山东省济南外国语学校三箭分校2021届高三9月月考数学(理)试题

山东省济南外国语学校三箭分校【最新】高三9月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2230A x x x =--<,{}ln(2)B x y x ==-,则AB =（ ） A ．{}13x x -<< B ．{}12x x -<<C ．{}32x x -<<D ．{}12x x << 2．要从编号为1-50的50名学生中用系统抽样方法抽出5人，所抽取的5名学生的编号可能是（ ）A ．3，13，23，33，43B ．2，4，8，16，32C ．1，2，3，4，5D ．5，10，15，20，253．已知复数z 满足1112z i z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．某工厂生产了一批颜色和外观都一样的跳舞机器人，从这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，则测验员拿到次品的概率是（ ）A ．328B ．128C ．1328D ．375．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x c y a -+=截得弦长为2b （其中c 为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为( )A B C D 6．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积是9π，则它的表面积是（ ）A ．27πB ．36πC ．45πD ．54π7．将函数()2cos()13f x x π=--的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则图象()y g x =的一个对称中心为（ ）A ．(,1)12π- B ．(,0)12πC ．(,1)6π- D ．(,0)6π8．设实数,x y 满足约束条件0{30260y x y x y ≥+-≤-+≥，若目标函数2z a x y =+的最小值为-6，则实数a 等于( )A ．2B ．1C ．-2D ．-19．函数12()log cos ()22f x x x ππ=-<<的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．根据下列流程图输出的值是（ ）A ．79B ．31C ．51D ．1111．已知函数()y f x =,满足()y f x =-和()2y f x =+是偶函数,且()13f π=,设()()()F x f x f x =+-,则()3F =( )A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 12．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为（ ）A ．24y x =或 28y x =B ．22y x =或 28y x =C ．24y x =或 216y x =D ．22y x =或 216y x =二、填空题13．在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，2AB =，则BC DC +=__________． 14．若(3)(1n x+的展开式中常数项为43，则n 为__________．（用数字填写答案） 15．已知0,0,lg 2lg8lg 2,x y x y >>+=则113x y +的最小值是 .16．已知函数()f x 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如下表，'()f x 为()f x 的导函数，函数'()y f x =的图象如下图所示，若两正数,a b 满足(2)1f a b +<，则263b a ++的取值范围是__________．三、解答题17．已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()222cos cos sin sin sin ,sin cos .B C A A B A B A B --=--=+（1）求角,,A B C ；（2）若a =ABC 的边长b 的值及三角形ABC 的面积.18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AC CB =，1AB AA =，0160BAA ∠=（1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥ 平面11AA B B ，2AB CB ==，求点A 到平面11BB C C 的距离．19．【最新】3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于【最新】5月计划首飞，AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测、根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起，现从10起灾情中任意选取3起.（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的森林灭火的数目，求X 的分布列与数学期望.20．在直角坐标系中，椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其中2F 也是抛物线2C ：24y x =的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且25||3PF =． （1）求椭圆的方程；（2）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M 、N 两点，若线段2OF 上存在定点(,0)T t 使得以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形，求t 的取值范围．21．已知函数()f x =2x x e e x ---.