双曲线拓展知识常用结论(填空)

双曲线常用结论

一、双曲线的第一定义:

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的____________________等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．（口诀：看到____________________，想到____________________）

二、双曲线的第二定义:

1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个),1(+∞内常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右） 对于122

22=-b

y a x ，左准线____________________；右准线____________________

对于12222=-b x a y ，下准线c

a y l 2

1:-=；上准线c y l 22:= 2、焦半径

圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

主要作用是：____________________

双曲线上的点到焦点距离的最小值

____________________

二、双曲线的第三定义: 在双曲线()22

22C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于_____________

的两点，P 是双曲线上异于A 、B 的一点，若PA PB k k 、存在，则有：

=PA PB k k •_____________

三、双曲线的焦点三角形: 1、通径：

圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴为例，

弦AB 。坐标：()————,c A ，()————,c B 弦AB 长度：

=AB _____________

2、焦点三角形解题主要关系式：

3、涉及焦点三角形面积时，可设|PF 1|=

m ，|PF 2|=n ，主要用结果：①定义_____________； ②|F 1F 2|=_____________ ；③余弦

定理。 运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求解．

3、若P 是双曲线：22221x y a b -=上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为

=∆S _____________.

四、双曲线的中点弦问题：

(1)双曲线中点弦的斜率公式： 设00(,)M x y 为双曲线22

221x y a b

-=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有： AB OM k k ⋅=_____________

(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在双曲线122

22=+b

y a x 中，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

202y a x b ；由（1）得22AB OM b k k a ⋅= 0022221y x a b k a b k OM AB ⋅=⋅=

口诀：中点弦用“点差”，不要忘记“Δ”。

五、双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与双曲线_____________（a ＞0,b ＞0）渐近线相同。

六、焦点⊿PF 1F 2的内切圆心横坐标为_____________即与实轴的切点一定是实轴端点。

七、焦点到渐近线的距离等于

_____________。

（1）

•F 1

•F 2 P

八、弦长公式

直线与圆锥曲线相交所得的弦长

直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长

1212||AB x y y =-==-

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.