次函数，那么k的值是．3．函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．类型二：二次函数的图像与性质1．某地网红秋千在推出后吸引了大量游客前来，其秋千高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，已知秋千在静止时的高度为0.6m．根据图象，当推出秋千3s后，秋千的高度为（）A．10m B．15m C．16m D．18m2记某商品销售单价为x元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为y元，且y是关于x的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则y与x的函数关系式是（）A．y＝﹣（x﹣60）2+1825B．y＝﹣2（x﹣60）2+1850C．y＝﹣（x﹣65）2+1900D．y＝﹣2（x﹣65）2+20003小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y（米）与旋转时间x（分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（）x/分… 2.66 3.23 3.46…y/米…69.1669.6268.46…A．8分B．7分C．6分D．5分4．抛物线y＝4x2先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为．5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c ＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣3，y1）、N（6，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是．（只要填序号）6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物线上的两点．若存在实数c，使得x1≤c﹣3，且x2≥c+3成立，则m的取值范围是．7．已知函数y1={x+3，(x＜0)(x−1)2+2，(x≥0)，探究其图象和性质的过程如下：（1）函数图象探究：①下表是y1与x的部分对应值，则表格中的a＝，b＝．x…﹣3﹣2﹣100.51 1.52 2.53…y1…0123 2.25a 2.253b6…②根据上表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；（2）观察函数的图象，请描述该函数的一条性质．8．如图，抛物线C1的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1关于直线x＝1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E 为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由．类型三：与二次函数相关的实际应用问题1．二次函数y=12（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A．向上，直线x＝4，（4，5）B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5）C．向上，直线x＝4，（4，﹣5）D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5）2．将抛物线y＝x2先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，则新的函数解析式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x﹣2）2+13．一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是平方米．4．小林家的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图1）．当手按住顶部A下压如图2位置时，洗手液瞬间从喷口B流出̂和弧FD̂组成，其圆心分别为D，C．下部分的是矩形CGHD 路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由弧CE的视图，GH＝10cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液时，则手心距水平台面的高度为cm．5．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行使，并保持车辆顶部与隧道有不少于13米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 米．6．如图，B 船位于A 船正东25km 处，现在A ，B 两船同时出发，A 船以6km /的速度朝正北方向行驶，B 船以8km /h 的速度朝正西方向行驶，则两船相距最近是 km ．练习1．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：（1）4a +b ＝0；（2）9a +c ＞3b ；（3）8a +7b +2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1），点B （−12，y 2），点C （72，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2C ．3个D ．4个2．在抛物线y＝x2﹣2x﹣4上的一个点是（）A．（1，4）B．（2，4）C．（3，4）D．（4，4）3．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是（）A．﹣3≤y＜0B．﹣4≤x＜﹣3C．﹣4＜y＜0D．﹣4≤y＜04．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c ＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45．在直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）交y轴于点A，点B是点A关于对称轴的对称点，点C是抛物线的顶点，则：（1）抛物线的对称轴为直线x＝；（2）若△ABC的外接圆经过原点O，则a的值为．