2018复旦附中2018学年高二第一学期数学期中考试

复旦大学附属中学2018学年第一学期

高二年级数学期中考试试卷

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线0132=-+y x 的倾斜角是____________.

2. 若矩阵110A ⎛⎫ ⎪

=- ⎪ ⎪⎝⎭

，()121B =，则AB =__________．

3. 行列式4

312

51

4

2

k --的元素3-的代数余子式的值为7，则k =________．

4. 已知,x m y t =⎧⎨

=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫

⎪⎝⎭

的二元一次方程组的解，则=+t m ________。

5. 直线14

3

:-=

x y l 的一个单位方向向量．．．．．．是. 6. 已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则

______k =.

7. 已知点P 在直线

6

014

x y -=-上，且点P 到()2,5A 、()4,3B 两点的距离相等，则点P 的坐标是__________.

8. 若222lim 1

1=+--+∞→n n n

n n t t ，则实数t 的取值范围是_____________.

9. 已知R a ∈，则“6

1

=

a ”是“两直线1:210l x ay +-=与2:(31)10l a x ay ---=平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 10. 过点)2,3(-P 且与直线012=++y x 的夹角为2

1

arctan 的直线的一般式方程．．．．．是____________. 11. 已

知

实

数

2

211,,,b a b a 满足：

1,012211=+-=+-b a b a ，且

2

2

2221212121)(2b a b a b b a a +⨯+=+，其中21a a >，则以向量),(11b a 为法向量的直线的倾斜角的取值范围是____________.

12. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点D C A ,,），P 是圆Q 上及其内部的动点，设),(R n m BA n BC m BP ∈+=，则n m +的取值范围是_____________.

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 函数)(x f y =的图像如图所示，在区间],[b a 上可找到)2(≥n n 个不同的数

n x x x ,,,21 ，使得

n

n x x f x x f x x f )()

()(2211=== ，则n 的取值范围为( )

（第13题图）

A ．{3,4}

B ．{2,3,4}

C ．{3,4,5}

D ．{2,3}

14. 给出下列命题:

①非零向量满足，则的夹角为30°； ②将函数|1|-=x y 的图像按向量)0,1(-=平移，得到函数||x y =的图像； ③在中，若0)(=⋅+BC AC AB ，则为等腰三角形； 其中正确命题的个数是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

15. 在平面直角坐标系xOy 中，)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，经过原点的直线l 将△ABC

分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则22

2

11)1(S S -+取得最小值时，直

线l 的斜率（ ）

A ．等于1

B ．等于1-

C ．等于

2

1

D ．不存在 16. 如图所示，已知)0,4(),0,0(10A A ，对任何N n ∈，点2+n A 按照如下方式生成

：

a b

、a b a b ==- 与a a b + ABC ∆ABC ∆（第12题图）

3

21π

=

∠++n n n A A A ，||2

1

||121+++=

n n n n A A A A ，且21,,++n n n A A A 按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),n n a b n N ∈，则)lim ,lim (n n n n b a ∞

→∞→为（ ） A.)734,720(

B.)734,3(

C.)835,3(

D.)8

3

5,720(

（第16题图）

三. 解答题（本大题共5题，共76分）

17. （本题14分）已知R m ∈，直线1l 的方程为(1)(21)3m x m y m +--=，直线2l 的方程为(31)(41)54m x m y m +--=+.当m 变化时， （1）分别求直线1l 和2l 经过的定点坐标； （2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.

18. （本题14分）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求： （1）直线l 的方程；

（2）直线l 关于直线12:-=x y m 对称的直线方程.

19. （本题14分）类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴,x y 的交点为O ，与,x y 轴正方向同向的单位向量分别是,i j

，且与的夹角为θ，其中

),2()2

,0(ππ

πθ ∈。由平面向量基本定理，对于平面内的向量OP ，存在唯一有序实数对

(,)x y ，使得OP xi y j =+ ，把(,)x y 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，也叫做向量OP

在斜坐标系xOy 中的坐标。在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如45θ= 时，方程

5

1

42--=-y x 表示斜坐标系内一条过点)1,2(，且方向向量为)5,4(-的直线。 （1）若1

arccos()3

θ=-，)6,(),1,2(m b a ==，且与的夹角为锐角，求实数m 的取值