第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
大数定律与中心极限定理通用课件
01
中心极限定理
定义
中心极限定理：在大量独立同散布的 随机变量下，这些随机变量的平均值 的散布趋近于正态散布，即使这些随 机变量的散布本身并不一定是正态散 布。
中心极限定理是概率论和统计学中的 一个基本概念，它在许多领域都有广 泛的应用，如金融、生物、社会科学 等。
适用范围
中心极限定理适用于大量独立同散布的随机变量，这些随机变量的散布可以是任何散布，不一定是正 态散布。
实际应用案例
股票市场分析
总结词
股票市场分析
详细描述
大数定律和中心极限定理在股票市场分析中有着广泛的应用。股票价格的波动受到多种 因素的影响，包括市场情绪、公司事迹、宏观经济状况等。通过运用大数定律和中心极 限定理，投资者可以对股票价格进行概率分析和预测，从而做出更加理性的投资决策。
保险精算
总结词：保险精算
深化理论分析
虽然大数定律和中心极限定理已有较为完善的理论体系，但在某些特定场景下，其理论分析仍需进一步深化和完善。 例如，对于非独立同散布样本的情况，这两个定理的适用性和证明方法仍需进一步探讨和研究。
与其他理论的结合
大数定律和中心极限定理可以与其他概率论和统计学中的理论相结合，形成更为完善的理论体系。例如 ，可以与贝叶斯统计、马尔科夫链蒙特卡洛方法等理论相结合，用于解决更为复杂和实际的问题。
本课件采用了理论分析和实证研究相 结合的方法，对大数定律和中心极限 定理进行了深入探讨。通过分析大量 的实证数据，我们发现这两个定理在 许多实际场景中都得到了验证和应用 ，为相关领域的研究和实践提供了重 要的理论支持和实践指点。
未来研究方向
拓展应用领域
随着科技的发展和研究的深入，大数定律和中心极限定理的应用领域将不断拓展。例如，在人工智能和大数据领域， 这两个定理可以用于设计和优化算法，提高数据分析和预测的准确性和效率。
大数定律
随机变量的其它特征数: 随机变量的其它特征数:矩
1.原点矩:对于正整数k,若 )<+∞,称 1.原点矩:对于正整数k,若E(Xk)<+∞,称Exk 原点矩 k, k=1,2,...,为随机变量X k=1,2,...,为随机变量X的k阶原点矩， 为随机变量 阶原点矩， 简称k阶矩. 简称k阶矩. 2.中心矩:对于正整数k,若E[(X2.中心矩:对于正整数k,若E[(X-EX)k]<+∞, 中心矩 k, k=1,2,...,为随机变量 为随机变量X 称E(X-EX)k k=1,2,...,为随机变量X的 E(Xk阶中心矩. 阶中心矩. EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩 分别是一阶原点矩和二阶中心矩. 注: EX和DX分别是一阶原点矩和二阶中心矩.
分位数和中位数
定义 ： 设连续随机变量 X 的分布函数为 F ( x )， 密度函数为 p ( x )， 对任意 α ( 0 < α < 1)， 假如 xα 满足条件 F ( xα ) = ′ 假如 xα 满足条件 ′ 1 F ( xα ) =
∫p ( x ) dx = α
∞
xα
则 xα 称为 X 分布的 α 分位数 ， 或称 α 下侧分位数 。
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律） 定理（切比雪夫大数定律） 设随机变量序列 {Xn}相互独立，且均存在有限方差， {Xn}相互独立，且均存在有限方差，且方差 相互独立 其中常数C 无关， D(Xn) ≤C (n=1,2,...), 其中常数C与n 无关， 则对任意的ε>0 ，有 则对任意的ε>0
对任意给定的 ε > 0， 上式右端随着 n → ∞ 而趋向于零 。
大数定律
设随机变量序列{X 定义 设随机变量序列{Xn}，如果存在一个常 使得对任意的ε> ε>0 数a，使得对任意的ε>0，有
12.16大数定理和中心极限定理(蓝背景)
n
n
有
lim
P
i 1
Xi
i 1
i
x
x
n
n
2 i
i 1
定理三 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
（DeMoivre-Laplace ）
设n服从参数为n, p的二项分布Bn, p，则对于任意的
实数x，有
lim
n
P
P
X
x
x
np npq
n np
np(1 p)
x
1
2
x t2
n k 1
Xk
1
定义5.1 设Y1,Y2 , ,Yn , 是一个随机变量序列，a是
一个常数，若对任意正数，有 lim P n
Yn a
1，
P
则称序列Y1,Y2 , ,Yn , 依概率收敛于a。记为Yn a。
P
P
依概率收敛有以下性质：设Xn a,Yn b,又函数g x, y
P
在a,b点连续，则g X ,Y g a,b n
P(0
rX
a)
a
/
r
120 48
0
120 48
a
/
r
120 48
(17.32) 0
反查标准正态函数分布表，得
3.09 99.9%
令
a 120
r
3.09
48
解得
a (3.09 48 120)r
141r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的 6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1% 的概率.
