2018复旦附中2018学年高二第一学期数学期中考试
2017-2018年上海市上海中学高二上数学期中考试
上海中学高二期中试卷2017.11一. 填空题1.直线350x --=的倾斜角大小为2. 过点(2,1)A -与(1,2)B 半径最小的圆的方程为3. 若由矩阵2222a x a a y a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示x 、y 的二元一次方程组无解，则实数a = 4. 一条直线经过直线230x y +-=，310x y -+=的交点，并且与直线2350x y +-=垂 直，则这条直线方程为5. 行列式351236724---中，元素6-的代数余子式的值为6. 过点(2017,2017)P 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为7.4=上的点到原点的最短距离为8. 已知圆22:(4)(3)4C x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆C 上至少存在 一点P ，使得90APB ︒∠=，则m 的取值范围是9. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(6,0)A ，(2,6)B -，若点C 满足 OC OA OB αβ=+，其中21αβ+=，则点C 的轨迹方程为10. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值大小与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是11. 已知OA a =，OB b =，若13OC a =，34OD b =，且AD 与BC 交于E 点，则OE = （用a 、b 表示）12. 已知正三角形的三个顶点(0,0)A 、(2,0)B、C ，一质点从AB 的中点0P 沿与 AB 夹角为θ的方向射到BC 边上的点1P 后，依次反射到CA 和AB 边上的点2P 、3P ，若 1P 、2P 、3P 是三个不同的点，则tan θ的取值范围为二. 选择题13. 已知向量(1,2)a =，(2,3)b x =-，若a //b ，则x =（ ）A. 3B. 34C. 3-D. 34-14. 若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m =（ ） A. 3- B. 1 C. 43D. 3 15. 动点P 满足1[(1)(1)(12)]3OP OA OB OC λλλ=-+-++()λ∈R ，动点P 一定会过 △ABC 的（ ）A. 内心B. 垂心C. 重心D. 外心16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a 、b ，||||1a b ==，0a b ⋅=，点Q 满足 2()OQ a b =+，曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤<，区域{|0P r Ω=<≤ ||,}PQ R r R ≤<，若C Ω为两段分离的曲线，则（ ）A. 13r R <<<B. 13r R <<≤C. 13r R ≤<<D. 13r R <<< 三. 解答题17. 若a 与b 是夹角为120°的两个单位向量. （1）若2a b -与a kb +垂直，求k ； （2）求2a b +与a b -的夹角.18. 运用行列式讨论关于x 、y 的方程组22(1)(1)1(1)(1)2a x a y a x a y ⎧---=⎪⎨-+-=⎪⎩解的个数，并解出此方程组.19. 设集合1{(,)||2|}2A x y y x =≥-，{(,)|||}B x y y x b =≤-+，A B ≠∅.（1）求b 的取值范围；（2）若(,)x y A B ∈，且x y +的最大值为9，求b 的值；（3）当12b <≤时，若(,)x y AB ∈，求kx y +的最大值.20. 过点(2,1)P -的直线l 分别交12y x =(0)x ≥与2y x =-(0)x ≥于A 、B 两点. （1）设△AOB 的面积为245，求直线l 的方程； （2）当||||PA PB ⋅最小时，求直线l 的方程.21. 已知圆222:O x y r +=（O 为原点），与x 轴不重合的动直线l 过定点(,0)D m(0)m r >>，且与圆O 交于P 、Q 两点（允许P 、Q 重合），点S 为点P 关于x 轴的对称点. （1）若2m =，1r =，P 、Q 重合，求直线SQ 与x 轴的交点坐标；（2）求△OSQ 面积的最大值.参考答案一. 填空题 1. 3π 2. 22315()()222x y -+-= 3. 2- 4. 2114170x y -+=5. 296. 4034x y +=或y x =7.8. 3m ≥9. 65180x y +-= 10. a ≥11. 1293a b + 12.二. 选择题13. D 14. B 15. C 16. A三. 解答题17.（1）54；（2）3π. 18. 当1a =时，无解；当1a ≠时，223(1)(22)a x a a a +=-++，21(1)(22)a y a a a -=-++. 19.（1）1b ≥；（2）9b =；（3）当(,1)k ∈-∞-，最大值2223k kb b -++； 当[1,1]k ∈-，最大值b ； 当(1,)k ∈+∞，最大值222kb k b -+-.20.（1）11122y x =-；（2）37y x =-.21.（1）1(,0)2；（2）当r m <≤，2max 2r S =；当m >，max 2r S m =.。
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题附答案解析
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共12题）1.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围.【详解】根据椭圆的标准方程的形式，可知方程表示椭圆的条件是：，解得，所以实数的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关方程表示椭圆的条件，明确椭圆的标准方程的形式，即可得到其对应的不等式组，求解即可.3.若直线与直线平行，则与之间的距离为______ ．【答案】【解析】【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程为：，整理得，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条件，平行线间的距离公式，属于简单题目.4.过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ．【答案】或【解析】【分析】首先考虑斜率不存在的时候直线与圆的位置关系，再考虑直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，综合到一起，得出切线的方程.【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，圆心到直线的距离为1，等于半径，所以是圆的切线；过点，切线斜率存在时，直线设为，即，圆心到直线的距离为，整理解得；切线方程为或，故答案是：或.【点睛】该题考查的是有关过圆外一点的圆的切线的方程，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，直线方程的点斜式，点到直线的距离公式，注意考虑斜率不存在的情况.5.若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得值，求得结果.【详解】由得，所以，得，即椭圆的半焦距为，设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，因为所求双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程化为，根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得，所以所求双曲线的方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求椭圆的焦点坐标，与某双曲线共渐近线的双曲线方程的设法，注意平时对有关结论的理解.6.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______ 【答案】【解析】【分析】首先设出三角形的重心和三角形的顶点C的坐标，利用三角形的重心坐标公式，将两点坐标之间的关系建立，结合点C在曲线上，利用相关点法求得对应曲线的方程，之后利用三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果.【详解】设的重心，，则有，即，因为点C在曲线上，所以有，即，因为三角形的三个顶点不能共线，所以，所以的重心的轨迹方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标公式，用相关点法求动点的轨迹方程，注意对不满足条件的点要去掉.7.设、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先将直线和曲线的参数方程化为普通方程，结合点P、Q分别为直线和圆上的动点，从而得到的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围.【详解】由（t为参数）可得直线的普通方程为，由（为参数）可得曲线的普通方程为，因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，所以，可以无穷远，所以的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关直线与圆上的点的距离的范围问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，圆上的点到直线的距离的最小值，认真审题是正确解题的关键.8.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离之和的最小值为______ 【答案】【解析】【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.【详解】，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.9.如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】首先利用椭圆的参数方程，设出点M、N的坐标，之和应用向量的数量积坐标公式，结合余弦差角公式将其化简，结合余弦函数的值域求得结果.【详解】利用椭圆的参数方程：设、，则,所以最大值是:15.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的取值范围的问题，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，向量的数量积坐标公式，余弦的差角公式，余弦函数的值域，属于中档题目.10.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是____ ．【答案】【解析】【分析】首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果.【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，如图，当时，要满足条件，则，∴；类似，当时，；综上，实数的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化Wie曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.11.已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据直线过坐标原点，结合椭圆的对称性，可知点A、B关于原点对称，设出两个点的坐标、，利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得，之后结合，求得结果，也可以应用参数方程来解决.【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，方法一：设、，则，，即，∴．方法二：利用参数方程，设、，则．【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.12.在平面直角坐标系中，已知圆与曲线交于两点、（在第一象限），与轴正半轴交于点．若，点，则当和变化时，的最小值为______．【答案】7【解析】【分析】首先根据题意画出相应的图形，根据曲线，可得，对m与1的大小关系进行分类讨论，最后结合图形，得出结果.【详解】易得，从而可证，∴，点关于的对称点为，记，则，∴．【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转化，从而求得结果，注意对m与1的大小关系进行分类讨论.二、选择题（本大题共4题）13.方程所表示的曲线的对称性是（）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；故选D.【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.14.若点是圆外一点，则直线与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出，从而圆心到直线的距离，由此能判断出直线与该圆的位置关系，从而求得结果.【详解】由题意，得，从而圆心到直线的距离为，∴选C．【点睛】该题考查的是有关判断直线与圆的位置关系的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径比较大小得到直线与圆的位置关系，属于简单题目.15.已知，由所有直线组成的集合记为，则下列命题中的假命题是（）A. 存在一个圆与所有直线相交B. 存在一个圆与所有直线不相交C. 存在一个圆与所有直线相切D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】D【解析】【分析】首先能够确定直线是表示的圆的所有切线，所以可以将圆心定住，改变半径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出A,B,C三项都是正确的，对于D项，已经找到两种大小不相等的正三角形，从而得到结果.【详解】根据点到L的距离为，表示圆的所有切线，符合选项A、B、C的圆依次为、、，对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D错误，故选D．【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系L是定圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案.16.双曲线的左右焦点分别为、，若是双曲线左支上的一个动点，则的内切圆的圆心可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，结合切线的性质以及双曲线的定义，可以判断出其三角形的内切圆的圆心的横坐标为，并且根据题意判断出其落在渐近线的下方，从而得到正确的结果.【详解】设内切圆圆心为，内切圆与、、的切点分别为、、，则由切线长定理，知、、，∴，∴为双曲线的左顶点且轴，设所在直线与的交点为，由角平分线定理，知，由于，∴点一定位于上，因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，则其一定位于渐近线的上方，即的坐标一定为，其中，∴选B．【点睛】该题考查的是双曲线的焦点三角形的内心的位置，涉及到的知识点有双曲线的定义，圆的切线的性质，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题）17.已知圆的圆心在直线上，并且圆与直线和都相切．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆有两个不同的交点、，求弦长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两条直线和是平行的，从而断定圆心是与的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的方程；（2）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果.【详解】（1）圆心为与的交点，解得，圆的直径为两平行线与间的距离，可求出半径，∴圆的方程为；（2）直线过定点，由垂径定理知，当为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，∴．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，直线过定点，根据垂径定理求圆的最短弦长，属于中档题目.18.在平面直角坐标系中，动圆经过点并且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）如果直线过点（0，4），且和曲线只有一个公共点，求直线的方程；（2）已知不经过原点的直线与曲线相交于、两点，判断命题“如果，那么直线经过点”是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】（1）直线的方程为、、；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，求得曲线C的方程，之后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与抛物线有一个公共点，得出结果；（2）根据图形的对称性，得出对应的定点在x轴上，设出直线的方程，利用韦达定理，根据向量垂直向量的数量积等于零，求得对应的结果.【详解】（1）根据题意，可知曲线C的方程为，①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，②直线的斜率存在，设，与抛物线方程联立得，（ⅰ），符合题意，此时的方程为，（ⅱ），则，解得，此时的方程为，综上，符合题意的直线的方程为、、；（2）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在轴上，设定点坐标为、、、，，则，∵，∴，即，解得或（舍），∴命题为真命题．【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有根据抛物线的定义求抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.19.轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设出点P的坐标，根据题意得出点P的轨迹是双曲线的一支，根据对应的量，从而求得点P的坐标，得到结果；（2）根据题意，找出对应的关系，从而求得结果，得到结论.【详解】（1）设轮船在点处，则由题意，得，∴为以、为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，其方程为，又，解得；（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为，考虑与是否有交点，，∴与没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．【点睛】该题考查的是应用所学知识解决实际问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用定义得出曲线的方程，利用直线与曲线的位置关系得到相应的结果，属于中档题目.20.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）已知点，椭圆上两点、满足，求点横坐标的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据为等边三角形，可得，结合椭圆长轴的长为4，即，得，从而求得椭圆的方程；（2）根据等边三角形，得出a,b,c之间的关系，从而设出椭圆的方程，根据椭圆中中点弦所在直线的斜率所满足的条件，结合对称的条件，求得弦的中点坐标，保证点在椭圆内，得到相应的不等关系，得到结果；（3）利用向量的关系，得到点的坐标之间的关系，结合隐含条件，得到相应的范围，求得结果【详解】（1）由题意，得，，∴椭圆的方程为；（2）“点差法”设椭圆的方程为，即，设、、中点，则，得，又，解得，显然在椭圆内，∴，得，又，∴；（3）设椭圆方程，即，方法一：（常规解法）①过、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，由，得，②过、的直线斜率存在，设直线方程为、、，由，得，，则，由，可得，∴，综上，点横坐标的取值范围是．方法二：设，则，，又，∴，∴，∴，即点横坐标的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合问题，涉及到的知识点有椭圆中a,b,c三者之间的关系，正三角形的特征，点关于直线的对称点的特征，椭圆中中点弦所在直线的斜率的条件，向量之间的关系，属于较难题目. 21.已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先根据双曲线的定义，结合题中所给的角的大小，求得，从而求得b的值，进而得到双曲线的渐近线方程，利用直线的方向向量所成的角，求得两条渐近线的夹角余弦值，利用反余弦求出结果；（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用三角形的面积公式，结合函数的单调性，求得最值，得到结果；（3）根据所学的知识将四边形的面积表示出来，进而求得结果.【详解】（1）由题意，得，，∴，∴双曲线的方程为，∴，∴；（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】设，、，将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，则，得，，令，，则，其中在上单调递减，∴在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，的方程为；（3）设，其中方法一：设，与联立，可求出，由三阶行列式表示的三角形面积公式可得．方法二：如图，，设到和的距离为、，则，，∴【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案
