(新)高一函数综合题训练
高一数学函数经典练习题(含答案)
《函 数》复习题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴33y x =+-⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸y =⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼y ⑽4y =⑾y x =-6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y =⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
高一上数学函数大题训练
高中数学函数综合题训练一、 解答题1.已知函数f(x)=ax 2+2x +c(a,c ∈N ∗)满足：①f(1)=5；②6<f(2)<11.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若对任意的实数x ∈[12,32]，都有f(x)−2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．2.设命题：函数f(x)=lg(ax 2−x +116a)的定义域为；命题：不等式对一切正实数x 均成立. （Ⅰ）如果是真命题，求实数的取值范围；（Ⅱ）如果命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.3.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x <时2(1)2f x x x =++.（1）求函数()f x 的表达式； （2）请画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的单调区间.4.已知函数f(x)=12cos2x+√32sinxcosx，x∈R.（1）求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时x的集合；（2）将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间.5.已知x≠0时，函数f(x)>0，对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(−1)= 1,f(27)=9，当0≤x<1时，f(x)∈[0,1)（1）判断f(x)的奇偶性；（2）判断f(x)在[0,+∞)上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f(a+1)≤√93，求a的取值范围.6.已知()f x 是定义在R上的偶函数，且0x ≤时， ()112x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求()()0,1f f 的值； （2）求函数()f x 的解析式；（3）若()()11f a f -<-，求实数a 的取值范围．7.已知定义域为R 的函数f (x )=−2x +b2x+1+a 是奇函数．（1）求a,b 的值；（2）已知f (x )在定义域上为减函数，若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2−2t )+f (t 2−k )<0(k 为常数）恒成立,求k 的取值范围.8.已知函数f(x)=2x+2−x.（1）求方程f(x)=5的的的2（2）求证：f(x)的[0,+∞)的的的的的的（3）若对于任意x∈[0,+∞)，不等式f(2x)≥f(x)−m恒成立，求实数m的的的的.9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足当x≥0时，f(x)=x，x+1(1)求f(x)在R上的解析式；(2)当x∈[−1,0]时，方程2x+1−22x−m=0有解，试求实数m的取值范围．f(2x))，(a>0,a≠1)10.已知函数f(x)=log a(1−4x+2（1）判断函数f(x)的奇偶性；（2）是否存在实数a使得f(x)的定义域为[m,n],值域为[1+log a n,1+log a m]？若存在,求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。
高一数学函数专题(含答案)
函 数 练 习 题一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y = ⑵y =2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则(21)f x -的定义域是 ；1(2)f x+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域5、求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷311x y x -=+ (5)x ≥⑸ y = ⑹ 225941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x = ()f x 在R 上的解析式为5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f xg x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ 223y x x =++ ⑵y = ⑶ 261y x x =--7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是8、函数236x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g =； ⑷x x f =)(， ()g x =； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。
函数考试卷子高一
函数考试卷子高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的图像关于哪一条直线对称？A. x = 0B. x = 1C. x = 3/4D. x = -12. 若函数f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 7在x = 1处取得极值，则该极值是：A. 极小值B. 极大值C. 无极值D. 无法确定3. 函数y = 3x - 2的反函数是：A. y = (3x + 2) / 3B. y = -3x + 2C. y = (x + 2) / 3D. y = -(x + 2) / 34. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，其值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [1, √2]D. [√2, 2]5. 函数y = √(x^2 + 1)的导数是：A. y' = x / √(x^2 + 1)B. y' = 1 / √(x^2 + 1)C. y' = 2x / √(x^2 + 1)D. y' = 2x / (x^2 + 1)6. 函数f(x) = 1 / (x - 1)的间断点是：A. x = 0B. x = 1C. x = 2D. x = -17. 函数y = ln(x)的定义域是：A. x > 0B. x ≥ 0C. x < 0D. x ≤ 08. 函数f(x) = x^2 + 2x + 3的最小值是：A. 3B. 4C. 5D. 69. 若函数f(x) = 2^x在区间[0, 1]上单调递增，则其反函数f^(-1)(x)在区间[2, 4]上：A. 单调递增B. 单调递减C. 无单调性D. 不存在10. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题3分，共15分）11. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(1) = __________。
高一数学函数试题及答案
（数学1必修）函数及其表示一、选择题1．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f 。
A ．⑴、⑵ B ．⑵、⑶ C ．⑷ D ．⑶、⑸2．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或23．已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,54．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A ．1B ．1或32C ．1，32或 D5．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（ ）A ．沿x 轴向右平移1个单位B ．沿x 轴向右平移12个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移12个单位6．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题1．设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 。
2．函数422--=x x y 的定义域 。
3．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 。
高一数学函数综合试题答案及解析
高一数学函数综合试题答案及解析1.定义运算:，对于函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则= ．【答案】.【解析】记，，于是构造函数，则当时，；当或时，所以.即为所求.【考点】函数的最值及其几何意义.2.设，那么（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察题意所给的递推式特征可知：，所以，故选B.【考点】数列的递推公式.3.函数y＝－xcosx的部分图象是（）.【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性，此时,有，可知此函数为奇函数，排除A,C；又当x>0时，取时，可知此时，易知图像与x轴交于，而当时，，故选D.【考点】函数图像的辨析与识别，奇偶函数的定义与性质，排除法，特殊角的三角函数值.4.方程在区间内的所有实根之和为 .（符号表示不超过的最大整数）.【答案】2.【解析】设，当时，；当时，；当时，；当时，；即；令，得；令，得；的所有根为0,2，之和为2.【考点】新定义题、函数图像的交点.5.若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵，又∵，，∴，又∵，根据二次函数的相关知识，可知当，时，，综上所述，要使不等式对于任意的恒成立，实数的取值范围是.【考点】1.函数求最值；2.恒成立问题的处理方法.6.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】,故①正确；根据定义域,,所以,所以也是奇函数;故②不正确；仅是定义域变了，值域没有改变；故③不正确；是关于对称轴对称的图像，所以与其交点个数只能是偶数个，不可能是1.故④正确.【考点】1.方程根与系数的关系；2.函数奇偶性；3.抽象函数；4.函数图像.7.已知函数,则下列说法中正确的是（）A．若，则恒成立B．若恒成立，则C．若，则关于的方程有解D．若关于的方程有解，则【答案】D.【解析】绝对值不等式，当时，则，此时，所以A错误；当恒成立时，有，此时假设，则由绝对值不等式可知恒成立，此时与恒成立矛盾，再结合对A选项的分析，可知，所以B选项错误；当时，则，此时，方程，左边是正数，右边是负数，无解，所以C错误；对于D，当关于的方程有解时，由上述C选项的分析可知不可能小于0，当时，，也不满足有解，所以，此时由有解，可得，所以，所以，选项D正确，故选D.【考点】函数与绝对值不等式.8.如果二次函数不存在零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵二次函数不存在零点，二次函数图象向上，∴，可得，解得，故选D．【考点】1、函数零点；2、函数与方程的关系．9.已知函数是定义在上的奇函数，当时的解析式为.（Ⅰ）求函数的解析式;（Ⅱ）求函数的零点.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）零点为【解析】（Ⅰ）先利用奇函数的性质求时的解析式，再求时的解析式，最后写出解析式. 本小题的关键点：（1）如何借助于奇函数的性质求时的解析式；（2）不能漏掉时的解析式.（Ⅱ）首先利用求零点的方法：即f（x）=0，然后解方程，同时注意限制范围.试题解析：（Ⅰ）依题意，函数是奇函数，且当时，，当时，， 2分又的定义域为，当时， 2分综上可得， 2分（Ⅱ）当时，令，即，解得，(舍去) 2分当时，， 1分当时，令，即，解得，(舍去) 2分综上可得，函数的零点为 1分【考点】1、奇函数的性质；2、求方程的零点.10.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为函数的定义域为大于零的实数。
高一数学函数试题答案及解析
