复数知识点归纳

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复数的知识点总结与题型归纳

复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b 而非b i.(3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有11.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则 (1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d . (2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0. 12．复数代数形式的除法法则： (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b ic ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0题型二、复数相等[典例] 已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．[解析] 设a 是原方程的实根，则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ，所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0，所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－12＋3m ＝0，所以m ＝112.题型三：复数与点的对应关系[典例] 求实数a 分别取何值时，复数z ＝a 2－a －6a ＋3＋(a 2－2a －15)i(a ∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内． (2)在复平面内的x 轴上方．[解](1)点Z 在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6a ＋3＜0，a 2－2a －15＞0，解得a ＜－3.(2)点Z 在x 轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －15＞0，a ＋3≠0，即(a ＋3)(a －5)＞0，解得a ＞5或a ＜－3.题型四：复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)，由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1，即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B题型五：复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C题型六：复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝ 2. [答案] (1)－2－i (2)2题型七：复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) AO ――→表示的复数； (2)对角线CA ――→表示的复数； (3)对角线OB ――→表示的复数．[解] (1)因为AO ――→＝－OA ――→，所以AO ――→表示的复数为－3－2i.(2)因为CA ――→＝OA ――→－－OC ――→，所以对角线CA ――→表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线OB ――→＝OA ――→＋OC ――→，所以对角线OB ――→表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.题型八：复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B.12 C ．2D. 5(2)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z 1Z 2|=2，所以点Z 的集合为线段Z 1Z 2.问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值，因为|Z 1Z 3|=1. 所以|z+i+1|min=1. [答案] A(2)解：如图所示， |OM ――→|＝(－3)2＋(－1)2＝2.所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.题型九：复数代数形式的乘法运算[典例](1)已知i 是虚数单位，若复数(1＋a i)(2＋i)是纯虚数，则实数a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)(江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． [解析] (1)(1＋a i)(2＋i)＝2－a ＋(1＋2a )i ，要使复数为纯虚数，所以有2－a ＝0,1＋2a ≠0，解得a ＝2.(2)(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.题型十：复数代数形式的除法运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 是虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ．2 B ．－2 C ．－12D.12[解析] (1)∵z (2－i)＝11＋7i ，∴z ＝11＋7i2－i ＝(11＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝15＋25i5＝3＋5i.(2)1＋a i2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝2－a 5＋1＋2a 5i ，由1＋a i 2－i 是纯虚数，则2－a 5＝0，1＋2a 5≠0，所以a ＝2.[答案] (1)A (2)A题型十一：i 的乘方的周期性及应用[典例] (1)(湖北高考)i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．iB ．－iC．1 D．－1(2)计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 016＝________.[解析](1)因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.(2)法一：原式＝i(1－i2 016)1－i＝i[1－(i2)1 008]1－i＝i(1－1)1－i＝0.法二：∵i1＋i2＋i3＋i4＝0，∴i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)，∴i1＋i2＋i3＋…＋i2 016，＝(i1＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 013＋i2 014＋i2 015＋i2 016)＝0. [答案](1)A(2)0说明：虚数单位i的周期性(1)i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)(2)i n＋i n＋1＋i n＋2＋i n＋3＝0(n∈N)。

高三复数的知识点归纳总结

高三复数的知识点归纳总结一、复数的概念复数是指由一个实数和一个虚数共同构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。