高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题
复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01 时间：120分钟；满分：100分一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1．抛物线24x y =的准线方程是 ．2．若方程22171x y m m +=--表示椭圆，则实数m 的取值范围是 ．3．若直线1:2100l ax y +-=与直线()2:2350l x a y +++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 ． 4．过点()3,3作圆()()22211x y -++=的切线，则切线所在直线的方程为 ．5．若一条双曲线与2218x y -=有共同渐近线，且与椭圆221202x y +=有相同的焦点，则此双曲线的方程为 ．6．已知三角形A BC 的顶点()3,0A -、()3,0B ，若顶点C 在抛物线26y x =上移动，则三角形A BC 的重心的轨迹方程为 ．7．设P 、Q 分别为直线1,82x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数，t ∈R ）和曲线1,:2x C y θθ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（θ为参数，θ∈R ）上的点，则PQ 的取值范围是 ．8．已知直线:4380l x y -+=，若P 是抛物线24y x =上的动点，则点P 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为 ．9．如果M 为椭圆221:1259x y C +=上的动点，N 为椭圆222:1925x y C +=上的动点，那么OM ON ⋅的最大值为 ．10．若关于x x a a =--有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ． 11．已知直线:0l ax by +=与椭圆2219y x +=交于A 、B 两点，若()5,5C ，则CA CB ⋅的取值范围是 ．12．在平面直角坐标系中，已知圆222:C x y r +=与曲线x =交于两点M 、N （M 在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点．若()0OT mOM m =>，点()7,2Q -，则当m 和r 变化时，T P N Q +的最小值为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于y x =轴对称D ．关于原点对称 14．若点(),a b 是圆222x y r +=外一点，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交且不过圆心 D ．相交且过圆心15．已知R θ∈，由所有直线()():2cos 1sin 1L x y θθ-+-=组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（ ）A ．存在一个圆与所有直线相交B ．存在一个圆与所有直线不相交C ．存在一个圆与所有直线相切D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等16．双曲线221x y -=的左右焦点分别为1F 、2F ，若P 是双曲线左支上的一个动点，则12PF F △的内切圆的圆心可能是（ ）A ．()1,2- B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()2,1-三、解答题（本大题共5题，共76分）17．（本题14分）已知圆C 的圆心在直线80x y +-=上，并且圆C 与直线1:221l y x =-和2:211l y x =-都相切．（1）求圆C 的方程；（2）若直线:2614l x ay a ax ++=+与圆C 有两个不同的交点M 、N ，求弦M N 长的最小值．18．（本题14分）在平面直角坐标系x Oy 中，动圆M 经过点()1,0F 并且与直线1x =-相切，设动圆M 圆心的轨迹为曲线C ．（1）如果直线l 过点()0,4，且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，判断命题“如果90A OB ∠=︒，那么直线l 经过点()4,0T ”是真命题还是假命题，并说明理由．19．（本题14分）轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有A 、B 、C 三个无线电发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知A 、B 两点距离10千米，C 是A B 的中点，海岸线与直线A B 的夹角为45︒．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚137500秒．（注：无线电信号每秒传播5310⨯千米）．在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米．（1）以点C 为原点，直线A B 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置； （2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?20．（本题16分）已知椭圆C 的两个焦点分别为()1,0F c -、()()2,00F c c >，短轴的两个端点分别为1B 、2B ，且112F B B △为等边三角形． （1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点P 、Q 关于直线112y x =+对称，求实数c 的取值范围；（3）已知点()0,1M ，椭圆C 上两点A 、B 满足2A M M B =，求点B 横坐标的取值范围．21．（本题18分）已知点1F 、2F 为双曲线()222:10y C x b b-=>的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230M F F ∠=︒． （1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于A 、B 两点，求1A F B △的面积的最小值；（3）过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于1Q 、2Q 两点，求平行四边形12OQ QQ 的面积．复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01参考答案 一、填空题1．1y =- 2．()()1,44,7 3． 4．3x =或158210x y --= 5．221162x y -=6．()220y x y =≠ 7．)+∞ 8．75 9．15 10．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．[]41,49 12．7【第8题解析】()()127111155F l PA PB PH PB PF PB d →+=-+=+--=-=≥【第9题解析】参数方程：设()5cos ,3sin M αα、()3cos ,5sin N ββ，则()[]15cos cos 15sin sin 15cos 15,15OM ON αβαβαβ⋅=+=-∈-． 【第10题解析】转化为y y x a a =--的图像有两个不同的交点， 如图，当0a ≥时，要满足条件，则21a ≤，∴102a ≤≤；类似，当0a <时，102a -≤≤；综上，实数a 的取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【第11题解析】直线:0l ax by +=过原点，结合椭圆图形的对称性可知A 、B 两点关于原点对称， 方法一：设()00,A x y 、()00,B x y --，则()()()220000005,55,550CA CB x y x y x y ⋅=--⋅----=-+，[],OA b a[]1,3，∴[]41,49CA CB ⋅∈．方法二：利用参数方程，设()cos ,3sin A θθ、()cos ,3sin B θθ--， 则[]22250cos 9sin 498sin 41,49CA CB θθθ⋅=--=-∈． 【第12题解析】易得60POT N OT ∠=∠=︒， 从而可证POT N OT △≌△，∴T P T N =， 点Q关于:ON l y =的对称点为Q '⎝⎭，记:0l x =，则7Q l d '→=，∴7Q l T P N Q T N N Q d '→'+=+=≥． 二、选择题13．D 14．C 15．D 16．B 【第14题解析】由题意，得222a b r +>， 从而圆心()0,0到直线的距离为()20,d r =，∴选D ．【第15题解析】L 表示圆()()22211x y -+-=的所有切线，符合选项A 、B 、C 的圆依次为()()22212x y -+-=、()()221212x y -+-=、()()22211x y -+-=， 对于选项D ，存在如右图的两种大小不相等的正三角形，∴D 错误，选D ． 【第16题解析】设内切圆圆心为I ，内切圆与12F F 、2P F 、1PF 的切点分别为A 、B 、C ， 则由切线长定理，知11A F CF =、22A F BF =、PB PC =， ∴()()21212121A F A F BF CF BF PB CF PC PF PF -=-=+-+=-， ∴A 为双曲线的左顶点()1,0-且IA x ⊥轴，设PI 所在直线与12F F 的交点为D ，由角平分线定理，知1212PF PF F D F D=， 由于12PF PF <，∴点D 一定位于1F O 上，因此，若内心I 在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，则其一定位于渐近线的上方，即I 的坐标一定为()1,y -，其中()()1,00,1y ∈-，∴选B ．三、解答题17．（1）圆心C 为216y x =-与80x y +-=的交点，解得()8,0C ，圆的直径为两平行线1l 与2l间的距离，可求出半径r =∴圆C 的方程为()2285x y -+=； （2）直线l 过定点()7,1D ，由垂径定理知，当CD 为直线l 的法向量时，弦心距最长，弦最短，∴minM N ==18．（1）①直线l 的斜率不存在，即l 的方程为0x =，符合题意，②直线l 的斜率不存在，设:4l y kx =+，与抛物线方程联立得24160ky y -+=， （ⅰ）0k =，符合题意，此时l 的方程为4y =， （ⅱ）0k ≠，则0∆=，解得14k =，此时l 的方程为4160x y -+=， 综上，符合题意的直线l 的方程为0x =、4y =、4160x y -+=； （2）由图形的对称性，若直线l 过定点，则该定点必定落在x 轴上，设定点坐标为()(),00t t ≠、:l x my t =+、()11,A x y 、()22,B x y ， 224404x my t y my t y x =+⎧⇒--=⎨=⎩，则121244y y m y y t+=⎧⎨=-⎩， ∵90A OB ∠=︒，∴12120OA OB x x y y ⋅=+=，即221212044y y y y ⋅+=，解得4t =或0t =（舍），∴命题为真命题．19．（1）设轮船在点(),P x y 处，则由题意，得51310837500PA PB A B -=⨯⨯=<， ∴P 为以A 、B 为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，其方程为()2214169x y x -=≥，又4PC =，解得()4,0P ；（2）海岸线所在直线的方程为y x =，与其平行， 且距离为1.5的直线的方程为y x =±考虑y x =±()2214169x y x -=≥是否有交点，22217482216014400169x y x x y x ⎧-=⎪⇒+=⇒∆=-<⎨⎪=±⎩，∴y x =±()2214169x y x -=≥没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．20．（1）由题意，得242a a =⇒=，12a b ==，∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）“点差法”设椭圆C 的方程为22221433x y c c +=，即2223124x y c +=，设()11,P x y 、()22,Q x y 、P Q 中点()00,R x y ，则()()()()222122222110121212222121202233124323122121223124x x x y c x y y x x y y x x y y y x y c ⎧++=⋅-⎪⇒-=--⇒-==-=-⎨-+⋅+=⎪⎩， 得008x y =，又00112y x =+，解得81,33R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，显然R 在椭圆内，∴22281312433c ⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2173c >，又0c >，∴c ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭；（3）设椭圆方程()2222114x y b b b+=>，即22244x y b +=，方法一：（常规解法）①过A 、B 的直线斜率不存在，即直线方程为0x =时，()0,A b -、()0,B b ， 由2A M M B =，得()1213b b b +=-⇒=，②过A 、B 的直线斜率存在，设直线方程为1y kx =+、()11,A x y 、()22,B x y ， 由2A M M B =，得122x x -=，()()222222441484401x y b k x kx b y kx ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 则()()22212222222221222264414440881414441282441414k k b k k x x x x k k b k x x x b k k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-=-⇒=⎨++⎪⎪--==-⇒-=⎪⎩++，由0∆>，可得0k ≠， ∴[)(]22882,00,21144k x k k k==∈-++，综上，点B 横坐标的取值范围是[]2,2-．方法二：设(),1B m n +，则()2,12A m n --，()()[]222222224141311,34444124m n bb b n n b b m n b⎧++=-+⎪⇒=⇒+=⇒∈⎨+-=⎪⎩≤， 又1b >，∴(]21,9b ∈，∴()[]224225161090,444b b b m --+-+-==∈，∴[]2,2m ∈-，即点B 横坐标的取值范围是[]2,2-．21．（1）由题意，得122F F c =，122a M F M F c=-=⇒==∴2222b c a=-=，∴双曲线C的方程为y=，∴1cos3θ==，∴1arccos3θ=；（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】设:l x my=()11,A x y、()22,B x y，将直线l的方程代入双曲线方程，消去x，得()222140m y-++=，则()22121224816210421m my yy ym⎧∆=-->⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=<⎪⎩-，得212m<≤，112121122A F BS F F y y=⋅⋅-=⋅=△令21t m=+，31,2t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则1A F BS==△其中9412tt+-在31,2t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递减，∴1A F BS=△在31,2t⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴当1t=时，1AF BS△取得最小值，此时0m=，l的方程为x=（3）设()00,Q x y，其中220022x y-=方法一：设)100:QQl y x xy-+，与y=联立，可求出1Q⎝⎭，由三阶行列式表示的三角形面积公式可得12100121201OQ QQ OQQyyS S+==△==． 方法二：如图，12Q QQ πθ∠=-，12OQ Q OQ Q θ∠=∠= 设Q到y =和y =的距离为1d 、2d ，则11sin d QQ θ=，22sin d QQ θ==， ∴()121222001222sin 3sin OQ QQ Q QQ x y S S QQ QQ πθθ-==⋅⋅-===△。
上海市复旦附中2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题
【详解】
由题得a493，所以a=4,
2
故答案为：4
【点睛】
（1）本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
分析推理能力.(2)椭圆中，双曲线中cab.