高一数学函数试题答案及解析1.已知函数在处取得最大值，则可能是( ）A．B．C．D．【答案】【解析】根据函数解析式的特点,设,则根据正弦和角公式,可知函数,则其最值在处取得,所以.【考点】正余弦特殊值,正弦和角公式,正弦函数最值.2.下列函数在区间是增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】（A）函数是上的减函数；（B）函数是R上的减函数；（C）的对称轴为，所以该函数是上的增函数；（D）是上的增函数，所以在区间是增函数，故D为正确答案.【考点】函数的单调性.3.如图，点从点出发，分别按逆时针方向沿周长均为的正三角形、正方形运动一周，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系分别记为，定义函数对于函数，下列结论正确的个数是（）①；②函数的图像关于直线对称；③函数值域为；④函数在区间上单调递增.A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由题意可得由函数与的图像可得函数由图像可知，①②③④都正确.【考点】1.函数的图像；2.分段函数；3.函数的单调性；4.函数的值域.4.已知函数，的部分图象如图所示，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于函数，的部分图象可知函数的周期为，故可知将代入可知，函数值为零，则可知得到，故可知由于过点（0,1）可知A=1,故可知解析式为,故，故答案为B.【考点】函数的性质点评：主要考查了三角函数图象与性质的运用，属于基础题。
5.方程有唯一解，则实数的取值范围是()A．B．C．或D．或或【答案】D【解析】方程有唯一解，即半圆与直线只有一个公共点。
结合几何图形分析知，实数的取值范围是或或，选D。
【考点】直线与圆的位置关系点评：简单题，利用转化与化归思想，将方程解的个数问题，转化成直线与半圆的公共点个数问题。
6.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是__________________．【答案】【解析】因为，函数是单调增函数，且为奇函数，所以，即，所以，，解得，实数的取值范围是。
高中函数练习题及答案
高中函数练习题及答案【篇一：高一数学函数经典习题及答案】班级姓名一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴y?⑵y?⑶y?11?x?1?(2x?1)0?2、设函数f(x)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的定义域为_ __；函数f(?2)的定义域为________；23、若函数f(x?1)的定义域为[?2，3]，则函数f(2x?1)的定义域是；函数f(?2)的定义域为。
4、知函数f(x)的定义域为[?1, 1]，且函数f(x)?f(x?m)?f(x?m)的定义域存在，求实数m的取值范围。
1x二、求函数的值域5、求下列函数的值域：22⑴y?x?2x?3 (x?r) ⑵y?x?2x?3 x?[1,2] ⑶y?3x?13x?1⑷y? (x?5) x?1x?15x2＋9x?4⑸y? ⑹ y? ⑺y?x?3?x? ⑻y?x2?x 2x?1⑼y? ⑽y?4⑾y?x2x2?ax?b6、已知函数f(x)?的值域为[1，3]，求a,b的值。
2x?1三、求函数的解析式1、已知函数f(x?1)?x2?4x，求函数f(x)，f(2x?1)的解析式。
2、已知f(x)是二次函数，且f(x?1)?f(x?1)?2x2?4x，求f(x)的解析式。
3、已知函数f(x)满足2f(x)?f(?x)?3x?4，则f(x)= 。
4、设f(x)是r上的奇函数，且当x?[0,??)时，f(x)?x(1，则当x?(??,0)时f(x)=____ _ f(x)在r上的解析式为5、设f(x)与g(x)的定义域是{x|x?r,且x??1}，f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)?g(x)?求f(x)与g(x) 的解析表达式1，x?1四、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间：⑴ y?x?2x?3⑵y? ⑶ y?x?6x?17、函数f(x)在[0,??)上是单调递减函数，则f(1?x2)的单调递增区间是228、函数y?2?x的递减区间是；函数y? 3x?6五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ c ）⑴y1?(x?3)(x?5)， y2?x?5；⑵y1?x?1x?1 ， y2?(x?1)(x?1) ；x?3⑶f(x)?x， g(x)?2x2 ；⑷f(x)?x，g(x)?；⑸f1(x)?(2x?5)， f2(x)?2x?5。
高一数学函数试题及答案
高一数学函数试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = 2x + 3的值域是：A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)2. 已知函数f(x) = x^2 - 2x，x ∈ R，若f(x) = 0，则x的值为：A. 0B. 2C. -2D. 0 或 23. 函数y = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. π/44. 若函数f(x) = |x| + 1是奇函数，则下列哪个函数也是奇函数：A. f(x) + 2B. f(x) - 2C. 2f(x)D. 3f(x)5. 已知f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(-1)的值是：A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = 3x - 5的图象沿x轴向左平移2个单位，新的函数表达式为______。
7. 函数y = 2^x的反函数是______。
8. 函数f(x) = x^2 + 1在x = -1处的切线斜率是______。
9. 若函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 3x^2 + 2ax + b，当a = 2时，b的值为______。
10. 函数y = 1/x的图像关于______对称。
三、解答题（共75分）11. （15分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0, 6]上的单调区间。
12. （15分）求函数f(x) = sin(x) - cos(x)的值域。
13. （15分）若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，求f'(x)，并找出f(x)的极值点。
14. （15分）已知函数f(x) = 2x - 3，求f(x)的反函数，并证明其正确性。
15. （15分）证明函数f(x) = x^3在R上是增函数。
高一函数综合题(有答案及详解)
1.已知函数)1(+=x f y 定义域是[－2,3]，则)12(-=x f y 的定义域是（ ） A ． ]25,0[ B ．[－1,4] C. [－5,5] D ．[－3,7]2.若幂函数()a f x x =的图象过点(4,2)，则满足()11f x ->的实数x 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(2,+∞) C. (－1,1) D ．(－∞,2)3.已知函数()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈--∈---∈+=]2,21[,1)21,1[,2)1,2[,1x x x x x x x x f 则()x f 的值域为A.]2323[]225[，，---B.]2323[]21[，，-C.]223[，-D.]225[--， 4.函数562---=x x y 的值域为A ．[0,4]B ．(－∞,4]C ．[0,+∞)D ．[0,2]5.函数12)(3-+=x x x f 一定存在零点的区间是（ ） A ． )21,41( B ．)41,0( C. )1,21( D ．(1,2)6.设)4(log log ,)34()43(3434.05.0===c b a ，则( ).A.B.C.D.7.给出如下三个等式：①()()()f a b f a f b +=+；②()()()f ab f a f b =+；③()()()f ab f a f b =⨯.则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数是（ ） A ．2()f x x = B ．()3f x x = C. ()2x f x = D ．()ln f x x = 8.下列函数是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数的是 （ ）A ．21x y x +=B ．21x y x -= C. 22x xy -=+ D ．lg 1y x =+9.若函数()2e 21ln 1e 11x xt t x f x x x--+=⋅++--是偶函数，则实数t =（ ） A. －2 B. 2 C. 1 D. －110.函数()f x 为奇函数，定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则=+)2017()2016(f f ( )A ．－2B ．－1 C. 0 D ．111.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（ ） A ．y =x +x1 B ．y =2x ﹣2﹣x C ．y =log 2|x |D ．y =2x +2﹣x12.设函数()f x 在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A.()1y f x =在R 上为减函数 B.()y f x =在R 上为增函数 C.()2f x y -=在R 上为减函数D.()3y f x =-⎡⎤⎣⎦在R 上为增函数13.已知函数())20172017log 20172x x f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为 （ ）A .1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B.1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C.(0,+∞) D.(－∞,0)14.若函数2()log (2)a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间1(0,)2内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ． 1(,)4-∞-B ．1(,)4-+∞ C. (0,)+∞ D ．1(,)2-∞- 15.函数y=f （x ）与x x g )21()(=的图像关于直线y ＝x 对称,则2(4)f x x -的单调递增 区间为A ．(－∞,2) B ．（0,2） C ．（2,4） D ．（2,＋∞） 16.函数422y x x =-++的图像大致为（ ）17.函数f （x ）=ln （|x |﹣1）+x 的大致图象是（ ）A． B．C． D．18.函数f （x ）=32)2()44ln(-+-x x x 的图象可能是（ ）A． B． C． D．19.奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且f （2）=0，则不等式f （x ）＞0的解集是（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）B ．（﹣∞，0）∪（2，+∞）C ．（﹣2，0）∪（0，2）D ．（﹣2，0）∪（2，+∞）20.已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)12()(x x x a x a x f a 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (0,1)B ．)21,0( C. )1,61[ D ．)21,61[21.已知函数()()12,1{ 1log ,13xa a x f x x x -≤=+>当12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则a 的取值范围是（ ）A. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. 11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 102（，）D. 11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦22.若不等式()2log 14x a x +≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是 （ ） A ．(－∞,0] B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. [0,+∞) D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭23.设()()2210log 103x x f x x x ⎧--≤<⎪=⎨+≤≤⎪⎩，，，()1g x ax =+，若对任意的[]113x ∈-，，存在[]211x ∈-，，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)(]1001-，，B ．][()11-∞-+∞，，C ．[)(]2002-，，D ．][()22-∞-+∞，，24.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 25.已知函数⎩⎨⎧>+-≤-=0,20,)(2x x x x x x f ，若方程041)()(2=++x bf x f 有六个相异实根，则实数b 的取值范围（ ） A ． (－2,－1) B ． )1,45(--C. )0,45(- D ．(－2,0) 26.方程211log 1log 2x x ++=的解是____________. 27.若f （x ）+3f （﹣x ）=log 2（x +3），则f （1）= ． 28.函数23()log )f x x ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦的最小值为 ． 29.若3()ln(1)xf x e ax =+-是偶函数，则a = ． 30.函数)23(log )(22x x x g --=的单调递增区间为 ．31.设常数a ∈R ,函数()()a x x f +=2log ，若()x f 的反函数的图像经过点(3,1),则=a _____. 32.任意幂函数都经过定 点(),A m n ，则函数()()()log 01a f x n x m a a =+->≠且经过定点．33.已知函数3()ln(3bf x ax c x x =+-+-，(3)7f -=，则f (3)的值为 ．34.若函数()f x 满足：x R ∀∈,()()2f x f x +-=,则函数()221()1x x g x f x x ++=++的最大值与最小值的和为 .35.集合A ={x |41≤2x ≤21，x ∈R }，B ={x |x 2﹣2tx +1≤0}，若A ∩B =A ，则实数t 的取值范围是 ．36.已知函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，关于x 的方程0)(=-+a x x f 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 ．37.已知函数)1)1((log )(22+-+=x m mx x f . （1）当2=m 时，求)(x f 的值域；（2）若)(x f 的值域为R ，求实数m 的取值范围.38.已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域;（2）求函数()f x 的零点;（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值。
