高三数学习题和、差、积、商的导数

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高三数学和差积商的导数

高三数学和差积商的导数一、学习目标掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法．二、重点难点本节的重点是：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即(u ±v)′＝u ′±v ′ (uv)′＝uv ′＋u ′v (v u )′＝2v v u v u '-'．本节的难点是：积的导数和商的导数的正确求法．三、典型例题例1求下列导数（1）y ＝x x --+1111；（2）y ＝x · sin x · ln x ；（3）y ＝x x4；（4）y ＝x xln 1ln 1+-．【点评】如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．例2求函数的导数① y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex② y ＝x x x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？【解】（1）把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4．∴ 切点为（1，－4）．y ′＝12 x3－6 x2－18 x ，∴ 切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴ 切线方程为y ＋4＝－12（x －1），即y ＝－12 x ＋8．由⎩⎨⎧+-=+--=8124923234x y x x x y 得3 x 4－2 x3 －9 x2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，32．代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（32，0）．【点评】直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4曲线S ：y ＝x3－6 x 2－x ＋6哪一点切线的斜率最小？设此点为P （x0，y0）．证明：曲线S 关于P 中心对称．【解】y ′＝3 x2－12 x －1当x ＝3212⨯＝2时，y ′有最小值，故x 0＝2，由P ∈S 知：y 0＝23－6 · 22－2＋6＝－12即在P （2，－12）处切线斜率最小．设Q （x ，y ）∈S ，即y ＝x3－6 x2－x ＋6则与Q 关与P 对称的点为R （4－x ，－24－y ），只需证R 的坐标满足S 的方程即可． (4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6＝64－48 x ＋12 x 2 －x 3－6（16－8 x ＋x2）＋x ＋2＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －30＝－x 3 ＋6 x2 ＋x －6－24＝－y －24故R ∈S ，由Q 点的任意性，S 关于点P 中心对称．【点评】本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x值代回原方程．。

高中数学课时作业16函数的和、差、积、商的导数苏教版选修1-1(2021年整理)

（江苏专用）2018-2019学年高中数学课时分层作业16 函数的和、差、积、商的导数苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学课时分层作业16 函数的和、差、积、商的导数苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时分层作业(十六）函数的和、差、积、商的导数（建议用时：45分钟）[基础达标练]一、填空题1．设f（x)＝ln a2x(a>0且a≠1），则f′(1)＝________。

【解析】∵f（x)＝ln a2x＝2x ln a，∴f′（x）＝(2x ln a)′＝（2x）′ln a＋2x(ln a)′＝2ln a，故f′（1)＝2ln a.【答案】2ln a2．函数y＝(2＋x3）2的导数为______．【解析】∵y＝(2＋x3）2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2。

【答案】6x5＋12x23.若曲线y＝x2－1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点,则α＝__________.【导学号:95902210】【解析】y′＝αxα－1，在点(1，2)处的切线的斜率为k＝α，又切线过坐标原点,所以α＝错误!＝2。

【答案】24．设f（x）＝x ln x,若f′(x0)＝2，则x0的值为________．【解析】f′(x）＝ln x＋x·错误!＝ln x＋1，因为f′(x0）＝2，所以ln x0＋1＝2,ln x＝1，x0＝e。

【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）

【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）1.2.2 函数的和、差、积、商的导数明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)，(4)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g 2(x)(g(x)≠0)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连结的两个或两个以上基本初等函数的导数的求解，也是本节要研究的问题．探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及f(x)g(x)′＝f′(x)g′(x)的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝3x －lg x.解(1)y′＝(x 3)′－(2x)′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y′＝(x 3)′－(x 2)′＋x′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f(x)＝3x 与函数g(x)＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3x ln 3，g′(x)＝1xln 10，利用函数差的求导法则可得(3x －lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3x ln 3－1xln 10. 反思与感悟本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形，转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)f(x)＝2－2sin 2x 2. 解(1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，∴y′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)∵f(x)＝2－2sin 2x 2＝1＋cos x ，∴f′(x)＝1′＋(cos x)′＝－sin x.例 2 求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tan x ；(2)f(x)＝x －1x ＋1. 解(1)f′(x)＝(x·tan x)′＝(xsin x cos x)′ ＝(xsin x)′cos x －xsin x(cos x)′cos 2x＝(sin x ＋xcos x)cos x ＋xsin 2x cos 2x ＝sin xcos x ＋x cos 2x . (2)∵f(x)＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴f′(x)＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′。