（2）先求得顶点坐标，然后利用待定系数法确定函数关系式，即求得a的值．6．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣5，0），对称轴是直线x＝﹣2，则a+b+c＝．7．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3自变量x部分取值和对应函数值如表x…﹣2﹣10123…y…50﹣3﹣4﹣30…若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣m＝0在实数范围内有解，则实数m最小值为．8．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3从小到大的关系是9．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+m﹣4（m为常数）与y轴的交点为C，M（3，0）与N（0，﹣2）分别是x轴、y轴上的点（1）当m＝1时，求抛物线顶点坐标．（2）若3≤x≤3+m时，函数y＝﹣x2+4x+m﹣4有最小值﹣7，求m的值．（3）若抛物线与线段MN有公共点，直接写出m的取值范围是．10．如图，在平面直角坐标系中，过抛物线y=14x2−2x+6的顶点A作x轴的平行线，交抛物线y＝x2+1于点B，点B在第一象限．（1）求点A的坐标；（2）点P为x轴上任意一点，连结AP、BP，求△ABP的面积．。
苏版初三册《二次函数》导学案
苏版初三册22班级姓名小组第一段--自学质疑（第1课时）【环节一】自主学习——明确目标自学教材(12分钟)1.目标导学在预习的过程中，明确本节的学习内容与目标，注意任务的要求和时刻的分配，重在明白得，积极参与自主探究，提高学习效率.2. 教材自学（时刻：4分钟）独立认真预习课本P28-P29页的内容，弄清：（1）依照课本给出的实际问题得到相关的函数关系式.（2）二次函数的概念及二次项系数、一次项系数和常数项.（3）二次函数中a,b.c有如何样的要求？当a=0时，那个函数是二次函数吗？3.资源助学（时刻：4分钟）观看微课《二次函数的差不多概念》(或其它资源：课件、文本资料等)，弄清：（1）二次函数及其有关概念.（2）依照二次函数的有关概念解决一些简单问题.4.合作互学（时刻：4分钟）组内结对检测互查以下问题：二次函数的定义：形如___________ 的函数叫做二次函数．自变量x 取值范畴为__________．【环节二】自学检测---在线测学 质疑思学（5分钟）1.在线测学（时刻： 3分钟）先独立完成导学案上的自学检测题，然后在线上提交客观题的答案,对比正确答案,对错题进行反思.某工厂一种产品的年产量是20件，假如每一年都比上一年的产品增加x 倍，两年后产品y 与x 的函数关系是（ ）A. y=20（1﹣x ）²B. y=20+2xC. y=20（1+x ）²D. y=20+20x ²+20x2.有一根长60cm 的铁丝，用它围成一个矩形，写出矩形面积S （cm2）与它的一边长x （cm ）之间的函数关系式为（ ）A. S=60xB. S=x （60﹣x ）C. S=x （30﹣x ）D. S=30x3. 如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD 的边AB=x 米，面积为S 平方米，则下面关系式正确的是（ ）A. S=x （40﹣x ）B. S=x （40﹣2x ）C. S=x （10﹣x ）D. S=10（2x ﹣20）4. n 个球队进行单循环竞赛（参加竞赛的任何一只球队都与其他所有的球队各赛一场），总的竞赛场数为y ，则有（ ）A. y=2nB. y=n ²C. y=n （n ﹣1）D. y=21n(n -1)5.下列函数中哪些是y 关于x 的二次函数？（1）22x y = (2) 22y x a =+ (3) 212y x x =-（4）y = （5）2(1)3y x =--（6）322y x x =- （7）22(2)y x x =-- （8）2y ax x =-2.总结反思（时刻：2分钟）把你在本次课程学习中的困惑与建议如实填写在下面，与组内同学交流后，以小组为单位整理好后拍照上传.-训练展现（第2课时）【环节三】自展提升---合作探究展现交流基础过关：（时刻：3分钟）依照线上提交的自学检测，生生、师生交流，纠正共性问题.典例解析:（时刻：13分钟）例1、已知函数y=(m2-4)x2+(m2-3m+2)x-m-1当m为何值时，y是x的二次函数？当m为何值时，y是x的一次函数？家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。
【苏科版】九年级数学下册优秀导学案：第6章二次函数6.2二次函数的图象和性质1
学习反思：
（1） （2） （3）
2．已知二次函数y=ax2经过点A（－2，4）
（1）求出这个函数关系式；
（2）写出抛物线上纵坐标为4的另一个点B的坐标，并求出S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在另一个点C，使得△ABC的面积等于
△AOB面积的一半？如果存在，求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由
四、提炼总结：
合
作
探
究
一、新知探究：
二次函数 的图象是什么呢？
（1）描点法画函数 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数 的图象，你能得出什么结论？
二、例题分析：
在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象。
（1） （2）
三、展示交流：
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象。
情感、态度与价值观：
初步建立二次函数表达式与图象之间的联系．
学习重点
利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，．
学习难点
函数图象的画法，及由图象概括出二次函数y=x2性质，它难在由图象概括性质，结合图象记忆性质
教学流程
预
习
导
航
我们已经知道，一次函数 ，反比例函数 的图象分别是、，那么二次函数 的图象是什么呢？它有何性质呢？
当
堂
达
标
1．抛物线y=ax2与y=2x2形状相同，则a=。
2．已知函数y=ax2当x=1时y=3，则a=,对称轴是，顶点是,抛物线的开口，在对称轴的左侧，y随x增大而，当x=时，函数y有最值，是.
3．已知函数y=ax2的图象过点 ,则此图象上纵坐标为 时的点的坐标为.
