中考二次函数实际应用题
中考二次函数实际问题应用题 3
中考二次函数实际问题应用题2.某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y 元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x 的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？3.某汽车在刹车后行驶的距离s （单位：米）与时间t （单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间t （秒）0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 … 行驶距离s （米） 02.85.27.28.81010.8…（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s 与t 之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？②当t 分别为t 1，t 2（t 1＜t 2）时，对应s 的值分别为s 1，s 2，请比较11s t 与22s t 的大小，并解释比较结果的实际意义．4.某商场购进一批L 型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。
根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。
现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。
在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）5.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)6.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
中考二次函数应用题(及答案解析)
中考二次函数应用题(及答案解析)二次函数应用题1．如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面209m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．①请通过计算说明小丽判断的正确性；②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？2．某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；(3)市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．3．某服装厂批发应季T恤衫，其单价y（元）与一次批发数量x（件）（x为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 4．罗平县小黄姜生产销售扶贫公司，2021年生产并销售小黄姜情况如图．该公司销售量与生产量相等，图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本1(y 单位：万元)、销售价2(y 单位：万元)与产量(x 单位：吨)之间的函数关系．(1)求该产品每千克生产成本1y 与x 之间的函数关系式；(2)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？5．为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，己知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个．(1)求出每月销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？6．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为9m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为24m ，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为m x ，隔离区面积为2m S ．(1)求S关于x的函数表达式，并写出x的取值范围；(2)求隔离区面积的最大值．7．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，近些年来冰雪运动得到了蓬勃发展，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，测得一组数据（如下表）．滑行时间t/s01234滑行距离s/m0514274 4(1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数图象的一部分？请你用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系；(3)如果该滑雪者滑行了230m，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒．（2431849）8．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．(1)求每次下降的百分率．(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？(3)在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？9．小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED 护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p （盏）与时间x （天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y （元/盏）与时间x （天）之间符合函数关系式1254y x =+（120x ≤≤，且x 为整数）． (1)求日销售量p （盏）与时间x （天）之间的函数关系式；(2)在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？(3)“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a 元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a 盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a 的值．（注：销售利润=售价-成本）．10．为了优化人居环境、提升城市品质，某小区准备在空地上新建一个边长为8m 的正方形花坛；如图，该花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，O 为对称中心，点E 、F 分别在AB 、AD 上，AE ＝AF ，G 、H 分别为BE 、DF 的中点．(1)设m AE x =，请用x 的代数式表示四边形OHFG 的面积S （单位：2m ）；(2)已知：小正方形ABCD 中，在△AFG 、四边形OHFG 内分别种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是80元、60元；其余部分种植草坪，每平方米的种植成本为95元．若另外的3块正方形区域也按相同方式种植，问：在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费多少元？【参考答案】二次函数应用题1．(1)21(4)49y x =--+(2)①小丽的判断是正确的；②小明应向前走0.3m 才能命中篮圈中心(3)1.3米【解析】【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为20(0)9，，设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+，由待定系数法求解即可；(2) ①求得当x = 7.3时的函数值，与3比较即可说明小丽判断的正确性；②由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为21(4)49y x m =--++，将(7.3， 3)代入求得m 的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案；(3)将y =3.19代入函数的解析式求得x 的值，进而得出答案．(1)解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为20(0)9，， 设抛物线的解析式为2(4)4y a x =-+， 将20(0)9，代入2(4)4y a x =-+，得：201649a =+， 解得：19a =-， ∴抛物线的解析式为21(4)49y x =--+； (2)解：①抛物线的解析式为21(4)49y x =--+， ∴当x = 7.3时，21(7.34)4 2.799y =--+=， 2.793≠，∴小丽的判断是正确的； ②出手的角度和力度都不变，∴设抛物线的解析式为21(4)49y x m =--++， 将(7.3， 3)代入21(4)49y x m =--++，得：213(7.34)49m =--++， 解得：10.3m =-，2 6.3m =-(舍去)，∴小明应向前走0.3m 才能命中篮圈中心；(3) 解：抛物线的解析式为21(4)49y x =--+， ∴当y = 3.19时，213.19(4)49x =--+，解得：1 1.3x =，2 6.7x =(不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效)， ∴小亮应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．(1)10元/千克(2)2244w x x =-+（515x ≤≤，且x 为正整数）最大值是242元，最小值为170元(3)106 107 108【解析】【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；（3）由题意得：2340244350x x a ≤-++≤，由二次函数的对称性可知x 的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a 值．(1)解：根据题意得342524x --=（）， 解得10x =．答：该日瓯柑的单价是10元/千克；(2)解：根据题意得222342524422212112121124]2[w x x x x x x x =--=-+=--+-=--+（）（）（），由题意得515x ≤≤，且x 为正整数，∵20-＜ ，∴11x =时，w 有最大值是242元，∵11-5=6，15-11=4，抛物线开口向下，∴5x =时，w 有最小值是22511242170--+=（）元；则w 关于x 的函数表达式为：23425244[]w x x x x =--=-+（）（515x ≤≤，且x 为正整数）；(3)解：由题意得2340244350x x a ≤-++≤，∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数，∴由二次函数的对称性可知，x 的取值为9，10，11，12，13当9x =或13时，2244234x x -+=；当10x =或12时，2244240x x -+=，当11x =时，2244242x x -+=．∵补贴后不超过350元，234+106=340，242+108=350，∴当106a =或107或108时符合题意．答：所有符合题意的a 值为：106，107，108．【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x 的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．3．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+； 当x >400时，y =70； 综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+ =()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．4．(1)()()10.2600904290130x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩ (2)当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．【解析】【分析】（1）根据线段AB ，线段CD 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可得；（2）设2y 与x 之间的函数关系式为222y k x b =+，用待定系数法得()20.61200130y x x =-+≤≤, 设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，利用二次函数的性质即可得．(1)解：设线段AB 所表示的1y 与x 之间的函数关系式为111y k x b =+，111y k x b =+的图象过点()0,60与()90,42，111609042b k b =⎧∴⎨+=⎩， 解得：110.260k b =-⎧⎨=⎩． ∴线段AB 所表示的一次函数的表达式为；()10.260090y x x =-+≤≤；当90130x ≤≤时，线段BD 的解析式为：()14290130y x =≤≤．∴每千克生产成本1y 与x 之间的函数关系式为：()()10.2600904290130x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩． (2)解：设2y 与x 之间的函数关系式为222y k x b =+，经过点()0,120与()130,42，22212013042b k b =⎧∴⎨+=⎩， 解得：220.6120k b =-⎧⎨=⎩， ∴线段CD 所表示的一次函数的表达式为()20.61200130y x x =-+≤≤；设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，①当090x ≤≤时，()()20.61200.2600.4(75)2250W x x x x ⎡⎤=-+--+=--+⎣⎦，∴当75x =时，W 的值最大，最大值为2250；②当90130x ≤≤时，()20.6120420.6(65)2535W x x x ⎡⎤=-+-=--+⎣⎦， ∴当90x =时，20.6(9065)25352160W =--+=，由0.60-<知，当65x >时，W 随x 的增大而减小，90130x ∴≤≤时，2160W ≤，因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．【点睛】本题考查了一次函数，分段函数，二次函数，，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质，分段函数和二次函数的性质．5．(1)10500y x =-+(2)21070010000w x x =-+-(3)销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【解析】【分析】（1）根据“销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个”可得函数解析式；（2）由（1）及题意可进行求解；（3）由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩，然后根据（2）及二次函数的性质可进行求解． (1)解：由题意得：()250102510500y x x =--=-+；(2)解：由（1）及题意得：()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-；(3)解：由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩， 解得：2730x ≤≤，由（2）可知21070010000w x x =-+-，∵100-<，即开口向下，对称轴为直线352b x a=-=， ∴当2730x ≤≤时，w 随x 的增大而增大，∴当x =30时，所获利润最大，最大利润为1090070030100002000w =-⨯+⨯-=； 答：销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键． 6．(1)2324S x x =-+，x 的取值范围：5≤x ＜8(2)45m 2【解析】【分析】（1）垂直于墙的一边为x m ，则隔离区的另一边为（24－3x ）m ，根据面积公式即可得到解析式，由24392430x x -≤⎧⎨->⎩即可得到x 的取值范围； （2）先将S 关于x 的函数表达式化为顶点式，即23(4)48S x =--+，求最值即可．(1)垂直于墙的一边为x m ，则隔离区的另一边为（24－3x ）m ，∴S＝x（24﹣3x），化简得2324S x x=-+根据题意，得不等式组2439 2430xx-≤⎧⎨->⎩解得：5≤x＜8，∴S关于x的函数解析式为：2324S x x=-+，x的取值范围：5≤x＜8(2)2324S x x=-+23(4)48S x=--+∵该抛物线开口向下，对称轴为直线x＝4，∴当5≤x＜8时，S随x的增大而减小，当x＝5时，S的值最大，最大值＝45答：隔离区面积最大值为45m2．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，涉及二次函数的性质、解一元一次不等式组，准确理解题意是解题的关键．7．(1)图见解析(2)二次函数，223s t t=+．(3)10秒【解析】【分析】（1）描点，连线，画出函数图象；（2）由图象可得出s与t的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；（3）把s=230m代入即可求出t的值．(1)描点，连线，如图所示．(2)观察函数图象，s 与t 的关系可近似看成二次函数，设s 关于t 的函数关系式为s ＝at 2＋bt ，将（1，5）（2，14）代入s ＝at 2＋bt ，得54214a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：23a b =⎧⎨=⎩， ∴近似地表示s 关于t 的函数关系式为223s t t =+．(3)当s =230，代入s =223t t +得230=223t t +解得t 1=10，t 2=-11.5（舍去）∴滑行的时间是10秒．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．8．(1)每次下降的百分率为20%；(2)每千克应涨价5元；(3)应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．【解析】【分析】（1）设每次下降的百分率是x ，找出等量条件列方程求解即可；（2）设每千克应涨价a 元，利润为W ，找出等量条件列方程求解即可；（3）根据（2）中的()()=1050020W a a +-，求二次函数的最值即可．(1)解：设每次下降的百分率是x ，则由题意列方程得：()2501=32x -解之得：1=1.8x （舍去），1=0.2x ，故每次下降的百分率是20%；(2)解：设每千克应涨价a 元，利润为W ，则由题意列方程得： ()()=1050020W a a +-令(10)(50020)=6000W a a =+-，解方程得：5a =或10a =，∵要尽快减少库存，∴取5a =，即每千克应涨价5元；(3)解：由（2）可得()22(10)(50020)=203005000=207.56125W a a a a a =+--++--+，当3007.52(20)a =-=⨯-时，W 取最大值为6125元， ∴应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题，二次函数的实际应用：销售问题，解该类题的关键是找出等量条件列方程求解，将销售问题中的最大利润问题转化成求二次函数最值问题．9．(1)日销售量p （盏）与时间x （天）之间函数关系为p-x 280(2)当x =10时，销售利润最大，w 最大=450元(3)a 的值为6【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解设该台灯的日销售量p （盏）与时间x （天）之间满足一次函数关系为p kx b =+，代入数据得：k+b=782=76k b ⎧⎨+⎩，解方程组即可； （2）设日销售利润用w 表示，根据日销售利润=（售价-成本）×销量，列函数关系w x x 128025204然后配方为顶点式即可；（3）根据函数的性质p-x 280，k =-2＜0，y 随x 的增大而减小，x =1时，p 最大=-218078盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a ），根据1254y x =+，k =104＞,y 随x 的增大而二增大，x =20时y 最大=12025=304⨯+元/盏，得出小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a ）元/盏，利用销量×每盏台灯的利润=450+30，列方程即可．(1)解：设该台灯的日销售量p （盏）与时间x （天）之间满足一次函数关系为p kx b =+，代入数据得：k+b=782=76k b ⎧⎨+⎩， 解得：k=-2=80b ⎧⎨⎩， ∴日销售量p （盏）与时间x （天）之间函数关系为p-x 280；(2)解：设日销售利润用w 表示，w x x 128025204 x x21104002 x 21104502，当x =10时，销售利润最大，w 最大=450元；(3)∵p -x 280，k =-2＜0，y 随x 的增大而减小，∴x =1时，p 最大=-218078盏，小亮采用如下促销方式：日销售量为（78+7a ）， ∵1254y x =+，k =104＞,y 随x 的增大而二增大，x =20时y 最大=12025=304⨯+元/盏， ∴小亮采用如下促销方式：销售价格为（30-a ）元/盏， 根据题意：a a302078745030， 整理得a +a-2783000， 解得125067a a ==-，（舍去）， ∴a 的值为6．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式及其性质，二次函数性质在销售中的应用，一元二次方程在销售中的应用是解题关键．10．(1)21=44S x -+ (2)5475元【解析】【分析】（1）分别计算出AGF 和四边形AGOH 的面积即可得到答案；（2）首先计算出正方形ABCD 中种草坪部分的面积，再根据题意可用x 表示出总共的花费，最后根据二次函数的性质即得出答案．(1)解：∵AE x =，4AB =∴4BE x =-， ∴122EG BG x ==-， ∴112222AG AE EG x x x =+=+-=+， ∴2111()224122AGF AG A S F x x x x =⋅=⨯=++． ∵O 为对称中心，∴O 到AD 的距离等于O 到AB 的距离等于422=， ∴1=22242AGO AHO AGO AGOH S S G x S S A +==⋅⋅⨯+=四边形 ∴2211=4()444A OH GF AG S S x Sx x x -=+-+=-+四边形； (2)解：在正方形ABCD 中，种植草坪的面积为221144()(4)1244AGF ABCD S S x S x x x --=⨯-+--+=-正方形， ∴在正方形ABCD 中，需要费用为2221180()60(4)95(12)515138044x x x x x x ++-++-=-+， ∴在这个花坛内种植花卉和草坪需要花费2224(5151380)2060552020(3)5475x x x x x -+=-+=-+．∴当3x =时，在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用最低，为5475元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出等式．。
中考二次函数应用题(含答案解析)