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
(De Moivre-Laplace) [ 二项分布以正态分布为极限分布 ]
高等数理统计笔记
高等数理统计笔记高等数理统计笔记第一章：概率论基础1.1 概率的引入1.2 概率的公理化定义1.3 概率的基本性质1.4 条件概率与独立性1.5 全概率公式与贝叶斯公式1.6 随机变量的引入与分布函数1.7 随机变量的分布函数及其性质1.8 随机变量的密度函数及其性质1.9 随机变量的数字特征第二章：多维随机变量及其分布2.1 二维随机变量及其联合分布函数2.2 二维随机变量的联合密度函数及其性质2.3 二维随机变量的条件分布函数及其性质2.4 二维随机变量的条件密度函数及其性质2.5 相互独立的随机变量2.6 随机变量的函数的分布及其性质2.7 两个随机变量的和的分布及其性质第三章：大数定理与中心极限定理3.1 大数定理的概念3.2 切比雪夫不等式3.3 伯努利大数定理3.4 辛钦大数定理3.5 中心极限定理的概念3.6 李雅普诺夫中心极限定理3.7 林德贝格-列维中心极限定理3.8 中心极限定理的应用第四章：参数估计4.1 点估计的概念与性质4.2 最大似然估计法4.3 矩估计法4.4 经验分布函数与分位数的估计4.5 贝叶斯估计第五章：假设检验5.1 总体均值检验的基本知识5.2 单个总体均值的假设检验5.3 单个总体比例的假设检验5.4 两个总体均值的假设检验5.5 两个总体比例的假设检验5.6 方差的假设检验5.7 单个总体分布的非参数检验5.8 两个总体分布的非参数检验第六章：方差分析与回归分析6.1 方差分析的基本概念6.2 单因素方差分析6.3 多因素方差分析6.4 回归分析的概念与简单回归6.5 最小二乘估计法6.6 多元回归分析第七章：统计抽样与抽样分布7.1 抽样调查的概念与方法7.2 抽样分布及其基本性质7.3 样本均值的分布7.4 样本平均数与总体均值的关系7.5 样本方差与总体方差的关系7.6 样本比与总体比的关系第八章：贝叶斯统计推断8.1 贝叶斯定理及其含义8.2 贝叶斯估计量的概念与性质8.3 最大后验概率估计8.4 确定性问题的贝叶斯推断方法第九章：序贯统计与时间序列分析9.1 序贯统计的概念与应用9.2 时间序列的基本概念与应用9.3 平稳序列与非平稳序列的区别9.4 自相关函数与自协方差函数9.5 平稳序列的谱分析9.6 自回归模型与移动平均模型9.7 估计方法与模型诊断第十章：非参数统计方法10.1 非参数统计的基本概念10.2 秩和检验10.3 秩和检验的应用10.4 秩次相关检验10.5 Friedmann检验10.6 克鲁斯卡尔-华里斯检验以上是一份高等数理统计的笔记，涵盖了概率论基础、多维随机变量及其分布、大数定理与中心极限定理、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析、统计抽样与抽样分布、贝叶斯推断、序贯统计与时间序列分析、非参数统计方法等内容，共计6000字。
大数定理与中心极限定理.26页PPT
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
大数定理与中心极限定理.