苏教版九年级上册《二次函数》导学案
二次函数§1 二次函数所描述的关系◆导学目标1、二次函数的定义2、能够表示简单变量之间的二次函数关系3、（1）创设情景，激发学生学习兴趣与热情，体会“生活中处处留心皆数学”的真理。
（2）让学生能够全身心地投入到数学活动中去，能积极与同伴合作交流，培养学生自主探索的意识和团结协作的精神。
◆课堂导学例1、某果园有100颗橙子树，每一颗树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一颗树所接受的阳光就会减少。
根据经验估计，每多种一颗树，平均每颗树就会少结5个橙子。
⑴问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？⑵假设果园增种x 颗橙子树，那么果园共有多少颗橙子树？这时平均每颗树结多少个橙子？⑶如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式。
知识点：一般地，形如_________________________的函数叫做二次函数 例2、下列各函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）（A ）01=-+y x （B ）2)1()1)(1(---+=x x x y （C ）211x y ++= （D ）023)1(22=-+-y x 思路点拨：以二次函数定义的一般形式y=ax 2+bx+c (a ≠0)例3、在例1问题中，种多少颗橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？◆当堂导练1、下列函数中，哪些是二次函数？2232251,22,2521,321t t s x y x x y x y ++=+=+-=+-=2、圆的半径是1㎝，假设半径增加x ㎝时，圆的面积增加y ㎝2， ⑴写出y 与x 之间的关系式；⑵当圆的半径分别增加1㎝，2㎝，2㎝时，圆的面积增加多少？3、某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m. ⑴长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S （m 2）如何表示？⑵如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需费用y （元）表示，那么y 的表达式是什么？右手栏◆课后练习基础训练1、下列函数中，是二次函数的是（ ） （A ）162+=x y （B ）16+=x y （C ）16+=x y （D ）162+=xy 2、已知二次函数)0(2≠=a ax y ，若当5=x 时，25=y ，则当1=x 时，y 的值为________。
新版苏科版九年级下5.2二次函数的图像和性质(2)导学案
6.2 二次函数的图象和性质（2）学生姓名：______ 班级：目标导航：1、能利用表格和图象．．．．．研究二次函数2ax y =的性质（如开口方向、对称轴、顶点、增减性等）；2、掌握待定系数法，学会研究函数性质的途径和方法。
学习重点与难点：理解二次函数2ax y =的性质和待定系数法是学习的重点；难点是对性质和待定系数法确定二次函数关系式的实质的理解。
学习过程 一、知识准备： 本节课主要研究P 11-P 12的内容，请注意图、表相互结合来研究问题，注重“理解”．．．． 二、问题导学： 1.填表并观察思考2.思：通过1中的表和图，你能否概括出函数2x y =、2x y =和5.0x y -=、2x y = 的共同点和不同点？记录下来（注意记录的条理性）3.类比：对于二次函数2ax y =具有什么性质呢？你是怎样理解和记忆这些性质的呢？ 4.试一试：认真完成课本P 11练习（注意第3题的每一步的算理） 三、知识梳理1、求二次函数函数解析式的方法是： 2.二次函数图像性质是：…o (2)yx四、例题点评：例1：说出y=3x 2图象性质，并说出其图像与坐标轴的交点坐标。
例2．已知二次函数y=ax 2的图像经过点A （)81,21-、B （3,m ）. (1)求a 与m 的值；（2）写出该图像上点B 的对称点的坐标；（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（4）当x 取何值时，y 有最大值（或最小值）？五、当堂检测 ⒈根据函数关系式y=243x -填空： （1）图像开口向 ，，顶点坐标 ，对称轴 ；（2）当x ≥0时，y 随x 的增大而 ；当x= 时，y 的最 值是 . 2．二次函数y=ax 2的图像如图，该函数的关系式是 .如果另一个函数的图像与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 . 3.根据图（1）、（2）的函数图像填空：（1）二次函数y=-7x 2的图像不可能是 ，二次函数y=232x 的图像不可能是 ； （2）有最大值的函数图像是 ，它的最大值是 ；（3）如果二次函数y=(m-1)x 2的图像是图（1），那么m 的取值范围是 . 4．对于函数y=x 2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（ ） A 、若m 、n 互为相反数，则x=m 与x=n 对应的函数值相等；B 、对于同一自变量x ，有两个函数值与之对应；C 、对于任意一个实数y ，有两个x 值与之对应；D 、对于任何实数x ，都有y>0.(3)(2)(1)yxo5.在同一坐标系中，函数y=x 2，y=221x ，y=3x 2的图像如图。
新版苏科版九年级下5.2二次函数的图像和性质(3)导学案
6.2 二次函数的图像和性质（3）学生姓名：______ 班级：目标导航：1、能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系； 2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。
学习重点与难点：对二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。
学习过程： 一、知识准备本节课的学习的内容是课本P 12-P 14的内容,内容较长，课本上问题较多，需要你操作、观察、思考和概括，请你注意：学习时要圈、点、勾．．．．．、画．．，随时记录甚至批注课本，想想“那个人”是如何研究出来的。
你有何新的发现呢？二、问题导学：1.思考：二次函数12+=x y 的图象是个什么图形？是抛物线吗？为什么？（请你仔细看课本P12-P13，作出合理的解释）类似的：二次函数k ax y +=2的图象与函数2ax y =的图象有什么关系？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何？()23+=x 的图象是抛物线吗？如果结合下表和看课本P13-P14你的解释是什么？x24类似的：二次函数()2m x a y +=的图象与二次函数2ax y =的图象有什么关系？它的对称轴、顶点呢？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢 三、知识梳理1、二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、图像的形状，位置的关系是：2、它们的性质是：四、例题点评：例1： 函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到； y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到。
