函数的最大小值与导数 PPT课件
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【数学】函数的最大小值与导数 ppt课件
取值范围． •
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13
课堂讲义
• 规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转 化是一种常见的题型，
• 一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x) 恒 成 立 ⇔λ≥[f(x)]max ； λ≤f(x) 恒 成 立 ⇔λ≤[f(x)]min.
• 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含 参函数的最值即可．
• (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”
和“不等式中是否含等号”的情况，以此来
确定参数的范围能否p取pt课件得“＝”．
14
课堂讲义
• 跟踪演练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
• (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
• (2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
在闭区间上
x的连［续a函,b数］ 必
有最大值与最 小值
y
因此：该函数没 有最值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
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x6 b x
6
1、课本p98 练习 2、求函数y=xlnx的最小值
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16
当堂检测
• 1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最 大值和最小值分别是( )
• A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) • C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) • 答案 B
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17
当堂检测
• 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， • ∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0， • 故f(x)在[3,5]上单调递减， • 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
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13
课堂讲义
• 规律方法 (1)“恒成立”问题向最值问题转 化是一种常见的题型，
• 一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x) 恒 成 立 ⇔λ≥[f(x)]max ； λ≤f(x) 恒 成 立 ⇔λ≤[f(x)]min.
• 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含 参函数的最值即可．
• (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”
和“不等式中是否含等号”的情况，以此来
确定参数的范围能否p取pt课件得“＝”．
14
课堂讲义
• 跟踪演练3 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
• (1)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
• (2)若对任意的x∈(0,3)，都有f(x)<c2成立，求c 的取值范围．
在闭区间上
x的连［续a函,b数］ 必
有最大值与最 小值
y
因此：该函数没 有最值。
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6 b x
y
f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)
y=f(x)
o a x1 x2 x3 x4 x5
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x6 b x
6
1、课本p98 练习 2、求函数y=xlnx的最小值
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当堂检测
• 1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最 大值和最小值分别是( )
• A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) • C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) • 答案 B
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当堂检测
• 解析 ∵f′(x)＝－2x＋4， • ∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0， • 故f(x)在[3,5]上单调递减， • 故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．
3.3.3函数的最大(小)值与导数 课件
函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0
函数的最大(小)值与导数 课件
求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验 f′(x)＝0 的根是否在给 定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值．
已知函数的最值求参数
设23<a<1，函数 f(x)＝x3－32ax2＋b(－1≤x≤1)的 最大值为 1，最小值为－ 26，求常数 a，b.
与最值有关的恒成立问题
已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 在 x＝－23与 x＝1 处都取得极值．
(1)求 a，b 的值与函数 f(x)的单调区间． (2)若对 x∈[－1,2]，不等式 f(x)<c2 恒成立，求 c 的取值
范围． 【思路探究】
(1)由已知的两个极值点可得 f′(－23)＝
函数的最大(小)值与导数
函数的最大(小)值与导数 【问题导思】 如图 1－3－8－8
1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、 极小值．
【提示】 极大值为：f(x1)、f(x3)，极小值为：f(x2)，f(x4)． 2．结合图象判断，函数 y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在 最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 【提示】 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于 0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12；x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
《1.3.3 函数的最大(小)值与导数》PPT课件(部级优课)
x
(1)a 1, f (x) x ln x
(2)原不等式 x ln x x 4 ,设g(x)=xlnx-x+1,g(x)=lnx ex
由g(x)>0得x>1.g(x)在（0,1）是减函数，在（1，+）为
增函数，g(x) g(1)=0.
设h(x)=x-1-
x-4 ex
, (x (0,
)), h( x)
2.几个经常用到的基本初等函数：xa , ax , loga x, ln x, sin x, cos x, tan x等，经常是把这几个函数加减乘除 后得到新函数。
3.利用几何画板演示
【问题创新】
设函数f (x) ax ln x在点（1, f (1))处的切线方程为y x 1. (1)求a; (2)证明：ex ln x 4 1.
h(x0 )
x0
1
x0 e x0
4
x0
1
x0 4 5 x0
x02 5x0 5 x0
1
0
x
1
x
x
4
.综上，x
ln
x
x
1
x
x
4
,
原不等式成立。
试题
考生
触摸思路
命题者
h(x) 0.故h(x)在（0,1）上单调递增，在（1, ）上的最大值为h(1) 1 . e
综上，当x 0时，g (x) h(x),即f (x) 1.