c
2
a
2
b
2
2
2
2
3
6．
2
【解析】
【分析】
1
2
3PF|PF|2PFPF
2
2
PFPF1
，即
1
2
1
2
先求出双曲线的
a,b,c,再利用
1
4
，1
.
此时最小，点P与点A的纵坐标相同，所以点P为
1
4
故答案为
，1
【点睛】
(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的最值，意在考查学生对这些知识的
掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲
线的定义提高解题效率.
8．45
【详解】
x＝4cos
设椭圆的参数方程为{
C．45°
D．不确定
三、解答题
:y4x
,
与直线交于AB两点,
L
17．已知抛物线C
2
y2x4
（1）若直线L的方程为
，求弦
的长度；
AB
（2）O为坐标原点，直线L过抛物线的焦点，且AOB面积为
22
，求直线L的方程.
x2
y2
18．已知双曲线:
1．
C
4
3
（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为20的双曲线的标准方程；
yy4t，yy4m
复旦大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题+Word版含答案
绝密★启用前复旦大学附属中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题2018.01一.填空题1.准线方程为10+=y 的抛物线标准方程为【解析】1=-y ，开口向上，24=x y2.已知圆225+=x y 和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为【解析】点()1,2A 在圆上，所以切线方程为25+=x y3.若椭圆221369+=x y 的弦被点（4，2）平分，则此弦在直线的斜率为 【解析】由中点弦结论21222914362=-⇒⋅=-⇒=-b k k k k a 4.参数方程2cos 2sin θθ=⎧⎨=+⎩x y （θ为参数，且θ∈R ）化为普通方程是 【解析】由222sin cos 121θθ+=⇒-+=y x ，即23+=x y5.已知椭圆()222104+=>x y a a 与双曲线22193-=x y 有相同的焦点，则a 的值为 【解析】24934-=+⇒=a a6.设1F 和2F 为双曲线22421-=x y 的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足1260∠=︒F PF ，则12F PF ∆的面积是【解析】由双曲线焦点三角形面积公式21cotcot 3022S b θ==︒= 7.已知抛物线24y x =的焦点F 和()1,1A ，点P 为抛物线上的动点，则PA PF +取到最小值时点P 的坐标为【解析】过点P 作PB 垂直于准线，过A 作AH 垂直于准线，PA PF PA PB AH +=+≤，此时最小，点P 与点A 的坐标为相同，所以点P 为1(1)4， 8.椭圆2211612x y +=上的点到直线2120x y --=的距离最大值为 【解析】设直线20x y b -+=，联立椭圆，08b ∆=⇒=±，最大值d ==9.双曲线22214x y b -=的左右焦点分别为1F 、2F ，P 为右支上一点，且16PF =，120PF PF ⋅=则双曲线渐近线的夹角为 【解析】根据题意22PF =，由焦点三角形面积公式2121cot 4562S b PF PF =︒=⨯⨯=，∴26b =，渐近线为y x =，夹角为2arctan π-10.已知定点()4,0P -和定圆22:8Q x y x +=，动圆M 和圆Q 外切，且经过点P ，求圆心M 的轨迹方程【解析】结合图像可得，4MQ MP -=，M 的轨迹为双曲线221412x y -=的左支 11.设直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是【解析】设()11A x y ，、()22B x y ，、()00M x y ，，点差可得02AB k y =，设圆心为O ，则005OM y k x =-，AB OM ⊥ ，00002135y x y x ∴⋅=-⇒=-，在()30M ，处和(3M ，处，确定r 的范围为（2，4）12.已知1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，且AB =PA PB +的最小值是【解析】12l l ⊥，1l 过定点（3，1），2l 过定点（1，3），∴P 轨迹为圆()()22222x y -+-=， 作垂直线段CD AB ⊥，1CD =22PA PB PC CA PC CB PC CD PD +=+++=+=，结合图像可知，最小值为1。
上海市复旦大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷及解析
上海市复旦大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）③如果两条直线在同一个平面内的射影平行，那这两条直线平行；④过两条异面直线的一条有且仅有一个平面与已知直线平行；上述命题中为真命题的个数为（ ）个 A.1B.2C.3D.42.设(),z a bi a b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（ ） A.1a =B.1a =且0b ≠C.1z =D.1z =且0b ≠3.对不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ，有下面四个命题：①对于任意(),x y D ∈，都有22x y +≥-；②存在(),x y D ∈，使得22x y +≥；③对于任意(),x y D ∈，都有23x y +≤；④存在(),x y D ∈，使得21x y +≤-，其中的真命题是（ ）A.②③B.①②C.①④D.①③4.给出下列两个命题：（1）设a ，b ，c 都是复数。
如果a 2+b2>c 2，则a 2+b 2−c 2>0；（2）设a ，b ，c 都是复数，如果a 2+b 2−c 2>0，则a 2+b 2>c 2。
那么，下述说法正确的是（ ）A. 命题（1）正确，命题（2）也正确B. 命题（1）正确，命题（2）错误C. 命题（1）错误，命题（2）也错误D. 命题（1）错误，命题（2）正确第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）θ，则θ的取值范围是 . 6.设()()4511i z +=-+，则Im z =________7.若复数z 是纯虚数，且满足226z z -++=，则z =__________8.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1B 到平面11AAC C 的距离是__________ 9.如图，三角形ABC 为直角三角形，90C ∠=︒，SA ⊥平面ABC ，则在四面体S ABC -的四个面中，共有______对互相垂直的平面.10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AB 的中点，则异面直线1B E 与1BC 所成角的大小为______（用反余弦函数表示）11.关于x 的实系数方程210x x -+=的一个根为α，则arg α=________12.已知直线a ，如果直线b 同时满足：（1）和a 异面；（2）和a 所成的角是30；（3）和a 的距离为2，这样的直线b 有_____条.13.空间四边形ABCD 中，1AB AC AD BC BD CD ======，则二面角B AC D --的大小为_______（用反余弦函数表示）14.若变量x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≤4y ≥k，且z =2x +y 的最小值为−6，则k =_________．15.已知()()111 (1)n z i n Z +⎛⎛⎛=+∈⎝⎝，则20172018z z -的值是____ 16.已知11z i =-+，235z i =+，32z i =+，44=-z i ，若在复平面中1z ，2z ，3z ，4z 所对应的点分别为1Z ，2Z ，3Z ，4Z ，过直线12Z Z 作一个与复平面所成的锐角为30的平面α，则线段34Z Z 在平面α内的射影长为____________三、解答题（题型注释）17.如图，在长方体1111A B C D -中，13BB BC ==，4AB =；（1）求证：平面11//AB D 平面1BDC ； （2）求11A B 与平面11AB C D 所成的角。
上海市复旦附中高二上学期期中考试数学---精校解析Word版
上海市2018-2019学年复旦附中高二上学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.直线的倾斜角是____________.【答案】【解析】【分析】先求直线2x+3y﹣1＝0的斜率，进而转化为倾斜角，【详解】解：直线2x+3y﹣1＝0的斜率为k＝﹣，倾斜角为α，所以tanα＝﹣，则α＝π﹣arctan，故答案为：π﹣arctan．【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．2.若矩阵，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算法则，计算积矩阵中的每一项即可．【详解】解：矩阵，B＝（1 2 1），则AB＝．故答案为：．【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算问题，是基础题．3.行列式的元素的代数余子式的值为，则______．【答案】3【解析】【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣ ,求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【详解】解：由题意得M12＝﹣＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．4.已知是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则________【答案】10【解析】【分析】首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解m，t即可；【详解】解：是增广矩阵为的二元一次方程组的解，则 ,解得m＝8，t＝2，则m+t＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．5.直线的一个单位方向向量．．．．．．是________.【答案】【解析】【分析】取直线的方向向量：＝±（1,）．利用该直线的单位方向向量＝即可得出．【详解】解：取直线的方向向量：＝±（1,）.∴该直线的单位方向向量＝= ,故答案为：.【点睛】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知直线，若，则.【答案】1或-3【解析】【分析】利用l1⊥l2，得出k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，求出k的值即可．【详解】解：因为l1⊥l2，所以k•（k﹣1）+（1﹣k）•（2k+3）＝0，解得k＝1或k＝﹣3故答案为：1或﹣3【点睛】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力．7.已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是__________.【答案】（1,2）【解析】【分析】由二项展开式性质得点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），由点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，能求出点P的坐标．【详解】解：∵点P在直线=0上，∴点P在直线4x+y﹣6＝0，设P（a，﹣4a+6），∵点P到A（2，5）、B（4，3）两点的距离相等，∴，解得a＝1，∴点P的坐标是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.若，则实数t的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．【详解】解：当|t|≥2时，，可得，可得t＝﹣2．当|t|＜2时，可得：，综上可得：实数t的取值范围是：[﹣2，2）．故答案为：[﹣2，2）．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．9.已知，则“”是“两直线与平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 【答案】_充分非必要【解析】【分析】由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行列式求得a值，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行，可得，即a＝0或a＝ .∴“a＝”是“两直线l1：x+2ay﹣1＝0与l2：（3a﹣1）x﹣ay﹣1＝0平行”的充分非必要条件．故答案为：充分非必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题．10.过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程．．．．．是____________. 【答案】【解析】【分析】由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝，利用夹角公式求解k可得方程；【详解】解：由题意，设夹角为为θ，可得tanθ＝当k存在时，设过点P（3，﹣2）直线斜率为k，直线2x+y+1＝0的斜率为-由tanθ＝＝ ,解得：k＝；当k不存在时，x＝3．此时两直线夹角tanθ＝，∴所求的直线方程为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；故答案为：x﹣3＝0或3x+4y﹣1＝0；【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题的关键11.已知实数满足：，且其中，则以向量为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由已知可得，向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，把已知等式变形求得,,的夹角为，再由a1＞a2可得A的位置，数形结合可得以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的取值范围．【详解】解：向量＝（a1，b1）的终点在直线x﹣y+1＝0上，向量＝（a2，b2）的终点在直线x﹣y+1＝0上，由得 ,即向量与向量的夹角为，又a1＞a2，可得点A在曲线x﹣y+1＝0（x＞﹣1）上，如图，则OA所在直线的斜率为（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的斜率为（0，+∞）∪（﹣1，0），倾斜角的范围为（0，）∪（，π），当A为（0，1）时，以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角为0．∴以向量（a1，b1）为法向量的直线的倾斜角的范围为[0，）∪（，π），故答案为： [0，）∪（，π）.【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法．12.