中考二次函数应用题(含答案解析)二次函数应用题1．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（10x≥的整数），每天销售利润为y（元）．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．2．某地在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为： y81620712x x xx x x+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（，为整数）（，为整数），每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如表：x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格直接写出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；(2)若月利润w（万元）＝当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；(3)当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？3．某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；(3)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率=利润÷成本×100%）(4)疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a 元（10≤a ≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a 的取值范围．4．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()2,1P 称为“爱凌点”，经过点()2,1P 的函数，称为“爱凌函数”．(1)若点()34,r s r s ++是“爱凌点”，关于x 的数2y x x t =-+都是“爱凌函数”，则r =_____，s =_____，t =_____．(2)若关于x 的函数y kx b =+和my x=都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值．(3)如图，点()11,C x y 、()22,D x y 是抛物线232y x x =-+上两点，其中D 在第四象限，C 在第一象限对称轴右侧，直线AC 、AD 分别交y 轴于F 、E 两点： ①求点E ，F 的坐标；（用含1x ，2x 的代数式表示）；②若1OE OF ⋅=，试判断经过C 、D 两点的一次函数()0y kx b k =+≠是否为“爱凌函数”，并说明理由．5．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少6．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件销售价x (元)的关系数据如下： x 30 32 34 36 y40363228(1)已知y 与x 满足一次函数关系，根据上表，求出y 与x 之间的关系式（不写出自变量x 的取值范围）；(2)设该商店每天销售这种商品所获利润为w (元)，求出w 与x 之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？7．某服装厂批发应季T 恤衫，其单价y （元）与一次批发数量x （件）（x 为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 8．嘉琪第一期培植盆景与花卉各40盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是120元，花卉的平均每盆利润是15元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．嘉琪计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）．(1)第二期盆景的数量为_________盆，花卉的数量为_________盆； (2)用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；(3)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？9．为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，己知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w （元）与销售单价x （元）之间的函数关(3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？10．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x 米，菜园的面积为S 平方米．(1)直接写出S 与x 的函数关系式； (2)若菜园的面积为96平方米，求x 的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a （0＜a ＜3）米的门，且面积S 的最大值为124平方米，直接写出a 的值．【参考答案】二次函数应用题1．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥， ∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键．2．(1)()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数 (2)()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数 (3)当6x =时，w 有最大值为196． 【解析】 【分析】（1）观察表中数据可得，当19x ≤≤时，20z x =-+；当1012x ≤≤时，10z =，则z 与x 的关系式可得；（2）分三种情况：当16x 时，当79x ≤≤时，当1020x ≤≤时，分别写出w 关于x 的函数关系式并化简，则可得答案；（3）分别写出当16x 时，当78x 时，当912x 时的函数最大值，然后比较取最大值即可． (1)解：观察表中数据可得，当19x ≤≤时，20z x =-+；当1012x ≤≤时，10z =． z ∴与x 的关系式为：()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数； (2)解：当16x 时，2(20)(8)12160w x x x x =-++=-++； 当79x ≤≤时，2(20)(20)40400w x x x x =-+-+=-+； 当1020x ≤≤时，10(20)10200w x x =-+=-+；w ∴与x 的关系式为：()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数；(3)解：当16x 时，212160w x x =-++2(6)196x =--+，6x ∴=时，w 有最大值为196；当79x ≤≤时，2240400(20)w x x x =-+=-，w 随x 增大而减小，7x ∴=时，w 有最大值为169；当1020x ≤≤时，10200w x =-+，w 随x 增大而减小，10x ∴=时，w 有最大值为100；100169196<<，6x ∴=时，w 有最大值为196．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式并分段计算是解题的关键．3．(1)180(100180)y x x =-+<≤ (2)228018000(100180)W x x x =-+-<≤(3)将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元 (4)2025a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x 的取值范围即可；（2）根据利润=（售价-单价）×销售量，即可得出答案；（3）根据题意可求出x 的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；（4）根据题意可求出x 的取值范围和W 与x 、a 的关系式，再将其配方，根据该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增，即可得出关于a 的不等式，解出a 的解集即可得出答案． (1)解：设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠， 根据图象可知点(130，50)和点(150，30)在y kx b =+的图象上，∴5013030150k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩．∴180y x =-+． 令0y =，则1800x -+=， 解得：180x =，∴y 与x 之间的函数关系式为180(100180)y x x =-+<≤； (2)根据题意可得2(100)(100)(180)28018000W x y x x x x =-=--+=-+-，即每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式为228018000(100180)W x x x =-+-<≤； (3)根据题意可得：10030%100x -≤， 解得：130x ≤． ∴100130x <≤．∵2228018000(140)1600W x x x =-+-=--+， ∴当130x =时，W 有最大值，且2max (130140)16001500W =--+=（元）．故将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元； (4)根据题意可知10050%100x -≤ 解得：150x ≤．22228018000(180)(140)40160024a a W x x a x x a ⎡⎤=-+---+=--++-+⎢⎥⎣⎦．∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大， ∴1401502a+≥， 解得：20a ≥． ∵1025a ≤≤， ∴2025a ≤≤． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．4．(1)2；-1；-1；(2)12k =-；(3)①()20,2E x -+；()10,2F x -+；②经过C 、D 两点的一次函数y =kx +b (k ≠0)是“爱凌函数”；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k 的值；（3）首先根据前提条件推出x 1与x 2的关系，然后利用C ，D 坐标用x 1和x 2表示出直线斜率kCD ，进一步代入点C 或者点D 的坐标，表示出截距b ，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件． (1)解：∵（3r ＋4s ，r ＋s ）为“爱凌点”，∴3421r s r s ⎧⎨⎩＋＝＋＝， 解得：21r s ⎧⎨-⎩＝＝，将（2，1）代入y ＝x 2−x ＋t 得：2122t =-+，解得t ＝−1． 故答案为：2；-1；-1． (2)将（2，1）分别代入y ＝kx ＋b 与y ＝mx中， 得1212k bm =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即122b k m =-⎧⎨=⎩，∵两个函数图象有且只有一个交点，∴kx ＋1−2k ＝2x只有一个根，即：kx 2＋（1−2k ）x −2＝0， Δ＝（1−2k ）2＋8k ＝0， ∴k ＝−12． (3)①令x 2−3x ＋2＝0，得：11x =，x 2=2， ∴A （1，0），B （2，0）， ∵C 、D 两点在抛物线上，∴C （x 1，x 12−3x 1＋2），D （x 2，22232x x -+），设AD 的函数关系式为：11AD y k x b =+，则11212122032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：121222k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()2222AD y x x x =-+-+， 令x ＝0，则22y x =-+，∴()202E x -+，， 设AC 的函数关系式为：22AC y k x b =+，则22221211032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：212122k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()1122AC y x x x =-+-+， 令x ＝0，则12y x =-+，∴()102F x -+，； ②y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”，理由如下： ∵若OE •OF ＝1，∴21221x x -+-+=， ∴（2−x 2）（x 1−2）−1＝0， ∴2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，∵一次函数y =kx +b 经过C 、D 两点，∴211122223232kx b x x kx b x x ⎧+=-+⎨+=-+⎩， 解得：121232k x x b x x =+-⎧⎨=-⎩，∴CD 的关系式为：y ＝（x 1＋x 2−3）x ＋2−x 1x 2， 将（2，1）代入得： 2（x 1＋x 2−3）＋2−x 1x 2=1，即2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，与前提条件OE•OF ＝1所得出的结论一致， ∴经过C ，D 的一次函数y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细．5．(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【解析】 【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价，然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可．（2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A 、B 型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B 型号的汽车售价为t 万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可． (1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得： 502x +＝40x， 解得x ＝8，经检验x ＝8是原分式方程的根， 8+2＝10（万元），答：A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元； (2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则A 型汽车的售价为（t +1）万元/台， ①根据题意，得：（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]≥（t ﹣8）（﹣t +14）， 解得：t ≥414，∴t 的最小值为414，即B 型汽车的最低售价为414万元/台， 答：B 型汽车的最低售价为414万元/台； ②根据题意，得：w ＝（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]+（t ﹣8）（﹣t +14） ＝﹣2t 2+48t ﹣265 ＝﹣2（t ﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t ＝12时，w 有最大值为23．答：A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键． 6．(1)2100y x =-+(2)221603000w x x =-+-，当销售单价为40元时获得利润最大 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式即可；（2）根据题意得210()(3)00w x x +--=，计算求出满足要求的解即可． (1)解：设该函数的表达式为y kx b =+，根据题意，得30403236k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2100k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的关系式为2100y x =-+． (2)解：根据题意，得210()(3)00w x x +--= 221603000x x =-+-224020(0)x =--+∵20a =-<∴当40x =时，w 的值最大∴当销售单价为40元时，获得利润最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握一次函数与二次函数的知识． 7．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩(2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+； 当x >400时，y =70； 综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+ =()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．8．(1)40x +，60x -(2)212404800W x x =-++，215900W x =-+(3)6x =时，W 最大，最大利润为5778元【解析】【分析】（1）根据第二期培植盆景与花卉共100盆，培植的盆景比第一期增加x 盆列式即可； （2）根据利润＝平均利润×销售数量列式计算即可；（3）表示出总利润W ，根据二次函数的性质求出最大值即可．(1)解：由题意得：第二期盆景的数量为()40x +盆，则花卉的数量为()()1004060x x -+=-盆，故答案为：40x +，60x -；(2)解：由题意得：21(40)(1202)2404800W x x x x =+-=-++，()2156015900W x x =-=-+；(3)解：由题意得：22122404800159002255700W W W x x x x x -++--+=++=+=， ∵对称轴为254x =，而x 为正整数， ∴当6x =时，5778W =，当7x =时，5777W =，∵57785777>，∴6x =时，W 最大，最大利润为5778元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，找到合适的数量关系列出算式是解题的关键． 9．(1)10500y x =-+(2)21070010000w x x =-+-(3)销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【解析】【分析】（1）根据“销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个”可得函数解析式；（2）由（1）及题意可进行求解；（3）由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩，然后根据（2）及二次函数的性质可进行求解． (1)解：由题意得：()250102510500y x x =--=-+；(2)解：由（1）及题意得：()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-；(3)解：由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩， 解得：2730x ≤≤，由（2）可知21070010000w x x =-+-，∵100-<，即开口向下，对称轴为直线352b x a=-=， ∴当2730x ≤≤时，w 随x 的增大而增大，∴当x =30时，所获利润最大，最大利润为1090070030100002000w =-⨯+⨯-=；答：销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键．10．(1)S＝﹣2x2+32x(2)12(3)2.8【解析】【分析】（1）根据矩形面积公式即可写出函数关系式；（2）根据（1）所得关系式，将S=96代入即可求解；（3）再开一个宽为a的门，即矩形的另一边长为（32-2x+a）m，根据矩形的面积公式即可求解．(1)根据题意得，S＝（30﹣2x+2）x＝﹣2x2+32x；(2)当S＝96时，即96＝﹣2x2+32x，解得：x1＝12，x2＝4，∵墙长10米，∴30﹣8+2＝25＞10，∴x的值为12；(3)∵S＝（30﹣2x+a+2）x＝﹣2x2+（32+a）x，∵32﹣2x+a≤10，则x≥12a+11，∵面积取得最大值为S＝124，∴﹣2x2+（32+a）x＝124，把x＝12a+11代入，得﹣2（12a+11）2+（32+a）（12a+11）＝124，解得a＝2.8．答：a的值为2.8．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形面积公式得出函数解析式是根本，根据养鸡场的长不超过墙长取舍是关键．。
二次函数综合应用题(有答案)中考23题必练经典
二次函数综合应用题一、求利润的最值1.（2010·武汉）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？解：(1) y=50-101x (0≤x ≤160，且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000；(3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890，当x<170时，W 随x 增大而增大，但0≤x ≤160，∴当x=160时，W 最大=10880，当x=160时，y=50-101x=34。
答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润是10880元。
2.（2009武汉）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？解：（1）（且为整数）； （2）．，当时，有最大值2402.5． ，且为整数，当时，，（元），当时，，（元）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当时，，解得：． 当时，，当时，．当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．3.（2008·武汉）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。
中考二次函数应用题(附答案解析)
中考二次函数应用题(附答案解析)二次函数应用题1．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x （元/件）（10x ≥的整数），每天销售利润为y （元）． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y 的取值范围．2．东东在网上销售一种成本为30元/件的T 恤衫．销售过程中的其他各种费用（不再含T 恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x （元/件）．销售量为y （百件）．当4060x ≤≤时，y 与x 之间满足一次函数关系．且当40x =时，6y =，有关销售量y （百件）与销售价格x （元/件）的相关信息如下： 销售量y （百件） _____________ 240y x =销售价格x （元/件）4060x ≤≤6080x ≤≤(1)求当4060x ≤≤时．y 与x 的函数关系式：(2)①求销售这种T 恤衫的纯利润w （百元）与销售价格x （元/件）的函数关系式； ②销售价格定为每件多少元时．获得的利润最大?最大利润是多少?3．跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线2117:1126C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出（即A 点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当运动员运动到距A 处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C 2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？4．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如表：售价x（元/件）607080周销售量y（件）1008060周销售利润w（元）200024002400【注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）】(1)①直接写出：此商品进价元，y关于x的函数解析式是．（不要求写出自变量的取值范围）②当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．5．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，青春科技生态有限公司种植和销售一种有机绿色草皮．已知该草皮的成本是15元/2m，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两y与销售价格x（元/2m）的函数关系如图倍．经市场调查发现，某天该草皮的销售量()2m所示．(1)求y与x间的函数解析式；(2)求这一天销售草皮获得的利润w的最大值；(3)若该公司按每销售21m草皮提取1元用于捐资助学，且保证捐款后每天的销售利润不低于7200元，直接写出该草皮销售价格的范围．6．某数学兴趣小组对函数y＝|x2＋2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．x﹣4﹣3﹣2﹣10123 y8m0n03815(1)根据如表数据填空：m ＝ ，n ＝ ；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整； (3)观察该函数的图象，解决下列问题． ①该函数图象与直线y ＝12的交点有 个； ②若y 随x 的增大而减小，求此时x 的取值范围；③在同一平面内，若直线y ＝x ＋b 与函数y ＝|x 2＋2x |的图象有a 个交点，且a ≥3，求b 的取值范围．7．某公司分别在A ，B 两城生产同种产品，共100件．A 城生产产品的成本y （万元）与产品数量x （件)之间具有函数关系220100y x x =++，B 城生产产品的每件成本为60万元．(1)当A 城生产多少件产品时，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是多少？ (2)从A 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和3万元/件；从B 城把该产品运往C ，D 两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C 地需要90件，D 地需要10件，在（1）的条件下，怎样调运可使A ，B 两城运费的和最小？8．某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y (件)与销售单价x (元)的关系如图所示．(1)请直接写出y 与x 之间的函数表达式： ；自变量x 的取值范围为 ； (2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？9．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店销售某种儿童玩具，如果每件利润为30元，每天可售出40件．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每天可多销售2件．设销售单价降价x 元，每天售出y 件． (1)请写出y 与x 之间的函数表达式；(2)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元？(3)当销售单价降低多少元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是多少？10．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？【参考答案】二次函数应用题1．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥， ∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键． 2．(1)0.110y x =-+(2)①当4060x ≤≤时，20.113350=-+-w x x ；当6080x <≤时，7200190=-+w x； ②销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元 【解析】 【分析】（1）把把60x =代入240y x=得4y =，设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，把x =40，y =6；x =60，y =4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x 的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； ②结合①中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． (1)解：把60x =代入240y x=得4y =． 设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+， ∵当40x =时，6y =，当60x =时，4y =，∴406604k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：0.110k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：0.110y x =-+． (2)①当4060x ≤≤时，()()2300.110500.113350w x x x x =--+-=-+-；当6080x <≤时，()24072003050190w x x x=-⋅-=-+； ②当4060x ≤≤时，()220.1133500.16572.5w x x x =-+-=--+， ∵4060,65,x x ω≤≤≤随x 的增大而增大． ∴当60,70x w ==最大 （百元）． 