渗流作用下土坡圆弧滑动有限元计算
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第 !B 卷 第 ’ 期 !##" 年 "" 月
岩土工程学报
0173KPK :ANM32O AL TKAFKG137G2O U3473KKM734
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渗流作用下土坡圆弧滑动有限元计算
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少或方程式增多。这就是一些学者给出不同滑坡计算公
式的背景。但无论假定土条间作用力是水平的，或是互
相平行的，或是平行于滑动面的以及其它常数或函数关 系等，根据计算经验，用简化毕肖普法与其他复杂的方法
比较，安全系数的差别很小，最大差 ;< ，一般小于 2< （=4’#>$% $%? 3$’+*@，(-/;）。 !A ! 条分法计算中的问题
图 ! 圆弧滑动条分法示意及土条受力的图示 H74E " IJKFG1 LAM G7MGNO2M PO7Q AL PO7GKP RKF1AS 23S LAMGKP A3 PO7GK
! 收稿日期：!##" * #+ * !,
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岩土工程学报
2!!( 年
对于圆弧滑动面，其安全系数为抗滑力矩与滑动力
矩之比。对于整个滑动体，除径向力 ! 及 " 没有力矩
但渗流作用力的两种表示方法，如图 . 所示任意三
角形土体单元，用图 （. $）所示的体积力（渗透力 0& 与静 水浮力 . -B）和用图 .（E）所示的周边的水压力 5 表示 是等同的。这是因为水对土作用力，%0 " G 9F$?5，且 6 "
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毕肖普（3’&415，(-66）简化的方法假定土条两侧的力
是水平方向而略去了垂直分量，将作用在土条上力的多
边形投影到垂直方向，! 0% ( !，求得法向力 ! 的表达
外，内力 !#$，!#%，!& 的力矩，在取各个相邻土条时互
相抵消，根据力矩平衡式 ! ’! " ! 可得
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按照瑞典 圆 弧 法 费 伦 纽 斯（ )*++*%’,&，(-./）的 假 定，设 土
条两侧的力与土条底部滑动破坏面平行，则对破坏面上
文，以抛砖引玉、交流讨论。
" 滑坡计算的常规条分法及其存在问题
"E ! 常用的条分法 关于将滑动体划分为垂直土条的计算方法，源于瑞
典圆弧法，现以分析上游迎水坡的稳定性为例，简要介绍 常用的方法。
在计算孔隙水压力情况下的坡面稳定性时，将渗流 流网图换算成等压线图比较方便，如图 "（2）所示沿用一 般圆弧滑动试取滑动面 !" 分析其安全。每一垂直土条 所受的作用力有（图 "（@））：! 土条的重量 #（土 粒 和 水）；"底部滑动面上作用的法向力 $ 与孔隙水压力 %， $ &（! ’ (）)，% & () ；#沿滑动面作用的切向力 *，* &（ $F23"万+方,数-+据)）.#，# 为安全系数；$土条侧边土压力
关键词：土坡稳定；圆弧滑动；垂直条分法；有限元法；渗透力；边界水压力
中图分类号：%& ’("
文献标识码：)
文章编号："### * (+(（, !##"）#’ * #-(’ * #-
作者简介：毛昶熙，男，"$", 年生，教授级高工，主要从事水工渗流研究。
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因为渗透力 0& 等价于所受浮力与作用在土条周边 各水压力的总和。显然，把土体单元各边上的几个水压 力转 换 为 一 个 渗 透 力 会 使 问 题 简 单 得 多（ K*?*F9F*%， (-;;），尤其 是 利 用 计 算 机 在 求 得 渗 流 场 水 头 分 布 的 同 时，连续计算渗透力进行滑坡稳定分析更为方便。