高一数学函数练习题
高一数学函数练习题一、选择题1. 下列函数中，奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = x^2 + 12. 已知函数f(x) = 2x + 1，那么f(1)的值为（）A. 1B. 1C. 3D. 33. 下列函数中，在区间(0, +∞)上单调递增的是（）A. y = 2xB. y = x^2C. y = 1/xD. y = 2^x4. 若函数f(x) = (x 1)^2，则f(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 1D. 2二、填空题1. 已知函数f(x) = 3x 2，则f(2) = ______。
2. 若函数g(x) = x^2 4x + 3，则g(3) = ______。
3. 函数h(x) = |x 1|的图像关于直线x = ______对称。
4. 若函数f(x) = (1/2)^x，则f(x)在区间______上单调递减。
三、解答题1. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(3)的值。
2. 已知函数g(x) = x^2 2x，求g(1)和g(2)的值。
3. 判断函数h(x) = |x|是否为奇函数。
4. 求函数f(x) = 3x^2 4x + 1在区间[1, 2]上的最大值和最小值。
5. 已知函数f(x) = (1/2)^x，求f(x)在区间[0, +∞)上的单调性。
6. 已知函数g(x) = 2x^3 3x^2，求g(x)的导数。
7. 判断函数h(x) = x^3 3x在区间(0, +∞)上的单调性。
8. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0），求f(x)的对称轴。
9. 求函数f(x) = x^2 2x + 1的图像与x轴的交点坐标。
10. 已知函数f(x) = 2x + 1，求f(x)的反函数。
四、应用题1. 某商品的成本函数为C(x) = 200 + 3x，其中x为生产数量，C(x)为成本。
求生产10件商品的总成本。
高一数学函数试题及答案
4．二次函数的图象经过三点 A(1 , 3), B(1,3),C(2,3) ，则这个二次函数的 24
解析式为
。
5．已知函数
f
(x)
x2
1
(x 0) ，若 f (x) 10 ,则 x
。
2x (x 0)
三、解答题
1．求函数 y x 1 2x 的值域。 2．利用判别式方法求函数 y 2x2 2x 3 的值域。
A．1 B． 0
C． 0 或1
D．1或 2
3．已知集合 A 1, 2,3, k, B 4,7, a4, a2 3a ，且 a N*, x A, y B
使 B 中元素 y 3x 1 和 A 中的元素 x 对应，则 a, k 的值分别为（ ）
A． 2,3 B． 3, 4 C． 3,5 D． 2,5
函数及其表示[提高训练 C 组]
一、选择题
1．若集合 S y | y 3x 2, x R，T y | y x2 1, x R ，
则 S T 是( )
A． S
B. T
C.
D.有限集
2．已知函数 y f (x) 的图象关于直线 x 1对称，且当 x (0,) 时，
x2
,
0 x
0
的图象是抛物线，
其中正确的命题个数是____________。
三、解答题
1．判断一次函数 y kx b, 反比例函数 y k ，二次函数 y ax2 bx c 的 x
单调性。
2．已知函数 f (x) 的定义域为 1,1 ，且同时满足下列条件：（1） f (x) 是奇函数；
二、填空题
1．函数 f (x) (a 2)x2 2(a 2)x 4 的定义域为 R ，值域为 ,0 ，
新教材高一数学必修第一册三角函数综合检测答案解析
新教材高一数学必修第一册三角函数综合检测答案解析一、单选题1．若()tan 2πα+=，则()()2sin 4sin cos 2παπαα⎛⎫----= ⎪⎝⎭（ ）A ．95- B ．75-C ．75D ．9575=-2．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin cos αα=（ ） A ．25B ．25-C ．45D ．45-3．函数22sin 2cos 3y x x =+-的最大值是（ ） A ．1- B ．12C ．12-D ．5-【答案】C【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二次函数的性质，求得函数的最大值. 【详解】()222sin 2cos 321cos 2cos 3y x x x x =+-=-+-1122-， 的最大值是12-的二次式求最值，属于基础题4()2x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ．6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．将函数()()sin 0,0g x A x A ωω=>>，的图象向左平移中()0ϕϕπω<<个单位后得到函数()y f x =的图象，若()y f x =的图象关于y 轴对称，且()()130f f -==，则ω的可能取值为（ ） A ．3 B ．13C ．32π D ．π6．设z ∵C ，且|z |＝1，当|（z ﹣1）（z ﹣i ）|最大时，z ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣iC D7．已知()sin (0)3f x x ωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：∵()()122f x f x -=时，12x x -的最小值为2π；∵3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；∵(0)6f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭.若()f x 在[0,)t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是 A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦8．已知1x ，2x ，是函数()()()tan 0,0f x x ωϕωϕπ=-><<的两个零点，且12x x -的最小值为3π，若将函数()f x 的图象向左平移12π个单位长度后得到的图象关于原点对称，则ϕ的最大值为（ ） A ．34πB ．4π C ．78π D ．8π二、多选题9．设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则（ ） A ．若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B ．若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C ．若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D ．若S ，l 确定，则α，r 唯一确定10．已知函数()sin f x x x =，则下列说法中正确的有（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,2] B ．直线是6x π=函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 在910109ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数11．已知函数()sin()0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为π2B ．函数()y f x =的图象关于直线19π12x =对称 C ．函数()y f x =在区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()1y f x =-在区间[]0,2π上有4个零点2112．若函数()()2ln 1=-+f x x ax 在区间[)2,+∞上单调递增，则下列实数可以作为a 值的是（ ）A ．4B ．52C ．2D ．0三、填空题13．若1cos 35πα⎛⎫+= ⎪，0,2πα⎛⎫∈ ⎪，则sin α=__________________．14．已知02πα<<，1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．15．若函数()()sin 0f x x ωω=>在()0π，上单调递增，则ω的取值范围是________________.16．已知()sin()4f x x ωϕ=+-（0,02ωϕ><<）为奇函数，且()y f x =的图像与x 轴的两个相邻交点之间的距离为π，设矩形区域Ω是由直线2x π=±和1y =±所围成的平面图形，区域D 是由函数()2y f x π=+、2x π=±及1y =-所围成的平面图形，向区域Ω内随机地抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是___________.2π四、解答题 17．已知tan α＝2. (1)求sin 3cos sin cos αααα-+的值；(2)求2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α的值.18．已知,(0,)αβπ∈，且11tan(),tan 27αββ-==-，求2αβ-的值.【详解】tan tan[(α=)tan[(β-=11tan 1,0,tan ,3472ππααββ=<∴<<=-∴<故答案为：34π-. 19．已知函数2()cos 3sin cos (0,)ωωωω=++>∈R f x x x x m m ．再从条件∵、条件∵、条件∵这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知． (1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围． 条件∵：函数()f x 的最小正周期为π；条件∵：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件∵：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择∵∵： 因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，()1f x =-. 所以函数()f x 的最小值为1-． 选择∵∵： 因为2ππ2T ω==，所以1ω=． 又因为函数()f x 的最大值为3322m +=， 所以0m =．所以π1()sin(2)62f x x =++．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时， πsin(2)16x +=-，所以函数()f x 的最小值为11122． 选择∵∵：因为1(0)12f m =+=，所以12m =-，因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m 的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去.（2） 选择∵∵： 令πsin(2)06x +=， 则π2π6x k +=，Z k ∈， 所以ππ212k x =-，Z k ∈． 当1,2k =时，函数()f x 的零点为5π11π,1212， 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点， 所以5π11π1212t ≤<． 