第八讲 假设检验

1, L( x ) ≥ k , ϕ ( x) = 0, L( x ) < k
其中常数 k由Eθ (ϕ ( x )) = Pθ { L( x ) ≥ k } = α确定,
0 0
这是因为 Pθ { L( x ) = k } = 0。这说明此种情形下
0
的拒绝域具有形式 W = { x：L( x ) ≥ k }。
c
域就建立起一一对应关系。 域就建立起一一对应关系。 为了确定拒绝域， 为了确定拒绝域，往往根据问题的直观背
为真时， 景，寻找合适的统计量T ( x )，当H 0为真时，要
能由统计量 T ( x )确定出拒绝域 W ，这样的统 称为检验统计量 计量T ( x ) 称为检验统计量(Test Statistic)。 为了便于描述拒绝域及数学理论上的需要， 为了便于描述拒绝域及数学理论上的需要， 有必要引入函数 1, x ∈W , ϕ ( x) = 0, x ∉W 它是拒绝于上的示性函数，称其为检验函数 它是拒绝于上的示性函数，称其为检验函数。 检验函数。 当ϕ ( x ) = 1时拒绝 H 0，当ϕ ( x ) = 0时接受 H 0。 这 种检验函数也称为非随机化的， 种检验函数也称为非随机化的， 而随机化的检 验函数的定义是： 验函数的定义是：在[0,1]上取值的样本的函数
β (θ ) = Pθ { x ∉W } = 1 − Pθ { x ∈W }, θ ∈ Θ1 .
定义8.1 一个检验的功效(Power)定义为当 H 0假 定义 一个检验的功效 的概率， 时拒绝 H 0的概率，即 γ (θ ) = Pθ { x ∈W } = 1 − β (θ ), θ ∈ Θ1 . 而第一类错误和功效可以看成函数 g (θ ) = Pθ { x ∈W } = Eθ (ϕ ( x )), θ ∈ Θ 的不同取值，这个函数称为功效函数。 的不同取值，这个函数称为功效函数。 功效函数
1
θ ∈Θ 0
是密度函数或分布率， 其中 p( x ,θ )是密度函数或分布率， L( x )是统计
的检验称为似然 量。 对较大 L( x )拒绝原假设 H 0的检验称为似然 比检验(Likelihood Ratio Test)。 比检验 。
在这节， 在这节，我们先讨论简单原假设对简单备择 假设的检验问题， 假设的检验问题， 下节讨论较复杂的检验问题。 下节讨论较复杂的检验问题。 设统计模型为 { Pθ ,θ ∈ Θ}，其中Θ = {θ 0 ,θ 1 }， 即参数空间仅包含两个参数， 即参数空间仅包含两个参数，所考虑的检验问 题为
0
（2） ） （3） ）
且检验 ϕ ( x )是水平为 α的MPT。
(2) 如果ϕ ( x )是水平为 α的MPT，则必存在
常数k ≥ 0, 使得ϕ ( x )满足式( 2)。 进一步若 ϕ的功
效满足 Eθ (ϕ ( x )) < 1, 则ϕ ( x )也满足式( 3)。
1
引理的证明可参看《高等统计学》 郑忠国 郑忠国)。 引理的证明可参看《高等统计学》(郑忠国 。 注: （1） L( x )为连续随机变量时， MPT的 为连续随机变量时， ） 当 的 检验统计量可取为非随机化的形式 检验统计量可取为非随机化的形式
当θ ∈ Θ 0时，g (θ ) = α (θ )； 而当 θ ∈ Θ1时， g (θ ) = γ (θ )。
(Power Function)
检验的水平 固定时， 当样本容量 n 固定时，要减少犯第一类错 误的概率，就会增大犯第二类错误的概率； 误的概率，就会增大犯第二类错误的概率；反 若要减少犯第二类错误的概率， 之，若要减少犯第二类错误的概率，就会增大 犯第一类错误的概率。 犯第一类错误的概率。即就是说当样本容量固 定时，不可能同时减少犯两类错误的概率， 这 定时，不可能同时减少犯两类错误的概率， 是一对不可调和的矛盾。 是一对不可调和的矛盾。 Neyman-Pearson检验原理就是控制犯第一 检验原理就是控制犯第一
检验定义如下。 检验定义如下。
设ϕ ∗ ( x )是水平为 α 定义8.2 在检验问题 中， 在检验问题(1)中 定义 的检验， 的检验， 如果对任一水平为 α的检验 ϕ ( x )，有 Eθ (ϕ ∗ ( x )) ≥ Eθ (ϕ ( x ))
1 1
成立， 成立，则称ϕ ∗ ( x )是水平为 α的 最优功效检验， 最优功效检验，
二、 Neyman-Pearson 引理
考虑检验问题 设统计模型为 { Pθ ,θ ∈ Θ}， H 0：θ ∈ Θ 0， H 1：θ ∈ Θ1 定义似然比 其中Θ = Θ 0 U Θ1。定义似然比(Likelihood Ratio)为 sup{ p( x ,θ )} θ ∈Θ L( x ) = , sup{ p( x ,θ )}
Pθ { x ∈W } = Eθ (ϕ ( x )) ≤ α , θ ∈ Θ 0
的检验函数类中， 的检验函数类中，寻找使得功效
Eθ (ϕ ( x )) = Pθ { x ∈W } (θ ∈ Θ1 )
尽可能大的检验函数。 尽可能大的检验函数。