在复数中，实部为a，虚部为b。

二、复数的表示方法1. 代数形式：a+bi2. 幅角形式：z=r(cosθ + i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的辐角3. 指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模，e为自然对数的底三、复数的加减乘除1. 加减法：复数相加或相减，实部和虚部分别相加或相减2. 乘法：使用分配律相乘，然后利用i^2=-1进行计算3. 除法：将分母有理化后，再进行乘法的逆运算四、复数的几何意义1. 复数在平面直角坐标系中的表示2. 复数在极坐标系中的表示3. 复平面上的旋转五、共轭复数1. 共轭复数的定义2. 共轭复数的性质3. 共轭复数的几何意义六、模与辐角1. 复数的模的定义2. 复数的模的性质3. 复数的辐角的定义4. 复数的辐角的性质七、欧拉公式1. 欧拉公式的表达式2. 欧拉公式的几何意义3. 欧拉公式的重要性八、复数的方程1. 一元一次复数方程2. 一元二次复数方程3. 复数方程的解法及应用九、复数的应用1. 复数在电学中的应用2. 复数在力学中的应用3. 复数在信号处理中的应用十、复数的常见问题解析1. 关于共轭复数的应用问题2. 关于复数模和辐角的应用问题3. 复数方程的解法与应用十一、复数的图示通过在复数平面上显示几何图形，如复数的绝对值和幅角，显示虚数、复数和实数，这将有助于进一步理解这一主题。

十二、复数的补充知识点1. 复数的讨论2. 复数的等价3. 虚数单位i的应用和推理十三、复数的实际应用举例通过真实问题的应用案例，加深对复数知识点的理解和理论的实际应用。

在高三的数学学习中，复数是一个非常重要的内容。

它不仅是数学知识的一个重要部分，也是物理、工程和其他领域的基础。

掌握复数的知识对于学生继续深入学习数学和其他相关科学领域都有着非常重要的意义。

复数的知识点总结与题型归纳

复数的知识点总结与题型归纳复数是英语中一个重要的语法概念，表示多于一个的数量或者个体。

在英语中，很多名词在表示复数形式时会发生变化，这需要我们掌握一些复数的知识点和应对不同的题型。

本文将对复数的基本规则进行总结，并归纳一些常见的复数题型。

一、复数的基本规则1. 一般情况下，在名词的末尾加上“s”来表示复数，比如：dogs, books, tables, etc.2. 以以下字符结尾的名词，在表示复数时要注意变化：- 以“s”, “x”, “z”, “ch”或“sh”结尾的名词，在末尾加“es”，比如：buses, boxes, quizzes, watches等。

- 以辅音字母+y结尾的名词，将“y”变为“i”，再加“es”，比如：cities, babies, parties等。

- 以“o”结尾的名词有两种情况：①如果辅音字母在“o”之前，直接加“es”，比如：potatoes, tomatoes, heroes等。

②如果是元音字母在“o”之前，直接加“s”，比如：zoos, radios, videos等。

3. 以“f”或“fe”结尾的名词，在表示复数时通常将“f”或“fe”变为“ves”，比如：leaves, knives, wolves等。

4. 一些特殊变化的名词：- 人称名词的复数形式通常要加“s”或“es”，比如：boys, girls, teachers等。

- 一些外来词在表示复数时保持不变，比如：sheep, fish, deer等。

- 一些不规则的名词形式需要进行记忆，比如：men, women, children等。

二、复数题型归纳在学习复数的过程中，我们还需要掌握如何应对不同类型的复数题型。

以下是一些常见的复数题型及解题方法：1. 给出单数名词，要求写出复数形式。

Example: Write the plural form of "mouse".Answer: mice解题方法：根据基本规则，将“s”替换为“es”。

数学总结复数知识点归纳

数学总结复数知识点归纳一、复数的定义复数是数学中一种特殊的数。

它由实部和虚部组成，通常写成a+bi的形式，其中a和b 都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

例如，3+4i就是一个复数，其中实部是3，虚部是4。

复数既可以用代数形式表示，也可以用几何形式表示。

二、基本运算1. 复数加法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i2. 复数减法：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i3. 复数乘法：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad+bc)i4. 复数除法：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)= (ac+bd)/(c²+d²) + (bc-ad)i/(c²+d²)三、幂指数形式1. 复数的幂指数形式表达：z = r(cosθ + isinθ) = r(e^(iθ))2. 复数的乘幂：z^n = r^n(cos(nθ) + isin(nθ)) = r^n(e^(inθ))3. 复数的根：z^(1/n) = (r^(1/n))(cos((θ+2kπ)/n)+isin((θ+2kπ)/n))四、三角形式1. 三角形式的定义：z = r(cosθ + isinθ) = r∠θ2. 三角形式的加法：z₁ + z₂ = r₁(cosθ₁ + isinθ₁) + r₂(cosθ₂ + isinθ₂)= (r₁cosθ₁ + r₂cosθ₂) + i(r₁sinθ₁ + r₂sinθ₂)= r(cosθ+ isinθ)3. 三角形式的乘法：z₁ * z₂ = r₁∠θ₁ * r₂∠θ₂= r₁r₂∠(θ₁+θ₂)五、欧拉公式欧拉公式是数学中非常重要的公式，也被称为数学中最美丽的公式之一，它将三角函数、指数函数和虚数单位联系在了一起。