所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 选择∵∵：令π1sin(2)062++=x ，则π722π+π66+=x k ，Z k ∈，或π1122π+π66+=x k ，Z k ∈， 所以ππ+2=x k ，Z k ∈，或5π+π6=x k ，Z k ∈． 当0k =时，函数()f x 的零点分别为π5π,26， 由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点， 所以π5π26t ≤<． 所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭．20．已知函数()ππ2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（∵）求π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（∵）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．21．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线=1x 对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-.(1)求()f x 的最小正周期，并用函数的周期性的定义证明；(2)当[1,2]∈x 时，求()f x 的解析式； (3)计算(0)(1)(2)(2018)f f f f ++++的值．【答案】(1)见解析 (2)2()21x f x -=- (3)1【分析】（1）结合已知条件，利用函数的对称关系即可求解； （2）利用函数的对称关系即可求解；（3）利用周期性和()f x 在[0,2]上的解析式即可求解. （1）因为函数()f x 是R 上的奇函数，且()f x 的图象关于直线=1x 对称， 所以()(2)()f x f x f x =-=--，不妨令t x =-，则(2)()f t f t +=-，即()(2)f t f t =-+， 从而(2)(22)(4)f t f t f t +=-++=-+，即()(4)f t f t =+， 即()f x 的一个周期为4，因为当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，即()f x 在[0,1]上的单调递增， 所以由奇函数性质可知，()f x 在[]1,1-上单调递增， 又由对称性可知，()f x 在[1,3]单调递减， 从而()f x 的最小正周期为4. （2）当[1,2]∈x 时，则2[0,1]x -∈，因为当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，且()f x 的图象关于直线=1x 对称， 所以当[1,2]∈x 时，2()(2)21x f x f x -=-=-. （3）由（1）（2）和()f x 的周期性可知，(0)=0f ，(1)1=f ，(2)0f =，(3)(1)(1)1f f f =-=-=-， 因为()f x 的最小正周期为4， 所以(0)(1)(2)(2018)505[(0)(1)(2)(3)](3)1f f f f f f f f f ++++=+++-=.22．如图，某自来水公司要在公路两侧安装排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通.已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排水管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排水管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90︒的角为α.（∵）求矩形区域ABCD内的排水管费用W关于α的函数关系；（∵）求排水管的最小费用及相应的角α.cosαcos cos cosαααα-⎛⎫sin24f x,()f x为增函数；。
完整版高一函数大题训练附答案解析
完整版高一函数大题训练附答案解析一、解答题1．已知a R ∈，当0x >时，()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）若函数()f x 过点()1,1，求此时函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若函数()()22log g x f x x =+只有一个零点，求实数a 的值；（Ⅲ）设0a >，若对任意实数1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在[],1t t +上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a 的取值范围. 2．已知偶函数满足：当时，，当时，.(1)求当时，的表达式； (2)试讨论：当实数满足什么条件时，函数有4个零点，且这4个零点从小到大依次构成等差数列.3．已知有穷数列{}n a 、{}n b （1,2,,n k =⋅⋅⋅），函数1122()||||||k k f x a x b a x b a x b =-+-+⋅⋅⋅+-.（1）如果{}n a 是常数列，1n a =，n b n =，3k =，在直角坐标系中在画出函数()f x 的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；（2）当n n a n b ==，7k m =（m ∈*N ）时，判断函数()f x 在区间[5,51]m m +上的单调性，并说明理由；（3）当n a n =，1n b n=，100=k 时，求该函数的最小值. 4．已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）记两个零点分别为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，求λ的取值范围.5．已知函数()()21f x x x a x R =--+∈. （1）当1a =时，求函数()y f x =的零点.（2）当30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数()y f x =在[]1,2x ∈上的最大值；（3）对于给定的正数a ，有一个最大的正数()T a ，使()0,x T a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()1f x ≤，试求出这个正数()T a 的表达式.6．已知2()2(1)3()=-++∈f ax x a x R a .（1）若函数()f x 在3[,3]2单调递减，求实数a 的取值范围；（2）令()()1=-f x h x x ，若存在123,[,3]2∈x x ，使得121()()2+-≥a h x h x 成立，求实数a 的取值范围.7．已知函数()2x f x =，2()log g x x =. （1）若0x 是方程3()2f x x =-的根，证明02x 是方程3()2g x x =-的根； （2）设方程5(1)2f x x -=-，5(1)2g x x -=-的根分别是1x ，2x ，求12x x +的值. 8．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，其中m n <，同时满足： ①()f x 在[],m n 内是单调函数：②当定义域为[],m n 时，()f x 的值域为[],m n ，则称函数()f x 是区间[],m n 上的“保值函数”，区间[],m n 称为“保值区间”.（1）求证：函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”；（2）若函数()2112f x a a x=+-（,0a R a ∈≠）是区间[],m n 上的“保值函数”，求a 的取值范围；（3）对（2）中函数()f x ，若不等式()22a f x x ≤对1≥x 恒成立，求实数a 的取值范围.9．已知函数()y f x =，x D ∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有()()f x T mf x +>成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T ，若恒有()()f x T mf x +=成立，则称函数()f x 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .（1）已知函数2()f x x ax =-+是[3,)+∞上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知1T =，()y f x =是[0,)+∞上m 级类周期函数，且()y f x =是[0,)+∞上的单调递增函数，当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使函数()cos f x kx =是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.10．已知函数()242 1.x xf x a =⋅--（1）当1a =时，求函数()f x 在[]3,0x ∈-的值域； （2）若()f x 存在零点，求a 的取值范围. 11．已知函数11()(,0)f x b a b R a x a x a=++∈≠-+且. （1）判断()y f x =的图象是否是中心对称图形？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由；（2）设()(1)g x b x =+，试讨论()()y f x g x =-的零点个数情况.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x ，且()()xf xg x e +=.（1）求函数()f x ，()g x 的解析式；（2）设函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭，记()1231n H n F F F F n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()*,2n N n ∈≥.探究是否存在正整数()2n n ≥，使得对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()2g x H n g x >⋅恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n 的值；若不存在，请说明理由.13．对于函数f （x ），若f （x 0）=x 0，则称x 0为f （x ）的“不动点”；若f [f （x 0）]=x 0，则称x 0为f （x ）的“稳定点”满足函数f （x ）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即A ={x |f （x ）=x }，B ={x |f [f （x ）]=x }． （Ⅰ）设f （x ）=x 2-2，求集合A 和B ； （Ⅱ）若f （x ）=x 2-a ，且满足∅A =B ，求实数a 的取值范围．14．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立．（1）函数()21f x x=+是否属于集合M ？请说明理由； （2）函数()2ln1af x x =∈+M ，求a 的取值范围； （3）设函数()23x f x x =+，证明：函数()f x ∈M ．15．记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数. （1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2xg x t=+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数；（3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.【参考答案】一、解答题1．（Ⅰ）()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭；（Ⅱ）0a =或14-；（Ⅲ）3[,)2+∞【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）将点()1,1 代入可得函数的解析式；（Ⅱ）函数有一个零点，即()22log 0f x x += ，根据对数运算后可得210ax x +-= ，将问题转化为方程有一个实根，分0a = 和0,0a ≠∆= 两种情况，得到a 值，最后再代入验证函数的定义域；（Ⅲ）首先根据单调性的定义证明函数的单调性，再根据函数的最大值减最小值()()11f t f t -+≤ 整理为()2110at a t ++-≥ ，对任意1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，0a > 时，区间为函数的单调递增区间，所以只需最小值大于等于0，求解a 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）函数()21log f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过点()1,1，()()21log 11f a ∴=+=， 1a ∴=，∴此时函数()21log 1(0)f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭（Ⅱ）由()22log 0f x x +=得221log 2log 0a x x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，211a x x ⎛⎫∴+⋅= ⎪⎝⎭化为210ax x +-=， 当0a =时，可得1x =，经过验证满足函数()g x 只有一个零点；当0a ≠时，令140a ∆=+=解得14a =-，可得2x =，经过验证满足函数()g x 只有一个零点， 综上可得：0a =或14-.