当6080x ≤≤时，7200190xω=-+ ∵72000-<，∴w 随x 的增大而增大，当80x =时，100w =最大 （百元）．答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元． 【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．3．(1)213482y x x =-++(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【解析】 【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C 2：y =-18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；（2）设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，解出m 即可．(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝﹣18x 2+bx +c 过点（0，4）和（4，8），将其代入得：2414488c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得：324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线C 2的函数解析式为：213482y x x =-++；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，整理得：（m ﹣12）（m +4）＝0， 解得：m 1＝12，m 2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键．4．(1)①40，y ＝﹣2x +220；②当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元；(2)销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【解析】 【分析】（1）①该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，用待定系数法求解即可；②根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；（2）根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m 的方程，求解即可． (1)解：（1）①该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（60，100），（70，80）分别代入得：100608070k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：k ＝﹣2，b ＝220．∴y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣2x +220； 故答案为：40，y ＝﹣2x +220；②由题意得：w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800＝﹣2（x ﹣75）2+2450，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元； (2)解∶ 由题意得：w ＝（﹣2x +220）（x ﹣40﹣m ） ＝﹣2x 2+（300+2m ）x ﹣8800﹣220m ，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，对称轴为：300217542m x m +=-=+-， 又∵x ≤70，∴当x <7512m +时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝70时，w 有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m ）＝1600， 解得：m ＝10．∴周销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 5．(1)()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)最大值为12000元 (3)2030x ≤≤ 【解析】 【分析】（1）根据图象中的点，待定系数法求解析式即可；（2）根据（1）的解析式，分1525≤≤x ，2530x <≤，两种情况列出w 的解析式，根据二次函数和一次函数的性质分别求得最大值；（3）根据二次函数的性质解不等式求得当1525≤≤x 时的定价范围，解一元一次不等式求得当2530x <≤时的定价范围．(1)解：根据函数图像可知，当2530x <≤时，800y =， 当1525≤≤x 时，设y kx b =+ 将()()15,2800,25,800代入得，28001580025k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得2005800k b =-⎧⎨=⎩2005800y x ∴=-+综上所述，()()200580015258002530x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩(2)当1525≤≤x 时，()()()215152005800200880087000w x y x x x x =-=--+=-+-对称轴为8800222400b a --==- 22x ∴=时，w 最大，2max 20022880022870009800w =-⨯+⨯-=当2530x <≤时，()1580080012000w x x =-⨯=-当30x =时，取得最大值，最大值为12000元 综上所述，最大值为12000元 (3)①当1525≤≤x 时，()()()2151162005800200900092800w x y x x x x =--=--+=-+-当22009007209002800x x -+-= 解得：1220,25x x == ∴定价为2025x ≤≤②当2530x <≤时，()()151158007200w x y x =--=-⨯≥解得25x ≥∴定价范围为2030x ≤≤【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 6．(1)3；1 (2)见解析(3)①4；②x ≤－2或－1≤x ≤0；③2≤b ≤94【解析】【分析】（1）分别把x=-3和x=-1代入函数解析式求出结果；（2）根据表格，利用描点、连线画出函数图象；的图象，观察交点个数得出结果；（3）①画出y=12②观察函数图象得出结果；③利用一元二次方程根的判别式计算即可．(1)解：当x=-3时，m＝|x2＋2x|=|9-6|=3，当x=-1时，m＝|1-2|=|-1|=1，故答案为3，1；(2)如图；(3)①由图象知图象与直线y=1有4个交点，2故答案为4；②由图象知，当x≤－2或－1≤x≤0时，图象从左到右逐渐下降，故若y随x的增大而减小，此时x的取值范围x≤－2或－1≤x≤0；③由题意可得，3≤a≤4．当直线y＝x＋b过点（－2，0）和点（－1，1）时，该直线与函数y＝|x2＋2x|的图象有三个交点，此时b＝2；由图象可得在－2≤x≤－1段的函数解析式为y＝－x2－2x，令x＋b＝－x2－2x，整理得x2＋3x＋b＝0. 当该段函数图象与直线y＝x＋b有交点时，判别式为9－4b≥0，∴b≤94．综上，b的取值范围是2≤b≤94．【点睛】本题考查画函数图象以及利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．7．(1)A城生产20件，最小值是5700万元；(2)从A城把该产品运往C地的产品数量为20件，则从A城把该产品运往D地的产品数量为0件；从B城把该产品运往C地的产品数量为70件，则从B城把该产品运往D地的产品数量为10件时，可使A，B两城运费的和最小．【解析】【分析】（1）设A，B两城生产这批产品的总成本的和为W（万元），则W等于A城生产产品的总成本加上B城生产产品的总成本，由此可列出W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（2）设从A城把该产品运往C地的产品数量为n件，分别用含n的式子表示出从A城把该产品运往D地的产品数量、从B城把该产品运往C地的产品数量及从B城把该产品运往D地的产品数量，再列不等式组求得n的取值范围，然后用含n的式子表示出A，B两城总运费之和P ，根据一次函数的性质可得答案．(1)解：设A ，B 两城生产这批产品的总成本的和为W （万元），则22010060(100)W x x x =+++-2406100x x =-+2(20)5700x =-+，∴当20x时，W 取得最小值，最小值为5700万元， ∴城生产20件，A ，B 两城生产这批产品成本的和最小，最小值是5700万元；(2) 设从A 城把该产品运往C 地的产品数量为n 件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为(20)n -件，从B 城把该产品运往C 地的产品数量为(90)n -件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为(1020)n -+件，运费的和为P （万元），由题意得：20010200n n -⎧⎨-+⎩， 解得1020n ，3(20)(90)2(1020)P n n n n =+-+-+-+60390220n n n n =+-+-+-2130n n =-+130n =-+，根据一次函数的性质可得：P 随n 增大而减小，∴当20n =时，P 取得最小值，最小值为110，∴从A 城把该产品运往C 地的产品数量为20件，则从A 城把该产品运往D 地的产品数量为0件；从B 城把该产品运往C 地的产品数量为70件，则从B 城把该产品运往D 地的产品数量为10件时，可使A 、B 两城运费的和最小．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数和二次函数的性质．8．(1)y ＝－20x ＋1800，60≤x ≤90(2)第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据总利润=单件利润乘以销售量，列出函数解析式，根据二次函数的性质求解即可．(1)第一个月该商品的售价为40×(1＋50%)＝60(元)，设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b ，将点(60，600)，(70，400)代入y ＝kx ＋b 中，得6006040070k b k b=+⎧⎨=+⎩， 解得201800k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－20x ＋1800；当y ＝0时，x ＝90，∴自变量x 的取值范围为60≤x ≤90；故答案为：y ＝－20x ＋1800；60≤x ≤90；(2)设第二个月的利润为w 元，由题意得，24040201()()()8002(0651250)0w x y x x x =-=-=+--+-．∵200-<，∴当x ＝65时，w 的最大值为12500．∴第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元．【点睛】本题主要考查了二次函数及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，并根据题意确定等量关系，列出函数解析式．9．(1)402y x =+(2)当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【解析】【分析】（1）根据销售单价每降1元，则每天可多销售2件．即可列出关于x 、y 的等式，即得出y 与x 之间的函数表达式；（2）根据题意可列出关于x 的一元二次方程，解出x 即得出答案；（3）设最大利润为w 元，根据题意可得出w 与x 的关系为二次函数关系，再根据二次函数的性质解题即可．(1)根据题意可列出等式：402y x =+．故y 与x 之间的函数表达式为402y x =+；(2)根据题意可列方程：(30)(402)1248x x -+=，解得：1246x x ==，．故当销售单价降低4元或6元时，该网店每天销售这种玩具可获利润1248元；(3)设最大利润为w 元，根据题意得：2(30)(402)2(5)1250w x x x =-+=--+∵20-<，∴当5x =时，w 有最大值，max 1250w =．故当销售单价降低5元时，该网店每天销售这种玩具获得的利润最大，最大利润是1250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出等式是解题关键．10．售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润【解析】【分析】设销售单价为x 元，月销售利润为y 元，根据月销售利润＝单件利润×月销量，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：设销售单价为x 元，销售利润为y 元，依题意得，单件利润为(20)x -元，月销量为[]40020(30)x --件，月销售利润[](20)40020(30)y x x =---，整理得220140020000y x x =-+-，配方得220(35)4500y x =--+，所以35x =时，y 取得最大值4500．故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是能够根据题意构建二次函数解决最值问题．。
2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题1．某工厂生产A 型产品，每件成本为20元，当A 型产品的销售单价为x 元时，销售量为y 万件．要求每件A 型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝23时，y ＝34；x ＝25时，y ＝30． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A 型产品的销售单价是多少元？ (3)设该工厂销售A 型产品所获得的利润为w 万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？2．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为12m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数表达式．(2)如果要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？(3)根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：(1)求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；(2)商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？4．某大型商场准备购买一批A 型和B 型商品，已知一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元，用6000元采购A 型商品的件数是用1200元采购B 型商品的件数的2倍．(1)求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？(2)该商场购进A 型和B 型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A 型商品赠送一件B 型商品，通过一段试销发现A 型商品每天的销售量y （件）与A 型商品的销售单价x （元）满足：2200y x =-+，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A 型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润．5．某数学兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC ∠（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．(1)若围成的花园面积为291m ，求矩形花园AB 的长；(2)在点P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别为12m 和6m ，要能将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），又使得花园面积有最大值，求此时矩形花园AB 的长．6．第一届全国青年运动会射箭项目决赛于10月20-24日在福建省莆田市体育公园举行．我市某工艺厂为青运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数：当售价为20元/件时，每天销售量为800件；当售价为25元/件时，每天的销售量为750件． (1)求y 与x 的函数关系式(2)如果该工艺品售价最高不能超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?(利润=售价-成本)7．中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价(0)x x>元，每天所获得的利润为w元．(1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？(2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？最大的利润是多少？8．贫困户李大爷在某单位精准扶贫工作队的帮扶下，将一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：①第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克：①销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如下函数关系：76(120)(2030)mx m x xyn x x-≤<⎧=⎨≤≤⎩，为正整数，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第23天的售价为25元/千克．(1)填空：m＝_______，n＝_______；试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为_______；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润W最大？最大利润是多少元？(3)求试销的30天中，当天利润W不低于870元的天数共有几天？9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．10．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）](1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式．(2)①填空：该产品的成本单价是元，表中a的值是．①求该商品日销售利润的最大值．11．小茗同学准备用一段长为50米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形ABCD，墙长为25米．设花圃的一边AD为x米．)(1)如图1，写出花圃的面积S（平方米）与x（米）的函数关系式；(2)图1中花圃的面积能为300平方米吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a米(04)<<的门（如图2)，且最a终围成的花圃的最大面积为325平方米，直接写出a的值．12．包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元/kg，如果在未来40天葡萄的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：120(120)4135(2140)2t t tpt t t⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，为整数，为整数，且葡萄的日销量y（千克）与时间t（天）的关系如下表：(1)请直接写出y与t之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？(2)在后20天（即2140t≤≤，t为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？(3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（8n<）给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，请求出n的取值范围．13．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；①乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？14．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =-++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2116y x bx c =-++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．15．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)在横线上直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？16．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如表：(1)求一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式并写出x的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利w最大？最大利润为多少？17．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数) 18．某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元()40x >，请用含x 的代数式表示该玩具的销售量______．(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B 种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C 种玩具，到月末又可获利10%； 方案①：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．参考答案：1．(1)y 与x 的函数关系式为280y x =-+，自变量x 的取值范围是2028x ≤≤ (2)每件A 型产品的销售单价是27元(3)该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元2．(1)()232448S x x x =-+≤<； (2)AB 的长为5m ；(3)当4x =时，围成的花圃的面积最大，最大面积为248m ．3．(1)涨10元或30元 (2)80元4．(1)一件A ，B 型商品的进价分别为50元，20元(2)A 型商品的销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为800元5．(1)13m 和7m ． (2)8m6．(1)101000y x =-+(2)当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为12000元．7．(1)每千克29元(2)定为32元时可使每天销售利润最大，最大的利润是4000元8．(1)12-，25，416P x =+；(2)第18天的利润最大，最大利润为968元； (3)共有12天9．(1)销售单价定为60元时，月销售量为450千克，销售利润为9000元 (2)销售单价应定为60元(3)当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元．10．(1)10900y x =-+(2)①40，4560 ①该商品日销售利润的最大值为6250元11．(1)21252S x x =-+(2)能为300平方米，此时x 的值为20 (3)a 的值为112．(1)2120y t =-+；90kg (2)21天，1131元 (3)58n ≤＜13．(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①222686930y x x =-+-，①乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．14．(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)21370162y x x =-++； (3)18m15．(1)()107404452y x x =-+≤≤(2)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元(3)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元答案第3页，共3页 16．(1)5501504201yx x(2)18元 (3)当22x =时，w 有最大值3200元．17．(1)240y x =-+ (2)()()1411044541118x x p x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ (3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元18．(1)101000x -+(2)max 11250w =元。
中考二次函数应用题(及答案解析)
