用矩阵的初等变换求逆矩阵
线性代数课件2-6利用初等变换求逆矩阵
kA j Aj A m m 1 A1
定理3
任一 m n 矩阵 A ，一定存在有限
个 m 阶初等阵 P1 , P2 , , Ps 和 n 阶初等阵 Q 1 , Q 2 , , Qt , 使
Er Ps P1 AQ 1 Q t 0
E ( i k ( j ))
( i 列） ( j 列 )
初等矩阵具有下列性质 （1）初等矩阵都是可逆阵，且它们的逆阵
仍为同类初等阵，即
E (i, j ) E (i, j )
1
E ( i ( kLeabharlann )) E1(i(
1 k
))
E ( i k ( j )) E ( i ( k )(
1
j ))
（2）对m×n矩阵A作一次初等行变换，相 当于在A的左边乘上一个m阶相应的初等阵； 对m×n矩阵A作一次初等列变换，相当于在 A的右边乘上一个n阶相应的初等阵。
证明：
仅证行变换的情况。
将 m n 阵 A ( a ij ) 按行分成
a 11 a 21 A a m1
E ( i ( k ))
（ i列 ）
(3)消法初等阵 将E的第j行的k倍加到第i行
（或第i列的k倍加到第j列）得到的方阵，
记为E(i+k(j)),即
1 1 k 1 (i行 ) ( j行 ) 1
1 0 1 1 1 0 1 1
( i 行） （ j 行） 1
(2)倍法初等阵 用非零常数k乘E的第i行
（列）得到的方阵，记为E(i(k)),即
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵是线性代数中的一个重要问题，可以应用于许多领域，如图像处理、计算机视觉、机器学习等。
初等变换法是一种常用的求解逆矩阵的方法，其基本思想是通过一系列初等变换将原矩阵转换为单位矩阵，然后将同样的初等变换应用于单位矩阵，最终得到逆矩阵。
初等变换包括三种：交换矩阵的两行（列）、某一行（列）乘以
一个非零数、把某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
这些变换可以通过左乘一个对应的初等矩阵来实现，例如对于一个3阶矩阵，交换第1行和第2行可以通过左乘如下的初等矩阵实现：
[0 1 0]
[1 0 0]
[0 0 1]
通过这些初等变换的组合，可以将任意一个矩阵转化为一个行阶梯矩阵或者一个简化的行阶梯矩阵，即一个上三角矩阵。
然后通过将同样的初等变换应用于单位矩阵，就可以得到逆矩阵。
需要注意的是，如果原矩阵不可逆，即行向量或列向量之间线性相关，那么不能求出逆矩阵。
此外，初等变换法的时间复杂度为O(n^3)，对于大规模矩阵可能不适用，需要使用其他方法。
- 1 -。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是线性代数中一个非常重要的概念，它在解线性方程组、求解矩阵方程等问题中具有重要作用。
本文将介绍解逆矩阵的三种常用方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接求解逆矩阵的方法。
对于一个n阶方阵A，它的伴随矩阵记为adj(A)。
首先，计算矩阵A的代数余子式构成的余子式矩阵A*，即A* = [Cij]，其中Cij是A的元素a_ij的代数余子式。
然后，将A*的转置矩阵记为adj(A)。
最后，计算逆矩阵A^-1 = adj(A) /det(A)，其中det(A)是矩阵A的行列式。
方法二：初等变换法初等变换法是通过一系列的初等行变换将矩阵A变为单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的变换，得到的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵。
初等变换包括以下三种操作：1.对其中一行(列)乘以非零常数；2.交换两行(列)；3.其中一行(列)乘以非零常数加到另一行(列)上。
具体步骤如下：1.构造增广矩阵[A，I]，其中A是待求逆矩阵，I是单位矩阵；2.对增广矩阵进行初等行变换，使左侧的矩阵部分变为单位矩阵，右侧的部分就是待求的逆矩阵；3.如果左侧的矩阵部分无法变为单位矩阵，则矩阵A没有逆矩阵。
方法三：分块矩阵法当矩阵A有一些特殊的结构时，可以使用分块矩阵法来求解逆矩阵。
例如，当A是一个分块对角矩阵时，可以按照分块的大小和位置将其分解为几个小矩阵，然后利用分块矩阵的性质求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将方阵A进行分块，例如，将A分为4个分块：A=[A11A12;A21A22]；2.根据分块矩阵的性质，逆矩阵也是可以分块的，即A的逆矩阵为A^-1=[B11B12;B21B22]；3.通过求解分块矩阵的逆矩阵，可以得到原矩阵的逆矩阵。
以上就是解逆矩阵的常用三种方法：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
无论是在理论研究还是在实际应用中，这些方法都具有重要的作用。
在求逆矩阵时，我们可以根据具体的情况选择合适的方法，以获得高效、准确的计算结果。
线性代数：初等变换法求逆矩阵(finalff3)
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
初等变换法求逆矩阵
1 0 0 1 3 2 r2 （ 2）
0 0
2 0
0 1
3 1
6 1
5 1
r3
（ 1）
r2
（
2） 1 A01
0 1
10 03
r3
（
1）
0
0
2 11
13
3 3
2
1
3532 .
