弹性力学第七章汇编

第七章空间问题的基本理论

目录

§7-1 平衡微分方程

§7-2 物体内任一点的应力状态§7-3 主应力最大与最小应力§7-4 几何方程及物理方程

§7-5 轴对称问题的基本方程

在空间问题中，应力、形变和位移等基本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。

空间问题的基本方程，边界条件，以及按位移求解和按应力求解的方法，都是与平面问题相似的。因此，许多问题可以从平面问题推广得到。

取出微小的平行六面体，

，z y x v d d d d =考虑其平衡条件:

,

0=∑x F ,0=∑y F ;0=∑z F ,0∑=x M ,0=∑y M .

0=∑z M (a)(b)平衡条件

§7-1 平衡微分方程

由x 轴向投影的平衡微分方程,0 , (,,). (c)yx x zx x σf x y z x y z

ττ∂∂∂+++=∂∂∂0=∑x F 得

因为x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量纲均为L ，所以x , y , z 坐标具有对等性，其方程也必然具有对等性。因此，式(a)的其余两式可通过式(c)的坐标轮换得到。

由3个力矩方程得到3个切应力互等定理，

∑=0x M zy yz ττ=，

，(x ,y , z ) 。(d)空间问题的平衡微分方程精确到三阶微量。

)d d (d z y x

在空间问题中，同样需要解决：由直角坐标的应力分量……，来求出斜面(法线为）上的应力。

x σyz τn '§7-2 物体内任一点的应力状态

斜面的全应力p 可表示为两种分量形式：(,,).

x y z p p p =p p 沿坐标向分量:

p 沿法向和切向分量:(,).n n στ=

p

取出如图的包含斜面的微分四面体，斜面面积为d s , 则x 面，y 面和z 面的面积分别为l d s ,m d s ,n d s 。由四面体的平衡条件，

得出坐标向的应力分量,

1.求),,(0z y x F

x

=∑, (,,).

(a)

x x yx zx p l σm n x y z ττ=++)

,,(z y x p p

p =p z

y x p p p

2.求

)

,(n n στ=p 将),,(z y x p p p =p 向法向投影，即得

z

y x n np mp lp σ++=2

2

2

222 . (b)

x y z yz zx xy l σm σn σmn nl lm τττ=+++++,

222222

n n

z y

x

σp p p p τ

+=+

+

=

22222 . (c)

n

x y z n

p p p στ=++-n '得

由

从式(b)、(c )可见, 当六个坐标面上的应力分量确定之后，任一斜面上的应力也就完全确定了。

设在边界上，给定了面力分量

则可将微分四面体移动到边界点上，并使斜面与边界重合。斜面应力分量应代之为面力分量，从而得出空间问题的应力边界条件:

3.在

上的应力边界条件

σs ,

,,z y x f f f σs ),,(z y x p p p ),,(z y x f f f () , (,,) . () ()

x yx zx s x σl σm n f x y z S d ττ++=在上应力边界条件

式(d)只用于边界点上，表示边界面上的面力与坐标面的应力之间的关系，所以必须将边界面方程代入式(d)。

式(b), (c) 用于V 内任一点，表示斜面应力与坐标面应力之间的关系；

注意:

σs

1.假设面(l , m , n )为主面，则此斜面上

n '.

, 0σσp n n ===τ斜面上沿坐标向的应力分量为：

z y x p p p ,,.

, ,σσσn p m p l p z y x ===斜面应力

§7-3 主应力最大与最小的应力

代入, 得到：

考虑方向余弦关系式，有

.

12

22=++n m l 结论：式(a) , (b)是求主应力及其方

向余弦的方程。

(b)

,,(a )

.x yx zx

y zy x y z x z y z l σm n l σm σn l m σn σl m n στ

τττττ⎫++=⎪

++=⎬

⎪

++=⎭

2. 求主应力σ

将式(a)改写为：

⎪⎪

⎭

⎪

⎪⎬

⎫

=-++=+-+=++-。0)(,0)(,0)(n σσm l n m σσl n m l σσz yz xz zy y xy zx yx x ττττττ

上式是求解l , m , n 的齐次代数方程。由于l , m , n 不全为0，所以其系数行列式必须为零，得

,

0=---σ

σσ

σσσz yz

xz

zy y xy zx

yx

x ττττττ展开，即得求主应力的方程,

3

2

222()()x y z y z z x x y yz

zx

x y

σσσσσσσσσσσστττ-+++++----

.0)2(222

=+---xy zx yz xy

z zx

y yz

x z y x σσσσσσττττττ( c )