中考二次函数应用题(及答案解析)二次函数应用题1．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 0、人的反应时间t 1、系统反应时间t 2、制动时间t 3，相应的距离分别为d 0，d 1，d 2，d 3，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[1,2]∈k ）．阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动时间时间 t 0 t 1=0.8秒 t 2=0.2秒 t 3距离d 0=10米d 1d 22320v d k =米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式d （v ）；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？2．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x （元/件）（10x ≥的整数），每天销售利润为y （元）． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y 的取值范围．3．网络购物越来越方便快捷，远方的朋友通过网购就可以迅速品尝到茂名的新鲜荔枝，同时也增加了种植户的收入，种植户老张去年将全部荔枝按批发价卖给水果商，收入6万元，今年的荔枝产量比去年增加2000千克，计划全部采用互联网销售，网上销售比去年的批发价高50%，若按此价格售完，今年的收入将达到10.8万元． (1)去年的批发价和今年网上售价分别是多少？(2)若今年老张按（1）中的网上售价销售，则每天的销量相同，20天恰好可将荔枝售完，经调查发现，当网上售价每上升0.1元/千克，每日销量将减少5千克，将网上售价定为多少，才能使日销量收入最大？4．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x cm ，面积为y m 2如图所示）．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m 2/棵）0.410.45．某社区委员会决定把一块长40m ，宽30m 的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为()m 610x x ≤≤，健身活动区域的面积为2m S ．(1)求出S 与x 之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S 的最大值． 6．问题提出(1)如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，点E 在BC 上，2BE EC =，连接FE 并延长交DC 的延长线于点G ，求CG 的长；问题解决(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD 的土地，其中4km AB =，6km BC =，60B ∠=︒．管理者想规划出一个形状为EMP 的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E 是AD 的中点，点P 、M 分别在BC 、AB 上，PM AB ⊥．设BP 的长为(km)x ，EMP 的面积为y 2(km )．①求y 与x 之间的函数关系式；②为容纳更多的游客，要求EMP 的面积尽可能的大，请求出EMP 面积的最大值，并求出此时BP 的长．7．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线211:215C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:4C y x bx c =-++运动．(1)求山坡坡顶的高度；(2)当运动员运动到离A 处的水平距离为2米时，离水平线的高度为7米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？8．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m 的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD ，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m ．(1)当AB 长为多少时，绿化带ABCD 的面积为242m(2)当AB 长为多少时，绿化带ABCD 的面积最大，最大面积是多少？9．某商场销售一款服装，经市场调查发现，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系如表格所示．同时，商场每出售1件服装，还要扣除各种费用150元．销售单价x （元/件） 260 240 220 销售量y （件）637791(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，商场每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)4月底，商场还有本款服装库存580件．若按（2）中获得最大月利润的方式进行销售，到12月底商场能否销售完这批服装？请说明理由．10．为缓解停车难的问题，太阳山小区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52m ，宽为28m ，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m 2．(1)求通道的宽是多少米；(2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元吗？【参考答案】二次函数应用题1．(1)()210033.320v d v v k =++<≤(2)汽车的行驶速度应限制在72千米/小时 【解析】 【分析】（1）根据0123=+++d d d d d 即可得到答案；（2）由已知得21020v d v k=++，要求50d <，即要求2140120k v v <-恒成立，根据12k 可得2401120v v ->，即可解得答案． (1)解：由题意得 20123100.80.220v d d d d d v v k =+++=+++，故答案为：()210033.320v d v v k =++<≤；(2)解：对任意()12k k ，均要求50d <， 2105020v v k∴++<恒成立，即2140120k v v <-恒成立， 12k ，∴111402020k， ∴2401120v v ->， 化简整理得2208000v v +-<， 解得4020v -<<，020v ∴<<，∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下，答：汽车的行驶速度应限制在72千米/小时． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用和列函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据12k 得出2401120v v ->． 2．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥，∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键．3．(1)去年的批发价为6元，今年网上售价为9元 (2)网上售价定为10.5元，才能使日销量收入最大 【解析】 【分析】（1）设去年的售价为x 元，则今年的售价为（1+50%）x 元，去年的产量为y 千克，则今年的产量为（y +2000）千克，由题意，得()()60000150?2000108000xy x y =⎧⎨++=⎩％，计算求解即可；（2）由题意得，今年的产量为：10000+2000＝12000千克，则网上日销售量为：12000÷20＝600千克，设日销售收入为w 元，网上售价为a 元，由题意得，960050.1a w a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，求出满足要求的a 值即可． (1)解：设去年的售价为x 元，则今年的售价为（1+50%）x 元，去年的产量为y 千克，则今年的产量为（y +2000）千克，由题意得，()()60000150?2000108000xy x y =⎧⎨++=⎩％、解得610000x y =⎧⎨=⎩∴今年的售价为（1+50%）x ＝9元∴去年的批发价为6元，今年的网上售价为9元． (2)解：由题意得，今年的产量为10000+2000＝12000千克，则网上日销售量为12000÷20＝600千克，设日销售收入为w 元，网上售价为a 元，由题意得，960050.1a w a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭∴2501050w a a =-+221110255022a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∵500a =-< ∴当212a =时，日销量最大，最大为110252∴网上售价定为10.5元，才能使日销量收入最大．【点睛】本题考查了解方程组，二次函数的应用．解题的关键在于正确的列等式求解并熟练掌握二次函数的图象与性质． 4．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断． (1)解：∵AB ＝x ， ∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ， ∵0＜36﹣2x ≤18， ∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）； (2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162， ∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵， 由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600， ∴a +7b ＝1500， ∴b 的最大值为214， 此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2， ∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．(1)24201200S x x =-++；()610x ≤≤ (2)活动区域面积S 的最大值为21176m 【解析】 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S 与x 之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． (1)（1）由题意解得：()2=4030454201200S x x x x ⨯--=-++；()610x ≤≤ (2)（2）2254201200412252S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵40a =-<，抛物线开口向下，对称轴为52x =， ∴当610x ≤≤时，S 随x 的增大而减小， ∴当6x =时，S 有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S 的最大值为21176m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 6．(1)1CG =(2)①2y x =；②EMP 2，此时BP 的长为11km 2【解析】 【分析】（1）证明FEB GEC △∽△，依据相似三角形的性质进行求解即可；（2）①分点P 在点H 左侧和右侧两种情况讨论求解即可；②由二次函数的性质可得解． (1)在矩形ABCD 中，90ABC BCD BCG ∠=∠=∠=︒， ∵FEB GEC ∠=∠， ∴FEB GEC △∽△， ∴BF BECG CE=， ∵4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，2BE EC =， ∴2BF =，4BE =，2CE =， ∴242CG =， ∴1CG =. (2)①过点E 作EH //AB 交BC 于点H ，交射线MP 于点G ，易得四边形ABHE 是平行四边形， ∴4EH AB ==.∵EH //AB ，PM AB ⊥，∴60PHG B ∠=∠=︒，EG PM ⊥，即EG 是PME △边MP 上的高. ∵点E 是AD 的中点， ∴3BH AE ==.如图1-1，当点P 在点H 左侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x xEG EH HG --=+=+=. 如图1-2，当点P 在点H 右侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x xEG EH HG --=-=-=， ∴PME △的边MP 上的高112xEG -=. 在Rt MBP 中，3sin 60x MP BP =⋅︒= ∴2113113113222x x y MP EG x -=⋅==. ②)222311333111213112y x x x x ⎫==-=-⎪⎝⎭ ∴当112x =时，1213y =最大 ∴EMP 21213，此时BP 的长为11km 2.【点睛】本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键． 7．(1)山坡坡顶的高度为6米； (2)21244y x x =-++；(3)当运动员运动水平线的水平距离为1米 【解析】 【分析】（1）抛物线C 1的顶点纵坐标即为山坡的高度；（2）由两点坐标A （0，4），（2，7）待定系数法求函数解析式即可； （3）根据两函数y 值的差为1米，列方程求解即可； (1)根据题意可()22111:215655C y x x x =-++=--+知：∴坡顶坐标为()5,6， ∴山坡坡顶的高度为6米； (2)解：根据题意把()0,4A ，点()2,7代入抛物线221:4C y x bx c =-++，得：4127c b c =⎧⎨-++=⎩，解得：42c b =⎧⎨=⎩∴抛物线2C 的函数解析式21244y x x =-++；(3)解：∵运动员与小山坡的竖直距离为1米， ∴22112421145x x x x ⎛⎫-++--++= ⎪⎝⎭，解得：1x =-2x =故当运动员运动水平线的水平距离为1米； 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求二次函数解析式和顶点坐标，根据题意弄清条件所表达的坐标是解题关键．8．(1)AB 长为7m 时，绿化带ABCD 的面积为242m (2)当AB 长为6m 时，绿化带ABCD 的面积最大，为254m 【解析】 【分析】（1）设AB 长为x m ，则BC 长为()273x -m ，由题意得：()27342x x -=，计算求出满足要求的解即可；（2）设绿化带ABCD 的面积为2m y ，AB 长为x m ，由题意得()273y x x =-，根据函数的图象与性质，x 的取值范围，求出符合要求的解即可． (1)解：设AB 长为x m ，则BC 长为()273x -m 由题意得：()27342x x -= 整理得：29140x x -+=解得：12x =，27x =∵02739x <-≤，∴69x ≤<，∴x ＝7∴AB 长为7m 时，绿化带ABCD 的面积为242m ．(2)解：设绿化带ABCD 的面积为2m y ，AB 长为x m ，由题意得()229243273327324y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∵6930x ≤<-<，， ∴当x ＝6时，54y =最大∴当AB 长为6m 时，绿化带ABCD 的面积最大，最大面积为254m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．解题的关键在于熟练掌握解一元二次方程，二次函数的图象与性质．9．(1)724510y x =-+ (2)当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元(3)不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据判断为一次函数，设y kx b =+，用待定系数法求出解析时； （2）利润=单件利润⨯销售数量，化简为二次函数的顶点式，根据函数性质判断； （3）计算按（2）中获得最大月利润的方式进行销售时的数量，与580比较．(1)解：由表格可知，此函数为一次函数，故设y kx b =+；则有24077{22091k b k b +=+=， 解得710245k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 724510y x ∴=-+； (2)设销售利润为w 元，由题意得：7(150)(245)10w x x =--+ 273503675010x x =-+-27(250)700010x =--+ 7010a =-<， w ∴有最大值，∴当250x =时，w 取最大值，7000w =最大，答：当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元；(3)当250x =时，70y =（件），70(124)560580⨯-=<，∴12月底不能销售完这批服装．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，解题关键用待定系数法求出一次函数解析式，注意二次函数最值讨论时,一般整理成顶点式，再通过看a 值确定最大值或最小值． 10．(1)通道的宽是6米；(2)停车场的月租金收入会超过27000元．【解析】(1)解：设通道的宽是x m ，则阴影部分可合成长为（52-2x ）米，宽为（28-2x ）米的长方形， 依题意得：（28-2x ）（52-2x ）=640，整理得：x 2-40x +204=0，解得：x 1=6，x 2=34．又∵28-2x ＞0，∴x ＜14，∴x =6．答：通道的宽是6米；(2)解：设当每个车位的月租金上涨y 元时，停车场的月租金收入为w 元，则可租出（6410y -）个车位， 依题意得：w =（400+y ）（6410y -）=110-y 2+24y +25600=110-（y -120）2+27040， ∵110-＜0， ∴当y =120时，w 取得最大值，最大值为27040．又∵27040＞27000，∴停车场的月租金收入会超过27000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，设出未知数，列出方程和二次函数关系式是解题关键．。
2023年中考数学 二次函数实际应用问题 函数综合 专项练习(无答案)
【二次函数实际应用题+函数综合】专项练习1．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：时间（第x天）13610…日销售量（m件）198194188180…②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x＜5050≤x≤90销售价格（元/件）x+60100（1）求m关于x的一次函数表达式；（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点D为该抛物线的顶点，设点E（m，0）（m＞2），如果△BDE和△CDE的面积相等，求E点坐标．3.某花木公司生产的花卉产品年产量为6万件，每年可通过在网上销售和批发部销售全部售完．该花卉产品平均每件产品的利润与销售的关系如表：销售量（万件）平均每件产品的利润（元）网上销售x当0＜x≤2时，y1＝140当2≤x＜6时，y1＝﹣5x+150批发部销售n当0＜n≤2时，y2＝120当2≤n＜6时，y2＝﹣5n+130（1）①当网上销售量为4.2万件时，y1＝；y2＝②y2与x的函数关系为：当0＜x≤时，y2＝；当≤x＜6时，y2＝120．（2）求每年该公司销售这种花卉产品的总利润w（万元）与网上销售数量x（万件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年网上、批发部的销售量各为多少万件时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少万元？4.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AD∥x轴，A（﹣，3 ），AB＝2，AD＝3．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）将矩形ABCD向右平移m个单位，使点A、C恰好同时落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，得矩形A'B'C'D'．求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的解析式．5.某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月份中，公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系式y＝a （x﹣h）2+k，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12，点A、B的纵坐标分别为﹣16、20．（1）试确定函数关系式y＝a（x﹣h）2+k；（2）分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月份一个月内所获得的利润；（3）在前12个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？6.如图，直线y＝k1x+b1与反比例函数y＝的图象及坐标轴依次相交于A、B、C、D四点，且点A坐标为（﹣3，），点B坐标为（1，n）．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）求证：AC＝BD；（3）若将一次函数的图象上下平移若干个单位后得到y＝k1x+n，其与反比例函数图象及两坐标轴的交点仍然依次为A、B、C、D．（2）中的结论还成立吗？请写出理由，对于任意k＜0的直线y＝kx+b．（2）中的结论还成立吗？（请直接写出结论）7．大圩葡萄味美多汁，深受消费者喜爱．某品种的葡萄采摘后常温保存最多只能存放一周，如果立即放在冷库中保存则可适当延长保鲜时间（保鲜期延长最多不超过120天）．另外冷藏保鲜时每天仍有一定数量的葡萄变质，保鲜期内的葡萄因水分流失损失的质量可忽略不计．现有一位个体户，按市场价10元/千克收购了这种葡萄2000千克放在冷库室内保鲜，据测算，伺候每千克鲜葡萄的市场价格每天可以上涨0.2元，但是，存放一天需各种费用20元，平均每天还有10千克葡萄变质丢弃．（1）存放x天后将这批葡萄一次性出售，设这批葡萄的销售金额为y元，写出y关于x的函数关系式，并说明销售金额y随存放天数x的变化情况；（2）考虑资金周转因式，该个体户决定在两个月（每月以30天计算）内将这批葡萄一次性出售，问该个体户将这批葡萄存放多少天后出售，可获得最大利润？最大利润时多少元？8．某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售量将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？9.如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）连接BC交x轴于点F．试在y轴负半轴上找一点P，使得△POC∽△BOF．10．某企业生成一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）之间满足关系式y1＝190﹣2x．月产量x（套）与生成总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2（2）与x之间的函数关系式；（3）求月产量x的取值范围；（4）当月产量x（套）为多少时，这种产品的利润W（万元）最大？最大利润是多少？11．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA＝OB．（1）求函数y＝kx+b和y＝的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB＝MC，求此时点M的坐标．12．如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．（1）求反比例函数的解析式与点B坐标；（2）求△AOB的面积；（3）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值小于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．13、某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．14、某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）求活动区的最大面积；（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p） 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台15、一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：销售单价x（元/kg）120130 (180)每天销量y（kg）10095 (70)设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？16、水库90天内的日捕捞量y（kg）与时间第x（天）满足一次函数的关系，部分数据如表：时间第x（天）13610日捕捞量（kg）198194188180（1）求出y与x之间的函数解析式；（2）水库前50天采用每天降低水位的办法减少捕捞成本，到达最低水位标准后，后40天水库维持最低水位进行捕捞．捕捞成本和时间的关系如下表：时间第x（天）1≤x＜5050≤x≤90捕捞成本（元/kg）60﹣x10已知鲜鱼销售单价为每千克70元，假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出．设销售该鲜鱼的当天收入w元（当天收入＝日销售额﹣日捕捞成本），①请写出w与x之间的函数解析式，并求出90天内哪天收入最大？当天收入是多少？②若当天收入不低于4800元，请直接写出x的取值范围？17、某公司生产A种产品，它的成本是6元/件，售价是8元/件，年销售量为5万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入的广告费是x万元，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y与x之间满足我们学过的二种函数（即一次函数和二次函数）关系中的一种，它们的关系如下表：x（万元）00.51 1.52…y1 1.275 1.5 1.675 1.8…（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润W（万元）与广告费用x（万元）的函数关系式，并计算每年投入的广告费是多少万元时所获得的利润最大？（3）如果公司希望年利润W（万元）不低于14万元，请你帮公司确定广告费的范围．18、合肥周谷堆农副产品批发市场某商铺购进一批红薯，通过商店批发和在淘宝网上进行销售，首月进行了销售情况的统计．其中商店日批发量y1（百斤）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如下表所示；在淘宝网上的日销售量y2（百斤）与时间x（x为整数，单位：天）的部分对应值如图所示．时间x（天）0510********日批发量y1（百斤）025*********（1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中，选择合适的函数能反映y1与x之间的函数关系式；（2）求y2与x之间的函数关系式；（3）设这个月中，日销售总量为y，求y与x之间的函数关系式；并求出当x为何值时，日销售总量y最大，最大值为多少？19、为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？20、农民购买农机设备政府会给予一定额度的补贴，其中购买Ⅰ、Ⅱ型农机设备的金额与政府补贴的金额存在表所示的函数对应关系：型号Ⅰ型设备Ⅱ型设备金额购买金额x（万元）x1x24补贴金额y（万元）y1＝kx（k≠0）0.4y2＝ax2+bx（a≠0） 2.4 3.2（1）分别求出y1和y2的函数解析式；（2）张大伯打算共用10万元购买Ⅰ、Ⅱ两型农机设备．请你帮助张大伯设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．。