2 11
52
说明：（1）将(A E)化为行最简形矩阵； （2）此方法中只能作初等行变换.
一、初等变换法求逆矩阵
例1
设
1 A 2
2 2
13,求 A1.
3 4 3
解
A
E
1 2
2 2
3 1
1 0
0 1
0 0
3 4 3 0 0 1
r2 2r1 1 2 3 1 0 0 r1 r2 0 2 5 2 1 0
r3
（
1）
0 0
0 1 0
0 0 1
3 2 1
23 ， 3
3 2 X 2 矩阵[重点 掌握]
初等行变换
(A E)
( E A1).
2.初等变换法的解矩阵方程
初等行变换
(A B)
(E
A 1 B )
初等变换法求逆矩阵
引入：公式法求逆矩阵的缺点 一、初等变换法求逆矩 二、方法推广
引入：公式法求逆矩阵的缺点
逆矩阵的计算公式 A1 1 A A
适用范围：二阶、三阶的方阵.
缺点：当矩阵的阶数比较高时，求伴随矩阵 计算量太大,不易实施.
初等列变换求可逆矩阵
初等列变换求可逆矩阵1. 什么是初等列变换？初等列变换是矩阵运算中的一种操作，通过对矩阵的列进行变换，可以改变矩阵的形状和性质。
初等列变换包括三种操作：交换两列的位置、用一个非零常数乘以某一列、将某一列的倍数加到另一列上。
2. 可逆矩阵的定义在矩阵理论中，可逆矩阵也称为非奇异矩阵或满秩矩阵。
一个n阶矩阵A是可逆的，当且仅当存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
3. 初等列变换与可逆矩阵的关系初等列变换可以改变矩阵的形状和性质，包括矩阵的秩。
对于一个n阶矩阵A，如果通过一系列的初等列变换可以将A变为单位矩阵I，那么矩阵A就是可逆的。
证明：假设矩阵A经过一系列的初等列变换可以变为单位矩阵I，即存在一系列的初等矩阵P1, P2, …, Pn，使得Pn * … * P2 * P1 * A = I。
我们知道，初等矩阵的逆矩阵也是一个初等矩阵，所以可以将上式变为Pn * … * P2 * P1 * A * (Pn * … * P2 * P1)^-1 = I * (Pn * … * P2 * P1)^-1。
由于单位矩阵乘以任何矩阵等于该矩阵本身，并且任何矩阵乘以单位矩阵等于该矩阵本身，所以上式可以进一步简化为 A * (Pn * … * P2 * P1)^-1 = I。
因此，A的逆矩阵等于(Pn * … * P2 * P1)^-1，即矩阵A是可逆的。
4. 初等列变换的具体操作4.1 交换两列的位置交换矩阵A的第i列和第j列的位置，可以用一个初等矩阵Pij来表示。
初等矩阵Pij是一个单位矩阵I，将第i列和第j列交换位置后得到的矩阵。
例如，对于一个3阶矩阵A，交换第1列和第2列的位置，可以用初等矩阵P12来表示：P12 = [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]则有 P12 * A = B，其中B是将A的第1列和第2列交换位置后得到的矩阵。
4.2 用一个非零常数乘以某一列用一个非零常数k乘以矩阵A的第i列，可以用一个初等矩阵Pi(k)来表示。
用矩阵的初等变换求逆矩阵_百度文库.
