误差理论与测量平差基础PPT课件
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《误差理论与测量平差》课件66页PPT
limD(X)0 X为X~的严格一致性估计
n
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
有效性：若 的无偏估计量不唯一，若D(ˆ1)D(ˆ2) 则 ˆ1 比 ˆ2 有效，若 D(ˆ) min 则ˆ 为 的最有效估计量—称 为最优无偏估计量 在测量平差中，参数的最佳估值要求是最优无偏 估计量 最小二乘估计与极大似然估计是最优无偏估计， 因为他们的估计原则是使 的估计量V VTPVmin
情况、数字特征、误差的传播规律。用一个公式表示 即
（1） （2）
XK LK0
测量平差：就是按一定的平差原则处理一个几何—物
理关系模型中由于观测误差引起的不闭合问题，估计 关系模型中观测值和未知量的值，评价它们的精度
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
平差原则和任务 平差的原则：
①估计的无偏性、有效性、一致性； ②最大概率原则； ③最小二乘法则。 平差的任务：对测量得出的观测值的统计特性进行检验， 按一定的准则——最小二乘原理，求出数学模型中待 定参数的最佳估计值，并研究这些估值的统计特性。
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
二、参数估计方法 （1）矩法：用子样矩的函数，作为相应的每体矩的同样
函数的估计。 子样样均的值一x阶 1n原in1点xi是矩母。体数学期望的最优无偏估计，它是子 矩法的特点是方法直观，不必知道母体的分布类型。
第四讲 平差数学模型与最小二乘原理
（2）最大似然法：使子样出现的概率为最大时的未知参 数估计方法。 设母体的分布函数为f（x;θ），θ为未知参数， 对χ 抽 得 到 的 子 样 为 （ x1，x2，…xn）， 则 χ 落 在 χi（1≤i≤n） 邻域dx上的概率为f（xi;θ）dx，因子样观测值互相独 立，所以子样观测值同时出现的概率为
《误差理论与测量平差基础教学课件》第六讲05-22页精选文档
m仪 3".0
m读6".0
m照 2".4 m外 3".0
m 方m 仪 2 m 照 2 m 读 2 m 外 2
3 " .0 2 2 " .4 2 6 " .0 2 3 " .0 2 7 " .7
第六讲 误差传播律在测量中的应用
6、极限误差的确定
极限误差是真误差的最大允许值； 通常取2或者3倍中误差作为极限误差的值。
第六讲 误差传播律在测量中的应用
2、一个量独立等精度观测算术中数中误差
mx
m n
n1
4
10
30
100
mx 1.0m 0.5m 0.32m 0.18m 0.1m
提高算术中数精度的关键是提高观测值的精 度，而不能单纯的依靠增加观测次数！
第六讲 误差传播律在测量中的应用
3、水准测量的精度
标尺
标尺
hab
mh K S
水准测量高差中误差与水准 路线长度的平方根成正比。
K的含义：当S＝1时
mh K
说明：K是单位距离高差的中误差。水准测量高
差中误差等于单位距离观测高差中误差与水准
路线全长的平方根之积 。
第六讲 误差传播律在测量中的应用
4、三角高程测量的精度
测站和照准点间的高差为
h S ta n i a
2、Some forms about the UVAM XYBT
第六讲 误差传播律在测量中的应用
1、测角中的应用（菲列罗公式） 2、算术中数中误差计算 3、水准测量的精度 4、三角高程测量精度 5、若干独立误差的联合影响 6、限差的确定
第六讲 误差传播律在测量中的应用
mW
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
误差理论与测量平差基础教学课件-第五讲06
firstly; 3. 3）Applying the Law of Propagation of
Errors; 4. 4）Substituting standard error for variance.
2020/3/21
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
Some special cases： [1]观测值不相关时
z2Biblioteka n i1f xi2i2
0
[2]线性函数
n
z ki xi i 1
n
2 z
ki2
2 i
i 1
2020/3/21
X
2121
12
2 2
1n 2n
n1 n2
2 n
X
012
0
2 2
0
0
0
0
2 n
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
m2 xn
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
2.Variance and standard error of functions of random variable
Step of Solution:
1. 1）Construct the Mathematical model; 2. 2）If the model is no-linear, linearizing it
x n
dY dYdX dY—雅克比矩 m阵 n阶 ，
dX
dX
补充知识
4.向量的微分
y1 y1
dY dX
Errors; 4. 4）Substituting standard error for variance.