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值；（3）已知1.4142 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）22．已知在直角坐标xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C的参数方程为：1222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，曲线2C 的极坐标方程：()221sin 8ρθ+=（1）写出1C 和2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 交于两点,A B ，求AB 的值.23．已知函数f(x)=m −|x −3|，不等式f(x)>2的解集为(2,4).（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式|x −a|≥f(x)恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．B【解析】因为{|13},{|2}A x x B x x =-<<=<，所以{|12}B x x A -<<⋂=，应选答案B ． 2．A【解析】样本间隔为50÷5=10， 则用系统抽样方法确定所选取的5名学生的编号可能是3，13，23，33，43，故选：A3．D【解析】设z=a+bi （a ，b ∈R ），代入1112z i z -=+可得2（a-1-bi ）=i （a+1+i ），即2（a-1）-2bi=-1+（a+1）i ，22121a b a -=-⎧⎨-=+⎩ 解得13,24a b ==-∴复数z 在复平面内对应点的坐标为∴复数z 在复平面内对应点的坐标为13,24⎛⎫-⎪⎝⎭ 在第四象限． 故选：D ．4．C【解析】这批跳舞机器人中随机抽取了8个，其中有2个是次品，现从8个跳舞机器人中随机抽取2个分配给测验员，测验员拿到次品的概率得P ＝11262222881328C C C C C += 故选C5．B【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay += ，圆2224x c y a -+=（） 的圆心到双曲线的渐近线的距离为： 22bc b a b +＝， ∵渐近线被圆2224x c y a -+=（）截得的弦长为22222242b b b a b a ∴+=∴=，， ，即223c a e =∴=， 故选B ．点睛：本题考查双曲线的性质和应用，圆与双曲线以及直线的位置关系的应用，解题时要注意公式的合理运用．6．C【解析】几何体为圆柱中挖去一个半球，圆柱底面半径和高均为r ，半球的半径为r ，∴几何体的体积V=π×r 2•r -1423⨯πr 3=13πr 3=9 π，∴r=3．∴S 侧= π×2r×r=2 π r 2=18 π，S 底= π×r 2=9 π，S 半球=12×4π×r 2=2 π r 2=18 π，∴几何体的表面积为S 表面积=18 π +9 π +18 π =45 π． 故选：C7．A【解析】将函数()2cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位，可得()22cos 13f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像，再把所有的点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数()22cos 213y g x x π⎛⎫==-- ⎪⎝⎭的图像，令223x π-=,2k k Z ππ+∈，得7,122k x k Z ππ=+∈ ，故图象()y g x =的一个对称中心为,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭故选A点睛:本题是对()sin y A wx ϕ=+型函数图像变换的考查，左右平移改变x 本身，伸缩变换改变周期，即改变x 前的系数w,做题时一定要注意左右平移时x 前的系数，若不为1，应先提取再进行变换.8．D【解析】实数 ,x y 满足约束条件0{30260y x y x y ≥+-≤-+≥ 的可行域如图，目标函数2z a x y =+ 的最小值为-6，可知目标函数的最优解为B ，由0{260y x y -+＝＝ 解得6066B a --=-（，），，解得1a =-； 故选：D ． 点睛：本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力． 9．C【解析】2π-＜x ＜2π 时，y=cosx 是偶函数，并且y=cosx ∈（0，1]， 函数f （x ）=12log cos x （22x ππ-<<）是偶函数，cosx ∈（0，1]时，f （x ）≥0． ∴四个选项，只有C 满足题意．故选：C ．点睛：对于函数图像选择题要抓住函数的性质，先从定义域值域入手，进行排除；也可根据奇偶性单调性进行分析，复合函数的单调性符合同增异减的原则，有时也可以根据特殊的函数值进行排除.10．A【详解】模拟程序的运行，可得n=2，S 1=0，a 1=1执行循环体，a 2=2，S 2=3，n=3满足条件n≤5，执行循环体，a 3=4，S 3=11，n=4满足条件n≤5，执行循环体，a 4=8，S 4=31，n=5满足条件n≤5，执行循环体，a 5=16，S 5=79，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出S 5的值为79．故选A11．B【解析】由y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数知：f （﹣x ）=f （x ），f （x+2）=f （﹣x+2）=f （x ﹣2），故f （x ）=f （x+4），则F （3）=f （3）+f （﹣3）=2f （3）=2f （﹣1）=2f （1）=23π， 故选B ．点睛：y ＝f （－x ）和y ＝f （x ＋2）是偶函数，说明函数y ＝f （x ）即关于x 0=对称，又关于x 2=对称，所以函数y ＝f （x ）的周期为2024-=,（轴间距的二倍）. 12．