4时域分析法频域分析法
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一对共轭复根(左 半平面）
衰减振荡 单调上升 单调上升
1，临界阻尼
s1,2 n (重根) 一对负实重根
s1, 2 n n 2 1
1，过阻尼
两个互异负实根
C(t)
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
4-1-1 控制系统的时域指标
控制系统的时域性能指标，是根据系统 在单位阶跃函数作用下的时间响应—— 单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表 示。 实际应用的控制系统，多数具有阻 尼振荡的阶跃响应，如图4-1所示：
动态性能指标：
h(t)
1.0 td
上升时间tr 延迟时间td 峰值时间tp 调节时间ts 超调量σ%
c( t ) e
cos 1 n t
2
n C (s) 2 2 s 2 n s n n 2 2 2 2 2 s 2 n s n 1 n 2 1 n 2 2 1 s 1 2 n2
s
[分析]：
s jn 当 0时， 极点为： 2 n 1 s C ( s) 2 2 2 2 s( n s ) s s n
c(t ) 1 cosnt , t 0
n 称为无阻尼振 此时输出将以频率 n 做等幅振荡，所以， 荡角频率。
s1, 2 n j n 1 2 当 0 1 时， 极点为： 阶跃响应为：
说明：
s n C (s) 2 2 s 2 n s n s n 2 2 2 2 2 s 2 n s n 1 n s n 2 2 2 s 1 n
n t
查表2-1 第8行在结合位移定理得原函数为：
(t 0)
t / T
其中t T为稳态分量，Te
为暂态分量。
单位斜坡响应曲线如图所示： c(t) 引入误差的概念： 当时间t→∞时，系统单 位阶跃响应的实际稳态值与 给定值之差。即： 0
r(t)=t
T
T
t
ess h0 h()
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差： ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳 态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T, 这就存在着ess=T的稳态误差。
2 n
特征方程还可为
1 1 s 2 n s ( s )(s ) T1 T2
2 2 n
n ( 2 1) n ( 2 1) 1 2 于是闭环传函为： 这里 T1 T2 ， n T1T2
式中
T1
1
T2
1
1 C ( s) 1 T1T2 R( s) ( s 1 )( s 1 ) (T1s 1)(T2 s 1) T1 T2
当kt 0.1时, ( s )
kt
10 0.1s 1 显然时间常数T 0.1秒。
解：系统的闭环传递函数
( s)
1 / kt 100/ s 100 0.01s 1 kt 1 s kt
因此调节时间为： t s 3T 0.3秒。
如果要求t s 0.1秒， 0.01 t s 3T 3 0.1 ， kt 故kt 0.3
二.二阶系统的单位阶跃响应
2 特征方程为： s 2 2 n s n 0
特征根为： s1, 2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极点） 有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振 荡和非振荡两种情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼 系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 ⒉ 当时 0 1 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称 为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
2
c(t ) 1 ent (1 nt )
当 1时， 极点为： s1, 2 n n 2 1 即特征方程为 2 s 2 2 n s n [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)]
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统， 系统的阶跃响应为非振荡过程。
当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) 1 ，有：
1 C ( s) ( s) , s 1 1 c(t ) L [ ( s ) ] s
2 n C (s) R ( s ) [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)]
1 C (s) [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)] s
( 2 1 ) n t ( 2 1 ) n t 1 e e c(t ) 1 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1)
nt
0 2 4 6 8 10 12 可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有 衰减的正弦运动，当 1 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。 可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和 过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应 如下表所示： 阻尼系数
0, 无阻尼
o 1, 欠阻尼
特征根
极点位置
单位阶跃响应
s1,2 jn
s1, 2 n j n 1 2