力：渗透力$0 & " G$9F$?6 "$&8 ，与浮力（与同体积的水重 反向）-"B " G$9F$? % " G%$9 ，则表面水压力的合力$0 可 用两个体积力$0 & 与 G$-B 表示。因此对于土条上的渗流
作用力就有（图 2 的力的多边形） "0& ( -"B *（ &( . &"2）* ""
条分法对于手算提供了某些方便，但是在结合渗流
场计算方面却有其难以克服的困难，以致必须作有损计
算精度的一些假定。为了说明存在的问题，还应从渗流
的作用力谈起。如图 2 所示为平行于斜坡的渗流情况， 对于一个垂直土条所受各力处于平衡状态来说，土条饱
和重必须与其周边各外力组成闭合的力的多边形，其中
!#$，!#% 为土条两侧边所受土压力差额的水平和垂直 分量，由于其值很小，累加各土条后有抵消趋势，影响很
式再代入式（(），并因土条宽度 1 ( ,01&# ，则得常用的
简化毕肖普公式
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条分法的公式很多，当划分 3 个土条而取每个土条
的脱离体写其静力平衡时，其中有 6 个未知数，即土条边
的剪切力，垂直侧边的力及其作用点位置，土条底部的法
制程序研究堤坝的整体稳定性问题，并发表交流讨论［!］。
随后又经过不少堤坝计算分析，深感目前的条分法滑动
计算，对于非均质土坝的复杂渗流场来说，欲提高精度，
实在有其无法克服的困难，而且必须在水（水力学）与土
（土力学）之间架起桥梁研究这一渗流稳定性问题。因此
再把近来对比分析条分法与有限元法的计算成果整编此
换算成各单元渗透力。这样，就不需要考虑各单元体接 触边界上的孔隙水压力，而避免了象一般条分法计算略 去土条侧边水压力的误差，同时也不需要考虑边坡的外 水压力，从而简化了力的计算。
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又如条分法计算既然是采用土条周边水压力，那么 在流场内就应一律取饱和土体重量，如图 ; 所示，若规定 在库水位以下土取浮重（有些文献 以 及 土 石 坝 设 计 规 范），可知就少算了 "#$% 的水体重，所以 <0.43.（2 ’()(） 指出来，此时应把土条底部孔隙水压力（ & ’ !( ）改为 超孔隙水压力!（ ( ) (* ）计算，来补偿这一段水柱造成 的差错；说明这样的规定是自找麻烦徒劳无益的，这种在 饱和渗流计算中区别对待土的容重，也是对孔隙水压力 的一个近似补偿，当偏角" 大时误差也大。此外还经常 假定土条底部的孔隙水压力在浸润线下符合静水压力分 布规律也是不正确的，因为渗流场的土质分布和边界条 件稍一复杂，就会使滑坡体内的水头分布发生急剧变化， 特别是在库水位骤降时的上游坡，作这样的假定会导致 严重误差。总之，对于这种细而高的土条单元，要想用一 些平均水力因素来描述它而又能求得精确的计算结果， 自然是很有限的。然而，这些条分法的缺陷，将在下述的 有限元法计算中得到克服，即以渗透力考虑问题时，就不 需要对土容重作任何假定，只需取土的有效重即可。
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然而目前沿用的条分法仍采用土条周边的孔隙水压 力考虑问题，由于难于正确估算，于是就只考虑土条侧边 水压力大小而忽略作用点所发生的力矩影响，甚至略去
第=期
毛昶熙等 G 渗流作用下土坡圆弧滑动有限元计算
==’
侧边的水压力而只计算土条底部滑动面上水压力，并作 一些土重不同取法的规定。这样不仅是很粗略近似，而 且概念混乱不清，不少学者指出这容易造成错误。例如 图 ! 所示的滑动体，经常在滑动面上考虑孔隙水压力 ! 的同时，又把浸润线以下的土体按浮重计算，对渗流作用 力重复用了两次（"#$%&，’())）。经常发生此错误的原因， 可能是在条分法中没有把上述表面水压力与渗透力之间 的转换关系交代清楚。
毛昶熙，李吉庆，段祥宝
（南京水利科学研究院 水工研究所，江苏 南京 !"##!$）
摘 要：分析了土坡滑动稳定性计算的条分法及其存在问题，并提出了圆弧滑动的有限元法，以三角形单元的渗透力取代垂直条块周边
的水压力，正确考虑了渗流方向及其力矩的影响，不仅提高了计算精度，而且连续计算渗流与滑坡，使计算过程简便迅速。
! 前 言!