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有5、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
数学公式知识：大数定理及其应用
数学公式知识：大数定理及其应用浅谈大数定理及其应用大数定理是数学中的一类重要原理，它主要描述了随机事件中大量试验的概率规律。
该定理是一种极限定理，其中包含了许多不同版本和环境，但它的主要特征是：对于独立随机事件序列，随着样本数量的增加，它们的概率（或平均数、总和等）会收敛于一个确定的数值。
因此，大数定理为我们提供了有关大量随机事件的重要信息，具有广泛的应用价值。
一般来说，大数定理的形式包括几种基本类型：依概率收敛定理、弱收敛定理、强收敛定理等等。
其中，依概率收敛定理是应用最为广泛的一类，它主要描述的是随机事件的平均数或总和的渐进性质。
具体而言，如果一个随机变量序列{x1, x2, ..., xn}是独立同分布的，它们的期望值为μ，方差为σ2，则当样本量增加时，它们的算术平均数S_n = (x1+x2+...+xn)/n依概率收敛于μ，即P(|S_n - μ| > ε) → 0 (n → ∞)。
这意味着，当随机事件的样本数量足够大时，它们的平均值将非常接近于真实的期望值。
通过大数定理，我们可以得出许多有用的结论和推论。
例如，在样本数量足够大的情况下，我们可以基于样本的平均数来对总体进行估计，这是现代统计学的基本方法之一。
此外，大数定理也为我们提供了分析和解释实验结果的方法。
例如，在经济学和金融学中，我们经常使用大数定理来解释证券市场的波动性和风险。
除了上述几个应用，大数定理还有许多其他实际应用的场景，例如：1.在质量控制中，我们可以使用大数定理来估计产品缺陷的概率，并制定相应的检验规则。
2.在信号处理中，我们可以使用大数定理来识别信号中的噪声，并从中提取有用的信息。
3.在生态学中，我们可以使用大数定理来研究物种的多样性和相对丰度。
总之，大数定理是现代统计学中最为基础的概率原理之一。
它为我们提供了对随机事件的深入理解，帮助我们应用科学方法来分析和解决实际问题。
因此，在实际应用中，我们应该充分认识到大数定理的重要性和应用价值，并不断更新和改进统计方法，以更好地服务于社会和人类发展。
大数定理与中心极限定理课件
在金融领域，大数定理可以用来估计风 险和收益的散布。通过模拟大量的投资 组合，我们可以得到投资组合的收益率 和风险的近似值，从而为投资决策提供
参考。
在通讯领域，大数定理可以用来估计信 道容量和误码率。通过大量的实验和模 拟，我们可以得到信道容量和误码率的 近似值，从而为通讯系统的设计和优化
• 大数定理是指当实验次数足够多时，频率接近于概率的定理。 也就是说，当实验次数趋于无穷大时，随机事件的频率趋近于 该事件产生的概率。
大数定理的分类
弱大数定理
如果 $X_n$ 是独立同散布的随机变量序列，那么 $\frac{S_n}{n} \rightarrow \mu$（$n \rightarrow \infty$ ）的概率趋近于1。其中 $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$，$\mu$ 是 $X_n$ 的数学期望。
大数定理在其他领域的应用
金融领域
大数定理在金融领域中有着广泛的应用。在保险精算中，大数定理可以用来估计风险概率 和损失散布。在投资组公道论中，大数定理可以用来确定投资组合的最优配置。
统计学
大数定理是统计学中的基本原理之一，可以用来估计样本数据的散布特征。在抽样调查中 ，大数定理可以用来确定样本的代表性和可靠性。
计算机科学
大数定理在计算机科学中也有着广泛的应用。在密码学中，大数定理可以用来保证加密算 法的安全性。在数据发掘中，大数定理可以用来确定数据散布的特征和规律。
中心极限定理在其他领域的应用
生物学
中心极限定理可以用来研究生物 群体的遗传特征和演变规律。在 遗传学中，中心极限定理可以用 来确定基因频率的散布特征和演
变趋势。
矩估计原理及方法介绍
1
矩估计法(The Method of Moments)， 是基于一种简单的“替换”思想建立起 来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.Pearson最早提出的 .
其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
矩法估计的理论基础是：辛钦大数定律 .
2
记总体 k 阶原点矩为 k E( X k )
样本 k 阶原点矩为
11
练习：
P169 习题五
12
1 EX
得 的矩估计量为
ˆ
2X
1 .
