典型相关分析

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The canonical correlation analysis---CCA
如果我们记两组变量的第一对线性组合为：
u 1 = a X 1
v1 = b Y 1
其中：
a 1 ( a1 1 , a 2 1 , , a p 1 ) b 1 ( b1 1 , b 2 1 , , b q 1 )
下，求a1和b1，使uv达到最大。令
α Σ
1 2 11
a
左乘
左乘

1 2
11
Σ 11 α a Σ 22 β b
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1 2
1 2
α α 1
β β 1
13
β Σ b
1 2 22

1 2
22
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The canonical correlation analysis---CCA
-1 -1 2
令
A
1 11 12
1 22 1

21
B
1 22

21 11
12
Al l
2
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Bm m
2
回顾特征根 定义
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The canonical correlation analysis---CCA
V ar ( v ) b Σ 22 b 1
a Σ b λ 1 12 1 b Σ 2 1a 1 1
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a1Σ12b1 (u1 , v1 )
Σ 12 b 1 - λΣ 11 a 1 = 0 Σ 21 a 1 - νΣ 22 b 1 = 0
§10.1 典型相关分析及基本思想
典型相关分析方法(canonical correlation analysis---CCA)最早源于荷泰林(H，Hotelling)于 1936年在《生物统计》期刊上发表的一篇论文《两组 变式之间的关系》。他所提出的方法经过多年的应用 及发展，逐渐达到完善，在70年代臻于成熟。 由于典型相关分析涉及较大量的矩阵计算，其方 法的应用在早期曾受到相当的限制。但随着当代计算 机技术及其软件的迅速发展，弥补了应用典型相关分 析中的困难，因此它的应用开始走向普及化。 2012-9-18 DXL 2
第十章 典型相关分析（Canonical Correlation Analyses---CCA)