2020/3/21
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
Some special cases： [1]观测值不相关时
z2Biblioteka n i1f xi2i2
0
[2]线性函数
n
z ki xi i 1
n
2 z
ki2
2 i
i 1
2020/3/21
X
2121
12
2 2
1n 2n
n1 n2
2 n
X
012
0
2 2
0
0
0
0
2 n
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
m2 xn
No.5 Propagation of Variance-Covariance Matrix
2.Variance and standard error of functions of random variable
Step of Solution:
1. 1）Construct the Mathematical model; 2. 2）If the model is no-linear, linearizing it
x n
dY dYdX dY—雅克比矩 m阵 n阶 ，
dX
dX
补充知识
4.向量的微分
y1 y1
dY dX
误差理论与测量平差基础教学课件-第十三讲
(i1,2,,r)
ai ( L fˆ1i)L ˆL, bi ( L fˆ2i)L ˆL, ri ( L fˆri)L ˆL,
(i1,2,,n)
b1j (x ˆf1j)X ˆX0, b2j ( x fˆ2j)X ˆX0, brj( x fˆrj)X ˆX0, (j1,2,,t)
表示成矩阵形式
式中
3、Principle of Adjustment
第四步，联立条件方程（法方程）
BP 1BTK BXX ˆW 0
BT XK
0
令
NBP1BT
rr
N BT X
B0XKXˆW 00
第十三讲 具有参数的条件平差
Conditional Least-Squares Adjustment With Parameters
N BT X
B0XKXˆW 00
求解：
K N
XˆBT X
BX1W 0 0
请记住：
Xˆ
M
B 1 T X
N 1W
K N 1(BXXˆ W
)
V P1BT K
容易验证：
B N T X B 0 X 1 N 1 N M 1 1 B B X T X M N 1 1 B T X N 1 N 1 B M X M 1 1
A12
A22
B
B11 B21
B12
B22
如果A、B互逆，则
A11 A21
A12B11 A22 B21
B B1 22 2 Ik
Ink
展开，得到
A11B11 A12 B21 I k
A11B12 A21B11
A12 B22 A22 B21
0 0
(1) (2) (3)
《误差理论与测量平差基础教学课件》第十九讲48页PPT
f(2)221()(2)21e2
2 0
2 0 2 0
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从 2分布的随机变量
f ( 2)
0.2
1
4
0.1
10
20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
1.服从正态分布的随机变量
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从正态分布的~N(0, 1)
如果 P (yC ) C f(x)d x1
则 C 为正态分布的概率为a的侧分位点
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1、参数估计的概念
P ˆ 1 ˆ2 1
1 置信度
[ˆ1,ˆ2 ] 置信区间
ˆ1 ˆ2 置信限
第六章 参数的区间估计和假设检验
二、参数的区间估计
1、参数估计的概念 1）为什么我们表示平差值及其精度时总写成
Xˆ mX
2）极限误差的确切含义又是什么？
3）我们可以得到的置信区间到底是谁的可 能取值的范围？
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
如果 x~N(0,1) 服从标准正态分布
2x1 2x2 2 x2
服从标准正态分布的随机变量的平方和。
v——自由度，当v趋于无穷大时， 2 分
布趋于正态分布
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
密度函数
2 0
2 0 2 0
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从 2分布的随机变量
f ( 2)
0.2
1
4
0.1
10
20
0
5
10
15
20
25
30
35
40
2
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
1.服从正态分布的随机变量
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1.服从正态分布的~N(0, 1)
如果 P (yC ) C f(x)d x1
则 C 为正态分布的概率为a的侧分位点
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
1、参数估计的概念
P ˆ 1 ˆ2 1
1 置信度
[ˆ1,ˆ2 ] 置信区间
ˆ1 ˆ2 置信限
第六章 参数的区间估计和假设检验
二、参数的区间估计
1、参数估计的概念 1）为什么我们表示平差值及其精度时总写成
Xˆ mX
2）极限误差的确切含义又是什么？
3）我们可以得到的置信区间到底是谁的可 能取值的范围？
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
如果 x~N(0,1) 服从标准正态分布
2x1 2x2 2 x2
服从标准正态分布的随机变量的平方和。
v——自由度，当v趋于无穷大时， 2 分
布趋于正态分布
第六章 参数的区间估计和假设检验
一、随机变量的函数分布
2.服从 2 分布的随机变量
密度函数
《误差理论与测量平差基础教学课件》第十六讲共24页
PX
AT
A P
合二为一
( P X A T P ) 1 A P X 1 P X 1 A T ( P 1 A X 1 A T ) P 1 A X 1 P ( P X A T P ) 1 A P X 1 P X 1 A T ( P 1 A X 1 A T ) P 1 A X 1 P
补充：矩阵反演公式
（二）矩阵反演公式