1 X
9
( 1)x , 0 x 1
f (x) 0,
其他
似然函数为
L( )
(
1)n(
n i 1
xi )
,
0 xi 1(i 1,, n)
0,
其他
n
ln L n ln( 1) ln xi ,
ˆ X ,
ˆ
2
B2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
.
它们与相应的最大似然估计量相同.
6
例3 设总体 X 的概率密度为
P{ X x} p(1 p)x1 , x 1,2
( X1 ,, X n ) 是取自 X 的样本，其中 0 p 1 是未知参
数; 试分别用矩法和最大似然估计法给出 p 的估计量.
X
1 n
n i 1
Xi
2. 用二阶中心矩M2 作为总体方差D( X ) 的估计量：
D(ˆ X )
M2
1 n
n i 1
大数定理 正态分布
大数定理正态分布
大数定理是概率论中的一个重要定理，指的是当样本量越来越大时，样本平均值越来越接近真实的期望值。
正态分布也是概率论中的一个重要分布，它的概率密度函数呈钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学及工程技术等领域。
大数定理和正态分布之间存在着紧密的联系。
根据大数定理，当样本量足够大时，样本均值趋于正态分布。
这是因为正态分布具有良好的对称性和稳定性，能够较好地描述随机现象的规律性和变异性。
同时，正态分布还有许多重要的性质，如均值和方差的确定方法以及置信区间和假设检验等应用。
正态分布和大数定理在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在进行抽样调查时，我们可以利用大数定理和正态分布来对样本数据进行分析和推断，从而得到更精确的结论。
此外，在金融、经济学等领域中，也会使用正态分布来建立模型，预测未来的变化趋势，提高决策的准确性。
综上所述，大数定理和正态分布是两个非常重要的概率论和统计学概念，它们在实际应用中扮演着不可替代的角色，对于理解和分析复杂随机现象具有重要的意义。
大数定理与正态分布
大数定理与正态分布在实际问题中的应用
金融领域
在金融领域中，许多金融数据和指标都呈现出正态分布的特征。大数定理可以用于风险评估和资产定价等方面，帮助 投资者和金融机构更好地理解和预测市场风险。
生物医学领域
在生物医学领域中，许多生理指标和生化指标都符合正态分布。大数定理可以用于临床试验和流行病学调查等方面， 帮助医生和研究人员更好地了解疾病的发病机制和治疗效果。
02
正态分布
定义
正态分布是一种连续概率分布，描述 了许多自然现象的概率分布形态，如 人类的身高、考试分数、测量误差等 。
在正态分布中，数据值以平均值为中 心，呈现出钟形曲线，两边的分布逐 渐趋近于0。
特征
集中性
正态分布的峰值位于平均值处，大部分数据值集中在 平均值附近。
对称性
正态分布曲线关于平均值对称，即正态分布的左侧与 右侧对称。
03
大数定理与正态分布的关系
大数定理对正态分布的影响
大数定理是概率论中的基本定理之一，它描述了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，某一事件 出现的频率趋于稳定，并逐渐接近于该事件发生的概率。
正态分布是一种常见的概率分布，它在自然界和许多科学领域中广泛存在。大数定理对正态分布的形 成和性质有着重要的影响，因为正态分布描述的随机变量的取值概率分布情况，在大量独立重复试验 中，会呈现出稳定的正态分布形态。
• 大数定理包括弱大数定理和强大数定理。 弱大数定理指出，在独立同分布的随机变 量序列中，样本均值收敛到真实均值。强 大数定理则进一步指出，几乎必然地，样 本和除以样本量趋近于真实均值。
应用场景
• 大数定理在统计学、概率论、金融等领域有广泛应用。例如，在金融领域，大数定理用于估计风险和不确定性， 帮助投资者做出决策。在统计学中，大数定理用于估计总体参数和进行假设检验。
第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
第三讲
矩、分位数
大数定理
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
第三讲 矩、分位数 大数定理
• • • • 一、矩和中心矩 二、分位数 三、大数定理 四、小结
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
3、重要概率分布的期望和方差
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
fA lim P p 0 n n
伯努利大数定理表明，当重复试验次数n充分大时， 事件A发生的频率 fA/n与事件A的概率p有较大偏差 的概率很小.