新高考复数知识点总结归纳

新高考复数知识点总结归纳一、名词的复数形式名词的复数形式通常有以下几种情况：1. 一般情况下，在名词末尾加-s：book→books, dog→dogs。

2. 以-s, -sh, -ch, -x结尾的名词，在末尾加-es：dish→dishes,box→boxes。

3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加-es：city→cities, baby→babies。

4. 以-f或-fe结尾的名词，将f或fe改为v，再加-es：wolf→wolves, knife→knives。

5. 一些特殊名词的复数形式需要单独记忆：child→children,man→men, woman→women。

二、不可数名词与可数名词1. 不可数名词是指不能用数目进行计数的名词，一般用单数形式。

常见的不可数名词有：water, milk, bread, information等。

2. 可数名词是指可以进行数目上的计数的名词，可以有复数形式。

常见的可数名词有：book, cat, dog, apple等。

3. 有些名词可以既作不可数名词，又作可数名词，表示不同的意思。

比如：glass可以表示"玻璃杯"，是可数名词；也可以表示"玻璃"，是不可数名词。

三、复数名词的用法1. 表示一般复数概念：They have three cats.2. 表示某些事物的一部分：I ate two slices of pizza.3. 表示一种人或一类东西：The Chinese are good at math.4. 表示许多或一定数量的人或物：Many students go to school by bus.5. 表示两种东西：I want both apples and oranges.四、不规则名词的复数形式有一些名词的复数形式是不规则的，需要单独记忆。

下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. child→children2. man→men3. woman→women4. tooth→teeth5. foot→feet6. goose→geese7. mouse→mice8. ox→oxen九、对不可数名词进行量化对不可数名词进行量化时，可以使用以下方法：1. 使用量词或数量短语来修饰：a bottle of water, a piece of cake。

(完整版)复数知识点归纳

(完整版)复数知识点归纳完整版：复数知识点归纳复数是英语中用来表示多个数量的形式。

在英语中，名词的复数形式并不总是简单地在单数形式后面加上“-s”。

实际上，还有很多规则和例外需要我们掌握。

在这篇文章中，我们将对复数的一些主要知识点进行归纳总结。

一、一般规则1. 大多数名词在单数形式后面加上“-s”构成复数形式。

例如：book - books, dog - dogs, cat - cats2. 以s、x、ch、sh和o结尾的名词，在单数形式后面加上“-es”构成复数形式。

例如：box - boxes, match - matches, potato - potatoes3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上“-es”构成复数形式。

例如：baby - babies, country - countries4. 以f或fe结尾的名词，通常将f或fe改为v，再加上“-es”构成复数形式。

例如：knife - knives, leaf - leaves5. 特殊规则：5.1 不规则名词的复数形式需要特殊记忆，例如：child - children, tooth - teeth, mouse - mice5.2 以-o结尾的名词有一些是按照一般规则加“-s”的，例如：piano - pianos, photo - photos，但也有一些是按照“-es”规则变化的，例如：potato - potatoes, tomato - tomatoes二、特殊名词除了一般规则之外，还有一些名词的复数形式是非常特殊的。

下面列举几个常见的例子：1. 人称代词的复数形式：I - weyou - youhe - theyshe - theyit - they2. 不列举变化的名词：例如：sheep（羊）、fish（鱼）、deer（鹿）等，它们在复数形式和单数形式相同。