一对共轭虚根 等幅周期振荡
2 n s n n 1 1 C ( s) 2 2 2 2 2 2 s s 2 n s n s s 2 n s n s 2 n s n
c(t ) 1 e
n t
[cos( 1 nt )
2
结构图和闭环极点分布图为：
R(s)
-
j
k/s
C(s) -1/T
0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应 1 当r (t ) 1(t )时，R ( s ) , s 1 1 1 T 则C ( s ) ( s ) R ( s ) Ts 1 s s Ts 1
查表2-1 第7行在结合位移定理得原函数为：
c( t )
1
2
e
n t
sin 1 n t
2
返回
当 1 时， 极点为： s1, 2 n
n n 1 1 1 阶跃响应函数为： C (s) 2 2 s s 2 n s n s s n (s n ) 2
4-1-2 一阶系统的时间响应
一.一阶系统的数学模型
dc(t ) 微分方程为：T c(t ) r (t ), T为时间常数。 dt 1 k 1 开环传递函数：G ( s ) , k 为开环增益 Ts s T C (s) 1 闭环传递函数：（s） R ( s ) Ts 1
4-1-3 二阶系统分析
一. 二阶系统的数学模型 这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可 简化为二阶系统。下图所示为稳定的二阶系统的 典型结构图。 开环传递函数为:
R( s )
-
2 n C (s) s( s 2 n )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 n G( s) 2 s 2 n s
2 G ( s ) n 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n 系统的传递函数典型二阶，称为 阻尼系数，称为 n 无 阻尼振荡角频率或自然频率。
三.调节时间ts 在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取 ±2﹪或 ±5﹪。
5%h(), 2%h()
响应曲线开始进入并保持在误差带内所 需的最小时间，称为调节时间。 ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡 到另一个平衡状态所需的时间越短。
四.超调量σ% 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态 值之比。即
1 2
sin( 1 2 nt )] , t 0
c(t ) 1
e
t
n
1
2
sin( 1 n t ) , t 0
前 进
2
2 1 n 决定了指数衰减的快慢，虚部 d n 极点的负实部
是振荡频率。称 d 为阻尼振荡圆频率。
0
T
t
% 0没有超调，非周期响应，
惯性环节亦称非周期环节。 t s 3T (5%误差带)
t s 4T (2%误差带) T越小，系统的快速性越好。
例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试 求系统的调节时间ts，如果要求ts 0.1秒。试 求反馈系数应取多大？
R(s) 100/s C(s)
三.一阶系统的单位斜坡响应 1 R (t ) t , R ( s ) 2 s 2 1 1 1 T T C ( s) ( s) R( s) 2 2 Ts 1 s s s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t ) (t T ) Te
t / T
h(t p ) h() % 100% h ( )
超调量表示系统响应过冲的程度，超 调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶 劣的工作条件下，而且使调节时间加长。
五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态 值次数的一半。 tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的 快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平 稳性。即系统的阻尼程度。 其中ts和σ%是最重要的两个动态性能 的指标。
第四章 分析系统性能常用方法
4-1 4-1-1 4-1-2 4-1-3 4-2
时域分析法 控制系统的时域指标 一阶系统的时间响应 二阶系统分析 频率特性法
4-1
时域分析法
所谓时域分析法，就是在时间域内 研究控制系统性能的方法，它是通过拉 氏变换直接求解系统的微分方程，得到 系统的时间响应，然后根据响应表达式 和响应曲线分析系统的动态性能和稳态 性能。
对C ( s )进行拉氏反变换 h(t ) 1 e t / T t T , h(T ) 0.632 t 2T , h(2T ) 0.865 t 3T , h(3T ) 0.950 t 4T , h(4T ) 0.982
C(t) 1 1/T斜率 0.632
h(t ) 1 e t / T
稳态性能指标：稳态误差ess
误差带5%或2%
0.5
h()
0 t r tp ts
一.上升时间tr 上升时间tr：响应曲线从零首次上升到 稳态值h(∞)所需的时间。 对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应 曲线从稳态值的10%上升到90 %所需的时 间。 延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一 半所需的时间。 二.峰值时间tp 响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值 所需的时间。
