K2.11 差分方程的z变换解

2)
1 z 1 z 1 z , | z | 2 6 (z 1) 2 (z 1) 3 (z 2)
yzs (k )
[1 6
1k

1 2
(1)k

1 (2)k ] (k)
3
8
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差分方程的z变换解
62
3
6
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差分方程的z变换解 (2)求零输入响应
yzi (k) 3yzi (k 1) 2 yzi (k 2) 0 yzi (1) y(1) 1, yzi (2) y(2) 0

3z2 (z 1)(z
2z 2)
,
| z | 2
z 4z z 1 z 2
yzi (k) (1)k (2)k2 , k 0
7
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差分方程的z变换解 (3)求零状态响应
yzs (k) 3yzs (k 1) 2 yzs (k 2) f (k 2)
差分方程的z变换解 例2 ： (求LTI系统差分方程的3种响应) 已知：离散系统的方程为：
y(k) 3y(k 1) 2 y(k 2) f (k 2)
y(1) 1, y(2) 0, f (k) (k) 求：y(k), yzi (k), yzs (k)。
解： (1) 求完全响应y(k)：
yzs (1) yzs (2) 0, f (k) (k)
由右移性质，对方程两边取单边z变换，得
Yzs ( z)

3z 1 yzs ( z)

2
z
Y 2 zs
(
z
)

z2F (z)
Yzs
(z)

(1
z 2 3z1
2 z 2
)
F(z)

(z
1)( z
z 1)( z
整理得：
Y (z)

(1
2z1) y(1) 2y(2) 1 z1 2z2

1 2z2 1 z1 2z2
F(z)
z2 4z z2 2 z z2 z 2 z2 z 2 z 1
Yzi(z)
Yzs(z)
Yzi (z)

(z
z2 4z 2)(z 1)
由单边z变换的右移性质：
m1
f (k m) zmF (z) f (k m)zk k 0
5
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差分方程的z变换解
y(k) 3y(k 1) 2 y(k 2) f (k 2)

2z z2

z z 1

yzi (k )
[2(2)k
(1)k ] (k)
Yzs (z)

2z z2

1 2
z
z 1
3 2
z
z 1

yzs (k )
[2k 1

1 (1)k 2

3] (k)
2
4
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对差分方程两边取单边z变换，得
0
1
Y (z) 3[z1Y (z) y(k 1)zk ] 2[z2Y (z) y(k 2)zk ] z2F (z)
k 0
k 0
Y
(z)

(3

2z1) y(1) 2 1 3z 1 2z 2
y(2)

Leabharlann Baidu
1
z 2 3z 1
2 z 2
F
(z)
3z3 z2 3z , F(z) z
(z 1)(z 1)(z 2)
z 1
1 z 1 z 11 z , | z | 2 6 (z 1) 2 (z 1) 3 (z 2)
y(k) 1 1k 1 (1)k 11(2)k , k 0
9
9
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程中，故可求系统的零输入、零状态响应和全响应。
n
m
ani y(k i) bm j f (k j)
i0
j0
设f(k)在k=0时接入，系统初始状态为y(-1),y(-2),…y(-n)。
取单边 z 变换得：
n
i 1
m
ani [z iY (z) y(k i)z i ] bm j [z j F (z)]
已知y( –1)=2，y(– 2)= – 1/2，f(k)= (k)。求系统
的yzi (k)、yzs(k)、y(k)。
3
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差分方程的z变换解
解：方程两边取单边z变换，得：
Y (z) [z1Y (z) y(1)] 2[z2Y (z) y(2) y(1)z1] F(z) 2z2F(z)
根据右移性质，对 方程两边取单边z变换，得：
1
Yzi (z) 3z1[Yzi (z) yzi (1)z(1) ] 2z2[Yzi (z) yzi (k 2)zk ] 0 k 0
Yzi
(z)

(3
2z1) yzi (1) 2 yzi (2) 1 3z1 2z2
知识点K2.11
差分方程的z变换解
差分方程的z变换解
主要内容：
差分方程的z域解
基本要求：
掌握离散系统的z域描述和分析方法
1
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差分方程的z变换解 K2.11 差分方程的z域解
单边z变换将系统的初始条件自然地包含于其代数方
i0
k 0
j0
n
n
i 1
m
[ ani z i ]Y (z) ani [ y(k i)z k ] ( bm j z j )F (z)
i0
i0
k 0
j0
2
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差分方程的z变换解
说明：前向差分方程的解法：
m1
方法1：用左移性质： f (k m) zmF (z) f (k)zmk , k 0 初始条件：y(0)，y(1)，∙∙∙
方法2：转变为后向差分方程，用右移性质求解 初始条件： y(-1)，y(-2)， ∙∙∙
若初始条件不适用，则用递推法由相应的差分方程 递推得到需要的初始条件。
Y (z)

M (z) A( z )

B(z) A( z )
F(z)

Yzi (z)
Yzs (z)
系统函数 H (z) Yzs (z) B(z) F (z) A(z)
h(k)←→H(z)
例1：若某系统的差分方程为 y(k) – y(k – 1) – 2y(k – 2)= f(k)+2f(k – 2)