五年级奥数几何专项九 勾股定理与弦图(二)

专项九勾股定理与弦图（二）
课前预习
华盛顿的傍晚
亲爱的小朋友们：
“在那山的那边海那边的美国首都华盛顿，有一位中年人，他聪明又勤奋，他潜心探讨，他反复思考与演算……”那是1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使，加菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是加菲尔德
便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩说：“先生，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

加菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。

他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

具体方法如下：
两个全等的Rt△ABC和Rt△BDE可以拼成直角梯形ACDE，
则梯形面积等于三个直角三角形面积之和。

即
（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2
（a＋b）2÷2＝a×b÷2＋a×b÷2＋c×c÷2
化简整理得a2＋b2＝c2
点评：此种解法主要利用了三角形的面积公式：底×高÷2，和梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2．
而在我国对于勾股定理的证明又做出了那些贡献哪？
在我国古代，把直角三角形叫做勾股形。

把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理称为“勾股定理”。

勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。

即：在直角三角形中俩条直角边的平方和等于斜边的平方。

公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故折矩,以为句广三,股修四、径修五．既方之.外半卿一矩,环而共盘.得成三、四、五．
三国时期的赵爽注解道:句股各自乘,并之为弦实,开方除之,即弦.案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为中黄实,加差之,亦成弦实．
汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短面曰句，长面曰股，相与结角曰弦.句短其股，股短其弦．
句股各自乘，并，而开方除之，即弦．
勾股定理的证明：
（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：
()22
222
1
4
2
.
ABCD
S a b c ab
a b c
=+=+⨯
∴+=
正方形
（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：
()2
2
222
1
4
2
.
S c a b ab
a b c
=-+⨯
∴+=
正方形EFGH
（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：
2
()()11
2
222
ABCD
a b a b
S ab c
++
==⨯+
梯形
222.
a b c
∴+=
_D
_C
_B
_A
知识框架
勾股定理:
直角三角形中的两直角边平方后的和等于斜边的平方．
注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。

勾股定理实际上包含两方面的内容：
【巩固】 如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方之和等于斜边的平方；
② 如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么它一定是直角三角形． 勾股数：
满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

弦图：
重点： 1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形
难点： 3.勾股定理与弦图的联系与应用
【例1】已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_________ A 25海里 B 30海里 C 35海里 D 40海里
重难点
例题精讲
G
F
E
H
北
南
A
东
【巩固】一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.
【例2】如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676
，那么最小的正方形的面积为
【巩固】如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。

A
B
C
D
7cm
【例3】已知，如图，四边形ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，BC=13cm ，CD=12cm ，且∠A=90°，求四边形ABCD 的面积。

【巩固】如图所示的一块地，已知AD=4m ，CD=3m ， AD ⊥DC ，AB=13m ，BC=12m ，求这块地的面积.
【例4】一个正方形花圃，由四块种着不同花的长方形地组成，如图，已知图中虚线表示的正方形的面积为35平方米，长方形的长比宽多3米，则每块长方形地_______平方米。

A B
C
D
A
D
C B
【巩固】如下图，大正方形面积为27平方厘米，小正方形面积为3平方厘米，求A、C两个梯形的面积之和是多少?
【例5】太阳刚刚从地平线升起，巴河姆就在草原上大步朝东方走去，他走了足足有10俄里才左拐
弯，接着又走了许久许久，再向左拐弯，这样又走了2俄里，这时，他发现天色不早了，而自己离出
发点还足足有17俄里，于是改变方向，拼命朝出发点跑去，在日落前赶回了出发点。

这是俄罗斯大
作家托尔斯泰在作品《一个人需要很多土地吗》中写的故事的一部分。

你能算出巴河姆这一天共走了
多少路？走过的路所围成的土地面积有多大吗？
【巩固】智能机器猫从平面上的O点出发.按下列规律行走:由O向东走12厘米到A1,由A1向北走24
厘米到A2,由A2向西走36厘米到A3,由A3向南走48厘米到A4,由A4向东走60厘米到A5,…,问:智能机
器猫到达A 6点与O点的距离是多少厘米?
【例6】用同样大小的22个小纸片摆成图7所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和.
【巩固】用8张同样的长方形卡片，围成一个正方形的边框（如图7），其外围长144厘米，中间的正方形面积为400平方厘米。

求每张长方形卡片的长与宽各是多少厘米？
【例7】若E 、F 、G 、H 分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形
面积的 分之 ；
G
F
A
E
D
【巩固】如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比。

【例8】如下图所示，红、黄、绿三块大小一样的正它们方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间相互叠合，已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，那么，正方形盒子的底面积是__________．
红
黄
绿
【巩固】三个面积都是12的正方形放在一个长方形的盒子里面，如图7-15，盒中空白部分的面积已经标出，求图中大长方形的面积？
【例9】如图所示,直角三角形PQR的两个直角边分别为5厘米,9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少?
【巩固】图中5个阴影所示的图形都是正方形，所标数字是邻近线段的长度。

那么，阴影所示的5个正方形的面积之和是多少？（单位：厘米）
【例10】.有5个长方形,它们的长和宽都是整数,且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形,那么,大正方形面积的最小值为多少?
【巩固】如图7-4，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，他们的面积分别是103平方米、52
平方米、51平方米和101
平方米。

已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？
1、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）
715
24
25
20
715
20
24
25
15
7
2520
24
25
720
2415
(A)(B)(C)(D)
A B C D
2、如图:长方形的面积是小于100的整数，他的内部由三个边长是整数的正方形，正方形①的边长是
长方形长的，正方形②的边长是长方形宽的，那么图中阴影部分的面积是多少？
12
5
8
1
①
②
课堂检测
3、有一个长方形，它的长是宽的4倍，对角线长34cm 。

求这个长方形的面积。

根据直角三角形计算出三角形中第三边的长度，在计算时可以借助分解质因数，或者根据三遍关系判断是直角三角形；有直角的通过加辅助线构造直角三角形；
通过对弦图进行观察分析得出构成弦图的直角三角形两直角边的关系，始终要有方程意识
1、若把边长为1的正方形ABCD 的四个角剪掉,得一四边形A 1B l C l D l ,试问怎样剪,才能使剩下的图形
仍为正方形,且剩下图形的面积为原来正方形面积的
5
9,请说明理由.(写出证明及计算过程)。

复习总结
家庭作业
2、如下图，两个正方形的周长相差12厘米，面积相差69平方厘米，两个正方形的面积各是多少平方厘米？
3、左下图中有三个直角三角形。

请问x= 厘米。

4、请问下图正方形的面积是平方厘米。

6、一个长方形若能分割成大小不一样的小正方形，则称它为完美长方形。

下图完美长方形可以分割成9个小正方形，其中小正方形A和B的边长分别为5厘米和9厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？。