用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4 对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。
即4.推论 A可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E，其中E为与A 同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E 的位置变换为我们所要求的,即三，讲解例题1. 求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。
例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）对一般的矩阵方程求解，我们可以先求，然后求X＝B。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的B即为所求矩阵方程的X。
例解：。
1.6 用初等变换求逆矩阵(崔丽鸿)
1 9
1 9
0
Linear Algebra
BUCT
注：
Chapter 1 Matrix
1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终,不能夹 杂任何列变换.
2. 若作初等行变换时,出现全行为0，则矩阵的 行列式等于0. 结论：矩阵不可逆!
例如对矩阵
1 A 2
0
由于 A E
1 1 0 1 0 0
解：
A
E
1 1
1 2
9 0
0 0
1 0
0 1
r2 (1)r1 1 1 0 1 0 0
r3 (1)r1
0 0
0 1
9 0
1 1
1 0
10
Linear Algebra
BUCT
Chapter 1 Matrix
§ ������. ������
Linear Algebra
Chapter 1 Matrix BUCT
Chapter 1 Matrix
首先给出下面的定理2
定理2：设A为n阶方阵，则以下命题是等价的． （1）A是可逆矩阵； （2）A与单位矩阵等价； （3）A可以表示成有限个初等矩阵的乘积； （4）A可经过有限次初等行（或列）变换化为单位 矩阵．
r1 (1)r3
1
0 0
1 0 1
0 9 0
1 1 1
0 1 0
0
0 1
1 9 r2
r2 r3
1 0
0
0 1
0
0 0
1
2 1 1
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵的初等变换法
求逆矩阵的初等变换法是通过一系列初等行变换将原矩阵变为一个单位矩阵，同时对应地进行相同的初等行变换，得到的另一个矩阵即为所求的逆矩阵。
初等行变换包括以下三种：
1. 交换矩阵的两行；
2. 用一个非零常数乘以矩阵的某一行；
3. 将矩阵的某一行乘以一个非零常数加到另一行上。
为保持矩阵的行列式结果不变，进行第一种和第三种初等行变换时，需要对矩阵进行相应的初等列变换，具体方法是将对应的列进行同样的初等列变换。
通过一系列这样的初等变换，可以将一个矩阵变为单位矩阵。
对应地，进行相同的初等变换，得到的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。
需要注意的是，若原矩阵不可逆，则无法求得逆矩阵。
求解逆矩阵的常用三种方法
求解逆矩阵的常用三种方法逆矩阵是一个矩阵的逆操作，即找到一个矩阵，与原矩阵相乘后得到单位矩阵。
逆矩阵在线性代数中具有重要的应用，比如求解线性方程组、计算矩阵的行列式等。
在实际应用中，常用的求解逆矩阵的方法包括：伴随矩阵法、初等变换法和分块矩阵法。
第一种方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶矩阵A，如果它的行列式不为0，那么它存在逆矩阵。
首先计算矩阵A的伴随矩阵，记作Adj(A)，然后用伴随矩阵除以原矩阵A的行列式，即可得到逆矩阵。
具体步骤如下：1. 计算矩阵A的行列式det(A)；2. 计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，其中第i行第j列的元素等于原矩阵A的代数余子式Aij的行列式乘以(-1)^(i+j)；3. 将伴随矩阵Adj(A)的每个元素除以原矩阵A的行列式det(A)，得到逆矩阵A^(-1) = Adj(A)/det(A)。
第二种方法是初等变换法。
利用矩阵的初等行变换和初等列变换来求解逆矩阵。
具体步骤如下：1.将原矩阵A和单位矩阵I进行横向拼接，得到一个增广矩阵[A,I]；2.对增广矩阵进行行变换，将矩阵A变为单位矩阵I，同时单位矩阵I经过相同的行变换得到逆矩阵A^(-1)；3.若矩阵A无法通过行变换变为单位矩阵I，则矩阵A不可逆。
第三种方法是分块矩阵法。
将原矩阵A按照其中一种方式进行分块，然后通过对分块矩阵进行运算来求解逆矩阵。
常见的分块矩阵法有Schur补法和Sherman–Morrison公式法，这里以Schur补法为例进行说明。
