双曲线拓展知识常用结论(填空)

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高中数学椭圆与双曲线的必背的经典结论

高中数学椭圆与双曲线的必背的经典结论

椭圆与双曲线的必背的经典结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB的中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =。

双曲线必备二级结论

双曲线必备二级结论

双曲线必备二级结论摘要:1.双曲线二级结论概述2.双曲线二级结论详解3.结论应用实例4.总结与建议正文:**双曲线二级结论概述**在数学领域,双曲线是一个重要的几何图形。

双曲线的研究不仅包括基本性质和定义,还包括许多有用的二级结论。

这些结论可以帮助我们更好地理解双曲线的特性,并解决与双曲线相关的问题。

在这篇文章中,我们将探讨一些双曲线必备的二级结论。

**双曲线二级结论详解**1.双曲线标准方程:双曲线的一般形式为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,其中a和b分别表示双曲线的横轴半轴长度和纵轴半轴长度。

2.焦点和焦点距离:双曲线的焦点到中心的距离为c,满足关系式c^2 = a^2 + b^2。

3.顶点:双曲线的顶点是双曲线与坐标轴的交点,分别为(-a, 0)和(a, 0)。

4.渐近线:双曲线的渐近线方程为y = ±(b/a)x,表示双曲线在无穷远处趋近于直线。

5.焦距:双曲线的焦距为2c,其中c为焦点到中心的距离。

6.离心率:双曲线的离心率e定义为焦点到顶点的距离与焦点到双曲线中心距离的比值,即e = c/a。

**结论应用实例**以下是一些双曲线二级结论的应用实例:1.如果知道双曲线的焦点和一点到焦点的距离,可以确定该点在双曲线上的位置。

2.如果知道双曲线的中心、顶点和一点到顶点的距离,可以确定该点在双曲线上的位置。

3.通过双曲线的渐近线,可以预测双曲线在无穷远处的行为。

4.使用双曲线的离心率,可以计算双曲线的焦距,从而解决焦点相关问题。

**总结与建议**掌握双曲线的二级结论对于解决实际问题非常有帮助。

通过学习这些结论,我们可以更深入地理解双曲线的性质,并提高解决与双曲线相关问题的能力。

建议在学习双曲线时,重点关注这些结论的应用,加深对双曲线的理解。

双曲线中的一些常见结论

双曲线中的一些常见结论

双曲线中的一些常见结论一、椭圆的常用结论:1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外,则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM ABb k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+;【推论】:1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+。

高中数学复习----双曲线知识讲解及结论大全

高中数学复习----双曲线知识讲解及结论大全

的弦中点的轨迹方程是
1 / 34
x2 a2

y2 b2
=
x0 x a2

y0 y b2
.
15 . 若
PQ
是双曲线
( > x2
a2

y2 b2
=1
b
a
>0)上对中心张直角的弦,则
1 r12
+
1 r22
=
1 a2

1 b2
(r1
=| OP |, r2
=| OQ |) .
16 . 若 双 曲 线
x2 a2
,则双曲线的焦点角形的面积为
S∆F1PF2
=
b2
cot
γ 2

P(± a c
c2
+
b2
cot 2
γ 2
,
±
b2 c
cot
γ 2
)
.
21.若
P
为双曲线
x2 a2

y2 b2
= 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1,
F2
是焦
点 ,则 (或 ) , ∠PF1F2 = α , ∠PF2F1 = β
径的圆,除去实轴的两个端点.
6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8.设 P 为双曲线上一点,则△PF1F2 的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点.
9.双曲线
x2 a2

y2 b2
= 1(a>0,b>0)的两个顶点为
A1(−a, 0) ,
=
b2 a2
.
.若 13 P0 (x0,

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)

1a
0,b
0 交于
A,B
两点,以
AB

直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ,若 △ABF 的面积为 4a2 ,则双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.2
D. 5
【答案】D 【解析】由题意可得图像如下图所示: F 为双曲线的左焦点,
∵ AB 为圆的直径,∴ AFB 90 ,
根据双曲线、圆的对称性可知:四边形
则(1)|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
;(2)双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 .
tan
2
3.过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点,则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
(常数).
tan
2
cot
2
(或
c c
a a
tan
2
cot
2
).
14 . 设
A, B
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的实轴两端点,
P
是双曲线上的一点,
PAB , PBA , BPA , c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有
2
(1) |
PA
|
|
2ab2 | cos | a2 c2co s2
b2
几何性质:双曲线上任一点到左右(上下)两顶点的斜率之积为 .
a2
二.双曲线经典结论汇总

双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)

双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义:平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。

(1)距离之差的绝对值.(2)当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支;当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支;当2a =|F 1F 2|时,轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线;当2a >|F 1F 2|时,动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹( )A .椭圆B .线段C .双曲线D .两条射线 第二定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。

2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1(-)0,c ,F 2()0,c F 1(),0c -,F 2(),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴,y 轴和原点对称顶点 (-a ,0)。

(a ,0) (0,-a )(0,a )轴 实轴长2a ,虚轴长2b离心率)1(>=e ace (离心率越大,开口越大) 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意:等轴双曲线(1)定义:实轴长与虚轴长相等的双曲线 (2)方程:222x y a -=或222y x a -= (3)离心率e =渐近线y x =±(4)方法:若已知等轴双曲线经过一定点,则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-,求此双曲线方程 3双曲线中常用结论(1)两准线间的距离: 22a c (2)焦点到渐近线的距离为b (3)通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法(1)定义法,根据题目的条件,若满足定义,求出相应a b c 、、即可求得方程; (2)待定系数法,其步骤是①定位:确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上;②设方程:根据焦点的位置设出相应的双曲线方程; ③定值:根据题目条件确定相关的系数。