如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆Q的圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A,C,D），P是圆Q上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得,＝（ 4，0），.由图可知，当动圆Q的圆心经过点D时，P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C或点A时，利用三角函数求m+n的最小值．【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在边CD和DA上移动（包含端点A，C，D），P是圆Q上及内部的动点，向量（m，n为实数），=（0，4），＝（ 4，0），可得＝（ 4m，4n）．当动圆Q的圆心经过点D时，如图：P.此时m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．当动圆Q的圆心为点C时，BP与⊙C相切且点P在x轴的下方时，＝（4+cosθ，sinθ），此时，4m+4n＝4﹣ sin（θ+），m+n取得最小值为：1﹣，此时P（ 4﹣，﹣）．同理可得，当动圆Q的圆心为点A时，BP与⊙A相切且点P在y轴的左方时，m+n取得最小值为：1﹣，此时P（-，4﹣）．∴则m+n的取值范围为故答案为：.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得则n的取值范围为( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3}【答案】B【解析】【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y＝f（x）的图象，数形结合分析可得答案．【详解】解：令y＝f（x），y＝kx，作直线y＝kx，可以得出2，3，4个交点，故k＝（x＞0）可分别有2，3，4个解．故n的取值范围为2，3，4．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．14.给出下列命题:①非零向量满足，则和的夹角为30°；②将函数的图像按向量平移，得到函数的图像；③在三角形ABC中，若，则三角形ABC为等腰三角形；其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】①由加法的平行四边形法则可知为菱形，又菱形对角线平分对角可得结论；②根据图象平移的口诀左加右减，得到的是函数y＝|x﹣2|的图象；③由加法的平行四边形法则可知为菱形，可得结论．【详解】解：①∵，∴所对应的平行四边形是菱形，∴与+的夹角为30°；②将函数y＝|x﹣1|的图象按向量＝（1，0）平移，得到函数y＝|x﹣2|的图象；③在△ABC中，若，则以AB、AC为邻边所作的平行四边形是菱形，∴△ABC为等腰三角形；故选：C．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本运算，图象的平移，难度不大，属于基础题．15.在平面直角坐标系中，经过原点的直线l将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为，则取得最小值时，直线l的斜率（）A. 等于1B. 等于-1C. 等于D. 不存在【答案】D【解析】【分析】分别计算k＝1，k＝﹣1，k＝，和k不存在时，原式的值，比较大小可知选D．【详解】解：当k＝1时，l：y＝x，此时S2＝S△ABC＝，S1＝，∴=，当k=﹣1时，l：y＝﹣x，此时，S1＝，S2＝，∴＝，当k＝时，l：y＝x，此时，S2＝，S1＝，∴=，当k不存在时，l：x＝0，此时，S1＝S2＝，∴＝3，比较可知，当k不存在时，原式值最小．故选：D．【点睛】本题考查了正弦定理．属中档题．16.如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成：，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出a n，b n的表达式，然后进行计算即可．【详解】由题意可知，（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加.（k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以=4-===3-=+=所以选A.【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大．三、解答题（本大题共5题，共76分）17.已知，直线的方程为，直线的方程为.当m变化时，（1）分别求直线和经过的定点坐标；（2）讨论直线和的位置关系.【答案】(1) 直线过定点；同理，直线过定点（3,1）；(2)见解析.【解析】【分析】（1）将直线l1的方程改写为m（x﹣2y﹣3）+（x+y）＝0，令，求解x，y的值，可得答案；同理，直线l2一样求法；（2）联立方程，得求解交点D，讨论即可；【详解】（1）将直线的方程改写为，令得直线过定点(1,-1)；同理，直线过定点（3,1）；（2）联立方程，得D=2m(m-2),D x=-2(m-1)(m-2),D y=-2(2m+1)(m-2)当m和2时，D，两直线相交；当m=0时，D=0,，两直线平行；当m=2时，，两直线重合。
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 (1)
复旦附中2018-2019学年第一学期高二年级期末考试卷2019.01 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1、抛物线y x 42=的准线方程是_________.2、若方程11722=-+-m y m x 表示椭圆，则实数m 的取值范围是_________. 3、若直线0102:1=-+y ax l 与直线()0532:2=+++y a x l 平行，则1l 与2l 之间的距离为_________.4、过点()3,3作圆()()11222=++-y x 的切线，则切线所在直线的方程为_________.5、若一条双曲线与1822=-y x 有共同渐近线，且与椭圆12202=+y x 有相同的焦点，则此双曲线的方程为_________.6、已知三角形ABC 的顶点()03，-A ,()0,3B ，若顶点C 在抛物线x y 62=上移动，则三角形ABC 的重心的轨迹方程为___________.7、设Q P ,分别为直线⎩⎨⎧-=-=t y t x 281（t 为参数，R t ∈）和曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 52cos 51y x C ：（θ为参数，R ∈θ）上的点，则PQ 的取值范围是_________.8、已知直线,0834:=+-y x l 若P 是抛物线x y 42=上的动点，则点P 到直线l 和它到y 轴的距离之和的最小值为_________.9、如果M 为椭圆1925221=+y x C ：上的动点，N 为椭圆199:222=+y x C 上的动点，那么⋅的最大值为_________.10、若关于x 的方程a a x x --=2-1有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_________.11、已知直线0=+by ax l ：与椭圆1922=+y x 交于B A ,两点，若()，5,5C 则→→⋅CB CA 的取值范围是_________.12、在平面直角坐标系中，已知圆222r y x C =+：与曲线y x 3=交于两点N M ,（M 在第一象限），与y 轴正半轴交于P 点，若(),0>=→→m OM m OT 点)2,7(-Q ，则当m 和r 变化时，NQ TP +的最小值为_________.二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13、方程028322=+-y xy x 所表示的曲线的对称性是（ ）A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于x y =轴对称D 关于原点对称 14、若点()b a ,是圆222r y x =+外一点，则直线2r by ax =+与圆的位置关系为（ ） A 相离 B 相切 C 相交不过圆心 D 相交且过圆心15、已知，R ∈θ由所有直线()1cos 2:=-θx L 组成的集合记为M ，则下列命题中的假命题是（ ）A 存在一个圆与所有直线相交B 存在一个圆与所有直线不相交C 存在一个圆与所有直线相切D M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等16、双曲线122=-y x 的左右焦点分别为21,F F ,若P 是双曲线左支上的一个动点，则△21F PF 的内切圆的圆心可能是（ ）A )2,1(-B )21,1(- C )1,21(- D )1,2(-三、解答题（本大题共5题，共48分）17、已知圆C 的圆心在直线08=-+y x 上，并且圆C 与直线212:1-=x y l 和112:2-=x y l 都相切.（1）求圆C 的方程；（2）若直线1462:+=++ax a ay x l 与圆C 有两个不同的交点MN 长的最小值.18、在平面直角坐标系xoy 中，动圆M 圆心的轨迹为曲线C .（1）如果直线l 过点()4,0且和曲线C 只有一个公共点，求直线l 的方程；（2）已知不经过原点的直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，判断命题“如果∠︒=90AOB ，那么直线l 经过点()0,4T ”是真命题还是假命题，并说明理由.19、轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向，现有C B A ,,三个无线电发射台，其中A 在陆地上，B 在海上，C 在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图，已知B A ，两点距离10千米，C 是AB 的中点，海岸线与直线AB 的夹角为45°，为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到A 点的信号比接收到B 点的信号晚375001秒（注：无线电信号每秒传播5103⨯千米），在某时刻，测得轮船距离C 点距离为4千米.（1）以点C 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置 （2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险，如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险？20、已知椭圆C 的两个焦点分别为()()(),00,,0,21>-c c F c F 短袖的两个端点分别为,,21B B 且△211B B F 为等边三角形.（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点Q P ,关于直线121+=x y 对称，求实数c 的取值范围； （3）已知点()，1,0M 椭圆C 上两点B A ,满足2=，求点B 横坐标的取值范围. 21、已知21,F F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左,右焦点，过2F 作垂直于x 轴的垂线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠ 3021=F MF . （1）求双曲线C 的两条渐近线的夹角θ；（2）过点2F 的直线l 和双曲线C 的右支交于B A ,两点，求△B AF 1的面积最小值；过双曲线C 上任意一点Q 分别作该双曲线两条渐进线的平行线，它们分别交两条渐近线于21Q Q ，两点，求平行四边形21QQ OQ 的面积.。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且2ka b a b +-与互相垂直，则k ＝（ ） A.75B.1C.35D.15【答案】A 【解析】【详解】因为2ka b a b +-与互相垂直，所以()()71,,23,2,2033240,5k k k k k -⋅-=∴-+-==，选A. 2．过点P （0,1）与圆22230x y x +--=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是（ ）A ．0x = B.1y = C.10x y -+= D ．10x y +-= 【答案】D【解析】试题分析：配方得22(1+4x y -=），依题意，被圆截得的弦最长时的直线过圆心1,0（），由因为过点,1P （0）,故所求的直线方程为10x y +-=.【考点】1、直线和圆的位置关系；2、直线和圆的方程. 3．下列四个结论中正确的是（ ）①若两个平面有无数多个公共点，则它们重合； ②垂直于同一条直线的两条直线平行；③若两平行线中的一条与第三条直线垂直，则另一条也与这条直线垂直； ④若a ，b 是异面直线，直线c ，d 与a ，b 都相交，则c ，d 也是异面直线； A.①② B.②③C.③D.③④【答案】C【解析】根据直线和平面的性质对四个结论依次分析即可。
【详解】①当这无数个公共点共线时，两个平面相交，结论错误。
②在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1，AB 都与AA 1垂直，但AD 1与AB 不平行，结论错误。
③由异面直线所成角的定义知结论成立 ④反例如图，结论错误故选：C 【点睛】本题考查了直线和平面的位置关系，对于不正确的命题，应该去找出反例。
属于基础题。
4．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为A ．2B ．1C D ．2【答案】C【解析】延展平面EFG ，可得截面EFGHOR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点，可得1//D P 平面EFGHQR ,再证明平面1//D AC 平面EFGHQR ,可知P 在AC 上时，符合题意，从而得到P 与O 重合时三角形1PBB 的面积最小，进而可得结果. 【详解】延展平面EFG ，可得截面EFGHQR ,其中H Q R 、、分别是所在棱的中点， 直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， 所以1//D P 平面EFGHQR , 由中位线定理可得AC//EF ,EF 在平面EFGHQR 内，AC 在平面EFGHQR 外，所以AC //平面EFGHQR ,因为1D P 与AC 在平面1D AC 内相交， 所以平面1//D AC 平面EFGHQR ,所以P 在AC 上时，直线1D P 与平面EFG 不存在公共点， 因为B O 与AC 垂直，所以P 与O 重合时BP 最小， 此时，三角形1PBB 的面积最小，最小值为122⨯= C. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.二、填空题5．将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为______.【答案】12π【解析】由熔前熔后总体积不变，可得新的大铅球体积等于原来两个小铅球的体积之和。
2018学年度第一学期四校期中考试高二数学试卷答案