( A 1 A 1 A 2 1 2 A 2 ) 2 1 1 A 1 1 A 1 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 A 1 1 1 ) 1 A 2 2 A 1 1 1
A 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 1 A 1 1 ) 1 2 ( A 1 A 1 1 A 2 1 2 A 2 2 ) 1 A 1 1 A 2 1 2 2
设 A 1 ， A 2 均 可 逆 ， 则 1 2
( A 1 A 1 A 2 1 2 A 2 ) 2 1 1 A 1 1 A 1 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 A 1 1 1 ) 1 A 2 2 A 1 1 1 1
A 1 1 A 1 1 ( A 2 2 A 2 2 A 1 1 1 A 1 1 ) 1 2 ( A 1 A 1 1 A 2 1 2 A 2 2 ) 1 A 1 1 A 2 1 2 2
A11，A22均为方阵。
若 A 1可 1逆 ， 则 A 1 A 1 11 A Z 1 1 1 A 1 1A 12 Z 2A 1 1 1 1 A 11 2A 11 11 A 1 Z 1A 1 1 1 1Z 21 1
其 中 Z 1A 2 2A 2A 1 1 1A 112
Q Xˆ以k 1 及当前观测值Lk和Pk，求解新的 和Xˆ k
第5章测量误差及测量平差ppt课件
四.测量误差处理
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
2 系统误差
对系统误差，通常采用适当的观测方法或加改正数 来消除或减弱其影响。
例如：在水准测量中采用前后视距相等来消除 视准轴不平行横轴误差、地球曲率差和大气折光差；
在水平角观测中采用盘左盘右观测来消除 视准轴误差、横轴误差和照准部偏心差；
在钢尺量距时，加尺长改正来消除尺长误差， 加温度改正来消除温度影响， 加高差改正来消除钢尺倾斜的影响等。
.
一.中误差
拐m
中误差的几何意义为偶然误差分布曲线两个拐点的横坐标
.
二.相对误差
相对误差是中误差的绝对 值与观测值之比
化成分子为1的分数式
m k
D
1 D
m
例：用钢尺分别丈量了100米及200米两段距离， 观测值中误差均为±0.01米，则相对误差为
T1=
0—.0—1 100
= —1 — 10000
n
n n
.
第一节 测量误差概述
四.测量误差处理 y
3 偶然误差
正态分布曲线
yf()
1
2
e22
2
lim 2
n
n
-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21
x=
-24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24
.
第二节 衡量观测值精度的标准
精度：是指在对某一量值的多次观测中，各个观测值之间的 离散程度。
偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区 间内的概率为：
大于一倍中误差的偶然误差出现的可能性为32% 大于两倍中误差的偶然误差出现的可能性为5% 大于三倍中误差的偶然误差出现的可能性为0.3%
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武汉大学出版社
3
❖ 怎样学好测量平差
Ch1 绪论
预习、复习加习题练习 独立思考并推导公式 平差思想和解题思路 高数 线代 概率
习题练习
习题练习
公式推导
公式推导
平差思想
平差思想
数学基础
数学基础
4
Ch1 绪论
❖ 为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现
照错目标 读错数
如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。
采用测量平差的方法
系统误差 Systematic
error
误差在大小和符号上表 现出系统性，或按一定 规律变化，或为常数
采用适当的观测方法 校正仪器 计算加改正
粗差 Gross error
即大的偏差或错误
重复观测 严格检核 发现舍弃或重测
举例
照准误差 对中误差 估读误差
尺长误差 i角误差
大数读错 输入错误 照错目标
0 0.505
(K/n)/d△ 0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
误差理论与测量平差基础
Errors Theory and Foundation of Surveying Adjustment
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 Ch5 Ch6 Ch7 Ch8 Ch9 Ch10
课程结构
2
Ch1 绪论
❖ 教材
《误差理论与测量平差基础》 《误差理论与测量平差基础习题集》
2. 有多余观测，如何消除不符，求出最优值？
5
Ch1 绪论
测量平差的任务和意义 任务
1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值； 2）评定结果的精度。
意义
所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测 绘科学和技术的基础和灵魂。
6
Ch1 绪论
❖ 测量平差的作用和地位
1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求 出最佳估值。
Ch1 绪论
主要内容 绪论
平差基础知识 平差基本原则 四种经典平差方法 平差方法总结 点位精度讨论 统计假设检验 近代平差简介
8
Ch1 绪论
❖ 基本概念 • 误差
对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果 称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为 测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。
件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算 模型及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。 （4）测量平差中的统计假设检验方法。
15
本章结束！