堤坝岸坡的稳定性，从计算分析和统计数据可知渗
%/0，%/1 与水压力 %2，%/0 & /0" ’ /0!，%/1 & /1" ’ /1!，%2 & 2" ’ 2! 。上述各力在平衡状态时，构成一个 闭合力的多边形，如图 （" G）所示。
流的 破 坏 作 用 很 大，垮 坝 失 事 有 B#C D (#C 源 于 渗 流［"］。因而很早就把渗流有限元计算与滑坡结合起来编
（6）
则式（7）的平衡关系就可用其等价的渗透力与土体浮重
写平衡关系为
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（/）
这种等价的计算关系也可以用格林定理从数学上严格证
明，参看文献［.］。
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向力以及安全系数；因此 3 个土条就有（7 3 . 2）个未知
数。但静力平衡式只有 ! 0$ ( !、! 0% ( !、! ’ ( !
三式，总共有 . 3 个方程式，少了（ 3 . 2）个方程，因而问 题是超静 定 的（8,$%9，(-:7）。要 想 使 问 题 是 正 定 的 求 解，只有对土条间交界面上的力作某些假定使未知数减
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是水平方向而略去了垂直分量，将作用在土条上力的多
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相抵消，根据力矩平衡式 ! ’! " ! 可得
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条两侧的力与土条底部滑动破坏面平行，则对破坏面上
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典圆弧法，现以分析上游迎水坡的稳定性为例，简要介绍 常用的方法。
在计算孔隙水压力情况下的坡面稳定性时，将渗流 流网图换算成等压线图比较方便，如图 "（2）所示沿用一 般圆弧滑动试取滑动面 !" 分析其安全。每一垂直土条 所受的作用力有（图 "（@））：! 土条的重量 #（土 粒 和 水）；"底部滑动面上作用的法向力 $ 与孔隙水压力 %， $ &（! ’ (）)，% & () ；#沿滑动面作用的切向力 *，* &（ $F23"万+方,数-+据)）.#，# 为安全系数；$土条侧边土压力
关键词：土坡稳定；圆弧滑动；垂直条分法；有限元法；渗透力；边界水压力
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因为渗透力 0& 等价于所受浮力与作用在土条周边 各水压力的总和。显然，把土体单元各边上的几个水压 力转 换 为 一 个 渗 透 力 会 使 问 题 简 单 得 多（ K*?*F9F*%， (-;;），尤其 是 利 用 计 算 机 在 求 得 渗 流 场 水 头 分 布 的 同 时，连续计算渗透力进行滑坡稳定分析更为方便。
力：渗透力$0 & " G$9F$?6 "$&8 ，与浮力（与同体积的水重 反向）-"B " G$9F$? % " G%$9 ，则表面水压力的合力$0 可 用两个体积力$0 & 与 G$-B 表示。因此对于土条上的渗流
作用力就有（图 2 的力的多边形） "0& ( -"B *（ &( . &"2）* ""
条分法对于手算提供了某些方便，但是在结合渗流
场计算方面却有其难以克服的困难，以致必须作有损计
算精度的一些假定。为了说明存在的问题，还应从渗流
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和重必须与其周边各外力组成闭合的力的多边形，其中
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换算成各单元渗透力。这样，就不需要考虑各单元体接 触边界上的孔隙水压力，而避免了象一般条分法计算略 去土条侧边水压力的误差，同时也不需要考虑边坡的外 水压力，从而简化了力的计算。
图 # 库水位以下取土浮容重时的孔隙水压力修正 *%+, ; >.35%/%315%#4 #/ 0#2. ?15.2 02.&&$2. ?@.4 6$#8145 ?.%+@5
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力向量和来表示其平稳关系为
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图 ! 土条周边水压力与渗透力的关系
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图 ! 在坝坡稳定分析中考虑渗流作用力常犯错误示意图 *%+, ! -%&$&. #/ &..01+. /#23.& %4 &516%7%58 14178&%& #/ 91: &7#0.
