第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理

所以 E ( X k ) p ,
D ( X k ) p ( 1 p ),
根据弱大数定理1有
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1 , n n
即 fA lim P p 1. n n
它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定理在理论和实际中都有广泛的应用.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
例2
设随机变量
X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布
2
,
且 E ( X k ) 0 , D ( X k ) , k 1 , 2 , , 证明对任 意正数 有
3
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
例：
• 若随机变量X服从N(0,1)分布，求
x 0 .5 , x 0 .0 1 9 2 ; x 0 .7 4 2 2 .
(0 ) P ( X 0 ) 0 .5 x 0 .5 0, x 0 .0 1 9 2 x1 0 .0 1 9 2 x 0 .9 8 0 8 , ( 2 .0 7 ) P ( X 2 .0 7 ) 0 .9 8 0 8, x 0 .0 1 9 2 2 .0 7; (0 .6 5) P ( X 0 .6 5) 0 .7 4 2 2, x 0 .7 4 2 2 0 .6 5 .
证明
引入随机变量
若在第 k 次试验中 A 不发生,
伯努利
0, Xk 1,
若在第 k 次试验中 A 发生, k 1, 2,.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
显然
fA X1 X 2 X n,
因为 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立的， 且 X k 服从以 p 为参数的 ( 0 1 ) 分布 , k 1 , 2 , .
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
以下是弱大数定理1的推广，不要求随机变量的方差存在. 3、弱大数定理2（辛钦定理） 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 相互独立同分布，且
E(Xk)
， (k
1, 2 , )
存在，则对于任意的正数 ,
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
三、大数定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律 性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说， 要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大 量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式， 由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容 很广泛，其中最重要的有两种: 大数定理 与 中心极限定理
，有

k 1
n
Xk
1
含义
{|
X n
k 1
1
n
k
.| }是一个随机事件 ,
当n 时, 这个事件的概率趋于 即对于任意正数 , 1, 当n充分大时 不等式 | ,
X n
k 1
1
n
k
| 成立的概率很大 .
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
一、矩和中心矩
定义1 设
X 是随机变量 , 若 E ( X ),
k
k 1, 2 ,
存在 , 称它为
X 的 k 阶原点矩 , 简称 k 阶矩 .
k
若 E {[ X E ( X )] }, 存在 , 称它为
k 2 ,3 , .
X 的 k 阶中心矩
关系式：
x x1 ; x x1 .
分位数在数理统计中经常使用，特别是 统计中常用的三大分布分位数，为此特地编 制了它们的分位数表. x

P ( X x )


f ( x )d x
0.4 0.3
图中阴影部分面积即为
0.2
0.1
-3
-2
-1
x
1
2
第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
练习
• 1，设离散型随机变量X的分布律为 X -2 0 3 P 1/2 1/3 1/6 求D( 2 X 2 1 )
2，若随机变量X的概率密度函数为
2 x ,0 x 1 f (x) 0 , 其他
求X的期望和方差.
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2 2
2
由辛钦定理知，
对于任意正数
1 , 有 lim P n n

k 1
nLeabharlann Baidu
Xk
2
2
1.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
四、小结
• 1、矩和中心矩
k 阶原点矩 ( k 阶矩 )： E ( X ),
k
k
k 1 , 2 ,
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
fA lim P p 0 n n
伯努利大数定理表明，当重复试验次数n充分大时， 事件A发生的频率 fA/n与事件A的概率p有较大偏差 的概率很小.
伯努利大数定理提供了通过试验来确定事件概率 的方法.
第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
• 3、大数定理
三个大数定理
弱大数定理1
伯努利大数定理
辛钦定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努 利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定 性.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
作
• 本章课外练习卷子
F ( x ) P ( X x )


f ( x )d x
的数 x 为此分布的α分位数或下α分位数.

称满足条件
1 F ( x )

x
f ( x )d x
的数 x 为此分布的上α分位数.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
有
1 lim P n n

k 1
n
Xk
1
辛钦定理为寻找随机变量的期望值提 供了一条实际可行的途径.
辛钦
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
例如要估计某地区的平均亩产量，先收割 某些有代表性的地块，例如 n 块. 计算其平均 亩产量，则当 n 较大时，可用它作为整个地区 平均亩产量的一个估计. 大数定理以严格的数学形式表达了随机现 象最根本的性质之一： 平均结果的稳定性
说明
( 1 ) 以上数字特征都是随机
( 2 ) 随机变量 X 的数学期望 ;
变量函数的数学期望
E ( X ) 是 X 的一阶原
;
点矩 , 方差为二阶中心矩
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
( 3 ) 在实际应用中
, 高于 4 阶的矩很少使用
3
.
三阶中心矩 {[ X E ( X )] }主要用来衡量 E 随机变量的分布是否有 ; 偏
第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
2、伯努利大数定理（弱大数定理1的特例） 设 f A 是 n 重 伯努利 试验中 事件 A 发生的次数，
P ( A) p
，则对于任意正数 ，有
fA lim P p 0 n n
或
fA lim P p 1 n n
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
1、弱大数定理1
设 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立，服从同一分布的随机
变量序列，且具有数学期望
1 lim P n n
E ( X k ) , 及 D( X k ) 2,
( k 1 , 2 , ) ，则对于任意的正数
业
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第三章 随机变量的数字特征
第三讲
矩、分位数
大数定理
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
第三讲 矩、分位数 大数定理
• • • • 一、矩和中心矩 二、分位数 三、大数定理 四、小结
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
3、重要概率分布的期望和方差
分 布 参数
0 p 1
n 1, 0 p 1
数学期望
p
np
方差
p (1 p )
np ( 1 p )
两点分布
二项分布
泊松分布
均匀分布 指数分布 正态分布
0

(a b ) 2

(b a )
2
a b
θ 0
12
θ
μ
θ
σ
2
μ,σ 0
2
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四阶中心矩E{[ X E ( X )] } 主要用来衡量
4
随机变量的分布在均值 附近的陡峭程度如何 .
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
二、分位数
定义2 设连续型随机变量 概率密度函数为
f ( x ),
X 的分布函数为
F (x)
0< α <1，称满足条件
x
1 lim P n n

k 1
2
n
Xk
2
2
1.
证明
因为 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立的，
2 2
所以 X 1 , X 2 , , X n , 也是相互独立的，
由 E ( X k ) 0 , 得 E ( X k ) D ( X k ) [ E ( X k )] ,
k 阶中心矩 ： E {[ X E ( X )] },
k 2 , 3 ,
• 2、分位数 α分位数或下α分位数
x ，若满足
x
F ( x )


f ( x )dx
上α分位数 x ，若满足
1 F ( x )


x
f ( x )d x
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