3. 以“-is”结尾的名词，复数形式将“-is”改为“-es”：例如：thesis（论文）- theses（论文）4. 以“-us”结尾的名词，复数形式将“-us”改为“-i”：例如：cactus（仙人掌）- cacti（仙人掌）5. 以“-o”结尾的名词，复数形式有时将“-o”改为“-i”，有时加“-es”：例如：photo（照片）- photos（照片），radio（无线电）- radios （无线电）6. 以“-f”结尾的名词，复数形式将“-f”改为“-ves”：例如：leaf（叶子）- leaves（叶子）三、复数形式的用法1. 表示数量：例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。

复数的知识点总结与题型归纳

复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点1．复数的有关概念我们把集合C＝{a＋b i|a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所成的集合C叫做复数集．复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z＝a＋b i，以后不作特殊说明都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部．说明：(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋b i(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.(2)复数的虚部是实数b而非b i.(3)复数z＝a＋b i只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．2．复数相等在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋b i与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.3．复数的分类对于复数a＋b i，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a＋b i可以分类如下：复数(b＝0)，(b≠0)(当a＝0时为纯虚数).说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系4．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)――――→一一对应平面向量OZ ――→.5．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模．(2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|.(3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→的终点并指向OZ 1――→的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．9．复数代数形式的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i.10．复数乘法的运算律对任意复数z 1，z 2，z 3∈C ，有交换律z 1·z 2＝z 2·z 1结合律(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 311.共轭复数已知z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，则(1)z 1，z 2互为共轭复数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d .(2)z 1，z 2互为共轭虚数的充要条件是a ＝c 且b ＝－d ≠0.12．复数代数形式的除法法则：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．说明：在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共轭复数c －d i ，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．二、题型总结题型一：复数的概念及分类[典例]实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？[解](1)当x 2－2x －15＝0，＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x2－2x －15≠0，＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 0，≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式.(2)注意分清复数分类中的条件。

复数的考点知识点归纳总结

复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。

本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。

3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。

4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。

5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。

6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。

二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。

2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。

4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。

三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。

2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。

3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。

复数知识点总结归纳

复数知识点总结归纳复数是英语中的一个重要语法概念，指的是表示两个以上的数量或者多个个体的名词形式。

在英语中，复数形式的构成方式多种多样，需要根据名词的词尾变化来确定。

掌握复数形式的规则是学习英语的重要内容之一，本文将总结复数知识点，并归纳出常见的复数形式的构成规则。

一、基本概念1.名词的单数形式一般表示一个人、物或植物等，而名词的复数形式则表示多个人、物或植物等，例如：dog（狗）→dogs（狗们），book（书）→books（书籍）。

2.复数形式一般是在名词的基础上加上特定的词尾或者进行变化，但是也有一些不规则的复数形式需要特别记忆。

二、一般规则1.在大多数情况下，名词的复数形式是在单数形式的基础上加上-s结尾，例如：dog（狗）→dogs（狗们），book（书）→books（书籍）。

2.对于以-s, -x, -sh, -ch结尾的单词，其复数形式直接加上-es，例如：bus（公共汽车）→buses（公共汽车），box（盒子）→boxes（盒子），brush（刷子）→brushes（刷子）。

3.以辅音+y结尾的名词，其复数形式是将y改为i然后加上-es，例如：baby（宝宝）→babies（宝宝们），city（城市）→cities（城市们）。

4.以-o结尾的名词，其复数形式一般是加上-es，但也有一些特殊情况需要单独记忆，例如：tomato（西红柿）→tomatoes（西红柿），potato（土豆）→potatoes（土豆）。

三、不规则变化1.有一些名词的复数形式是不规则的，需要特别记忆，例如：man（男人）→men（男人们），woman（女人）→women（女人们），child（小孩）→children（小孩们），foot （脚）→feet（脚）等。

2.有一些名词的单数和复数形式相同，需要通过上下文来进行区分，例如：deer（鹿）→deer（多个鹿），sheep（羊）→sheep（多头羊），fish（鱼）→fish（多条鱼）等。