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧【知识要点】一.双曲线三大定义定义 1.到两定点距离之差的绝对值(小于两定点距离)为定值的点的轨迹是双曲线. 几何性质:双曲线上任一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值.定义 2.到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为定值(大于1)的点的轨迹是双曲线.几何性质:双曲线上任一点到左(右)焦点的距离与到左(右)准线的距离之比为离心率e . 定义 3.到两个定点的斜率之积为定值(大于0)的点的轨迹是双曲线.几何性质:双曲线上任一点到左右(上下)两顶点的斜率之积为22ab .二.双曲线经典结论汇总1.AB 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的不平行于对称轴的弦,),(00y x M 为AB 的中点,则22a b k k ABOM =⋅,即 0202y a x b k AB =. 等价形式:21,A A 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上关于原点对称的任意两点,B 是双曲线上其它任意一点,直线B A B A 21,的斜率存在,则2221ab k k BA B A =⋅. 2.双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,点P 为双曲线上异于实轴端点的任意一点θ=∠21PF F 则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-;(2)双曲线的焦点角形的面积为2tan 221θb S PF F =∆.3.过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点),(00y x A 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于C B ,两点,则直线BC 有定向且0202y a x b k BC-= (常数).4.P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上任一点,21,F F 为二焦点,A 为双曲线内一定点,则||||2||12PF PA a AF +≤-,当且仅当P F A ,,2三点共线且P 和2,F A 在y 轴同侧时,等号成立.5.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ,O 为坐标原点,Q P ,为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥,(1)22221111||||OP OQ a b +=-;(2)22||||OQ OP +的最大值为22224a b b a -;(3)OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.6.双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于21,P P 时11P A 与22P A 交点的轨迹方程是22221x y a b+=. 7.双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的焦半径公式:),0,(),0,(21c F c F -当),(00y x M 在右支上时,.||,||0201a ex MF a ex MF -=+=当),(00y x M 在左支上时,.||,||0201a ex MF a ex MF --=+-=8.若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内,则被0P 所平分的中点弦的方程是222202020by a x b y y a x x -=-. 9.若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 内,则过0P 的弦中点的轨迹方程是20202222byy a x x b y a x -=-. 10.若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上,则过0P 的双曲线的切线方程是12020=-byy a x x . 11.若),(000y x P 在双曲线()0,012222>>=-b a by a x 外 ,则过0P 作双曲线的两条切线切点为21,P P ,则切点弦 21P P 的直线方程是12020=-byy a x x . 12.设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点为P F F ,,21(异于实轴端点)为双曲线上任意一点,在21F PF ∆中,记12F PF α∠=,12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.13.若P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 上异于实轴端点的任一点,21,F F 是焦点,12PF F α∠=,21PF F β∠=,则2cot 2tan βα=+-a c a c (或2cot 2tan αβ=+-a c a c ).14.设B A ,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的实轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,e c 、分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-; (2)2tan tan 1e αβ=-;(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+.15.过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于N M ,两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则||||2PF eMN =.16.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ,B A ,是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点)0,(0x P ,则220a b x a +≥或220a b x a+≤-.17.点P 处的切线PT 平分21F PF ∆在点P 处的内角.18.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点Q P ,,21,A A 为双曲线实轴上的顶点,P A 1和Q A 2交于点M ,P A 2和Q A 1交于点N ,则NF MF ⊥.【例题解析】【例1】设双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点为F ,过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点,与双曲线的其中一个交点为P ,设O 为坐标原点,若),(R n m OB n OA m OP ∈+=→→→,且92=mn ,则该双曲线的离心率为( ) A .223 B .553 C .423 D .89【例2】双曲线134:22=-y x C 的左、右顶点分别为21,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是]2,1[,那么直线1PA 斜率的取值范围是( )A .]43,21[B .]43,83[C .]1,21[D .]1,43[【例3】已知斜率为3的直线l 与双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 交于B A ,两点,若点)2,6(P 是AB 的中点,则双曲线C 的离心率等于( )A .2B .3C .2D .22【例4】已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ,直线l 过点1F 且与双曲线C 的一条渐进线垂直,直线l 与两条渐进线分别交于N M ,两点,若||2||11MF NF =,则双曲线C 的渐进线方程为( )A .x y 33±=B .x y 3±=C .x y 22±= D .x y 2±=【例5】设F 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左、右支交于点Q P ,,若||3||PF FQ =,060=∠FPQ ,则该双曲线的离心率为( ) A .3 B .31+ C .32+ D .323+【例6】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x ,若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于B A ,两点,且→→=BF AF 3,则双曲线离心率的最小值为( )A .2B .3C .2D .22【例7】已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ,B 两点,以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ,若ABF △的面积为24a ,则双曲线的离心率为( )A B C .2D【例8】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ,O 为双曲线的中心,P 是双曲线右支上的点,21F PF ∆的内切圆的圆心为I ,且圆I 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,若e 为双曲线的离心率,则( )A .||||OA e OB = B .||||OB e OA =C .||||OB OA =D .||OA 与||OB 关系不确定【例9】如图,已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,4||21=F F ,P 是双曲线右支上的一点,P F 2与y 轴交于点A ,1APF ∆的内切圆在1PF 上的切点为Q ,若1||=PQ ,则双曲线的离心率是( )A .3B .2C .3D .2 【课堂练习】【1】如图,21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点,过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点B A ,.若2ABF ∆为等边三角形,则双曲线的离心率为( )A .4B .7C .332 D .3 【2】如图,21,F F 是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点,点P 在第一象限,且满足0)(2211=⋅+→→→P F F F P F ,a P F =→||2,线段2PF 与双曲线交于点Q ,若→→=Q F P F 225, 则双曲线的渐近线方程为( )A .x y 21±= B .x y 55±= C .x y 552±= D .x y 33±=【3】已知21,F F 为双曲线C :122=-y x 的左、右焦点,点P 在C 上,02160=∠PF F ,则||||21PF PF ⋅等于( )A .2B .4C .6D .8【4】已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ,由2F 向双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为H ,若21HF F ∆的面积为2b ,则双曲线的渐近线方程为____________.【5】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点,21,F F 分别为双曲线的左右焦点,且ab F F 221||=,I 为21F PF ∆的内心,若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λλ成立,则λ的值为_______.【6】设双曲线1322=-yx 的左、右焦点分别为21,F F ,若点P 在双曲线上,且21PF F ∆为锐角三角形,则||||21PF PF +的取值范围是_______.【7】已知点P 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右支上一点,其右焦点为2F ,若直线2PF 的斜率为3,M 为线段2PF 的中点,且||||22M F OF =,则该双曲线的离心率为_______.【课后作业】 【1】双曲线的左右焦点分别为,,焦距,以右顶点为圆心的圆与直线相切于点,设与交点为,,若点恰为线段的中点,则双曲线的离心率为( ) A .B .C .D .【2】(2019年全国2卷理数)设F 为双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ,Q 两点.若PQ OF =,则C 的离心率为( ) A .2B .3C .2D .5【3】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C :的左右焦点分别为21,F F ,过1F 的直线与C的两条渐近线分别交于A 、B 两点,若以21F F 为直径的圆过点B ,且A 为B F 1的中点,则C 的离心率为( )A .13+B .2C .3D .2【4】设双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,直线02034=+-y x 过点F且与C 在第二象限的交点为P ,O 为原点, OP OF =,则双曲线C 的离心率为( ) A.5 B. 5 C.53 D. 54【5】设1F ,2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若126PF PF a +=,且12PF F △的最小内角为30︒,则C 的离心率为( )A .2B .32C .3D .62【6】如图所示,已知双曲线()222210x y a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 的直线l 交双曲线的渐近线于,A B 两点,且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍,若2AF FB =,则该双曲线的离心率为( )A.324 B. 233 C. 305 D. 52【7】已知F 是双曲线2221x a b2y -=()0,0a b >>的左焦点,E 是该双曲线的右顶点,过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点,若ABE ∆是锐角三角形,则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( )A . ()1,+∞B . ()1,2C . ()1,12+D . ()2,12+【8】双曲线的离心率,右焦点为,点是双曲线的一条渐近线上位于第一象限内的点,,AOF △的面积为,则双曲线的方程为( )A .B .C .D . 【9】已知双曲线与轴交于、两点,点,则 面积的最大值为( )A .2B .4C .6D .8【10】双曲线的右焦点为,左顶点为,以为圆心,过点的圆交双曲线的一条渐近线于两点,若不小于双曲线的虚轴长,则双曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.【11】已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此直线斜率的取值范围是( )A. 33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B. (C. 33⎡⎢⎣⎦D. ⎡⎣ 【12】(2019年全国1卷理数)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________.【13】已知直线与双曲线交于,两点,为双曲线上不同于,的点,当直线,的斜率,存在时, .2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>e =F A C AOF OAF ∠=∠C 2213612x y -=221186x y -=22193x y -=2213x y -=222214x y b b-=-()02b <<x A B ()0,C b ABC ∆()222210,0x y a b a b-=>>F A F A,P Q PQ (]1,2((]1,3[)3,+∞12y x =22194x y -=A B P A B PA PB PA k PB k PA PB k k ⋅=。