1.将原矩阵A分解为分块矩阵，例如A=[B,D;E,F]；2.利用矩阵分块的性质求解逆矩阵，A^(-1)=[B^(-1)+B^(-1)D(X-F^(-1)E)B^(-1),-B^(-1)DF^(-1);-F^(-1)EB^(-1),F^(-1)+F^(-1)EHF^(-1)]，其中X=(F-EF^(-1)D)^(-1)；3.若分块矩阵的逆存在，即B可逆、F可逆且B-DF^(-1)E可逆，那么原矩阵A也存在逆矩阵。
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的计算方法逆矩阵在线性代数中扮演着重要的角色，它在解线性方程组、求解线性变换的逆变换等方面具有重要的应用价值。
本文将介绍逆矩阵的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要明确什么是逆矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n 阶方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与否对于方阵的可逆性有着重要的意义。
接下来，我们将介绍逆矩阵的计算方法。
在实际应用中，我们通常采用以下两种方法来计算逆矩阵。
一、初等行变换法。
初等行变换法是一种常用的计算逆矩阵的方法。
我们可以通过对原矩阵进行一系列的初等行变换，将原矩阵变换成单位矩阵，此时原矩阵经过的一系列变换即为逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将原矩阵A与单位矩阵In拼接在一起，即构成一个2n阶的矩阵[A | In]。
2. 通过一系列的初等行变换，将矩阵[A | In]变换成[In | B]，此时B即为原矩阵A的逆矩阵。
需要注意的是，初等行变换包括三种操作，互换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
在进行初等行变换的过程中，需要保证每一步的变换都是可逆的，以确保得到的逆矩阵是正确的。
二、伴随矩阵法。
另一种常用的计算逆矩阵的方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^-1 = (1/|A|)·adj(A)。
其中|A|为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算过程较为复杂，需要先求出原矩阵A的代数余子式矩阵，然后将其转置得到伴随矩阵。
需要注意的是，以上两种方法都要求原矩阵是可逆的，即其行列式不为0。
如果原矩阵不可逆，则不存在逆矩阵。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的计算方法。
初等行变换法适用于一般的矩阵求逆问题，而伴随矩阵法则在理论推导和证明中有着重要的作用。
总之，逆矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它在解决线性方程组、求解线性变换的逆变换等问题中具有广泛的应用。
初等变换求逆矩阵提取某行公因式
初等变换求逆矩阵提取某行公因式哎呀，今天我们来聊聊怎么用初等变换求逆矩阵，顺便提取某行的公因式。
你别看这名字有点复杂，其实也不是什么高深的数学，只要你用点心思，咱们把它拆开来一点点弄清楚，保证你能轻松搞定。
其实说白了，矩阵的逆矩阵就像是你生活中的“反向操作”，什么都能反过来做。
就像有时候你做饭忘了加盐，你不慌，盐是有补救的！矩阵也是，想把它反过来，也能通过一些操作搞定。
今天我们要做的就是通过初等变换让矩阵倒回去，然后提取某一行的公因式，这样就能让事情变得更加简洁明了。
首先啊，你得知道什么是初等变换。
其实这玩意儿就像是你搬家时拆家具：有时候得把沙发腿卸了，有时候得把电视搬走。
这些“拆卸”操作不会改变家具的本质，只是让它变得更易于搬运。
对于矩阵而言，初等变换就是对矩阵进行一些“拆解”操作，比如交换两行、给一行乘上一个数，或者用一行去减另一行的某些倍数。
你看，操作简单吧？但是这些看似不起眼的小动作，最后就能帮你把矩阵从“混乱的状态”恢复到清晰的“整齐”状态。
那么我们进入正题。
假设你有一个矩阵，要想通过初等变换求出它的逆矩阵。
你可以把这个矩阵和一个单位矩阵拼在一起（当然是横着拼，别弄错了），然后通过初等变换一步步把它化简，最后让它变成单位矩阵。
这样一来，另一部分就会变成你要找的逆矩阵。
听着是不是有点复杂？别急，咱们举个例子看看怎么做。
假设你有一个2x2的矩阵：A = begin{pmatrix a & b c & d end{pmatrix。
那么你就把它和单位矩阵拼在一起：begin{pmatrix a & b & 1 & 0 c & d & 0 & 1 end{pmatrix。
然后开始用初等变换来简化它。
比如，首先可以让第一行的第一个元素变成1（如果它本来不等于1），然后用第一行去减第二行的某些倍数。
渐渐地，你就能把矩阵的左半部分变成单位矩阵，右半部分就是它的逆矩阵啦！是不是很神奇？其实这就是数学的魅力，看似难的东西，经过一点点操作，你就能搞定它。
2_4_2等价矩阵、用初等行变换求逆矩阵
所以
11 7 6 6 1 3 X= 2 2 5 13 6 6
解法一 由AX=B可得X=A－1B, 所以
17 2 5 1 1 7 11 1 1 X 6 9 0 3 0 3 6 3 9 7 2 1 2 0 5 13
