第三章第二节洛必达法则
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高数第三章第二节洛必达法则31页PPT
0
例8. 求 limxnlnx(n0).
x 0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
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0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
转化
转化
转化
1
0
例9. 求 lim (sexctaxn).
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
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例6. 求xl im exnx (n0,0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk x n xk1
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习题解答 P139 1题(7)、（6）
2 用洛必达法则求下列极限 :
lntan7x (1) lim
x0 lntan2x
(2) lx iamxxmnaam(a0)
解 (1)式 x l i0m 7tsae2 77 x n cx2tsae2 22 x n cx
0型 0
解 原式 lx i0m taxxn3xlxim0se3c2xx21 xlimlx0i tm 0a32nxs22ex2c6xxtanxse213xc lxi m01t axtnxa2n x13 .
1 3
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时 ,
ln x,
高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
第二节 洛必达法则3-2
第三章 第二节
10
二、用洛必达法则（间 接地）解 0 、 、0 、1 、 型未定式
0 0
关键:将这些类型未定式化为洛必达法则直接可解决的 类型 ： 0 ), ( ). ( 0
1. 0 型
步骤: 例题
0
代数代换：其中之一取 倒数
求 lim x ln x
化简
e
1 连 续 1 x 0 2(1 x ) e 2
. f (0) f ( x)在x 0处连续
第三章 第二节 17
例题 试确定常数A，B，C的值，使得 e x 1 Bx Cx 2 1 Ax x3 , 其中 x3 是当 x 0时比x 高阶的无穷小。
x e lim
x
x
0
8
第三章 第二节
注意：洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法， 但应与其它求极限方法结合使用。为便于求导，应先 化简。常用的化简方法有：等价变量代换、恒等变形 、有非零极限的因子分离出去、...。
x sin x 5) lim 3 tgx x 0
e e 6) lim x 0 x arctgx
3
第三章 第二节
18
三、小结
洛必达法则
型
取倒数、通分
0 ,1 , 型
0 0
指数代换
0 型 0 型
uv e v ln u
0 型
其中之一取倒数
洛必达法则只是函数未定式极限存在的充分条件； 对数列未定式不能直接地应用洛必达法则．
第三章 第二节 19
归纳起来，通常求未定型的步骤如下：
1 x lim x 1 ln x x 1
02第三章 第2节 洛必达法则
lim (x sin x) ln a
x0
x3
lim
x0
1
cos 3x2
x
ln
a
1 ln a 6
x 0 (1 x) 1 ~ x
15
例16
lim (
x0
1 x2
cot2
x)
sin2 x x2 cos2 x
lim x0
x2 sin2 x
lim
x0
sin
2
x
x2 x4
cos2
x
lim sin x x cos x
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
当x 时,该法则仍然成立.
3
例1 求 lim tan x .
(0)
x0 x
0
解
原式
lim (tan x)
sec2 lim
x
1.
x0 ( x)
x0 1
例2
求
lim
x1
x
x3 3
x
3x 2
x
2
1
.
(0) 0
x
x
12
3
例13 lim x 2 ( x 2 2 x 1 x ) x
lim x2 ( 1 2 2 1 1 1)
x
x
x
1 t x
lim t0
1 2t 2 1 t 1 t2
1 1
lim 1 2t 1 t
t 0
2t
(1
3
2t) 2
1
(1
3
t) 2
lim
2
t 0
2
1 4
3.2 洛必达法则
f '( x ) 存在 及 g' ( x ) 都存在且 g' ( x ) ≠ 0; (3) lim x→a g ' ( x ) →
(或为无穷大 , 那么 或为无穷大), 或为无穷大
f ( x) f '( x ) lim . = lim x →a g ( x ) x →a g' ( x )
证 因函数在某点的极限是否存在 与函数在该点 取何值无关, 取何值无关, 故可补充定义 f (a ) = g (a ) = 0. 根据定理的条件, 根据定理的条件, 知函数 f ( x ) 与 g ( x ) 在以 a 与 x
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ' (ξ ) = = (ξ 在 x 与 a 之间 之间), g ( x ) g ( x ) − g (a ) g' (ξ )
又当 x → a 时, 有 ξ → a , 所以
f ( x) f ' (ξ ) lim = A. 证毕. = lim 证毕. x →a g ( x ) ξ → a g' (ξ )
e x − e−x − 2 x . 例3 求 lim x →0 x − sin x
解
e x − e − x − 2 x = lim e x + e − x − 2 lim x →0 x →0 1 − cos x x − sin x
e x − e−x = lim x → 0 sin x e x + e−x = lim x → 0 cos x
故洛必达法则失效, 不能使用. 但原极限是存在的, 使用. 洛必达法则失效, 不能使用 但原极限是存在的, 可用下法求得 求得: 可用下法求得:
1 x sin lim x sin 1 x = lim( x ⋅ x sin 1 ) = x→0 x lim x → 0 sin x x → 0 sin x x lim sin x x →0 x 0 = 0. = 1
3-2洛必达法则
a bx cos ax lim 1. b x 0 ax cos bx
例6.求
解: 原式 lim
1 x n 1
型
x
nx
1 0 lim x n x n
21
xn 型 例7. 求 lim x (n 0 , 0) . x e 解: (1) n 为正整数的情形. n x n1 n(n 1) x n2 lim 原式 lim x x e x 2 e x n! lim n x 0 x e 例6、例7说明：当 x 对数函数 ln x， 时，
20
ln sin ax lim .(a＞0，b＞0) 型 例5 求x 0 ln sin bx a cosax ln sin ax si nax a lim sin bx cos ax li lim 解 x 0 ln sin bx x m b cosbx b x 0 sin ax cos bx 0 si nbx
4.应用法则时，为使极限计算简单，应尽量使用无穷 小 的等价代换、重要极限及其它求极限的方法.
5.x a，x 时的未定式
型也有相应的法则.
19
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (洛必达法则) xa F ( x ) xa F ( x ) 说明: 定理中 x a 换为 x a , x a , x , x , x 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
拉格朗日中值公式
说明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情况.
3-2 洛必达法则
注意： 注意：
f ′(x) 0 （1） 如 ） 果 仍 属 型 且 f ′(x), F′(x) 满 ， 足 F′(x) 0 定 的 件 可 继 使 洛 达 则 即 理 条 ， 以 续 用 必 法 ，
f (x) f ′(x) f ′′(x) lim . = lim = lim =L x→ F(x) a x→ F (x) a x→ F ′(x) a ′ ′
×
3、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。 、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。
例：求 lim xe 2 x + xe x − 2e 2 x + 2e x (e − 1)
x 3
x→0
（代数和的形式不可以） 代数和的形式不可以）
xe x + x − 2e x + 2 xe x + e x + 1 − 2e x x 解：原式 = lim e . = lim 3 x →0 x →0 x 3x 2
ln sin ax ∞ lim , ( ) x→0 ln sin bx → ∞
定理1 设 (1 lim f (x) = 0, limF(x) = 0; 定理 )
x→ a x→ a
0 ( ) 0
(2) 在a点 某 心 域 , f ′(x)及 的 去 邻 内 F′(x) 都 在 F′(x) ≠ 0 存 且 ;
tanx − x . 求lim 2 x→ x tanx 0
0 ( ) 0
tanx− x x− sec2 x−1 x− 解: 原 = lim 式 = lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x 3x
tan x 1 tan2 x 1 = lim 2 = lim 2 = . 3 x→ 3x 0 3 x→0 x
3-2第二节洛必达L’Hospital法则
系
高
等 数 学
.例如 当x→∞时,
x sin x 是, x cos x
型不定式
电 子 教
显然有.
lim x sin x 1 x x cos x
案
但是如果用洛必达法则,则得不出结果
lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x)
子
教 案
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
f (x) f (a) f ( ) , ( [a, x]) g(x) g(a) g ( )
武
x a, a
汉
科
技 学 院
lim f (x) lim f ( ) lim f (x) A
数 理
xa g(x) x g ( ) xa g (x)
ln cos x
exp[lim x0
x2
]
武 汉
exp[lim tgx ] exp[ 1 1]
x0 2 x
2
科
技 学
e1/ 2 1
院 数
e
理 系
(tgx) sec2 x
高
等 数
(3) lim (1 1 ) x lim e x ln(11/ x)
x0
院
数
理
系
高 等 数
例1 求下列极限
(1 x)a 1
(1) lim
;
学
x0
x
1
(2) lim n(e n 1) n
电 子
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到
教 案
lim (1 x)a 1 lim a(1 x)a1 a(1 0)a1 a
3.2 洛必达法则
()
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上 原式 = lim
0
若 lim ′
仍属 型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节 洛必达法则
第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e
+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e
∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章 微分中值定理与导数的应用
注
ln
(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2
1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2
π
− arctan
2
思考： 如何求 lim
(为正整数) ?