伯努利大数定理提供了通过试验来确定事件概率 的方法.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
三、大数定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律 性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说， 要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大 量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式， 由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容 很广泛，其中最重要的有两种: 大数定理 与 中心极限定理
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
以下是弱大数定理1的推广，不要求随机变量的方差存在. 3、弱大数定理2（辛钦定理） 设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 相互独立同分布，且
E(Xk)
， (k
1, 2 , )
存在，则对于任意的正数 ,
第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
练习
大数定律及中心极限定理共39页文档
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
矩定理概率论
矩定理概率论矩定理是概率论中的重要概念，它是描述随机变量的特征的一种方法。
在概率论中，随机变量是一个用来表示随机事件结果的数值，而矩定理则是用来描述随机变量的各种特征的数学公式。
通过矩定理，我们能够计算出随机变量的均值、方差以及其他重要的统计特征。
矩定理的核心思想是将随机变量的各个幂次的期望值以及它们的系数联系起来。
在概率论中，期望值是衡量随机变量的中心位置的指标，它的计算方法是将随机变量的每个取值乘以其对应的概率，并将所有乘积相加。
通过矩定理，我们可以得到随机变量的一阶矩、二阶矩、三阶矩等，这些矩能够提供关于随机变量分布的重要信息。
在实际应用中，矩定理在概率论与统计学中发挥着重要的作用。
通过矩定理，我们可以计算出随机变量的均值和方差，这对于了解随机变量的分布特征以及进行数据分析是至关重要的。
此外，通过矩定理，我们还可以计算出随机变量的更高阶矩，这些矩能够提供更加详细的关于随机变量分布的信息，例如偏度和峰度等。
除了计算矩以外，矩定理还可以用来推导随机变量之间的关系。
通过矩定理，我们可以得到随机变量的线性组合的矩与原随机变量的矩之间的关系。
这对于研究多个随机变量的联合分布以及它们之间的依赖关系非常有用。
矩定理是概率论中的重要工具，它能够描述随机变量的各种特征，并提供了计算这些特征的方法。
通过矩定理，我们可以计算随机变量的均值、方差以及更高阶的矩，这些矩能够提供关于随机变量分布的重要信息。
此外，矩定理还可以用来推导随机变量之间的关系，这对于研究多个随机变量的联合分布以及它们之间的依赖关系非常有用。
通过深入研究矩定理，我们能够更好地理解和应用概率论的知识，从而为实际问题的解决提供更加准确和可靠的方法。
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k 阶中心矩 ： E {[ X E ( X )] },
k 2 , 3 ,
• 2、分位数 α分位数或下α分位数
x ，若满足
x
F ( x )
f ( x )dx
上α分位数 x ，若满足
1 F ( x )
x
f ( x )d x
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1 lim P n n
k 1
2
n
Xk
2
2
1.
证明
因为 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立的，
2 2
所以 X 1 , X 2 , , X n , 也是相互独立的，
由 E ( X k ) 0 , 得 E ( X k ) D ( X k ) [ E ( X k )] ,
F ( x ) P ( X x )
f ( x )d x
的数 x 为此分布的α分位数或下α分位数.
称满足条件
1 F ( x )
x
f ( x )d x
的数 x 为此分布的上α分位数.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
，有
k 1
n
Xk
1
含义
{|
X n
k 1
1
n
k
.| }是一个随机事件 ,
当n 时, 这个事件的概率趋于 即对于任意正数 , 1, 当n充分大时 不等式 | ,
X n
k 1
1
n
k
| 成立的概率很大 .
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2 2
2
由辛钦定理知，
对于任意正数
1 , 有 lim P n n
k 1
n
Xk
2
2
1.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
四、小结
• 1、矩和中心矩
k 阶原点矩 ( k 阶矩 )： E ( X ),
k
k
k 1 , 2 ,
分 布 参数
0 p 1
n 1, 0 p 1
数学期望
p
np
方差Biblioteka p (1 p )np ( 1 p )
两点分布
二项分布
泊松分布
均匀分布 指数分布 正态分布
0
(a b ) 2
(b a )
2
a b
θ 0
12
θ
μ
θ
σ
2
μ,σ 0
2
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
2、伯努利大数定理（弱大数定理1的特例） 设 f A 是 n 重 伯努利 试验中 事件 A 发生的次数，
P ( A) p
，则对于任意正数 ，有
fA lim P p 0 n n
或
fA lim P p 1 n n
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• 3、大数定理
三个大数定理
弱大数定理1
伯努利大数定理
辛钦定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努 利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定 性.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
作
• 本章课外练习卷子
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
1、弱大数定理1
设 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立，服从同一分布的随机
变量序列，且具有数学期望
1 lim P n n
E ( X k ) , 及 D( X k ) 2,
( k 1 , 2 , ) ，则对于任意的正数
第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
一、矩和中心矩
定义1 设
X 是随机变量 , 若 E ( X ),
k
k 1, 2 ,
存在 , 称它为
X 的 k 阶原点矩 , 简称 k 阶矩 .