解法二 由AX=B可得X=A-1B,
11 1 2 1 1 1 r 2 r r 1 0 0 7 6 6 r2 ( 1) 3 r3 1 2 3 3 1 3 1 0 1 0 0 1 0 2 2 2 2 0 0 1 5 13 0 0 1 5 13 6 6 6 6
2－4－2 等价矩阵、
用初等行变换求逆矩阵
定义2.5 若矩阵A可以经过有限次初等变换化为矩阵
B, 则称矩阵A与矩阵B是等价的。
矩阵的等价性具有下列三个性质 （ⅰ）反身性: 任何矩阵都与自身等价; （ⅱ）对称性: 若矩阵A与B等价, 则B与A也等价; （ⅲ）传递性: 若矩阵A与B等价, 且B与C也等价, 则A 与C也等价. 推论 矩阵A与B等价的充分必要条件是存在有限个初 等矩阵P1, P2, …,Pl和Q1, Q2, …,Qt, 使得 A=Pl…P2P1BQ1Q2…Qt
1 1 2 0 1 6 3 r1 +r3 0 1 0 3 2 0 0 0 1 7 1 6 3 5 1 r 2r 1 0 0 17 6 3 6 1 2 3 1 1 0 1 0 0 2 2 2 1 0 0 1 7 1 1 6 6 3 6 1 6
所以有:
5 1 17 6 3 6 3 1 1 A 2 0 2 7 1 1 6 3 6
逆矩阵求解方法及matlab应用
逆矩阵求解方法及matlab应用矩阵是线性代数中的基本概念，它广泛应用于各个领域中。
在实际应用中，矩阵求解是一项非常重要的工作，而逆矩阵是矩阵求解中的一个重要概念。
本文将介绍逆矩阵的概念、求解方法以及在matlab 中的应用。
一、逆矩阵的概念逆矩阵是矩阵求解中的一个重要概念，它是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它就是可逆矩阵，否则就是不可逆矩阵。
二、逆矩阵的求解方法1.初等变换法初等变换法是求解逆矩阵的一种基本方法，它是通过对矩阵进行初等行变换或初等列变换，得到一个单位矩阵，然后将这些变换逆序执行，就可以得到原矩阵的逆矩阵。
以3阶方阵为例，假设原矩阵为A，逆矩阵为B：（1）将A的行列式化为1对A进行初等行变换，将第一行除以A的行列式，得到：（2）将A的第一列化为单位矩阵对A进行初等列变换，将第一列变为单位矩阵，得到：（3）将A的第二列和第三列化为0对A进行初等列变换，将第二列和第三列分别变为0，得到：（4）将A的第二行和第三行化为单位矩阵对A进行初等行变换，将第二行和第三行分别变为单位矩阵，得到：（5）将A的第一列变为0对A进行初等列变换，将第一列变为0，得到：（6）将A的第一行变为0对A进行初等行变换，将第一行变为0，得到：最终得到的矩阵就是逆矩阵B。
2.伴随矩阵法伴随矩阵法是求解逆矩阵的另一种方法，它通过求解伴随矩阵和行列式，得到逆矩阵。
以3阶方阵为例，假设原矩阵为A，逆矩阵为B：（1）求解伴随矩阵首先求解A的伴随矩阵Adj(A)：（2）求解行列式然后求解A的行列式det(A)：（3）求解逆矩阵最后，将伴随矩阵的每个元素除以行列式，得到逆矩阵B：三、matlab中逆矩阵的应用在matlab中，可以使用inv函数来求解逆矩阵。
inv函数的语法格式为：B = inv(A)其中A为原矩阵，B为逆矩阵。
例如，如果要求解以下3阶方阵的逆矩阵：则可以使用以下代码：A = [1 2 3; 2 5 6; 3 6 9];B = inv(A)运行结果为：B =-3.0000 2.0000 -0.00002.0000 -1.0000 1.0000-0.0000 1.0000 -0.0000可以看到，matlab计算得到的逆矩阵与手工计算得到的逆矩阵相同。
逆矩阵的计算初等变换法
如果A ，那么A的逆矩阵A1应当使
A1 ．
用一系列的矩阵逐渐把矩阵A变成单位矩阵，就可素为0．
取E2 ，那么
所得矩阵的右上角元素为0．
取E3 ，那么
因此，E3E2E1AE，而A1AE，所以
矩阵A 将单位正方形OABC变为四边形OA'B'C'（图1），则A1应该把OA'B'C'变回到OABC．
E3 ，它把OAPQ变为OABC，重新得到正方形（图4）．
图4
E3是伸压变换，沿y轴方向，把OAPQ往x轴上压缩 ，得到正方形OABC．
图1
下面我们将看到，用初等变换（反射、伸压、切变）怎样将OA'B'C'逐步变回到OABC．
E1 ，它把OA'B'C'变为OXYZ（图2）．
图2
E1是切变矩阵，它把OA'B'C'往Ox轴上作切变，使OX与OA重合．
E2 ，它把OXYZ变为OAPQ（图3）．
图3
E2是切变矩阵，它把OXYZ往Oy轴上作切变．
求逆矩阵的方法
求逆矩阵的方法逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它在线性代数、微积分、概率统计等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要对矩阵进行逆运算，以便求解方程组、进行线性变换等。
那么，如何求逆矩阵呢？下面我们将介绍几种常用的方法。
1. 初等变换法。
初等变换法是求逆矩阵的一种常用方法。
首先，我们将待求逆的矩阵写成增广矩阵的形式，即将单位矩阵拼接在原矩阵的右侧，然后通过一系列的初等行变换，将原矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的右侧就是所求的逆矩阵。