()
()
+ cos
例如: 求 lim
→∞ − cos
∞
∞
洛必达法则失效
解
+ cos
1 − sin
lim
≠ lim
→∞ − cos
→∞ 1 + sin
极限不存在
cos
1+
= 1. 注意洛必达法则的使用条件
事实上 原式 = lim
0
若 lim ′
仍属 型 , 且 ′ (), ′ ()满足定理1条件,
()
0
()
′ ()
″ ()
则 lim
= lim ′
= lim ″
.
()
()
()
并且可以以此类推.
第二节 洛必达法则
第二节 洛必达法则
第三章 微分中值定理与导数的应用
tan
例1 求 lim
e
e
e
+1
∵ lim = lim = 0,
→+∞ e
→+∞ e
∴ lim = 0.
→+∞ e
第三章 微分中值定理与导数的应用
注
ln
(1) lim = 0 ( > 0)和 lim = 0 ( > 0, > 0)的结果表明,
2
1 + = lim
= 1.
2
1
→+∞ 1 +
− 2
π
− arctan
2
思考： 如何求 lim
(为正整数) ?
第三章 2. 洛必达法则 泰勒中值定理
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
f (n+1) (ξ ) ( x − x0 )n+1(ξ 在 x0与 x之间). 之间) 其中 Rn( x) = (n + 1)!
x
例. 求
1 1 1x = lim ⋅ α = lim α −1 x→+∞ α x→+∞ α x x
=0
易证 lim ln βx = 0 lim x = 0 (β , λ, µ > 0) λx µ
x→+∞
µ
x
x→+∞
e
由慢到快依次是： 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 对数函数、幂函数、 指数函数. 指数函数 这一点从图上 即可看出. 即可看出
f (n+1) (ξ ) Rn( x) = ( x − x0 )n+1 (ξ在x0与x之间 ) (n + 1)!
拉格朗日形式的余项
f (n+1) (ξ ) Rn (x) = (x − x0 )n+1 (n +1)! M ≤ | x − x0 |n+1 (n +1)!
Rn ( x ) 0 及 lim n = x → x0 ( x − x ) 0
2
化简， 化简，消去零因子
洛必达法则
定理 1：设 f ( x ), g ( x )在 点 x 0的某个去心邻域内 可导且 g ′( x ) ≠ 0, 满足
(1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0;
第二节洛必达法则
直到不是未定式 2. 条件充分不必要，只有在 lim f ′( x) 存在 前提下，才能使用法则
F ′( x)
+ − x → a , x → a , x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ 3.
条件 2) 作相应的修改 , 该法则 仍然成立.
tan x 例1 求 lim . (0) x→0 0 x
第二节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
∞ 二、 型未定式 ∞
三、其他未定式
如果当x → a (或x → ∞)时, 两个函数f ( x)与F ( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限
f ( x) lim x→a F ( x) ( x →∞ )
0 ∞ 称为 或 型未定式. 0 ∞
0 tan x 例如： lim , ( ) x→0 0 x
2
sin x 2 2 2 1 x = lim = = . 2 x →0 sin x 2+2 2 2 2 2 + 2 cos x x
2
1 2 2 ( x ) 另解： 1 2 原式 = lim 2 2 = . x →0 x x 2
2.
e −1 lim x →0 ln(1 + 2 x )
3x
f (sin x) − f (0) 3.设f ( x)可导, 求 lim x →0 ln(1 + 2 x)
则
o
f ( x) f ′( x) lim = lim x →a F ( x ) x →a F ′( x )
(洛必达法则)
当x → ∞时, 该法则仍然成立 .
ln x 例1 求 lim (α > 0) α x→+∞ x
∞ ( ) ∞
1/ x 1 解 原式 = lim = lim α = 0. α − 1 x→+∞ αx x→+∞ αx
F ′( x)
+ − x → a , x → a , x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ 3.