k
若 E {[ X E ( X )] }, 存在 , 称它为
k 2 ,3 , .
X 的 k 阶中心矩
证明
引入随机变量
若在第 k 次试验中 A 不发生,
伯努利
0, Xk 1,
若在第 k 次试验中 A 发生, k 1, 2,.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
显然
fA X1 X 2 X n,
因为 X 1 , X 2 , , X n , 是相互独立的， 且 X k 服从以 p 为参数的 ( 0 1 ) 分布 , k 1 , 2 , .
第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
练习
• 1，设离散型随机变量X的分布律为 X -2 0 3 P 1/2 1/3 1/6 求D( 2 X 2 1 )
2，若随机变量X的概率密度函数为
2 x ,0 x 1 f (x) 0 , 其他
求X的期望和方差.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
三、大数定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律 性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下 进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说， 要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大 量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式， 由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容 很广泛，其中最重要的有两种: 大数定理 与 中心极限定理
它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定理在理论和实际中都有广泛的应用.
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
例2
设随机变量
X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布
2
,
且 E ( X k ) 0 , D ( X k ) , k 1 , 2 , , 证明对任 意正数 有
第三章 随机变量的数字特征
第三讲
矩、分位数
大数定理
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
第三讲 矩、分位数 大数定理
• • • • 一、矩和中心矩 二、分位数 三、大数定理 四、小结
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
3、重要概率分布的期望和方差
说明
( 1 ) 以上数字特征都是随机
( 2 ) 随机变量 X 的数学期望 ;
变量函数的数学期望
E ( X ) 是 X 的一阶原
;
点矩 , 方差为二阶中心矩
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
( 3 ) 在实际应用中
, 高于 4 阶的矩很少使用
3
.
三阶中心矩 {[ X E ( X )] }主要用来衡量 E 随机变量的分布是否有 ; 偏
四阶中心矩E{[ X E ( X )] } 主要用来衡量
4
随机变量的分布在均值 附近的陡峭程度如何 .
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
二、分位数
定义2 设连续型随机变量 概率密度函数为
f ( x ),
X 的分布函数为
F (x)
0< α <1，称满足条件
x
3
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
例：
• 若随机变量X服从N(0,1)分布，求
x 0 .5 , x 0 .0 1 9 2 ; x 0 .7 4 2 2 .
(0 ) P ( X 0 ) 0 .5 x 0 .5 0, x 0 .0 1 9 2 x1 0 .0 1 9 2 x 0 .9 8 0 8 , ( 2 .0 7 ) P ( X 2 .0 7 ) 0 .9 8 0 8, x 0 .0 1 9 2 2 .0 7; (0 .6 5) P ( X 0 .6 5) 0 .7 4 2 2, x 0 .7 4 2 2 0 .6 5 .
关系式：
x x1 ; x x1 .
分位数在数理统计中经常使用，特别是 统计中常用的三大分布分位数，为此特地编 制了它们的分位数表. x
P ( X x )
f ( x )d x
0.4 0.3
图中阴影部分面积即为
0.2
0.1
-3
-2
-1
x
1
2
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第三章 第三讲 矩、分位数 大数定理
fA lim P p 0 n n
伯努利大数定理表明，当重复试验次数n充分大时， 事件A发生的频率 fA/n与事件A的概率p有较大偏差 的概率很小.
伯努利大数定理提供了通过试验来确定事件概率 的方法.
所以 E ( X k ) p ,
D ( X k ) p ( 1 p ),
根据弱大数定理1有
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1 , n n
即 fA lim P p 1. n n
业
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