（Ⅲ）任取()12,0,x x ∈+∞且12x x <，则210x x x ∆=->，()()11221222212121211221211221211log log log ,0,0,0,01,x ax x y f x f x a a x x x ax x x x a x ax x x ax x x ax x x ax x ⎛⎫⎛⎫+∆=-=+-+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭<∴<+<++∴<<+1122212log 0x ax x x ax x +∴<+，即0y ∆<，()f x ∴在()0,+∞上单调递减.∴函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()(),1f t f t +， ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫∴-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，整理得()2110at a t ++-≥对任意1,13t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令()()211h t at a t =++-，0,a >∴函数()h t 在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，103h ⎛⎫∴≥ ⎪⎝⎭，即11093a a ++-≥，解得32a ≥， 故实数a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题以对数函数为载体，考查了函数的零点，单调性，最值，恒成立问题，以及转化与化归的能力，综合性比较高，最后一问转化为了二次函数的问题，所以需熟练掌握二次函数的恒成立问题.2．（1）()()(2)f x x a x =+--；（2）①23a <+时，34m =；②4a =时，1m =；③10473a +>时，23201216a a m -+=. 【解析】 【详解】(1)因为f(x)为偶函数，只需用-x 代替中的x 即可得到当时，的表达式; (2)零点，与交点有4个且均匀分布.所以,然后再分或24a <<或或四种情况讨论求出m 的值．解：（1）设则，又偶函数所以，………………………3分（2）零点，与交点有4个且均匀分布（Ⅰ）时， 得，所以时， …………………………5分 （Ⅱ）24a <<且时 ， ，所以 时，……………………………7分（Ⅲ）时m=1时 符合题意………………… ……8分（IV ）时，，,m此时所以 （舍） 且时，时存在 ………10分综上： ①时，②时，③时，符合题意 ………12分3．（1）图象见解析；递减区间(],2-∞，递增区间[)2,+∞，最小值()22f =；（2）单调递增；理由见解析；（3）292071. 【解析】（1）根据条件采用零点分段的方法作出函数()f x 的图象，根据图象确定出()f x 的单调区间和最小值；（2）写出()f x 的解析式，根据[]5,51x m m ∈+分析函数()f x 的结构，从而判断出()f x 的单调性；（3）先根据条件证明出()f x 的单调性然后即可求解出()f x 的最小值. 【详解】 （1）如图所示，由图象可知：单调递减区间(],2-∞，单调递增区间[)2,+∞，最小值()22f =； （2）因为()112233...77f x x x x m x m =⋅-+-+-++-且[]5,51x m m ∈+, 所以()()()()()()()()()()12233...555151...77f x x x x m x m m m x m m x =-+-+-++-+++-++-， 所以()()()()()()()()()222222155517212...55152 (72)2m m m m m f x x m x m m m +⋅++⋅=-+++-++++++ ， 所以()()()()()()()222222222552425152...712 (52)m m m m f x x m m m m +--=++++++-+++，所以()()()()()()()2222222+35152...712 (52)m m f x x m m m m =++++++-+++且2302m m+>， 所以()f x 在[]5,51m m +上单调递增；（3）因为()12131...1001f x x x x x =-+-+-++-，显然当[)1,x ∈+∞时，()f x 单调递增，当(],0x ∈-∞时，()f x 单调递减， 设存在一个值()1*t N t ∈，使得10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，此时最小值即为1f t ⎛⎫⎪⎝⎭，下面证明1t存在：因为若要10,x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递减，1,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 递增，则有12112100......t t t t t t t t t-+++++>+++，解得：71t ≥，且()1221100 (1111111)t t t t t t t t t t -++++<+++≠------，解得：171t -<， 所以7172t ≤<，所以71t =，所以存在1171t =满足条件，故假设成立，综上可知：()f x 在1,71⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1+71⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上单调递增， ()()()()()()()min 1112170721731100171f x f x x x x x x ⎛⎫==-+-+⋅⋅⋅+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭292041971x =+=【点睛】本题考查数列与函数的综合应用，其中着重考查了函数单调性方面的内容，对学生的理解与分析能力要求较高，难度较难. 4．（1）10a e<<（2）1λ≥ 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点,对()g x 进行求导，通过单调性画出()g x 的草图，由()g x 与y a =有两个交点进而得出a 的取值范围; （Ⅱ）分离参数得：121a x x λλ+>+,从而可得()1122lnx a x x x =-恒成立；再令()12,0,1x t t x =∈,从而可得不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立，再令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．试题解析：（I ）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞， 所以方程ln 0x ax -=在()0,+∞有两个不同跟等价于函数()ln xg x x=与函数y a =的图像在()0,+∞上有两个不同交点.又()21ln xg x x-'=，即当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<, 所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减. 从而()()max 1g x g e e==. 又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →∞，在x →+∞时，()0g x →，所以()g x 的草图如下：可见，要想函数()ln x g x x =与函数y a =在图像()0,+∞上有两个不同交点，只需10a e<<. （Ⅱ）由（I ）可知12,x x 分别为方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =，22ln x ax =， 所以原式等价于()12121ax ax a x x λλλ+<+=+. 因为0λ>，120x x <<，所以原式等价于121a x x λλ+>+. 又由11ln x ax =，22ln x ax =作差得，()1122ln x a x x x =-，即1212ln x x a x x =-. 所以原式等价于121212ln1x x x x x x λλ+>-+. 因为120x x <<，原式恒成立，即()()1212121ln x x x x x x λλ+-<+恒成立. 令()12,0,1x t t x =∈，则不等式()()11ln t t t λλ+-<+在()0,1t ∈上恒成立. 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，则()()()()()()222111t t h t t t t t λλλλ--+=-=++'， 当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，()0h t '>，所以()h t 在()0,1t ∈上单调递增，又()()10,0h h t =<在()0,1t ∈恒成立，符合题意；当21λ<时，可见当()20,t λ∈时，()0h t '>；当()2,1t λ∈时，()0h t '<， 所以()h t 在()20,t λ∈时单调递增，在()2,1t λ∈时单调递减.又()10h =，所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式121ln ln x x λλ+<+恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根12,x x 的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数t ，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.5．（1）零点为11；（2）max12,0,21()1,1,2354,1,2a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()a a T a a a ⎧≥⎪=⎨+<<⎪⎩【解析】 【分析】（1）将1a =代入，令()0f x =，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（2）依题意，最大值在()()()1,2,2f f f a 中取得，然后分类讨论即可得出答案； （3）问题可转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立，分211a -+≤-及211a -+>-讨论得出答案． 【详解】（1）当1a =时，()2221,22121,2x x x f x x x x x x ⎧-++≥=--+=⎨-+<⎩，令2210-++=x x，解得：1x =1舍)； 令2210x x -+=，解得：1x =； ∴函数()y f x =的零点为11；（2）由题意得：()2221,221,2x ax x af x x ax x a ⎧-++≥=⎨-+<⎩，其中()()021f f a ==，30,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴最大值在()()()1,2,2f f f a 中取. 当021a <≤，即102a <≤时，()f x 在[]1,2上单调递减，()()max 12f x f a ∴==； 当122a a <<<，即112a <<时，()f x 在[]1,2a 上单调递增，[]2,2a 上单调递减， ()()max 21f x f a ∴==；当122a a ≤<<，即12a ≤<时，()f x 在[]1,a 上单调递减，[],2a 上单调递增，()()(){}max max 1,2f x f f ∴=；()()()()122254230f f a a a -=---=-<，()()max 254f x f a ∴==-；综上所述：()max12,0211,12354,12a a f x a a a ⎧<≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≤<⎪⎩；（3）()0,x ∈+∞时，0x -<，20x a -≥，()max 1f x ∴=，∴问题转化为在给定区间内()1f x ≥-恒成立.()21f a a =-+，分两种情况讨论：当211a -+≤-时，()T a 是方程2211x ax -+=-的较小根，即a ≥()T a a =当211a -+>-时，()T a 是方程2211x ax -++=-的较大根，即0a <<()T a a =；综上所述：()a a T a a a ⎧⎪=⎨<<⎪⎩ 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题. 6．（1）12a ≤（2）4([,).5∈-∞⋃+∞a 【解析】 【分析】（1）对a 讨论，0a =，0a >，0a <，结合二次函数的图象和单调性的性质，得到不等式组，解不等式即可得到a 的范围；（2）由题意可得在3[,3]2∈x 上，max min 1()()2+-≥a h x h x 成立， 1()(1)21ah x a x x -=-+--，令11[,2]2=-∈t x ，则11()2,[,2]2a g t a t t t -=⋅+-∈．对a 讨论，（i ）当0a ≤时，（ii ）当01a <<时，求出单调性和最值，即可得到a 的范围.