条件 2) 作相应的修改 , 该法则 仍然成立.
tan x 例1 求 lim . (0) x→0 0 x
第二节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
∞ 二、 型未定式 ∞
三、其他未定式
如果当x → a (或x → ∞)时, 两个函数f ( x)与F ( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限
f ( x) lim x→a F ( x) ( x →∞ )
0 ∞ 称为 或 型未定式. 0 ∞
0 tan x 例如： lim , ( ) x→0 0 x
2
sin x 2 2 2 1 x = lim = = . 2 x →0 sin x 2+2 2 2 2 2 + 2 cos x x
2
1 2 2 ( x ) 另解： 1 2 原式 = lim 2 2 = . x →0 x x 2
2.
e −1 lim x →0 ln(1 + 2 x )
3x
f (sin x) − f (0) 3.设f ( x)可导, 求 lim x →0 ln(1 + 2 x)
则
o
f ( x) f ′( x) lim = lim x →a F ( x ) x →a F ′( x )
(洛必达法则)
当x → ∞时, 该法则仍然成立 .
ln x 例1 求 lim (α > 0) α x→+∞ x
∞ ( ) ∞
1/ x 1 解 原式 = lim = lim α = 0. α − 1 x→+∞ αx x→+∞ αx
3-2 洛必达法则(高等数学)
§3.2 洛必达法则教学内容：一．“”型未定式 1.定理:（洛必达法则I ）设)(x f 、()g x 在0x 的某一去心邻域内有定义，如果 (1)0lim ()0→=x x f x ，0lim ()0→=x x g x ；(2))(x f 、()g x 在0x 的某邻域内可导，且()0g x '≠； (3)0()lim()x x f x g x →''存在(或无穷大)，那么00()()lim =lim ()()→→''x x x x f x f x g x g x .2.如果0()lim()→''x x f x g x 还是“0”型未定式，且函数()f x '与()g x '满足洛必达法则I 中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有000()()()limlim lim ()()()x x x x x x f x f x f x g x g x g x →→→'''=='''，依此类推，直到求出所要求的极限．3．洛必达法则I 中，极限过程0x x →若换成0x x +→，0x x -→以及x →∞，x →+∞，x →-∞情形的0型未定式，结论仍然成立．二．“∞∞”型未定式 1.定理：（洛必达法则II ）设)(x f 、()g x 在0x 的某一去心邻域内有定义，如果)1(0lim ()→=∞x x f x ，0lim ()→=∞x x g x ；)2()(x f 、()g x 在0x 的某邻域内可导，且()0g x '≠；)3(0()lim()x x f x g x →''存在(或无穷大)，那么00()()lim =lim ()()x x x x f x f x g x g x →→''.2.如果0()lim()→''x x f x g x 还是“∞∞”型未定式，且函数()f x '与()g x '满足洛必达法则II 中应满足的条件，则可继续使用洛必达法则，即有000()()()limlim lim ()()()→→→'''=='''x x x x x x f x f x f x g x g x g x ，依此类推，直到求出所要求的极限．3.洛必达法则II 中，极限过程0x x →若换成0x x +→，0x x -→以及x →∞，x →+∞，x →-∞情形的“∞∞”型未定式，结论仍然成立．三．其它类型的未定式1．“0⋅∞”型未定式设0lim ()0→=x x f x ，0lim ()→=∞x x g x ，则0()lim ()()=lim1()→→⋅x x x x f x f x g x g x （00型）, 或00()lim ()()=lim 1()→→⋅x x x x g x f x g x f x （∞∞型）.2．“∞-∞”型未定式：可以通过通分化简等方式转化为“00”型或“∞∞”型未定式．3．“000 , 1, ∞∞”型未定式：可以通过取对数进行转化,()()ln ()lim ()ln ()lim[()]lim e e g x g x f x g x f x f x ==，无论()[()]g x f x 是上述三种类型中的哪一种，lim ()ln ()g x f x 均为“0⋅∞”型未定式.四．小结利用洛必达法则求未定式的极限，总结如下： 1.洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则．2.只要条件具备，可以连续使用洛必达法则．3.洛必达法则可以和其它求未定式的方法结合使用．4.洛必达法则的条件是充分的，但不必要．在某些特殊情况下洛必达法则可能失效，此时应寻求其他解法.五．例题讲解例1.计算20e 1lim x x x x →--． 例2.计算33221216lim 248x x x x x x →-+--+．例3.计算20tan lim sin →-x x x x x ． 例4.计算0ln cot limln x xx+→．例5.计算sin lim 1x x xx →∞++． 例6.计算0limln x x x +→．例7.设()f x ''在x a =点附近连续，求极限2()()2()lim→++--h f a h f a h f a h．例8.计算 (1) ln lim (0)a x xa x→+∞>; (2) lim (0)e n xx x n →+∞>.。
§3.2 洛必达法则
x 0
x sin x lim 1 cos x lim sin x 1 解 解 lim 3 2 x 3x
x 0
6x
6
下页
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 2x 1 ( 型) 例3.2.1 求 lim . 0 x 0 x
解
2x 1 lx 1 6 x 2 62 2
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
注意
每次运用洛必达法则之前应检查极限是否为
0 型或 型，如果不是就不能使用. 0
ln x ( n 0) . ( 型) 例3.2.3 求 xlim x n
第3章 中值定理 与导数的应用
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 一． 型和 型未定式 0
定理（洛必达法则）设
§3.2 洛必达法则
(1) 当 x a 时,函数 f ( x ) 和 F (x )都趋于零;
(2) 在
a 点的某去心邻域内, f ( x ) 和 F ( x)
解
1 ln x lim n lim x x x x nx n 1
1 lim 0. n x nx
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
例3.2.4
求
3 x sin 3 x lim . x 0 (1 cos x )ln(1 2 x)
），但当法则条件不满足时，
f ( x ) 的极限不存在时（等于 F ( x )
无穷大的情况除外），
f ( x) F ( x ) 的极限仍可能存在.
