非惯性系中的

非惯性系中的“弹簧双振子模型”

浙江省海盐元济高级中学（314300） 王建峰 魏俊枭

一、“弹簧双振子模型”的含义

如图一所示，质量分别为m A 和m B 的两物块A 和B ，A 、B 可视为质点，用一根劲度系数为k 的轻质弹簧连接起来，放在光滑水平面上，弹簧原长为0l 。可以将A 、B 和弹簧组成的系统装置称为“弹簧双振子模型”。 该模型在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现，从反馈情况来看失分是相当严重的。究其原因它不但涉及力与运动、动量与能量等物理知识，而且物理过程复杂、运动情景难以想象，对学生分析、解决问题的能力提出了较高的要求。因此，帮助学生认清该模型的特点，掌握分析该模型的一般方法，并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。

二、非惯性系中的“弹簧双振子模型”

牛顿运动定律不成立的参照系称为非惯性系。非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动。为了使牛顿运动定律在非惯性中也能使用，可人为地引入一个惯性力。如果非惯性系相对惯性系有平动加速度a ，那么只要认为非惯性系中的所有物体都受到一个大小为ma 、方向与a 的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可成立。如果非惯性系相对惯性系有转动加速度，也可引进惯性离心力和科里奥利力，这两个力不仅与非惯性系的转动角速度有关，还与研究对象的位置和运动速度有关，在此对转动情况不作讨论。下面就“弹簧双振子模型”在非惯性系（只有平动加速度）中的运动规律作一些简单探讨。

[情景]：如图二所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧（两端绝缘）分别拴着荷质比为A

A m

q 与荷质比为B

B

m q 的两个带正电的小球，且

A

A

m

q =B

B

m q ，系统置于光滑水

平面，处在水平的匀强电场中，电场强度为E ，A 端用细线拴住，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l ，弹簧原长0l 。

现将细线烧断，试确定A 、B 在任意时刻的所处位置。（A 、B 两球的相互作用力忽略不计）

[解析]：①以质心为参考系（质心系），则质心C 是静止的，连接A 、B 的弹簧仍可以看成两断，左边一段原长为0

1

l m m m l

B

A B AO

+=

，劲度系数为k

m

m m B

A

B

+；右边一段原长为0

1

l m m m l

B

A A BO

+=

，劲度系数为

k

m

m m

A

A

B +；振动周期都是)

(2B

A

B

A m

m

k m m T

+=π

。

对B 球有 ()B

Eq

l l k =-0

②以地面为参考系，建立如图二所示的坐标系，即以Ａ为坐标原点，向右为正方向。质心做匀加速运动，加速度B

A

B A m

m

q q E a ++=

)(，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A 位于Ox 轴的原点O 处，即()0

0=

A x ；

B 的坐标

()l

x B =0。质心的坐标为

()l

m m

m x B

A

B C +=

0，在细线烧断以后，任意时刻t 质心的位置

2

2

)(2

12

1)0()(t

m

m

q q E l m

m

m at

x t x B

A

B A B

A

B

C C +++

+=

+

=

③在非惯性参考系中，A 、B 还受惯性力作用，建立如图二所示的坐标系，即以质心o 1为坐标原点，

（图一）

坐标轴x O ''向右为正方向。原点O '与质心固定，当小球B 在这参考系中的坐标为B x '时，作用于B 的合力 (

)⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛-+-'-=-+-'-=)(1

k Eq l m m m x k a m Eq

l x k F B B A A B B B B

B B

B B

令

)(k

Eq l m

m

m x X

B

B

A

A

B

B

-

+-'= 有

B

B B X

k F -=

由上式可知在质心系中，B 的平衡位置的坐标)

(0

k

Eq l m

m

m x B

B

A

A

B -

+=

'

且作用于B 的合力具有弹性力的性质，故在F B 作用下， B 将在平衡位置附近作简谐振动，离开平衡位置的位移()B

B B B

t A X

ϕ

ω+=cos ，A B 为振幅，B ϕ为初相位。在t = 0时刻， B 是静止的，振幅A B 就是此时

B 离开其平衡位置0B x '的距离

k

m

m

Eq

m k

Eq l m

m

m l m m

m x l A B

A

B A

B

B

A

A

B

A

A

B b B )()(0

+=

-

+-

+='-=

又因t = 0，X B =A B ，且X B 是正的，故0

=B ϕ 由此得

⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

++=

t m

m k m

m

k m

m

Eq m X

B

A B

A

B

A

B A B

)(cos )(

所以t 时刻B 在质心系中的坐标

()⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+++

-

+='t m

m k m

m

k m

m

Eq m k

Eq l m

m

m t x B

A B

A

B

A

B A B

B

A

A

B

)(cos )()( （1）

在地面参考系的坐标

()()()t x t x t x B

C B '+= ()⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛

+++

-

++

+++

+=

t m

m k m

m

k

m

m

Eq

m k

Eq l m

m

m t m

m

q q E l m

m

m t x B

A B A

B

A

B A

B

B

A

A

B

A

B A

B

A

B

B )(cos )()()(2

12

（2）

同理得t 时刻A 在地面参考系的坐标为

()⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+-++

++=

t m m k m m

k m m

Eq m t

m m

q q E t x B

A B A

B A

B

B B

A

B A A )(cos 1)()(2

12

（3）

三、非惯性系中的“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用

（第22届全国中学生物理竞赛复赛第七题）如图所示，在一个劲度系数为 k 的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A 和质量为 2m 的小球B ．A 用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为l ．现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox ，原点O 与此时A 球的位置重合如图三所示．试求任意时刻两球的坐标．

[解析]：细线烧断后，整个系统在重力场中作匀加速运动，A 、B 处在非惯

（图三）