【详解】（1）①当0a =时，()23f x x =-+，显然满足，②010123a a a a >⎧⎪⇒<<+⎨≥⎪⎩，③00132a a a a <⎧⎪⇒<+⎨≤⎪⎩， 综上实数a 的取值范围：12a ≤. （2）存在123,[,3]2∈x x ，使得121()()2+-≥a h x h x 成立即：在3[,3]2∈x 上，max min 1()()2+-≥a h x h x ，因为()1()(1)211-==-+---f x a h x a x x x ，令11[,2]2=-∈t x ， 则11()2,[,2]2a g t a t t t -=⋅+-∈ （i ）当0a ≤时，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递减，所以max min 1()()2+-≥a g t g t ，等价于112()(2)227+-≥⇒≤a g g a ，所以0a ≤； （ii ）当01a <<时，1()()2-=+-aa g t a t t ，()g t 在上单调递减，在)+∞上单调递增.①12≤时，即451a ≤<，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递增.由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到114(2)()225+-≥⇒≥a g g a ，所以451a ≤<.②2≥时，即105a <≤，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递减，由max min 1()()2+-≥a g t g t 得到112()(2)227+-≥⇒≤a g g a ，所以105a <≤.③当122<<时，即1455a <<，min ()=g t g ，最大值则在(2)g 与1()2g 中取较大者，作差比较13(2)()322-=-g g a ，得到分类讨论标准：a .当1152<<a 时，13(2)()3022-=-<g g a ，此时max 1()()2=g t g ，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到211()32409022a g g a a a +-≥⇒-+≥⇒≥或a ≤，所以15<≤ab .当1425≤<a 时，13(2)()3022-=->g g a ，此时max ()(2)=g t g ，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到14(2)25+-≥⇒≥≥a g g a a ，此时无解，在此类讨论中，54(0,[,1).85-∈⋃a c .当1a ≥，()g t 在1[,2]2t ∈上单调递增，由max min 1()()2+-≥a g t g t ，得到114(2)()225+-≥⇒≥a g g a ，所以1a ≥，综合以上三大类情况，4([,).5∈-∞⋃+∞a 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查运算能力，属于难题.7．（1）证明见解析（2）72【解析】（1）因为0x 是方程3()2f x x =-的根，即00322x x =-，将02x 代入()g x 根据对数的运算性质可得.（2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ，即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ，令1t x =-，设方程322t t =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-，结合（1）的结论及函数的单调性可求. 【详解】解：（1）证明：因为0x 是方程3()2f x x =-的根， 所以00322xx =-，即00322x x =- ()0002032log 222x x x g x ===- 所以，02x 是方程3()2g x x =-的根. （2）由题意知，方程1522x x -=-，25log (1)2x x -=-的根分别是1x ，2x ， 即方程132(1)2x x -=--，23log (1)(1)2x x -=--的根分别为1x ，2x ， 令1t x =-设方程322tt =-，23log 2t t =-的根分别为111t x =-，221t x =-， 由（1）知1t 是方程322tt =-的根，则12t 是方程23log 2t t =-的根. 令23()log 2h t t t =+-，则12t 是()h t 的零点， 又因为()h t 是(0,)+∞上的增函数，所以，12t 是()h t 的唯一零点，即12t 是方程23log 2t t =-的唯一根. 所以122tt =，所以1121322tt t t +=+=，即()()123112x x -+-=，所以1237222x x +=+=【点睛】本题考查函数方程思想，函数的零点问题，属于难题. 8．（1）证明见详解；（2）32a <-或12a >；（3）112a <≤【解析】 【分析】（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知()f m m =，()f n n =，转化为,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数()22g x x x =-在[]0,1x ∈时的值域为[]1,0-，不满足“保值函数”的定义， 因此函数()22g x x x =-不是定义域[]0,1上的“保值函数”.（2）因为函数()2112f x a a x=+-在[],m n 内是单调增函数， 因此()f m m =，()f n n =， 因此,m n 是方程2112x a a x+-=的两个不相等的实根， 等价于方程()222210a x a a x -++=有两个不相等的实根.由()222240a a a ∆=+->解得32a <-或12a >.（3）()2212a f x a a x=+-，()22a f x x ≤()22a f x x⇔≤⇔21222a a x x+--≤≤， 即为22122,122,a a x x a a x x ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩对1≥x 恒成立.令()12h x x x=+，易证()h x 在[)1,+∞单调递增， 同理()12g x x x=-在[)1,+∞单调递减. 因此，()()min 13h x h ==，()()min 11g x g ==-.所以2223,21,a a a a ⎧+≤⎨+≥-⎩解得312a -≤≤.又32a <-或12a >，所以a 的取值范围是112a <≤. 【点睛】本题主要考查了新概念，函数的单调性，一元二次方程有解，绝对值不等式，恒成立，属于难题.9．（1）1a <；（2）2m ≥；（3）当1T =时，2k n π=，n ∈Z ；当1T =-时，(21)k n π=+，n ∈Z .【解析】 【分析】（1）由题意f （x +1）＞2f （x ）整理可求得a ＜x ﹣121x --，令x ﹣1＝t （t ≥2），由g （t ）＝t 2t-在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数a 的取值范围；（2）由x ∈[0，1）时，f （x ）＝2x ，可求得当x ∈[1，2）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m •2x ﹣1，…当x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mn •2x ﹣n ，利用f （x ）在[0，+∞）上单调递增，可得m ＞0且mn •2n ﹣n ≥mn ﹣1•2n ﹣（n ﹣1），从而可求实数m 的取值范围；（3）f （x +T ）＝Tf （x ）对一切实数x 恒成立，即cos k （x +T ）＝T cos kx 对一切实数恒成立，分当k ＝0时，T ＝1；当k ≠0时，要使cos k （x +T ）＝T cos kx 恒成立，只有T ＝±1，于是可得答案． 【详解】（1）由题意可知：f （x +1）＞2f （x ），即﹣（x +1）2+a （x +1）＞2（﹣x 2+ax ）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x ﹣1）a ＜x 2﹣2x ﹣1， ∵x ≥3，∴a ()22122111x x x x x ----==--＜x ﹣121x --， 令x ﹣1＝t ，则t ∈[2，+∞），g （t ）＝t 2t-在[2，+∞）上单调递增，∴g （t ）min ＝g （2）＝1， ∴a ＜1．（2）∵x ∈[0，1）时，f （x ）＝2x ，∴当x ∈[1，2）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m •2x ﹣1，…当x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mf （x ﹣1）＝m 2f （x ﹣2）＝…＝mnf （x ﹣n ）＝mn •2x ﹣n ， 即x ∈[n ，n +1）时，f （x ）＝mn •2x ﹣n ，n ∈N *， ∵f （x ）在[0，+∞）上单调递增，∴m ＞0且mn •2n ﹣n ≥mn ﹣1•2n ﹣（n ﹣1）， 即m ≥2．（3）由已知，有f （x +T ）＝Tf （x ）对一切实数x 恒成立，即cos k （x +T ）＝T cos kx 对一切实数恒成立， 当k ＝0时，T ＝1； 当k ≠0时， ∵x ∈R ，∴kx ∈R ，kx +kT ∈R ，于是cos kx ∈[﹣1，1]， 又∵cos （kx +kT ）∈[﹣1，1]，故要使cos k （x +T ）＝T cos kx 恒成立，只有T ＝±1， 当T ＝1时，cos （kx +k ）＝cos kx 得到 k ＝2n π，n ∈Z 且n ≠0； 当T ＝﹣1时，cos （kx ﹣k ）＝﹣cos kx 得到﹣k ＝2n π+π， 即k ＝（2n +1）π，n ∈Z ；综上可知：当T ＝1时，k ＝2n π，n ∈Z ； 当T ＝﹣1时，k ＝（2n +1）π，n ∈Z ． 【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题，综合考查构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题． 10．（1）9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）0a >【解析】 【分析】（1）当1a =时，函数()()22221x x f x =--，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解． 【详解】（1）当1a =时，()()224212221x x x x f x =⋅--=--， 令2x t =，[]3,0x ∈-，则1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故221921248y t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故值域为9,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）关于x 的方程()222210x x a --=有解，等价于方程2210ax x --=在()0,∞+上有解记()221g x ax x =--当0a =时，解为10x =-<，不成立； 当0a <时，开口向下，对称轴104x a=<，过点()0,1-，不成立； 当0a >时，开口向上，对称轴104x a=>，过点()0,1-，必有一个根为正， 所以，0a >.【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数的零点问题的应用，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，属于基础题．11．（1）()y f x =的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b ；（2）当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a-≤≤时，有1个零点 【解析】 【分析】（1）设()()h x f x b =-，通过奇偶性的定义可求得()h x 为奇函数，关于原点对称，从而可得()f x 的对称中心，得到结论；（2）()()0y f x g x =-=，可知0x =为一个解，从而将问题转化为222b x a =-解的个数的讨论，即22222a b x a b b+=+=的解的个数；根据b 的范围，分别讨论不同范围情况下方程解的个数，从而得到零点个数，综合得到结果. 