复数知识点归纳

复数知识点归纳复数是数学中的一个重要概念，它在实际问题的求解和数学理论的推导中起着重要作用。

下面是关于复数的知识点的归纳：1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

2. 实部和虚部：在复数a+bi中，实部为a，虚部为bi。

3. 虚数单位i：虚数单位i定义为i²=-1，它是一个不存在的实数，但在复数中有很重要的作用。

4. 纯虚数：当复数的实部为0时，称其为纯虚数，例如3i、-5i等。

5. 共轭复数：对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。

6. 复数的运算：- 加法：对于两个复数(a+bi)+(c+di)，实部相加得到a+c，虚部相加得到b+d。

- 减法：对于两个复数(a+bi)-(c+di)，实部相减得到a-c，虚部相减得到b-d。

- 乘法：对于两个复数(a+bi)·(c+di)，使用分配律展开后，相乘得到ac-bd，然后根据i²=-1，得到(ad+bc)i。

- 除法：对于两个复数的除法，可以使用分数的除法规则，即将分子和分母都乘以共轭复数的分母的共轭形式，然后化简。

7. 模和幅角：- 模：对于复数a+bi，其模表示为|a+bi| = √(a²+b²)，即复数到原点的距离。

- 幅角：对于复数a+bi，其幅角表示为θ = arctan(b/a)，即复数与实轴正方向之间的夹角。

8. 三角形式：复数可以使用三角函数来表示，即a+bi = r(cosθ + isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

这种表示方式可以用于简化复数的乘除运算。

9. 欧拉公式：欧拉公式是数学中的一个重要公式，表达了指数和三角函数之间的关系。

它表示为e^(iθ) = cosθ + isinθ。

10. 复数的求根：复数的求根可以使用极坐标形式和欧拉公式来进行计算。

具体的步骤是，将复数表示为模和幅角的形式，然后对模取n次方根，对幅角除以n。

高中数学知识点归纳复数基础知识

高中数学知识点归纳复数基础知识高中数学中，复数是一个重要的概念。

复数既包括实数部分，也包括虚数部分。

在这篇文章中，我们将对高中数学中与复数相关的基础知识进行归纳总结。

一、复数的定义与表示复数可以用一个实数和一个虚数相加的形式来表示。

虚数单位i定义为i²=-1，其中i是虚数单位，i²是虚数单位的平方。

复数的一般形式为a+bi，其中a是实数部分，b是虚数部分。

二、复数的基本运算1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减即可。

例如：(2+3i) + (5-2i) = 7 + i(2+3i) - (5-2i) = -3 + 5i2. 复数的乘法：使用分配律和虚数单位的定义进行计算。

例如：(2+3i)(5-2i) = 10 + 15i -4i -6i² = 16 + 11i3. 复数的除法：将除法运算转化为乘法运算，并进行分子、分母的真分数分解，最后再进行计算。

例如：(2+3i) / (5-2i) = [(2+3i)(5+2i)] / [(5-2i)(5+2i)] = (4+19i) / 29三、复数的性质1. 共轭复数：对于复数a+bi，它的共轭复数记作a-bi，实部不变，虚部取相反数。