中考二次函数应用题附答案解析
中考二次函数应用题附答案解析二次函数应用题1．如图，有一位同学在兴趣小组实验中，设计了一个模拟滑雪场地截面图，平台AB（水平）与x轴的距离为6，与y轴交于B点，与滑道AM：y=kx交于A，且AB=2，MN⊥x轴，测得MN=1，P到x轴的距离为3，设ON=b．(1)k的值为_______，点P的坐标是________，b=_________；(2)当一号球落到P点后立即弹起，弹起后沿另外一条抛物线G运动，若它的最高点Q的坐标为（8，5）①求G的解析式，并说明抛物线G与滑道AM是否还能相交；②在x轴上有线段NC=1，若一号球恰好能倍NC接住，则NC向上平移距离d的最大值和最小值各是多少？2．李大爷每年春节期间都会购进一批新年红包销售，根据往年的销售经验，这种红包平均每天可销售50袋，每袋盈利3元，若每袋降价0.5元，平均每天可多售出25袋，设每袋降x元，平均每天的利润为y元．(1)请求出y与x的函数表达式；(2)若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价多少元销售？最大利润为多少元？3．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x cm，面积为y m2如图所示）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m 2/棵）0.410.44．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少万元？5．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是40元，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润ω元．(2)在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？6．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；(2)DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?7．某数学兴趣小组对函数y＝|x2＋2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实数，x与y的几组对应值如表所示．x﹣4﹣3﹣2﹣10123 y8m0n03815(1)根据如表数据填空：m＝，n＝；(2)在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整；(3)观察该函数的图象，解决下列问题．①该函数图象与直线y＝1的交点有个；2②若y随x的增大而减小，求此时x的取值范围；③在同一平面内，若直线y＝x＋b与函数y＝|x2＋2x|的图象有a个交点，且a≥3，求b的取值范围．8．用总长为24m的篱笆围成如图的花圃（四边形ABEF和四边形CDFE均为矩形），现一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？(3)AB的长为多少米时，围成的花圃面积最大，请直接写出AB的长度．9．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x 米，菜园的面积为S 平方米．(1)直接写出S 与x 的函数关系式； (2)若菜园的面积为96平方米，求x 的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a （0＜a ＜3）米的门，且面积S 的最大值为124平方米，直接写出a 的值．10．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间有如下表的一次函数关系： 销售单价x （元） 30 35 40 … 70 … 每天的销售量y （件）1009080…20…(1)求该商品每天的销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式；(2)该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？【参考答案】二次函数应用题1．(1)12，(4,3)，12(2)21(8)58y x =--+，不能相交，理由见解析；d 的最大值是3，最小值是158【解析】 【分析】（1）由题意写出点A 的坐标，代入k y x =即可求出k 值，得到12y x=，将点P 、点M 的纵坐标分别代入12y x=求出点P 和点M 的横坐标，即可求解； （2）①由抛物线G 的最高点Q 的坐标写出抛物线的顶点式2(8)5y a x =-+，将点A 坐标代入求出a 值，即可得到抛物线的解析式；求出抛物线上12x =时对应的y 值，判断此点在点M 的上方还是下方，即可得出抛物线与AM 是否相交．②当线段NC 平移后的线段11N C 的1N 点在抛物线上，即1N 点与D 重合时，平移距离最大，当线段NC 平移后的线段22N C 的2C 点在抛物线上时，平移距离最小，求出相应坐标即可求解．(1)解：平台AB （水平）与x 轴的距离为6，AB =2， ∴点A 、点B 的坐标为(2,6)A ，(0,6)B ．将(2,6)A 代入k y x =得，62k =， 解得12k =，∴滑道AM 所在图象的函数解析式为：12y x=点P 到x 轴的距离为3，∴点P 的纵坐标为3P y =，将3P y =代入到12y x =得，1243P x ==， ∴点P 的坐标为(4,3)，MN ⊥x 轴，测得MN =1， ∴点M 的纵坐标为1=M y ，将1=M y 代入到12y x =得，12121M x ==， ∴点M 的坐标为(12,1)， 12ON ∴=，故答案依次为：12，(4,3)，12； (2)解：①由题意抛物线G 的最高点Q 的坐标为（8，5）， ∴设抛物线G 的函数解析式为：2(8)5y a x =-+，将点P 坐标代入2(8)5y a x =-+得23(48)5a =-+， 解得18a =-，∴设抛物线G 的函数解析式为：21(8)58y x =--+，点M 的纵坐标(12,1)，设12x =时抛物线G 上对应点为点D ，则点D 的坐标(12,)D y ，将12x =代入到21(8)58y x =--+，解得3D y =，D M y y >，∴一号球可以飞行到点M 的正上方， ∴抛物线G 与滑道AM 不能相交；②将线段NC 向上平移，平移后线段与抛物线有交点时，说明可以接到一号球，如图所示，当线段NC 平移后的线段11N C 的1N 点与D 重合时，平移距离最大， ∴最大平移距离为303D N y y -=-=；当线段NC 平移后的线段22N C 的2C 点在抛物线上时，平移距离最小， 1NC =，12ON =，∴点C 的坐标为(13,0)， ∴点2C 的横坐标为13，将213C x =代入到21(8)58y x =--+，解得2158C y =∴最小平移距离为21515088C C y y -=-=； ∴平移距离d 的最大值是3，最小值是158． 【点睛】本题考查反比例函数、二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式、二次函数顶点式，通过点的坐标判断函数图像是否相交等是解题的关键． 2．(1)y ＝−50x 2＋100x ＋150(2)应该降价1元销售，最大利润为200元． 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y 与x 的函数表达式；（2）将（1）中函数关系式化为顶点式，然后利用二次函数的性质即可得到x 为何值时，y 取得最大值． (1)解：由题意可得， y ＝（3−x ）（50＋0.5x×25）＝−50x 2＋100x ＋150， 即y 与x 的函数表达式是y ＝−50x 2＋100x ＋150； (2)由（1）知：y ＝−50x 2＋100x ＋150＝−50（x −1）2＋200，∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝200，答：若李大爷想让每天的利润最大化，应该降价1元销售，最大利润为200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值． 3．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断． (1)解：∵AB ＝x ， ∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ， ∵0＜36﹣2x ≤18， ∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）； (2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162， ∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵， 由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600， ∴a +7b ＝1500， ∴b 的最大值为214， 此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2， ∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【解析】 【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价，然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可．（2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A、B型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B型号的汽车售价为t万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可．(1)解：设B型汽车的进货单价为x万元，根据题意，得：502 x ＝40x，解得x＝8，经检验x＝8是原分式方程的根，8+2＝10（万元），答：A种型号汽车的进货单价为10万元、B两种型号汽车的进货单价为8万元；(2)设B型号的汽车售价为t万元/台，则A型汽车的售价为（t+1）万元/台，①根据题意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14），解得：t≥414，∴t的最小值为414，即B型汽车的最低售价为414万元/台，答：B型汽车的最低售价为414万元/台；②根据题意，得：w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14）＝﹣2t2+48t﹣265＝﹣2（t﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t＝12时，w有最大值为23．答：A、B两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键．5．(1)y=1000−10x，w=−10x2＋1300x−30000；(2)商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．【解析】【分析】（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，得y＝600−（x−40）×10＝1000−10x，利润w＝（1000−10x）（x−30）＝−10x2＋1300x−30000；（2）首先求出x的取值范围，然后把w＝−10x2＋1300x−30000转化成y＝−10（x−65）2＋12250，结合x的取值范围，求出最大利润．(1)解：由题意得：销售量y=600−（x−40）×10=1000−10x，销售玩具获得利润w=（1000−10x）（x−30）=−10x2＋1300x−30000；(2)解：根据题意得10001054045x x -≥⎧⎨≥⎩，解之得：45≤x ≤46，w ＝−10x 2＋1300x −30000＝−10（x −65）2＋12250， ∵a ＝−10＜0，对称轴是直线x ＝65， ∴当45≤x ≤46时，w 随x 增大而增大． ∴当x ＝46时，w 最大值＝8640（元）．答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大． 6．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答． (1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =，∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键． 7．(1)3；1 (2)见解析(3)①4；②x ≤－2或－1≤x ≤0；③2≤b ≤94【解析】 【分析】（1）分别把x =-3和x =-1代入函数解析式求出结果； （2）根据表格，利用描点、连线画出函数图象； （3）①画出y =12的图象，观察交点个数得出结果； ②观察函数图象得出结果；③利用一元二次方程根的判别式计算即可． (1)解：当x =-3时，m ＝|x 2＋2x |=|9-6|=3， 当x =-1时，m ＝|1-2|=|-1|=1， 故答案为3，1； (2) 如图；(3)①由图象知图象与直线y=12有4个交点，故答案为4；②由图象知，当x≤－2或－1≤x≤0时，图象从左到右逐渐下降，故若y随x的增大而减小，此时x的取值范围x≤－2或－1≤x≤0；③由题意可得，3≤a≤4．当直线y＝x＋b过点（－2，0）和点（－1，1）时，该直线与函数y＝|x2＋2x|的图象有三个交点，此时b＝2；由图象可得在－2≤x≤－1段的函数解析式为y＝－x2－2x，令x＋b＝－x2－2x，整理得x2＋3x＋b＝0. 当该段函数图象与直线y＝x＋b有交点时，判别式为9－4b≥0，∴b≤94．综上，b的取值范围是2≤b≤94．【点睛】本题考查画函数图象以及利用函数图象解决问题，数形结合思想的应用是解决问题的关键．8．(1)S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是143≤x＜8；(2)AB的长为5m；(3)当AB的长是143m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m3【解析】【分析】（1）根据矩形的面积即可写出函数关系式；（2）根据（1）中所得函数关系式当S为45时，列出一元二次方程即可求出AB的长；（3）根据（1）中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积．(1)解：根据题意，得：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x，∵0＜24﹣3x≤10，∴143≤x＜8．答：S与x的函数关系式为S＝﹣3x2+24x，x值的取值范围是143≤x＜8；(2)解：根据题意，得：当S＝45时，﹣3x2+24x＝45，整理，得x2﹣8x+15＝0，解得x1＝3，x2＝5，当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．答：AB的长为5m；(3)解：S＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵143≤x＜8，且抛物线的对称轴x＝4，开口向下，∴当x＝143时，S最大，最大值＝﹣3（143﹣4）2+481403．答：当AB的长是143m时，围成的花圃的面积最大，最大面积是2140m3【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解决本题的关键是综合掌握二次函数的性质和一元二次方程的解法．9．(1)S ＝﹣2x 2+32x(2)12(3)2.8【解析】【分析】（1）根据矩形面积公式即可写出函数关系式；（2）根据（1）所得关系式，将S =96代入即可求解；（3）再开一个宽为a 的门，即矩形的另一边长为（32-2x +a ）m ，根据矩形的面积公式即可求解．(1)根据题意得，S ＝（30﹣2x +2）x ＝﹣2x 2+32x ；(2)当S ＝96时，即96＝﹣2x 2+32x ，解得：x 1＝12，x 2＝4，∵墙长10米，∴30﹣8+2＝25＞10，∴x 的值为12；(3)∵S ＝（30﹣2x +a +2）x ＝﹣2x 2+（32+a ）x ，∵32﹣2x +a ≤10，则x ≥12a +11，∵面积取得最大值为S ＝124，∴﹣2x 2+（32+a ）x ＝124，把x ＝12a +11代入，得﹣2（12a +11）2+（32+a ）（12a +11）＝124，解得a ＝2.8．答：a 的值为2.8．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形面积公式得出函数解析式是根本，根据养鸡场的长不超过墙长取舍是关键．10．(1)2160y x =-+(2)20件【解析】【分析】（1）将任意两对值代入一次函数表达式，即可求解；（2）设每天获得的利润w （元)，根据题意得出w 与x 的函数关系式，由题意得(30)(2160)150650x x --+-，解不等式即可得到结论． (1)解：由列表数据知y 是x 的一次函数，设y kx b =+，将点(30,100)、(40,80)代入一次函数表达式得：301004080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2160k b =-⎧⎨=⎩， 故函数的表达式为：2160y x =-+；(2)解：设每天获得的利润w （元)，根据题意得(30)(2160)150650w x x =--+-，令(30)(2160)150650x x --+-=，解得：140x =，270x =，∴销售单价最多为70元，结合图象可知(30)(2160)150650x x --+-时，4070x ，216020y x ∴=-+，∴每天的销售量最少应为20件．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量⨯每件的利润w =得出函数关系式是解题关键．。
中考二次函数应用题附答案解析
中考二次函数应用题附答案解析二次函数应用题1．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长>50m），中间用一道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两间饲养室合计长x （m），总占地面积为y（m2）．(1)求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；(2)在所给出的坐标系中画出函数的图象；(3)利用图象判断：若要使两间饲养室占地总面积达到200m2，则各道墙的长度为多少? 2．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB＝x cm，面积为y m2如图所示）．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲 乙 丙 单价（元/棵）14 16 28 合理用地（m 2/棵） 0.4 1 0.43．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？4．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为12平方米，求DF 的长；(2)DF 的长为多少米时，小型农场DBEF 的面积最大?最大面积为多少平方米?5．某服装厂批发应季T 恤衫，其单价y （元）与一次批发数量x （件）（x 为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 6．罗平县小黄姜生产销售扶贫公司，2021年生产并销售小黄姜情况如图．该公司销售量与生产量相等，图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本1(y 单位：万元)、销售价2(y 单位：万元)与产量(x 单位：吨)之间的函数关系．(1)求该产品每千克生产成本1y 与x 之间的函数关系式；(2)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？7．两段相互垂直的墙AB 和AC 的长分别为12m 和3m ，用一段长为23m 的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD 由墙AC 和一节篱笆CD 构成，一边AF 靠在墙AB 上，一边EF 上有一个2m 的门．假设篱笆CD 的长为xm ，矩形菜园的面积为2m (0)S S >，回答下面的问题：(1)用含x的式子表示篱笆DE的长为________m，x的取值范围是________；(2)菜园的最大面积是多少2m求出此时x的值是多少?8．安徽省在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额-生产费用）(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）(2)求W与x之间的函数关系式；（写出自变量x的取值范围）：并求年产量多少万件时，所获毛利润最大?(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润9．一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件）678y（件）1000900800(1)求y与x的函数关系式；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，求一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？10．从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．(1)第1题：某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对居住的每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大?第2题：张大爷佩戴能计步的运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后整理数据如下表．与第一次锻炼相比，张大爷第二次锻炼时步数在增加，平均步长在减少，其中步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设平均步长减少的百分率为x（0<x<0.5）．第一次锻炼第二次锻炼平均步长（米/步）0.6①_________(2)根据题意完成表格填空①_________，②_________．(3)求平均步长减少的百分率x ；【温馨提示：数学运算可以先约分后化简】(4)张大爷发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求张大爷这500米的平均步长．【参考答案】二次函数应用题1．(1)215033y x x =-+ 其中0<x <50 (2)画函数图象见解析(3)各道墙的长度分别为20m ，10m 或者30m ，20m 3时，总面积达到200m 2 【解析】 【分析】（1）根据题意用含x 的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可； （2）确定特殊点位置，继而可得函数图象；（3）构建方程即可解决问题．(1)解：∵围墙的总长为50 m ，2间饲养室合计长x m ，∴饲养室的宽=503x - m ， ∴总占地面积为y =x •503x -=-13x 2+503x （0＜x ＜50）； (2)解：y =-13x 2+503x =()216252533x --+， 顶点坐标为（25，6253）， 当y =200时，()216252520033x --+=， 解得x =20或30，图象经过点（20，200）和（30，200），当y =0时，()2162525033x --+=，解得x =0或50，图象经过点（0，0）和（50，0），描点，连线，函数图象如图所示．(3)解：当两间饲养室占地总面积达到200 m 2时，则-13x 2+503x =200， 解得：x =20或30；答：各道墙长分别为20 m 、10 m 或30 m 、203m 时，总面积达到200 m 2． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．2．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断．(1)解：∵AB ＝x ，∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ，∵0＜36﹣2x ≤18，∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）；(2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162，∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600，∴a +7b ＝1500，∴b 的最大值为214，此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．【解析】【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系， 设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤即10300y x =-+，1030x ≤≤，(2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-，∵100-<，开口向下，对称轴为20x，1030x ≤≤ ∴当20x时，w 有最大值，为1000元，【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式．4．(1)①153EF x =-；②4米2【解析】【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解；②根据矩形的面积公式列方程求解即可； （2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答．(1)①设DF 的长为x 米，∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米，②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤，∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=，解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去），∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米；(2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米，①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥，则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭， ∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<， ∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>，2答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．