双曲线曲线最常用二级结论总结

双曲线曲线最常用二级结论总结

双曲线曲线最常用二级结论总结摘要:本文总结了双曲线曲线中最常用的二级结论。

从双曲线的定义和性质出发,我们探讨了双曲线的焦点、准线、渐近线等相关概念,并总结了以下二级结论。

本文总结了双曲线曲线中最常用的二级结论。

从双曲线的定义和性质出发,我们探讨了双曲线的焦点、准线、渐近线等相关概念,并总结了以下二级结论。

结论一:双曲线的焦点和准线双曲线的焦点和准线是双曲线重要的几何特征,它们的性质对于研究双曲线的曲线方程和图形非常有帮助。

- 焦点:双曲线的焦点是其中一个焦点到该曲线上任意一点的距离与该点到准线的距离之差的绝对值等于一个常数。

这个常数称为焦点到准线的距离。

- 准线:双曲线的准线是与焦点距离为焦点到准线距离的直线。

结论二:渐近线双曲线的渐近线在研究双曲线的图形时具有重要作用。

- 垂直渐近线:当双曲线的焦点到准线的距离为无穷大时,双曲线的准线有可能成为双曲线的垂直渐近线。

垂直渐近线的方程为x = a 和 x = -a,其中 a 是焦点到准线的距离。

- 斜渐近线:当双曲线的焦点到准线的距离不为无穷大时,双曲线的渐近线有可能为两条斜线。

结论三:离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。

- 离心率小于1:当双曲线的焦点到准线的距离大于离心率时,双曲线呈现拱形。

- 离心率等于1:当双曲线的焦点到准线的距离等于离心率时,双曲线呈现抛物线状。

- 离心率大于1:当双曲线的焦点到准线的距离小于离心率时,双曲线呈现接近直线的形状。

结论四:对称性双曲线具有对称性,这一特性对于确定双曲线的图形和方程非常有帮助。

- x 轴对称性:双曲线对 x 轴具有对称性。

具体来说,当点 (x, y) 在双曲线上时,点 (x, -y) 也在双曲线上。

- y 轴对称性:双曲线对 y 轴具有对称性。

具体来说,当点 (x, y) 在双曲线上时,点 (-x, y) 也在双曲线上。

结论五:曲线方程双曲线的通用方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1 (a > 0, b > 0)。

双曲线二级结论大全

双曲线二级结论大全

双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆,除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9.双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.12.AB 是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为AB 的中点,则22OM AB b k k a⋅=.13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 14.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15.若PQ 是双曲线22221x y a b-=(b >a >0)上对中心张直角的弦,则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16.若双曲线22221x y a b-=(b >a >0)上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) 2222||L a A b B =-.17.给定双曲线1C :222222b x a y a b -=(a >b >0), 2C :222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 222202222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18.设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上一点,P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在,记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a+⋅=⋅-.19.过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-(常数).20.双曲线22221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122cot2F PF S b γ∆=,2(cot )2b Pc γ± . 21.若P 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22c a co c a βα-=+).22.双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )的焦半径公式:1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23.若双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当1<1时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24.P 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线左支内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时,等号成立. 25.双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上存在两点关于直线l :0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28.P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(a >0,b >0)上一点,则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29.设A,B 为双曲线2222x y k a b-=(a >0,b >0,0,1k k >≠)上两点,其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30.在双曲线22221x y a b-=中,定长为2m (0m >)的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时,弦两端点在两支上,时,弦两端点在同支上31.设S 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的通径,定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动,记|AB|=l ,00(,)M x y 是AB 中点,则当l S ≥Φ时,有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时,有0min ()x =32.双曲线22221x ya b-=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33.双曲线220022()()1x x y y a b ---=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35.经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的实轴的两端点A 1和A 2的切线,与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2,则21122||||P A P A b ⋅=. 36.已知双曲线22221x y a b-=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.(1)22221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37.MN 是经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)过焦点的任一弦(交于两支),若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦,则2||2||AB a MN =.38.MN 是经过双曲线22221x y a b-=(a >b >0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线中心O 的半弦OP MN ⊥,则2222111||||a MN OP b a -=-. 39.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任一点,过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点,则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l :2a x m=上.40.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.41.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.42.设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l :y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43.设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ,直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-.44.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0),点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点,12F PF ∠的内(外)角平分线为l ,作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ,当P 跑遍整个双曲线时,R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45.设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上,且AB 为Γ的直径,l 为AB 的共轭直径所在的直线,l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ,又D 为l 上一点,则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46.过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则||||2PF eMN =. 47.设A (x 1 ,y 1)是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上任一点,过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ,又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离,则ab =.48.已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)和2222x y a bλ-=(01λ<< ),一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点,则│AB│=|CD│.49.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50.设P 点是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51.设过双曲线的实轴上一点B (m,o )作直线与双曲线相交于P 、Q 两点,A 为双曲线实轴的左顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN :x n =于M ,N 两点,则90MBN ∠=o()2222()a n m a m a m b n a --⇔=-++. 52.L 是经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)焦点F 且与实轴垂直的直线,A 、B 是双曲线的两个顶点,e 是离心率,点P L ∈,若APB α∠=,则α是锐角且1sin eα≤或1sin arc eα≤(当且仅当||PF b =时取等号).53.L 是经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线,E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈,e 是离心率,EPF α∠=,H 是L 与X 轴的交点c是半焦距,则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤(当且仅当||abPA c=时取等号).54.L 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)焦点F 1且与x 轴垂直的直线,E 、F 是双曲线准线与x 轴交点,H 是L 与x 轴的交点,点P L ∈,EPF α∠=,离心率为e ,半焦距为c ,则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤(当且仅当1||PF =.55.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0),直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点,将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来,则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥(当且仅当AB ⊥x 轴时取等号).56.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b aγ∆=+. 57.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两点,且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=,(1)若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,则PBA QBA ∠=∠;(2)若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,则180PBA QBA ∠+∠=o.58.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域),外部的两点,(1)若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,(若B P 交双曲线这一支于两点,则P 、Q 不关于x 轴对称),且PBA QBA ∠=∠,则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=;(2)若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,且180PBA QBA ∠+∠=o ,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59.设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点,'QQ 是与'AA 垂直的弦,则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60.过双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-;()22||||4c AB CD a a b a +≥==61.到双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)两焦点的距离之比等于c ab-(c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62.到双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的实轴两端点的距离之比等于c ab-(c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63.到双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-(c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆222()()b x a y e±+=(e 为离心率).64.已知P 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上一个动点,',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥,则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66.设双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ,过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则(1)''2||||AM A M b =.(2)四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b--=(a >0,b >0,且a b ≠)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原点,则(1)直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a-.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--(除原点)。

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(学生版)

C. 3
D. 2
【4】设双曲线 C
x2

a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
的左焦点为 F
,直线 4x 3y 20
0 过点 F
且与 C 在第二象限的交点为 P ,O 为原点, OP OF ,则双曲线 C 的离心率为( )
【例
9】如图,已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0的左、右焦点分别为 F1, F2 ,|
F1F2
|
4,
P 是双曲线右支上的一点, F2P 与 y 轴交于点 A , APF1 的内切圆在 PF1 上的切点为 Q ,
若 | PQ | 1 ,则双曲线的离心率是( )
4
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
则(1)|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
;(2)双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 .
tan
2
3.过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点,则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
(常数).
x a
2 2
y2 b2
1a 0,b 0上关于原点对称的任意两点, B 是双曲
线上其它任意一点,直线
A1B, A2B 的斜率存在,则 k A1B
k A2B
b2 a2