【问题探源】
1.作为全卷的压轴题，选择数学核心内容，在重点考查代数推理能 力和数学思想方法的同时，兼顾对继续进入大学学习潜能的考查。 函数既是中学数学的核心内容又是高等数学的重要基础，函数单调 性则是中学函数最重要最普遍的性质，选择函数的单调性及其应用 作为考查对象，通过单调性（本质就是不等关系）证明有关不等式 达到考查推理能力和函数与方程思想方法的目的。对函数单调性和 导数的考查属于掌握层次，不仅要求能求出函数的导数和单调性， 还要求建立函数图像、性质与导数的联系，并在此基础上通过列出 有关不等式（方程）进行推理求解。试题中一般是根据函数的一般 性质或某类函数的特殊性质，并结合已知函数的图像和特性来设计 问题。
(1)a 1, f (x) x ln x
(2)原不等式 x ln x x 4 ,设g(x)=xlnx-x+1,g(x)=lnx ex
由g(x)>0得x>1.g(x)在（0,1）是减函数，在（1，+）为
增函数，g(x) g(1)=0.
设h(x)=x-1-
x-4 ex
, (x (0,
)), h( x)
2.几个经常用到的基本初等函数：xa , ax , loga x, ln x, sin x, cos x, tan x等，经常是把这几个函数加减乘除 后得到新函数。
3.利用几何画板演示
【问题创新】
设函数f (x) ax ln x在点（1, f (1))处的切线方程为y x 1. (1)求a; (2)证明：ex ln x 4 1.
h(x0 )
x0
1
x0 e x0
4
x0
1
x0 4 5 x0
x02 5x0 5 x0
1
0
x
1
x
x
4
.综上，x
ln
x
x
1
x
x
4
,
原不等式成立。
试题
考生
触摸思路
命题者
h(x) 0.故h(x)在（0,1）上单调递增，在（1, ）上的最大值为h(1) 1 . e
综上，当x 0时，g (x) h(x),即f (x) 1.
【问题探源】
1.作为全卷的压轴题，选择数学核心内容，在重点考查代数推理能 力和数学思想方法的同时，兼顾对继续进入大学学习潜能的考查。 函数既是中学数学的核心内容又是高等数学的重要基础，函数单调 性则是中学函数最重要最普遍的性质，选择函数的单调性及其应用 作为考查对象，通过单调性（本质就是不等关系）证明有关不等式 达到考查推理能力和函数与方程思想方法的目的。对函数单调性和 导数的考查属于掌握层次，不仅要求能求出函数的导数和单调性， 还要求建立函数图像、性质与导数的联系，并在此基础上通过列出 有关不等式（方程）进行推理求解。试题中一般是根据函数的一般 性质或某类函数的特殊性质，并结合已知函数的图像和特性来设计 问题。
函数的最大(小)值与导数 课件
f(－2)．
而f(2)－f(－2)＝16－4a2<0，f(x)max＝f(－2)＝－8＋4a＋ 2a2＋m，
又∵f(x)≤1在[－2,2]上恒成立，
∴－8＋4a＋2a2＋m≤1，
即m≤9－4a－2a2，在a∈[3,6]上恒成立，
∵9－4a－2a2的最小值为－87，∴m≤－87.
[点评] 1.由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区 间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时， 需注意是否分类讨论．
2．求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： (1)求f(x)在开区间(a，b)内的 极值 ； (2)计算函数f(x)在各 极值点 和 端点 处的函数值f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
3．函数f(x)＝x4－8x2＋2在[－1,3]上的最大值与最小值分 别为________．
[答案] 11 －14
[解析] f ′(x)＝4x3－16x＝4x(x－2)(x＋2)． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝0，x3＝2. 其中x2＝0，x3＝2在[－1,3]内，计算得 f(0)＝2，f(2)＝－14，f(－1)＝－5，f(3)＝11， 故f(x)在[－1,3]上的最大值是11，最小值是－14.