5．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+； 当x >400时，y =70； 综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+ =()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．6．(1)()()10.2600904290130x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩ (2)当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．【解析】【分析】（1）根据线段AB ，线段CD 经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可得；（2）设2y 与x 之间的函数关系式为222y k x b =+，用待定系数法得()20.61200130y x x =-+≤≤, 设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，利用二次函数的性质即可得．(1)解：设线段AB 所表示的1y 与x 之间的函数关系式为111y k x b =+，111y k x b =+的图象过点()0,60与()90,42，111609042b k b =⎧∴⎨+=⎩， 解得：110.260k b =-⎧⎨=⎩． ∴线段AB 所表示的一次函数的表达式为；()10.260090y x x =-+≤≤；当90130x ≤≤时，线段BD 的解析式为：()14290130y x =≤≤．∴每千克生产成本1y 与x 之间的函数关系式为：()()10.2600904290130x x y x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩． (2)解：设2y 与x 之间的函数关系式为222y k x b =+，经过点()0,120与()130,42，22212013042b k b =⎧∴⎨+=⎩， 解得：220.6120k b =-⎧⎨=⎩， ∴线段CD 所表示的一次函数的表达式为()20.61200130y x x =-+≤≤；设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，①当090x ≤≤时，()()20.61200.2600.4(75)2250W x x x x ⎡⎤=-+--+=--+⎣⎦，∴当75x =时，W 的值最大，最大值为2250；②当90130x ≤≤时，()20.6120420.6(65)2535W x x x ⎡⎤=-+-=--+⎣⎦，∴当90x =时，20.6(9065)25352160W =--+=，由0.60-<知，当65x >时，W 随x 的增大而减小，90130x ∴≤≤时，2160W ≤，因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250．【点睛】本题考查了一次函数，分段函数，二次函数，，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的性质，分段函数和二次函数的性质．7．(1)22-2x 5≤x ＜11(2)菜园的最大面积是296m ，此时x =5【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，由EF = AD = 3+x ，再根据EF 上有一个2m 的门，DE = 23- CD - EF + 2得出DE ，并根据0< 22- 2x ≤12，求出自变量x 的取值范围；（2）根据矩形的面积公式写出函数解析式，再根据函数的性质，在自变量范围内求最值．(1)解：∵AC =3，CD =x ，∴ EF = AC + CD = 3+x ，∴DE = 23- CD - EF +2= 23- x -(3+x )+2= 23-x -3-x +2= 22-2x ，∵0< 22- 2x ≤12，∴5≤x ＜ 11；(2)由题意，得：S = (3+x )(22- 2x )= -2x 2+ 16x +66= - 2(x -4)2 + 98，∵-2 ＜0，∴当x ＞4时，S 随x 的增大而减小，∵5≤x ＜ 11，∴当x = 5时，S 有最大值，最大值= -2×(5-4)2+ 98 = 96．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意正确表示出矩形的边长．8．(1)21(0100)10y x x =≤≤，130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤，年产量75万件时，所获毛利润最大； (3)今年最多可获得1080万元的毛利润【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w 与x 之间的函数关系式； （3）首先求出x 的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．(1)解：设y 与x 之间的函数关系式为2y ax =，21000100a =⨯，得110a =，即y 与x 之间的函数关系式为21(0100)10y x x =≤≤； 设z 与x 的函数关系式为z kx b =+，3010020b k b =⎧⎨+=⎩，得1,1030k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即z 与x 的函数关系式为130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)解：由题意可得， 2211130(75)112510105W zx y x x x x ⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 即W 与x 之间的函数关系式为21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当75x =时，W 取得最大值，此时1125W =，即年产量75万件时，所获毛利润最大；(3)解：∵今年投入生产的费用不会超过360万元，∴360y ≤，令y =360，得2136010x =， 解得：x =±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y ≤360时，0＜x ≤60， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当60x =时，W 取得最大值，此时1080W =，即今年最多可获得1080万元的毛利润．【点睛】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．9．(1)1001600y x =-+(2)一周该商场销售这种商品获得的最大利润为6400元，此时该商品的售价为每件8元．【解析】【分析】（1）由y 与x 之间满足一次函数关系，可设y=kx+b ，代入两组数值求解即可；（2）由题意可得x ≥4，总利润是关于x 的二次函数，根据二次函数求最值可得答案．(1)解：由题意可设y=kx+b ，当x =6时，y =1000；当x =7时，y =900，代入解析式可得610007900k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1001600k b =-⎧⎨=⎩， 所以y 与x 的函数关系式为1001600y x =-+(2)解：由题意可得x ≥4，一周该商场这种商品获得的利润为W =xy=x (-100x +1600)=-100x 2+1600x=2100(8)6400x --+当x =8时，W 取得最大值6400，所以一周该商场销售这种商品获得的最大利润为6400元，此时该商品的售价为每件8元．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，以及二次函数的最值问题，根据题意列出关系式是解题的关键．10．(1)房价为350元时，宾馆利润最大；(2)①0.6（1－x ）；②10000（1+3x ）；(3)x ＝0.1；(4)王老师这500米的平均步幅为0.5米【解析】【分析】（1）设房价为（180+10x ）元，宾馆总利润为y 元，根据利润=（房价-支出）×房间数量，列出关系式求解即可；（2）根据题意结合表格中的数据求解即可；（3）根据距离=步长×步数列出方程求解即可；（4）先由（3）求出两次张大爷的步数，即可得到500m 的步数，从而即可求出步长．(1)解：设房价为（180+10x ）元，宾馆总利润为y 元，依题意得：()22(1801020)(50)103408000101710890y x x x x x =+--=-++=--+∵－10<0，抛物线开口向下，∴当x ＝17时，y 有最大值，180+10x=350元，答：房价为350元时，宾馆利润最大．(2)解：由题意得第二次锻炼的平均步长为()0.61x -，第二次锻炼的平均步数为()1000013x +，故答案为：()0.61x -；()1000013x +；(3)解：由题意得：10000（1+3x）×0.6（1－x）＝7020．解得：1170.5 30x=>（舍去），20.1x=∴x＝0.1；(4)解：根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）＝23000，500÷（24000－23000）＝0.5（m）．答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，列代数式，一元二次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．。
中考二次函数应用题含答案解析
中考二次函数应用题含答案解析二次函数应用题1．某校九年级一班为了鼓励同学们努力学习，营造良好的学习环境，准备到某文具店购买A ，B 两种文具，奖励期末考试综合评定优秀的学生．据了解，购买A 种文具3个，B 种文具5个，共需210元；购买A 种文具4个，B 种文具10个，则需380元．(1)求A ，B 两种文具的单价分别是多少元？(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A 、B 两种文具共12个进行奖励．该文具店为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几个B 种文具，B 种文具每个就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？ 2．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x cm ，面积为y m 2如图所示）．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲 乙 丙 单价（元/棵）14 16 28 合理用地（m 2/棵） 0.4 1 0.43．某社区委员会决定把一块长40m ，宽30m 的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为()m 610x x ≤≤，健身活动区域的面积为2m S ．(1)求出S与x之间的函数关系式；(2)求健身活动区域的面积S的最大值．4．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）607080周销售量y（件）1008060周销售利润w（元）200024002400【注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）】(1)①直接写出：此商品进价元，y关于x的函数解析式是．（不要求写出自变量的取值范围）②当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．5．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？6．安徽省在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．（毛利润=销售额-生产费用）(1)请直接写出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围）(2)求W 与x 之间的函数关系式；（写出自变量x 的取值范围）：并求年产量多少万件时，所获毛利润最大?(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润?7．如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为9m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开，已知整个隔离区塑料膜总长为24m ，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，设垂直于墙的一边为m x ，隔离区面积为2m S ．(1)求S 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围；(2)求隔离区面积的最大值．8．河口街心花园某商场经营某种品牌童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)求出销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)求出销售该品牌童装获得的利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装的销售单价不低于76元且不高于80元则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？9．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？ 10．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2724y x x =-++（x ＞0）．(1)柱子OA的高度是______米；(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【参考答案】二次函数应用题1．(1)A种文具的单价为20元，B种文具单价为30元．(2)本次购买至少准备216元钱，最多准备265元钱．【解析】【分析】（1）设A种文具的单价为x元，B种文具单价为y元，由题意：购买A种文具3个，B种文具5个，共需210元；购买A种文具4个，B种文具10个，则需380元．找等量关系，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买B种文具a个，则购买A种文具（12-a）个，准备m元钱，由题意得m=a （30-a）+20（12-a）=-（a-5）2+265，则当a=5时，m有最大值为265，再由a=0时，m=240；a=12时，m=216；即可得出结论．(1)解：设A种文具的单价为x元，B种文具单价为y元，由题意得：35210 410380x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2030xy=⎧⎨=⎩，答：A种文具的单价为20元，B种文具单价为30元；(2)解：设购买B种文具a个，则购买A种文具（12﹣a）个，准备m元钱，由题意得：m＝a（30﹣a）+20（12﹣a）＝﹣a2+10a+240＝﹣（a﹣5）2+265，则当a＝5时，m有最大值为265，∵a＝0时，m＝240；a＝12时，m＝216；∴本次购买至少准备216元钱，最多准备265元钱．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用以及二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，找准等量关系．2．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断．(1)解：∵AB ＝x ，∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ，∵0＜36﹣2x ≤18，∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）；(2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162，∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600，∴a +7b ＝1500，∴b 的最大值为214，此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2，∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 3．(1)24201200S x x =-++；()610x ≤≤(2)活动区域面积S 的最大值为21176m【解析】【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S 与x 之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解．(1)（1）由题意解得：()2=4030454201200S x x x x ⨯--=-++；()610x ≤≤(2)（2）2254201200412252S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∵40a =-<，抛物线开口向下，对称轴为52x =， ∴当610x ≤≤时，S 随x 的增大而减小，∴当6x =时，S 有最大值，最大值为1176，答：活动区域面积S 的最大值为21176m ．【点睛】 本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．4．(1)①40，y ＝﹣2x +220；②当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元；(2)销售最大利润是1600元时，m 的值为10．【解析】【分析】（1）①该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，用待定系数法求解即可；②根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；（2）根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m 的方程，求解即可．(1)解：（1）①该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（60，100），（70，80）分别代入得： 100608070k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：k ＝﹣2，b ＝220．∴y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣2x +220；故答案为：40，y ＝﹣2x +220；②由题意得：w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800＝﹣2（x ﹣75）2+2450，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元；(2)解∶ 由题意得：w ＝（﹣2x +220）（x ﹣40﹣m ）＝﹣2x 2+（300+2m ）x ﹣8800﹣220m ，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，对称轴为：300217542m x m +=-=+-， 又∵x ≤70，∴当x <7512m +时，w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝70时，w 有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m ）＝1600，解得：m ＝10．∴周销售最大利润是1600元时，m 的值为10．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．5．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元．【解析】【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系， 设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤即10300y x =-+，1030x ≤≤，(2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-，∵100-<，开口向下，对称轴为20x，1030x ≤≤ ∴当20x时，w 有最大值，为1000元， 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式．6．(1)21(0100)10y x x =≤≤，130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤，年产量75万件时，所获毛利润最大； (3)今年最多可获得1080万元的毛利润【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润=销售额-生产费用，可得出w 与x 之间的函数关系式； （3）首先求出x 的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．(1)解：设y 与x 之间的函数关系式为2y ax =，21000100a =⨯，得110a =， 即y 与x 之间的函数关系式为21(0100)10y x x =≤≤； 设z 与x 的函数关系式为z kx b =+，3010020b k b =⎧⎨+=⎩，得1,1030k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即z 与x 的函数关系式为130(0100)10z x x =-+≤≤； (2)解：由题意可得， 2211130(75)112510105W zx y x x x x ⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪⎝⎭， 即W 与x 之间的函数关系式为21(75)1125(0100)5W x x =--+≤≤， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当75x =时，W 取得最大值，此时1125W =，即年产量75万件时，所获毛利润最大；(3)解：∵今年投入生产的费用不会超过360万元，∴360y ≤，令y =360，得2136010x =， 解得：x =±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y ≤360时，0＜x ≤60， ∵21(75)11255W x =--+， ∴当60x =时，W 取得最大值，此时1080W =，即今年最多可获得1080万元的毛利润．【点睛】本题考查了二次函数的应用及一次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求函数解析式，注意培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．7．(1)2324S x x =-+，x 的取值范围：5≤x ＜8(2)45m 2【解析】【分析】（1）垂直于墙的一边为x m ，则隔离区的另一边为（24－3x ）m ，根据面积公式即可得到解析式，由24392430x x -≤⎧⎨->⎩即可得到x 的取值范围； （2）先将S 关于x 的函数表达式化为顶点式，即23(4)48S x =--+，求最值即可．(1)垂直于墙的一边为x m ，则隔离区的另一边为（24－3x ）m ，∴S ＝x （24﹣3x ），化简得2324S x x =-+根据题意，得不等式组24392430x x -≤⎧⎨->⎩ 解得：5≤x ＜8，∴S 关于x 的函数解析式为：2324S x x =-+，x 的取值范围：5≤x ＜8(2)2324S x x =-+23(4)48S x =--+∵该抛物线开口向下，对称轴为直线x ＝4，∴当5≤x ＜8时，S 随x 的增大而减小，当x ＝5时，S 的值最大，最大值＝45答：隔离区面积最大值为45m 2．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，涉及二次函数的性质、解一元一次不等式组，准确理解题意是解题的关键．8．(1)()2018006080y x x =-+≤≤(2)2203000108000w x x =-+-(3)商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元【解析】【分析】（1）销售量y 件为200件加增加的件数()8020x -⨯；（2）利润w 等于单件利润×销售量y 件，即()()60201800w x x =--+，整理即可； （3）先利用二次函数的性质得到2203000108000w x x =-+-的对称轴为()300075220x =-=⨯-，而7680x ≤≤，根据二次函数的性质得到，当7680x ≤≤时，w 随x 的增大而减小，把76x =代入计算即可得到商场销售该品牌童装获得的最大利润．(1)解：根据题意得，()2008020201800y x x =+-⨯=-+，所以销售量y 件与销售单价x 元之间的函数关系式为()2018006080y x x =-+≤≤；(2)()()()26060201800203000108000w x y x x x x =-=--+=-+-，所以销售该品牌童装获得的利润w 元与销售单价x 元之间的函数关系式为：2203000108000w x x =-+-；(3)根据题意得7680x ≤≤，2203000108000w x x =-+-的对称轴为()300075220x =-=⨯-， ∵200a =-<，∴抛物线开口向下，∴当7680x ≤≤时，w 随x 的增大而减小，∴76x =时，w 有最大值，最大值为()()7660207618004480w =--⨯+=（元）．所以商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元．【点睛】本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质和二次函数的最值，解决实际问题中的最大或最小值问题．9．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【解析】【分析】设这种台灯应涨价x 元，那么就少卖出10x 个，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：设售价为x 元，根据题意得：()()()2306001040106512250W x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，∴当x ＝65时，12250y =最大，答：这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式是解答本题的关键． 10．(1)74(2) 【解析】【分析】（1）OA 在y 轴上，2724y x x =-++中，令x =0，可得y 即为OA ； （2）水流落得最远时，落点在x 轴上，在2724y x x =-++中，当y ＝0时，27204x x -++=，求得1x ． (1) 在2724y x x =-++中，令x =0，则y = 74， ∴柱子OA 的高度为74米； 故答案为74； (2)（2）在2724y x x =-++中， 当y ＝0时27204x x -++=， 272-04-x x =， ()27=-2-41-=114⎛⎫∆⨯⨯ ⎪⎝⎭，∴1x ==∴1x =，2x =·， 又∵x ＞0，∴解得x =【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x 轴上的纵坐标为0，y 轴上的横坐标为0，解方程．。