高中数学苏教版2-2+1.2.2函数的和、差、积、商的导数+作业+Word版含解析

(3)y＝ x4＋ 6x3－ ex＋ 1 . π
10． (1)求曲线 y＝ f(x)＝ x3－ 2x 在点 (1，－ 1)处的切线方程； (2)求曲线 y＝ f(x)＝ x3－ 2x 过点 (1，－ 1)的切线方程．
参考答案
1 答案： 18x－ 12 2 答案： 2e 解析： ∵y′＝ xex＋ex，∴x＝ 1 时， y′＝ 2e.
______________ ． 6．已知函数 f(x) ＝ax3＋ 3x2＋ 2，且 f ′－（1)＝ 4，则 a＝ ________.
7．已知函数 f(x) ＝ f'
π cos x＋ sin x，则 f
π 的值为 __________．
4
4
8．若 f(x)＝ (x－ 1)( x－ 2)( x－ 3)( x－4)( x－5) ，则 f′ (1＝) __________. 9．求下列函数的导数： (1) y＝ x4－ 3x2－ 5x＋ 6； (2)y＝ sin x－x＋ ln x；
ห้องสมุดไป่ตู้
－5) ＋ … ＋ (x－ 1)(x－ 2)(x－ 3)(x－ 4)( x－ 5) ，′
∴f ′ (＝1)－ 1× (－ 2)×(－ 3)× (－4) ＝24. 9 答案：解： (1) y′＝ (x4－ 3x2－ 5x＋6) ＝′4x3－ 6x－5；
自我小测
1．函数 y＝ (3x－ 2)2 的导数为 __________ ．
2．函数
y＝
x
x·e
在
x＝ 1 处的导数为
__________．
3．若 f(x)＝ xln x，且 f′x（0)＝ 2，则 x0＝__________. 4．直线 y＝ kx＋ b 与曲线 y＝ x3＋ ax＋ 1 相切于点 (2,3)，则 b＝ __________. 5 ．曲线 y ＝ x3 － 3x2 有一条切线与直线 3x ＋ y ＝ 0 平行，则此切线的方程为

1[1].2.2函数的和、差、积、商的导数

1.2.2 函数的和、差、积、商的导数故事非常有趣在中国社会科学院举行的"2006年世界经济与国际形势报告会"上，中国社科院世界经济与政治研究所副所长李向阳指出，2005年一般估计美国的经济增长率为3.5%，2006年比2005年略有下降，在3.3%左右。

李向阳指出，美国经济的强劲增长来源于美国消费需求的强劲增长。

而美国消费需求的增长，很大程度来自于美国的房地产。

过去几年间美国的房地产市场为美国的消费者提供了坚实的基础，美国的房地产繁荣很大程度上取决于美国的低利率。

由于源源不断的外资的流入，把美国的长期利率压得很低。

外资的利率又进一步来源于其他的国家对美国的大量的贸易顺差，尤其是东亚国家和石油出口国对美国实行了贸易逆差，这样美国和全球的经济增长形成了双循环的机制，在商品市场大量的对比形成贸易顺差，资本市场大量的资本重新回归到美国的市场，支撑美国经济的增长。

生活中有很多地方要用到增长率，而增长率就用到了导数的思想。

教材非常讲解如何利用导数的四则运算法则和导数的公式求简单的函数导数1、和(差)的导数：法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)，即：[]()()''()'()f x g x f x g x ±=±【例1】求下列函数的导数：（1）14020224+--=x x x y（2）432615423x x x x y --++= 【析】求函数和差的导数相当于求函数导数的和差。

【解】（1）'384040y x x =--'232(2)28153y x x x =+-- 【评】求函数和差的求导原则可以推广到任意有限个函数。

2、积的导数：法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即：[]()'()'cf x cf x =；[]()()''()()()'()f x g x f x g x f x g x =+【例2】求下列函数的导数：（1）)3)(12(23x x x y ++=（2）32)1()2(-+=x x y（3）2sin (12cos )2x y x =-- 【析】函数积的求导特别要注意：常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数。