16
Ch2 误差分布与精度指标
1
偶然误差的规律性
2
正态分布
3
精度及其衡量精度指标
4
本章总结及习题
17
2.1偶然误差的规律性
基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测 误差仅为随机误差。 i L ~i Li
• 测量平差
测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某 种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定 未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
9
一、误差来源
1.1 观测误差
测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。 观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。 外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。
10
1.1 观测误差
二、误差分类 • 偶然误差
在相同误差在大小和符号上表现出偶然性
• 系统误差
误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化
• 粗差
即错误
11
1.1 观测误差
误差名称
偶然误差 Random
error
误差特点
消除或削弱的办法
单个误差没有规律性， 整体具有统计规律，服 从或近似服从正态分布
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显 的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大 量误差进行统计具有明显的规律。
寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析)： 1、统计表 2、直方图
3、误差分布
18
例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角 和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真 误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法 的主要补充。
3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、 GPS测量原理、变形监测等。
4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士阶 段的重要课程。
7
❖ 课程结构
参见目录
章节 Ch1 Ch2- Ch3 Ch4 Ch5- Ch8 Ch9 Ch10 Ch11 Ch12
统计表
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60
>1.60
和
个数K 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
—△ 频率K/n
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011
❖ 1806年，A.M. 二乘法
Legendre从代E(数) 角lim度提出 了0, E最(L小)
n n
AX
❖1809年，Gauss在《天体运动的 02理Q 论 02》P1一文中发
表，称为Gauss- Legendre方 法
❖1912年，A.A. Markov，对最X小二( A乘T P原A理)1进AT行P了L
12
1.2 测量平差的研究对象
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误
差或粗差，或两种兼有。
平差问题的解决思路：
13
1.3 测量平差简史及发展
❖1794年，C.F. Gauss从概率统计角度提出了最小
二乘法
L AX
证明，形成数学模型（函数模型+随机模型）
❖ 近代发展
❖ 现在的国内相关专家
14
1.4 本课程的任务和内容
❖ 本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶 然误差的观测值。
（1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估 计；权。
（2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。 （3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条
3
❖ 怎样学好测量平差
Ch1 绪论
预习、复习加习题练习 独立思考并推导公式 平差思想和解题思路 高数 线代 概率
习题练习
习题练习
公式推导
公式推导
平差思想
平差思想
数学基础
数学基础
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Ch1 绪论
❖ 为什么要学测量平差？ 1. 测量过程中可能会出现
照错目标 读错数
如何避免错误或及时发现错误？ 解决方法：增加多余观测。
采用测量平差的方法
系统误差 Systematic
error
误差在大小和符号上表 现出系统性，或按一定 规律变化，或为常数
采用适当的观测方法 校正仪器 计算加改正
粗差 Gross error
即大的偏差或错误
重复观测 严格检核 发现舍弃或重测
举例
照准误差 对中误差 估读误差
尺长误差 i角误差
大数读错 输入错误 照错目标
0 0.505
(K/n)/d△ 0.630 0.560 0.460 0.320 0.235 0.180 0.085 0.055 0
个数K 46 41 33 21 16 13 5 2 0 177
+△ 频率K/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
误差理论与测量平差基础
Errors Theory and Foundation of Surveying Adjustment
Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 Ch5 Ch6 Ch7 Ch8 Ch9 Ch10
课程结构
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Ch1 绪论
