函数的最大小值与导数 PPT课件

1 0 b 1
3
解
得
a
b
1 1
经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件
五、小结
1.求在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在[a,b]上的 最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值; (2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个 是最大值,最小的一个是最小值.
作业 P32 A组 6
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
新疆 王新敞
奎屯
练习: P31练（2）（4）
求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:
( 1 ) f ( x ) 2 x 3 6 x 2 1 x 7 8 ,x 2 , 4
最大值 f (－1)=3，最小值 f (3)= －61
小 值 点 ,那 么 在 x0 附 近 找 不 到 比 f x0 更 大 更 小 的 值 .但 是 , 在 解 决 实 际 问 题 或 研 究 函
数 性 质 时,我 们 往 往 更 关 心 函 数 在 某 个 区 间 上 , 哪 个 值 最 大 , 哪 个 值 最 小 .如 果 x 0是 函 数 y
2.求函数的最值时,应注意以下几点: (1)要正确区分极值与最值这两个概念. (2)在[a,b]上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未 必有最大值与最小值. (3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不 要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值 和f(a)、f(b)放在一起比较.
例3 （04浙江文21）（本题满分12分）
已知a为实数，f(x)(x24)x (a)
（Ⅰ）求导数 f ( x ) ； f(x)3x22ax4
（Ⅱ）若 f(1)0，求 f ( x)在[-2，2]上的
最大值和最小值；
a
1 2
f( 4 3 ) 5 2 0 7 ,f( 1 ) 9 2 ,f( 2 ) 0 ,f( 2 ) 0
f'x
0
y
fx 4单 调 递 减 -4 3单 调 递 增 1
fx1x34x
3
极小值为f 24. 又 f04,f31,
3
因此,函数f x在0,3上的
2
最大值是4,最小值是4.
o
3x
3
图1.316
一般,求 地函y数 fx在a,b上的最
大值与最小值下 的: 步骤如
1 求函 yfx 数 在 a ,b 内的 ; 极
一、复习引入：
1.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x).
②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
新疆 王新敞
奎屯
新疆 王新敞
奎屯
③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间 .
2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:
若 x 0 满 足 fx 0 0 ,且 在 x 0 的 两 侧 fx的 导 数 异 号 ， 则 x 0 是 fx的 极 值 点 ， fx 0是 极 值 ， 并 且 如 果 fx在 x 0 两 侧 满 足 “ 左 正 右 负 ” ， 则 x 0 是 fx的 极 大 值 点 ， f x 0是 极 大 值 。
图 象 是 一 条 连续 不 断 的 曲 线 ,那 么 它 必 有 最 大 值 和 最 小 值 .
结合图 1.314、图1.315,以及函数极值
中的例,子 不难看,出 只要把函y数 f x的
所有极值 连同端点的函数值 比进 较,就 行 可以求出函数的最 与大 最值 小值 .
求函数的最值时,应注意以下几点:
（Ⅲ）若 f ( x) 在（-∞，-2]和[2，+∞）上
都是递增的，求a的取值范围。
故 f ( x ) 在 - 2 , 2 上 的 最 大 值 为 9 2 ， 最 小 值 为 5 2 0 7
（ Ш ） 法 一 : f(x)3 x2 2 a x 4 的 图 象 为
开 口 向 上 且 过 （ 0 ， -4 ） 的 抛 物 线 ， 由 条 件 得
［1，+∞)上是增函数；(2)f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b,若不
存在，说明理由.
解：设g(x)= x2 ax b x
∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数
∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.
g g
'(1 ) 0 (1) 3
b a
当 x -2 或 x 2 时 ， f(x ) 0 ，
故 x1-2， x22即 a 2 1 2a 6 , a 2 1 26 a ,
解 得 -2a2 故 a 的 取 值 范 围 为 -2 , 2
f x的 最 大 小 值 点,那 么 f x0 不 小 大 于 函
数y f x在相应区间上所有函数值.
如 图1.3 13,观 察 区 间
y
yfx
a,b上 函 数y fx的
图 象,你 能 找 出 它 的 极
大 值 、 极 小 值 吗?
o a x1 x2 x3 x4 x5
x6
x b
观察图 ,我象们发 ,fx现 1,
注：导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件. 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到. 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干
小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，
(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念, 而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论 问题,是一个整体性的概念.
(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是 函数的最值.
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而 函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值 (极小值)不一定就是最大值(最小值).
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
例 1求 函 数 fx1x3 4 x 4 的 最 值 .
解因f为 x1x33 4x4,所f'以 xx24
3
x2x2. 令 f'x 0 ,得 x 2 ,或 x 2 ( 舍 ） 当 x变化 ,f'时 x,fx的变化情:况如下表
x 0 0,2 2 2,3 3
fx3,fx5是函y数 fx
图1.313
的极小 ,fx值 2,fx4,fx6是极大 . 值
探你 究能y 找 fx在 出区 a 函 ,b 上 间 数 的
大 值 、 ? 最 小 值 吗
从 1 .3 图 1可 3 以 ,函 y 看 数 fx 在 出区 a ,b 间
上最 fa ,大 最值 小 fx 3 .是 值是
2将函数 y f x的各极值与端点处 的函数值 f a、f b比较,其中最大的
一个是最大,最值小的一个是最. 小值
练、函数 y = x³+ 3 x²－9x在 [－4 , 4 ]上的最大值
为 ,最小值为
.
分析: (1) 由 f ´(x)=3x²+6x－9=0,
得x1=－3，x2=1 函数值为f (－3)=27, f (1)=－5 (2) 区间［－4 , 4 ］端点处的函数值为 f (－4) =20 , f (4) =76
f ( 2 ) 0 ,f ( 2 ) 0 即 4 a 8 0 , 8 4 a 0 , 得
- 2 a 2 ,故 a 的 取 值 范 围 为 - 2 , 2
法二：令f(x)3x22ax4=0，得
x1,2a a3212(x1x2),故f(x)3x22ax4
在-，x1和x2， +上非负。由题设知，
如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右
正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，
那么f(x)在这个根处无极值.
我 们 知 道,极 值 反 映 的 是 函 数 在 某 一 点 附 近 的 局 部 性 质 ,而 不 是 函 数 在 整 个 定 域 内 的 性
质 .也 就 是 说 , 如 果 x 0是 函 数 y f x 的 极 大
当x变化时，y′ 、 y的变化情况如下表：
比较以上各函数值， 可知函数在［－4 , 4 ］上的最大值为 f (4) =76， 最小值为 f (1)=－5
例2 已知
f
来自百度文库
(x)log3
x2
axb x
x∈(0,+∞).是否存在实数a、b
使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在
y
yfx
y
yfx
ao bx
图1.314
o
x4
ax1 x2 x3
图1.315
x5 b x
在 图 1.314、 1.315中,观 察a,b上 的 函 数 y fx的 图,象 它 们在 a,b上 有 最 大 值 、 最
小 值 吗 ?如 果,有 最 大 值 和 最 小 值什分 别 么?
一 般 地 ,如 果 在 区 间 a,b上 函 数yfx的