高等数学上册第二章第二节函数的和、差、积、商的求导法则

arshx' ln x 1 x2 '
1
x 1 x2 '
x 1 x2
1
1 1 1 x2 '
x 1 x2 2 1 x2
1
1 x
x 1 x2 1 x2
19
arshx 1 .
1 x2
由archx ln x x2 1 ,可得
archx 1 .
x2 1
x）'
1 x lna
.
（a
0, a
1）
解： log a
x' ln x '
lna
1 (ln x)' ln a
1 x lna
例5： y
1 tan x tan x
2loga
x
x
x,
求：dy dx
解：由于：1 tan x cot x 1 tan x
先化简第一项，大大方便了计算。
所以：dy csc2 x 2 3 x
5
tan x sec2 x 1 ,
cos2 x
6
cot x csc2 x 1 ,
sin2 x
7 secx secx tan x, 8 csc x csc x cot x,
9 a x a x ln a,
10 ex e x ,
11
log a
x
1 x ln a
,
12 ln x 1 , x
7
求：f '( x)；f '(1)
解：f '( x) 4x 3,
f '(1) 41 3 1.
例2： y (sin x 2cos x)ln x 求：y '

高中数学《导数的四则运算法则》知识点讲解及重点练习

5.2.2 导数的四则运算法则学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程．解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22，即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积．解由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2，所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)．所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________．答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x，由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0，即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________．答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。

2019高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数作业苏教版选修1-1

x＝ 0， y＝ x 所围成的三角形面积为
2|
－ ||2 x0
x 0|
＝ 6.
3
2019 4
[ 能力提升 ]
1．若函数
f(
x)
＝
1 3
x3－
f
′
(
－
1)
·
x
2
＋
x
＋
5
，则
f
′(1)
＝
________.
解析：∵
f
(
x
)
＝
1 3
x3
－
f
′(
－1)
·
x2＋ x＋ 5，
∴ f ′（x) ＝ x2－2f ′( －1) · x＋ 1，
将 x＝－ 1 代入上式得 f ′( － 1) ＝ 1＋ 2f ′( － 1) ＋ 1，
又知切线过点 (1 ，－ 1) ，代入上述方程，得－ 1－ ( x30－ 2x0) ＝ (3 x20－ 2)(1 － x0) ，
1 解得 x0＝ 1 或 x0＝－，
2
751 故所求的切线方程为 y＋ 1＝ x－1 或 y－ 8＝－ 4( x＋2) ，
即 x－y－ 2＝ 0 或 5x＋ 4y－ 1＝ 0.
2019
3.2.2 函数的和、差、积、商的导数
[ 基础达标 ]
1．已知 f ( x) ＝x3＋ 3x＋ ln 3 ，则 f ′（x) ＝ ________.
解析： f ′（x) ＝( x3) ′＋ (3 x) ′＋ (ln 3) ′＝ 3x2＋ 3xln 3 ＋0＝ 3x2＋ 3xln 3.
答案：
3x
(2) ∵y＝ ( x－ 2) 2＝ x－4 x＋ 4，
∴ y′＝ x′－ (4