2.双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b

高中数学最全双曲线二级结论大全

高中数学最全双曲线二级结论大全

双曲线1.122PF PF a -=2.标准方程22221x y a b -= 3.111PF e d =>4.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.5.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以实轴为直径的圆,除去实轴的两个端点.6.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.7.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.8.设P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的内切圆必切于与P 在同侧的顶点.9.双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.10.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 11.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 12.AB 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为AB 的中点,则22OM ABb k k a⋅=. 13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-.14.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 15.若PQ 是双曲线22221x y a b -=(b >a >0)上对中心张直角的弦,则122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16.若双曲线22221x y a b-=(b >a >0)上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 222211A B a b -=+;(2) L =17.给定双曲线1C :222222b x a y a b -=(a >b >0), 2C :222222222()a b b x a y ab a b+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点00(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M 2222002222(,)a b a b x y a b a b++---. (ii)对2C 上任一点'''00(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'P 点.18.设00(,)P x y 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上一点,P 1P 2为曲线C 的动弦,且弦PP 1,PP 2斜率存在,记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是212211m b k k m a +⋅=⋅-.19.过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =-(常数).20.双曲线22221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122cot 2F PF S b γ∆=,2(cot )2b Pc γ± . 21.若P 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22c a co c a βα-=+). 22.双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )的焦半径公式:1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =--,20||MF ex a =-+.23.若双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当1<e 1时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 1与PF 2的比例中项.24.P 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线左支内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 在左支时,等号成立.25.双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上存在两点关于直线l :0()y k x x =-对称的充要条件是22220222()0a b a x k k a b k b +⎛⎫>≠≠± ⎪-⎝⎭且.26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 28.P 是双曲线sec tan x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(a >0,b >0)上一点,则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tan e ϕ=-. 29.设A,B 为双曲线2222x y k a b -=(a >0,b >0,0,1k k >≠)上两点,其直线AB 与双曲线22221x y a b-=相交于,P Q ,则AP BQ =. 30.在双曲线22221x y a b-=中,定长为2m (0m >)的弦中点轨迹方程为()()222222222222222221cosh sinh ,coth ,001sinh cosh coth ,00x y ay a t b t t x t a b bx m x y bx a t b t t y t a b ay ⎧⎡⎤⎛⎫--+=-==⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎛⎫⎪--+=-==⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎣⎦⎩时,弦两端点在两支上,时,弦两端点在同支上31.设S 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的通径,定长线段L 的两端点A,B 在双曲线右支上移动,记|AB|=l ,00(,)M x y 是AB 中点,则当l S ≥Φ时,有20min()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ时,有0min ()x =32.双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.33.双曲线220022()()1x x y y a b---=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C -≤++.34.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.35.经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的实轴的两端点A 1和A 2的切线,与双曲线上任一点的切线相交于P 1和P 2,则21122||||P A P A b ⋅=.36.已知双曲线22221x y a b -=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.(1)22221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S ∆的最小值是2222a b b a -.37.MN 是经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)过焦点的任一弦(交于两支),若AB 是经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦,则2||2||AB a MN =.38.MN 是经过双曲线22221x y a b-=(a >b >0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线中心O的半弦OP MN ⊥,则2222111||||a MN OP b a-=-. 39.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任一点,过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点,则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交点N在直线l :2a x m=上.40.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.41.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.42.设双曲线方程22221x y a b-=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l :y kx =的共轭直线'y k x =上,而且2'2b kk a=.43.设A 、B 、C 、D 为双曲线22221x y a b-=(a >0,b >o )上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ,直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββαα⋅-=⋅-. 44.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0),点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点,12F PF ∠的内(外)角平分线为l ,作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ,当P 跑遍整个双曲线时,R 、S 形成的轨迹方程是222x y a +=(()()2222222222a y b x x c c y a y b x c ⎡⎤-±⎣⎦=-±). 45.设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上,且AB 为Γ的直径,l 为AB 的共轭直径所在的直线,l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ,又D 为l 上一点,则CD 与双曲线Γ相切的充要条件是D 为EF 的中点.46.过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则||||2PF eMN =.47.设A (x 1 ,y 1)是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上任一点,过A 作一条斜率为2121b x a y 的直线L ,又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A到双曲线两焦点的距离,则ab =.48.已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)和2222x y a bλ-=(01λ<< ),一条直线顺次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点,则│AB │=|CD │.49.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-.50.设P 点是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122cot 2PF F S b θ∆=.51.设过双曲线的实轴上一点B (m,o )作直线与双曲线相交于P 、Q 两点,A 为双曲线实轴的左顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN :x n =于M ,N 两点,则90MBN ∠=()2222()a n m a ma mb n a --⇔=-++. 52.L 是经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)焦点F 且与实轴垂直的直线,A 、B 是双曲线的两个顶点,e 是离心率,点P L ∈,若APB α∠=,则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc eα≤(当且仅当||PF b =时取等号).53.L 是经过双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线,E 、F是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈,e 是离心率,EPF α∠=,H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距,则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤(当且仅当||ab PA c=时取等号). 54.L 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)焦点F 1且与x 轴垂直的直线,E 、F 是双曲线准线与x 轴交点,H 是L 与x 轴的交点,点P L ∈,EPF α∠=,离心率为e ,半焦距为c ,则α为锐角且21sin e α≤或21sin arc e α≤(当且仅当1||PF =. 55.已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0),直线L 通过其右焦点F 2,且与双曲线右支交于A 、B 两点,将A 、B 与双曲线左焦点F 1连结起来,则222112(2)||||a b F A F B a+⋅≥(当且仅当AB ⊥x 轴时取等号).56.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αα=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ∆=+. 57.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域)、外部的两点,且A x 、B x 的横坐标2A B x x a ⋅=,(1)若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,则PBA QBA ∠=∠;(2)若过B 引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,则180PBA QBA ∠+∠=.58.设A 、B 是双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦点的区域),外部的两点,(1)若过A 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,(若B P 交双曲线这一支于两点,则P 、Q 不关于x 轴对称),且PBA QBA ∠=∠,则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2A B x x a ⋅=;(2)若过B 点引直线与双曲线这一支相交于P 、Q 两点,且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标满足2A B x x a ⋅=.59.设',A A 是双曲线22221x y a b-=的实轴的两个端点,'QQ 是与'AA 垂直的弦,则直线AQ与''AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b+=.60.过双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的右焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD,则()2228||||||ab AB CD a b a b +≥≠-; ()22||||4c AB CD a a b a+≥==61.到双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)两焦点的距离之比等于c ab-(c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆222()()x ec y eb ±+=.62.到双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的实轴两端点的距离之比等于c ab-(c 为半焦距)的动点M 的轨迹是姊妹圆222()x c y b ±+=.63.到双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为c ab-(c 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆222()()bx a y e±+=(e 为离心率).64.已知P 是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上一个动点,',A A 是它实轴的两个端点,且AQ AP ⊥,''AQ A P ⊥,则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a-=.65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项.66.设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)实轴的端点为',A A ,11(,)P x y 是双曲线上的点过P作斜率为2121b x a y 的直线l ,过',A A 分别作垂直于实轴的直线交l 于',M M ,则(1)''2||||AM A M b =.(2)四边形''AMA M 面积趋近于2ab .67.已知双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.68.OA 、OB 是双曲线2222()1x a y a b --=(a >0,b >0,且a b ≠)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原点,则(1)直线AB 必经过一个定点2222(,0)ab b a -.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是222222222()()ab ab x y b a b a-+=--(除原点)。

双曲线中的一些常见结论

双曲线中的一些常见结论

双曲线中的一些常见结论一、椭圆的常用结论:1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外,则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM ABb k k a ⋅=-,即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+;【推论】:1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+。

双曲线拓展知识常用结论(应该掌握)

双曲线拓展知识常用结论(应该掌握)

