第四章 4.2.1 指数函数的概念

④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数. ⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
A.(0,1)∪(1，＋∞)
B.[0,1)∪(1，＋∞)
√C.12，1∪(1，＋∞)
D.12，＋∞
解析 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1， 解得 a>12，且 a≠1.
反思 感悟
解决有关增长率问题的关键和措施 (1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减) 率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内 的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较. (2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具 体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求 解数学问题即可.
解析 由指数函数的定义知aa2>－0且3aa＋≠31＝，1，
① ②
Hale Waihona Puke Baidu
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
二、求指数函数的解析式或函数值
例2 A.2
(1)若函数 f(x)＝12a－3·ax 是指数函数，则 f 12的值为
B.－2
√ C.－2 2
D.2 2
解析 因为函数 f(x)是指数函数，所以12a－3＝1，
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.y＝xx(x>0)是指数函数.( × ) 2.y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.( × ) 3.y＝12x是指数衰减型函数模型.( √ ) 4.若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( × )
2 题型探究
第四章 §4.2 指数函数
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
引
课时对点练
1
PART ONE
知识梳理
知识点一 指数函数的定义
一般地，函数 y＝ax (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函 数的定义域是R.
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长 率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x (其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
跟踪训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出 荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面， 当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了__1_9__天.
A.8 B.16
√ C.32 D.64
解析 由指数函数 y＝f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点－2，14， 可得 a－2＝14，解得 a＝2，
函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
三、指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
例3 某林区2020年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、 严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%. (1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万立方米，求y＝f(x)的表达式， 并求此函数的定义域； 解 现有木材蓄积量为200万立方米， 经过1年后木材蓄积量为200＋200×5%＝200(1＋5%). 经过2年后木材蓄积量为：200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5%＝200×(1＋5%)2. ∴经过x年后木材蓄积量为200(1＋5%)x. ∴y＝f(x)＝200(1＋5%)x.函数的定义域为x∈N*.
反思 感悟
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出 函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从 而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问 题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
跟踪训练2 指数函数y＝f(x)的图象经过点－2，14 ，那么f(4)f(2)等于
反思 感悟
判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求. (2)ax前的系数是否为1. (3)指数是否符合要求.
跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是
A.y＝－3x
B.y＝2x2 1
C.y＝ax
√D.y＝πx
解析 根据指数函数的特征知，A，B，C不满足.
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__2__.
PART TWO
一、指数函数的概念
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；
⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是
A.0 √B.1
C.2
D.4
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数 函数；
思考 为什么底数应满足a>0且a≠1?
答案 ①当a≤0时，ax可能无意义； ②当a>0时，x可以取任何实数； ③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值. 因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点二 两类指数模型
1.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 a>1 时为指数增长型函数模型. 2.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 0<a<1 时为指数衰减型函数模型.
所以a＝8，
所以
f(x)＝8x，f
12＝
1
8 2＝2
2.
(2)已知函数 y＝f(x)，x∈R，且 f(0)＝3，ff10＝12，ff21＝12，…，fnf－n1＝12， n∈N*，求函数 y＝f(x)的一个解析式.
解 当 x 增加 1 时函数值都以12的衰减率衰减， ∴函数f(x)为指数衰减型， 令 f(x)＝k12x(k≠0)， 又 f(0)＝3，∴k＝3，∴f(x)＝3·12x.
(2)求经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万立方米.
解 作函数y＝f(x)＝200(1＋5%)x(x≥0)图象见下图.
x0 1 2 3 … y 200 210 220.5 231.5 … 作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图 象交于A点，则A(x0，300)，A点的横坐标 x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量 为300万立方米时)所经过的时间x年的值. ∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林 区的木材蓄积量能达到300万立方米.