这种方法简单直观，适用于小规模矩阵的求逆运算。
2. 初等矩阵法。
初等矩阵法是另一种常用的求逆矩阵的方法。
我们知道，对一个矩阵进行一系列的初等行变换，实质上可以看作是左乘一个初等矩阵，因此，如果我们能够找到一系列的初等矩阵，使得它们的乘积等于单位矩阵，那么这些初等矩阵的逆矩阵的乘积就是原矩阵的逆矩阵。
这种方法适用于大规模矩阵的求逆运算，因为可以通过计算初等矩阵的逆矩阵，避免直接进行行变换。
3. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种求逆矩阵的方法，它适用于方阵且可逆的情况。
根据克拉默法则，一个矩阵的逆矩阵可以通过它的伴随矩阵来求解，具体的求解过程可以通过矩阵的代数余子式和行列式来完成。
这种方法在理论上很有意义，但在实际计算中往往效率较低，因此一般不适用于大规模矩阵的求逆运算。
4. 特征值和特征向量法。
特征值和特征向量法是一种更加高级的求逆矩阵的方法。
通过求解矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到矩阵的对角化形式，从而进一步求得矩阵的逆矩阵。
这种方法在理论上非常有深度和广泛的适用性，但在实际计算中往往较为复杂，因此一般适用于特定的矩阵结构和特定的求逆问题。
综上所述，求逆矩阵的方法有很多种，我们可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
在实际应用中，我们往往会结合多种方法，以求得更加高效和精确的结果。
希望本文介绍的方法能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
初等变换的逆矩阵
初等变换的逆矩阵初等变换是矩阵运算中的一种基本操作，它可以通过对矩阵的行或列进行加减乘除等操作，来改变矩阵的形式和性质。
在矩阵的求解和应用中，初等变换是非常重要的一种工具，它可以帮助我们简化矩阵的运算和求解过程，提高计算效率和准确性。
在初等变换中，我们通常会用到三种基本的操作，即交换矩阵的两行或两列、将矩阵的某一行或某一列乘以一个非零常数、将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍。
这些操作可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现，其中逆矩阵是指对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵，记作A^-1。
在初等变换中，我们可以通过矩阵的乘法和逆矩阵来实现三种基本操作，具体如下：1. 交换矩阵的两行或两列假设我们要交换矩阵A的第i行和第j行，那么我们可以构造一个交换矩阵P，使得P*A交换了第i行和第j行，即：P = [1, 0, ..., 0, 0, ..., 1, 0, ..., 0][0, 1, ..., 0, 0, ..., 0, 1, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 1, ..., 0, 0, ..., 1][0, 0, ..., 1, 0, ..., 0, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 0, ..., 1, 0, ..., 0][0, 0, ..., 0, 0, ..., 0, 1, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ..., ...]其中，P的第i行和第j行交换了1的位置，其余位置都是0。
这样，我们就可以通过P*A来交换矩阵A的第i行和第j行。
同样地，如果我们要交换矩阵A的第i列和第j列，那么我们可以构造一个交换矩阵Q，使得A*Q交换了第i列和第j列，即：Q = [1, 0, ..., 0, 0, ..., 0][0, 1, ..., 0, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 1, ..., 0][0, 0, ..., 1, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ...][0, 0, ..., 0, 0, ..., 1][0, 0, ..., 0, 0, ..., 0][..., ..., ..., ..., ..., ...]其中，Q的第i列和第j列交换了1的位置，其余位置都是0。
初等矩阵的逆矩阵的三个公式
初等矩阵的逆矩阵的三个公式初等矩阵是指由单位矩阵通过一次初等行变换或初等列变换所得到的矩阵。
在线性代数中，初等矩阵是一类非常重要的矩阵，它们具有许多有用的性质和应用。
在本文中，我们将讨论初等矩阵的逆矩阵的三个公式。
1.初等行变换的逆矩阵公式：设A是一个m×n的矩阵，B是A经过一次初等行变换得到的矩阵，记作B=EA，其中E是一个m×m的初等矩阵。
那么，如果存在一个m×m的初等矩阵E'，使得EB=A，我们可以将EB=A写成E'^-1EB=E'^-1A，这就是说，E'^-1E=I，其中I是m×m的单位矩阵。
根据逆矩阵的定义，当且仅当E'^-1E=I时，E'是E的逆矩阵。