五、当堂检测⒈将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。
将抛物线y=-5x 2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。
苏教版二次函数导学案
二次函数导学案6.1二次函数1. 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展扩展的圆的面积 S 与半径r 之间的函数关系式是 ______________________ . 2.用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔 ，怎样围可使小兔的活动范围最大？在这个问题中，可设长方形生物园的长为X 米，则宽为 ________ 米，如果将面积记为y 平方米，那么 y 与x 之间的函数关系式为 y = ____________ ，整理为y = __________ 3.要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元， 踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为 1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多 少元？在这个问题中，地板的费用与 _____________ 有关,为 ______________ 元,踢脚线的费用 与 _______________ 有关，为 ___________ 元.其他费用固定不变为 _________ 元,所以总费用y (元)与 x (m )之间的函数关系式是 y = _________________________________________ ,整理为y= ________________________________ .4. 上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？5. 一般地，我们把形如：y = ___________________ ( ____________________ )的函数称为二次函数 .其中是自变量， _____ 是因变量，这是 _____ 关于 ______ 函数.6. 一般地，二次函数 y =ax 2，bx c 中自变量x 的取值范围是 __________________ .但在实际问题中，他们的取 值范围往往有所限制，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？① _______________ ② _________________ ③ __________________ 7、判断下列函数是否为二次函数 .如果是，写出其中2① y=1-3x () ② y = x(x - 5)()2 1④ y =3x(2 -x) 3x ( )⑤ y =(—)xk 28、当k 为何值时，函数 y =(k -1)x k 1为二次函数?9、用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 S 与它的半径r 之 间的函数关系式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围.a 、b 、c 的值. ⑦ y = x 4 2x 2 -1 ()2⑧ y = ax bx c ()210、已知二次函数y =ax，当x=3时, y = -5,1当y=(时,求x的值.621二次函数的图象与性质⑵1.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①y=^x 2②y 二-丄x 22 2X-3-2-11231 2 y =_x21 2 y=寸⑴共同点： ____________.___________⑵y 二丄x 2的图像开口向 ，顶点是抛物线的最点，2— —函数有最_值•在对称轴的左侧，即X________ 时，y 随X 的增大 而 ______ ;在对称轴的右侧，即 X ____ 时，y 随X 的 增大而__⑶y = _1x 图像开口向—，顶点是抛物线的最 —点， 函数有最2_值•在对称轴的左侧，即x ________ 时，y 随x 的增大 而 ______ ；在对称轴的右侧，即 x ____ 时，y 随x 的 增大而_—______ 成 _______ 对称•_________ ，它关于 ______ 对称；顶点坐标是 ________ ，说明当x =_时，y 有最值是 • ( 2)当a 0时，抛物线开口向_，顶点是抛物线的最 _点•在对称轴的左侧，即x _时，y 随x 的增大而 ___________ ；在对称轴的右侧，即x ___ 时，y 随x 的增大而 _. (3)当a ：：：0时，抛物线开口向 _，顶点是抛物线的最 _点•在对称轴的左侧，即 X_时，y 随x 的增大而 _______ ；在对称轴的右侧，即 X ____ 时，y 随X 的增大而 __3、根据y =ax 2的图象和性质填表：函数图像a开口 对称轴顶点 增 减 性2y =axy \向上(0,0 )当x时，y 随X 的增大而减少•当X A 0时，y 随X 的增大而a <0直线x = 0当X 时，y 随X 的增大而减少• 当X时，y 随X 的增大而4.利用函数y =-x 2的图像回答下列问题：3 ⑴当X = 一时，y = .⑵当y =-8时，X =•2⑶当-2< X <3时，求y 的取值范围是 __________ •⑷当-4< y <-1 时，求 x 的取值范围是 __________________________25・观察函数y = -x 的图像，禾U 用图像解答下列问题：⑴在y 轴左侧的图像上任取两点 A (x^yj 、B(X 2,y 2), 且使0>X !>X 2,试比较y i 与y 2的大小； ⑵在y 轴右侧的图像上任取两点C (X 3,y 3)、D(X 4,y 4),且使X 3>X 4>0,试比较y 3与y 4的大小.2 ..观察图像指出它们的共同点和不同点:探究归纳：(2 )二次函数y=a ?2的图像是一条1・画出二次函数y =x 2的图象：621二次函数的图象与性质⑵⑴列表:x -2-10122y =x410142y =x2 +2观察表中所填数据，你发现什么？⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线:2. 观察左图：⑴函数y = x2• 2与讨二X的图象的_______ 相同，____________________ 相同，_______ 相同，_____ 不同；⑵函数y =x2• 2可以看成y =x2的图象向______________________________ 平移个单位长度得到；它的顶点坐标是_____________________________ ，说明当x =时，y有最 _________________________ 值是.