【详解】（1） 设()()11h x f x b x a x a=-=+-+ ()h x ∴定义域为：{}x x a ≠± ()()1111h x h x x a a x x a x a ⎛⎫-=+=-+=- ⎪---+-⎝⎭()h x ∴为奇函数，图象关于()0,0对称()y f x ∴=的图象是中心对称图形，对称中心为：()0,b （2）令()()110y f x g x bx x a x a=-=+-=-+ ()()20x b x a x a ⎡⎤∴-=⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦，可知0x =为其中一个解，即0x =为一个零点 只需讨论222b x a=-的解的个数即可 ①当0b =时，222b x a=-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点②当0b >时 ，2220x a b =+> x ∴=222b x a =-的解()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 ③当0b <时，22222a bx a b b+=+=（i ）若220a b +<，即22b a <-时，220a bb+>x ∴=222b x a =-的解 ()()y f x g x ∴=-有x =0x =共3个零点 （ii ）若220a b +=，即22b a =-时，222b x a =-的解为：0x = ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点（iii ）若220a b +>，即220b a -<<时，220a bb+<，方程222b x a =-无解 ()()y f x g x ∴=-有且仅有0x =一个零点 综上所述：当0b >或22b a <-时，有3个零点；当220b a-≤≤时，有1个零点 【点睛】本题考查函数对称性的判断、函数零点个数的讨论.解决本题中零点个数问题的关键是能够将问题转化为方程222b x a =-根的个数的讨论，从而根据b 的不同范围得到方程根的个数，进而得到零点个数，属于较难题. 12．（1）见解析；（2）2,3n = 【解析】 【分析】(1)已知()()x f x g x e +=，结合函数的奇偶性可得()()xf xg x e --=，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知()()g x f x 为奇函数，图象关于()0,0对称，则()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，利用对称性可得()H n ，然后利用恒成立问题解()()()2g x H n g x >⋅即可. 【详解】 （1）()()x f x g x e +=，()()x f x g x e --+-=函数()f x 为偶函数，()g x 为奇函数， ∴ ()()x f x g x e --=，()2x x e e f x -+∴=，()2x xe e g x --=. （2）易知()()g x f x 为奇函数，其函数图象关于()0,0中心对称，∴函数()12112g x F x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 即对任意的x R ∈，()()12F x F x -+=成立. ()12H n F F n n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12n n H n F F n n --⎛⎫⎛⎫∴=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 31n F F n n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.两式相加，得()112n H n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2233n n F F F F n n n n ⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11n F F n n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.即()()221H n n =-.()1H n n ∴=-.()()()2g x H n g x ∴>⋅，即()()221x x x x e e n e e --->--.()()()10x x x xe e e e n --⎡⎤∴-+-->⎣⎦.(]0,1x ∈，0x x e e -∴-> 1x x e e n -∴++>恒成立.令x t e =，(]1,t e ∈.则11y t t =++在(]1,e 上单调递增.1x x y e e -∴=++在(]0,1上单调递增.3n ∴≤.又已知2n ≥，2,3n ∴=. 【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.13．（Ⅰ）A ={-1，2}；B-13}（Ⅱ）[-14，34]【解析】 【分析】（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}；由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ；求解x 可得集合B ．（Ⅱ）理解A =B 时，它表示方程x 2-a =x 与方程（x 2-a ）2-a =x 有相同的实根，根据这个分析得出关于a 的方程求出a 的值． 【详解】（Ⅰ）由f （x ）=x 得x 2-x -2=0，解得x =-1，x =2，故A ={-1，2}； 由f （f （x ））=x ，可得f （x 2-2）=x ，即（x 2-2）2-（x 2-2）-2=x ； 即x 4-2x 3-6x 2+6x +9=0，即（x +1）（x -3）（x 2-3）=0，解得x =-1，x =3，xxB-13}； （Ⅱ）∵∅A =B ，∴x 2-a =x 有实根，即x 2-x -a =0有实根，则△=1+4a ≥0，解得a ≥-14由（x 2-a ）2-a =x ，即x 4-2ax 2-x +a 2-a =0的左边有因式x 2-x -a ， 从而有（x 2-x -a ）（x 2+x -a +1）=0． ∵A =B ，∴x 2+x -a +1=0要么没有实根，要么实根是方程x 2-x -a =0的根． 若x 2+x -a +1=0没有实根，则a ＜34；若x 2+x -a +1=0有实根且实根是方程x 2-x -a =0的根， 由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同， 故此时x 2+x -a +1=0有两个相等的根-12，此时a =34方程x 2-x -a =0可化为：方程x 2-x -34=0满足条件，故a 的取值范围是[-14，34]．【点睛】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．14．（1）见解析；（2）[33a ∈+；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）直接进行验证或用反证法求解；（2）由()2ln 1af x x =∈+M 得到方程()22lnlnln 1211aa ax x =++++在定义域内有解，然后转化成二次方程的问题求解；（3）验证函数()f x 满足()()()0011f x f x f +=+即可得到结论成立． 【详解】 （1）()21f x M x=+∉．理由如下： 假设()21f x M x=+∈， 则在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立， 即00221131x x +=+++，整理得2003320x x ++=，∵方程2003320x x ++=无实数解，∴假设不成立，∴()21f x M x=+∉． （2）由题意得()2ln+1a f x M x =∈， ()22ln ln ln 1211a a a x x ∴=++++在定义域内有解， 即()222220a x ax a ---+=在实数集R 内有解，当2a =时，12x =-，满足题意； 当2a ≠时，由0∆≥，得2640a a -+≤，解得33a ≤2a ≠，综上33a ≤∴实数a 的取值范围为33⎡⎣．（3）证明：∵()23x f x x =+，∴()()()()()000212000003113134232x x x f x f x f x x x +⎛⎫+-+=++---=+- ⎪⎝⎭， 又函数3x y =的图象与函数32y x =-+的图象有交点， 设交点的横坐标为a ，则3302a a +-=， ∴003302x x +-=，其中0x a =， ∴ 存在0x 使得()()()0011f x f x f +=+成立，∴()f x M ∈．【点睛】本题以元素与集合的关系为载体考查函数与方程的知识，解题的关键是根据题意中集合元素的特征将问题进行转化，然后再结合方程或函数的相关知识进行求解，考查转化能力和处理解决问题的能力．15．(1) 是ψ函数(2)见解析(3) 函数()h x 为周期函数【解析】【详解】试题分析：()1求出()11f x x=-的定义域，()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立转化成()()2222b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立，解出20b a =-=，，使得()11f x x=-为ψ函数()2只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，化简求得1b t=，2log a t =，满足条件()3图象关于直线x m =对称，结合()()h a x h a x b -++=，整体换元得()()()44h x m a b b h x h x ⎡⎤+-=--=⎣⎦，从而证明结论解析：（1）()11f x x =-是ψ函数 理由如下：()11f x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x+-=-+，即()()2a x a x b a x a x ++-+=-+. 所以()()2222b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-=从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.所以()11f x x=-是ψ函数. （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时， ()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b t t -++=++恒成立. 所以()()2222a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， 化简得，()()()2212222a x a x a bt b t t +--+=+-. 所以10bt -=,()22220a b t t +-=. 因为0t ≠，可得1b t =，2log a t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而()12x g x t=+是ψ函数. （3）函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以()()h m x h m x -=+ （1），又因为()()h a x h a x b -++= （2），所以当m a ≠时，()()222h x m a h m x m a ⎡⎤+-=++-⎣⎦由（1） ()()()22h m x m a h a x h a a x ⎡⎤⎡⎤=-+-=-=+-⎣⎦⎣⎦由（2） ()()b h a a x b h x ⎡⎤=---=-⎣⎦ （3）所以()()()44222222h x m a h x m a m a b h x m a ⎡⎤+-=+-+-=-+-⎣⎦（取22t x m a =+-由（3）得）再利用（3）式，()()()44h x m a b b h x h x ⎡⎤+-=--=⎣⎦.所以()f x 为周期函数，其一个周期为44m a -.当m a =时，即()()h a x h a x -=+，又()()h a x b h a x -=-+，所以()2b h a x +=为常数. 所以函数()h x 为常数函数， ()()12b h x h x +==，()h x 是一个周期函数. 综上，函数()h x 为周期函数点睛：本题主要考查知识点的是新定义函数，证明函数的特性，本题的解题关键是抓住新定义中的概念，可将问题迎刃而解．对于这类问题，我们要弄清问题的本质，在解题中适当的变形，已知条件的运用，函数周期性等的证明即可得证，本题有一定难度。
高一函数综合题训练
高一数学函数综合题一 二已知函数)0(42)(2>-+=x xx x f ，，)(x g 和)(x f 的图像关于原点对称。
（I ）求函数)(x g 的解析式；（II ）试判断)(x g 在)01(，-上的单调性，并给予证明；（III ）将函数()g x 的图象向右平移(0)a a >个单位，再向下平移(0)b b >个单位，若对于任意的a ，平移后()g x 和()f x 的图象最多只有一个交点，求b 的最小值。
三已知函数|2||10|2()2x x x a f x x a --⎧≥=⎨<⎩，（I ）当a =1时，求)(x f 最小值； （II ）求)(x f 的最小值)(a g ； （III ）若关于a 的函数)(a g 在定义域[]2,10上满足)1()92(+<+-a g a g ，求实数a 的取值范围．四若A={x|x 2-2x-3<0}，B={x|(21)x-a≤1} (1)当A ⋂B=Φ时，求实数a 的取值范围；（2） 当A ⊆B 时，求实数a 的取值范围；五已知二次函数f(x)=ax 2+bx ，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x 的实数x 称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点， (1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)= f(x)+x k +21x 2在 (0，36]上是单调减函数，求实数k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在区间[m ，n](m<n)，使得f(x)在区间[m ，n]上的值域为[km ，kn]？若存在，请求出区间[m ，n]；若不存在，请说明理由。