2018学年度第一学期四校期中考试高二年级数学试卷<总分：100分时间：90分钟）一．填空题：<本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1.已知，则与方向相同地单位向量=2.无穷等比数列地通项公式为，则其所有项地和为____________3. 设为等差数列，若和是方程地两根，则地值为___4.已知，则向量在向量上地投影为5.已知，则与地夹角为6.已知，则：地值为7．已知，则8.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来地5%以下，则至少需过滤地次数为9.已知，则地取值范围是10.定义一种运算“※”，对于满足以下运算性质：<1）1※1＝1，<2）※1＝3<n※1），则※1用含n地代数式表示是__________11.如图，在半径为r 地圆内作内接正六边形，再作正六边形地内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆地面积之和，则地值为12.若数列是等差数列，则数列也为等差数列；类比上述性质，相应地，若数列是等比数列，且，则有=____________也是等比数列.二．选择题(本大题共有4道小题,每小题4分,计16分>13.已知数列：，数列满足：，当时，，则地值为-------------------< ）(A> (B> (C> (D>14．设等比数列地前n 项和为，若=3，则 =---------( >(A> 2 (B> (C> (D> 315.已知，且点在延长线上，使，则点坐标为----------------------------------------------------< ）(A> (B> (C> (D>16.设、、是任意地非零平面向量，且相互不平行，则：①；②；③不与垂直；④.其中，真命题地序号是< ）(A> ①②(B> ②③(C> ②④(D> ③④三、解答题：<本大题共有5道题，满分48分）17.<本题满分8分，两小题各4分）设等差数列地前项和为，且<1）求通项；<2）若，求项数.18．<本题满分8分）设首项为，公比为地等比数列地前项和为，且，求.19. <本题满分8分，两小题各4分）设，<1）求及地面积；<2）对向量定义一种运算：.试计算地值，并说明它与地面积之间地关系，由此猜想这一运算地几何意义.20. <本题共3小题，满分4+4+4=12分）已知数列和有，<）；而数列地前n项和(1>求数列地通项公式；(2>若，证明数列为等比数列，并求数列地通项公式；(3>如果，试证明数列地单调性<若数列中，对于任意项数n均有，称数列为单调增数列；若有，称数列为单调减数列）21、<本题共3小题，满分4+4+4=12分）设点，是函数地图象上地任意两点，而且点满足，已知点地横坐标为<1）求点地纵坐标地值；<2）若设，其中且，求；<3）已知数列，设为地前项地和，若对一切都成立，试求地取值范围.2018学年度第一学期四校期中考试高二年级数学试卷<答案）一．填空题：<本大题共有12道小题，每小题3分，共36分）1.；2. 2 ；3. 1 ；4.；5.；6. 07.； 8 . 14 ；9.；10. ；11.4；12.二．选择题(本大题共有4道小题,每小题4分,计16分>13.C 14.B 15.D 16.C三、解答题：<本大题共有5道题，满分48分）17.解：<1）因为等差，---------------2分又--------------------------------------------------------------------4分<2）由<1）------------------------6分-----------------------------------------------------------------------------------------------8分18.解：，①当q=1时，，=1-------------------------------2分②当q≠1时，------------5分若0<q<1，=---------------------------6分若q>1，=0.---------------------------7分故：=---------------------------8分19.解：<1）-------------------------1分--------------------------2分--------------------------3分--------------------------4分<2）-------------------------6分所以，地值为以为边地平行四边形地面积.--------------------8分20.<1）解:，------------------------------------------------2分又当时，，---------------------------------------------------------3分所以----------------------------------------------------------------------------------4分-而，所以数列为以为首项，以为公比地等比数列，，故 ----------------------------------8分<3）------------------------10分当时，所以，即----------11分所以数列为单调减数列-----------------------------------------------------------------12分21.解：<1）------------------------------------------------------------------------1分----------------------------------3分-------------------------------------------------------------------------------------4分<2）由<1）可知，-------------------------------------------6分------------------------------------------8分<3）当时，，-------------------------9分而也符合--------------------------------------------------------------------------------------10分-----------------11分时取等号则：地取值范围是.---------------------------------------------------------------12分申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
精品解析：【全国百强校】上海市复旦附中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)
上海市2018-2019学年复旦附中高二上学期数学期中考试一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.直线2310x y+-=的倾斜角是____________.【答案】2arctan3 p-【解析】【分析】先求直线2x+3y﹣1＝0的斜率，进而转化为倾斜角，【详解】解：直线2x+3y﹣1＝0的斜率为k＝﹣，倾斜角为α，所以tanα＝﹣，则α＝π﹣arctan，故答案为：π﹣arctan．【点睛】本题关键是倾斜角以及反三角函数的问题，考查计算能力．2.若矩阵11A骣琪琪=-琪琪桫，()121B=，则AB=__________．【答案】121 121 000骣琪琪---琪琪桫【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算法则，计算积矩阵中的每一项即可．【详解】解：矩阵11A骣琪琪=-琪琪桫，B＝（1 2 1），则AB＝121 121 000骣琪琪---琪琪桫．故答案为：121 121 000骣琪琪---琪琪桫．【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算问题，是基础题．3.行列式43125142k--的元素3-的代数余子式的值为7，则k=______．【答案】3 【解析】【分析】根据余子式的定义可知，M12＝﹣212k-,求出其表达式列出关于x的方程解之即可．【详解】解：由题意得M12＝﹣212k-＝﹣（﹣4﹣k）＝7，解得：k＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行行列式的运算，是一道基础题．4.已知,x my tí=ïì=ïî是增广矩阵为3122012骣-琪琪桫的二元一次方程组的解，则m t+=________【答案】10【解析】【分析】首先根据二元一次方程组的增广矩阵，写出二元线性方程组的表达式，然后根据方程求解m，t 即可；【详解】解：,x my tí=ïì=ïî是增广矩阵为3122012骣-琪琪桫的二元一次方程组的解，则3222m ttí-=ïì=ïî,解得m＝8，t＝2，则m+t＝10，故答案为：10．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的矩阵形式，计算量小，解答的关键是理解二元线性方程组的增广矩阵的含义，并由此写出二元线性方程组的表达式．5.直线3:14l y x =-的一个单位方向向量．．．．．．是________. 【答案】43,55骣琪±琪桫【解析】 【分析】取直线的方向向量：a ＝±（1,34）．利用该直线的单位方向向量d ＝aa即可得出． 【详解】解：取直线的方向向量： a＝±（1,34）. ∴该直线的单位方向向量d ＝a a =4355骣琪±琪桫， , 故答案为： 4355骣琪±琪桫，. 【点睛】本题考查了直线的方向向量、单位向量，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ^，则______k =. 【答案】1或-3 【解析】 【分析】利用l 1⊥l 2，得出k •（k ﹣1）+（1﹣k ）•（2k +3）＝0，求出k 的值即可．【详解】解：因为l 1⊥l 2，所以k •（k ﹣1）+（1﹣k ）•（2k +3）＝0，解得 k ＝1或k ＝﹣3 故答案为：1或﹣3【点睛】本题考查直线的垂直条件的应用，考查计算能力． 7.已知点P 在直线6014x y -=-上，且点P 到()2,5A 、()4,3B 两点的距离相等，则点P 的坐标是__________.【答案】（1,2） 【解析】 【分析】由二项展开式性质得点P 在直线4x +y ﹣6＝0，设P （a ，﹣4a +6），由点P 到A （2，5）、B （4，3）两点的距离相等，能求出点P 的坐标．【详解】解：∵点P 在直线614x y --=0上，∴点P 在直线4x +y ﹣6＝0， 设P （a ，﹣4a +6），∵点P 到A （2，5）、B （4，3）两点的距离相等，， 解得a ＝1，∴点P 的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.若，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】 【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可．【详解】解：当|t |≥2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t，可得2n 22()11t lim 2121n t t t ?-==骣琪+琪桫，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t 可得： 22()2lim 211?()2n nt t t +=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为：[﹣2，2）．【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．9.已知，则“”是“两直线1:210l x ay +-=与2:(31)10l a x ay ---=平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.【答案】_充分非必要 【解析】 【分析】由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行列式求得a 值，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行，可得()23101310a a a a í---=ïì-+-?ïî ，即a ＝0或a ＝16 .∴“a ＝16”是“两直线l 1：x +2ay ﹣1＝0与l 2：（3a ﹣1）x ﹣ay ﹣1＝0平行”的充分非必要条件．故答案为：充分非必要．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查两直线平行与系数的关系，是基础题． 10.过点且与直线的夹角为的直线的一般式方程．．．．．是____________. 【答案】【解析】 【分析】由题意，设夹角为为θ，可得tan θ＝12，利用夹角公式求解k 可得方程； 【详解】解：由题意，设夹角为为θ，可得tan θ＝12当k 存在时，设过点P （3，﹣2）直线斜率为k ，直线2x +y +1＝0的斜率为-12由tan θ＝12＝12112k k +- , 解得：k ＝34- ；当k 不存在时，x ＝3．此时两直线夹角tan θ＝12，∴所求的直线方程为：x ﹣3＝0或3x +4y ﹣1＝0； 故答案为：x ﹣3＝0或3x +4y ﹣1＝0；【点睛】本题主要考查直线方程的求解，结合直线夹角公式利用待定系数法是解决本题的关键11.已知实数满足：，且，其中，则以向量为法向量的直线的倾斜角的取值范围是__________.【答案】【解析】 【分析】由已知可得，向量OA ＝（a 1，b 1）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，向量OB＝（a 2，b 2）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，把已知等式变形求得,OA ,OB 的夹角为4p，再由a 1＞a 2可得A 的位置，数形结合可得以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的倾斜角的取值范围．【详解】解：向量OA ＝（a 1，b 1）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，向量OB ＝（a 2，b 2）的终点在直线x ﹣y +1＝0上，1212)a a b b +2=,即向量OA 与向量OB 的夹角为4p，又a 1＞a 2，可得点A 在曲线x ﹣y +1＝0（x ＞﹣1）上， 如图，则OA 所在直线的斜率为（﹣∞，0）∪（1，+∞），∴以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的斜率为（0，+∞）∪（﹣1，0）， 倾斜角的范围为（0，2p ）∪（34p ，π）， 当A 为（0，1）时，以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的倾斜角为0． ∴以向量（a 1，b 1）为法向量的直线的倾斜角的范围为[0，2p ）∪（34p，π）， 故答案为： [0，2p ）∪（34p ，π）. 【点睛】本题考查由数量积求向量的夹角，考查数形结合的解题思想方法． 12.如图，边长为4的正方形中，半径为1的动圆的圆心在边和上移动（包含端点），是圆上及其内部的动点，设，则的取值范围是_____________.【答案】【解析】 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得()0,4BA =,BC ＝（ 4，0），()()()4,00,44,4BP m n m n =+=.由图可知，当动圆Q 的圆心经过点D 时，P (4)22.此时m +n 取得最大值：4m +4n ＝m +n ＝2+4．当动圆Q 的圆心为点C 或点A 时，利用三角函数求m +n 的最小值．