中考二次函数应用题含答案解析
中考二次函数应用题含答案解析二次函数应用题1．某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；(3)因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）()0m>，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是2700元，求m的值．2．某果农在销瓯柑时，经市场调査发现：瓯柑若售价为5元/千克，日销售量为34千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设瓯柑售价为x元/千克（x≥5且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日瓯柑的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过15元/千克．设每日销售额为w元，求w关于x的函数表达式，并求w的最大值和最小值；(3)市政府每日给果农补贴a元后（a为正整数），果农发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过350元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于340元，请直按写出所有符合题意的a的值．3．合肥市某公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来24天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式p=14t+30（t为整数），且其日销售量y（kg）与时间t（天）的函数关系如下表．(1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求此一次函数的解析式；(2)问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？(3)在实际销售中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n（n＜9）元给“精准扶贫”对象．现发现：每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．4．跳台滑雪是北京冬奥会的项目之一．某跳台滑雪训练场的横截面示意图如图并建立平面直角坐标系．抛物线2117:1126C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出（即A 点坐标为（0，4）），滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．(1)当运动员运动到距A 处的水平距离为4米时，距图中水平线的高度为8米（即经过点（4，8）），求抛物线C 2的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)在（1）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？5．冰墩墩（BingDwenDwen ）．是2022年北京冬季奥运会的吉样物．它将银猫形象与富有超能量的冰晶外壳结合．头部外壳造型取自冰雪运动头盔．装饰彩色光环．整体形象酷似航天员．冬奥会期间．某商家开始古样物“冰墩墩“纪含品的销售．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元．且不高于52元．销售期间发现．当销售单价定为44元时．每天可出售300个．销售单价每上涨1元．每天销量减少10个．现商家决定提价销售．设每天销售量为y 个．销售单价为x 元(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时．商家每天获利2400元：(2)将纪念品的销售单价定为多少元时．商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？6．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D 在线段AB 上时，①设DF 的长为x 米，请用含x 的代数式表示EF 的长；②若要求所围成的小型农场DBEF 的面积为12平方米，求DF 的长； (2)DF 的长为多少米时，小型农场DBEF 的面积最大?最大面积为多少平方米? 7．问题提出(1)如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，点E 在BC 上，2BE EC =，连接FE 并延长交DC 的延长线于点G ，求CG 的长；问题解决(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD 的土地，其中4km AB =，6km BC =，60B ∠=︒．管理者想规划出一个形状为EMP 的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E 是AD 的中点，点P 、M 分别在BC 、AB 上，PM AB ⊥．设BP 的长为(km)x ，EMP 的面积为y 2(km )．①求y 与x 之间的函数关系式；②为容纳更多的游客，要求EMP 的面积尽可能的大，请求出EMP 面积的最大值，并求出此时BP 的长．8．第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办，近些年来冰雪运动得到了蓬勃发展，一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）之间的关系式，测得一组数据（如下表）． 滑行时间t /s0 1 234滑行距离s/m0514274 4(1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数图象的一部分？请你用该函数模型来近似地表示s与t之间的关系；(3)如果该滑雪者滑行了230m，请你用（2）中的函数模型推测他滑行的时间是多少秒．（2431849=）9．某商场将进价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查发现，售价在40元至70元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就减少10个．为了实现每月获得最大的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？最大利润为多少元？10．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：售价x（元/件）4045月销售量y（件）300250月销售利润w（元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价）(1)求y关于x的函数表达式；(2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；(3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（6m≤）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．【参考答案】二次函数应用题1．(1)2200y x =-+(2)售价为60元时，周销售利润最大为3200元 (3)5 【解析】 【分析】（1）设y ＝kx ＋b ，把x ＝30，y ＝140和x ＝50，y ＝100，代入可得解析式；（2）根据利润＝（售价−进价）×数量，得()()202200w x x =--+，根据顶点的纵坐标是有最大值求解即可；（3）根据利润＝（售价−进价）×数量，得W ＝()()202200x m x ---+（x ≤55），其对称轴x ＝60＋2m＞60，0＜x ≤55时，函数单调递增，只有x ＝55时周销售利润最大，即可得m ＝5． (1)解：设y 关于x 的函数解析式为y kx b =+， 把x ＝30，y ＝140和x ＝50，y ＝100，代入得，1403010050k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得2200k b =-⎧⎨=⎩，∴2200y x =-+；(2)∵()140301400a -=， ∴20a =，()()()22202200224040002603200w x x x x x =--+=-+-=--+，∴售价为60元时，周销售利润最大为3200元． (3)()()()2202200222402004000w x m x x m x m =---+=-++--对称轴为：60552mx =+> ∵55x ≤，在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，当55x =时，w 最大＝2700，()()55202552002700m ---⨯+=， ∴5m =．【点睛】本题考查了本题考查二次函数的应用，解本题的关键理解题意，掌握二次函数的性质和销售问题中利润公式． 2．(1)10元/千克(2)2244w x x =-+（515x ≤≤，且x 为正整数）最大值是242元，最小值为170元 (3)106 107 108 【解析】 【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为24千克，列方程可解答；（2）根据题意，利用销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，根据二次函数的性质及配方法可求得答案；（3）由题意得：2340244350x x a ≤-++≤，由二次函数的对称性可知x 的取值为9，10，11，12，13，从而计算可得a 值． (1)解：根据题意得342524x --=（）， 解得10x =．答：该日瓯柑的单价是10元/千克； (2)解：根据题意得222342524422212112121124]2[w x x x x x x x =--=-+=--+-=--+（）（）（），由题意得515x ≤≤，且x 为正整数， ∵20-＜ ，∴11x =时，w 有最大值是242元， ∵11-5=6，15-11=4，抛物线开口向下，∴5x =时，w 有最小值是22511242170--+=（）元；则w 关于x 的函数表达式为：23425244[]w x x x x =--=-+（）（515x ≤≤，且x 为正整数）；(3)解：由题意得2340244350x x a ≤-++≤，∵只有5种不同的单价使日收入不少于340元，5为奇数， ∴由二次函数的对称性可知，x 的取值为9，10，11，12，13 当9x =或13时，2244234x x -+=； 当10x =或12时，2244240x x -+=， 当11x =时，2244242x x -+=．∵补贴后不超过350元，234+106=340，242+108=350， ∴当106a =或107或108时符合题意． 答：所有符合题意的a 值为：106，107，108． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用．得到每天可售出的千克数是解决本题的突破点；本题需注意x 的取值应为整数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、根据销售额的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质． 3．(1)y =-2t +120（1≤t ≤24） (2)第10天，w 最大=1250元 (3)7≤n <9 【解析】 【分析】（1）设y =kt +b ，利用待定系数法即可解决问题；（2）根据日利润=日销售量×每公斤利润，表示前2天的日利润，根据二次函数的性质即可解题．（3）设在前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元，由题意得m =()2110212001202t n t n -+++-，将其化简，再根据函数性质求n 的取值范围．(1)解：依题意，设y =kt +b ，将(10，100)、(20，80)代入y =kt +b ，100108020k bk b =+⎧⎨=+⎩ 解得2120k b =-⎧⎨=⎩∴日销售量y (kg)与时间t (天)的关系y =−2t +120(1≤t ≤24)． (2)解：设第t 天的销售利润为W 元，则W =（p −20）y ， 当1≤t ≤24时，W = 1(3020)(1202)4t t +--=211012002t t -++ =21(10)12502t --+ ∴.当t =10时，W 取最大值为1250即第10天销售利润最大，最大日销售利润为1250元． (3)解：设在前24天中每天扣除捐赠后的日销售利润为m 元 由题意得m =1(3020)(1202)(1202)4t t t n +----=()2110212001202t n t n -+++-，∴其对称轴t =10212()2n+-⨯-=102n +， ∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大 ∴102n +≥24 ∴n ≥7 又∵n <9 ∴7≤n <9 【点睛】本题考查二次函数及一次函数的实际应用－商品利润问题，构造利润函数是解题的关键． 4．(1)213482y x x =-++(2)运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【解析】 【分析】（1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入C 2：y =-18x 2+bx +c 求出b 、c 的值即可写出C 2的函数解析式；（2）设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，解出m 即可．(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝﹣18x 2+bx +c 过点（0，4）和（4，8），将其代入得：2414488c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩， 解得：324b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线C 2的函数解析式为：213482y x x =-++；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：﹣18m 2+32m +4﹣（﹣112m 2+76m +1）＝1，整理得：（m ﹣12）（m +4）＝0， 解得：m 1＝12，m 2＝﹣4（舍去），故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键． 5．(1)50元 (2)52元；2640元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量的取值范围，根据销售量×（售价-进价）=2400，解方程求出在自变量范围内的解即可；（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． (1)解：由题意得：300104410740y x x =--=-+（）， ∴y 与x 之间的函数关系式为107404452y x x =-+≤≤（）； 当获利2400元时，由题意得：10740402400x x -+-=（）（）， 整理得：211432000x x -+=， 解得：125064x x ==，， ∵4452x ≤≤， ∴50x =，∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元； (2)根据题意得：2210740401011402960010572890w x x x x x =-+-=-+-=--+（）（）（） ，∵-10＜0，∴当57x ＜时，w 随x 的增大而增大， ∵4452x ≤≤，∴当52x =时，w 有最大值，最大值为2640，∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2640元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2bx a=-时取得． 6．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答． (1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．7．(1)1CG = (2)①2311388y x x =-+；②EMP 面积的最大值为21213km 32，此时BP 的长为11km 2 【解析】【分析】（1）证明FEB GEC △∽△，依据相似三角形的性质进行求解即可；（2）①分点P 在点H 左侧和右侧两种情况讨论求解即可；②由二次函数的性质可得解．(1)在矩形ABCD 中，90ABC BCD BCG ∠=∠=∠=︒，∵FEB GEC ∠=∠，∴FEB GEC △∽△，∴BF BE CG CE =， ∵4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，2BE EC =，∴2BF =，4BE =，2CE =，∴242CG =， ∴1CG =.(2)①过点E 作EH //AB 交BC 于点H ，交射线MP 于点G ，易得四边形ABHE 是平行四边形， ∴4EH AB ==.∵EH //AB ，PM AB ⊥，∴60PHG B ∠=∠=︒，EG PM ⊥，即EG 是PME △边MP 上的高.∵点E 是AD 的中点，∴3BH AE ==.如图1-1，当点P 在点H 左侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=+=+=. 如图1-2，当点P 在点H 右侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x x EG EH HG --=-=-=， ∴PME △的边MP 上的高112x EG -=. 在Rt MBP 中，3sin 60x MP BP =⋅︒=∴2113113113222x x y MP EG x -=⋅==. ②)222311333111213112y x x x x ⎫==-=-⎪⎝⎭ ∴当112x =时，1213y =最大 ∴EMP 21213，此时BP 的长为11km 2. 【点睛】 本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．8．(1)图见解析(2)二次函数，223s t t =+．(3)10秒【解析】【分析】（1）描点，连线，画出函数图象；（2）由图象可得出s 与t 的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；（3）把s =230m 代入即可求出t 的值．(1)描点，连线，如图所示．(2)观察函数图象，s 与t 的关系可近似看成二次函数，设s 关于t 的函数关系式为s ＝at 2＋bt ，将（1，5）（2，14）代入s ＝at 2＋bt ，得54214a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：23a b =⎧⎨=⎩， ∴近似地表示s 关于t 的函数关系式为223s t t =+．(3)当s =230，代入s =223t t +得230=223t t +解得t 1=10，t 2=-11.5（舍去）∴滑行的时间是10秒．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．9．这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【解析】【分析】设这种台灯应涨价x 元，那么就少卖出10x 个，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式，最后运用二次函数求最值即可．【详解】解：设售价为x 元，根据题意得：()()()2306001040106512250W x x x =---=--+⎡⎤⎣⎦，∴当x ＝65时，12250y =最大，答：这种台灯的售价应定为65元时，最大利润为12250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据“总利润=每个台灯的利润×销售量”列出函数解析式是解答本题的关键．10．(1)y ＝－10x ＋7000(2)4000元(3)3＜m ≤6【解析】【分析】（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；（3）根据总利润=（单件利润-m ）×销售量列出函数解析式，再根据x ≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x 的增大而增大，利用函数性质求m 的取值范围．(1)解：设一次函数解析式为y kx b =+，根据题意，得4030045250k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：10700k b -⎧⎨⎩＝＝， 所以y 与x 的函数表达式为10700y x =-+；(2) 解：由表中数据知，每件商品进价为30040300300030⨯-=（元）， 设该商品的月销售利润为w 元，则(30)w x y =- (30)(10700)x x =--+210100021000x x =-+-210504000=--+（）x ，∵-10＜0，∴当x =50时，w 最大，最大值为4000，∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；(3)解：根据题意得：230107001010001021000700w x m x x m x m =---+=-++--（）（）（），对称轴为直线()100010502102m m x +=-=+⨯-， ∵-10＜0， ∴当025x m ≤+时，w 随x 的增大而增大，∵x ≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x 的增大而增大， ∴555120m .+＞， 解得：3m ＞，∵36m ≤＜，∴m 的取值范围为36m ≤＜．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．。
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1 某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40 元．经过市场调查，一周的销售量 y 件与销售单价 x（ x≥ 50）元 / 件的关系如下表：销售单价 x（元 / 件） ,55607075,一周的销售量 y（件） ,450400300250,（1）直接写出 y 与 x 的函数关系式：（2）设一周的销售利润为 S 元，请求出 S 与 x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？2为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y（千克）与销售价 x（元 / 千克）有如下关系： y=﹣ 2x+80．设这种产品每天的销售利润为 w 元．（1）求 w与 x 之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？3 某商场购进一批单价为4 元的日用品．若按每件5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元 / 件）之间满足一次函数关系．（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？4 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40 元时，销售量是600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出10 件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（ x＞ 40），请你分别用x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）销售量 y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（ 1）问条件下，若商场获得了10000 元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．（3）在（ 1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44 元，且商场要完成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？5为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量（y件）与销售单价（x元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣ 10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25 元．如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？6在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按 24 元的价格销售时，每天能卖出 36 件；若每件按 29 元的价格销售时，每天能卖出 21 件．假定每天销售件数 y（件）与销售价格 x（元 / 件）满足一个以 x 为自变量的一次函数．（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P最大？7 某大学生利用暑假 40 天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20 元/ 件的新型商品在第 x 天销售的相关信息如下表所示。
销售量 p（件）P=50— x销售单价 q（元 / 件）当 1≤ x≤ 20 时， q=30+1x；2当 21≤ x≤ 40 时， q=20+525x（1）请计算第几天该商品的销售单价为35 元/ 件？（2）求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式。
