一维热传导方程分离变量法与 差分法Ma ab解法
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模拟与仿真
根据课上所学知识，我们有如下方程：
= uut x−= 0a 2u0x=,x
0, 0 < = ux x=l
x< 0,
l,
= u t=0 ϕ ( x), 0 < x < l
t>0 t>0
为便于解释做题，我们令： a=1 l=pi
=x; 下面开始求解：
分离变量法 根据课上所讲
Βιβλιοθήκη Baidu
其中：
得到如图所示的热传导方程：
有限差分法
u=zeros(20,100); %t=1 x=pi 20 行 100 列 横坐标为 x 纵坐标为 t s=(1/100)/(pi/20)^2; fprintf('稳定性系数 S 为:\n'); disp(s); for i=1:20
u(i,1)=i/20*pi;; end; for j=1:100
u(1,j)=0; end
for j=1:99 for i=2:19 u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); end
end for j=1:100
u(20,j)=u(19,j); end; disp(u); [x,t]=meshgrid(1:100,1:20); surf(x,t,u); xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T'); title(' 有限差分法解'); 我们得到如图所示的热传导方程：
结论：
比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同，符合热传导的热量分布 随时间和空间的变化规律
第四题完成
我们有如下代码：
x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.4:10; [x,t]=meshgrid(x,y); u=0; m=length(j);%matlab 可计算的最大数，相当于无穷 for i=0:m
u=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t)); end; surf(x,t,u); xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T'); title(' 分离变量法（无穷）'); disp(u);
根据课上所学知识，我们有如下方程：
= uut x−= 0a 2u0x=,x
0, 0 < = ux x=l
x< 0,
l,
= u t=0 ϕ ( x), 0 < x < l
t>0 t>0
为便于解释做题，我们令： a=1 l=pi
=x; 下面开始求解：
分离变量法 根据课上所讲
Βιβλιοθήκη Baidu
其中：
得到如图所示的热传导方程：
有限差分法
u=zeros(20,100); %t=1 x=pi 20 行 100 列 横坐标为 x 纵坐标为 t s=(1/100)/(pi/20)^2; fprintf('稳定性系数 S 为:\n'); disp(s); for i=1:20
u(i,1)=i/20*pi;; end; for j=1:100
u(1,j)=0; end
for j=1:99 for i=2:19 u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); end
end for j=1:100
u(20,j)=u(19,j); end; disp(u); [x,t]=meshgrid(1:100,1:20); surf(x,t,u); xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T'); title(' 有限差分法解'); 我们得到如图所示的热传导方程：
结论：
比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同，符合热传导的热量分布 随时间和空间的变化规律
第四题完成
我们有如下代码：
x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.4:10; [x,t]=meshgrid(x,y); u=0; m=length(j);%matlab 可计算的最大数，相当于无穷 for i=0:m
u=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t)); end; surf(x,t,u); xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T'); title(' 分离变量法（无穷）'); disp(u);