【详解】解：如图所示，边长为4的长方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及内部的动点，向量BP mBC nBA =+（m ，n 为实数），BA =（0，4），BC ＝（ 4，0），可得BP＝（ 4m ，4n ）． 当动圆Q 的圆心经过点D 时，如图：P (422.此时m +n 取得最大值：4m +4n ＝8+，可得m +n ＝．当动圆Q 的圆心为点C 时，BP 与⊙C 相切且点P 在x 轴的下方时，BP＝（4+cos θ，sin θ），此时，4m +4n ＝4sin （θ+4p）， m +n 取得最小值为：1P （ 4）．同理可得，当动圆Q 的圆心为点A 时，BP 与⊙A 相切且点P 在y 轴的左方时， m +n 取得最小值为：1﹣4，此时P （-2，4﹣2）． ∴则m +n的取值范围为12轾犏-犏臌故答案为：1244轾犏-犏臌.【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数，使得，则的取值范围为( )A. {3,4}B. {2,3,4}C. {3,4,5}D. {2,3} 【答案】B 【解析】 【分析】由 表示（x ，f （x ））点与原点连线的斜率，结合函数y ＝f （x ）的图象，数形结合分析可得答案． 【详解】解：令y ＝f （x ），y ＝kx ， 作直线y ＝kx ，可以得出2，3，4个交点， 故k ＝()f x x（x ＞0）可分别有2，3，4个解．故n 的取值范围为2，3，4． 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解 表示（x ，f （x ））点与原点连线的斜率是解答的关键． 14.给出下列命题:①非零向量,a b 满足a b a b ==- ，则a 和a b +的夹角为30°；②将函数的图像按向量平移，得到函数的图像；③在三角形ABC 中，若，则三角形ABC 为等腰三角形；其中正确命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①由加法的平行四边形法则可知为菱形，又菱形对角线平分对角可得结论；②根据图象平移的口诀左加右减，得到的是函数y ＝|x ﹣2|的图象； ③由加法的平行四边形法则可知为菱形，可得结论．【详解】解：①∵a b a b==- ，∴所对应的平行四边形是菱形，∴a 与a +b 的夹角为30°； ②将函数y ＝|x ﹣1|的图象按向量a ＝（1，0）平移，得到函数y ＝|x ﹣2|的图象；③在△ABC 中，若()?0AB AC BC +=，则以AB 、AC 为邻边所作的平行四边形是菱形， ∴△ABC 为等腰三角形； 故选：C ．【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了向量的基本运算，图象的平移，难度不大，属于基础题． 15.在平面直角坐标系中，，，，经过原点的直线将△分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为、，则取得最小值时，直线的斜率（ ）A. 等于B. 等于C. 等于D. 不存在【答案】D 【解析】 【分析】分别计算k ＝1，k ＝﹣1，k ＝12，和k 不存在时，原式的值，比较大小可知选D ． 【详解】解：当k ＝1时，l ：y ＝x ，此时S 2＝14S △ABC ＝14，S 1＝34，∴()212211s s +-=4915 ， 当k =﹣1时，l ：y ＝﹣x ，此时，S 1＝14，S 2＝34，∴()212211s s +-＝257， 当k ＝12时，l ：y ＝12x ，此时，S 2＝16，S 1＝56，∴()212211s s +-=12135， 当k 不存在时，l ：x ＝0，此时，S 1＝S 2＝12，∴()212211s s +-＝3， 比较可知，当k 不存在时，原式值最小． 故选：D ．【点睛】本题考查了正弦定理．属中档题． 16.如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成：，，且按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),nna b n N Î，则为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的定义，推导知112231n n n OA OA A A A A A A -=+++的向量坐标，然后求出a n ，b n 的表达式，然后进行计算即可．【详解】解：向量，经过1次变换后得到12222cos ,2sin 33A A p p 骣琪=琪桫=(-，则(2A -，所以221,a b =- 由几何性质可得：332a =-，3b = ，41,a =-4b 则由题意可知112231n n n OA OA A A A A A A -=+++ =()4,0+22(2cos ,2sin )33p p +44cos ,sin 33p p骣琪琪桫+所以选A.【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大． 三、解答题（本大题共5题，共76分）17.已知，直线的方程为(1)(21)3m x m y m +--=，直线的方程为(31)(41)54m x m y m +--=+.当变化时，（1）分别求直线和经过的定点坐标； （2）讨论直线和的位置关系.【答案】(1) 直线过定点；同理，直线过定点（3,1）；(2)见解析.【解析】 【分析】（1）将直线l 1的方程改写为m （x ﹣2y ﹣3）+（x +y ）＝0，令2300x y x y í--=ïì+=ïî，求解x ，y 的值，可得答案；同理，直线l 2一样求法；（2）联立方程，得()1(21)3(31)(41)54m x m y m m x m y m í+--=ïì+--=+ïî求解交点D ，讨论即可； 【详解】（1）将直线1l 的方程改写为()()230m x y x y --++= ，令2300x y x y í--=ïì+=ïî 得直线1l 过定点(1,-1)；同理，直线2l 过定点（3,1）； （2）联立方程，得()1(21)3(31)(41)54m x m y m m x m y m í+--=ïì+--=+ïîD=2m(m-2),D x =-2(m-1)(m-2),D y =-2(2m+1)(m-2) 当m 0¹和2时，D 0¹ ，两直线相交；当m=0时，D=0,0x D ¹，两直线平行；当m=2时，0x y D D D === ，两直线重合。
2018-2019学年上海市复旦附中高二上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦附中高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-+⋅⋅⋅+--，则1k a +等于（ ） A ．121k a k ++ B ．112224k a k k +-++ C ．122k a k ++D ．112122k a k k +-++ 【答案】D【解析】试题分析111111234212n a n n =-+-+⋅⋅⋅+--，1112a ∴=-，21111234a =-+-，⋅⋅⋅，n a =1111234-+-+⋅⋅⋅11212n n +--，111111234212k a k k=-+-+⋅⋅⋅+=-， 1112122k k a a k k +∴=+-++，故选D ． 【考点】数列通项及归纳推理．【思路点晴】本题主要考查数列通项的基本含意，属于难题，解题时一定要注意111111234212n a n n=-+-+⋅⋅⋅+--的三个特点：（1）正负间隔出现；（2）分母成公差为1等差数列；（3）n 每增加“1”，n a 就增加两项．解决本题是利用特点（3）可知1k a +在k a 的基础上多出了两项得出结论的．2．数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列（ ）A.有极限，其值是整数B.有极限，其值是分数C.有两个极限D.lim n n a →∞不存在 【答案】D【解析】通过数列的通项公式，判断数列的特征，然后求解即可． 【详解】数列{a n }的通项公式是a n 1(1)2n+-=，可得数列是0，1，0，1，0，1…0，1…， 可知数列是摆动数列，所以数列没有极限． 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的通项公式的应用，数列极限的判断，考查计算能力 3．已知|b |＝3，如果a 在b 上的投影是32-，那么a ⋅b 为（ ） A.92-B.92 C.2D.12【答案】A【解析】由题得||a b b ⋅＝﹣32，化简即得解.【详解】 依题意得||a b b ⋅＝﹣32，∴a b ⋅＝﹣32×3＝﹣92. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查向量的投影，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.4．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．2【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，利用平面向量的坐标运算建立有关λ、μ的方程组，求出这两个量的值，可得出λμ+的值. 【详解】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭uuu r uu u u r uur ，故11,12λμλμ=-=+，解得415,,333λμλμ==+=.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查平面向量的基底表示，解题时也可以利用坐标法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.二、填空题5．在等差数列{a n }中，已知a 15＝10，a 45＝90，a 60＝_____． 【答案】130【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，先求出d,再利用通项求a 60得解. 【详解】设等差数列{a n }的公差为d ， 则d ＝45154515a a -=-83，故a 60＝a 45+（60﹣45）d ＝90+15×83＝130，故答案为：130 【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1，公比q ∈R ，且q ≠1，a n ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则n ＝_____ 【答案】11【解析】直接利用等比数列的通项化简得10111n a a q a ==，即得解.【详解】∵a 1＝1，公比为q ，且q ≠1，a n ＝a 1a 2a 3a 4a 5，∴51234101111n a a qa q a +++===, ∴n ＝11． 故答案为：11 【点睛】本题主要考查等比数列的通项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.7．1123lim 23n nn n n ++→∞-+＝_____【答案】﹣13【解析】化简得1123lim 23n nn n n ++→∞-+＝2213lim 233nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求极限得解. 【详解】1123lim 23n nn n n ++→∞-+＝2213lim 233nn n →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0103-+＝13-． 故答案为：13-． 【点睛】本题主要考查数列极限的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 8．与向量a ＝（﹣3，4）共线的单位向量0a u u r＝_____【答案】（﹣35，45）或（35，﹣45） 【解析】根据题意得a r＝5，再利用与a 共线的单位向量公式得解.【详解】根据题意得a r＝5，∴同向单位向量||a a ＝15（﹣3，4）＝（35-，45），同理反向单位向量（35，﹣45）. 故答案为：（﹣35，45）或（35，﹣45）【点睛】本题主要考查向量的模的计算，考查共线向量的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．已知点P 分线段P 1P 2的比为﹣2，若P 1（1，2），P 2（3，﹣1），则点P 的坐标为_____ 【答案】（5，﹣4）【解析】由题得λ＝﹣2，再利用定比分点的坐标公式求解. 【详解】点P 分线段P 1P 2的比为﹣2，所以λ＝﹣2． 根据分点的坐标公式： x ＝121x x λλ++＝123512-⨯=-，124411y y y λλ+===-+-， 所以点P 的坐标为（5，﹣4）． 故答案为：（5，﹣4） 【点睛】本题主要考查定比分点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 10．已知A （0，1）、B （1，0）、C （3，k ），若∠ABC 为钝角，则k 的取值范围为_____ 【答案】（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）【解析】由题得BA ⋅BC ＜0且BA 、BC 不平行，解不等式组即得解. 【详解】∵A （0，1）、B （1，0）、C （3，k ）， ∴BA ＝（﹣1，1）且BC ＝（2，k ）．∵∠ABC 为钝角，∴BA ⋅BC ＜0且BA 、BC 不平行， 可得2020k k -+<⎧⎨--≠⎩，解之得k ＜2且k ≠﹣2．则k 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2） 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和夹角的计算，考查共线向量的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．若数列100，50，20，…的各项加上某个数后恰为一等比数列，则此时等比数列的各项和为_____ 【答案】6252【解析】设加上的数为a ，所以（50+a ）2＝（100+a ）（20+a ）,解得a ＝25.再求公比q 和等比数列的各项和. 【详解】根据题意，（50+a ）2＝（100+a ）（20+a ）；解得a ＝25.∴50253100255q +==+，∴312515125625lim lim322155n nn n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===-． 故答案为：6252【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，考查等比数列各项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．(数学文卷·2017届北京市朝阳区高三上学期期中考试第14题) 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作.书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安，至齐。
上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题+Word版含解析