因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节 的串联，其单位阶跃响应为 1 1 1 T1 1 T2 1 C ( s) (T1s 1)(T2 s 1) s s T2 T1 ( s 1 ) T1 T2 ( s 1 ) T1 T2 t t T T c(t ) 1 1 e T1 2 e T2 T2 T1 T1 T2
衰减振荡 单调上升 单调上升
1，临界阻尼
s1,2 n (重根) 一对负实重根
s1, 2 n n 2 1
1，过阻尼
两个互异负实根
C(t)
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
4-1-1 控制系统的时域指标
控制系统的时域性能指标，是根据系统 在单位阶跃函数作用下的时间响应—— 单位阶跃响应确定的，通常以h（t）表 示。 实际应用的控制系统，多数具有阻 尼振荡的阶跃响应，如图4-1所示：
动态性能指标：
h(t)
1.0 td
上升时间tr 延迟时间td 峰值时间tp 调节时间ts 超调量σ%
c( t ) e
cos 1 n t
2
n C (s) 2 2 s 2 n s n n 2 2 2 2 2 s 2 n s n 1 n 2 1 n 2 2 1 s 1 2 n2
s
[分析]：
s jn 当 0时， 极点为： 2 n 1 s C ( s) 2 2 2 2 s( n s ) s s n
c(t ) 1 cosnt , t 0
n 称为无阻尼振 此时输出将以频率 n 做等幅振荡，所以， 荡角频率。
s1, 2 n j n 1 2 当 0 1 时， 极点为： 阶跃响应为：
说明：
s n C (s) 2 2 s 2 n s n s n 2 2 2 2 2 s 2 n s n 1 n s n 2 2 2 s 1 n
n t
查表2-1 第8行在结合位移定理得原函数为：
(t 0)
t / T
其中t T为稳态分量，Te
为暂态分量。
单位斜坡响应曲线如图所示： c(t) 引入误差的概念： 当时间t→∞时，系统单 位阶跃响应的实际稳态值与 给定值之差。即： 0
r(t)=t
T
T
t
ess h0 h()
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差： ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳 态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后T, 这就存在着ess=T的稳态误差。
2 n
特征方程还可为
1 1 s 2 n s ( s )(s ) T1 T2
2 2 n
n ( 2 1) n ( 2 1) 1 2 于是闭环传函为： 这里 T1 T2 ， n T1T2
式中
T1
1
T2
1
1 C ( s) 1 T1T2 R( s) ( s 1 )( s 1 ) (T1s 1)(T2 s 1) T1 T2
当kt 0.1时, ( s )
kt
10 0.1s 1 显然时间常数T 0.1秒。
解：系统的闭环传递函数
( s)
1 / kt 100/ s 100 0.01s 1 kt 1 s kt
因此调节时间为： t s 3T 0.3秒。
如果要求t s 0.1秒， 0.01 t s 3T 3 0.1 ， kt 故kt 0.3
二.二阶系统的单位阶跃响应
2 特征方程为： s 2 2 n s n 0
特征根为： s1, 2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极点） 有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振 荡和非振荡两种情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼 系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。 ⒉ 当时 0 1 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称 为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
2
c(t ) 1 ent (1 nt )
当 1时， 极点为： s1, 2 n n 2 1 即特征方程为 2 s 2 2 n s n [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)]
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系 统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统， 系统的阶跃响应为非振荡过程。
当输入为单位阶跃函数时，R ( s ) 1 ，有：
1 C ( s) ( s) , s 1 1 c(t ) L [ ( s ) ] s
2 n C (s) R ( s ) [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)]
1 C (s) [ s n ( 2 1)][ s n ( 2 1)] s
( 2 1 ) n t ( 2 1 ) n t 1 e e c(t ) 1 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1)
nt
0 2 4 6 8 10 12 可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有 衰减的正弦运动，当 1 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。 可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和 过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应 如下表所示： 阻尼系数
0, 无阻尼
o 1, 欠阻尼
特征根
极点位置
单位阶跃响应
s1,2 jn
s1, 2 n j n 1 2
一对共轭虚根 等幅周期振荡