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1 (－1,0) 0 (0，43)
4 3
(43，2) 2
f ′(x)
＋ 0－
0
＋
f(x) －2
1
↘ －257
1
故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[点评] 要熟记用导数求最值的一般步骤：一求极值，二 求闭区间端点函数值，三比较找出最值．
(-人教A版)函数的最大(小)值与导数课件-(共38张PPT)
[双基自测]
1．函数 y＝x4－4x＋3 在区间[－2,3]上的最小值为( )
A．72
B．36
C．12
D．0
解析：y′＝4x3－4，令 y′＝0，得 4x3－4＝0，x＝1，当 x＜1 时，y′＜0；当 x＞1 时，y′＞0，所以 y 极小值＝y|x＝1＝0，而端点的函数值 y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72， 得 ymin＝0.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0 0，23π
2π 3
23π，43π
4π 3
43π，2π 2π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x) 0
π3＋
3 2
23π－
3 2
π
∴当 x＝0 时，f(x)有最小值 f(0)＝0；
当 x＝2π 时，f(x)有最大值 f(2π)＝π.
(2)f′(x)＝ e1x′－(ex)′＝－e1x－ex＝－1＋exe2x. 当 x∈[0，a]时，f′(x)<0 恒成立， 即 f(x)在[0，a]上是减函数． 故当 x＝a 时，f(x)有最小值 f(a)＝e－a－ea； 当 x＝0 时，f(x)有最大值 f(0)＝e－0－e0＝0. (3)f′(x)＝－ax22＋1－b2x2＝b2x2x－21a－21x－2 x2. 令 f′(x)＝0，即 b2x2－a2(1－x)2＝0， 解得 x＝a＋a b或 x＝a－a b(舍去)．
1．求下列函数的最值． (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]； (2)f(x)＝sin 2x－x，x∈－π2，π2.
解析：(1)f(x)＝2x3－12x， ∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)， 令 f′(x)＝0 解得 x＝－ 2或 x＝ 2.
函数的最大(小)值与导数 课件
【规范训练】(12分)设函数f(x)=2ax- b +lnx，若f(x)在
x
x=1,x= 1 处取得极值.
2
(1)求a，b的值；
(2)在［ 1，2］上存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的
4
最小值.
【解题设问】(1)由题设条件可得到什么？关于a,b的方程组.
(2)在［
1 4
,2］上存在x0，使不等式f(x0)-c≤0成立是恒成立
(1,2) +
∴当x= 2时，f(x)取得极大值f( )= 2 157；
3
3 27
当x=1时，f(x)取得极小值f(1)= 7 .
2
又f(-1)= 11f，(2)=7.
2
∴f(x)在x∈［-1,2］上的最大值为f(2)=7.
∴要使f(x)＜a恒成立，需f(x)max＜a，即a＞7. ∴所求实数a的取值范围是(7,+∞).
2.在区间(a,b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线， 想一想，在(a,b)上一定存在最值吗？ 提示：不一定.函数有最值的条件有两个：一是给定函数的区间 必须是闭区间，二是函数的图象在闭区间上必须是一条连续不 断的曲线，二者缺一不可.
3.函数y= lnx 的最大值为_______.
x
x
∴所以当x=3时，ymax=31- =8 .
33
当x=1时，ymin=11- =0.
1
答案：8 0
3
1.对函数最值的两点说明
(1)给定的区间必须是闭区间，y=f(x)在开区间上虽然连续不
断，但不能保证有最大值或最小值. 例如，函数f(x)= 1， x∈(0,2),y=f(x)的图象在(0,2)上连续
高中数学函数的最大(小)值与导数优质课件(选修1-1)
2 令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝ . 3 2 95 ∵f(－2)＝13，f 3＝27，f(－3)＝8，f(1)＝4，
探究点二
含参数的函数的最值问题
例 2 已知 a 是实数，函数 f(x)＝x2(x－a). (1)若 f′(1)＝3，求 a 的值及曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处 的切线方程. (2)求 f(x)在区间[0,2]上的最大值.
问题 3
答案
函数的极值和最值有什么区别和联系？
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值
得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函 数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间 内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值， 有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在 端点处取得必定是极值.
1.函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线， 则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数 的最值必在 端点 处或 极值点 处取得. 2.求函数 y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤： (1)求函数 y＝f(x)在(a，b)内的 极值 ； (2)将函数 y＝f(x)的各极值与 端点处 的函数值 f(a)，f(b) 比较， 其中最大的一个是 最大值 ， 最小的一个是 最小值 .