例如：共轭复数：对于复数3+2i，它的共轭复数为3-2i。

2. 复数的模：对于复数a+bi，它的模记作|a+bi| = √(a² + b²)，表示复数到原点的距离。

例如：|3+4i| = √(3² + 4²) = 53. 复数的乘法公式：(a+bi)(a-bi) = a² - (bi)² = a² + b²。

其中，(bi)² = -b²。

四、复数在方程中的应用1. 复数根：复数可以用来求解高中数学中的二次方程。

例如：对于方程x² + 4 = 0，可以将其转化为(x+2i)(x-2i) = 0，从而得到x=±2i。

(完整版)复数知识点归纳

复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。

复数知识点归纳

复数知识点归纳复数形式是英语中的一种语法形式，用来表示多个或者两个以上的事物。

掌握复数形式对于拓宽词汇量和正确表达意思至关重要。

本文将对英语中的复数形式进行归纳，以帮助读者更好地理解和运用。

1. 一般规则大多数英语名词的复数形式是在词尾加上-s，例如：- Book（书）→ books（书籍）- Cat（猫）→ cats（猫咪）- Dog（狗）→ dogs（狗狗）2. 以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -o结尾的名词当名词以-s, -ss, -sh, -ch, -x, -o等结尾时，复数形式通常在词尾加上-es，例如：- Bus（公共汽车）→ buses（公共汽车）- Class（班级）→ classes（班级）- Box（盒子）→ boxes（盒子）需要注意的是，一些以-o结尾的名词复数形式是直接加上-s，不加-es，例如：- Piano（钢琴）→ pianos（钢琴）- Photo（照片）→ photos（照片）3. 以-f或-fe结尾的名词当名词以-f或-fe结尾时，复数形式通常将-f或-fe变为-ves，例如：- Leaf（树叶）→ leaves（树叶）- Knife（刀）→ knives（刀具）但是，也有例外情况，例如：- Chief（首领）→ chiefs（首领）4. 不规则复数形式除了一般规则外，英语中还存在一些不规则的复数形式，需要独立记忆。

以下是一些常见的不规则复数形式：- Child（孩子）→ children（孩子们）- Man（男人）→ men（男人们）- Woman（女人）→ women（女人们）- Tooth（牙齿）→ teeth（牙齿）- Foot（脚）→ feet（脚）- Mouse（老鼠）→ mice（老鼠）- Fish（鱼）→ fish（鱼）（表示多条鱼时）需要注意的是，不规则的复数形式在单复数形式上可能会有意思上的变化，因此需要记忆并熟练运用。

5. 复数形式与意义变化有些名词的复数形式与单数形式在意义上会有所变化。

复数知识点归纳总结

复数知识点归纳总结一、复数的定义复数是指大于零的数字，包括实数和虚数。

在复数中，实部和虚部分别用来表示横轴和纵轴上的坐标，形成一个二维坐标系。

二、复数的表示1. 简单位分法表示：a+bi2. 模幅相位表示：r(cosθ + i sinθ)三、复数的性质1. 加减法：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 乘法：(a+bi)(c+di) = ac - bd + (ad+bc)i(a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi3. 除法：(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i四、复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数为a-bi。

五、复数的模和幅角对于复数a+bi，其模r为sqrt(a^2+b^2)，幅角θ为arctan(b/a)。

六、复数的比较对于两个复数a+bi和c+di，当a>c时，a+bi>c+di；当a=c时，若b>d时，a+bi>c+di。

七、复数的指数形式指数形式为r(cosθ + i sinθ)，其中r为模，θ为幅角。

八、复数的牛顿迭代法通过迭代公式z_{n+1} = z_n - f(z_n)/f'(z_n)计算非线性方程的近似解，其中f(z)为非线性函数，z_n为已知迭代值。

九、复数的应用1. 信号处理在信号处理中，复数经常用于表示信号的频率和相位，以及信号的变换和滤波。

2. 电路分析在电路分析中，复数经常用于表示电压和电流的相位和幅值，在交流电路中进行计算和分析。

3. 控制系统在控制系统中，复变量经常用于表示控制器的频率响应和稳定性分析。

十、复数的应用举例1. 信号处理中的傅里叶变换傅里叶变换将时域的信号转换成频域的表示，利用复数的模和幅角来表示信号的频率和相位。

2. 电路分析中的阻抗分析利用复数的表示方法，可以将电阻、电感、电容等元件用复阻抗的形式来表示，简化电路分析和计算。

名词复数知识点总结归纳

名词复数知识点总结归纳一、名词复数形式的基本规则1. 大多数名词在词尾加上-s构成复数，如book-books, dog-dogs, cat-cats等。

2. 以s, x, ch, sh结尾的名词，在词尾加-es构成复数，如box-boxes, bus-buses, watch-watches, dish-dishes等。

3. 以辅音字母+y结尾的名词，变y为i再加-es构成复数，如city-cities, baby-babies, party-parties等。

4. 以o结尾的名词，除了以辅音字母加-es构成复数外，还有一些名词直接加-s，如radio-radios, piano-pianos, photo-photos等。