苏教版数学选修2-2同步练习：1.2 1.2.2 函数的和、差、积、商的导数巩固提升

[A 基础达标]1．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D ．y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′ ＝2(x ＋1)(x －1)＋(x ＋1)2 ＝3x 2＋2x －1，所以y ′|x ＝1＝4.2．函数y ＝cos(－x )的导数是( ) A ．cos x B ．－cos x C ．－sin xD ．sin x解析：选C ．法一：[cos(－x )]′＝－sin(－x )·(－x )′ ＝sin(－x )＝－sin x . 法二：y ＝cos(－x )＝cos x ，所以[cos(－x )]′＝(cos x )′＝－sin x .3．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)解析：选C ．因为f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x ，又x >0，所以f ′(x )>0即x －2>0，解得x >2.4．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A ．e2B ．e 3C ．－e 2D ．－e 3解析：选A ．因为f ′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2k x 2，所以f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e x f ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－3 B ．2e C ．21－2eD ．31－2e解析：选D ．因为f ′(1)为常数，所以f ′(x )＝2e x f ′(1)＋3x ，所以f ′(1)＝2e f ′(1)＋3，所以f ′(1)＝31－2e. 6．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 的图象过点(1，5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为________．解析：因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解之得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 故f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x . 答案：f (x )＝2x 3－9x 2＋12x7．已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________．解析：f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2得， f ′(2)＝12＋2f ′(2)，所以f ′(2)＝－12，所以f (x )＝3x 2－24x ，所以f ′(x )＝6x －24，所以f ′(5)＝6. 答案：68．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．解析：因为y ＝4e x ＋1，所以y ′＝－4e x (e x ＋1)2.令e x ＋1＝t ，则e x ＝t －1，且t >1，所以y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t .再令1t ＝m ，则0<m <1，所以y ′＝4m 2－4m ＝4⎝⎛⎭⎫m －122－1, m ∈(0，1)．容易求得－1≤y ′<0，所以－1≤tan α<0，得34π≤α<π. 答案：[34π，π)9．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝x ＋cos x x －cos x；(5)y ＝2x cos x －3x log 2 017x ； (6)y ＝cos 2xsin x ＋cos x.解：(1)法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′ ＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.法二：因为y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，所以y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9. (2)因为y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，所以y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)因为y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，所以y ′＝x ′－⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1－12cos x . (4)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2.(5)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 017x ＋ (log 2 017x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 017x ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1x log 2 017e x ＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 017x －3log 2 017e. (6)y ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x＝cos x －sin x ，所以y ′＝－sin x －cos x .10．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1，1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．解：因为曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1，1)，所以a ＋b ＋c ＝1.①因为y ′＝2ax ＋b ，所以4a ＋b ＝1.② 又因为曲线过点Q (2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.[B 能力提升]1．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212D ．215解析：选C ．f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.2．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．解析：依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4. 答案：43．已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解：因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，因为点(x 0，y 0)在曲线C 上，所以y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0，因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时，y 0＝－38，k ＝－14，所以直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为(32，－38)．4．(选做题)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，所以f (2)＝12，①又f ′(x )＝a ＋b x 2，所以f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.由Ruize收集整理。

江苏专用最新的高中数学课时分层作业16函数的和差积商的导数苏教版选修1_38

课时分层作业(十六) 函数的和、差、积、商的导数(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．设f (x )＝ln a 2x(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝________.【解析】 ∵f (x )＝ln a 2x＝2x ln a ，∴f ′(x )＝(2x ln a )′＝(2x )′ln a ＋2x (ln a )′＝2ln a ，故f ′(1)＝2ln a .【答案】 2ln a2．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为______．【解析】 ∵y ＝(2＋x 3)2＝4＋4x 3＋x 6，∴y ′＝6x 5＋12x 2. 【答案】 6x 5＋12x 23.若曲线y ＝x 2－1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝__________.【导学号：95902210】【解析】 y ′＝αx α－1，在点(1,2)处的切线的斜率为k ＝α，又切线过坐标原点，所以α＝2－01－0＝2.【答案】 24．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________．【解析】 f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1，因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2，ln x 0＝1，x 0＝e.【答案】 e5．函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________．【解析】 f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，f ′(x )＝3x 2＋2x －1，f ′(1)＝3＋2－1＝4.【答案】 46．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)的值为________．【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.【答案】－47．若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【导学号：95902211】【解析】设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y ′＝－e －x.又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以－e －x 0＝－2，可得x 0＝－ln 2，此时y 0＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2,2)．【答案】 (－ln 2,2)8．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________.【解析】 ∵f ′(x )＝2ax －b cos x ，f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝23πa ＋12＝12，得a ＝0. 【答案】 0 －1 二、解答题9．求下列函数的导数： (1)y ＝e x·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3.；(3)f (x )＝ex1＋ax2.【解】 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x·1x＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x .(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.(3)f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax2210．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程.【导学号：95902212】【解】 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2， ∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－2)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[能力提升练]1．一质点做直线运动，由始点起经过t s 后的距离为s ＝14t 4－4t 3＋16t 2，则速度为零的时刻是________．【解析】 v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t .令v ＝0，则t ＝0,4,8. 【答案】 0 s,4 s,8 s2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________.【导学号：95902213】【解析】 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4e x ＋1′＝－4e xe x ＋12＝－4e x ＋1e x ＋2，－1≤－4e x＋1ex ＋2＜0，即－1≤tan α＜0，由正切函数图象得α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x＝(a －d －cx )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x .为使f ′(x )＝x cos x ，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝0，d ＝1.从而可知，f (x )＝x sin x ＋cos x . 【答案】 x sin x ＋cos x4．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.【导学号：95902214】【解】 (1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

