幂函数经典例题(答案)

幕函数的概念

例1、下列结论中，正确的是（）

A.幕函数的图象都通过点（0,0）, （1,1）

B.幕函数的图象可以出现在第四象限

C.当幕指数。取1,3,少寸，幕函数），=对是增函数

D.当幕指数G= — 1时，幕函数y=/在定义域上是减函数

解析当幕指数6（= - 1时，幕函数y = 的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幕函数在区间（0 , +8）上都有定义，且）'=寸（aGR） , y>0 , 所以幕函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当«= - 1时，y = x-!在区间（・8,0）和（0 , + 8）上是减函数，但它在定义域上不是减函数.

答案C

例2、已知幕函数冷）=（尸一/+1）*7 + 3/—2户）（作Z）是偶函数且在（0, +8）上为增函数，求实数，的值.

分析关于氨函数），=寸（aUR,。尹0）的奇偶性问题，设富（Ipl、Igl互质），当g为偶数时，p必为奇数，），=.*是非奇非偶函数；当q是奇数时，y=/的奇偶性与p的值相对应.

解 ..顶>）是嘉函数，."./ + 1 = 1 ,

.•"= • 1,1 或0.

7

当，=。时，/W = y是奇函数；

2

当/=・1时顶x） = y是偶函数；

Q 2 R

当L1时，/u）= y是偶函数，且i和M都大于0 ,

在（0 , +8）上为增函数.

故t= 1且/U）=碍或t= -1且.冏=%|.

点评如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件给予足够的重视.

例3、如图是幕函数与

y=?

在第一象限内的图象，贝ij()

m>\

解析 在(0,1)内取同一值A-o ,作直线A=XO ,与各图象有交点，则“点低指数 大”.如图，0

答案B

点评 在区间(0,1)上，羸函数的指数越大，图象越靠近x 轴：在区间(1, + 8)上，篆函数的指数越大，图象越远离工轴.

例4、已知^>4,求x 的取值范围.

1 1

错解 由于，则由X 2〉* ,可得XER

错因分析 上述错解原因是没有掌握篆函数的图象特征，尤其是)，=普在 O>\和0

正解

作出函数y=x2和y=G 的图象(如右图所示)，易得xvO 或x>l.

例5、函数/(A ) = (nr —m — 1 )xm 2+m — 3是幕函数，且当x 『(0, +8)时，处)是 增函数，求人工)的解析式.

分析 解答本题可严格根据簸函数的定义形式列方程求出m,再由单调性确 定in.

解根据嘉函数定义得

H12 ・ 〃？・ 1 = 1 ,解得 = 2 或〃7 = - 1 , 当〃7 = 2时，f(x) = x 3在(0 , +8)上是增函数；

当〃7=・1时，/U)=X-3在(0 , +8)上是减函数，不符合要求.故必)=日

点评 簸函数y=A-a («GR),其中G 为常数，其本质特征是以兼的底X 为自 变量，指数a 为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为簸函数的重要依据 和唯一标准.对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根.

D. n<— 1,

B.

—lv 〃vO, m>\

变式 已知y=(m 2 3 4+2m —2也〃二j +2〃—3是己函数,求〃?，〃的值.

nr + 2m -2=1

解由题意得尹0

,

2/7 -3 = 0

〃? = - 3 3 ， ,?-

2

3

所以 m = - 3 , n =

例6、比较下列各组中两个数的大小：

33

_2

_2

(1) 1.5S 1.7?； (2) 0. 715, 0. 615； (3) (一1.2)二，(一1.25)乙.

解析：(1)考查慕函数y=‘G 的单调性，在第一象限内函数单调递增,

3

3

V1.5<1.7, ...1.5§<1.7弓

(2) ・8〈=.(聚，函数y = £在(0 , + 8)上为增函数，又抖,则(哉>(*) 7 从而・8 - r ■(9)8-

点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善 于运用“搭桥”法进行分组，常数。和1是常用的参数.

变式比较下列各组数的大小:

2 3 2 (2)4.1$, (—19)$与 3.8—吊

解⑴(-¥)-§=(!)¥(-涓=(涓，

2

考查昴函数y=x 5 *的单调性,同理0. 715>0. 615. 3 先将负指数幕化为正指数羸可知它是偶函数，

_2

_2

_2

_2

V (-1.2) J =1.2

(-1.25) 3 = 1.25 \ 乂 1.2

7>1.25 \

_2

>1.25 勇.

点评：比较幕形式的两个数的大小，一般的思路是： (1) 若能化为同指数，则用蓦函数的单调性；

(

•・•函数)，=、.|在(0 , + 8)上为减函数，又・.・|^ ,

2 2 2 2 3

(2)(4.1)(>1三=1,0V3.8・ T<1 - T = 1，(- 1.9)T-<0,

— 3 ? ?

所以(-1.9)^<3.8 . ,v(4.l)$.

例8、已知蒂函数)，=,产-9(〃作N')的图象关于)，轴对称，且在(0, +8)

上函数值随x的增大而减小，求满足(“+1)—*(3—2。)一?的«的范围.

解..•函数在(0 , +8)上递减，

：.3m - 9<0 ,解得 m<3 ,

又tn G N* , in = 1,2.

又函数图象关于)，轴对称，

3m - 9 为偶数，故〃? = 1 ,

.••有(a + 1) - ?v(3 - 2d) • y

又・.・y = x・:在(・8 , °) , (0 , + 8)上均递减，

/.€/ + 1>3 - 2a>0或0>a + 1>3 - 2a

或a+ 1 <0<3 ■ 2a , 2 3

解得产火^或"V . 1.

点评(1)解决与嘉函数有关的综合题时，一定要考虑慕函数的定义.(2)幕函数)，=/,由于G的值不同，单调性和奇偶性也就不同.