⑶猜想函数y = x2 - 2的与性质：y = x2—2与y = x2的图象的______________________ 相同，_______ 相同，___________________ 相同，______ 不同；函数y=x2-2可以看成y=x2的图象向___________________ 平移_____ 个单位长度得到；它的顶点坐标是_________________ ，说明当x = 时，y有最值是「2、探究归纳：y =ax2• k的图像和性质填表:函数图像a开口对称轴顶点增减性2y = ax + k向上当x 时，y随x的增大而减少.当XA0时，y随x的增大而. a< 0直线x = 0当x 时，y随x的增大而减少.当x 时，y随x的增大而.23、已知y =(k 2)x - +3是二次函数，且当x 0时，y随x的增大而减少.求该函数的表达式4.二次函数y =ax +k(a^O )的经过点A( 1, -1)、B(2, 5).⑴点A的对称点的坐标是____________ ，点B的对称点的坐标是_____________⑵求该函数的表达式；⑶若点C(-2, m),D ( n , 7)也在函数的上，求m、n的值；⑷点E (2, 6)在不在这个函数的图象上？为什么？6.2.1二次函数的图像与性质⑶1 ,2 1」21.画出二次函数y x 2和y x-2的图像：y l2 2学习必备欢迎下载6.2.1二次函数的图像与性质⑷⑴列表:x-5-4-3-2-10123451 2 y寸4.520.500.52 4.51 2 y寸电）y=2(T⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线:12. 观察上图：⑴函数y =1 x 2 2的图像与___________________ 的图像的 ________ 相同，_________ 相同，________ 不同，___________ 不同；函数y =丄x 2 2可以看成 ________________ 的图像向 _平移_个单位长度得到；它的对称轴是_______ ，顶点坐标是_______ ，说明当x= 时，y有最 _________ 值是.⑵函数y r1 X -2 2的图像与___________________ 的图像的 ________ 相同，_________ 相同，________ 不同，___________ 不同；函数y =丄x - 2 2可以看成______________ 的图像向 _平移_个单位长度得到；它的对称轴是_______ ，顶点坐标是_______ ，说明当x= 时，y有最 _________ 值是.⑶函数y =丄x • 2 2的图像与函数y =丄x - 2 2的图像关于___________ 成________ 对称.3、探究归纳：（1 ）二次函数y=a（x+h f的图像是一条__________________ ，它对称轴是 _________________ ，顶点坐标是_______ ，说明当x = ___ 时，y有最值是.（2）当h >0时，y =a（x +h f的图像可以看成是____________ 的图像向_____ 平移______ 个单位得到；当hv0时，y=a（x+h f的图像可以看成是 ______________ 的图像向____ 平移______ 个单位得到.（3）当a 0时，抛物线开口向 _，顶点是抛物线的最 _点.在对称轴的左侧，即x_时，y随x的增大而;在对称轴的右侧，即x __________________ 时，y随x的增大而______ ；当a <0时，抛物线开口向 _，顶点是抛物线的最 _点.在对称轴的左侧，即x_时，y随x的增大而;在对称轴的右侧，即x ___________________ 时，y随x的增大而 _—4、、已知一条抛物线的开口方向和形状与y=3x2相同，顶点在抛物线y=（x+2）2的顶点上.⑴求这条抛物线的解析式；⑵若将①中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式是____________________ .⑶若将①中的抛物线的顶点不变，开口反向所得的新抛物线解析式是______________ .⑷若将①中的抛物线沿y轴对折所得的新抛物线解析式是 _____________________ .1.画出二次函数y=2x-12和y=lx-1 — 2的图像:学习必备 欢迎下载6.2.1二次函数的图像与性质⑸⑴列表:2.观察上图：1 2 1 2 ⑴函数y =丄x -1 ____________________ - 2的图像与Y 二寸的图像的 相同， 相同，_________ 不同， __________ 不同； ⑵函数y =丄X -1 2 - 2可以看成y =lx 2的图像先向 平移 个单位长度得到2 2 ------------------------------------------------------------ ----------函数_________________ 的图像，再向 ____ 平移 ____ 个单位长度得到• ⑶函数y =丄x _1 2的对称轴是 _____________________ ，在对称轴的左侧，即x ____ 时，y 随x 的增大而 ____ 2；在对称轴的右侧，即 x _____ 时，y 随x 的增大而.1 2⑷函数y 二丄x -1 2 2顶点坐标是 __________ ，说明当x =_时，y 有最 __________ 值是 3、 探究归纳：（1 ）二次函数 y=a （x + h f +k 的图像是一条 ______________ ，它对称轴是 _______________ ； 顶点坐标是 _______ ，说明当x= ____ 时，y 有最值是 _—（2） 当k >0时，y =a （x + h f +k 的图像可以看成是 y = a （x + h ）2的图像向 _____ 平移 _个单位得到；当k <0时，y =ax ，h 2・k 的图像可以看成是 y =ax ，h 2的 图像向 平移 个单位得到. （3） 当a 0时，抛物线开口向 _，顶点是抛物线的最 _点.在对称轴的左侧，即 x_时，y 随x 的增 大而 ________ ；在对称轴的右侧，即 x ____ 时，y 随x 的增大而 ______ ；当a ：：：0时，抛物线开口向 _，顶点是抛物线的最 _点•在对称轴的左侧，即 x_时，y 随x 的增大 而 _______ ；在对称轴的右侧，即 x ____ 时，y 随x 的增大而 _」（4） 由于根据y =a （x +h f +k 的解析式可直接得到函数图像的顶点坐标，故称之为•4、 （ 1）抛物线y = -2 x T $ • 5是由一抛物线先向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位得到，则原抛物 线的解析式是 _____________________________________ ；（2）抛物线y = - x 1 - 2与抛物线 _______________________ 关于x 轴成轴对称；抛物线 y=-xT - 2与 抛物线 _________________ 关于y 轴成轴对称•22.