双曲线常用结论一、双曲线的第一定义:平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.(口诀:看到左焦点,想到右焦点)二、双曲线的第二定义:1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个),1(+∞内常数e ,那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e 就是离心率(点与线成对出现,左对左,右对右) 对于12222=-b y a x ,左准线ca x l 21:-=;右准线c x l 22:= 对于12222=-b x a y ,下准线ca y l 21:-=;上准线c y l 22:= 2、焦半径圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段,叫做圆锥曲线焦半径。

双曲线的焦半径公式:焦点在x 轴(左焦半径)01ex a r +=,(右焦半径)02ex a r -=,其中e 是离心率 焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关,而与点在左在右无关 可以记为:左加右减,上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,双曲线上的点到焦点距离的最小值。

二、双曲线的第三定义:在双曲线()2222C 10x y a b a b +=:中,A 、B 是关于原点对称的两点,P 是双曲线上异于A 、B 的一点,若PA PB k k 、存在,则有:222=1=PA PB b k k e a •- 三、双曲线的焦点三角形: 1、通径:圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦,以焦点在x 轴为例, 弦AB 。

坐标:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b c A 2,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c B 2,弦AB 长度: a b AB 22=2、焦点三角形解题主要关系式:3、涉及焦点三角形面积时,可设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,主要用结果:①定义m-n=2a ; ②|F 1F 2|=2c ;③余弦定理。

双曲线常用结论

双曲线常用结论

双曲线常用结论1. 双曲线的定义双曲线是平面上一类特殊的曲线,其定义可以通过以下方式描述:对于给定的两个点F1和F2(称为焦点)及一个正实数a(称为离心率),双曲线是满足到焦点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a的点P的轨迹。

2. 双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式,分别是横轴为对称轴和纵轴为对称轴。

以横轴为对称轴的标准方程如下:(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中,a和b分别表示横半轴和纵半轴长度。

以纵轴为对称轴的标准方程如下:(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1同样地,a和b分别表示横半轴和纵半轴长度。

3. 双曲线的焦点、顶点与直径在双曲线上,有一些重要的点和直径需要特别关注。

焦点双曲线有两个焦点F1和F2,它们位于曲线的主轴上,距离顶点的距离为c,满足以下关系:c = √(a^2 + b^2)。

顶点双曲线上的顶点是曲线与主轴的交点,坐标表示为(Vx, Vy)。

对于横轴为对称轴的双曲线,顶点的坐标为(Vx, 0),其中Vx的取值范围为(-∞, ∞)。

对于纵轴为对称轴的双曲线,顶点的坐标为(0, Vy),其中Vy的取值范围也是(-∞, ∞)。

直径双曲线有两条重要的直径:实轴和虚轴。

实轴是通过焦点F1和F2,并且垂直于主轴;虚轴是通过顶点并且垂直于实轴。

实轴长度等于2a,虚轴长度等于2b。

4. 双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线,分别与双曲线无限接近但永远不会相交。

渐近线可以通过以下方式求得:横渐近线对于横轴为对称轴的双曲线,横渐近线的方程为y = ±(b / a) * x。

纵渐近线对于纵轴为对称轴的双曲线,纵渐近线的方程为x = ±(a / b) * y。

5. 双曲线的性质双曲线有一些重要的性质需要了解:对称性双曲线关于x轴、y轴和原点都具有对称性。

渐进性双曲线在无穷远处与其渐近线趋于无限接近但永远不会相交。

分支数双曲线有两个分支,分别位于顶点两侧。

7类二级结论双曲线小题应用全答案

7类二级结论双曲线小题应用全答案

7类二级结论双曲线应用全参考答案:1.1260F PF ∠=︒【详解】不妨设点()00,P x y 在双曲线的右支上.由题设易得12F F =121001122PF F S F F y ==⨯=解得02y =.又由22001x y -=,解得2200651142x y =+=+=.由双曲线的第二定义得21001a PF e x a ex c ⎡⎤⎛⎫=--=+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,及220001a PF e x ex a c ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.再由余弦定理得()()2222001220112218cos 221x F PF x +--+-∠==-2(51)812(51)2⨯+-==⨯-.故1260F PF ∠=︒.2.C【分析】根据题目条件求出双曲线方程,得到渐近线方程,可得两条渐近线的夹角.【详解】设1PF m =,2PF n =,由双曲线的定义可知2m n a -=,又1290F PF ∠=,2c =,123F PF S = ,可得2224m n c +=,6mn =,即()2222412416m n mn a c -+=+==,解得1a=,b==可得双曲线的渐近线方程为y=,两条渐近线的夹角为60 .故选:C 3【分析】利用余弦定理可得1PF =,然后利用双曲线的定义结合条件即得.【详解】因为2122PF F F c ==,21π6F F P ∠=,所以2112222211212cos PF PF F F PF F F F F P +⋅∠=-,即222112244c PF c PF c =-+⋅,所以1PF =,又122PF PF a -=,所以22c a -=,即e ==故答案为:.4.65因为1112+-+=λλk e所以6=5e =;5.6因为1112-++=λλk e所以e =6.D因为1112+-+=λλk e=;0k k >∴= 7.C【分析】由焦点到渐近线的距离得到b ,联立直线与双曲线的方程,用点差法可以得到两条直线的斜率,由116PA PB k k ⋅=,求a 的值,A ,B ,D 三个选项即可判断,C 选项考查双曲线的定义,用()2221212122PF PF PF PF PF PF +=-+得到12PF PF 的值,就可以计算三角形的面积.【详解】因为双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1,则1b =,所以双曲线方程为C :()22210x y a a -=>,由2221y kx x y a=⎧⎪⎨-=⎪⎩可得222110k x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,设()11,A x y ,()22,B x y ,则120x x +=,即21x x =-,∴()11,B x y --,设()00,P x y 则221121x y a -=,220021x y a -=,所以222210102x x y y a -=-,即2210222101y y x x a -=-,又1010PA y y k x x -=-,1010PB y y k x x --=--,116PA PB k k ⋅=,所以221010012221010011116PA PBy y y y y y k k x x x x x x a ----⋅=⋅===----,∴216a =,即4a =,故A 错误;所以双曲线C :22116x y -=,1b =,c =双曲线C 的渐近线方程为14y x =±,离心率为4,故B 错误,D 错误;若12PF PF ⊥,则()(22221212122PF PF PF PF PF PF +=-+=,所以122PF PF =,12PF F △的面积为1,故C 正确.故选:C.8.B【分析】由题知()()4,0,4,0A B -,进而结合题意设()()0000,,,C x y D x y -,再结合()202091616x y -=,计算12k k 即可得答案.【详解】解:由题知()()4,0,4,0A B -,因为圆221:1169x y C -=与双曲线交于,C D 两点,所以,根据对称性可设()()0000,,,C x y D x y -,所以,001200,44y y k k x x -==+-,所以20001220004416y y y k k x x x --=⋅=+--,因为22001169x y -=,即()202091616x y -=,所以()2020001222000091691644161616x y y y k k x x x x ----=⋅===-+---故选:B 9.A【分析】设()00,P x y ,应用斜率两点式得到202202y x a =-,根据P 为双曲线C 上一点即可得双曲线参数关系,进而求其离心率.【详解】依题意12(,0),(,0)A a A a -,设()00,P x y ,则0012002y yk k x a x a⋅=⋅=+-,∴202202y x a =-,又()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭,∴222b a=,故22213b e a =+=,即e =故选:A 10.B【分析】首先根据题意得到a =1b =,c =x 轴,再根据点到直线的距离求解即可。

双曲线常见30个结论

双曲线常见30个结论

以下是双曲线的常见30个结论:1. 双曲线是一种二次曲线,其方程可表示为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1或y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1。