C【详解】∵抛物线C 方程为22(0)y px p =>,∴焦点(,0)2p F ， 设(,)M x y ,由抛物线性质52p MF x =+=,可得52p x =-， 因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为52， 由已知圆半径也为52,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐标为4， 即(5,4)2p M -,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =.故答案C.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键.13．【解析】 【详解】在菱形ABCD 中，060DAB ∠=，2AB =，222|||2|cos AD AB AD AB AD AB DAB +=++⋅∠ 14422212232BC DC AD AB =++⨯⨯⨯=∴+=+=故答案为23 14．5 【解析】()31nx⎛+ ⎝的展开式的通项为()()()020********r r r n n n C x C C --∴-+-= ，解得n =5， 故答案为515．4 【解析】lg 2x ＋lg 8y ＝x lg2＋3y lg 2＝lg 2，∴x ＋3y ＝1， ∴113x y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 16．61453，⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由导函数的图形知，x ∈（-2，0）时，f′（x ）＜0；x ∈（0，+∞）时，f′（x ）＞0∴f （x ）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f （2a+b ）＜1∴-2＜2a+b ＜4∵a ＞0，b ＞0∴a ，b 满足的可行域为2623b a +=+33b a ++ 表示点（a ，b ）与（-3，-3）连线的斜率的2倍由图知当点为（2．，0）时斜率最小，当点为（0，4）时斜率最大 所以263b a ++的取值范围为61453⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为61453⎛⎫ ⎪⎝⎭，点睛：利用导函数求函数的单调性问题，应该先判断出导函数的符号，当导函数大于0对应函数单调递增；当导函数小于0，对应函数单调递减．结合函数的单调性求出不等式的解即a ，b 的关系，画出关于a ，b 的不等式表示的平面区域，分析函数几何意义，结合图象求出其取值范围．17．（1）4A π=，3C π=，5.12B π=（2）34+【解析】试题分析：(1)利用两角和差正余弦公式可得A 的大小为4π，结合余弦定理可得3C π=，5.3412B ππππ=--=(2) 利用正弦定理首先求得b 的值b =试题解析：（1） 因为,A B 均为锐角，()()sin cos ,A B A B -=+sin cos cos sin cos cos sin sin A B A B A B A B ∴-=-, sin cos sin sin cos cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+, ()()sin cos sin cos cos sin A B B A B B ∴+=+B 为锐角，cos sin 0B B ∴+≠, sin cos ,A A ∴=则A 的大小为4π， 在ABC ∆中,222cos cos sin sin sin B C A A B --=-,()()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ∴----=-, 222sin sin sin sin sin C B A A B ∴--=-,222,a b c ab ∴+-=1cos ,23C C π∴=∴=，5.3412B ππππ∴=--=（2）根据正弦定理sin sin a b A B=,得sin 52sin 2sin sin 1264a B b A πππ⎛⎫===+=⎪⎝⎭，11sin 22ABC S C ab ∆∴=⋅⋅==18．（1）见解析（2）h = 【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得1AB OA C ⊥平面，然后利用线面垂直的定义即可证得题中的结论；(2)建立空间直角坐标系，结合平面的法向量和直线的方向向量可得直线1A C 与平面11BB C C . 试题解析：（1）证明：如图所示，取AB 的中点O ，连接OC ，1OA ，1A B .因为=CA CB ，所以OC AB ⊥.由于1AB AA =，160BAA ∠=︒， 故1AA B 为等边三角形，所以1OA AB ⊥. 因为1OC OA O ⋂=，所以1AB OA C ⊥平面.又11AC OAC ⊆平面，故1AB AC ⊥（2）由（1）知OC AB ⊥，1OA AB ⊥，又11ABC AA B B 平面平面⊥，交线为AB ，所以11OC AA B B ⊥平面，故1,,OA OA OC 两两相互垂直.以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，OA 为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系Oxyz .由题设知()()(()11,0,0,,0,0,3,1,0,0A A C B -，则(=1,0BC，()11BB AA ==-，(10AC =. 设(),,n x y z =是平面11BB C C 的法向量，则10,0,n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,0.x z x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取)1,n =-故11110,5n AC cosn AC n AC ⋅==-.所以1A C 与平面11BB C C 19．（1）()14P A =（2）分布列见解析，()35E X =【解析】试题分析：（1）利用古典概型的概率公式求解即可．（2）随机变量X 的取值为：0，1，2，曲线概率，即可得到分布列，然后求解期望即可． 