六函数()af x x x=+（a 为常数）的图象过点(2,0)， （Ⅰ）求a 的值并判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）函数()lg[()2]x g x f x m =+-在区间[2,3]上有意义，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）讨论关于x 的方程2()4f x t x x =+-（t 为常数）的正根的个数.七已知定义在[－1，1]上的奇函数()f x ，当(0,1]x ∈时，2()41xx f x =+.（1）求函数()f x 在[－1，1]上的解析式；（2）试用函数单调性定义证明：()f x 在(0,1]上是减函数；（3）要使方程()f x x b =+，在[－1，1]上恒有实数解，求实数b 的取值范围.八设f(x)为定义在实数集R 上的单调函数，试解方程：f(x+y)=f(x)·f(y)九．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124xxf x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；xx m m x g 2121)(⋅+⋅-=. （1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0>m ，函数()g x 在[]0,1上的上界是)(m T ，求)(m T 的取值范围.十已知.0>c设P ：函数xc y =在R 上单调递减． Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．1（I ）()2222422log log 2a a b a b a a b ⎧-+==⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩，所以2f(x )2+-=x x ， 因为R x ∈2log ，所以最小值为74……4分（II ）()[]⇒⎩⎨⎧<>)f(f(x))f(x f 1log 1log 22()()()()()22220,12,log log 00,11,22x x x x x x x ⎧∈+∞⎧->⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨∈--<⎪⎪⎩⎩U ……4分 2（I ）)0(42)(2<++-=x xx x g ， ……2分 (II) 递减。
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高一数学函数综合题一()()()[]?1log 1log 取)(的最小值log f 求)(12log log 且,f(x)222222)f(f(x))f(x f x .II x I ),(a f(a)b,a f b x x <>≠==+-=且何值时，当；二 已知函数)0(42)(2>-+=x x x x f ，，)(x g 和)(x f 的图像关于原点对称。
（I ）求函数)(x g 的解析式；（II ）试判断)(x g 在)01(，-上的单调性，并给予证明；（III ）将函数()g x 的图象向右平移(0)a a >个单位，再向下平移(0)b b >个单位，若对于任意的a ，平移后()g x 和()f x 的图象最多只有一个交点，求b 的最小值。
三已知函数|2||10|2()2x x x af x x a --⎧≥=⎨<⎩，（I ）当a =1时，求)(x f 最小值；（II ）求)(x f 的最小值)(a g ；（III ）若关于a 的函数)(a g 在定义域[]2,10上满足)1()92(+<+-a g a g ，求实数a 的取值范围．四若A={x|x 2-2x-3<0}，B={x|(21)x-a ≤1}(1)当A ⋂B=Φ时，求实数a 的取值范围；（2）当A ⊆B 时，求实数a 的取值范围；五已知二次函数f(x)=ax 2+bx ，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x 的实数x 称为函数f(x)的“不动点”，若函数f(x)有且仅有一个不动点，(1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)= f(x)+x k +21x 2在 (0，36]上是单调减函数，求实数k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，是否存在区间[m ，n](m<n)，使得f(x)在区间[m ，n]上的值域为[km ，kn]？若存在，请求出区间[m ，n]；若不存在，请说明理由。
六函数()af x x x =+（a 为常数）的图象过点(2,0)，（Ⅰ）求a 的值并判断()f x 的奇偶性；（Ⅱ）函数()lg[()2]x g x f x m =+-在区间[2,3]上有意义，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）讨论关于x 的方程2()4f x t x x =+-（t 为常数）的正根的个数.七已知定义在[－1，1]上的奇函数()f x ，当(0,1]x ∈时，2()41xx f x =+.（1）求函数()f x 在[－1，1]上的解析式；（2）试用函数单调性定义证明：()f x 在(0,1]上是减函数；（3）要使方程()f x x b =+，在[－1，1]上恒有实数解，求实数b 的取值范围.八设f(x)为定义在实数集R上的单调函数，试解方程：f(x+y)=f(x)·f(y)九．定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()11124x x f x a ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；x x m m x g 2121)(⋅+⋅-=.（1）当1a =时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域，并判断函数()f x 在(),0-∞上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（3）若0>m ，函数()g x 在[]0,1上的上界是)(m T ，求)(m T 的取值范围.十已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减．Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围．1（I ）()2222422log log 2a a b a b a a b ⎧-+==⎧⎪⇒⎨⎨=-+=⎩⎪⎩，所以2f(x )2+-=x x ， 因为R x ∈2log ，所以最小值为74 ……4分（II ）()[]⇒⎩⎨⎧<>)f(f(x))f(x f 1log 1log 22()()()()()22220,12,log log 00,11,22x x x x x x x ⎧∈+∞⎧->⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨∈--<⎪⎪⎩⎩……4分 2（I ）)0(42)(2<++-=x xx x g ， ……2分 (II) 递减。
任意取)01(,21，-∈x x 且21x x <，则2,222121->+>x x x x ()02)()(21211221>⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=-x x x x x x x g x g ，所以)(x g 在)01(，-上递减； ……6分 （III ）同理可知)(x g 在)1(--∞，上递增，且)(x g 和)(x f 关于原点对称。
故要使得平移后2个函数的图象最多只有一个交点，则只需要将)(x g 向下平移2max )(x g 个单位，因此 b 的最小值为2 ……10分3、（I ）当a=1时，)(x f 最小值1)2(=f ； ……3分（II ）⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<≥≤=--106,262,210,21)(102a a a a a g a a ， ……8分（III ）)1()92(+<+-a g a g 711029222810129113235(38)(2)0a a a a a a a a a ⎧>>-⎪⎧>-+>⎪⎪⇔>+>⇒>>⇒>>⎨⎨⎪⎪-+>--+>⎩⎪⎩……12分4、若A={x|x 2-2x-3<0}，B={x|(21)x-a ≤1}(1)当A ⋂B=Φ时，求实数a 的取值范围； (2) 当A ⊆B 时，求实数a 的取值范围；解：(1) A=(-1，3)，B=[a ，+∞) ………………………………………………2′ ∵A ⋂B=Φ，∴a ≥3；………………………………………………4′ (2)∵A ⊆B ，∴a ≤-1。
………………………………………………6′5已知二次函数f(x)=ax 2+bx ，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x 的实数x 称为函数f(x)的不动点，若函数f(x)有且仅有一个不动点， (1)求f(x)的解析式； (2) 若函数g(x)= f(x)+x k +21x 2在 (0，36]上是单调减函数，求实数k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在区间[m ，n](m<n)，使得f(x)在区间[m ，n]上的值域为[km ，kn]？若存在，请求出区间[m ，n]；若不存在，请说明理由。
解：(1)f(x+1) =a(x+1) 2+b(x+1) = ax 2+(2a+b)x+a+b 为偶函数，∴2a+b=0，∴b=-2a ，∴f(x)=ax 2-2ax ，…………………………………………………………2′ ∵函数f(x)有且仅有一个不动点，∴方程f(x)=x 有且仅有一个解，∴ax 2-(2a+1)x=0有且仅有一个解，∴2a+1=0，a=-21，∴f(x)= -21x 2+x …………………………………………………5′ (2) g(x)= f(x)+x k +21x 2=x+xk在 (0，36]上是单调增函数，当k ≤0时，g(x)= x+xk在(0，+∞)上是单调增函数，∴不成立；……………………………7′当k>0时，g(x)= x+x k 在(0，k ]上是单调减函数，∴36≤k ，∴k ≥32…………………10′ (1) ∵f(x)= -21x 2+x= -21(x-1)2+21≤21，∴kn ≤21，∴n ≤k21≤43<1， ∴f(x)在区间[m ，n]上是单调增函数…………………………………………………………11′ ∴⎩⎨⎧==kn n f km m f )()(，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-kn n n kmm m 222121，方程kx x x =+-221的两根为0，2-2k ………………12′当2-2k>0，即32≤k<1时，[m ，n]= [0，2-2k]………………………………………………13′ 当2-2k<0，即k>1时，[m ，n]= [2-2k ，0]……………………………………………………14′ 当2-2k=0，即k=1时，[m ，n] 不存在…………………………………………………………因为1223x x ≤<≤，则21()()0h x h x ->，故()h x 在[2,3]x ∈递增，67解：（1）2(01)41()0(0)2(10)41xx xx x f x x x ⎧ <≤⎪+⎪⎪= = ⎨⎪⎪- -≤<⎪+⎩ 3分（2）证：设1201x x <<≤则12211212(21)(22)()()(41)(41)x x x x x x f x f x +---=++>0 ∴()f x 在(0,1]上是减函数. 8分 （3）方程()b f x x =-在[－1，1]上恒有实数解，记()()g x f x x =-，则()g x 为(0,1]上的单调递减函数.∴31()[,)52g x ∈- 由于()g x 为[－1，1]上奇函数，故当[1,0)x ∈-时13()(,]25g x ∈- 而()0g x =∴ 33()[,]55g x ∈-，即33[,]55b ∈- 12分8由已知可得：f(x 1)f(x 2)…f(x n )=f(x 1+x 2+⋯+x n ),令x 1=x 2=⋯噢=x n =x 时， [f(x)]n =f(nx) ,取a=f(1),则f(n)=a n ,再令x=1/n,所以：[f(1/n)]n =f(1) 因为f(x)定义在R 上，n 为偶数时，必有f(1)≥0,这样a ≥0,这时:f(1/n)=na 1 若m 为正整数，利用上式：i n mn a a f f f m m nn n n m ===++=)()]([)()(1111 原方程中：令y=0,因为f(x)单调，f(0)=1=a 0 令y=-x=-nm,则有f(nm )f(-nm )=1,故f(-nm )=nm a- 且可知a>0于是在有理数范围内得到函数方程的解是：f(x)=a x (a>0)当x=α为无理数时，设i i b a ,分别是α的精确到小数点后i 位，不足近似值和过剩近似值，当f(x)为增函数时，有)()()(i i b f f a f <<α, f(x)为减函数时，有)()()(i i b f f a f >>α，而：i i b i a i a b f a a f ==)(,)(，于是可以得到：ααa f =)(故原方程的解为：f(x)=a x (a>0且a ≠1)9解：（1）当1a =时，11()124x xf x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为)(x f 在(),0-∞上递减，所以()(0)3f x f >=，即)(x f 在(),1-∞的值域为()3,+∞ 故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立,所以函数()f x 在(),1-∞上不是有界函数。