2020高中数学 3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课件

6.(2010·开封高二检测）曲线y=f(x)=x3+x2-1在点P(-1,-1) 处的切线方程为____. 【解析】f′(x)=(x3+x2-1)′=(x3)′+(x2)′-(1)′ =3x2+2x. 切线的方程的斜率为k=f′(1)=3-2=1, ∴切线方程为y+1=x+1即y=x. 答案：y=x
切线l的方程.
【解题提示】有且仅有一条切线与y=x垂直：即方程f′
（x）=-1有唯一解,即可确定a的值.
【解析】∵f(x)= x1 3-2x2+ax,
3
∴f′(x)=x2-4x+a.
由题意可知,方程f′(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根.
∴Δ=16-4(a+1)=0,∴a=3.
∴f′(x)=x2-4x+3=-1化为x2-4x+4=0.
4.设f(x)=ax2-bsinx且f′(0)=1，f′( )= 1 , 则
32
a=____,b=____.
【解析】∵f′(x)=2ax-bcosx,
f (0)=-bcos0=1
∴
f
(
3
)=2a
3
∴
-bcos
3
=
1 2
,
答案：0 -1
ab==0-1.
5.（2010·宿迁高二检测）已知函数f(x)=f′(2)（2x36x2+9）+3x,，则f′（2)的值为____. 【解析】f′(x)=f′(2)（6x2-12x)+3，令x=2，则 f′(2)=f′(2)(24-24)+3 ∴f′(2)=3. 答案：3
二、解答题（每题8分，共16分）

高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数1111数学

例2： (1)求函h(数 x)xsinx的导. 数 (2)求函f(数 x)2xlnx的导. 数
解 :(1)h(x)(xsixn) xsixnx(six)nsixnxcoxs
(2)f (x) (2xlnx) (2x)lnx(2x)(lnx) 2lnx2
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3.用两种y 方 (22法 x3)求 (2 3) x
第十九页，共十九页。
(5)(ex)' ex
(6)(lnx' ) 1 x
(7)(sinx)' cosx (8)(co' sxs)inx
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2、由定义(dìngyì)求导数（三步法）
步骤 : (bùzhòu)
( 1 ) 求 y 增 f ( x x 量 ) f ( x )
(2 )算比 y f(x 值 x ) f(x );
证明猜 (zhèngmíng) f(x)g (x)f(x)g (x).
想
证明(zhèngmíng)：y令f(x)g(x).
y f ( x x ) g ( x x ) f ( x ) g ( x )
f ( x x ) f ( x ) g ( x x ) g ( x )
2xsinxx2coxs
sin2 x
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4.求yxx233在点 x3处的导
解y： ' 1(x2(3 x)2 (3x)2 3)2x
x2 6x (x2 3)2
3
当 x3时 ,f(3)3(23 26 3)3231 6
第十六页，共十九页。
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2
处的切线(qiēxiàn)的方程.
的导数解：法一：y (2 x 2 3 )(3 x 2 ) (2 x 2 3 )3 x ( 2 )

高三数学函数的和、差、积、商的导数(2)

