南京大学 概率论与数理统计期末考试 202008

南京大学数学课程试卷2020.8.18 2019/2020 学年第二学期考试形式闭卷课程名称概率统计系别学号姓名

题号一36 二10 三12四10五12六10七10 合计得分

一．简答题：

（1） 已知P(A)= P(B)= P(C)=1/4, P(AC)=P(BC)=1/16,P(A-B)=1/4, 求A,B,C都不发生的概率。

（2） 设X的密度

sin, 0

()

C x x

p x

π

<<

⎧

=⎨

⎩其它

，求 1)常数C，2) 使P(X > a)=P(X < a)成立的a.

（3） 设X, Y, Z是相互独立的随机变量，且X~E(1/2)，Y~B(25, 0.2)，Z~N(1,4)。记W＝X－3Y+2Z,求EW和EW2.

（4） 设总体X服从参数为1的泊松分布，现抽取简单随机样本X1,X2,…,X100，试求样本之和介于85至115之间的概率近似值。

（5） 设X1, X2, …., X9是取自总体X~N(0,9)的样本, 求常数a, b, c, 使

Z=a(X1+X2+X3+X4)2+ b(X5+X6)2+ c(X7+X8+X9)2服从χ2分布，并指出其自由度.

（6） 设总体X~N(μ,σ2)，从X中抽取9个样本: 14, 16, 17, 12, 18, 17, 15, 19, 16, 求μ的置信度0.9的置信区间。

二．某电子元件的寿命X(小时)服从参数为λ=1/5000的指数分布,对4只这样的元件进行测试，求至少3只元件1500小时内都不损坏的概率。

三．设随机变量X, Y服从区域D上的(如图)二维均匀分布，

(1) 求X, Y的边缘密度，（2）求E(X+Y), D(X+Y)

四. 分别利用 (1) 契贝晓夫不等式，(2) 中心极限定理讨论抛一枚骰子至少需要多少次，才能使“6点向上”的频率介于1/12与3/12之间的概率不小于0.95.

五. (1) 设随机变量X~t(n), 试求X2的分布.

(2) 设X1,X2,…,X5是总体X~ N (0,σ2 )

的简单随机样本，求Z=的分布。

-六. 设总体X 的密度, 其中(1)(5)

56()(1)0

θ

θθ⎧+-<<=>⎨

⎩x x p x 其他

θ为未知参

数，设X 1, X 2,…,X n 为X 的样本，求θ的矩估计量与极大似然估计量.

七. 设某种金属零件的直径X~ N (μ,σ2 ), 标准要求直径的均值为100，方差不超过4。现取16个

零件测量直径，得到x 1 , x 2 ,…,x 16. 已知161199,16i i x x ===∑ 216

1

115(i i S x x =28=-=∑，取显著水平

α = 0.05， (1)检验直径的均值是否合格；（2）检验直径的方差是否合格。

Φ(1.5）＝0.933，Φ(1.96)=0.975，t 0.1(9)=1.38，t 0.05(9)=1.83，t 0.1 (8)=1.4，t 0.05 (8)=1.9, t 0.025(15)=2.13，t 0.05(15)=1.75，χ20.975(15)= 6.26，χ20.05(15)=25.00，χ20.025(15)= 27.5