欧几里得几何学的公理体系

欧几里得几何学的公理体系.

欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古

埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要

进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是

“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid

《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理

出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包

含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接

研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为

《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）

几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在

这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家

把萌芽中的代数学也包括在几何学中.

“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于

代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、

分析学等独立的数学分支，数学家首先

建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化

为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何

问题.

于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接

研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学

的进一步发展，就是射影几何学.

十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否

定了欧几里得几何中的平行线公理.

在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了

n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.

把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是

“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国

数学家的一篇不朽论文）：每种几何学视为

由一个点集组成的“空间”，以及“由到的变

换群”所确定的，研究的子集（图形）性质中对

于来说不变的性质，这就是几何学.

在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学

的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何

学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世

瞩目.

欧几里得几何学：

以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心

是：“第五共设”

两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一

侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两

条直线必在此侧相交.

它等价于

过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且

仅有一条.

最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到

空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必

须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、

合乎逻辑的几何学思想.

《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，

但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世

纪后半叶，（就是在1900年世界数学家

大会上提出着名的Hilbert的23问题的着名数学

家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）

公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、

更加完善的几何公理体系.

欧几里得《几何原本》的简单介绍——

全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例

和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.

第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；

第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；

第3卷：关于圆的定理；

第4卷：圆的内接与外切多边形定理；

第6卷：相似理论；

第11、12、13卷：立体几何.

《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构

是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.

开始给出了23个定义. 前6个定义是：

（1）点没有大小；

（2）线有长度没有宽度；

（3）线的界是点；

（4）直线上的点是同样放置的；

（5）面只有长度没有宽度；

（6）面的界是线.

其次是5个共设：

（1）从任一点到另一点可以引一直线；

（2）有限直线可以无限延长；

（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；

（4）所有直角都相等；

（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角

之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.

然后是5个公理：

（1）等于同量的量相等；

（2）等量加等量其和相等；

（3）等量减等量其差相等；

（4）可重合的图形全等；

（5）全体大于部分.

公理之后是一些重要的命题.

要强调两点——

1、“第五共设”等价于“平行公理”：

2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何

逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、

甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多

定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯

物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的着作.

19世纪末，德国数学家于1899年

发表了着名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得

几何的完整的公理体系，称为着名的Hilbert公理体

系.

希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、

合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可

以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的

全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构

非常完善而严谨的几何体系.

希尔伯特《几何基础》的简单介绍——