抛物线y =2（x +2 f +1的开口向____________ ，对称轴是 __________ ;顶点坐标是 __________ 说明当x = 时，y 有最 __________ 值是 _；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 _____________ . 3、（ 1）问题：你能直接说出函数= X 2x 2的图像的对称轴和顶点坐标吗？ ___________________（2）你有办法解决问题①吗？y =X 2x 2的对称轴是 ________________ ，顶点坐标是 ______ .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 _____________ 的方法转化为 ___________ 式, 从而直接得到它的图像性质 .（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：① y = x 2 -2x 2② y=x 2 3x 2③ y 二 ax 2 bx c（4） 归纳：二次函数的一般形式 y 二ax 2 • bx • c 可以被整理成顶点式： ____________________说明它的对称轴是 ______________ ，顶点坐标公式是 _____________ . ____________（5） 用公式法把下列二次函数化成顶点式： ① y = 2x 2 -3x 4② y = -3x 2 x 2③ y = -x 2 -2x14、用描点法画出y x 2亠2x - 1的图像.2⑴用 ________ 法求顶点坐标： ⑵列表：顶点坐标填在 __________⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点， 并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与 y 轴交与点 __________ ，与x 轴有 ________ 个交点.y 2, 1-5-4-3 -2-1 O12345x-1-26.3.1二次函数与一元二次方程1.根据y =ax2 bx c的图象和性质填表：2. 二次函数的顶点式是 __________________ ，其中顶点坐标是 _________ ，对称轴是 .3. 解下列一元二次方程： ① X 2_2X _3=0② x 2_6x 9 = 0③ x 2_2x 3 = 04.观察二次函数的图象，写出它们与X 轴、y 轴的交点坐标:与X 轴交点坐标是 ______ 与X 轴交点坐标是 _______与y 轴交点坐标是 _____ 与y 轴交点坐标是 ______ 4. 对比第3题各方程的解，你发现什么?5. 归纳：⑴一元二次方程 ax 2 • bx • c = 0的实数根就是对应的二次函数y = ax 2 bx c 与X 轴交点的⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为 X 1> X 2） ⑶二次函数 二与轴交点坐标是函数 y=x 2-2x —3图象 y = x 2 6x 92y = x - 2X 3交占八、、与X 轴与y 轴交点坐标是6.3.2二次函数的图象与a、b、c的符号1.根据y =ax2 bx c的图象和性质填表：（ax2 bx ^0的实数根记为为、X2）2. 抛物线的图象开口向 __________ ，顶点坐标是 ________ ，说明当= ______ 时，y 有最 是_______;对称轴是 _______________ ，当X ____ 时，y 随X 的增大而增大.3. 抛物线y =x 2 - 4x 3与x 轴的交点坐标是 __________________ ，与y 轴的交点坐标是 _____ ；⑶c 的符号由________________________________ 决定： ① 点（0，C ）在y 轴正半轴二C _______ 0； ② 点（0, C ）在原点二C _______ 0； ③ 点（0，C ）在y 轴负半轴C ________ 0.⑷b 2 _4ac 的符号由 _________________________________ 决定:①抛物线与x 轴有 交点= b 2-4ac 0 =方程有实数根;②抛物线与x 轴有交点=b 2-4ac 0 =方程有实数根; ③抛物线与x 轴有 交点= b 2-4ac0 =方程 实数根；④特别的，当抛物线与 x 轴只有 个交点时，这个交点就是抛物线的占 八⑸特别的，当x =1时， V = ，对应的点的坐标记为： ；当x =-1时， V =，对应的点的坐标记为：6.5二次函数的应用1 （何时利润最大）1、知识准备:1 ）已知：二次函数y=2（x —3）2+4，当x = ____ 时，y有最______ 值为 _______ 。
初中数学初三下册新苏版第26章二次函数全章导学案
初中数学初三下册新苏版第26章二次函数全章导学案26、1二次函数〔一〕【一】学习目标1、知识与技能目标：〔1〕理解并掌握二次函数的概念；〔2〕能判断一个给定的函数是否为二次函数，并会用待定系数法求函数解析式；〔3〕能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式。
【二】学习重点难点1、重点：理解二次函数的概念，能根据条件写出函数解析式；2、难点：理解二次函数的概念。
【三】教学过程〔一〕创设情境、导入新课：回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？ 〔二〕自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x ，表面积为y ，写出y 与x 的关系。
问题2：n 边形的对角线数d 与边数n 之间有怎样的关系?问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量、如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定，y 与x 之间的关系怎样表示?问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。
问题5：什么是二次函数？ 形如。
问题6：函数y=ax ²+bx+c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？ 〔三〕尝试应用：例1、关于x 的函数是二次函数，求m 的值、 注意：二次函数的二次项系数必须是的数。
例2、关于x 的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7。
求这个二次函数的解析式、(待定系数法) 〔四〕巩固提高：1、以下函数中，哪些是二次函数?(1)y=3x －1;(2)y=3x 2+2;(3)y=3x 3+2x 2;(4)y=2x 2－2x+1;(5)y=x 2－x(1+x);(6)y=x －2+x 、 2、一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。