（3）这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？（2013 年河北）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩． Q= W + 100 ，而 W 的大小与运输次数 n 及平均速度 x （ km/h ）有关（不考虑其他因素）， W由两部分的和组成： 一部分与 x 的平方成正比， 另一部分与 x 的 n 倍成正比． 试行中得到了表中的数据．（ 1）用含 x 和 n 的式子表示 Q ；（ 2）当 x = 70 ， Q = 450 时，求 n 的值； （ 3）若 n = 3 ，要使 Q 最大，确定 x 的值；（ 4）设 n = 2 ，x = 40 ，能否在 n 增加 m %（m ＞ 0）同时 x 减少 m %的情况下，而 Q 的值仍为 420，若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由．次数 n21参考公式：抛物线 y ＝ ax 2 +bx +c ( a ≠ 0) 的顶点坐标是（－ 速度 x 40 60b4 － b 2指数 Q420100ac2a，4a ）（2013 四川南充， 18，8 分）某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品 , 在商场试销发现:销售单价 x ( 元 / 件 ) 与每天销售量 y （件）之间满足如图所示的关系：（ 1）求出 y 与 x 之间的函数关系式；（ 2）写出每天的利润 W 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？y( 件 )50 30O130 150 x( 元 / 件 )解：（ 1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠ 0） . 由所给函数图象得130k b 50 k 1150k b 30解得180b∴函数关系式为 y ＝－ x ＋ 180.(2)W ＝ (x － 100) y ＝ (x － 100)( － x ＋ 180) ＝－ x2＋ 280x － 18000＝－ (x － 140) 2 ＋ 1600当售价定为140 元 , W 最大＝ 1600.∴售价定为 140 元 / 件时 , 每天最大利润 W ＝1600 元 ′（ 2013?达州）今年， 6 月 12 日为端午节．在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 2 元的粽子的销售情况．请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题．（1）小华的问题解答： 当定价为 4 元时，能实现每天 800 元的销售利润 ；（2）小明的问题解答： 800 元的销售利润不是最多，当定价为4.8 元是，每天的销售利润最大．考点：二次函数的应用分析：（ 1）设定价为x 元，利润为y 元，根据利润 =（定价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，结合 x 的取值范围，求出当y 取 800 时，定价 x 的值即可；（ 2）根据（ 1）中求出的函数解析式，运用配方法求最大值，并求此时x 的值即可．解答：解：（ 1）设定价为 x 元，利润为 y 元，则销售量为：（500﹣× 10），由题意得， y=（x﹣ 2）（ 500﹣× 10）2=﹣ 100x +1000x﹣ 1600当y=800 时，﹣100（x﹣ 5）2+900=800，解得： x=4 或 x=6，∵售价不能超过进价的 240%，∴x≤ 2× 240%，即 x≤ 4.8 ，故 x=4，即小华问题的解答为：当定价为 4 元时，能实现每天800 元的销售利润；（2）由（ 1）得 y=﹣ 100（x﹣ 5）2+900，∵﹣ 100＜ 0，∴函数图象开口向下，且对称轴为x=5，∵ x≤ 4.8 ，故当 x=4.8 时函数能取最大值，2即y max=﹣ 100（ 4.8 ﹣ 5） +900=896．故小明的问题的解答为：800 元的销售利润不是最多，当定价为 4.8 元时，每天的销售利润最大．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出函数关系式，要求同学们掌握运用配方法求二次函数的最大值．（2013?本溪）某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价 y（元 / 千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣﹣ BC﹣﹣ CD所示（不包括端点A）．（1）当 100＜ x＜ 200 时，直接写y 与 x 之间的函数关系式：y=﹣0.02x+8．（2）蔬菜的种植成本为 2 元 / 千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200 千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？（3）在（ 2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？考点：二次函数的应用分析：（ 1）利用待定系数法求出当100＜x＜ 200 时， y 与 x 之间的函数关系式即可；（ 2）根据当 0＜ x≤ 100 时，当 100＜ x≤ 200 时，分别求出获利W与 x 的函数关系式，进而求出最值即可；（ 3）根据（ 2）中所求得出，﹣0.02 （ x﹣ 150）2+450=418 求出即可．解答：解；（ 1）设当 100＜ x＜ 200 时， y 与 x 之间的函数关系式为：y=ax+b ，，解得：∴ y 与 x 之间的函数关系式为：y=﹣ 0.02x+8 ；故答案为： y=﹣0.02x+8 ；（ 2）当采购量是x 千克时，蔬菜种植基地获利W元，当0＜ x≤ 100 时， W=（ 6﹣2） x=4x ，当x=100 时， W有最大值 400 元，当100＜ x≤ 200 时，W=（ y﹣2） x=（﹣ 0.02x+6 ）x=﹣ 0.02 （ x﹣ 150）2+450，∵当 x=150 时， W有最大值为450 元，综上所述，一次性采购量为150 千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450 元；（ 3）∵ 418＜ 450，∴根据（ 2）可得，﹣ 0.02 （ x﹣ 150）2+450=418解得： x1=110， x 2 =190，答：经销商一次性采购的蔬菜是110 千克或 190 千克时，蔬菜种植基地能获得418 元的利润．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的解法等知识，利用数形结合以及分段讨论得出是解题关键．（2013?沈阳）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早 8 点开始到上午 11 点，每个普通售票窗口售出的车票数 y1（张）与售票时间 x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为60x 2，其中自变量x 的取值范围是0≤ x≤；（2）若当天共开放 5 个无人售票窗口，截至上午9 点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？（3）上午 10 点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．考点：二次函数的应用；一次函数的应用分析：（ 1）设函数的解析式为y=ax2，然后把点（1， 60）代入解析式求得 a 的值，即可得出抛物线的表达式，根据图象可得自变量x 的取值范围；（ 2）设需要开放x 个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可；（ 3）先求出普通窗口的函数解析式，然后求出10 点时售出的票数，和无人售票窗口当 x=时，y的值，然后把运用待定系数法求解析式即可．2解答：解：（ 1）设函数的解析式为y=ax ，则函数解析式为：y=60x 2（ 0≤ x≤）；（2）设需要开放 x 个普通售票窗口，由题意得， 80x+60× 5≥ 1450，解得： x≥ 14，∵x 为整数，∴ x=15，即至少需要开放 15 个普通售票窗口；（3）设普通售票的函数解析式为 y=kx ，把点（ 1， 80）代入得： k=80，则y=80x ，∵10 点是 x=2，∴当x=2 时， y=160，即上午 10 点普通窗口售票为 160 张，由（ 1）得，当x=时，y=135，∴图②中的一次函数过点（，135），（ 2， 160），设一次函数的解析式为：y=mx+n，把点的坐标代入得：，解得：，则一次函数的解析式为y=50x+60 ．点评：本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决．（2013?铁岭）某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为 40 元．经过市场调查，一周的销售量 y 件与销售单价 x（ x≥ 50）元 / 件的关系如下表：销售单价 x（元 / 件） ,55607075,一周的销售量y（件） ,450400300250,（1）直接写出y 与 x 的函数关系式：y= ﹣ 10x+1000（2）设一周的销售利润为 S 元，请求出 S 与 x 的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过 10000 元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？考点：二次函数的应用．3718684分析：（ 1）设 y=kx+b ，把点的坐标代入解析式，求出k、 b 的值，即可得出函数解析式；（2）根据利润 =（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；（3）根据购进该商品的贷款不超过 10000 元，求出进货量，然后求最大销售额即可．解答：解：（ 1）设 y=kx+b ，由题意得，，解得：，则函数关系式为：y=﹣ 10x+1000 ；（2）由题意得， S=（ x﹣40） y= （x﹣ 40）（﹣ 10x+1000 ）=﹣ 10x2+1400x﹣ 40000=﹣10（ x﹣ 70）2+9000，∵﹣ 10＜ 0，∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，∴当 40≤ x≤ 70 时，销售利润随着销售单价的增大而增大；（ 3）当购进该商品的贷款为10000 元时，y==250（件），此时 x=75，由（ 2）得当 x≥70 时， S随 x 的增大而减小，∴当 x=70 时，销售利润最大，此时 S=9000，即该商家最大捐款数额是9000 元．点评：本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．（2013?营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元 / 千克）有如下关系：y=﹣2x+80 ．设这种产品每天的销售利润为 w元．（1）求 w与 x 之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28 元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？考点：二次函数的应用．分析：（ 1）根据销售额 =销售量×销售价单x，列出函数关系式；（ 2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值；（ 3）把 y=150 代入（ 2）的函数关系式中，解一元二次方程求x，根据 x 的取值范围求 x 的值．解答：解：（ 1）由题意得出：w=（ x﹣20） ?y=（ x﹣20）（﹣ 2x+80）=﹣ 2x2+120x﹣ 1600，故 w 与 x 的函数关系式为：w=﹣ 2x2+120x﹣ 1600；22（2） w=﹣ 2x +120x﹣ 1600=﹣ 2（ x﹣ 30） +200，∵﹣ 2＜0，∴当 x=30 时， w有最大值． w最大值为 200．答：该产品销售价定为每千克30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润200 元．（3）当 w=150 时，可得方程﹣ 2（x﹣ 30）2+200=150．解得， x2=35．∵35＞28，∴ x2=35 不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元．点评：本题考查了二次函数的运用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．（2013 鞍山）某商场购进一批单价为 4 元的日用品．若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y（件）与价格 x（元 / 件）之间满足一次函数关系．（1）试求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？考点：二次函数的应用．分析：（ 1）利用待定系数法求得y 与 x 之间的一次函数关系式；（2）根据“利润 =（售价﹣成本）×售出件数” ，可得利润 W与销售价格 x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．解答：解：（ 1）由题意，可设 y=kx+b ，把（ 5， 30000），（ 6， 20000）代入得：，解得：，所以 y 与 x 之间的关系式为：y=﹣ 10000x+80000；（2）设利润为 W，则 W=（ x﹣4）（﹣ 10000x+80000）=﹣ 10000（x﹣ 4）（ x﹣ 8）2=﹣ 10000（x ﹣ 12x+32）2=﹣ 10000[ （ x﹣ 6）﹣4]所以当 x=6 时， W取得最大值，最大值为40000 元．答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000 元．点评：本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，（2013?鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40 元时，销售量是600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出10 件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（ x＞ 40），请你分别用x 的代数式来表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量 y（件）1000 ﹣10x销售玩具获得利润 w（元）﹣ 10x2+1300x﹣ 30000（2）在（ 1）问条件下，若商场获得了10000 元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元．（3）在（ 1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44 元，且商场要完成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．3718684分析：（ 1）由销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具得 y=600 ﹣（ x﹣ 40） x=1000﹣ x，利润 =（1000 ﹣ x）（ x﹣ 30） =﹣ 10x 2+1300x﹣ 30000；（ 2）令﹣ 10x2+1300x﹣ 30000=10000，求出 x 的值即可；（ 3）首先求出x 的取值范围，然后把 w=﹣ 10x 2+1300x﹣ 30000 转化成 y=﹣ 10（x﹣ 65）2+12250，结合 x 的取值范围，求出最大利润．解答：解：（ 1）销售单价（元）x销售量 y（件）1000 ﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣ 10x 2+1300x﹣ 300002（2）﹣ 10x +1300x﹣ 30000=10000解之得： x1=50， x2=80答：玩具销售单价为50 元或 80 元时，可获得10000 元销售利润，（ 3）根据题意得解之得： 44≤ x≤46w=﹣ 10x2+1300x﹣ 30000=﹣ 10（ x﹣ 65）2+12250∵a=﹣10＜ 0，对称轴 x=65∴当 44≤ x≤ 46 时， y 随 x 增大而增大．∴当 x=46 时， W最大值 =8640（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640 元．点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．（2013?黄冈）某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为 6 千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系为y2=（1）用 x 的代数式表示 t 为：t= 6﹣ x ；当 0＜ x≤4 时，y2与 x 的函数关系为： y2= 5x+80 ；当 4 ＜x＜ 6 时， y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？考点：二次函数的应用．3481324分析：（ 1）由该公司的年产量为 6 千件，每年可在国内、国外市场上全部售完，可得国内销售量+国外销售量 =6 千件，即x+t=6 ，变形即为t=6 ﹣ x；根据平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t （千件）的关系及 t=6 ﹣x 即可求出y2与 x 的函数关系：当0＜ x≤ 4 时，y2=5x+80；当 4≤ x＜ 6 时， y2=100；（ 2）根据总利润 =国内销售的利润 +国外销售的利润，结合函数解析式，分三种情况讨论：①0＜ x≤2；② 2＜x≤ 4；③ 4＜ x＜ 6；（3）先利用配方法将各解析式写成顶点式，再根据二次函数的性质，求出三种情况下的最大值，再比较即可．解答：解：（ 1）由题意，得x+t=6 ，∴t=6 ﹣ x；∵，∴当 0＜ x≤ 4 时， 2≤ 6﹣x＜ 6，即 2≤ t ＜ 6，此时 y2与 x 的函数关系为：y2=﹣ 5（ 6﹣x） +110=5x+80；当4≤x＜ 6 时， 0≤ 6﹣ x＜2，即 0≤ t ＜ 2，此时 y2=100．故答案为 6﹣ x；5x+80 ；4， 6；（ 2）分三种情况：①当 0＜ x≤ 2 时， w=（ 15x+90） x+（ 5x+80 ）（ 6﹣ x）=10x2+40x+480；②当2＜ x≤ 4 时， w=（﹣ 5x+130 ）x+（ 5x+80）（ 6﹣ x） =﹣ 10x2+80x+480；③当4＜ x＜ 6 时， w=（﹣ 5x+130 ）x+100 （ 6﹣ x） =﹣5x2+30x+600；综上可知， w=；（3）当 0＜ x≤2 时， w=10x2+40x+480=10（ x+2）2+440，此时 x=2 时， w 最大 =600；当 2＜x≤ 422，此时 x=4时， w 最大 =640；时， w=﹣ 10x +80x+480=﹣10（ x﹣ 4） +640当 4＜x＜ 6时， w=﹣ 5x2+30x+600=﹣5（ x﹣ 3）2+645， 4＜ x＜ 6 时， w＜ 640；∴x=4 时， w 最大 =640．故该公司每年国内、国外的销售量各为 4 千件、 2 千件，可使公司每年的总利润最大，最大值为64 万元．点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，有一定难度．涉及到一次函数、二次函数的性质，分段函数等知识，进行分类讨论是解题的关键．（2013?随州）某公司投资700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30 元，生产乙种产品每件还需成本费20 元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当 35≤ x＜ 50 时， y与 x 之间的函数关系式为y=20﹣ 0.2x ；当 50≤ x≤ 70 时， y 与 x 的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25 元（含）到45 元（含）之间，且年销售量稳定在10 万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90 元．（1）当 50≤ x≤ 70 时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x （元）在50≤ x≤ 70 范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85 万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．考点：二次函数的应用分析：（ 1）设 y 与 x 的函数关系式为y=kx+b （ k≠ 0），然后把点（ 50， 10），（ 70， 8）代入求出 k、 b 的值即可得解；（2）先根据两种产品的销售单价之和为 90 元，根据乙种产品的定价范围列出不等式组求出 x 的取值范围是 45≤ x≤ 65，然后分 45≤＜ 50， 50≤ x≤65 两种情况，根据销售利润等于两种产品的利润之和列出 W与 x 的函数关系式，再利用二次函数的增减性确定出最大值，从而得解；（ 3）用第一年的最大利润加上第二年的利润，然后根据总盈利不低于85 万元列出不等式，整理后求解即可．解答：解：（ 1）设 y 与 x 的函数关系式为y=kx+b （ k≠ 0），∵函数图象经过点（50，10），（ 70， 8），∴，解得，所以， y=﹣ 0.1x+15 ；（ 2）∵乙种产品的销售单价在25 元（含）到45 元（含）之间，∴，解之得 45≤ x≤ 65，①45≤x＜ 50 时， W=（ x﹣30）（ 20﹣ 0.2x ） +10（ 90﹣x﹣ 20），2=﹣ 0.2x +16x+100，2=﹣ 0.2 （ x ﹣ 80x+1600 ） +320+100，∵﹣ 0.2 ＜ 0，∴ x＞ 40 时， W随 x 的增大而减小，∴当 x=45 时， W有最大值， W最大 =﹣ 0.2 （ 45﹣ 40）2+420=415 万元；②50≤x≤ 65 时， W=（ x﹣30）（﹣ 0.1x+15 ） +10（ 90﹣ x﹣ 20），2=﹣ 0.1x +8x+250 ，2=﹣ 0.1 （ x﹣ 40） +410，∴ x＞ 40 时， W随 x 的增大而减小，∴当 x=50 时， W有最大值， W最大 =﹣ 0.1 （ 50﹣ 40）2+410=400 万元．综上所述，当 x=45，即甲、乙两种产品定价均为 45 元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是 415 万元；（3）根据题意得， W=﹣ 0.1x 2+8x+250+415﹣ 700=﹣ 0.1x 2+8x﹣ 35，2﹣ 35=85，解得 x=20， x =60．令 W=85，则﹣ 0.1x +8x12又由题意知， 50≤ x≤ 65，根据函数性质分析，50≤ x≤ 60，即 50≤90﹣ m≤ 60，∴ 30≤m≤ 40．点评：本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，本题最大的特点就是要根据x 的范围的不同分情况列出不同的函数关系式，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 x=时取得．（2013?咸宁）为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件 12 元，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关系近似满足一次函数： y=﹣10x+500．（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为 20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25 元．如果李明想要每月获得的利润不低于 300 元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？考点：二次函数的应用．3718684分析：（ 1）把 x=20 代入 y=﹣ 10x+500 求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（ 2）由利润 =销售价﹣成本价，得w=（ x﹣10）（﹣ 10x+500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（ 3）令﹣ 10x 2+600x﹣ 5000=3000，求出 x 的值，结合图象求出利润的范围，然后设设政府每个月为他承担的总差价为p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．解答：解：（ 1）当 x=20 时， y= ﹣10x+500=﹣ 10× 20+500=300，300×（ 12﹣ 10）=300× 2=600，即政府这个月为他承担的总差价为600 元．（2）依题意得， w=（ x﹣10）（﹣ 10x+500）=﹣ 10x2+600x ﹣5000=﹣ 10（x﹣ 30）2+4000∵a=﹣10＜ 0，∴当 x=30 时， w 有最大值 4000．即当销售单价定为30 元时，每月可获得最大利润4000．（3）由题意得：﹣ 10x2+600x ﹣ 5000=3000，解得： x1=20， x2=40．∵ a=﹣10＜ 0，抛物线开口向下，∴结合图象可知：当20≤x≤ 40 时， w≥ 3000．又∵ x≤25，∴当 20≤ x≤ 25 时， w≥ 3000．设政府每个月为他承担的总差价为p 元，∴ p=（12﹣ 10）×（﹣ 10x+500）=﹣ 20x+1000 ．∵ k=﹣20＜ 0．∴ p 随 x 的增大而减小，∴当 x=25 时， p 有最小值500．即销售单价定为25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500 元．点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．（2013?孝感）在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20 元的“孝文化衫” 在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24 元的价格销售时，每天能卖出36 件；若每件按29 元的价格销售时，每天能卖出21 件．假定每天销售件数y（件）与销售价格x（元 / 件）满足一个以x 为自变量的一次函数．（1）求 y 与 x 满足的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润 P最大？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．分析：（ 1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b ．，由题意可列出k 和 b 的二元一次方程组，解出k 和 b 的值即可；（ 2）根据题意：每天获得的利润为：P=（﹣ 3x+108）（x﹣ 20），转换为 P=﹣ 3（x﹣ 28）2+192，于是求出每天获得的利润P 最大时的销售价格．解答：解：（ 1）设 y 与 x 满足的函数关系式为：y=kx+b ．由题意可得：解得故 y 与 x 的函数关系式为：y=﹣ 3x+108．。