探究点一 求函数的最值 问题 1 如图，观察区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，你能 找出它的极大值、极小值吗？
答案
f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数 y＝f(x)的极小值；
f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数 y＝f(x)的极大值.
问题 2
观察问题 1 的函数 y＝f(x)，你能找出函数 f(x)在区
函数的最大(小)值与导数 课件
函数的最大（小）值与导数
1.函数在闭区间[a，b]上的最值． 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的 曲线，那么该函数在[a，b]上一定能够取得________和 ________，并且函数的最值必在________或________取得． 2．求函数在[a，b]上最值的步骤． (1)求函数y＝f(x)在________； (2)将函数y＝f(x)的________与________f(a)，
列表：
x 0 (0,1＋ 1＋ (1＋ 2， 4
f′(x)
＋2)
02
－4)
f(x) －1
2－1 2
3 17
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝－1；
当x＝1＋
2时，f(x)有最大值f(1＋
2)＝
2－1 2.
规律技巧 当用传统方法不易求最值时，可用导数法求 解，要注意导数为0的点是否在给定区间内，同时注意区间 的开闭.
例2 求函数f(x)＝x＋2 x(x∈[0,4])的最大值与最小值．
分析
∵f′(x)＝1＋
1 ＝1＋ xx
x≠0，
∴函数没有极值点，故可利用单调性求解．
解
∵f′(x)＝1＋
1 ＝1＋ xx
x，
当 x∈(0,4)时，f′(x)>0，且函数在 x＝0 及 x＝4 时连续，
∴函数 f(x)＝x＋2 x在区间[0,4]上为单调增函数．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12， ∴b＝－12. 又直线x－6y－7＝0的斜率为16， ∴f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2， 故a＝2，b＝－12，c＝0.
1.函数在闭区间[a，b]上的最值． 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的 曲线，那么该函数在[a，b]上一定能够取得________和 ________，并且函数的最值必在________或________取得． 2．求函数在[a，b]上最值的步骤． (1)求函数y＝f(x)在________； (2)将函数y＝f(x)的________与________f(a)，
列表：
x 0 (0,1＋ 1＋ (1＋ 2， 4
f′(x)
＋2)
02
－4)
f(x) －1
2－1 2
3 17
∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝－1；
当x＝1＋
2时，f(x)有最大值f(1＋
2)＝
2－1 2.
规律技巧 当用传统方法不易求最值时，可用导数法求 解，要注意导数为0的点是否在给定区间内，同时注意区间 的开闭.
例2 求函数f(x)＝x＋2 x(x∈[0,4])的最大值与最小值．
分析
∵f′(x)＝1＋
1 ＝1＋ xx
x≠0，
∴函数没有极值点，故可利用单调性求解．
解
∵f′(x)＝1＋
1 ＝1＋ xx
x，
当 x∈(0,4)时，f′(x)>0，且函数在 x＝0 及 x＝4 时连续，
∴函数 f(x)＝x＋2 x在区间[0,4]上为单调增函数．
解 (1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12， ∴b＝－12. 又直线x－6y－7＝0的斜率为16， ∴f′(1)＝3a＋b＝－6，解得a＝2， 故a＝2，b＝－12，c＝0.