2 n s n n 1 1 C ( s) 2 2 2 2 2 2 s s 2 n s n s s 2 n s n s 2 n s n
c(t ) 1 e
n t
[cos( 1 nt )
2
结构图和闭环极点分布图为：
R(s)
-
j
k/s
C(s) -1/T
0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应 1 当r (t ) 1(t )时，R ( s ) , s 1 1 1 T 则C ( s ) ( s ) R ( s ) Ts 1 s s Ts 1
查表2-1 第7行在结合位移定理得原函数为：
c( t )
1
2
e
n t
sin 1 n t
2
返回
当 1 时， 极点为： s1, 2 n
n n 1 1 1 阶跃响应函数为： C (s) 2 2 s s 2 n s n s s n (s n ) 2
4-1-2 一阶系统的时间响应
一.一阶系统的数学模型
dc(t ) 微分方程为：T c(t ) r (t ), T为时间常数。 dt 1 k 1 开环传递函数：G ( s ) , k 为开环增益 Ts s T C (s) 1 闭环传递函数：（s） R ( s ) Ts 1
4-1-3 二阶系统分析
一. 二阶系统的数学模型 这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可 简化为二阶系统。下图所示为稳定的二阶系统的 典型结构图。 开环传递函数为:
R( s )
-
2 n C (s) s( s 2 n )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2 n G( s) 2 s 2 n s
2 G ( s ) n 闭环传递函数为: (s) 2 2 1 G(s) s 2 n s n 系统的传递函数典型二阶，称为 阻尼系数，称为 n 无 阻尼振荡角频率或自然频率。
三.调节时间ts 在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取 ±2﹪或 ±5﹪。
5%h(), 2%h()
响应曲线开始进入并保持在误差带内所 需的最小时间，称为调节时间。 ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡 到另一个平衡状态所需的时间越短。
四.超调量σ% 响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态 值之比。即
1 2
sin( 1 2 nt )] , t 0
c(t ) 1
e
t
n
1
2
sin( 1 n t ) , t 0
前 进
2
2 1 n 决定了指数衰减的快慢，虚部 d n 极点的负实部
是振荡频率。称 d 为阻尼振荡圆频率。
0
T
t
% 0没有超调，非周期响应，
惯性环节亦称非周期环节。 t s 3T (5%误差带)
t s 4T (2%误差带) T越小，系统的快速性越好。
例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试 求系统的调节时间ts，如果要求ts 0.1秒。试 求反馈系数应取多大？
R(s) 100/s C(s)
三.一阶系统的单位斜坡响应 1 R (t ) t , R ( s ) 2 s 2 1 1 1 T T C ( s) ( s) R( s) 2 2 Ts 1 s s s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t ) (t T ) Te
t / T
h(t p ) h() % 100% h ( )
超调量表示系统响应过冲的程度，超 调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶 劣的工作条件下，而且使调节时间加长。
五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态 值次数的一半。 tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的 快速性，而σ%和N反映系统动态过程的平 稳性。即系统的阻尼程度。 其中ts和σ%是最重要的两个动态性能 的指标。
第四章 分析系统性能常用方法
4-1 4-1-1 4-1-2 4-1-3 4-2
时域分析法 控制系统的时域指标 一阶系统的时间响应 二阶系统分析 频率特性法
4-1
时域分析法
所谓时域分析法，就是在时间域内 研究控制系统性能的方法，它是通过拉 氏变换直接求解系统的微分方程，得到 系统的时间响应，然后根据响应表达式 和响应曲线分析系统的动态性能和稳态 性能。
对C ( s )进行拉氏反变换 h(t ) 1 e t / T t T , h(T ) 0.632 t 2T , h(2T ) 0.865 t 3T , h(3T ) 0.950 t 4T , h(4T ) 0.982
C(t) 1 1/T斜率 0.632
h(t ) 1 e t / T
稳态性能指标：稳态误差ess
误差带5%或2%
0.5
h()
0 t r tp ts
一.上升时间tr 上升时间tr：响应曲线从零首次上升到 稳态值h(∞)所需的时间。 对于响应曲线无振荡的系统，tr是响应 曲线从稳态值的10%上升到90 %所需的时 间。 延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一 半所需的时间。 二.峰值时间tp 响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值 所需的时间。
因此过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的惯性环节 的串联，其单位阶跃响应为 1 1 1 T1 1 T2 1 C ( s) (T1s 1)(T2 s 1) s s T2 T1 ( s 1 ) T1 T2 ( s 1 ) T1 T2 t t T T c(t ) 1 1 e T1 2 e T2 T2 T1 T1 T2