又如条分法计算既然是采用土条周边水压力，那么 在流场内就应一律取饱和土体重量，如图 ; 所示，若规定 在库水位以下土取浮重（有些文献 以 及 土 石 坝 设 计 规 范），可知就少算了 "#$% 的水体重，所以 <0.43.（2 ’()(） 指出来，此时应把土条底部孔隙水压力（ & ’ !( ）改为 超孔隙水压力!（ ( ) (* ）计算，来补偿这一段水柱造成 的差错；说明这样的规定是自找麻烦徒劳无益的，这种在 饱和渗流计算中区别对待土的容重，也是对孔隙水压力 的一个近似补偿，当偏角" 大时误差也大。此外还经常 假定土条底部的孔隙水压力在浸润线下符合静水压力分 布规律也是不正确的，因为渗流场的土质分布和边界条 件稍一复杂，就会使滑坡体内的水头分布发生急剧变化， 特别是在库水位骤降时的上游坡，作这样的假定会导致 严重误差。总之，对于这种细而高的土条单元，要想用一 些平均水力因素来描述它而又能求得精确的计算结果， 自然是很有限的。然而，这些条分法的缺陷，将在下述的 有限元法计算中得到克服，即以渗透力考虑问题时，就不 需要对土容重作任何假定，只需取土的有效重即可。
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然而目前沿用的条分法仍采用土条周边的孔隙水压 力考虑问题，由于难于正确估算，于是就只考虑土条侧边 水压力大小而忽略作用点所发生的力矩影响，甚至略去
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毛昶熙等 G 渗流作用下土坡圆弧滑动有限元计算
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侧边的水压力而只计算土条底部滑动面上水压力，并作 一些土重不同取法的规定。这样不仅是很粗略近似，而 且概念混乱不清，不少学者指出这容易造成错误。例如 图 ! 所示的滑动体，经常在滑动面上考虑孔隙水压力 ! 的同时，又把浸润线以下的土体按浮重计算，对渗流作用 力重复用了两次（"#$%&，’())）。经常发生此错误的原因， 可能是在条分法中没有把上述表面水压力与渗透力之间 的转换关系交代清楚。
毛昶熙，李吉庆，段祥宝
（南京水利科学研究院 水工研究所，江苏 南京 !"##!$）
摘 要：分析了土坡滑动稳定性计算的条分法及其存在问题，并提出了圆弧滑动的有限元法，以三角形单元的渗透力取代垂直条块周边
的水压力，正确考虑了渗流方向及其力矩的影响，不仅提高了计算精度，而且连续计算渗流与滑坡，使计算过程简便迅速。
! 前 言!
堤坝岸坡的稳定性，从计算分析和统计数据可知渗
%/0，%/1 与水压力 %2，%/0 & /0" ’ /0!，%/1 & /1" ’ /1!，%2 & 2" ’ 2! 。上述各力在平衡状态时，构成一个 闭合力的多边形，如图 （" G）所示。
流的 破 坏 作 用 很 大，垮 坝 失 事 有 B#C D (#C 源 于 渗 流［"］。因而很早就把渗流有限元计算与滑坡结合起来编
（6）
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写平衡关系为
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这种等价的计算关系也可以用格林定理从数学上严格证
明，参看文献［.］。
图 " 渗流作用力的两种表示方法 )’9A . IB1 >*#41?& #1 *J5F*&& $0#’%9 &**5$9* D1F0*&
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向力以及安全系数；因此 3 个土条就有（7 3 . 2）个未知
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三式，总共有 . 3 个方程式，少了（ 3 . 2）个方程，因而问 题是超静 定 的（8,$%9，(-:7）。要 想 使 问 题 是 正 定 的 求 解，只有对土条间交界面上的力作某些假定使未知数减