高三数学函数的和、差、积、商的导数（2）一、教学目标：1．掌握两个函数的商的求导法则．2．能正确运用已学过的导数公式和导数四则运算法则，求某些简单函数的导数．3．能运用导数的几何意义与物理意义，解决有关的曲线、直线问题及物体运动问题．二、教学重点：掌握商的求导法则，灵活运用求导的四则运算法则；教学难点：商的求导法则与积的求导法则联系与区别的理解．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引入（1）复习两个函数的和（差）的求导法则：v u v u '±='±)(（2）学生练习：求函数x x y sin 2+=的导数．（3）复习两个函数的积的求导法则：.)(v u v u uv '+'='（4）学生练习：求函数x x y sin 2⋅=的导数．（5）问题：如何求函数xx y sin 2=的导数？ 2．新授1．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．)0( 2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 回顾导数定义：xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim )(00 证明：设.0)(,)()()(≠==x v x v x u x f y 则 )()()()()()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u x v x u x x v x x u y ∆+∆+-∆+=-∆+∆+=∆ [][])()()()()()()()(x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ⋅∆+-∆+--∆+= ∴)()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ⋅∆+∆-∆+⋅-⋅∆-∆+=∆∆ 因为)(x v 在点x 处可导，所以)(x v 在点x 处连续．于是当0→∆x 时，).()(x v x x v →∆+从而[]20)()()()()(lim x v x v x u x v x u x y x '-'=∆∆→∆．即.2v v u v u v u y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=' 说明： ①.v u v u ''≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②类比：v u v u uv '+'=')(， 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③.2v v u v u v u '+'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ④若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数必不可导，则它们的和、差、积、商不一定可导．例如，设xx x g x x x f 1cos )(1sin )(-=+=、，则)()(x g x f 、在0=x 处均不可导，但它们的和x x x g x f cos sin )()(+=+在0=x 处可导． 2．范例①判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正．222sin )cos 1(2cos 1x x x x x x x ++='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 答案：不正确．应为322cos 2sin cos 1x x x x x x ---='⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 注：.2v v u v u v u '-'≠'⎪⎭⎫ ⎝⎛ ②求.sin cos sin 2sin )(sin sin 22222xx x x x x x x x x y -='⋅-'= ③求332++=x x y 在点3=x 处的导数．解：.)3(36)3(2)3()3(1222222++--=+⋅+-+⋅='x x x x x x x y .6114424)39(318923-=-=++--='=x y ④求x y tan =的导数．解：x x x x x x x x y x x x y 22cos 1cos )(cos sin cos )(sin cos sin ,cos sin tan ='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='∴==∴.sec 2x y ='变式练习：求x y cot =的导数．（答案：.csc 2x y -='） ⑤求xx y 2sin sin 12+=的导数．解：将函数变形为：.cot 21tan cos sin 2sin cos sin 2sin sin 12222x x x x x x x x x y +=++=+= ∴.csc 21sec )(cot 21)(tan 22x x x x y -='+'=' ⑥求xx x x x y 9532-+-=的导数．解：2123953--+-=xx x y ∴23212123)21(901233)(95)(3---⋅-+-⋅='-'+'-'⋅='x x x x x y .1)11(292-+=xx 注：有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．应用 ①求曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程．回顾导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率．解：2222222)1(22)1(22)1(2,12+-=+⋅-+='∴+=x x x x x x y x x y .04221=-='=x y 即曲线在点（1，1）处的切线斜率.0=k 因此曲线122+=x x y 在点（1，1）处的切线方程为.1=y ②曲线运动方程为2221t tt s +-=，求3=t 时的速度．回顾导数的物理意义：瞬时速度是位移函数)(t s 对时间t 的导数：).()(x s x v '=解：运动物体在3=t 时的速度即是函数)(t s 在3=t 时的导数．.21121212222222t t t t t t t t t t s +-=+-=+-=∴.2726111227291 .4121332=++-='+⋅+-='=t s t t t s即运动物体在3=t 时的速度为.272611（三）小结（纳入知识体系）1．综合上节与本节可知：由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．曲线的切线问题及物体的运运速度问题均均可借助于导数的几何意义及物理意义转化为简单函数的求导问题得到解决．（四）练习教科书第122页练习第1、2②④题，习题3.3的第4、5题．五、布置作业教科书习题3.3第1④⑥、2②④、3、6题．。

高三数学-32几种常见函数的导数精品

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2 y x 6 ;
3x sint; 4u cos .
2.求下列函数的导数 : 1 1 y 3 ; 2 y 3 x . x
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3.2几种常见函数的导数
3.质点的运动方程是 s t 3 ( s的单位: m ,t的单位: s), 求质点在 t 3时的速度 . 4.求曲线 y x 在点P ( 2,16)处的切线方程 .
uv' u' v uv'.
特别地：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即
Cu' Cu' C为常数.
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3.3函数的和、差、积、商的导数练习2 1.求下列函数的导数 :
1 y x 2 2 cos x; 2 y 1 sin x 1 2 x 2 2.已知函数 f x x x 1, 若f ' x0 f x0 , 求x0的值.
u v' u'v'.
例2 求下列函数的导数:
1y x
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3
sin x;
2y x
4
x x3
2
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3.3函数的和、差、积、商的导数 2、积的导数法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即
3.2几种常见函数的导数公式1 公式2 公式3 公式4
C ' 0(C为常数)
x ' nx
n
n 1
(n Q).