典型相关分析及基本思想
典型相关分析的数学描述


总体的典型相关系数和典型变量
样本的典型相关系数和典型变量


典型相关系数的显著性检验
计算步骤及实例
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(3)
注意 到
将上面的3式分别左乘 a 1和 b 1
a Σ b - λa Σ a = 0 1 12 1 1 11 1 b Σ 21 a 1 - νb Σ 22 b 1 = 0 1 1
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V ar ( u ) a Σ 11 a 1
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The canonical correlation analysis---CCA
然后再在每组变量中找出第二对线性组合，使 其分别与本组内的第一线性组合不相关，第二对线 性组合本身具有次大的相关性。
u2 a12 x1 a22 x2 a p 2 x p v2 b12 y1 b22 y2 bq 2 yq
分析两组变量之间的关系。
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The canonical correlation analysis---CCA
变量间的相关系数矩阵
X1 X1 X2 y1 y2 y3 1.00 0.80 0.26 0.67 0.34 X2 0.80 1.00 0.33 0.59 0.34 y1 0.26 0.33 1.00 0.37 0.21 y2 0.67 0.59 0.37 1.00 0.35 y3 0.34 0.34 0.21 0.35 1.00
如果能够采用类似于主成分的思想，分别找出 两组变量的各自的某个线性组合，讨论线性组合之 间的相关关系，则更简捷。
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With canonical correlation, we are working with two sets of variable (e.g.,we might have one set of variables measuring the personality characteristics of high school students and another set of variables measuring their vocational interests ). In canonical correlation, we are also trying to reexpress and simplify the data. Our goal is to find two linear combinations of the original variables---one combination from the first set variables and one combination from the second (called canonical variables )---- that exhibit the largest possible covariance. From James etc《Analyzing Multivariate Data》
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所以，典型相关分析就是求a1和b1，使uv达到最大。
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§10.3 总体的典型相关系数和典型变量
在约束条件:
V ar ( u ) a Σ 11 a 1
V ar ( v ) b Σ 22 b 1
The canonical correlation analysis---CCA
在解决实际问题中，这种方法有广泛的应用。 如，在工厂里常常要研究产品的 q个质量指标
( x1 , x2 , , x p ) 和 p 个原材料指标 ( y1 , y2 , , yq )
的相关关系。 当然可以用最原始的方法，分别计算两组变量 之间的全部相关系数，一共有p*q个简单相关系数， 这样又烦琐又不能抓住问题的本质。
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From James . 《Analyzing Multivariate Data》
In principal components analysis (PCA), we found that a small number of components could account for much of the variance (i.e., information )in the entire data set. With canonical correlation, we will find that a few pairs of canonical variates can account for much of the interdependence between two sets of variables.
y1
y2 y3
x2
(u2 , v 2 ) ?
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典型相关分析的思想： 首先分别在每组变量中找出第一对线性组合， 使其具有最大相关性，
u1 a11 x1 a21 x2 a p1 x p v1 b11 y1 b21 y2 bq1 yq
想一想 如何求?
V ar ( u 1 ) a V ar ( X ) a 1 a Σ 11 a 1 1 1 1 V ar ( v 1 ) b V ar (Y )b 1 b Σ 22 b 1 1 1 1
u 1 , v 1 C o v ( u 1 ,v 1 ) a C o v (X , Y )b 1 a Σ 12 b 1 1 1
等于 单位阵
(3)
将 Σ 12 Σ
-1 22
左乘（3）的第二式，得
-1 -1
Σ 12 Σ 22 Σ 21 a 1 - νΣ 12 Σ 22 Σ 22 b 1 0 Σ 12 Σ 22 Σ 21 a 1 - νΣ 12 b 1 0
-1
并将第一式代入，得
Σ 12 Σ 22 Σ 21 a 1 - λ Σ 11 a 1 0
既:u2和v2与u1和v1相互独立，但u2和v2有次大相
关性。如此继续下去，直至进行到r步，两组变量的
相关性被提取完为止。rmin(p,q)，可以得到r组变
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量。
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§10.2 典型相关的数学描述
Σ 21 Σ 11 Σ 21 b 1 - λΣ 12 a 1 0
-1
221211 21的特征根
1
1
Σ 21 Σ 11 Σ 12 b 1 - λ Σ 22 b 1 0
-1 2
是 2，相应的特征向 量为 1
Σ 22 Σ 21 Σ 11 Σ 12 b 1 - λ b 1 0

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The canonical correlation analysis---CCA
例：家庭特征与家庭消费之间的关系
为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。
调查了70个家庭的下面两组变量：
x 1：每年去餐馆就餐的频 x 2：每年外出看电影频率
y 1：户主的年龄 率 y 2：家庭的年收入 y 3：户主受教育程度
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u1 a11 x1 a 21 x 2 V1 b11 y1 b21 y2 b31 y3
( u1 , v 1 ) ?
x1
u2 a12 x1 a22 x2 v 2 b12 y1 b22 y2 b32 y3
考虑两组变量的向量
其协方差阵为
Σ 11 Σ Σ 21 p Σ 12 p Σ 22 q q
Z ( x1 , x 2 , , x p , y1 , y 2 , , y q )
矩阵的 分块
其中11是第一组变量的协方差矩阵；22是第二 组变量的协方差矩阵； 12 21 是X和Y的其协方差矩 阵。
-1 2
11 12 22 21 的特征根
1 1
是 2 ，相应的特征向
量为 1
特征根定义
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2
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Σ 11 Σ 12 Σ 22 Σ 21 a 1 - λ a 1 0
-1 -1
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1 将 12 11 左乘（3）的第一式，并将第二式代入，得
根据数学分析中条件极值的求法，引入Lagrange 乘数，求极值问题，则可以转化为求
不含 不含
1
( a1 , b1 ) a 1 Σ 12 b 1
2
1
( a 1 Σ 11 a 1 1)
2
( b Σ 22 b 1 1) 1
(源自文库)
的极大值，其中和是 Lagrange乘数。
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Σ 12 b 1 - λΣ 11 a 1 0 a 1 Σ a - νΣ b 0 21 1 22 1 1
(2)
Σ 12 b 1 - λΣ 11 a 1 = 0 Σ 21 a 1 - νΣ 22 b 1 = 0