2. 双曲线有两个分支,分别称为左右分支或上下分支。

3. 双曲线的中心位于原点(0, 0)。

4. 双曲线的对称轴垂直于x轴和y轴,通过中心点。

5. 双曲线的焦点位于对称轴上,并且到中心的距离为c,其中c^2 = a^2 + b^2。

6. 双曲线的顶点位于对称轴和曲线的交点处。

7. 双曲线的渐近线是与曲线趋近但永远不相交的直线。

它们的方程为y = ±(b/a)x。

8. 双曲线的离心率e定义为焦点到顶点的距离与焦点到直线的距离之比,即e = c/a。

9. 双曲线的离心率大于1,可以取任意实数。

10. 双曲线的准线是与曲线相切的直线,其方程为y = ±(b/a)e。

11. 双曲线的参数方程为x = asec(t),y = btan(t)或x = acoth(t),y = b/t,其中t是参数。

12. 双曲线的面积为A = abπ。

13. 双曲线的周长没有公式表示,需要使用数值方法进行近似计算。

14. 双曲线的导数为dy/dx = ±b/a^2 * x/y。

15. 双曲线在顶点处有一个水平渐近线,方程为y = 0。

16. 双曲线在焦点处有两条垂直渐近线,方程为x = ±a。

17. 双曲线的反函数是双曲函数,如双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。

18. 双曲线可以通过拉伸、旋转和平移来变换形状和位置。

19. 双曲线是许多物理现象的数学模型,例如电磁波传播、行星轨道等。

20. 双曲线在几何光学中用于描述透镜的形状。

21. 双曲线可以用于解决一些复杂的数学问题,如差分方程和微分方程。

22. 双曲线在概率论和统计学中用于建模概率分布,如正态分布的拟合。

23. 双曲线在经济学中用于描述供求关系和市场行为。

24. 双曲线在计算机图形学中用于绘制3D曲面和建模物体。

双曲线知识点总结及练习题

双曲线知识点总结及练习题

一、双曲线的定义1、第一定义:到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长<|F 1F 2|的点的轨迹21212F F a PF PF <=-a 为常数;这两个定点叫双曲线的焦点; 要注意两点:1距离之差的绝对值;22a <|F 1F 2|;当|MF 1|-|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点F 2所对应的一支; 当|MF 1|-|MF 2|=-2a 时,曲线仅表示焦点F 1所对应的一支;当2a =|F 1F 2|时,轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线;用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边当2a >|F 1F 2|时,动点轨迹不存在;2、第二定义:动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 准线2ca 的距离之比是常数ee >1时,这个动点的轨迹是双曲线;这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程222a c b -=,其中|1F 2F |=2c焦点在x 轴上:12222=-b y a x a >0,b >0焦点在y 轴上:12222=-bx a y a >0,b >01如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上;如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上; a 不一定大于b ;判定焦点在哪条坐标轴上,不像椭圆似的比较x2、y2的分母的大小,而是x2、y2的系数的符号,焦点在系数正的那条轴上2与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3双曲线方程也可设为:221(0)x y mn m n-=> 三、双曲线的性质四、双曲线的参数方程:sec tan x a y b θθ=⋅⎛ =⋅⎝ 椭圆为cos sin x a y b θθ=⋅⎛=⋅⎝ 五、 弦长公式2、通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A 、B 两点,则弦长ab AB 22||=;3、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解 六、焦半径公式双曲线12222=-by a x a >0,b >0上有一动点00(,)M x y左焦半径:r=│ex+a │ 右焦半径:r=│ex-a │当00(,)M x y 在左支上时10||MF ex a =--,20||MF ex=-+当00(,)M x y 在右支上时10||MF ex a =+,20||MF ex a =- 左支上绝对值加-号,右支上不用变化双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则:与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-注:焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =-,2||MF c a =+,当00(,)M x y 在左支端点时1||MF c a =+,2||MF c a =-七、等轴双曲线12222=-b y a x a >0,b >0当a b =时称双曲线为等轴双曲线 1; a b =; 2;离心率2=e ;3;两渐近线互相垂直,分别为y=x ±; 4;等轴双曲线的方程λ=-22y x ,0λ≠; 八、共轭双曲线以已知的虚轴为,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线;λ=-2222b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:02222=-by a x . 九、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔-> 代值验证,如221x y -=点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2、直线与双曲线 代数法:设直线:l y kx m =+,双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得10m =时,b bk a a -<<,直线与双曲线交于两点左支一个点右支一个点; b k a ≥,bk a≤-,或k 不存在时,直线与双曲线没有交点;20m ≠时,k 存在时,若0222=-k a b ,abk ±=,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点;相交 若2220b a k -≠,222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时,22220m b a k +->,直线与双曲线相交于两点; 0∆<时,22220m b a k +-<,直线与双曲线相离,没有交点;0∆=时22220m b a k +-=,2222m b k a+=直线与双曲线有一个交点;相切 k 不存在,a m a -<<时,直线与双曲线没有交点;m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点;十、双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>⇒渐近线方程:22220x y a b -=⇔x aby ±=2>0,b >0⇒渐近线方程:22220y x a b -= ay x b=±3、若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x , 0λ≠;4、若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线,则双曲线的方程可设为λ=-2222b y a x 0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上十一、双曲线与切线方程1、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b-=;2、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b -=;3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=;椭圆与双曲线共同点归纳十二、顶点连线斜率双曲线一点与两顶点连线的斜率之积为K 时得到不同的曲线; 椭圆参照选修2-1P41,双曲线参照选修2-1P55;1、A 、B 两点在X 轴上时2、A 、B 两点在Y 轴上时十三、面积公式双曲线上一点P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角解:在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r r r b α=-即21221cos b r r α=-,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯-2sin 1cos b αα=-=2cot 2b α.图3解:在12PF F ∆中,设12F PF α∠=,11PF r =,22PF r =,由余弦定理得222121212cos 2PF PF F F PF PF α+-=⋅2221212(2)2r r c r r +-=⋅ ∴21212cos 2r r b r r α=- 即21221cos br r α=+,∴12212112sin sin 221cos PF F b S r r ααα∆==⨯⨯+2sin 1cos b αα=+=2tan 2b α. 十四、双曲线中点弦的斜率公式:设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB AB 不平行y 轴的中点,则有22AB OM b k k a⋅=证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212ABy y k x x -=-,22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得:22221212220x x y y a b ---=整理得:2221222212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012001222OMy y y y k x x x x +===+,所以22AB OM b k k a⋅= 椭圆中线弦斜率公式22AB OMb k k a⋅=-图1双曲线基础题1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是A.2 B.2错误!C.4 D.4错误!2.设集合P=错误!,Q={x,y|x-2y+1=0},记A=P∩Q,则集合A中元素的个数是A.3 B.1 C.2 D.43.双曲线错误!-错误!=1的焦点到渐近线的距离为A.2 B.3 C.4 D.54.双曲线错误!-错误!=1的共轭双曲线的离心率是________.5.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点4,-2,则它的离心率为6.设双曲线错误!-错误!=1a>0的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为A.4 B.3 C.2 D.17.