5. 以-f或-fe结尾的名词，变f或fe为v再加-es构成复数，如leaf-leaves, knife-knives, wife-wives等。

6. 有些名词的复数形式与单数形式相同，如sheep, deer, fish, means, aircraft等。

二、名词复数形式的特殊规则1. 以y结尾的名词，如果y前面是元音字母，则只加-s构成复数，如day-days, key-keys 等。

2. 以o结尾的名词，有一部分是直接加-s构成复数，如photo-photos, kangaroo-kangaroos等。

3. 以ee结尾的名词，只加-s构成复数，如employee-employees, referee-referees等。

4. 以us结尾的名词，变us为i再加-es构成复数，如focus-foci, nucleus-nuclei等。

5. 以is结尾的名词，变is为es构成复数，如analysis-analyses, thesis-theses等。

6. 有些名词的复数形式与单数形式完全不同，如man-men, woman-women, child-children 等。

复数知识点归纳

复数知识点归纳复数是英语语法中的重要部分，用来表示单个事物的数量为多于一个。

学好复数形式对于正确使用和理解英语至关重要。

下面是关于复数的知识点的归纳，希望对你有所帮助。

一、复数形式的一般规则- 对于大多数名词，复数形式是在词尾加上-s。

例如，book（书）的复数形式是books（书籍）。

- 对于以s、x、z、ch或sh结尾的名词，复数形式是在词尾加上-es。

例如，box（盒子）的复数形式是boxes（盒子们）。

- 对于以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，然后加上-es。

例如，baby（婴儿）的复数形式是babies（婴儿们）。

- 对于以元音字母+y结尾的名词，只需加上-s。

例如，toy（玩具）的复数形式是toys（玩具们）。

- 以-o结尾的名词通常在词尾加上-es，但也有一些例外。

例如，photo（照片）的复数形式是photos（照片们），而piano（钢琴）的复数形式是pianos（钢琴们）。

二、无变化的复数形式- 一些名词的复数形式与单数形式完全相同。

这些名词通常是从其他语言借用的，如Latin或Greek。

例如，deer（鹿）的复数形式也是deer（鹿）。

- 一些名词在表示数量时没有复数形式。

这些名词通常用作抽象概念或集体名词。

例如，information（信息）没有复数形式。

三、特殊的复数形式- 一些名词有特殊的复数形式，需要记住它们的形式变化。

例如，child（孩子）的复数形式是children（孩子们），man（男人）的复数形式是men（男人们）。

- 一些名词在复数形式中发生不规则的变化。

例如，foot（脚）的复数形式是feet（脚），tooth（牙齿）的复数形式是teeth（牙齿）。

四、可数名词与不可数名词- 可数名词是指可以使用数字来计数的名词，如books（书籍）或dogs（狗）。

可数名词可以有单数形式和复数形式。

- 不可数名词是指不可用数字计数的名词，例如water（水）或music （音乐）。

复数知识点归纳

复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念（1）定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。

全体复数所成的集合C 叫做复数集。

复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：#①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数虚数纯虚数二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等?注意：只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、四、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅五、复数的几何意义1、复平面的概念(建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。

显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

复数知识点归纳

复数知识点归纳复数是高中数学中的一个重要概念，它既包含实数，又包含虚数，是实数和虚数的统一。

复数的概念和性质在数学的许多领域都有着广泛的应用，如在微积分、线性代数、信号处理等领域。

下面是对复数知识点较为详细的归纳和介绍。

一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a + bi，其中a 和b 都是实数，i 是虚数单位，满足i^2 = -1。

2. 复数的分类：-纯虚数：当a = 0，b ≠0 时，复数z = bi 称为纯虚数。

-实数：当b = 0 时，复数z = a 称为实数。

-非纯虚数：当a ≠0，b ≠0 时，复数z = a + bi 称为非纯虚数。

3. 复数的几何意义：复数可以表示为复平面上的点，实部表示点在x 轴上的位置，虚部表示点在y 轴上的位置。

二、复数的四则运算1. 加法：两个复数相加，实部相加，虚部相加，即(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。