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二次函数导学案6.1二 次 函 数1． 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展.扩展的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是 .2．用16米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔,怎样围可使小兔的活动范围最大? 在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积 记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 3．要给边长为x 米的正方形房间铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元， 踢脚线的价格为每米30元，如果其他费用为1000元，门宽0.8米，那么总费用y 为多 少元？在这个问题中,地板的费用与 有关,为 元,踢脚线的费用 与 有关,为 元.其他费用固定不变为 元,所以总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是y = ， 整理为y = .4.上述函数关系式有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数关系式有什么不同？5.一般地，我们把形如：y = ( )的函数称为二次函数.其中 是自变量， 是因变量，这是 关于 函数.6.一般地，二次函数c bx ax y ++=2中自变量x 的取值范围是 .但在实际问题中，他们的取值范围往往有所限制，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？① ② ③ 7、判断下列函数是否为二次函数.如果是，写出其中a 、b 、c 的值.①231x y -=( ) ②)5(-=x x y ( ) ③ ( )④23)2(3x x x y +-=( ) ⑤ ( ) ⑥652++=x x y ( )⑦1224-+=x x y ( ) ⑧c bx ax y ++=2( )8、当k 为何值时，函数1)1(2+-=+kk x k y 为二次函数？9、用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．10、已知二次函数2ax y =，当x =3时，y = -5，当y =51-时，求x 的值． 6.2.1二次函数的图像与性质⑴12321+-=x x y 21xy =1.在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图像：①21x y =②21x y -=⑴共同点： . ⑵ 的图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .⑶ 图像开口向 ，顶点是抛物线的最 点，函数有最 值. 在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x的增大而 .⑷ 的图像与的图像关于 成 对称. 2、探究归纳：（1 ）二次函数2ax y =的图像是一条 ，它关于 对称；顶点坐标是，说明当x = 时，y 有最值是 .（2）当0>a时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .（3）当0<a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .24.利用函数2x y -=的图像回答下列问题：⑴当x = 时，y = .⑵当y =-8时，x = .⑶当-2<x <3时,求y 的取值范围是 .⑷当-4<y <-1时,求x 的取值范围是 . 5.观察函数2x y -=的图像，利用图像解答下列问题： ⑴在y 轴左侧的图像上任取两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2), 且使0>x 1>x 2,试比较y 1与y 2的大小；⑵在y 轴右侧的图像上任取两点C （x 3,y 3）、D(x 4,y 4), 且使x 3>x 4>0,试比较y 3与y 4的大小.6.2.1二次函数的图象与性质⑵1.画出二次函数22+=x y 的图象：221x y =221x y -=221x y =221x y -=23观察表中所填数据，你发现什么？⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：2.观察左图:⑴函数22+=x y 与2x y =的图象的 相 同， 相同， 相同， 不同；⑵函数22+=x y 可以看成2x y =的图象向 平移个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .⑶猜想函数22-=x y 的与性质：22-=x y 与2x y =的图象的 相同， 相同，相同， 不同；函数22-=x y 可以看成2x y =的图象向 平移 个单位长度得到；它的顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .23、已知4)2(-++=k k x k y +3是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而减少．求该函数的表达式.4.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A （1，-1）、B （2，5）.⑴点A 的对称点的坐标是 ，点B 的对称点的坐标是 ； ⑵求该函数的表达式；⑶若点C(-2，m ),D （n ，7）也在函数的上，求m 、n 的值； ⑷点E （2，6）在不在这个函数的图象上？为什么？6.2.1二次函数的图像与性质⑶1.画出二次函数 和 的图像：()2221+=x y ()2221-=x y⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：2.观察上图:⑴函数 的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同；函数可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到； 它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .⑵函数的图像与 的图像的 相同， 相同， 不同， 不同；函数可以看成 的图像向 平移 个单位长度得到； 它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 .⑶函数的图像与函数 的图像关于 成 对称. 3、探究归纳：（1）二次函数()2h x a y +=的图像是一条 ，它对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最值是 .（2）当0>h 时，()2h x a y +=的图像可以看成是 的图像向 平移 个单位得到；当0<h 时，()2h x a y +=的图像可以看成是 的图像向 平移 个单位得到.