x sin x lim 1 cos x lim sin x 1 解 解 lim 3 2 x 3x
x 0
6x
6
下页
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 2x 1 ( 型) 例3.2.1 求 lim . 0 x 0 x
解
2x 1 lx 1 6 x 2 62 2
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
注意
每次运用洛必达法则之前应检查极限是否为
0 型或 型，如果不是就不能使用. 0
ln x ( n 0) . ( 型) 例3.2.3 求 xlim x n
第3章 中值定理 与导数的应用
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
0 一． 型和 型未定式 0
定理（洛必达法则）设
§3.2 洛必达法则
(1) 当 x a 时,函数 f ( x ) 和 F (x )都趋于零;
(2) 在
a 点的某去心邻域内, f ( x ) 和 F ( x)
解
1 ln x lim n lim x x x x nx n 1
1 lim 0. n x nx
高等数学 第3章 中值定理与导数的应用
§3.2
洛必达法则
例3.2.4
求
3 x sin 3 x lim . x 0 (1 cos x )ln(1 2 x)
），但当法则条件不满足时，
f ( x ) 的极限不存在时（等于 F ( x )
无穷大的情况除外），
f ( x) F ( x ) 的极限仍可能存在.
32洛必达法则81703-精品文档
( 00 ) ( 1 ) ( 0 )
例12 求limxcoxs. 注意：洛必达法则的使用条件． x x
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
1. 0型
步骤:
01,
或00 10. 00
例7 求limx2ex. x
sec2 lim
x0 1
x
1.
例2 求lx i1m x3x 3x23 x x 21.
(0) 0
解
原式 lx i1m 3x32x22x31(
0 0
)
lim 6x x1 6x2
3. 2
arctanx
例3 求 lim 2 x
1
.
(0) 0
x
解
原式
lim
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
例7 求limx2ex. x
(0)
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
例9 求limxx. x0
1
例10 求 limx1x . x1
1
例11 求lim(coxt)lnx. x0
3x0
x
3
技巧： 0,,00,1,0型未定式解法
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ) .
0
01,
或00 10. 00
11 00
00 00
0. 0
00
0 ln0
e e 1
取 对数
0
lim1coxs x 0sin xxcoxs
0 0
第三章第二讲---洛必达法则
lim f (x) A （A 为实数或无穷大）； xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A
xa g(x) xa g(x)
例4 求 lim tan x .
()
x tan 3 x
2
解
(
原式
)
lim
x
sec2 3sec2
x 3
x
1 lim 3 x
cos2 3x cos2 x
洛必达法则
定理1 若 lim f (x) 0 且 lim g(x) 0；
xa
xaBiblioteka 则f (x) 与 g(x)在 U o (a) 內可导，且 g(a) 0；
(一) 0 型未定式解法 lim f (x) A （ A 为实数或无穷大）； : xa g(x)
0 lim f (x) lim f (x) A
(
)
lim
x
ex ex
ex ex
应改为： 原式
1 e2x
lim
x
1
e2
x
1.