从错误!-错误!=1其中m,n∈{-1,2,3}所表示的圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线方程中任取一个,则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为8.双曲线错误!-错误!=1的渐近线与圆x-32+y2=r2r>0相切,则r=B.3 C.4 D.6图K51-19.如图K51-1,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2AD,设∠DAB=θ,θ∈错误!,以A、B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C、D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,则e1·e2=________.10.已知双曲线错误!-错误!=1a>0,b>0的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________.11.已知双曲线错误!-错误!=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=错误!x,它的一个焦点为F6,0,则双曲线的方程为________.12.13分双曲线C与椭圆错误!+错误!=1有相同焦点,且经过点错误!,4.1求双曲线C的方程;2若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积.13.16分已知双曲线错误!-错误!=1和椭圆错误!+错误!=1a>0,m>b>0的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边长的三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形26分已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=A.2 B.4 C.6 D.8双曲线综合训练一、选择题本大题共7小题,每小题5分,满分35分1.动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2,则点P 的轨迹是A .双曲线B .双曲线的一支C .两条射线D .一条射线2.设双曲线的半焦距为c ,两条准线间的距离为d ,且d c =,那么双曲线的离心率e 等于A .2B .3C .2D .33.过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ,1F 是另一焦点,若∠21π=Q PF ,则双曲线的离心率e等于A .12-B .2C .12+D .22+ 4.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m =A .14-B .4-C .4D .145.双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 为该双曲线在第一象限的点,△PF 1F 2面积为1,且,2tan ,21tan 1221-=∠=∠F PF F PF 则该双曲线的方程为 A .1351222=-y x B .1312522=-y x C .1512322=-y x D .1125322=-y x 6.若1F 、2F 为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线的左支上,点M 在双曲线的右准线上,且满足)(,111OMOM OF OF OP PM O F +==λ)0(>λ,则该双曲线的离心率为A .2B .3C .2D .37.如果方程221x y p q+=-表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是A .2212x y q p q +=+B . 2212x y q p p+=-+C .2212x y p q q+=+ D . 2212x y p q q+=-+二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,满分15分8.双曲线的渐近线方程为20x y ±=,焦距为10,这双曲线的方程为_______________;9.若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线,则k 的取值范围是 ; 10.若双曲线1422=-my x 的渐近线方程为x y 23±=,则双曲线的焦点坐标是_________. 三、解答题:本大题共2小题,满分30分11. 本小题满分10分双曲线与椭圆有共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,点(3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,求渐近线与椭圆的方程;12.本小题满分20分已知三点P5,2、1F -6,0、2F 6,0; 1求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;2设点P 、1F 、2F 关于直线y =x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ,求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程.基础热身1.C解析双曲线方程可化为错误!-错误!=1,所以a2=4,得a=2,所以2a=4.故实轴长为4.2.B解析由于直线x-2y+1=0与双曲线错误!-y2=1的渐近线y=错误!x平行,所以直线与双曲线只有一个交点,所以集合A中只有一个元素.故选B.3.B解析双曲线错误!-错误!=1的一个焦点是5,0,一条渐近线是3x-4y=0,由点到直线的距离公式可得d=错误!=3.故选B.解析双曲线错误!-错误!=1的共轭双曲线是错误!-错误!=1,所以a=3,b=错误!,所以c=4,所以离心率e=错误!.能力提升5.D解析设双曲线的标准方程为错误!-错误!=1a>0,b>0,所以其渐近线方程为y=±错误!x,因为点4,-2在渐近线上,所以错误!=错误!.根据c2=a2+b2,可得错误!=错误!,解得e2=错误!,所以e=错误!,故选D.6.C解析根据双曲线错误!-错误!=1的渐近线方程得:y=±错误!x,即ay±3x=0.又已知双曲线的渐近线方程为3x±2y=0且a>0,所以有a=2,故选C.7.B解析若方程表示圆锥曲线,则数组m,n只有7种:2,-1,3,-1,-1,-1,2,2,3,3,2,3,3,2,其中后4种对应的方程表示焦点在x轴上的双曲线,所以概率为P=错误!.故选B.8.A解析双曲线的渐近线为y=±错误!x,圆心为3,0,所以半径r=错误!=错误!.故选A.9.1解析作DM⊥AB于M,连接BD,设AB=2,则DM=sinθ,在Rt△BMD中,由勾股定理得BD=错误!,所以e1=错误!=错误!,e2=错误!=错误!,所以e1·e2=1.10.2,+∞解析依题意,双曲线的渐近线中,倾斜角的范围是60°,90°,所以错误!≥tan60°=错误!,即b2≥3a2,c2≥4a2,所以e≥2.-错误!=1解析错误!=错误!,即b=错误!a,而c=6,所以b2=3a2=336-b2,得b2=27,a2=9,所以双曲线的方程为错误!-错误!=1.12.解答1椭圆的焦点为F10,-3,F20,3.设双曲线的方程为错误!-错误!=1,则a2+b2=32=9.①又双曲线经过点错误!,4,所以错误!-错误!=1,②解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27舍去,所以所求双曲线C的方程为错误!-错误!=1.2由双曲线C的方程,知a=2,b=错误!,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,平方得m2-2mn+n2=16.①在△F1PF2中,由余弦定理得2c2=m2+n2-2mn cos120°=m2+n2+mn=36.②由①②得mn=错误!,所以△F1PF2的面积为S=错误!mn sin120°=错误!.难点突破13.1B2B解析1依题意有错误!·错误!=1,化简整理得a2+b2=m2,故选B.2在△F1PF2中,由余弦定理得,cos60°=错误!,=错误!,=错误!+1=错误!+1.因为b=1,所以|PF1|·|PF2|=4.故选B.一、选择题1.D 2,2PM PN MN -==而,P ∴在线段MN 的延长线上2.C 2222222,2,2,2a c c c a e e c a===== 3.C Δ12PF F 是等腰直角三角形,21212,22PF F F c PF c === 4.A.5. A 思路分析:设),(00y x p ,则1,2,2100000==-=+cy cx yc x y ,命题分析:考察圆锥曲线的相关运算6. C 思路分析:由PM O F =1知四边形OMP F 1是平行四边形,又11(OF OF OP λ=)OMOM +知OP 平分OM F 1∠,即OMP F 1是菱形,设c OF =1,则c PF =1.又a PF PF 212=-,∴c a PF +=22,由双曲线的第二定义知:122+=+=ec c a e ,且1>e ,∴2=e ,故选C .命题分析:考查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用,思维的灵活性.7.D .由题意知,0pq >.若0,0p q >>,则双曲线的焦点在y 轴上,而在选择支A,C 中,椭圆的焦点都在x轴上,而选择支B,D 不表示椭圆;若0,0p q <<,选择支A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方2c p q =--,双曲线的焦点在x 轴上,选择支D 的方程符合题意.二、填空题8.221205x y -=± 设双曲线的方程为224,(0)x y λλ-=≠,焦距2210,25c c == 当0λ>时,221,25,2044x y λλλλλ-=+==;当0λ<时,221,()25,2044y x λλλλλ-=-+-==--- 9.(,4)(1,)-∞-+∞ (4)(1)0,(4)(1)0,1,4k k k k k k +-<+->><-或.10. (7,0) 渐近线方程为my x =,得3,7m c ==且焦点在x 轴上.三、解答题11.解:由共同的焦点12(0,5),(0,5)F F -,可设椭圆方程为2222125y x a a +=-; 双曲线方程为2222125y x b b +=-,点(3,4)P 在椭圆上,2221691,4025a a a +==- 双曲线的过点(3,4)P 的渐近线为225b y x b =-,即2243,1625b b b =⨯=-所以椭圆方程为2214015y x +=;双曲线方程为221169y x += 12.1由题意,可设所求椭圆的标准方程为22a x +122=by )0(>>b a ,其半焦距6=c ;||||221PF PF a +=56212112222=+++=, ∴=a 53, 93645222=-=-=c a b ,故所求椭圆的标准方程为452x +192=y ; 2点P5,2、1F -6,0、2F 6,0关于直线y =x 的对称点分别为:)5,2(P '、'1F 0,-6、'2F 0,6设所求双曲线的标准方程为212a x -1212=b y )0,0(11>>b a ,由题意知半焦距61=c ,|''||''|2211F P F P a -=54212112222=+-+=, ∴=1a 52,162036212121=-=-=a c b ,故所求双曲线的标准方程为202y -1162=x .。