对给定的 α ∈ [0,1]，若检验 ϕ ( x )对所有的 θ ∈ Θ 0，满足Eθ (ϕ ( x )) ≤ α , 则称ϕ ( x )是一个水 是一个水 的检验。 平( Level)为 α 的检验。 根据这个定义， 根据这个定义， 水平不唯一。 水平不唯一。若 ϕ ( x )是水平 ϕ 的检验， 为 α 的检验， 则对任何满足 α < α ′ ≤ 1的α ′ ， ( x ) 的检验。 也是水平为α ′ 的检验。称 sup{ Eθ (ϕ ( x )),θ ∈ Θ 0 } 真实水平。 为检验 ϕ ( x ) 的大小(Size)或真实水平。 实用上当提到一个检验的水平时， 实用上当提到一个检验的水平时，一般是 指它的真实水平。 指它的真实水平。
这样一个检验就等同于将样本空间分成 两个互不相交的子集 W 和W c，当x ∈W时就拒 绝 H 0，认为备择假设 H 1成立；当x ∈W c时就接 成立；
(Rejection Region) 为接受域(Acceptance Region)。 这样检验和拒绝
拒绝域， 成立。 受H 0，认为 H 0成立。 称 W 为拒绝域， 称 W
H 0：θ = θ 0， H 1：θ = θ 1
（1） ）
比较两个检验 ϕ 1 ( x )和ϕ 2 ( x ) 的优劣的一个自然 的准则就是比较它们功效的大小。 的准则就是比较它们功效的大小。
若
Eθ (ϕ 1 ( x )) ≥ Eθ (ϕ 2 ( x )),
1 1
则称检验 ϕ 1 ( x )不比检验 ϕ 2 ( x )差，或检验 ϕ 1 ( x ) 比检验 ϕ 2 ( x )好。根据这点我们有所谓最优的
(Most Powerful Test)
简记为MPT。Biblioteka 。 简记为对于检验问题(1)， 似然比为 对于检验问题 ， p( x ,θ 1 ) L( x ) = , p( x ,θ 0 ) 规定： 规定：当p( x ,θ 0 ) = 0, p( x ,θ 1 ) > 0时，L( x ) = ∞, 当p( x ,θ 0 ) = p( x ,θ 1 ) = 0时，L( x ) = 0. 下面的N-P引理不但彻底解决了检验问题(1) 下面的N-P引理不但彻底解决了检验问题(1) 的 引理不但彻底解决了检验问题 检 MPT的存在问题， 而且还给出了构造 的存在问题， 的存在问题 而且还给出了构造MPT检 验的方法。 虽然这个引理仅针对检验问题(1)， 验的方法。 虽然这个引理仅针对检验问题 ， 但它对解决复合假设检验问题最优检验的存在 起到非常重要的作用。 起到非常重要的作用。
第八讲 假设检验
一、基本概念 二、Neyman-Pearson 引理 三、一致最优势检验
一、基本概念
在自然科学和社会科学等中， 在自然科学和社会科学等中，常常要对某 些重要问题做出回答： 些重要问题做出回答：是或否。如月球比地球 早形成吗？ 一种新药对某种病有效吗？ 早形成吗？ 一种新药对某种病有效吗？ 某种 股票会张吗？ 新推出的电视节目收视率高吗？ 股票会张吗？ 新推出的电视节目收视率高吗？ 等等。为了回答这些问题， 等等。为了回答这些问题，我们需要对感兴趣 的问题进行试验或观察获得相关数据， 的问题进行试验或观察获得相关数据，根据这 些数据决定是 些数据决定是或否的过程称为假设检验。 的过程称为假设检验。 假设检验
(Hypothesis Testing)
在这节，给出一般的Neyman-Pearson假设 在这节，给出一般的 假设 检验构架。 检验构架。 原假设和备择假设
是统计模型， 设{ Pθ ,θ ∈ Θ}是统计模型，关于总体 X的分 即 的推测， 布或关于参数θ 的推测， H：θ ∈ Θ ⊂ Θ 称为
假设， 假设，其中 Θ 是 Θ 的非空真子集。 的非空真子集。 在一个假设检验中，常涉及两个假设。 在一个假设检验中，常涉及两个假设。所 要检验的假设称为原假设 零假设， 原假设或 要检验的假设称为原假设或零假设， 记为H 0 。
ϕ ( x )。在随机化检验时，有了样本 x 后，计算 在随机化检验时， ϕ ( x ), 依ϕ ( x )为成功概率做 Minomial试验， 若 试验，
成功就拒绝 H 0， 否则接受 H 0。
两类错误、 两类错误、功效和功效函数 由于样本时随机的， 由于样本时随机的， 进行检验时可能犯 两类错误， 两类错误，其一是当 H 0为真时，却拒绝 H 0， 为真时， 称为第一类错误 第一类错误， 称为第一类错误， 其概率为 α (θ ) = Pθ { x ∈W }, θ ∈ Θ 0 . 称为第二类 为假时， 其二是当 H 0为假时，却接受 H 0， 称为第二类 错误， 错误，其概率为
(Neyman-Pearson引理 引理) 引理
就检验问题(1)， 引理8.1 就检验问题 ，对给定 α ∈ (0,1)，有 引理 (1) 存在常数 k ≥ 0及检验 1, 当L( x ) > k时 , ϕ ( x) = 0, 当L( x ) < k时 Eθ (ϕ ( x )) = α . 满足