失效
注7. 其它类型的未定式比如 0 , ,00,1, 0 也可化为 洛必达法则可解决的 0 , 类型 。 0
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
lim
x0
x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
(0) 0
2sec2 x tan x 1
tan x
lim
lim
x0
6x
3 x0 x
(0)
0
1
3.2节_洛必达法则
(以 方 ) 前 法 解 ： ln(1 + x) lim x →0 x2 1 = lim 2 ln(1 + x) x →0 x 1 1 = lim ln(1 + x) x x →0 x 1 1 = lim ln(1 + x) x x →0 x
=∞
=∞
(可 洛 达 则 用 比 法 1.)
f ′(x) 0 (2)若lim 仍 型 且 ′(x), g′(x)仍 足 则的 应 为 , f 满 法 1 相 x→x0 g′(x) 0 条 ,则 继 使 洛 达 则 件 可 续 用 必 法 ， ′ f (x) f ′(x) f ′ (x) 即 lim = lim . = lim =⋯ ⋯ x→x0 g(x) x→x0 g′(x) x→x0 g′ (x) ′
x = log (2u + 1) ,且x → 0时，u → 0,
u 2 x − 1 = lim ∴ lim u → 0 log ( u + 1) x→ 0 x 2
lim
x→ 0
2 −1 x
x x
2 ln 2 = lim x→ 0 1
= ln 2
log = lim u→0 u 1 u (1 + u ) = lim log 2 u→0
=0
∞ 3.2.2 型 定 未 式 ∞ 定理3.2.2 洛必达法则2 3.2.2（ 定理3.2.2（洛必达法则2） 设 f ( x ), g ( x ) 满足 (1 ) lim f ( x ) = ∞ , lim g ( x ) = ∞ ;
x→ x0 x→ x0
(2)在x0点的某邻域内( x 0 可除外）可导，且 g ′( x) ≠ 0; f ′( x ) (3) lim = A( A为有限数或为 ∞ ). x → x0 g ′( x ) f (x) f ′( x ) 则有 lim = lim . x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x )
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= e x→+0 cos x 2 x = e 2 .
x→+0
解二 利用两个重要极限.
lim (cos
π
x ) x = lim (1 + cos
π
x −1) x = lim (1 + cos
1 ⋅cos x −1⋅π
x − 1) cos x −1 x
−π
=e 2.
x→+0
x→+0
x→+0
1
例 20 (E14) 求 lim (cot x)ln x . ( ∞0 型)
= 1 lim tan x = 1 . 3 x→0 x 3
注: 洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法, 但若能与其它求极限的方法结合使用,
效果则更好. 例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替换或重要极限时，应尽
可能应用，以使运算尽可能简捷.
例 9 (E08) 求 lim 3x − sin 3x . x→0 (1 − cos x) ln(1 + 2x)
x→1
1
解
1
lim x1−x
1 ln x
= lim e1−x
lim ln x
= e x→11− x
lim x
= e x→1 −1
= e−1.
x→1
x→1
1
例 18 (E13) 求 lim sin x 1−cos x . (1∞ 型) x→0 x
解
lim(
sin
x
1
)1−cos
x
1 ln sin x
解
lim
(e3x
−
1
5x) x
=
lim
1 ln(e3x −5x)
lim 1 ln(e3x −5x)
ex
= e x→+∞ x
x→+∞
x→+∞
因为 lim 1 ln(e3x − 5x) = lim ln(e3x − 5x) ( ∞ )
x→+∞ x
x→+∞
x
∞
3e3x − 5
= lim e3x − 5x x→+∞ 1
例 2 (E02)
求
lim
x →1
x3 x3 −
− 3x x2 −
+ x
2 +
1
⋅
解
原式
=
பைடு நூலகம்
lim
x→1
3x2 3x2 −
−3 2x −
1
= lim 6x x→1 6x − 2
=
3. 2
注: 上式中, lim 6x 已不是未定式,不能再对它应用洛必达法则. x→1 6x − 2
ex − e−x − 2x
=
lim
x→+∞
3e3x − 5 e3x − 5x
(∞ ) ∞
= lim 3 ⋅ e3x ⋅ 3 = lim 9
x→+∞ e3x ⋅ 3 − 5
x→+∞
3
−
5 e3x
= 3.