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论

双曲线中常见结论: 1、离心率e=ac=21)(a b 2、焦半径3、通径及通径长ab 224、焦点到准线的距离c b 2,中心到准线的距离ca 28、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和12222=-by a x 有相同的渐近线和相同的离心率。

9、P 为双曲线上一点,则21F PF ∆的面积为S=θsin b2121212的离心率为e=αββαsin sin sin -+)(例(湖南卷)已知双曲线22a x -22b y =1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A ,△OAF 的面积为22a (O 为原点),则两条渐近线的夹角为(D )A .30ºB .45ºC .60ºD .90º例双曲线)(0122≠=-m n n y m x 的离心率为2,则nm 的值为( ) A .3 B .31C .3或31D .以上都不对椭圆的几何性质一、教学目标(一)知识教学点通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用.(二)能力训练点通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力.(三)学科渗透点使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等.二、教材分析1.重点:椭圆的几何性质及初步运用.(解决办法:引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率的概念的理解.(解决办法:先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.)3.疑点:椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.(解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.)三、活动设计提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结.四、教学过程(一)复习提问1.椭圆的定义是什么?2.椭圆的标准方程是什么?学生口述,教师板书.(二)几何性质根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是b>0)来研究椭圆的几何性质.说明:椭圆自身固有几何量所具有的性质是与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变.1.范围即|x|≤a,|y|≤b,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(图2-18).注意结合图形讲解,并指出描点画图时,就不能取范围以外的点.2.对称性先请大家阅读课本椭圆的几何性质2.设问:为什么“把x换成-x,或把y换成-y?,或把x、y同时换成-x、-y时,方程都不变,所以图形关于y轴、x轴或原点对称的”呢?事实上,在曲线的方程里,如果把x换成-x而方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,点P关于y轴的对称点Q(-x,y)也在曲线上,所以曲线关于y轴对称.类似可以证明其他两个命题.同时向学生指出:如果曲线具有关于y轴对称、关于x轴对称和关于原点对称中的任意两种,那么它一定具有另一种对称.如:如果曲线关于x轴和原点对称,那么它一定关于y轴对称.事实上,设P(x,y)在曲线上,因为曲线关于x轴对称,所以点P1(x,-y)必在曲线上.又因为曲线关于原点对称,所以P1关于原点对称点P2(-x,y)必在曲线上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲线上,所以曲线关于y轴对称.最后指出:x轴、y轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心即椭圆中心.3.顶点只须令x=0,得y=±b,点B1(0,-b)、B2(0,b)是椭圆和y轴的两个交点;令y=0,得x=±a,点A1(-a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.强调指出:椭圆有四个顶点A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).教师还需指出:(1)线段A1A2、线段B1B2分别叫椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b;(2)a、b的几何意义:a是长半轴的长,b是短半轴的长;这时,教师可以小结以下:由椭圆的范围、对称性和顶点,再进行描点画图,只须描出较少的点,就可以得到较正确的图形.4.离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义:等到介绍椭圆的第二定义时,再讲清离心率e的几何意义.先分析椭圆的离心率e的取值范围:∵a>c>0,∴ 0<e<1.再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:(2)当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆接近圆;(3)当e=0时,c=0,a=b两焦点重合,椭圆的标准方程成为x2+y2=a2,图形就是圆了.(三)应用为了加深对椭圆的几何性质的认识,掌握用描点法画图的基本方法,给出如下例1.例1 求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.本例前一部分请一个同学板演,教师予以订正,估计不难完成.后一部分由教师讲解,以引起学生重视,步骤是:(2)描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性就可以画出整个椭圆(图2-19).要强调:利用对称性可以使计算量大大减少.本例实质上是椭圆的第二定义,是为以后讲解抛物线和圆锥曲线的统一定义做准备的,同时再一次使学生熟悉求曲线方程的一般步骤,因此,要详细讲解:设d是点M到直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合P={M将上式化简,得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是椭圆.由此例不难归纳出椭圆的第二定义.(四)椭圆的第二定义1.定义平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数线叫做椭圆的准线,常数e是椭圆的离心率.2.说明这时还要讲清e的几何意义是:椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.(五)小结解法研究图形的性质是通过对方程的讨论进行的,同一曲线由于坐标系选取不同,方程的形式也不同,但是最后得出的性质是一样的,即与坐标系的选取无关.前面我们着重分析了第一个标准方程的椭圆的性质,类似可以理解第二个标准方程的椭圆的性质.布置学生最后小结下列表格:五、布置作业1.求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程:(1)25x2+4y2-100=0,(2)x2+4y2-1=0.2.我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆,近地点距地面266Km,远地点距地面1826Km,求这颗卫星的轨道方程.3.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.的方程.作业答案:4.顶点(0,2)可能是长轴的端点,也可能是短轴的一个端点,故分两种情况求方程:六、板书设计。

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双曲线常用结论
一、双曲线的第一定义:
平面内与两个定点F 1,F 2的距离的____________________等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线.(口诀:看到____________________,想到____________________)
二、双曲线的第二定义:
1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个),1(+∞内常数e ,那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数e 就是离心率(点与线成对出现,左对左,右对右) 对于122
22=-b
y a x ,左准线____________________;右准线____________________
对于12222=-b x a y ,下准线c
a y l 2
1:-=;上准线c y l 22:= 2、焦半径
圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段,叫做圆锥曲线焦半径。

主要作用是:____________________
双曲线上的点到焦点距离的最小值
____________________
二、双曲线的第三定义: 在双曲线()22
22C 10x y a b a b +=:中,A 、B 是关于_____________
的两点,P 是双曲线上异于A 、B 的一点,若PA PB k k 、存在,则有:
=PA PB k k •_____________
三、双曲线的焦点三角形: 1、通径:
圆锥曲线(除圆外)中,过焦点并垂直于轴的弦,以焦点在x 轴为例,
弦AB 。

坐标:()————,c A ,()————,c B 弦AB 长度:
=AB _____________
2、焦点三角形解题主要关系式:
3、涉及焦点三角形面积时,可设|PF 1|=
m ,|PF 2|=n ,主要用结果:①定义_____________; ②|F 1F 2|=_____________ ;③余弦
定理。

运用|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|+|PF 2|)2-2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|,而无需单独求解.
3、若P 是双曲线:22221x y a b -=上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ∆的面积为
=∆S _____________.
四、双曲线的中点弦问题:
(1)双曲线中点弦的斜率公式: 设00(,)M x y 为双曲线22
221x y a b
-=弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有: AB OM k k ⋅=_____________
(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在双曲线122
22=+b
y a x 中,以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0
202y a x b ;由(1)得22AB OM b k k a ⋅= 0022221y x a b k a b k OM AB ⋅=⋅=
口诀:中点弦用“点差”,不要忘记“Δ”。

五、双曲线22
221x y a b -=(a >0,b >0)与双曲线_____________(a >0,b >0)渐近线相同。

六、焦点⊿PF 1F 2的内切圆心横坐标为_____________即与实轴的切点一定是实轴端点。

七、焦点到渐近线的距离等于
_____________。

(1)
•F 1
•F 2 P
八、弦长公式
直线与圆锥曲线相交所得的弦长
直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长
1212||AB x y y =-==-
注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ,运用韦达定理来进行计算.
当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.。

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