函数的最大(小)值与导数课件
隐喻
函数导数示例
最大(小)值 如同山峰(谷底)，在 自变量的范围内找到函数的最值。
导数函数的值代表函数在某一点 的变化率，可以用来找到函数的 极值。
最值的判定条件
1
极值的判定条件
函数取得极值时，必然满足一定的条件。
2
一阶导数判定法
一阶导数大于零，函数凹向上，有极小值；一阶导数小于零，函数凹向下，有极 大值；一阶导数等于零，有可能是极值也可能是拐点。
牛顿迭代法
采用泰勒级数来逐步逼近最优解的方法，由于牛顿迭代法的效果较稳定，被广泛应用于实际 问题中。
实例演示
案例1：$y=x^2 $
通过求导、构造函数的方法，解 出函数$y=x^2$的最大(小)值解。
案例2：$f(x,y)=x^2 +2 y^2 2xy-2 x$
通过梯度下降法求解函数的最小 值，找到函数$f(x,y)=x^2+2y^22xy-2x$的最小值。
3
二阶导数判定法
二阶导数大于零，函数在该点处取得的是极小值；二阶导数小于零，则函数在该 点处取得的是极大值；二阶导数等于零，则计算，选取一些特定的点，比较函数在这些点的值，找到最大(小)值。
梯度下降法
梯度下降法是求解多元函数最值的常用方法，将最值求解问题转化为优化问题，使用梯度方 向下降思想。
案例3 ： $f(x,y)=2x^3 +3 y^3 -1 8x27y-2 1 xy$
使用牛顿迭代法解决目标函数 $f(x,y)=2x^3+3y^3-18x-27y-21xy$ 的最值问题。
总结
1 函数最值求解的步骤
通过函数最值的判定条件，采用对应的求解方法找到函数的最大(小)值。
2 导数在函数最值求解中的应用
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一、复习引入：
1.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
新疆 王新敞
奎屯
新疆 王新敞
奎屯
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间 .
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若 x 0 满 足 fx 0 0 ,且 在 x 0 的 两 侧 fx的 导 数 异 号 ， 则 x 0 是 fx的 极 值 点 ， fx 0是 极 值 ， 并 且 如 果 fx在 x 0 两 侧 满 足 “ 左 正 右 负 ” ， 则 x 0 是 fx的 极 大 值 点 ， f x 0是 极 大 值 。
2.求函数的最值时,应注意以下几点: (1)要正确区分极值与最值这两个概念. (2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值. (3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.
小 值 点 ,那 么 在 x0 附 近 找 不 到 比 f x0 更 大 更 小 的 值 .但 是 , 在 解 决 实 际 问 题 或 研 究 函
数 性 质 时,我 们 往 往 更 关 心 函 数 在 某 个 区 间 上 , 哪 个 值 最 大 , 哪 个 值 最 小 .如 果 x 0是 函 数 y
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上
都是递增的，求a的取值范围。
故 f ( x ) 在 - 2 , 2 上 的 最 大 值 为 9 2 ， 最 小 值 为 5 2 0 7
（ Ш ） 法 一 : f(x)3 x2 2 a x 4 的 图 象 为
开 口 向 上 且 过 （ 0 ， -4 ） 的 抛 物 线 ， 由 条 件 得
f'x
0
y
fx 4单 调 递 减 -4 3单 调 递 增 1
fx1x34x
3
极小值为f 24. 又 f04,f31,
3
因此,函数f x在0,3上的
2
最大值是4,最小值是4.
o
3x
3
图1.316
一般,求 地函y数 fx在a,b上的最
大值与最小值下 的: 步骤如
1 求函 yfx 数 在 a ,b 内的 ; 极
f x的 最 大 小 值 点,那 么 f x0 不 小 大 于 函
数y f x在相应区间上所有函数值.
如 图1.3 13,观 察 区 间
y
yfx
a,b上 函 数y fx的
图 象,你 能 找 出 它 的 极
大 值 、 极 小 值 吗?
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
观察图 ,我象们发 ,fx现 1,
注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件. 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干
小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，
2将函数 y f x的各极值与端点处 的函数值 f a、f b比较,其中最大的
一个是最大,最值小的一个是最. 小值
练、函数 y = x³+ 3 x²－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值
为 ,最小值为
.
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0,
得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5 (2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
fx3,fx5是函y数 fx
图1.313
的极小 ,fx值 2,fx4,fx6是极大 . 值
探你 究能y 找 fx在 出区 a 函 ,b 上 间 数 的
大 值 、 ? 最 小 值 吗
从 1 .3 图 1可 3 以 ,函 y 看 数 fx 在 出区 a ,b 间
上最 fa ,大 最值 小 fx 3 .是 值是
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5
例2 已知
f
(x)log3
x2
axb x
x∈(0,+∞).是否存在实数a、b
使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在
y
yfx
y
yfx
ao bx
图1.314
o
x4
ax1 x2 x3
图1.315
x5 b x
在 图 1.314、 1.315中,观 察a,b上 的 函 数 y fx的 图,象 它 们在 a,b上 有 最 大 值 、 最
小 值 吗 ?如 果,有 最 大 值 和 最 小 值什分 别 么?