所以
lim
(e3x
1
− 5x) x
=
e3.
x→+∞
课堂练习
1.设 f (x) 有一阶导数, f (0) = f ′(0) = 1, 求 lim f (sin x) −1. x→0 ln f (x)
二、未定式的其它类型： 0 ⋅ ∞ 型， ∞ − ∞ 型， 00 , 1∞ , ∞0 型
（1）对于 0 ⋅ ∞ 型，可将乘积化为除的形式，即化为 0 或 ∞ 型的未定式来计算. 0∞
（2）对于 ∞ − ∞ 型，可利用通分化为 0 型的未定式来计算. 0
（3） 对于 00, 1∞ , ∞0 型，可先化以 e 为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连
= e x→+0
x→+0
1
由于 lim tan x ln x = lim ln x
x→+0
x→+0 cot x
=
lim
x→+0
x csc2
x
= lim − sin 2 x→+0 x
x
= lim −2sin x cos x
x →+0
1
= 0.
故 lim xtan x = e0 = 1. x →+0
1
例 17 求 lim x1−x .(1∞ )
解
lim x x =
lim x ln x
lim e xln x = e x→0+
lim ln x x→0+ 1
=e x
= e lim x→0+
−
x 1
x2
= e0 = 1.
x→0+
x→0+
例 16 (E12) 求 lim xtan x . ( 00 型)
x → +0
解
将它变形为
lim
x tan x
lim tan x ln x
求
lim
x→0
x2
tan x
.
解 注意到 tan x ~ x, 则有
tan x − x
lim
x→0
x2 tan x
=
lim
x→0
tan x − x3
x
=
lim
x→0
sec2 x 3x2
−1
= lim 2sec2 x tan x
x→0
6x
= 1 lim sec2 x ⋅ lim tan x
3 x→0
x→0 x
第二节 洛必达法则
在第一章中，我们曾计算过两个无穷小之比以及两个无穷大之比的未定式的极限. 在那 里，计算未定式的极限往往需要经过适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的 形式进行计算. 这种变形没有一般方法，需视具体问题而定，属于特定的方法. 本节将用导 数作为工具，给出计算未定式极限的一般方法，即洛必达法则. 本节的几个定理所给出的求 极限的方法统称为洛必达法则.
= 9. 2
x2 sin 1
例 10 (E09) 求 lim
x.
x→0 sin x
解
所求极限属于
0
的未定式.但分子分母分别求导数后，将化为
lim
2x
sin
1 x
−
cos
1 x
,
此
0
x→0
cos x
式振荡无极限,故洛必达法则失效，不能使用.但原极限是存在的,可用下法求得:
x2 sin 1
lim
x
x→0 sin x
例 4 (E04) 求 lim 2
.
x → +∞
1
x
解
lim
π − arctan x 2
=
lim
−
1
1 +x
2
=
lim
x2
=1
x→+∞
1
x
x→+∞
−
1 x2
x→+∞ 1 + x2
π − arctan n
注: 若求 lim 2
(n 为自然数）则可利用上面求出的函数极限,得
n→+∞
1
n
π − arctan n
lim 2
=1.
n→+∞
1
n
例 5 (E05) 求 lim ln cot x . x→0+ ln x
解
lim
ln cot x
=
lim
1 cot
x
⋅
(−
1 sin 2
x
)
= − lim
x
x→0+ ln x
x→0+
1
x→0+ sin x cos x
x
= − lim x ⋅ lim 1 = −1. x→0+ sin x cos x x→0+ cos x
x→π
x→π cos x cos x x→π cos x x→π − sin x 1
2
2
2
2
例 13 求 lim 1 − 1 .(∞ − ∞). x→0 sin x x
解
lim( 1 − 1 ) x→0 sin x x
= lim x − sin x x→0 x ⋅ sin x
= lim x − sin x x→0 x2
lim[(2 +
1
x)e x
−
x]
=
lim (1 +
2t)et
−1
=
lim
2 + (2t
+ 1) et
= 3.
x→∞
t→0
t
t→0
1
00 , 1∞ , ∞0 型
步骤
00
0 ⋅ ln 0
1∞
取对数
∞
⋅
ln1
⇒
0⋅∞.
∞
0
⇒
0 ⋅ ln ∞
例 15 求 lim x x . (00 ) x→0
1
x
cos
x− x3
sin
x
=
lim
x→0
−
x sin 3x2
x
= −1. 3
所以
lim
(
sin
x
1
)1−cos
x
−1
= e 3.
x→0 x
( )π
例 19 求 lim cos x x . (1∞ ) x→+0
解一 利用洛必达法则.
π
lim π ln cos x