复旦大学附属中学2018-2019学年第一学期高二年级数学期末考试试卷 2019.01一、填空题（本大题共12题）1.抛物线的准线方程是_______【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，所以：，即，所以，所以准线方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.2.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，可得关于m的不等式组，解之即可得到实数m的取值范围.【详解】根据椭圆的标准方程的形式，可知方程表示椭圆的条件是：，解得，所以实数的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关方程表示椭圆的条件，明确椭圆的标准方程的形式，即可得到其对应的不等式组，求解即可.3.若直线与直线平行，则与之间的距离为______ ．【答案】【解析】【分析】利用直线平行可求得，代入距离公式即可得出结果.【详解】根据两直线平行，可得，解得，所以两直线的方程为：，整理得，根据平行线间的距离公式可得，两平行线间的距离，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关两条平行线间的距离问题，涉及到的知识点有两条直线平行的条件，平行线间的距离公式，属于简单题目.4.过点作圆的切线，则切线所在直线的方程为______ ．【答案】或【解析】【分析】首先考虑斜率不存在的时候直线与圆的位置关系，再考虑直线斜率存在时，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得的值，综合到一起，得出切线的方程.【详解】过点，直线斜率不存在时方程为，圆心到直线的距离为1，等于半径，所以是圆的切线；过点，切线斜率存在时，直线设为，即，圆心到直线的距离为，整理解得；切线方程为或，故答案是：或.【点睛】该题考查的是有关过圆外一点的圆的切线的方程，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，直线方程的点斜式，点到直线的距离公式，注意考虑斜率不存在的情况.5.若一条双曲线与有共同渐近线，且与椭圆有相同的焦点，则此双曲线的方程为______．【答案】【解析】【分析】由椭圆方程求出椭圆及双曲线的半焦距，设出与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，化为标准方程，结合双曲线中的隐含条件求得值，求得结果.【详解】由得，所以，得，即椭圆的半焦距为，设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为，因为所求双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程化为，根据椭圆和双曲线共焦点，所以有，解得，所以所求双曲线的方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关共渐近线的双曲线的方程的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求椭圆的焦点坐标，与某双曲线共渐近线的双曲线方程的设法，注意平时对有关结论的理解.6.已知三角形的顶点、，若顶点在抛物线上移动，则三角形的重心的轨迹方程为______【答案】【解析】【分析】首先设出三角形的重心和三角形的顶点C的坐标，利用三角形的重心坐标公式，将两点坐标之间的关系建立，结合点C在曲线上，利用相关点法求得对应曲线的方程，之后利用三角形的三个顶点不共线，去掉相应的点，即可得到结果.【详解】设的重心，，则有，即，因为点C在曲线上，所以有，即，因为三角形的三个顶点不能共线，所以，所以的重心的轨迹方程为：，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求解问题，涉及到的知识点有三角形重心坐标公式，用相关点法求动点的轨迹方程，注意对不满足条件的点要去掉.7.设、分别为直线（为参数，）和曲线（为参数，）上的点，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】首先将直线和曲线的参数方程化为普通方程，结合点P、Q分别为直线和圆上的动点，从而得到的最小值即为圆心到直线的距离减去半径，从而得到相应的范围.【详解】由（t为参数）可得直线的普通方程为，由（为参数）可得曲线的普通方程为，因为点P、Q分别为直线和圆上的动点，所以，可以无穷远，所以的取值范围是，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关直线与圆上的点的距离的范围问题，涉及到的知识点有曲线的参数方程向普通方程的转化，圆上的点到直线的距离的最小值，认真审题是正确解题的关键.8.已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离之和的最小值为______【答案】【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.【详解】，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.9.如果为椭圆上的动点，为椭圆上的动点，那么的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】首先利用椭圆的参数方程，设出点M、N的坐标，之和应用向量的数量积坐标公式，结合余弦差角公式将其化简，结合余弦函数的值域求得结果.【详解】利用椭圆的参数方程：设、，则,所以最大值是:15.【点睛】该题考查的是有关向量数量积的取值范围的问题，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，向量的数量积坐标公式，余弦的差角公式，余弦函数的值域，属于中档题目.10.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是____ ．【答案】【分析】首先将关于的方程有两个不相等的实数根，转化为曲线（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，画出图形，分类讨论，最后求得结果. 【详解】转化为（上半个单位圆）与的图像有两个不同的交点，如图，当时，要满足条件，则，∴；类似，当时，；综上，实数的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关根据方程解的个数求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有将方程的解转化Wie曲线的交点，数形结合，分类讨论求得结果.11.已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据直线过坐标原点，结合椭圆的对称性，可知点A、B关于原点对称，设出两个点的坐标、，利用向量的运算法则以及向量数量积坐标运算公式，求得，之后结合，求得结果，也可以应用参数方程来解决.【详解】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，方法一：设、，则，，即，∴．方法二：利用参数方程，设、，则．【点睛】该题考查的是有关一个点与椭圆上两个关于原点对称的点所构成的向量的数量积的取值范围的问题，在解题的过程中，注意两点关于原点对称这个条件非常关键，也可以应用参数方程来设点的坐标.12.在平面直角坐标系中，已知圆与曲线交于两点、（在第一象限），与轴正半轴交于点．若，点，则当和变化时，的最小值为______．【答案】7【解析】【分析】首先根据题意画出相应的图形，根据曲线，可得，对m与1的大小关系进行分类讨论，最后结合图形，得出结果.【详解】易得，从而可证，∴，点关于的对称点为，记，则，∴．【点睛】该题考查的是有关线段和的最值的问题，在解题的过程中，注意利用对称将问题转化，从而求得结果，注意对m与1的大小关系进行分类讨论.二、选择题（本大题共4题）13.方程所表示的曲线的对称性是（）A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于轴对称D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】将方程中的分别换为，以及将换成，比较所得方程与原方程，看相同与否，再将方程中的换为，比较所得方程与原方程是否相同，最后得到结果.【详解】将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程相同，故关于轴对称；将方程中的换为，方程变为，与原方程不同，故不关于直线对称；可知曲线既关于轴对称，又关于轴对称，从而得到其关于原点对称；故选D.【点睛】该题考查的是利用方程判断曲线的对称性，属于简单题目.14.若点是圆外一点，则直线与圆的位置关系是（）A. 相离B. 相切C. 相交且不过圆心D. 相交且过圆心【答案】C【解析】【分析】由已知条件推导出，从而圆心到直线的距离，由此能判断出直线与该圆的位置关系，从而求得结果.【详解】由题意，得，从而圆心到直线的距离为，∴选C．【点睛】该题考查的是有关判断直线与圆的位置关系的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离与半径比较大小得到直线与圆的位置关系，属于简单题目.15.已知，由所有直线组成的集合记为，则下列命题中的假命题是（）A. 存在一个圆与所有直线相交B. 存在一个圆与所有直线不相交C. 存在一个圆与所有直线相切D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等【答案】D【解析】【分析】首先能够确定直线是表示的圆的所有切线，所以可以将圆心定住，改变半径的大小，得到与直线相交，相离和相切，从而确定出A,B,C三项都是正确的，对于D项，已经找到两种大小不相等的正三角形，从而得到结果.【详解】根据点到L的距离为，表示圆的所有切线，符合选项A、B、C的圆依次为、、，对于选项D，存在如下图的两种大小不相等的正三角形，∴D错误，故选D．【点睛】该题考查的是有关定圆的切线系方程，利用点到直线的距离可以确定直线系L是定圆的切线系，之后对选项逐项分析，找到对应的结果，从而得到答案.16.双曲线的左右焦点分别为、，若是双曲线左支上的一个动点，则的内切圆的圆心可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据题意，结合切线的性质以及双曲线的定义，可以判断出其三角形的内切圆的圆心的横坐标为，并且根据题意判断出其落在渐近线的下方，从而得到正确的结果.【详解】设内切圆圆心为，内切圆与、、的切点分别为、、，则由切线长定理，知、、，∴，∴为双曲线的左顶点且轴，设所在直线与的交点为，由角平分线定理，知，由于，∴点一定位于上，因此，若内心在第二象限，则其一定位于渐近线的下方，在第三象限，则其一定位于渐近线的上方，即的坐标一定为，其中，∴选B．【点睛】该题考查的是双曲线的焦点三角形的内心的位置，涉及到的知识点有双曲线的定义，圆的切线的性质，属于中档题目.三、解答题（本大题共5题）17.已知圆的圆心在直线上，并且圆与直线和都相切．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆有两个不同的交点、，求弦长的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据两条直线和是平行的，从而断定圆心是与的交点，解方程组求得，由两平行线间的距离求得圆的半径，从而得到圆的方程；（2）由直线的方程可以断定直线过定点，根据垂径定理，得到最小值求得结果.【详解】（1）圆心为与的交点，解得，圆的直径为两平行线与间的距离，可求出半径，∴圆的方程为；（2）直线过定点，由垂径定理知，当为直线的法向量时，弦心距最长，弦最短，∴．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有圆的方程的求解，直线与圆的位置关系，直线过定点，根据垂径定理求圆的最短弦长，属于中档题目.18.在平面直角坐标系中，动圆经过点并且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线．（1）如果直线过点（0，4），且和曲线只有一个公共点，求直线的方程；（2）已知不经过原点的直线与曲线相交于、两点，判断命题“如果，那么直线经过点”是真命题还是假命题，并说明理由．【答案】（1）直线的方程为、、；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义，求得曲线C的方程，之后分直线的斜率存在与不存在两种情况，根据直线与抛物线有一个公共点，得出结果；（2）根据图形的对称性，得出对应的定点在x轴上，设出直线的方程，利用韦达定理，根据向量垂直向量的数量积等于零，求得对应的结果.【详解】（1）根据题意，可知曲线C的方程为，①直线的斜率不存在，即的方程为，符合题意，②直线的斜率存在，设，与抛物线方程联立得，（ⅰ），符合题意，此时的方程为，（ⅱ），则，解得，此时的方程为，综上，符合题意的直线的方程为、、；（2）由图形的对称性，若直线过定点，则该定点必定落在轴上，设定点坐标为、、、，，则，∵，∴，即，解得或（舍），∴命题为真命题．【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有根据抛物线的定义求抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题目.19.轮船在海上航行时，需要借助无线电导航确认自己所在的位置，以把握航向．现有、、三个无线电发射台，其中在陆地上，在海上，在某国海岸线上，（该国这段海岸线可以近似地看作直线的一部分），如下图．已知、两点距离10千米，是的中点，海岸线与直线的夹角为．为保证安全，轮船的航路始终要满足：接收到点的信号比接收到点的信号晚秒．（注：无线电信号每秒传播千米）．在某时刻，测得轮船距离点距离为4千米．（1）以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系（如图），求出该时刻轮船的位置；（2）根据经验，船只在距离海岸线1.5千米以内的海域航行时，有搁浅的风险．如果轮船保持目前的航路不变，那么是否有搁浅风险?【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意，设出点P的坐标，根据题意得出点P的轨迹是双曲线的一支，根据对应的量，从而求得点P的坐标，得到结果；（2）根据题意，找出对应的关系，从而求得结果，得到结论.【详解】（1）设轮船在点处，则由题意，得，∴为以、为焦点，实轴长为8，焦距为10的双曲线右支上的点，其方程为，又，解得；（2）海岸线所在直线的方程为，与其平行，且距离为1.5的直线的方程为，考虑与是否有交点，，∴与没有交点，即轮船保持目前的航路不变，没有搁浅风险．【点睛】该题考查的是应用所学知识解决实际问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用定义得出曲线的方程，利用直线与曲线的位置关系得到相应的结果，属于中档题目. 20.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为、，且为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆的方程；（2）如果在椭圆上存在不同的两点、关于直线对称，求实数的取值范围；（3）已知点，椭圆上两点、满足，求点横坐标的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据为等边三角形，可得，结合椭圆长轴的长为4，即，得，从而求得椭圆的方程；（2）根据等边三角形，得出a,b,c之间的关系，从而设出椭圆的方程，根据椭圆中中点弦所在直线的斜率所满足的条件，结合对称的条件，求得弦的中点坐标，保证点在椭圆内，得到相应的不等关系，得到结果；（3）利用向量的关系，得到点的坐标之间的关系，结合隐含条件，得到相应的范围，求得结果【详解】（1）由题意，得，，∴椭圆的方程为；（2）“点差法”设椭圆的方程为，即，设、、中点，则，得，又，解得，显然在椭圆内，∴，得，又，∴；（3）设椭圆方程，即，方法一：（常规解法）①过、的直线斜率不存在，即直线方程为时，、，由，得，②过、的直线斜率存在，设直线方程为、、，由，得，，则，由，可得，∴，综上，点横坐标的取值范围是．方法二：设，则，，又，∴，∴，∴，即点横坐标的取值范围是．【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的综合问题，涉及到的知识点有椭圆中a,b,c三者之间的关系，正三角形的特征，点关于直线的对称点的特征，椭圆中中点弦所在直线的斜率的条件，向量之间的关系，属于较难题目.21.已知点、为双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且．（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；（2）过点的直线和双曲线的右支交于、两点，求的面积的最小值；（3）过双曲线上任意一点分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于、两点，求平行四边形的面积．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先根据双曲线的定义，结合题中所给的角的大小，求得，从而求得b的值，进而得到双曲线的渐近线方程，利用直线的方向向量所成的角，求得两条渐近线的夹角余弦值，利用反余弦求出结果；（2）设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用三角形的面积公式，结合函数的单调性，求得最值，得到结果；（3）根据所学的知识将四边形的面积表示出来，进而求得结果.【详解】（1）由题意，得，，∴，∴双曲线的方程为，∴，∴；（2）【注：若设点斜式，需补上斜率不存在的情况】设，、，将直线的方程代入双曲线方程，消去，得，则，得，，令，，则，其中在上单调递减，∴在上单调递增，∴当时，取得最小值，此时，的方程为；（3）设，其中方法一：设，与联立，可求出，由三阶行列式表示的三角形面积公式可得．方法二：如图，，设到和的距离为、，则，，∴【点睛】该题考查的是有关双曲线与直线的综合题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线的夹角，双曲线中三角形的面积，四边形的面积，属于较难题目.。