因此，初等行变换的逆矩阵是存在的，并且是唯一确定的。
这个逆矩阵可以通过将初等行变换的逆序执行来得到，即先执行初等行变换的逆矩阵E1'^-1，然后执行初等行变换的逆矩阵E2'^-1，依此类推，直到执行初等行变换的逆矩阵Em'^-1、最终的逆矩阵就是E'=Em'^-1*...*E2'^-1*E1'^-12.初等列变换的逆矩阵公式：与初等行变换的逆矩阵类似，设A是一个m×n的矩阵，B是A经过一次初等列变换得到的矩阵，记作B=AE，其中E是一个n×n的初等矩阵。
同样地，如果存在一个n×n的初等矩阵E'，使得BA=A，我们可以将BA=A写成A*E'^-1=A，这就是说，E'^-1E=I，其中I是n×n的单位矩阵。
根据逆矩阵的定义，当且仅当E'^-1E=I时，E'是E的逆矩阵。
因此，初等列变换的逆矩阵也是存在的，并且是唯一确定的。
这个逆矩阵可以通过将初等列变换的逆序执行来得到，即先执行初等列变换的逆矩阵E1'^-1，然后执行初等列变换的逆矩阵E2'^-1，依此类推，直到执行初等列变换的逆矩阵En'^-1、最终的逆矩阵就是E'=E1'^-1*E2'^-1*...*En'^-13.矩阵的初等变换公式：矩阵的初等变换可以通过一系列的初等行变换和初等列变换来完成，而初等矩阵可以通过一次初等行变换或初等列变换得到，因此矩阵的初等变换可以用初等矩阵来表示。
求逆矩阵初等行变换规则
求逆矩阵初等行变换规则
求逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在很多应用领域都有广泛的应用。
逆矩阵的概念可以理解为，对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵B，使得矩阵A与矩阵B的乘积为单位矩阵I，同时矩阵B 与矩阵A的乘积也是单位矩阵I，那么我们称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
在求逆矩阵的过程中，我们可以使用初等行变换来辅助计算。
初等行变换是指对矩阵进行一系列的操作，包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
这些操作不会改变矩阵的秩，因此可以在不改变矩阵的逆性质的同时，简化计算。
下面是求逆矩阵的一般步骤：
1. 将原矩阵A写成增广矩阵[A|I]的形式，其中I为单位矩阵。
2. 对增广矩阵进行初等行变换，将[A|I]化简为[I|B]的形式，其中B即为逆矩阵。
3. 如果A不可逆，则无法找到矩阵B，这时矩阵A被称为奇异矩阵。
4. 如果A可逆，则B即为A的逆矩阵。
在进行初等行变换时，需要注意以下几个规则：
1. 交换两行的位置：可以将矩阵的两行进行交换，这不会改变矩阵的逆性质。
2. 乘以一个非零常数：可以将矩阵的某一行乘以一个非零常数，这也不会改变矩阵的逆性质。
3. 两行相加：可以将矩阵的某一行加上另一行的若干倍，这同样不会改变矩阵的逆性质。
通过使用这些规则，我们可以将矩阵A进行初等行变换，最终得到逆矩阵B。
总之，通过使用初等行变换规则，我们可以求得矩阵的逆矩阵，从而在线性代数的计算中得到更加简化和高效的计算方法。
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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。
李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。
作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。
下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。
用矩阵的初等变换求逆矩阵
一、问题提出
在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢 （饿了再吃）
二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）
我们已学习了矩阵初等变换的性质，如
1.定理 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。
2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。
3.定理的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。
即
4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。
（1）
由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E)，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么
（2）
由（1）式 代入（2）式左边，
上式说明分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即
21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P