高中数学选修本(理科)函数的和、差、积、商的导数同步练习

高中数学选修本(理科)函数的和、差、积、商的导数同步练习一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.若f (x )=sin α－cos x ,则f ′(α)等于A.sin αB.cos αC.sin α+cos αD.2sin α 2.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(－1)=4,则a 的值等于 A.319 B.316 C.313 D.310 3.函数y =22xa x + (a >0)的导数为0，那么x 等于A.aB.±aC.－aD.a 24.函数y =x sin x 的导数为 A.y ′=2x sin x +x cos xB.y ′=x x 2sin +x cos xC.y ′=xx sin +x cos x D.y ′=xx sin －x cos x5.函数y =xxsin 的导数为 A.y ′=2sin cos x x x x + B.y ′=2sin cos x xx x - C.y ′=2cos sin x x x x - D.y ′=2cos sin x xx x +6.函数y =x 2cos x 的导数为A.y ′=2x cos x －x 2sin xB.y ′=2x cos x +x 2sin xC.y ′=x 2cos x －2x sin xD.y ′=x cos x －x 2sin x 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）7.与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是___________.8.质点运动方程是s =t 2(1+sin t ),则当t =2π时，瞬时速度为___________.9.已知f (x )=354337xx x x ++,则f ′(x )=___________.10.已知f (x )=xx++-1111,则f ′(x )=___________.11.已知f (x )=xx2cos 12sin ,则f ′(x )=___________.三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）12.求过点（2，0）且与曲线y =x1相切的直线的方程.13.用求导的方法求和：1+2x +3x 2+…+nx n －1(x ≠1).14.水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度.参考答案一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A二、7.3x +y +2=0 8.2π 9.2x +1586115767-+x x 10.2)1(2x - 11.sec 2x 三、12.解：设所求切线与曲线的切点为P （x 0,y 0) ∵y ′=－21x ,∴y ′|x =x 0=－201x 所求切线的方程为y －y 0=－ 201x (x －x 0) ∵点（2，0）在直线上 ∴0－y 0=－201x (2－x 0) ∴x 02y 0=2－x 0① 又x 0y 0=1②由①②解得⎩⎨⎧==1100y x∴所求直线方程为x +y －2=013.解：∵x +x 2+…+x n=xx x n --1)1( (x ≠1)设f (x )=x +x 2+…+x n∴f ′(x )=1+2x +…+nx n －1211)1()()1]()1(1[)'1(x x x x x n x x x n n n --+-+-=--++ =21)1()1(1x nx x n n n -++-+∴1+2x +…+nx n －1=)1()1()1(121≠-++-+x x nx x n n n 14.解：设容器中水的体积在t 分钟时为V ，水深为h则V =20t又V =31πr 2h由图知306=h r∴r =51h∴V =31π·(51)2·h 3=75πh 3∴20t =75πh 3,∴h =31500t πh ′=323311500-⋅⋅t π 当h =10时，t =32π h ′=π5 ∴当h =10米时，水面上升速度为π5米/分.。

高中数学第三章导数及其应用3.2.2函数的和、差、积、商的导数3111数学

解得ab＝＝13，.
对导数几何意义综合应用的几点认识 (1)导数几何意义的综合应用题目的解题关键还是求函数在某点处的导数，即切线的斜率，注意与相关知识的结合，如函数、方程、不等式等． (2)导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，从而可以与解析几何的知识相联系．
12/13/2021
4．偶函数 f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e 的图像过点 P(0,1)，且在 x＝1 处的切线方程为 y＝x－2，求 y＝f(x)的解析式．解：由 f(x)是偶函数，易知 b＝d＝0，即 f(x)＝ax4＋cx2＋e. 则 f′(x)＝4ax3＋2cx. ∵函数在 x＝1 处的切线方程为 y＝x－2， ∴4a＋2c＝1， ①切点坐标为(1，－1)． ∴a＋c＋e＝－1. ②
常数与函数的乘积的导数两个函数的
积的导数
[C·f(x)]′＝_C__·f_′(_x_)_ (C 为常数) [f(x)·g(x)]′＝__f′_(x_)_g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)
两个函数的商的导数
f′xgx－fxg′x gfxx′＝________[_g_x__]_2 ________
12/13/2021
[精解详析] 函数 y＝x2＋2x 的导数 y′＝2x＋2. 曲线 C1 在点 P(x1，x21＋2x1)的切线方程是 y－(x21＋2x1)＝(2x1＋2)(x－x1)，即 y＝(2x1＋2)x－x21 ①，函数 y＝－x2＋a 的导数 y′＝－2x，曲线 C2 在点 Q(x2，－x22＋a)的切线方程是 y－(－x22＋a)＝－2x2(x－x2)，即 y＝－2x2x＋x22＋a ②，
3．2.2 函数的和、差、积、商的导数