一 般 地 ,如 果 在 区 间 a,b上 函 数yfx的
例3 （04浙江文21）（本题满分12分）
已知a为实数，f(x)(x24)x (a)
（Ⅰ）求导数 f ( x ) ； f(x)3x22ax4
（Ⅱ）若 f(1)0，求 f ( x)在[-2，2]上的
最大值和最小值；
a
1 2
f( 4 3 ) 5 2 0 7 ,f( 1 ) 9 2 ,f( 2 ) 0 ,f( 2 ) 0
图 象 是 一 条 连续 不 断 的 曲 线 ,那 么 它 必 有 最 大 值 和 最 小 值 .
结合图 1.314、图1.315,以及函数极值
中的例,子 不难看,出 只要把函y数 f x的
所有极值 连同端点的函数值 比进 较,就 行 可以求出函数的最 与大 最值 小值 .
求函数的最值时,应注意以下几点:
如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右
正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，
那么f(x)在这个根处无极值.
我 们 知 道,极 值 反 映 的 是 函 数 在 某 一 点 附 近 的 局 部 性 质 ,而 不 是 函 数 在 整 个 定 域 内 的 性
质 .也 就 是 说 , 如 果 x 0是 函 数 y f x 的 极 大
作业 P32 A组 6
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
练习: P31练（2）（4）
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:
( 1 ) f ( x ) 2 x 3 6 x 2 1 x 7 8 ,x 2 , 4
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
当 x -2 或 x 2 时 ， f(x ) 0 ，
故 x1-2， x22即 a 2 1 2a 6 , a 2 1 26 a ,
解 得 -2a2 故 a 的 取 值 范 围 为 -2 , 2
［1，+∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b,若不
存在，说明理由.
解：设g(x)= x2 ax b x
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
g g
0 ,f ( 2 ) 0 即 4 a 8 0 , 8 4 a 0 , 得
- 2 a 2 ,故 a 的 取 值 范 围 为 - 2 , 2
法二：令f(x)3x22ax4=0，得
x1,2a a3212(x1x2),故f(x)3x22ax4
在-，x1和x2， +上非负。由题设知，
1 0 b 1
3
解
得
a
b
1 1
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件
五、小结
1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
例 1求 函 数 fx1x3 4 x 4 的 最 值 .
解因f为 x1x33 4x4,所f'以 xx24
3
x2x2. 令 f'x 0 ,得 x 2 ,或 x 2 ( 舍 ） 当 x变化 ,f'时 x,fx的变化情:况如下表
x 0 0,2 2 2,3 3
1.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
新疆 王新敞
奎屯
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奎屯
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间 .
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若 x 0 满 足 fx 0 0 ,且 在 x 0 的 两 侧 fx的 导 数 异 号 ， 则 x 0 是 fx的 极 值 点 ， fx 0是 极 值 ， 并 且 如 果 fx在 x 0 两 侧 满 足 “ 左 正 右 负 ” ， 则 x 0 是 fx的 极 大 值 点 ， f x 0是 极 大 值 。
2.求函数的最值时,应注意以下几点: (1)要正确区分极值与最值这两个概念. (2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值. (3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.
小 值 点 ,那 么 在 x0 附 近 找 不 到 比 f x0 更 大 更 小 的 值 .但 是 , 在 解 决 实 际 问 题 或 研 究 函
数 性 质 时,我 们 往 往 更 关 心 函 数 在 某 个 区 间 上 , 哪 个 值 最 大 , 哪 个 值 最 小 .如 果 x 0是 函 数 y
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上
都是递增的，求a的取值范围。
故 f ( x ) 在 - 2 , 2 上 的 最 大 值 为 9 2 ， 最 小 值 为 5 2 0 7
（ Ш ） 法 一 : f(x)3 x2 2 a x 4 的 图 象 为
开 口 向 上 且 过 （ 0 ， -4 ） 的 抛 物 线 ， 由 条 件 得
f'x
0
y
fx 4单 调 递 减 -4 3单 调 递 增 1
fx1x34x
3
极小值为f 24. 又 f04,f31,
3
因此,函数f x在0,3上的
2
最大值是4,最小值是4.
o
3x
3
图1.316
一般,求 地函y数 fx在a,b上的最
大值与最小值下 的: 步骤如
1 求函 yfx 数 在 a ,b 内的 ; 极
f x的 最 大 小 值 点,那 么 f x0 不 小 大 于 函
数y f x在相应区间上所有函数值.