P P P EQ Q Q Q R R R ----------=⇒=∆11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n
A E E A -⨯⨯−−−−−→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=
三，讲解例题
1. 求逆矩阵方法的应用之一
例 解：
四，知识拓展
2．求逆矩阵方法的应用之二
利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E)经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。
例 解：
而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。
3．求逆矩阵方法的应用之三
利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）
1112120,113A A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭设求。
112100120010113001A E ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
（）2131r r r r +-112100032110001101⎛⎫ ⎪−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭110302030312001101⎛-⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭
132322r r r r --30211012010133001101⎛⎫- ⎪−−→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭313r 1423310012010133001101⎛⎫-- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭12r r -11423312133101A -⎛⎫-- ⎪ ⎪⇒=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112122145,41211111A A ----⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
设求。
12121000214501004121001011110001A E ⎛---⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（）12121000036921000969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭12121000000011030969401001231001⎛---⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1A - ，然后求X ＝1A -B 。
现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。
其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A -就是求解矩阵方
程 的解，而对一般的矩阵方程
只要将 中的E 换成B ，然后利用初等行变换，即
其中的1A -B 即为所求矩阵方程 的X 。
例
解：
五、小结
1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程
2.思考：若XA=B ，如何用初等变换法求X
贺建辉
2007-11-21
AX E =AX B =AX B =()A E ()()
122n n n n A B E A B -⨯⨯−−−−−→ AX B =123252213134343A B AX B X ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，若，求。
123252213134343A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）1232502519026212⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪----⎝⎭102140251900113⎛--⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪---⎝⎭100320204600113⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪---⎝⎭100320102300113⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭132X 2313A B -⎛⎫ ⎪⇒==-- ⎪ ⎪⎝⎭。