❖ 教材
《误差理论与测量平差基础》 《误差理论与测量平差基础习题集》
2. 有多余观测，如何消除不符，求出最优值？
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Ch1 绪论
测量平差的任务和意义 任务
1）消除不符值，寻求未知参数的最佳估值； 2）评定结果的精度。
意义
所有观测数据只有通过平差才能使用，即测量平差是测 绘科学和技术的基础和灵魂。
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Ch1 绪论
❖ 测量平差的作用和地位
1）解决测量工作中的实际问题，对测量数据进行处理，求 出最佳估值。
Ch1 绪论
主要内容 绪论
平差基础知识 平差基本原则 四种经典平差方法 平差方法总结 点位精度讨论 统计假设检验 近代平差简介
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Ch1 绪论
❖ 基本概念 • 误差
对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果 称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为 测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。
件平差，间接平差，附有限制条件的间接平差。平差计算 模型及精度评定公式，各种平差方法的概括及联系。 （4）测量平差中的统计假设检验方法。
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本章结束！
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Ch2 误差分布与精度指标
1
偶然误差的规律性
2
正态分布
3
精度及其衡量精度指标
4
本章总结及习题
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2.1偶然误差的规律性
基本假设：系统误差已消除，粗差不存在，即观测 误差仅为随机误差。 i L ~i Li
• 测量平差
测量平差是测量数据调整的意思。其定义是，依据某 种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定 未知量的最佳估值及精度的理论和方法。
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一、误差来源
1.1 观测误差
测量仪器：仪器精密度；仪器轴线关系引起。 观测者：操作水平，工作态度，使用习惯。 外界环境：温度，湿度，风力，大气折光等。
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1.1 观测误差
二、误差分类 • 偶然误差
在相同误差在大小和符号上表现出偶然性
• 系统误差
误差在大小和符号上表现出系统性，或按一定规律变化
• 粗差
即错误
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1.1 观测误差
误差名称
偶然误差 Random
error
误差特点
消除或削弱的办法
单个误差没有规律性， 整体具有统计规律，服 从或近似服从正态分布
0 0.495
(K/n)/d△ 0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030 0
偶然误差：单个误差在误差大小及符号上没有明显 的规律，表现出随机性，称为偶然误差。但对大 量误差进行统计具有明显的规律。
寻找偶然误差之规律性的方法(统计分析)： 1、统计表 2、直方图
3、误差分布
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例1：在相同的条件下独立观测了358个三角形的全部内角，三角形内角 和应为180度，但由于误差的影响往往不等于180度，计算各内角和的真 误差，并按误差区间的间隔0.2秒进行统计。
2）是测绘学科的基础理论，是对仪器操作和基本测量方法 的主要补充。
3）其核心知识是后续专业课程的重要基础，如大地测量、 GPS测量原理、变形监测等。
4）是测绘工程专业研究生入学考试课程，是硕士和博士阶 段的重要课程。
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❖ 课程结构
参见目录
章节 Ch1 Ch2- Ch3 Ch4 Ch5- Ch8 Ch9 Ch10 Ch11 Ch12
统计表
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60
>1.60
和
个数K 45 40 33 23 17 13 6 4 0 181
—△ 频率K/n
0.126 0.112 0.092 0.064 0.047 0.036 0.017 0.011
❖ 1806年，A.M. 二乘法
Legendre从代E(数) 角lim度提出 了0, E最(L小)
n n
AX
❖1809年，Gauss在《天体运动的 02理Q 论 02》P1一文中发
表，称为Gauss- Legendre方 法
❖1912年，A.A. Markov，对最X小二( A乘T P原A理)1进AT行P了L
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1.2 测量平差的研究对象
研究对象：带有误差的观测值 经典测量平差：只含有偶然误差的观测值 近代测量平差：观测值除了含有偶然误差，还含有系统误
差或粗差，或两种兼有。
平差问题的解决思路：
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1.3 测量平差简史及发展
❖1794年，C.F. Gauss从概率统计角度提出了最小
二乘法
L AX
证明，形成数学模型（函数模型+随机模型）
❖ 近代发展
❖ 现在的国内相关专家
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1.4 本课程的任务和内容
❖ 本书主要为经典测量平差内容，即只讨论带有偶 然误差的观测值。
（1）偶然误差理论。偶然误差特性，传播；精度指标及估 计；权。
（2）测量平差的函数模型和随机模型，最小二乘原理。 （3）测量平差的基础方法。条件平差，附有未知参数的条