2. 减法：两个复数相减，实部相减，虚部相减，即(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。

3. 乘法：两个复数相乘，实部乘实部，虚部乘虚部，实部加虚部的乘积，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。

4. 除法：两个复数相除，先乘以共轭复数，即(a + bi)/(c + di) = (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc -ad)/(c^2 + d^2)i。

三、复数的特殊性质1. 复数的模：复数z = a + bi 的模定义为|z| = √(a^2 + b^2)，表示复数z 在复平面上到原点的距离。

2. 复数的共轭：复数z = a + bi 的共轭复数为z 的实部不变，虚部变号，即z 的共轭复数为a - bi。

3. 复数的乘方和开方：复数乘方遵循实数乘方规则，即(a + bi)^n = (a^n + n*a^(n-1)*bi) + ... + b^n*i^(n-1)。

数学复数知识点归纳总结

数学复数知识点归纳总结一、基本概念1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i是虚数单位。

在这里，a和b都是实数，i是虚数单位，虚数单位i满足i²=-1。

任何一个复数都可以写成a+bi的形式。

2. 实部、虚部对于复数a+bi来说，a称为它的实部，b称为它的虚部。

我们用Re(z)来表示复数z的实部，用Im(z)来表示复数z的虚部。

3. 共轭复数如果有复数z=a+bi，那么它的共轭复数可以表示为z的上横线，即z=a-bi。

共轭复数的实部相同，而虚部正好相反。

4. 复平面复数可以用复平面上的点来表示。

复平面将实数轴和虚数轴垂直放在一起。

复数a+bi就对应于复平面上的点(x,y)，其中x=a，y=b。

在复平面上，实部对应于x轴，虚部对应于y 轴。

5. 极坐标形式除了用a+bi的形式表示复数外，我们还可以用极坐标形式来表示复数。

复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r是z的模，θ是z的辐角。

二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法和减法与实数的运算类似。

假设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i。

2. 乘法复数的乘法可以用分配律展开。

假设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+b1a2)i。

3. 除法复数的除法通常是通过乘以共轭数来实现的。

假设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，那么z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2)+((a2b1-a1b2)/(a2^2+b2^2))i。

4. 幂与根复数的幂次运算和开方运算可以通过极坐标形式来实现。

假设z=r(cosθ+isinθ)，那么z的n次幂可以表示为z^n=r^n(cos(nθ)+isin(nθ))。

而z的n次根可以表示为z^(1/n)=r^(1/n)(cos(θ/n)+isin(θ/n))。

复数知识点归纳[整理]

复数知识点归纳[整理]
一、复数的构成
1. 复数的构成主要有两种形式：一种是由名词和形容词构成的复数形式，比如：doctors（医生）、papers（文件）、children（儿童）等；另一种形式是由名词和“-s”组成的复数形式，比如：books（书）、tables（桌子）、windows（窗户）等。

2. 在复数的构成方面，还有一种名词发生变化的复数形式，如：man-men（男人）、sheep-sheep（绵羊）、foot-feet（足）等。

二、复数的发音规则
1. 对于以字母s、x、z、ch、sh结尾的复数形式，都要用“/z/”发音，如：books
的发音为 /bukz/、 boxes 的发音为 /bɑksɪz/、buzzes 的发音为 /bʌzɪz/ 等。

2. 对于以辅音字母加y结尾的复数形式，要将 y 变更为 i，并加上“-es”，末尾
发音变为“/iz/”，如：family 的发音为/fǎməli/、 families 的发音为/fǎmiliz/ 等。

三、复数的拼写规则
1. 对于以辅音字母+y结尾的复数形式，要将y变更为i，并加上“-es”，如：
family-families（家庭）、fly-flies（飞行）、city-cities（城市）等。

2. 对于以重读闭音节结尾的复数形式，如果末尾有一个元音字母，则要加上“-s”，如：head-heads（头）、life-lives（生活）、tooth-teeth（牙齿）等。

3. 对于以重读开音节结尾的复数形式，要加上“-es”，如：box-boxes（盒子）、brush-brushes（画笔）、church-churches（教堂）等。