试题解析：（1）令A 表示事件“三种类型灾情中各取到1个”，则由古典概型的概率公式有()11123531014C C C P A C ==； （2）随机变量X 的取值为：0，1，2，则()383107015C P X C ===，()12283107115C C P X C ===，()21283101215C C P X C ===，()77130121515155E X =⨯+⨯+⨯=． 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.20．（1）22143x y +=；（2）t 的取值范围是1(0,)4． 【解析】试题分析：（1）运用题设条件及椭圆的定义进行求解；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系进行分析探求： 试题解析：解：（Ⅰ）抛物线24y x =的焦点为()1,0，2513p PF x =+=，∴23p x =，∴p y =∴23P ⎛ ⎝， 又()21,0F ，∴()11,0F -， ∴1275433PF PF +=+=，∴2a =， 又∵1c =，∴2223b a c =-=，∴椭圆方程是：22143x y +=．（Ⅱ）设MN 中点为()00,D x y ，因为以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形， 则TD MN ⊥，设直线MN 的方程为1x my =+，联立221,{1,43x my x y =++=整理得()2234690m y my ++-=， ∵2F 在椭圆内，∴0∆>恒成立，∴122634my y m -+=+，∴02334m y m -=+，∴0024134x my m =+=+，∴1TD MN k k ⋅=-，即22334434m m m t m -+=--+， 整理得2134t m =+， ∵20m >，∴()2344,m +∈+∞，∴10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以t 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．点睛：本题旨在考查圆锥曲线中的椭圆、抛物线的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识与基本思想方法的综合运用．求解第一问时，直接运用抛物线的定义及椭圆的定义，求出椭圆中的参数，从而确定了椭圆的方程；（2）第二问的求解则是借助直线与椭圆的位置关系联立方程组，通过对交点坐标的推算建立函数关系，通过求函数的值域，求出参数的取值范围．21．（1）函数()f x 在R 上是增函数；（2）2；（3）0.693 【详解】（1）因为1()20xx f x e e=+-≥'，当且仅当0x =时等号成立，所以函数()f x 在R 上是增函数；（2）因为()g x =(2)4()f x bf x -=224()(84)x x x xe e b e e b x -----+-，所以()g x '=222[2()(42)]xx x x ee b e e b --+-++-=2(2)(22)x x x x e e e e b --+-+-+.当2b ≤时,()0g x '≥,等号仅当0x =时成立，所以()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，所以对任意0x >，()0>g x ；当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-，即0ln(1x b <<-时，()0g x '<，而(0)0g =，因此当0ln(1x b <≤-时，()0<g x ， 综上，b 的最大值为2. （3）由（2）知，32(21)ln 22g b =-+-，当2b =时，36ln 202g =->，ln 20.6928>>；当14b =+时，ln(1b -=32)ln 22g =--0<，18ln 20.693428+<<，所以ln 2的近似值为0.693. 【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断，容易;对第（2）问,考虑不到针对b 去讨论；对第（3）问, 找不到思路.考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.22．（1）22328y x x y =-+=， ,；（2）3AB =【解析】试题分析：（1）消去C 1的参数方程中的参数t ，即可得到C 1的普通方程；把ρ2=x 2+y 2，y=ρsinθ代入极坐标方程即可求得C 2的直角坐标方程；（2）联立C 1的普通方程与C 2的直角坐标方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求出A ，B 两点横坐标的和与积，再由弦长公式求|AB|的值． 试题解析：（1）将曲线C 2的极坐标方程()221sin 8ρθ+=转化为直角坐标方程2228xy +=；将曲线C 1的方程1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去t 化为普通方程：3y x =-；（2）若C 1与C 2交于两点A ，B ，可设()()1122,,A x y B x y ， 联立方程组22328y x x y =-⎧⎨+=⎩，消去y ，可得()22238x x +-=，整理得2312100x x -+=，所以有12124103x x x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，则AB ===． 23．（Ⅰ）(2，4)；（Ⅱ）a ≥6或a ≤0 【解析】试题分析：（Ⅰ）问题转化为5−m <x <m +1，从而得到5−m =2且m +1=4，基础即可；（Ⅱ）问题转化为|x −a|+|x −3|≥3恒成立，根据绝对值的意义解出a 的范围即可． 试题解析：解：(1)∵f(x)=m −|x −3|， ∴不等式f(x)>2，即m −|x −3|>2， ∴5−m <x <m +1，而不等式f(x)>2的解集为(2，4)， ∴5−m =2且m +1=4，解得：m =3；(2)关于x 的不等式|x −a|≥f(x)恒成立⇔关于x 的不等式|x −a|≥3−|x −3|恒成立⇔|x −a|+|x −3|≥3恒成立⇔|a −3|≥3恒成立， 由a −3≥3或a −3≤−3， 解得：a ≥6或a ≤0．考点：1.绝对值不等式的解法；2.分段函数的应用．。