（3）当0>a时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；当0<a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .4、、已知一条抛物线的开口方向和形状与y=3x 2相同，顶点在抛物线y=(x+2)2的顶点上. ⑴求这条抛物线的解析式；⑵若将①中的抛物线向右平移4个单位得到的新抛物线的解析式是 . ⑶若将①中的抛物线的顶点不变，开口反向所得的新抛物线解析式是 . ⑷若将①中的抛物线沿y 轴对折所得的新抛物线解析式是 .6.2.1二次函数的图像与性质⑷()2221+=x y ()2221+=x y ()2221-=x y ()2221-=x y ()2221+=x y ()2221-=x y1.画出二次函数()2121-=x y 和()21212+-=x y 的图像：⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：2.观察上图:⑴函数 的图像与的图像的 相同， 相同， 不同， 不同；⑵函数 可以看成 的图像先向 平移 个单位长度得到函数 的图像，再向 平移 个单位长度得到.⑶函数 的对称轴是 ，在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .⑷函数顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 . 3、探究归纳：（1）二次函数()k h x a y ++=2的图像是一条 ，它对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最值是 . （2）当0>k时，()k h x a y ++=2的图像可以看成是()2h x a y +=的图像向 平移个单位得到；当0<k 时，()k h x a y ++=2的图像可以看成是()2h x a y +=的图像向 平移 个单位得到.（3）当0>a时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；当0<a 时，抛物线开口向 ，顶点是抛物线的最 点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .（4）由于根据()k h x a y ++=2的解析式可直接得到函数图像的顶点坐标，故称之为 . 4、（1）抛物线()5122+--=x y 是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是 ；（2）抛物线()212-+-=x y 与抛物线 关于x 轴成轴对称；抛物线()212-+-=x y 与抛物线 关于y 轴成轴对称.6.2.1二次函数的图像与性质⑸()21212+-=x y ()21212+-=x y 221x y =221x y =()21212+-=x y ()21212+-=x y22.抛物线122++=x y 的开口向 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3、（1）问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ （2）你有办法解决问题①吗？222++=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式， 从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②232++=x x y ③c bx ax y ++=2（4） 归纳：二次函数的一般形式c bx ax y ++=2可以被整理成顶点式： ，说明它的对称轴是 ，顶点坐标公式是 .（5）用公式法把下列二次函数化成顶点式：①4322+-=x x y ②232++-=x x y ③x x y 22--=4、用描点法画出12212-+=x x y 的图像. ⑴用 法求顶点坐标： ⑵列表：顶点坐标填在⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点， 并把这些点连成平滑的曲线：⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点 ， 与x 轴有 个交点.6.3.11. 根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：2.二次函数的顶点式是 ，其中顶点坐标是 ，对称轴是 .3.解下列一元二次方程：①0322=--x x ②0962=+-x x ③0322=+-x x4.对比第3题各方程的解，你发现什么？5.归纳：⑴一元二次方程02=++c bx ax 的实数根就是对应的二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点的 .⑶二次函数c bx ax y ++=2与y 轴交点坐标是 .6.3.2二次函数的图象与c b a 、、的符号1. 根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：（02=++c bx ax 的实数根记为21x x 、）2. 抛物线31-+-=x y 的图象开口向 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 ；对称轴是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大.3. 抛物线342+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是 ；把它转化为顶点式是： ，则顶点坐标是 . 4、（1）观察c bx ax y ++=2的图象，你能得到关于c b a 、、的哪些信息？（2）归纳：⑴a 的符号由 决定：①开口方向向 ⇔ a 0；②开口方向向 ⇔ a 0. ⑵b 的符号由 决定： ① 在y 轴的左侧 ⇔b a 、 ； ② 在y 轴的右侧 ⇔b a 、 ； ③ 是y 轴 ⇔b 0. ⑶c 的符号由 决定： ①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0； ②点（0，c ）在原点 ⇔c 0； ③点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.⑷ac b 42-的符号由 决定：①抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0 ⇔方程有 实数根； ②抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0 ⇔方程有 实数根； ③抛物线与x 轴有 交点⇔ b 2-4ac 0 ⇔方程 实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点. ⑸特别的，当x =1时，y = ，对应的点的坐标记为： ； 当x =-1时，y = ，对应的点的坐标记为： .6.5二次函数的应用1（何时利润最大）1、知识准备：1）已知：二次函数y=2(x －3)2+4，当x ＝______时，y 有最_____值为_______。