如 图1.3 13,观 察 区 间
y
yfx
a,b上 函 数y fx的
图 象,你 能 找 出 它 的 极
大 值 、 极 小 值 吗?
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
观察图 ,我象们发 ,fx现 1,
注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件. 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干
小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，
2将函数 y f x的各极值与端点处 的函数值 f a、f b比较,其中最大的
一个是最大,最值小的一个是最. 小值
练、函数 y = x³+ 3 x²－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值
为 ,最小值为
.
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0,
得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5 (2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
fx3,fx5是函y数 fx
图1.313
的极小 ,fx值 2,fx4,fx6是极大 . 值
探你 究能y 找 fx在 出区 a 函 ,b 上 间 数 的
大 值 、 ? 最 小 值 吗
从 1 .3 图 1可 3 以 ,函 y 看 数 fx 在 出区 a ,b 间
上最 fa ,大 最值 小 fx 3 .是 值是
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5
例2 已知
f
(x)log3
x2
axb x
x∈(0,+∞).是否存在实数a、b
使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在
y
yfx
y
yfx
ao bx
图1.314
o
x4
ax1 x2 x3
图1.315
x5 b x
在 图 1.314、 1.315中,观 察a,b上 的 函 数 y fx的 图,象 它 们在 a,b上 有 最 大 值 、 最
小 值 吗 ?如 果,有 最 大 值 和 最 小 值什分 别 么?
一 般 地 ,如 果 在 区 间 a,b上 函 数yfx的
例3 （04浙江文21）（本题满分12分）
已知a为实数，f(x)(x24)x (a)
（Ⅰ）求导数 f ( x ) ； f(x)3x22ax4
（Ⅱ）若 f(1)0，求 f ( x)在[-2，2]上的
最大值和最小值；
a
1 2
f( 4 3 ) 5 2 0 7 ,f( 1 ) 9 2 ,f( 2 ) 0 ,f( 2 ) 0
图 象 是 一 条 连续 不 断 的 曲 线 ,那 么 它 必 有 最 大 值 和 最 小 值 .
结合图 1.314、图1.315,以及函数极值
中的例,子 不难看,出 只要把函y数 f x的
所有极值 连同端点的函数值 比进 较,就 行 可以求出函数的最 与大 最值 小值 .
求函数的最值时,应注意以下几点:
如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右
正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，
那么f(x)在这个根处无极值.
我 们 知 道,极 值 反 映 的 是 函 数 在 某 一 点 附 近 的 局 部 性 质 ,而 不 是 函 数 在 整 个 定 域 内 的 性
质 .也 就 是 说 , 如 果 x 0是 函 数 y f x 的 极 大
作业 P32 A组 6
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
练习: P31练（2）（4）
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:
( 1 ) f ( x ) 2 x 3 6 x 2 1 x 7 8 ,x 2 , 4
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
当 x -2 或 x 2 时 ， f(x ) 0 ，
故 x1-2， x22即 a 2 1 2a 6 , a 2 1 26 a ,
解 得 -2a2 故 a 的 取 值 范 围 为 -2 , 2
［1，+∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b,若不
存在，说明理由.
解：设g(x)= x2 ax b x
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
g g
0 ,f ( 2 ) 0 即 4 a 8 0 , 8 4 a 0 , 得
- 2 a 2 ,故 a 的 取 值 范 围 为 - 2 , 2
法二：令f(x)3x22ax4=0，得
x1,2a a3212(x1x2),故f(x)3x22ax4
在-，x1和x2， +上非负。由题设知，
1 0 b 1
3
解
得
a
b
1 1
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件
五、小结
1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
例 1求 函 数 fx1x3 4 x 4 的 最 值 .
解因f为 x1x33 4x4,所f'以 xx24
3
x2x2. 令 f'x 0 ,得 x 2 ,或 x 2 ( 舍 ） 当 x变化 ,f'时 x,fx的变化情:况如下表
x 0 0,2 2 2,3 3