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复旦大学附属中学2018学年第一学期高二年级数学期中考试试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 直线0132=-+y x 的倾斜角是____________.2. 若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =__________．3. 行列式43125142k --的元素3-的代数余子式的值为7，则k =________．4. 已知,x m y t =⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫⎪⎝⎭的二元一次方程组的解，则=+t m ________。
5. 直线143:-=x y l 的一个单位方向向量．．．．．．是. 6. 已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则______k =.7. 已知点P 在直线6014x y -=-上，且点P 到()2,5A 、()4,3B 两点的距离相等，则点P 的坐标是__________.8. 若222lim 11=+--+∞→n n nn n t t ，则实数t 的取值范围是_____________.9. 已知R a ∈，则“61=a ”是“两直线1:210l x ay +-=与2:(31)10l a x ay ---=平行”的___________条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 10. 过点)2,3(-P 且与直线012=++y x 的夹角为21arctan 的直线的一般式方程．．．．．是____________. 11. 已知实数2211,,,b a b a 满足：1,012211=+-=+-b a b a ，且222221212121)(2b a b a b b a a +⨯+=+，其中21a a >，则以向量),(11b a 为法向量的直线的倾斜角的取值范围是____________.12. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点D C A ,,），P 是圆Q 上及其内部的动点，设),(R n m BA n BC m BP ∈+=，则n m +的取值范围是_____________.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 函数)(x f y =的图像如图所示，在区间],[b a 上可找到)2(≥n n 个不同的数n x x x ,,,21 ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的取值范围为( )（第13题图）A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}14. 给出下列命题:①非零向量满足，则的夹角为30°； ②将函数|1|-=x y 的图像按向量)0,1(-=平移，得到函数||x y =的图像； ③在中，若0)(=⋅+BC AC AB ，则为等腰三角形； 其中正确命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.315. 在平面直角坐标系xOy 中，)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，经过原点的直线l 将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则22211)1(S S -+取得最小值时，直线l 的斜率（ ）A ．等于1B ．等于1-C ．等于21D ．不存在 16. 如图所示，已知)0,4(),0,0(10A A ，对任何N n ∈，点2+n A 按照如下方式生成：a b、a b a b ==- 与a a b + ABC ∆ABC ∆（第12题图）321π=∠++n n n A A A ，||21||121+++=n n n n A A A A ，且21,,++n n n A A A 按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),n n a b n N ∈，则)lim ,lim (n n n n b a ∞→∞→为（ ） A.)734,720(B.)734,3(C.)835,3(D.)835,720(（第16题图）三. 解答题（本大题共5题，共76分）17. （本题14分）已知R m ∈，直线1l 的方程为(1)(21)3m x m y m +--=，直线2l 的方程为(31)(41)54m x m y m +--=+.当m 变化时， （1）分别求直线1l 和2l 经过的定点坐标； （2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.18. （本题14分）已知直线l 过点(1,3)，且与x 轴、y 轴都交于正半轴，当直线l 与坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求： （1）直线l 的方程；（2）直线l 关于直线12:-=x y m 对称的直线方程.19. （本题14分）类似于平面直角坐标系，我们可以定义平面斜坐标系：设数轴,x y 的交点为O ，与,x y 轴正方向同向的单位向量分别是,i j，且与的夹角为θ，其中),2()2,0(πππθ ∈。
由平面向量基本定理，对于平面内的向量OP ，存在唯一有序实数对(,)x y ，使得OP xi y j =+ ，把(,)x y 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，也叫做向量OP在斜坐标系xOy 中的坐标。
在平面斜坐标系内，直线的方向向量、法向量、点方向式方程、一般式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如45θ= 时，方程5142--=-y x 表示斜坐标系内一条过点)1,2(，且方向向量为)5,4(-的直线。
（1）若1arccos()3θ=-，)6,(),1,2(m b a ==，且与的夹角为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若60θ= ，已知点(2,1)A 和直线023:=+-y x l ， ①求l 的一个法向量； ②求点A 到直线l 的距离。
20. （本题16分）在平面直角坐标系中，O 为原点，两个点列 ,,,321A A A 和 ,,,321B B B 满足：①)(54),0,4(),0,5(*12121N n A A A A A A n n n n ∈=+++；②))(1,1(),1,1(*11N n B B B n n ∈=+. （1）求点3A 和3B 的坐标； （2）求向量n n OB OA ,的坐标；（3）对于正整数k ，用k a 表示无穷数列|}{|n OA 中从第1+k 项开始的各项之和，用k b 表示无穷数列⎭⎫⎩⎧⋅+1n n OB OB 中从第k 项开始的各项之和，即+++=+++||||||321k k k k OA OA OA a ，+⋅⋅⋅=+++++32211k k k k k k k OB OB OB OB OB OB b ，若存在正整数k 和p ，使得p b a k k =，求p k ,的值.21. （本题18分）已知点P 和非零实数λ，若两条不同的直线21,l l 均过点P ，且斜率之积为λ，则称直线21,l l 是一组“λP 共轭线对”，如直线x y l 2:1=和x y l 21:2-=是一组“1-O 共轭线对”，其中O 是坐标原点.（1）已知21,l l 是一组“3-O 共轭线对”，求21,l l 的夹角的最小值； （2）已知点)1,0(A 、点和点)0,1(C 分别是三条直线RP QR PQ ,,上的点（C B A ,,与R Q P ,,均不重合），且直线PQ PR ,是“1P 共轭线对”，直线QR QP ,是“4Q 共轭线对”，直线RQ RP ,是“9R 共轭线对”，求点P 的坐标；（3）已知点)2,1(--Q ，直线21,l l 是“2-Q 共轭线对”，当1l 的斜率变化时，求原点O 到直线21,l l 的距离之积的取值范围.)0,1(-B （第21（2）题图）复旦大学附属中学2018学年第一学期高二年级数学期中考试试卷一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1. 直线0132=-+y x 的倾斜角是___32arctan -π____. 2. 若矩阵110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，()121B =，则AB =___121121000⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭___．3. 行列式43125142k --的元素3-的代数余子式的值为7，则k =__3___．4. 已知,x m y t =⎧⎨=⎩是增广矩阵为3122012-⎛⎫⎪⎝⎭的二元一次方程组的解，则=+t m ___10__。
5. 直线143:-=x y l 的一个单位方向向量．．．．．．是)53,54(±. 6. 已知直线12:(1)30,:(1)(23)20l kx k y l k x k y +--=-++-=，若12l l ⊥，则k =___1或-3___.7. 已知点P 在直线6014x y -=-上，且点P 到()2,5A 、()4,3B 两点的距离相等，则点P 的坐标是__（1,2）__.8. 若222lim 11=+--+∞→n n nn n t t ，则实数t 的取值范围是____)2,2[-____.9. 已知R a ∈，则“61=a ”是“两直线1:210l x ay +-=与2:(31)10l a x ay ---=平行”的__充分非必要__条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）. 10. 过点)2,3(-P 且与直线012=++y x 的夹角为21arctan的直线的一般式方程．．．．．是____0143,03=-+=-y x x ____.11. 已知实数2211,,,b a b a 满足：1,012211=+-=+-b a b a ，且222221212121)(2b a b a b b a a +⨯+=+，其中21a a >，则以向量),(11b a 为法向量的直线的倾斜角的取值范围是____),43()2,0[πππ___.12. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点D C A ,,），P 是圆Q 上及其内部的动点，设),(R n m BA n BC m BP ∈+=，则n m +的取值范围是____]422,421[+-___.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 函数)(x f y =的图像如图所示，在区间],[b a 上可找到)2(≥n n 个不同的数n x x x ,,,21 ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的取值范围为( B )（第13题图）A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}14. 给出下列命题:①非零向量满足，则的夹角为30°； ②将函数|1|-=x y 的图像按向量)0,1(-=a 平移，得到函数||x y =的图像； ③在中，若0)(=⋅+，则为等腰三角形； 其中正确命题的个数是（ D ）A.0B.1C.2D.315. 在平面直角坐标系xOy 中，)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，经过原点的直线l 将△ABC分成左、右两部分，记左、右两部分的面积分别为1S 、2S ，则22211)1(S S -+取得最小值时，直线l 的斜率（ D ）B ．等于1 B ．等于1-C ．等于21D ．不存在a b、a b a b ==- 与a a b + ABC ∆ABC ∆（第12题图）16. 如图所示，已知)0,4(),0,0(10A A ，对任何N n ∈，点2+n A 按照如下方式生成：321π=∠++n n n A A A ，||21||121+++=n n n n A A A A ，且21,,++n n n A A A 按逆时针排列，记点n A 的坐标为()(),n n a b n N ∈，则)lim ,lim (n n n n b a ∞→∞→为（ A ） A.)734,720(B.)734,3(C.)835,3(D.)835,720(（第16题图）三. 解答题（本大题共5题，共76分）17. （本题14分）已知R m ∈，直线1l 的方程为(1)(21)3m x m y m +--=，直线2l 的方程为(31)(41)54m x m y m +--=+.当m 变化时， （1）分别求直线1l 和2l 经过的定点坐标； （2）讨论直线1l 和2l 的位置关系.解：（1）将直线1l 的方程改写为0)()32(=++--y x y x m ，令⎩⎨⎧=+=--,0,032y x y x 得直线1l 过定点)1,1(-；同理，直线2l 过定点（3,1）；（2）联立方程，得⎩⎨⎧+=--+=--+,45)14()13(,3)12()1(m y m x m m y m x mD=2m(m-2),D x =-2(m-1)(m-2),D y =-2(2m+1)(m-2) 当0≠m 和2时，0≠D ，两直线相交； 当0=m 时，0,0≠=x D D ，两直线平行； 当2=m 时，0===y x D D D ，两直线重合。